2013年全国初中数学竞赛天津赛区复赛试卷
2013年全国初中数学联合竞赛试题及详解
2013年全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.计算=（）（A 1（B ）1 （C （D ）2 2.满足等式()2221m m m ---=的所有实数m 的和为（） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）63.已知AB 是圆O 的直径，C 为圆O 上一点，15CAB ∠=，ABC ∠的平分线交圆O 于点D ，若CD ，则AB =（A ）2（B（C ）（D ）3 4.不定方程23725170x xy x y +---=的全部正整数解(,)x y 的组数为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）45.矩形ABCD 的边长3,2AD AB ==,E 为AB 的中点,F 在线段BC 上,12BF FC =∶∶，AF 分别与DE ,DB 交于点,M N ,则MN =（A （B （C （D 6.设n 为正整数，若不超过n 的正整数中质数的个数等于合数的个数，则称n 为“好数”那么，所有“好数”之和为（）（A ）33 （B ）34 （C ）2013 （D ）2014二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1.已知实数,,x y z 满足4,129,x y z xy y +=+=+-则23x y z ++=_________.2.将一个正方体的表面都染成红色，再切割成3(2)n n >个相同的小正方体，若只有一面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则n =___________..3.在ABC ∆中，60,75,10A C AB ∠=∠==，,,D E F 分别在,,AB BC CA 上，则DEF ∆的周长最小值为___________.4.若实数,,x y z 满足()2228x y z xy yz zx ++-++=，用A 表示,,x y y z --z x -的最大值，则A 的最大值为.第二试（A ）一、（本题满分20分）已知实数,,,a b c d 满足()2222223236,a c b d ad bc +=+=-= 求()()2222a b c d ++的值.二、（本题满分25分）已知点C 在以AB 为直径的圆O 上，过点,B C 作圆O 的切线，交于点P ，连接AC ，若92OP AC =，求PB AC的值.三、（本题满分25分）已知t 是一元二次方程210x x +-=的一个根，若正整数,,a b m 使得等式()()31at m bt m m ++=成立，求ab 的值.第二试（B ）一、（本题满分20分）已知1t =，若正整数,,a b m ,使()()17at m bt m m ++=成立，求ab 的值.二、（本题满分25分）在ABC ∆中，AB AC >，O I 、分别是ABC ∆的外心和内心，且满足2AB AC OI -=,求证：（1）OI ∥BC ;（2）2AOC AOB AOI S S S ∆∆∆-=.三、（本题满分25分）若正数,,a b c 满足2222222222223222b c a c a b a b c bc ca ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 求代数式222222222222b c a c a b a b c bc ca ab+-+-+-++的值.。
2013全国数学竞赛Word
中国教育学会中学数学教学专业委员会2013年全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）1、对正整数n ，记!123......n n =⨯⨯⨯⨯，则1!2!3!......10!+++的末尾数为（ ）A 、0B 、1C 、3D 、52、已知关于x 的不等式组322553x t x x x +⎧-<⎪⎪⎨+⎪->-⎪⎩，恰好有5个整数解，则t 的取值范围（ ） A 、1162t -<<-B 、1162t -≤<-C 、1162t -<≤-D 、1162t -≤≤- 3、已知关于x 的方程22222x x a x x x x x --+=--恰有一个实数根，则满足条件的a 值有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个4、如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且BC=4CF ，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）A 、3B 、4C 、6D 、85、在分别标有号码2，3，4，……，10的9个球中，随机取出两个球记下它们的标号，则较大号码被较小号码整除的概率是（ ）A 、14B 、29C 、518D 、736二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6、设a =b 是2a 的小数部分，则()32b +的值为 ；7、一个质地均匀的正方体六个面上分别标有1,2,3,4,5,6，掷这个正方体三次，则朝上面的数字之和为3的倍数的概率为 ；8、已知正整数a ，b ，c 满足2220a b c +--=，2380a b c -+=，则abc 的最大值为 ；9、实数,,,a b c d 满足：一元二次方程20x cx d ++=的两根为a ，b ，一元二次方程20x ax b ++=的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组(),,,a b c d 为 ；10、小明某天在文具店做志愿卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元，开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元，则他至少卖出了 支圆珠笔。
2013年全国初中数学联合竞赛试题及详细解答(含一试二试)
2013年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.计算=（ ）（A 1 （B ）1 （C （D ）22.满足等式()2221m m m ---=的所有实数m 的和为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）63.已知AB 是圆O 的直径，C 为圆O 上一点，15CAB ∠=o，ACB ∠的平分线交圆O 于点D ，若CD =，则AB=（ ）（A ）2 （B （C ）（D ）34.不定方程23725170x xy x y +---=的全部正整数角（x,y ）的组数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）45矩形ABCD 的边长AD=3，AB=2，E 为AB 的中点，F 在线段BC 上，且BF ：FC=1：2， AF 分别与DE ，DB 交于点M ，N ，则MN=（ ）（A （B （C （D6.设n 为正整数，若不超过n 的正整数中质数的个数等于合个数，则称n 为“好数”，那么，所有“好数”之和为（ ） （A ）33 （B ）34 （C ）2013 （D ）2014二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1.已知实数,,x y z 满足4,129,x y z xy y +=+=+-则23x y z ++=2.将一个正方体的表面都染成红色，再切割成3(2)n n >个相同的小正方体，若只有一面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则n= 3.在ABC V 中，60,75,10A C AB ∠=∠==oo，D ，E ，F 分别在AB ，BC ，CA 上，则DEF V 的周长最小值为4.如果实数,,x y z 满足()2228x y z xy yz zx ++-++=，用A 表示,,x y y z z x ---的最大值，则A 的最大值为第二试（A ）一、（本题满分20分）已知实数,,,a b c d 满足()2222223236,a c b d ad bc +=+=-=求()()2222ab c d ++的值。
2013年全国初中数学联合竞赛试题及解析
2013年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题（本题满分 42分，每小题7分） 1•计算 4,3 2,2.41 24.2（） （A ） .2 1 （ B ）1 （ C ）、.2（ D ）2m 2 m 22•满足等式2 m 1的所有实数m 的和为（）（A ）3（ B ）4 （ C ）5 （ D ）6D ，若 CD 3， 则 AB=（ ）(A )2 (B ) J6( C )2.2(D )324•不定方程3x 7xy 2x 5y 17 0的全部正整数角（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4n 的正整数中质数的个数等于合个数，则称 ）（C ） 2013 （ D ） 2014二、填空题（本题满分 28分，每小题7分）1•已知实数 x, y,z 满足 x y 4, z 1 xy 2y 9,则 x 2y 3z __________________32•将一个正方体的表面都染成红色，再切割成n （n 2）个相同的小正方体，若只有一面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则n= ________3•在 VABC 中，A 60°, C 75°, AB 10 ,D, E, F 分别在 AB , BC , CA 上，则 VDEF 的周长最小值为 ______3•已知AB 是圆O 的直径,C 为圆O 上一点,CAB 15°, ABC 的平分线交圆 O 于点x,y ）的组数为（5矩形ABCD 的边长 AD=3，AB=2， E 为AB 的中点,F 在线段 BC 上，且 BF : FC=1 : 2，AF 分别与DE ，DB 交于点 M ，N ，贝U MN=（ (A )出(B )出714(C )出28(D)1K5 286•设n 为正整数，若不超过 所有“好数”之和为（ （A ） 33（ B ） 34n 为“好数”，那么,2 2 24•如果实数x, y, z 满足xy z xy yz zx 8，用A 表示|x y ，y z ，z x 的最大值，则A 的最大值为 __________第二试（A ）一、（本题满分20分）已知实数a,b,c,d 满足2a 2 3c 2 2b 2 3d 2 ad be 2 6,求 a 2 b 2 c 2 d 2 的值。
2013年全国初中数学竞赛决赛(初三)试题及参考答案-推荐下载
2013年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题：（每题7分，共35分）1.【】2222222(234)(23)0.1()0().21.().2a b c a b c a b c a b c ab bc ca a b c ab bc ca A a b c ++=++-++=++=++=-++++=-++由已知可得，因此，，则：故，选2.】2222222222222222()(2)0()(2)0()(2)0()(2)0.A c x b ac x aB c x b ac x aC c x b ac x aD c x b ac x a +-+=--+=+--=---=；；；12121212222121222222222121212222222122222000.11()22111120.(2)0.().x x x b ca x x x x x x c a ax x x x b ac a x x x x c x x cb ac a x x x x c cc x b ac x a B ≠+=-=≠≠+--+==⋅=--+=--+=由于关于的二次方程有两个非零实根、，则：，且，；且，从而又，因此，以、为实根的一元二次方程为：即，故，选3.Rt ABC O AB CD AB AB D DE OC ∆⊥⊥如图，在中，为斜边中点，交于点，交.OC E ADDB CD OD OE DE AC于点若、和的长度为有理数，则：线段、、和【 】的长度中，不一定为有理数的是()()()().A ODB OEC DED AC ；；；通护关于管路高中资料试卷连接管口处理高决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。
线缆敷设原对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关以正常工作；对于继电保护进行整核对定过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。
2013年全国数学竞赛试题详细参考答案
全国初中数学竞赛试题参考答案答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答.2．解答书写时不要超过装订线.3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）1．已知实数x y ，满足 42424233y y x x -=+=，，则444y x+的值为（ ）． （A ）7 （B ）（C ）（D ）5 【答】（A ）解：因为21x =， 所以2为根的一元二次方程为2t t +22222]2()(1)2(3)7y y x+-⨯-⨯=--⨯-= 21，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴 ）．（A ）512 （B ）49 （C ）1736（D ）12 【答】（C ）解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数. 由题意知∆＝24m n -＞0，即2m ＞4n .通过枚举知，满足条件的m n ，有17对. 故1736P =.O 3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( )．（A ）6条 （B ） 8条 （C ）10条 （D ）12条【答】（B ）解：如图，大圆周上有4个不同的点A ，B ，C ，D ，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E ，F 中，至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，则它与A ，B ，C ，D 的连线中，至少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线．所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条．4ABC DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 为半径上，5三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（ ）．（A ）2种 （B ）3种 （C ）4种 （D ）5种【答】（D ）解：设12345a a a a a ，，，，是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．首先，对于1234a a a a ，，，，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，（第4题）（第8题）与已知条件矛盾．又如果i a （1≤i ≤3）是偶数，1i a +是奇数，则2i a +是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．所以12345a a a a a ，，，，只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件：2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3；4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1．二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u v uv v *=+．若关于x 的方程1()4x a x **=-有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是 ．【答】0a >，或解：由(x a **依题意有 解得，a 73分钟从迎面驶来一辆1818路公交车总站每隔【答】4．解：设18的间距为s 米．每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则 s y x =-66． ①每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则s y x =+33． ②由①，②可得 x s 4=，所以 4=xs ． 即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．8．如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点，AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为 ．【答】9．解：如图，设点N 是AC 的中点，连接MN ，则MN ∥AB ．又//MF AD ，所以 FMN BAD DAC MFN ∠=∠=∠=∠，（第9题答案）所以 12FN MN AB ==． 因此 1122FC FN NC AB AC =+=+=9． 另解：如图，过点C 作AD 的平行线交BA 的延长线为E ，延长AE 于点N.则E BAD DAC ACE ∠=∠=∠=∠ 所以11AE AC ==. 又//FN CE ，所以四边形CENF 是等腰梯形，即11(711)922CF EN BE ===⨯+=9．△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心I AB ，AC 相交于点D【答】163． 解：如图，设△BC 边上的高为a h 12a ABC ah S ==△ 所以 a r h 因为△ADE ∽△(1)(1)aa ah a b c -=-++a b c =++，163=．ABC S rp ∆==（这里2a b c p ++=） 所以12r == 2ABC a S h a ===△ 由△ADE ∽△ABC ，得23a a h r DE BC h -===， 即21633DE BC ===10．关于x ，y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为 ．【答】481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，， 解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x ，y 都是偶数．设2,2x a y b ==，则22104()a b a b +=-，同上可知，a ，b 都是偶数．设2,2a c b d ==，则2252()c d c d +=-，所以，c ，d于是 其中s ，t所以13s -，289，257，故只能是2(13)t +＝289因此 481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，，另解：因为222(104)(104)210421632x y -++=⨯= 则有2(104)21632,y +≤又y 正整数，所以 143y ≤≤令22|104|,|104|,21632a x b y a b =-=++= 则因为任何完全平方数的个位数为：1，4，5，6，9由2221632a b +=知22,a b 的个位数只能是1和1或6和6；当22,a b 的个位数是1和1时，则,a b 的个位数字可以为1或9但个位数为1和9的数的平方数的十位数字为偶数，与22a b +的十位数字为3矛盾。
2013年全国初中数学联合竞赛试题(含答案解析)
三、解答题
11．已知实数 ， ， ， 满足 ，求 的值．
12．已知点 在以 为直径的圆 上，过点 、 作圆 的切线，交于点 ，连 ，若 ，求 的值．
13．已知 是一元二次方程 的一个根，若正整Leabharlann ， ， 使得等式 成立，求 的值．
10．
【详解】
由已知等式得 ，
不妨设 ，则
，
解得 ．
所以 的最大值为 ，当 ， 时取得
11．
【详解】
解：设 ， ，则 ．
因为 ，即 ，所以 …………①
又因为
………………②
由①，②可得 ．即 ．
注：符合条件的实数 ， ， ， 存在且不唯一，
， ， ， 就是一组．
12．
【详解】
解：连 ，因为 ， 为圆 的切线，所以 ．
于是可得 ， ， ，
所以
因此， ， 是关于 的一元二次方程 的两个整数根，
该方程的判别式 ．
又因为 ， 是正整数，所以 ，从而可得 ．
又因为判别式 是一个完全平方数，验证可知，只有 符合要求．
把 代入可得 ．
14．
【详解】
解：因为 ，所以 ．
等式 即 ，
即 ，
整理得 ，
于是可得 ．
因此， ， 是关于 的一元二次方程 ……①的两个整数根，
7．4
【详解】
由 得 ，代入 得 ，所以 ， ， ，从而
8．8
【详解】
只有一个面染红色的小正方体的总数为 个，任何面均不是红色的小正方体的总数为 个，由题意知 ，解得
9．
【详解】
作点 关于 ， 的对称点 ， ，连接 ， ， ， ， ， ，则 ，且 ，作 于点 ．
2013年全国初中数学竞赛试题
2013年全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5个小题，每小题7分，共35分。
每道小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1.设非零实数a 、b 、c 满足⎩⎨⎧=++=++0432032c b a c b a ，则222c b a cabc ab ++++的值为（ ） (A) -21-( B) 0 (C) 21 (D) 1解：由已知得()()032432=++-++=++c b a c b a c b a ，故()02=++c b a ，于是()221c b a ca bc ab ++=++，所以21222-=++++cb a ca bc ab .选A 2.已知a 、b 、c 是实常数，关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 有两个非零实根，则下列关于x 的一元二次方程02=++c bx ax中，以211x ，221x 为两个实根的是（ ）(A) 0)2(2222=+-+a x ac b x c ( B) 0)2(2222=+--a x ac b x c(C)0)2(2222=--+a x ac b x c(D) 0)2(2222=---a x ac b x c解：由于02=++c bx ax是关于x 的一元二次方程，则0≠a .因为ab x x -=+21，acx x =21，且021≠x x ，所以0≠c ，且()2222212122122212211c ac b x x x x x x x x -=-+=+，22222111ca x x =⋅.于是根据方程根与系数的关系，以022222=+--c a x cac b x ，即0)2(2222=+--a x ac b x c . 选B.3、如图，在Rt △ABC 中,已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ,垂足为D ，DE ⊥OC , 垂足为E ，若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD 、OE 、DE ，AC 的长度中，不一定．．．是有理数的为（ ）(A) OD ( B) OE (C) DE (D) AC 解：因为AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，所以，2BDAD OC OB OA +===是有理数，于是，AD OA OD -=是有理数.由DOE ∆Rt ∽COD ∆Rt ，知OCOD OE 2=，OCDO DC DE ⋅=都是有理数，而AB AD AC ⋅=不一定是有理数. 选D.4、如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 上，且BC =4AF ，DCFE 是平行四边形，则图阴影部分(△BDE +△ADE )的面积为（ ）.(A) 3 ( B) 4 (C) 6 (D) 8解：因为DCFE 是平行四边形，所以CFDE //，且DC EF //.连接CE ，因为CF DE //，即BF DE //，所以DEC DEB S S ∆∆=，因此原来阴影部分面积等于ACE ∆的面积. 连接AF ，因为DC EF //，即AC EF //，所以ACF ACES S ∆∆=.因为CF BC 4=，所以ACF ABC S S ∆∆=4. 故阴影部分的面积为6. 选C.5．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：60)1()1(4533*333223-++++++=y x xy y x x y x ，且z y x z y x *)*(**=，则2013*2012*……*3*2的值为（ ）(A)967607 ( B)9671821 (C) 9675463(D)96716389解：设2013*2012*…*4=m ，则()96064133452793333*4**2012*20132323=-+++++⨯+⨯+⨯==m m m m m m m ，于是()96754636031045292932932*92*3**2012*2013333223=-++⨯+⨯⨯+⨯⨯== .选C.二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6.设33=a，b 是2a 的小数部分，则3)2(+b 的值为_____.解：由33=a ，得332293==a ，知3212<<<<a a ，故29232-=-=a b ，因此()()992333==+b .7.如图，点D 、E 分别是△ABC 的边AC 、AB 上的点，直线BD 与CE 交于点F ，已知△CDF ，△BFE ，△BCF 的面积分别是3，4，5则四边形AEFD 的面积是____________.解：连结AF ，则有：354===+=+∆∆∆∆∆∆∆CDF BCF AFD BFE AEF AFD AEF S S FD BF S S S S S ，453===+=+∆∆∆∆∆∆∆BEF BCF AEF CDF AFD AEF AFD S S FE CF S S S S S .解得13108=∆AEFS ，1396=∆AFDS . 8.已知正整数a、b 、c 满足0222=--+c b a ，0832=+-c b a ，则abc 的最大值为___________.解：由已知222=--+c b a ，0832=+-c b a 消去c ，并整理得()666822=++-a a b ，由a 为正整数及a a +26≤66，可得1≤a ≤3.若a =1，则()5982=-b ，无正整数解；若a =2，则()4082=-b ，无正整数解； 若a =3，则()982=-b ，可解得b =11，b =5.（1）当b =11时，则c =61，从而得abc =201361113=⨯⨯；（2）当b =5时，则c =13，从而得abc =1951353=⨯⨯. 综上知abc 的最大值为2013.9.实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程02=++d cx x 的两根为a ，b ，一元二次方程02=++b ax x的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组（a ，b ，c ，d ）为___________. 解：由韦达定理得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=-=+.,,,b cd a dcd ab c b a由上式可知d c a b=--=.若0≠=d b ，则1==dba ，从而2-=--==c a db .若0==d b，则a c -=，有()()0,,0,,,,t t d c b a -=；（t 为任意实数）.经检验，数组（1，－2，1，－2）与()0,,0,t t -（t 为任意实数）满足条件.10.小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元。
-2013天津市初中数学竞赛赛试题
2013天津市初中数学竞赛赛试题所属班级 姓名 一、选择题（每小题7分，满分35分）：1、设实数,,a b c 满足2346c b a a +=-+，244c b a a -=-+，则,,a b c 的大小关系是（ ）. A 、a b c <≤ B 、b a c <≤ C 、b c a <≤ D 、c a b <≤2、设O 为锐角⊿ABC 的外心，连结AO 、BO 、CO ，并分别延长，交对边于点D 、E 、F ，若⊿ABC 的外接圆半径为6，111AD BE CF++的值是（ ）. A 、1 B 、12 C 、13 D 、163、已知20122011a x =+，20122012b x =+，20122013c x =+，那么222a b c ab bc ca ++---的值为（ ）. A 、3 B 、2 C 、1 D 、04、如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线PA 是一次函数y x n =+的图像，与x 轴、y 轴分别交于点A 、Q. 直线PB 是一次函数2y x m =-+的图像，与x 轴交于点B.若AB=2，四边形OBPQ 的面积等于56，则m nm n+-的值为（ ）.A 、1B 、 2C 、 3D 、 45、已知10个彼此不相等的正整数1210,,,a a a 满足条件215a a a =+，326a a a =+，437a a a =+，658a a a =+，769a a a =+，9810a a a =+，则4a 的最小值是（ ）. A 、19 B 、20 C 、21 D 、22二、填空题（每小题7分，满分35分）：6、若110111219a =++++ ，则a 的整数部分为 .7、若关于x 的不等式()250a b x a b -+->的解集为107x <，则关于x 的不等式ax b >的解集为 .8、如图，一钢球从入口处自上而下沿通道自由落下，在每个岔口处向两侧滑落是等可能的，则钢球落入出口乙的概率为 .9.如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，AC 与EF 交于点O ，点M 在线段AO 上，ME 、CD 的延长线相交于点N.若∠MFB= 57︒，则∠FNC 的大小等于 .10.在一张正方形纸片的内部给出了2013个点，连同正方形的4个顶点共有2017个点，按下列规则将这张纸片剪成一些三角形：①每个三角形的顶点都在给出的2017个点中；②每个三角形内部不再有这2017个点中的点.那么，最多可以剪出的三角形的个数是 .三、解答题（每小题20分，满分80分）：11. 已知关于x 的函数()2122y k x kx k =--++的图像与x 轴有交点. ⑴求k 的取值范围；⑵若12,x x 是函数图像与x 轴两个不同交点的横坐标，且满足()212121224k x kx k x x -+++=. ①求k 的值；②请结合图像，确定当2k x k ≤≤+时，函数y 的最大值和最小值.出口丁出口丙出口乙出口甲入口M F OEND C BA12.已知,,a b c 均为正整数，其中c 不是完全平方数，且24a b -== 求a b c ++的值.13. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E、F分别是BC、AD的中点，AC⊥BD，垂足为H.求证：四边形HFOE是平行四边形.14. 如图，已知D为锐角⊿ABC内部的一个点，使得90ADB ACB∠=∠+︒，且AC BD AD BC⋅=⋅.⑴求AB CDAC BD⋅⋅的值.⑵求证：⊿ACD的外接圆和⊿BCD的外接圆在C点切线互相垂直.H OFEDC BADAC。
2013年全国初中数学竞赛考试试题参考答案
2013年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题：（每题7分，共35分）1.】 2222222(234)(23)0.1()0().21.().2a b c a b c a b c a b c ab bc ca a b c ab bc ca A a b c ++=++-++=++=++=-++++=-++由已知可得，因此，，则：故，选12121212222121222222222121212222222122222000.11()22111120.(2)0.().x x x b c a x x x x x x c a ax x x x b ac a x x x x c x x cb ac a x x x x c cc x b ac x a B ≠+=-=≠≠+--+==⋅=--+=--+=由于关于的二次方程有两个非零实根、，则：，且，；且，从而又，因此，以、为实根的一元二次方程为：即，故，选 3. Rt ABC O AB CD AB AB D DE OC ∆⊥⊥如图，在中，为斜边中点，交于点，交.OC E AD DB CD ODOE DE AC 于点若、和的长度为有理数，则：线段、、和的长度中，不一定为有理数的是 【 】()()()().A OD B OE C DE D AC ；；；221().2...().AD DB CD OA OB OC AD DB OD OA DA OD OD DC OE DE OC OCAC AD AB AC D ===+=-⋅===⋅=由于、和为有理数，则：为有理数也是有理数又也是有理数；也是有理数而，则：故，选4. 24ABC D AC F BC ∆如图，已知的面积为，点在线段上，点在线段延长线上，4BC CF DCEF=且，四边形为平行四边形，则：图中阴影部分面积为 【 】()3()4()6()8.A B C D ；；；12121212121()2()2()424.26.().ADE BDE ABC S S S ADE BDE DE h h DE AB h h ABC BC S BC h h CF h h DE h h S S C ∆∆∆=+∆∆+∆=⋅+=⋅+=⋅+===图中阴影部分面积，设、中，底边上的高分别为、；由于，因此，为底边上的高.又因此，阴影部分的面积故，选 5. 2012**3*2的值为()C ()()323232233320132012433392745201320124339331646039239292455463201320123292.10360967m mm m m mm m ***=⨯+⨯+⨯+****=*==++++-⨯⨯+⨯⨯+⨯+****=*==+-设，则：，因此， 二、填空题：（每题7分，共35分）6. 2232322(2)9.a b ab b <=<=-⇒+=+=由于，因此， 7. 3FCD D E ABC AC AB BD CE F S ∆∆=如图，、分别是的边、上的点，、交于点，若，45________F B E F B C S S A E F D ∆∆==，，则：四边形的面积为312.551235.12454586412864204..65565134=FDE FCD FDE FEB FFBC ADE ACE ADE DEB BBCE AEFD AEF AEF BFE BCF AFD AFD S S DE S S S x S AE S x S x S EB S x S S S S BF S AF S S FD S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆==⇒=++====++==+=++==四边形【方法一】：连接，则：记，则：，即：因此，则：【方法二】：连接，则：5.33510896.41313204.13CDF AFD AFD CDF BCF AEF AFD AEF AEF BEF S S S CF S S S S S FE S AEFD ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆=++====⇒==，因此，四边形的面积为 8. 22220380.a b c a b c a b c +--=-+=已知正整数、、满足：，则：__________.abc 的最大值为 2222222212(1)220380(8)666666.1 3.(2)1(8)592(8)403(8)9511.351331161.311a b c a b c c b a a a a a a a b a b a b b b a b c a b c abc +--=-+=-++=⇒+≤≤≤=-==-==-=========⨯从，两式中消去可得：又为正整数，则，当时，，没有正整数解；当时，，没有正整数解；当时，，则：，而，当，时，；当，时，因此，的最大值为132013.⨯=9. 2200a b c d x cx d a b x ax b ++=++=实数、、、满足：方程的两根为、；方程()___________.a b a b c d =的两根为、，则满足条件的所有，，，..(1)0(2)01 2.()(1212)(00).a b c ab d b d c d a cd b b d a c b d a c b d a b c d k k +=-=⎧=⎨+=-=⎩===-=≠====-=---，根据题意可得，由此可得，，当时，；当时，，且因此，满足条件的所有，，，，，，或，，，10. 小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了 支圆珠笔．min 472013.350201371(5032).144420134()343503204.207141.x y x y x y y y x y y x y y y y y x +=⎧⎨+<⎩-+==-+⇒+=++<⨯+⇒>==设小明卖出铅笔与圆珠笔分别为支和支，则：因此，为的倍数.而，因此，；此时。