电子科技大学随机信号分析期末考试

一、随机变量X 具有下列特征函数，求其概率密度函数、均值和均方值。

1、2424()0.20.30.20.20.1j vj v j v j v X v ee e e --Φ=++++概率密度函数()Zf z 。

2、sin 5()5X vv vΦ=。

解：1、()()()()()()0.20.320.240.220.14f x x x x x x δδδδδ=+-+-++++()()()(0)/20.340.220.240.10.6E X j φ'==⨯+⨯+-⨯+-⨯=()()()22222(0)20.340.220.240.1 6.8E X φ''=-=⨯+⨯+-⨯+-⨯=2、sin 512sin 5()510v vv v vφ==⨯，利用傅里叶变换公式，可知这是均匀分布， ()1,55100,x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他()0E X =, ()21025123Var X ==,()()()22253E X Var X E X =+=。

二、设质点运动的位置如直线过程()X t Kt A =+，其中(0,1)K N 与(0,2)A N ，并彼此独立。

试问： 1、t 时刻随机变量的一维概率密度函数、均值与方差？。

2、它是可预测的随机信号吗？ 解：(1)独立高斯分布的线性组合依然是高斯分布[()][][][]0E X t E Kt A tE K E A =+=+=22[()][][][]2D X t D Kt A t D K D A t =+=+=+所以它的一维概率密度函数为:22(;)}2(2)X x f x t t =-+(2) 此信号是可预测随机信号221212121212(,)[()()][()()][]()[][]X R t t E X t X t E Kt A Kt A E K t t t t E KA E A ==++=+++124t t =+，12121112(,)(,)[()][()]4X X C t t R t t E X t E X t t t =-=+，故此信号是可预测随机信号。

三、设随机序列(),(0,1,2,)X n n =±± ，有如下性质：(1)(){}X n 为独立序列；(2)()X n 是2(0,)N σ分布。

试判断序列()X n 的广义平稳性和严格平稳性。

解：由题可得序列()X n 的均值、方差分别为：()()0X m n E X n ==⎡⎤⎣⎦()()()()2222D X n E X n E X n E X n σ⎡⎤⎡⎤=-==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()X n 的自相关函数为：[]()()()22,0,0,0X m R n m n E X n m X n m m σσδ⎧=+=+==⎡⎤⎨⎣⎦≠⎩其中 ()1,00,0m m m δ=⎧=⎨≠⎩因为()X n 的均值为常数(0)，自相关函数只与时间间隔m 有关，故()X n 是广义平稳随机序列，又因为它是高斯序列，从而它也是严平稳随机序列。

四、随机信号1()X t 与2()X t 的二维概率密度函数满足条件：121212 1 0< 1 ||<0 other x x f (x ,x ,t ,t )π<⎧=⎨⎩，设随机信号12()()Y t Y t 、满足：[][]1222()()()()Y t X t Y t X t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，试求二维概率密度函数1212()f y ,y ,t ,t 。

七、随机信号1()X t 与2()X t 的二维概率密度函数满足条件：121212 1 0< 1 ||<0 other x x f (x ,x ,t ,t )π<⎧=⎨⎩，设随机信号12()()Y t Y t 、满足：[][]1222()()()()Y t X t Y t X t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，试求二维概率密度函数1212()f y ,y ,t ,t 。

解：12121212()=()f y ,y ,t ,t f x ,x ,t ,t J ⋅[][]()2221211222221222112112122211ln cos tan exp ()tan tany y x y x y x y x y x y y x y y x x y y --⎧+=-⎧=⎪⎪→⎨⎨==⎪⎪⎩⎩⎧⎧=-+=⎪⎪→⎨⎨==⎪⎪⎩⎩1111221122222121122221112cos 2sin cos sin y y x x x x x J y y x x x x x x x x x x ---⎛⎫∂∂--⎪⎝⎭∂∂==∂∂⎛⎫-⎪∂∂⎝⎭⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭1212121212121()=()=()f y ,y ,t ,t f x ,x ,t ,t Jf x ,x ,t ,t x ⋅⋅= ， ()12y ,y -∞<<∞五、设随机过程0()()cos()X t u A t ωΘ=+,其中0ω为常数， Θ是[0,2)π的均匀分布随机变量，A 满足零均值、方差为1的高斯分布，A 与Θ相互独立，()u ⋅是阶跃函数，试讨论()X t 的广义各态历经性。

解：0[()][()cos()]0E X t E u A t ωΘ=+=01()cos()4X R τωτ=时间平均01A[()]lim()cos()2TTT X t u A t dt T ωΘ-→∞=+⎰ 00()lim (cos cos sin sin 2TTT u A t t dt T ωΘ-ωΘ-→∞=)⎰=0 所以均值各态历经。

22000()()A[()()]lim cos()cos(()))cos()()22T x T T u A u A X t X t t t dt R TτωΘωτΘωττ-→∞+=+++=≠⎰ 所以相关函数不具备各态历经性。

所以()X t 不是广义各态历经的。

六、联合广义平稳信号X 1(t )和X 2(t )，其均值分别为1X m 和2X m ，功率谱分别为1()X S ω和2()X S ω，且X 1(t )和X 2(t )相互独立。

若X 1(t )和X 2(t )之和X (t )作用到频率响应为H (j ω)的线性时不变系统上产生的输出是Y (t )，试证明：1、12()(j0)Y X X m m m H =+2、Y (t )的功率谱12122()(j )[()()4()]Y X X X X S H S S m m ωωωωπδω=++证明：1、1212[()][()()]X X X E X t E X t X t m m m =+=+=12[()]()()()(j0)Y X X X m E X t u h u du m h u du m m H +∞+∞-∞-∞∴=-==+⎰⎰ ，得证。

(2、 X 1(t )和X 2(t )联合广义平稳121122121211211222()[(()())(()())][()()][()()][()()][()()]()()()()X X X X X X X R E X t X t X t X t E X t X t E X t X t E X t X t E X t X t R R R R τττττττττττ∴=++++=+++++++=+++又 X 1(t )和X 2(t )相互独立122112()()X X X X X X R R m m ττ∴== 1212()()()2X X X X X R R R m m τττ∴=++11221212()[()]()[()]()[()]()()()4()X X X X X X X X X X X S R S R S R S S S m m ωτωτωτωωωπδω===∴=++F F F ，得证。

七、输入信号为零均值白噪声随机信X (t )，其双边功率谱为0()2X N S ω=，通过如下图所示的线性系统后都到输出信号Y (t )，求： ( 共10分)1、输出信号Y (t )的平均功率P Y ；2、系统的等效噪声带宽B N (中心功率ω0=0)解： 1、(j )j LRH R ωω=+2222(j )()R H R L ωω∴=+22022()()(j )2()Y X N R S S H R L ωωωω==⋅+10()[()]4RL Y Y N R R S e Lττω--==F0(0)4Y N RP R L==2、204(j0)Y N P RB LN H ==八、判断下列函数哪些可以作为实广义平稳随机信号的协方差函数()C τ。

若不可以，请说明原因；若可以，请求出对应随机信号的方差。

1、22/()C eτστ-=2、000()2(/2)cos(), ,C Sa W W W ττωτωω=<<其中为正常数，且3、()()C τδτ=4、||41||(), ,110||pq T C p q p q T T ττττ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=≤≤+=⎝⎭⎨⎪>⎩其中0为常数,且 5、()5C τ=解：X)1、可以。

2(0)1C σ==2、可以。

2(0)2C σ==3、可以。

2(0)C σ==∞4、可以。

2(0)4C pq σ==5、可以。

2(0)5C σ==九、已知平稳噪声()N t 的功率谱密度如下图所示。

求窄带过程00()()cos()()sin()X t N t t N t t ωθωθ=+-+的功率谱密度()X S ω，并画图表示。

其中01ωω 为常数，θ服从(0,2)π上的均匀分布，且与()N t 独立。

( 共10分)解：先求()X t 的均值[][][][][][]0000()()cos()()sin()()cos()()sin()0E X t E N t t N t t E N t E t E N t E t ωθωθωθωθ=+-+=+-+= ，均值平稳求()X t 的相关函数[][]{}{}000000000000(,)[()()]{()cos()()sin()()cos()()sin()}()()cos()cos()()()sin()sin()()()cos()sin()()()sin()cos()X R t s E X t X s E N t t N t t N s s N s s E N t N s t s N t N s t s E N t N s t s N t N s t s ωθωθωθωθωθωθωθωθωθωθωθωθ==+-++-+=+++++-+++++={}000()()cos()()()sin[()2]()cos()N E N t N s N t N s t s R ωτωθτωτ-++=()X t 相关平稳，故()X t 广义平稳，由维纳-辛钦定理：()()FTX X R S τω←−→000001()()[()()]21[()()]2X N N N S S S S ωωωπδωωδωωπωωωω=-*-++=-++由已知的()N S ω的功率谱密度，可以得()X S ω的频谱：十、设复随机过程()1i nj tii Z t Ae ω==∑，式中(1,2,,)i A i n = 为n 个相互正交的实随机变量，(1,2,,)i i n ω= 为n 个不同实数。