长沙市初中数学竞赛(复赛)试题_6

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2015年长沙市学用杯初中数学九年级复赛试题答案

2015年《中学生理化报》课外读书活动长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛复赛试题参考解答一、选择题（每题7分）1．选D ．理由：由于图象过点（－1，0）、（0，－1），则有10.c a b c =-⎧⎨-+=⎩，从而1a b c b =-=+，即知112s a b c b b b =++=++-=.又由题设条件知图象开口向上，有0a >且02ab->，即得20b <.由1b a =-及0a >推知1b >-.故22b >-.有20s -<<. 2．选B ．理由：由边长分别为a ，c 的正方形上方的两个小直角形相似有b a ac b c-=-，即()()b a b c ac --=，化简得b a c =+. 3．选B ．理由：由题设知9<15<16，从而<4的整数部分为3，于3b =+，即15=9+6b +b 2，亦即b +6b=6.又432432222220()20))2022123762636)(6(6(6b b b b b b b b b b b b b -=-=-=++++++++++ .4．选A ．理由：由P 3+3为质数，可知P 为偶数，又P 为质数，则P =2. 从而P 17+33=217+33=（24）4×2+33.因（24）4的末位数为6，则217的末位数为2，因此P 17+33的末位数为5.5．选D ．理由：如右图，均联结两个直角三角形的锐角顶点. 均考虑四边形ADBC 的面积. 图（1）S 四边形ADBC 211=22ABC ABD S S ab c ∆∆+=+ 又S 四边形ADBC ＝S 梯形BCED －S △AED 211()22a b ab =+- 由221111()2222ab c a b ab +=+-有222a b c +=图（2）S 四边形ADCB 211=22ADC ACB S S b ab ∆∆+=+又S 四边形ADCB ＝S △ADB +S △DCB 211()22c a b a =+-由221111()2222b abc a b a +=+-有222a b c +=图（3）S 四边形ACBD 211=22ACB ABC S S ab c ∆∆+=+又S 四边形ACBD ＝ACB S ∆+ABE S ∆+AED S ∆－BDE S ∆21111()2222ab b ab a b a =++-- 由上即有222a b c +=.此图（3）也可以考虑四边形ABED 的面积.二、填空题6．填2015．理由：由两个条件有2()20150a a c d cd ++++=，2()20150b b c d cd ++++=，知a ，b 是关于x 的方程2()20150x c d x cd ++++=的两个不同的根，由韦达定理，有()a b c d +=-+，2015ab cd =+.因此2()()()a c b c c c a b ab ++=+++[]2()20152015c c c d cd =+-+++=．7．填5．理由：如图，延长AD 、BC 交于点E ，则△ABE 为正三角形．设AB ＝x ，则DE =x －3，CE =x －1， ∠DEF ＝60°．作DF ⊥CE 于点F ，则∠EDF ＝30°，从而11(3)22EF DE x ==-111(3)(1)22CF CE EF x x x =-=---=+．由勾股定理，有2222DE EF DC CF -=-即22231(3)()12()22x x x -+-+=-，解得5x =．8．填15．理由：能解组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54共20个，其中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54共8个，又是偶数的则只有4个：12，24，42，54．故所求概率为41205=．9．填1911008．理由：由题设条件有1115ab+=，1116ac+=，1117bc+=，三式相加有11124abc++=，于是由此式分别减去前三式可得17a =，18b =，19c =．因33322213()()()()2a b c abc a b c a b b c c a ⎡⎤++-=++-+-+-⎣⎦，从而333222311111191()()()()()227891008a b c abc a b c a b b c c a ++-=++=++=-+-+-．10．填50︒．理由：如图，作P F B D ⊥于点F ，作PG AC ⊥于点G ，作PE AB ⊥于点E ，则PE PF PG ==，从而P 也在∠EAG 的平分线上.由11()4022BPC PCF PBC ACF ABC BAC ∠=∠-∠=∠-∠=∠=︒，得∠BAC ＝80°．于是100EAC ∠=︒，故50CAP ∠=︒．三、解答题1211．（1）由二次函数过点（1，1）得 22n m =． ………2分注意到2211(4)(4)(28)(4)(2)222n m n n n n n n -+=-+=--=-+………4分所以 22242n n p n ⎧≤-≥⎪=⎨⎪+-<<⎩当或n 4当n 4 ………8分再利用图象知，当n =－2时，min 2p =． ………10分（2）设图象与坐标轴的三个不同交点为212(0),(0),(0)A x B x C n -，，， ………12分又212x x n =-，若0n =，则与三交点不符，故2120x x n =-<，所以12,x x 分别在原点左右两侧. ………16分又2121x x n = ，所以，存在点0(0,1)P 使得0OA OB OP OC = . ………18分故A 、B 、C 、P 0四点共圆.即这些圆必过定点0(0,1)P ． ………20分12．由题设得，3194acb bac bca cab cba ++++=. ………2分两边加上abc 得222()3194a b c abc ++=+ ………4分则222()2221486a b c abc ++=⨯++ ………6分即知86abc +是222的倍数，且14a b c ++> ………10分设86222abc k +=，因abc 是三位数，依次取k =1，2，3，4，分别得出abc 的可能值为136，358，580，802． ………18分注意到14a b c ++>，知abc 为358． ………20分13．如右图所示，在凸六边形中有两类对角线：一类是“长对角线”，它们连接两个相对顶点如A 2A 5；另一类是“短对角线”，它们连接两个间隔一顶点的顶点如A 1A 3、A 2A 6、A 2A 4等． ………5分如果仅作长对角线，题中所要求的性质不能满足，因此，在所作的对角线中一定要有短对角线 ………10分但是，一旦作了某条短对角线，如图A 1A 3，那么，它只能与由A 2所引出的三条对角线在形内相交．因此，此时就要作短对角线A 2A 4和长对角线A 2A 5；………15分再对短对角线A 2A 4作类似的考虑，发现又要作短对角线A 3A 5和长对角线A 3A 6；继续这种下去，就会发现，所有的对角线都需要作出．此时，显然不能满足题目要求．………20分14．如右图，（1）连接AI 、IE ，则IE AE ⊥. ………2分且1902AEF DEC C ∠=∠=︒-∠，以及11180180(90)9022AIF AIB C C ∠=︒-∠=︒-︒+∠=︒-∠．………8分从而AEF AIF ∠=∠．故A 、I 、E 、F 四点共圆． ………10分（2）连接AF ，由A 、I 、E 、F 四点共圆，知90AFI AEI ∠=∠=︒．即知△ABF 为直角三角形．………12分设直线FN 交AB 于点M ，由MF ∥BC ，知MFB FBC FBM ∠=∠=∠，从而△MBF 为等腰三角形，………14分即MF =MB ．由ABF ∠与BAF ∠互余，MFB ∠与MFA ∠互余， ………16分则MFA MAF ∠=∠，有MF =MA ．即知M 为AB 的中点，从而N 为AC 的中点． ………18分故:1AN NC = ………20分FBD。

2024年湖南省长沙市部分学校初中学业水平联考数学试题

2024年湖南省长沙市部分学校初中学业水平联考数学试题一、单选题112-， 9，3.14，其中比0小的数是（） AB ．12-C ．9D ．3．14 2．“科技改变世界”．下列与科技最前沿相关的图形中，只是中心对称图形的是（） A ． B ． C ．D ．3．长沙市因地制宜，大力发展新质生产力，眼下长沙跻身“数字经济新一线城市”，数字经济总量达450000000000元，数据450000000000用科学记数法表示为（） A ．120.4510⨯ B ．114.510⨯ C ．104510⨯ D ．104.510⨯ 4．下列计算正确的是（）A ．23a b ab +=B ．()3263a b a b -=C ．()1a b ab a -=-D ．222=- 5．若3，6，x 是某三角形的三边长，则x 可取的最大整数为（）A ．10B ．9C ．8D ．76．下列事件是必然事件的是（）A ．任画一个凸多边形，其外角和是360︒B ．在乒乓球比赛中，世界排名第一的运动员一定打赢排名第二的运动员C ．圆柱无论怎样摆放，它的三视图都是矩形D ．若 a 是实数，则a a >7．如图，直线AB CD ∥，点G 是直线CD 上一点，射线GE ，GF 分别交直线AB 于点H ，N ，若156∠=︒，270∠=︒，则EGF ∠的度数为（）A ．50︒B ．54︒C ．58︒D ．62︒8．如图，AC 是O e 的直径，BC 与O e 相切于点C ，AB 交O e 于点D ，连接OD ，若84COD ∠=︒，则ABC ∠的度数为（）A ．46︒B ．48︒C ．50︒D ．52︒9．龙年春晚的扑克牌魔术激发了小明的兴趣．他抽取了一副扑克牌中的四张：黑桃3，红桃5，梅花7，方片10（黑桃和梅花是黑色，红桃和方片是红色），他将这四张扑克牌充分洗匀，再随机抽取2张，则他抽到的两张扑克牌颜色不同的概率是（）A ．23B ．13C ．14 D ．1610．如图是一张三角形纸片，其中1012AB AC BC ===，，按如下步骤折纸：第一步：将该纸片对折，点B 与点C 重合，折痕为AD ；第二步：展开后，再将该纸片折叠；折痕为BE ，点A 的对称点A '恰好落在AC 上根据以上折纸过程，可以求出折痕BE 的长度为（）A ．10B ．9.8C ．9.7D ．9.6二、填空题11．分解因式：3x 9x -=.12．方程组x y 3{x y 1+=-=的解是．13．安全教育是素质教育的重要内容之一，为增强学生的安全意识，提升学生自我保护能力，某校对学生进行了“中小学生安全知识100条”的讲座和实践活动，为检验学习效果，对学生进行了安全知识测试，并随机抽取了8位学生成绩如下（满分：100分）：98，85，90，88，92，95，82，90，则这一组数据的众数是．14．如图，在Rt PQR △中，90PQR ∠=︒，43PQ RQ ==，，将Rt PQR △绕直线PQ 旋转一周，会得到一个几何体，则这个几何体的侧面积等于．（结果保留π）15．已知一次函数()0y ax a =≠的图象如图所示，则反比例函数a y x=的图象经过第象限．16．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，点M ，N 分别在边AB ，DC 上，且EF MN ⊥，垂足为点O ，若线段EF 恰好平分正方形ABCD 的面积，1AE =，则22EF MN +=．三、解答题17．计算： 101tan 60202452π-⎛⎫⎛⎫+-︒++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 18．先化简，后求值：2211121x x x x ⎛⎫+÷ ⎪--+⎝⎭，其中100x =． 19．如图，四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 平分BCD ∠，过点A 作AF CD ⊥交其延长线于点F ，过点F 作FE BC ⊥于点E ．(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)若60BCD ∠=︒，12AD =，求FE 的值．20．为进一步提高义务教育质量，提升学生的信息素养，湖南中考于2026年将信息科技科目纳入中考范围，2023年入学的七年级新生将于2025年参加信息科技的中考，为了解学生的信息科技课程学习情况，更好地促进课程学习，长沙某校于2023年期末对全校七年级学生进行了信息科技上机测试．学校将测试成绩（满分：100分），收集、整理分组，记得分为x 分，并制作了如下不完整的统计图表．根据上面信息，回答下列问题：(1)该校七年级总人数为____人；a =____；b =____；(2)将频数分布直方图补充完整；(3)若将上述表格转化为扇形统计图，则C 组学生所对应扇形的圆心角的度数为____︒．21．如图，在ABCV中，O是AB边的中点，D是CO上一点，AE∥BD交CO的延长线于点E．(1)求证：AE BD=；(2)若90ACB∠=︒，BDO CAO∠=∠，6AC=，求BD的长．22．为响应国家关于推动各级各类生产设备、服务设备更新和技术改造的号召，某公司计划将办公电脑全部更新为国产某品牌，市场调研发现，A品牌的电脑单价比B品牌电脑的单价少1000元，通过预算得知，用30万元购买A品牌电脑比购买B品牌电脑多10台．(1)试求A，B两种品牌电脑的单价分别是多少元；(2)该公司计划购买A，B两种品牌的电脑一共40台，且购买B品牌电脑的数量不少于A品牌电脑的35，试求出该公司费用最少的购买方案．23．根据以下实践活动项目提供的材料，完成相关任务．【活动主题】怎样确定隧道口车辆通过限行高度？【活动过程】素材1：长沙附近有一条两车道隧道，隧道口有4.5m限高标志，如图1，表示车辆顶部最高处到地面的距离不超过4.5m，否则禁止通行．素材2：李明通过实地测量和查阅有关资料，获得以下信息，如图2：①隧道口上部是一个半圆，下部是一个矩形，矩形的长和半圆的直径相等②矩形的长为10m，高为2m，车道两侧各有1m人行道；③设计部门要求车辆顶部（约定为平顶）与隧道圆拱内部在竖直方向至少有mh的距离．【问题解决】(1)试求隧道口上半圆中点E到路面AB的距离EF；(2)求h 的最小值．24．我们不妨约定：如果抛物线的顶点在直线y x =上，那么我们把这样的抛物线叫做“星链抛物线”．根据约定，解答下列问题：(1)试判断下列抛物线是否为“星链抛物线”，若是，请在括号内画“√”；若不是，请在括号内画“⨯”．①2y x =（）；②221y x x =-+（）；③()2y x h h =--+（）．(2)如图，已知“星链抛物线”()21y x k =--+的顶点为点A ，将该抛物线沿直线y x =向上平移，使点A ，和点B 重合，两条“星链抛物线”的交点为点C ，设点B ，点C 的横坐标分别为m ，(1)n m >．①若AB =②在平移过程中，若45ACB ∠=︒，试求mn 的值．25．如图，过O e 上的动点D 作O e 的切线AD ，在O e 上取点B （异于点D ），使得AB AD =，弦CD AB ∥，连接AC 交O e 于点F ，连接DF 并延长，交AB 于点E ，连接BC ．(1)求证：AB 是O e 的切线；(2)记AEF V ，ADF V ；DCF V 的面积分别为1S ，2S ，3S ，当123S S S +=时，求AF CF的值； (3)设O e 的半径为R ，当DE CB ∥时，求四边形BCDE 的面积．（用含R 的式子表示）。

湖南省长沙市八年级数学竞赛试卷

湖南省长沙市八年级数学竞赛试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2015四下·宜兴期末) 不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是（）A . m＜1B . m≥1C . m≤1D . m＞12. （2分）化简为（）A .B .C .D .3. （2分）(2018·天津) 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A .B .C .D .4. （2分）如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示 -3的相反数的点是（）A . 点AB . 点BC . 点CD . 点D5. （2分）平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交点O，与△OBC面积相等的三角形（不包括自身）的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 46. （2分） (2015九上·丛台期末) 已知关于x的方程ax2+bx+c=0（a＞0，b＞0）有两个不相等的实数根，则抛物线y=ax2+bx+c的顶点在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限7. （2分）(2016·西城模拟) 下列各式中计算正确的是（）A . x2•x4=x6B . 2m﹣（n+1）=2m﹣n+1C . x5+2x5=3x10D . （2a）3=2a38. （2分） (2016九上·思茅期中) 一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况为（）A . 只有一个实数根B . 有两个不相等的实数根C . 有两个相等的实数根D . 没有实数根9. （2分） (2019七下·丹阳月考) 如图，三角形内的线段相交于点 ,已知 ,.若的面积=2，则四边形的面积等于（）A . 4B . 5C . 6D . 710. （2分）(2020·黑山模拟) 如图，数轴上点A，B分别对应实数1，2，过点B作，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点C，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的实数的平方是（）A . 2B . 5C .D .二、填空题 (共10题；共15分)11. （1分） (2016九上·江津期中) 方程x2﹣6x+9=0的解是________．12. （1分） (2017七下·简阳期中) 若，则代数式 =________；13. （5分） (2020七下·深圳期中) 完成下列证明如图，已知∠B＋∠BCD = 180°，∠B＝∠D，求证：∠E = ∠DFE。

2016年长沙市学用杯初二竞赛复赛试题详解

2016年《中学生理化报》课外读书活动长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛八年级复赛试题详解一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.已知7115P m =-，2815Q m m =-（m 为任意实数），则P 、Q 的大小关系为（）. A 、P ＜Q B 、P ＞Q C 、P ＝Q D 、不能确定解：∵28711515Q P m m m ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21m m =-+21324m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭≥34＞0， ∴Q ＞P ，即P ＜Q ，故选A.2.已知()7237012371x a a x a x a x a x -=++++⋅⋅⋅+，则1357a a a a +++＝（）.A 、16B 、32C 、64D 、128解：令x ＝1，得012345670a a a a a a a a +++++++=…………① 令x ＝－1，得01234567128a a a a a a a a -+-+-+-=-………②①－②得：135********a a a a +++=，∴135764a a a a +++=，故选C.3.已知有理数a 、b 、c 满足关系式()21404a abc -++-=，则()2017533a b c +-的末位数字为（）.A 、2B 、4C 、6D 、8解：易知a ＝4，b －c ＝－4，从而()53353a b c a b c +-=+-＝()5434⨯+⨯-＝8 而20178的个位数字与18的个位数字相同，故()2017533a b c +-末位数字为8，所以选D.4.平面上有6个点，其中仅有三个在同一条直线上，过每两个点作一条直线，则一共可以作出的直线的条数为（）.A 、9B 、12C 、13D 、15 解：如果6个点中任意三点都不共线，那么一共可以作出的直线有5＋4＋3＋2＋1＝15（条），现其中仅有三点共线，那么一共可以作出的直线的条数为15－3＋1＝12（条），故选C.5.如果一个三角形的面积与周长都被一条直线平分，那么该直线必通过三角形的（）. A 、内心 B 、外心 C 、重心 D 、垂心解：如图，设直线DE 平分△ABC 的周长和面积，D ，E 分别在边AB 和AC 上，作∠A 的平分线交DE 于P ，记P 到AB ，AC 的距离为r ，P 到BC 的距离为1r ，于是依题意有()()1222AD AE BD BC CE r r rAD AE BD CE BC +=++⎧⎪⎨+=++⎪⎩ 由此容易解得1r r =，即P 到△ABC 三边的距离相等，所以P 是△ABC的内心.故选A.rr1r P E DA6.如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连接AO.如果AB ＝4，AO＝，那么AC 的长为（）. A、 B、 C 、12 D 、16解：如图，在CA 上截取CM ＝AB ＝4，连接OM ，设OB 与AC 的交点N.∵∠ABO ＝90°－∠ANB ，∠MCO ＝90°－∠CNO 又∵∠ANB ＝∠CNO∴∠ABO ＝∠MCO ，又AB ＝MC ，BO ＝CO ，故△ABO ≌△MCO ，∴AO ＝MO ，∠AOB ＝∠MOC ， ∵∠BOM ＋∠MOC ＝∠BOC ＝90°，∴∠BOM ＋∠AOB ＝90°，即∠AOM ＝90°，故△AOM是腰长为等腰直角三角形，由勾股定理可得其斜边AM ＝12， ∴AC ＝AM ＋MC ＝12＋4＝16，故选D.7.D 是△ABC 的BC 边延长线上一点，且CD ＝BC ，E 为AC 的中点，DE 的延长线交AB 于点F ，则DE ︰EF 等于（）.A 、2︰1B 、2︰3C 、3︰1D 、3︰2 解：如图，过点C 作CG ∥AB 交ED 于点G.由E 是AC 中点易证△AEF ≌△CEG ，从而EF ＝EG. ∵CG ∥AB ，且C 为BD 的中点， ∴G 为FD 的中点，∴GD ＝GF ＝2EF ，从而DE ＝GD ＋EG ＝2EF ＋EF ＝3EF ， ∴DE ︰EF ＝3︰1.故选C.8.如图，O 为坐标原点，四边形OABC 为矩形，A （10，0），C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标不可能是（）. A 、（8，4） B 、（7，4） C 、（3，4） D 、（2，4）解：易知OA＝10，OC ＝4，点P 的纵坐标为4.因为D 为OA 的中点，故OD ＝5.∵△ODP 是腰长为5的等腰三角形， ∴OD 是等腰△ODP 的一条腰.①当OP ＝OD ＝5时，如图1，由于OC ＝4，因此由勾股定理得CP ＝3， ∴此时点P 的坐标为（3，4）；②当PD ＝OD ＝5时，如图2，过点D 作DE ⊥BC 于E ，则DE ＝OC ＝4，从而由勾股定理得PE ＝3，又易知CE ＝OD ＝5，所以CP ＝5－3＝2，此时点P 的坐标为（2，4），显然，点P 关于点E 的对称点P 1也符合题意，其坐标为（8，4）. 综上只有点（7，4）不可能，故选B.9.定义()[],,a b a b a b *=⨯，其中(),a b 表示a ，b 的最大公约数，[],a b 表示a ，b 的最小公倍数，则()()2468***的值为（）.第7题第6题F E A O F EDC B A N MOFE BAGFE DCBA图2A 、383B 、384C 、385D 、400 解：由“*”的定义可得24248*=⨯=，6822448*=⨯=， ∴()()2468***＝848*＝848⨯＝384，故选B.10.甲、乙、丙三个学生分别在A 、B 、C 三所大学学习数学、物理、化学中的一个专业，若①甲不在A 校学习；②乙不在B 校学习；③在B 校学习的学数学；④在A 校学习的不学化学；⑤乙不学物理.则（）.A 、甲在B 校学习，丙在A 校学习 B 、甲在B 校学习，丙在C 校学习 C 、甲在C 校学习，丙在B 校学习D 、甲在C 校学习，丙在A 校学习解：∵在B 校学习的学数学，在A 校学习的不学化学，∴在A 校学习的必然学物理，从而在C 校学习的必然学化学，又∵乙不学物理，且乙不在B 校学习，∴乙必然在C 校学习，又甲不在A 校学习， ∴甲在B 校学习，丙在A 校学习，故选A.二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11.已知0a b c ++=，则代数式111111a b c b c c a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为. 解：答案为－3.∵0a b c ++=，∴a b c +=-，b c a +=-，c a b +=-，∴111111a b c b c c a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝()()()a c b b a c c b a bc ca ab +++++＝()()()222a c b b a c c b a abc+++++＝222222a c a b b a b c c b c aabc+++++＝()()()222222a c c a a b b a b c c babc+++++＝()()()ac a c ab a b bc b c abc+++++＝()()()ac b ab c bc a abc-+-+-＝3abcabc-＝－3.12.已知2310x x -+=，则331x x+的值为. 解：答案为18.显然x ≠0，把方程两边同时除以x 得：13x x -+，从而13x x+=. ∴219x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即22129x x ++=，故2217x x +=，∴32321111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝3（7－1）＝18.13.已知关于x ，y 的方程组34517843x y m x y m +=-⎧⎨-=+⎩的解满足42x y -=，则m ＝.解：答案为－1.解方程组34517843x y m x y m +=-⎧⎨-=+⎩得14113m x +=，代入3451x y m +=-，得()314123164513511313m m y m x m +-=--=--=，∵42x y -=，∴14113m +－231613m -＝2，解得m ＝－1.14.如图，D 为等边△ABC 内一点，DB ＝DA ，BE ＝AB ，∠DBE ＝∠DBC ，则∠BED ＝. 解：答案为30°.由AD ＝BD ，AC ＝BC ，CD ＝CD ，得△ACD ≌△BCD ，所以∠ACD ＝∠BCD.因为∠ACD ＋∠BCD ＝∠ACB ＝60°，所以∠ACD ＝∠BCD ＝30°. ∵BE ＝AB ，而AB ＝BC ，∴BE ＝BC ，又∠DBE ＝∠DBC ，BD ＝BD ， ∴△DBE ≌△DBC ，从而∠BED ＝∠BCD ＝30°.15.如图，矩形ABCD 的面积为24，点E 、F 分别是边AB 、BC 的中点，连AF 、CE ，设AF 、CE 交于点G ，则四边形BEGF 的面积为. 解：答案为4.连接BG . S △ABF ＝12AB ·BF ＝12AB ·BC ＝14AB ·BC ＝14⨯24＝6，同理S △BCE ＝6.∵E 、F 分别为AB 、BC 的中点， ∴S △AGE ＝S △BGE ，S △CGF ＝S △BGF .设S △AGE ＝S △BGE ＝x ，S △CGF ＝S △BGF ＝y ，则有下面的方程组：2626x y x y +=⎧⎨+=⎩， ∴()()2212x y x y +++=，故4x y +=，即S 四边形BEGF ＝4x y +=.CB AE Dy xy xC BAG F ED16.如图，两直线分别表示一个正比例函数和一个一次函数的图象，它们交于点A （4，3），一次函数的图象与y 轴交于点B ，且OA ＝OB ，则这两条直线与x 轴围成的△AOC 的面积为. 解：答案为154. 过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，由A （4，3）得AD ＝3，OD ＝4，故在Rt △AOD 中由勾股定理得OA ＝5，从而OB ＝OA ＝5，所以点 B 的坐标为（0，－5）.设一次函数的解析式为y kx b =+，将A 、B 两点坐标分别代入，得：345k bb=+⎧⎨-=⎩，解得2k =，b ＝－5，∴一次函数的解析式为25y x =-.令y ＝0，可得x ＝52，即C 点坐标为（52，0），所以OC ＝52.∴S △AOC ＝12⨯OC ⨯AD ＝12⨯52⨯3＝154.17.有一个六位数，它的个位数字是6，如果把6移至最高位，那么所得到的六位数是原六位数的4倍，则这个六位数是. 解：答案为153846.设原六位数去掉个位数字之后得到的五位数为x ，则这个六位数可以表示为10x ＋6，而新的六位数则可以表示为600000＋x ，根据题意得： 600000＋x ＝4（10x ＋6）解得x ＝15384.故所求六位数为153846.18.已知函数1222y x x x =-+++（－1≤x ≤2），则y 的最大值与最小值之差为. 解：答案为1. ∵－1≤x ≤2，∴x －2＜0，x ＋2＞0.∴()()()()()()()()1122 4 101222211222 4 0222x x x x x y x x x x x x x x ⎧-+-++=-+-≤≤⎪⎪=-+++=⎨⎪-+++=+≤≤⎪⎩，显然，当x ＝2时，y 有最大值为5，当x ＝0时，y 有最小值为4.∴y 的最大值与最小值的差为5－4＝1.三、解答题（本大题共4小题，每小题12分，共48分）G第16题第15题第14题DB FEC A ED C BA19.小刚为书房买灯，现有两种灯可供选择，其中一种是9瓦（即0.009千瓦）的节能灯，售价49元/盏，另一种是40瓦（即0.04千瓦）的白炽灯，售价为18元/盏.假设两种灯的照明亮度一样，使用寿命都可以达到2800小时，已知小刚家所在地的电价是0.5元/千瓦·时. （1）设照明时间为x小时，请用含x的代数式分别表示用一盏节能灯和用一盏白炽灯的费用；（注：费用＝灯的售价＋电费）（2）小刚想在这两种灯中选购一盏.①当照明时间是多少时，使用两种灯的费用一样多？②当照明时间在什么范围内，选用白炽灯费用低；照明时间在什么范围内，选用节能灯费用低？（3）小刚想在这两种灯中选购两盏.假定照明时间是3000小时，请你帮他设计费用最低的选灯方案，并说明理由.解：（1）用一盏节能灯的费用是：（49＋0.0045x）元；用一盏白炽灯的费用是：（18＋0.02x）元.（2）①由题意，得：49＋0.0045x＝18＋0.02x解得x＝2000∴当照明时间为2000小时时，两种灯的费用一样多.②当白炽灯费用低时，有49＋0.0045x＞18＋0.02x∴x＜2000当节能灯费用低时有49＋0.0045x＜18＋0.02x∴x＞2000∴当照明时间小于2000小时时，选用白炽灯费用低，当照明时间大于2000小时且不超过2800小时时，选用节能灯费用低.（3）分下列三种情况讨论：①如果选用两盏节能灯，则费用是：98＋0.0045⨯3000＝111.5（元），②如果选用两盏白炽灯，则费用是：36＋0.02⨯30000＝96（元），③如果选用一盏节能灯和一盏白炽灯，由（2）可知，当照明时间大于2000小时时，用节能灯比用白炽灯费用低，所以节能灯用足2800小时，白炽灯用200小时，总费用为：67＋0.0045⨯2800＋0.02⨯200＝83.6（元）.∵83.6＜96＜111.5∴选用一盏节能灯、一盏白炽灯，且节能灯用2800小时，白炽灯用200小时，可使总费用最低.20.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，点M、N分别是边AC、BC的中点，点D 在射线BM 上，且BD ＝2BM ，点E 在射线NA 上，且NE ＝2NA.求证：BD ⊥DE.证明：连接CD ，由题意可知AC 与BD 互相平分，所以四边形ABCD 是平行四边形. ∴AD ∥BC ，AD ＝BC. ∴∠1＝∠2，∠4＝∠5.∵AC ＝BC ，M 、N 分别是AC 、BC 的中点，∴CN ＝CM ，又∠C ＝∠C ，∴△BCM ≌△ACN.∴∠2＝∠3，从而∠1＝∠3. 取AD 中点F ，连接EF.则由AD ＝BC 可得AF ＝NC. ∵NE ＝2NA ， ∴AE ＝NA ，又∠4＝∠5， ∴△AFE ≌△NCA.∴∠AFE ＝∠NCA ＝90°，从而EF 是AD 的垂直平分线. ∴AE ＝DE ，故∠4＝∠6.在Rt △ACN 中，∠3＋∠5＝90°，∴∠3＋∠4＝90°. ∵∠1＝∠3，∠6＝∠4， ∴∠1＋∠6＝90°，即∠BDE ＝90°.∴BD ⊥DE.21.如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），点D 是线M A EDC B 654321N M FEDC B A段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线12y x b =-+交折线OAB 于点E. （1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形O 1A 1B 1C 1，试探究四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由.解：（1）易知点B 的坐标是（3，1）.若直线12y x b =-+经过点A ，则32b =；若直线12y x b =-+经过点B ，52b =；若直线12y x b =-+经过点C ，1b =.①点E 在OA 上时，1＜b ≤32，如图1，此时点E 的坐标为（2b ，0）.∴S ＝12OE ⨯CO ＝12⨯2b ⨯1＝b ；②当点E 在AB 上时，32＜b ＜52，如图2，此时点E 的坐标为（3，32b -），点D 的坐标为（22b -，1）.∴S ＝S 矩形OABC －S △OCD －S △OAE －S △BDE ＝()()11315322135222222b b b b ⎛⎫⎛⎫--⨯-⨯---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝252b b -. 综上，2312535222b b S b b b ⎧⎛⎫<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-<<⎪⎪⎝⎭⎩.（2）如图3，设O1A1与CB 相交于点M ，C1B1与OA 相交于点N ，则两个矩形重叠部分面积就是四边形DNEM 的面积.显然，四边形DNEM 是平行四边形.又由对称知，∠MED ＝∠NED ，而∠MDE ＝∠NED ， ∴∠MED ＝∠MDE ，∴MD ＝ME ， ∴四边形DNEM 是菱形，设其边长为a .过点D 作DH ⊥OA 于H ，由题意可知D （22b -，1），E （2b ，0）. ∴DH ＝1，HE ＝OE －OH ＝2b －（2b －2）＝2. ∴HN ＝HE －NE ＝2－a .在Rt △DHN 中，由勾股定理得：DH 2＋HN 2＝DN 2， ∴12＋（2－a ）2＝a 2，解得54a =. ∴S 菱形DNEM ＝NE ⨯DH ＝54⨯1＝54. ∴矩形OABC 与四边形O 1A 1B 1C 1重叠部分面积不变，始终为5422.已知a ，b ，c ，d 均为正整数，且54a b =，32c d =，19c a -=，求d b -的值.1图3解：∵54a b =，32c d =，∴a 为四次方数，c 为平方数.设2c m =，4a n =，其中m 、n 都是正整数. 则24c a m n -=-＝19，即()()22m n m n +-＝19.∵19＞0，2m n +＞0， ∴2m n -＞0. ∵19是质数，∴19＝19⨯1，而又显然有2m n +＞2m n -，∴22191m n m n ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得10m =，3n =.∴23d c =＝()3210＝()2310，∴3101000d ==； 45b a =＝()543＝()453，∴53343b ==.∴1000243757d b -=-=.。

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长沙市学用杯初二竞赛复赛试题详解精选文档 TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8-2016年《中学生理化报》课外读书活动长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛八年级复赛试题详解一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.已知7115P m =-，2815Q m m =-（m 为任意实数），则P 、Q 的大小关系为（）.A 、P ＜QB 、P ＞QC 、P ＝QD 、不能确定解：∵28711515Q P m m m ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21m m =-+21324m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭≥34＞0，∴Q ＞P ，即P ＜Q ，故选A.2.已知()7237012371x a a x a x a x a x -=++++⋅⋅⋅+，则1357a a a a +++＝（）.A 、16B 、32C 、64D 、128解：令x ＝1，得012345670a a a a a a a a +++++++=…………① 令x ＝－1，得01234567128a a a a a a a a -+-+-+-=-………②①－②得：135********a a a a +++=，∴135764a a a a +++=，故选C.3.已知有理数a 、b 、c 满足关系式()21404a abc -++-=，则()2017533a b c +-的末位数字为（）.A 、2B 、4C 、6D 、8解：易知a ＝4，b －c ＝－4，从而()53353a b c a b c +-=+-＝()5434⨯+⨯-＝8 而20178的个位数字与18的个位数字相同，故()2017533a b c +-末位数字为8，所以选D.4.平面上有6个点，其中仅有三个在同一条直线上，过每两个点作一条直线，则一共可以作出的直线的条数为（）. A 、9 B 、12 C 、13 D 、15解：如果6个点中任意三点都不共线，那么一共可以作出的直线有5＋4＋3＋2＋1＝15（条），现其中仅有三点共线，那么一共可以作出的直线的条数为15－3＋1＝12（条），故选C.5.如果一个三角形的面积与周长都被一条直线平分，那么该直线必通过三角形的（）.A 、内心B 、外心C 、重心D 、垂心解：如图，设直线平分△的周长和面积，D ，E 分别在边AB 和上，作∠A 的平分线交于P ，记P 到AB ，的距离为r ，P 到BC 的距离为1r ，于是依题意有rr P E DA()()1222AD AE BD BC CE r r rAD AE BD CE BC +=++⎧⎪⎨+=++⎪⎩ 由此容易解得1r r =，即P 到△ABC 三边的距离相等，所以P 是△ABC 的内心.故选A.6.如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连接AO.如果AB ＝4，AO＝，那么AC 的长为（）. A、、、12 D 、16解：如图，在CA 上截取CM ＝AB ＝4，连接OM ，设OB 与AC 的交点N.∵∠ABO ＝90°－∠ANB ，∠MCO ＝90°－∠CNO 又∵∠ANB ＝∠CNO∴∠ABO ＝∠MCO ，又AB ＝MC ，BO ＝CO ，故△ABO ≌△MCO ，∴AO ＝MO ，∠AOB ＝∠MOC ， ∵∠BOM ＋∠MOC ＝∠BOC ＝90°，∴∠BOM ＋∠AOB ＝90°，即∠AOM ＝90°，故△AOM是腰长为角三角形，由勾股定理可得其斜边AM ＝12， ∴AC ＝AM ＋MC ＝12＋4＝16，故选D.是△ABC 的BC 边延长线上一点，且CD ＝BC ，E 为AC 的中点，DE 的延长线交AB 于点F ，则DE ︰EF 等于（）.A 、2︰1B 、2︰3C 、3︰1D 、3︰2 解：如图，过点C 作CG ∥AB 交ED 于点G.由E 是AC 中点易证△AEF ≌△CEG ，从而EF ＝EG.∵CG ∥AB ，且C 为BD 的中点， ∴G 为FD 的中点，∴GD ＝GF ＝2EF ，从而DE ＝GD ＋EG ＝2EF ＋EF ＝3EF ，∴DE ︰EF ＝3︰1.故选C.8.如图，O 为坐标原点，四边形OABC 为矩形，A （10，0），C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标不可能是（）.A 、（8，4）B 、（7，4）C 、（3，4）D 、（2，4）FEAOCB AN MOFE BAGF EDCA解：易知OA ＝10，OC ＝4，点P 的纵坐标为4. 因为D 为OA 的中点，故OD ＝5. ∵△ODP 是腰长为5的等腰三角形，∴OD 是等腰△ODP 的一条腰.①当OP ＝OD ＝5时，如图1，由于OC ＝4，因此由勾股定理得CP ＝3，∴此时点P 的坐标为（3，4）； ②当PD ＝OD ＝5时，如图2，过点D 作DE ⊥BC 于E ，则DE ＝OC ＝4，从而由勾股定理得PE ＝3，又易知CE ＝OD ＝5，所以CP ＝5－3＝2，此时点P 的坐标为（2，4），显然，点P 关于点E 的对称点P 1也符合题意，其坐标为（8，4）.综上只有点（7，4）不可能，故选B.9.定义()[],,a b a b a b *=⨯，其中(),a b 表示a ，b 的最大公约数，[],a b 表示a ，b 的最小公倍数，则()()2468***的值为（）.A 、383B 、384C 、385D 、400解：由“*”的定义可得24248*=⨯=，6822448*=⨯=， ∴()()2468***＝848*＝848⨯＝384，故选B.10.甲、乙、丙三个学生分别在A 、B 、C 三所大学学习数学、物理、化学中的一个专业，若①甲不在A 校学习；②乙不在B 校学习；③在B 校学习的学数学；④在A 校学习的不学化学；⑤乙不学物理.则（）.A 、甲在B 校学习，丙在A 校学习 B 、甲在B 校学习，丙在C 校学习 C 、甲在C 校学习，丙在B 校学习D 、甲在C 校学习，丙在A 校学习解：∵在B 校学习的学数学，在A 校学习的不学化学，∴在A 校学习的必然学物理，从而在C 校学习的必然学化学，又∵乙不学物理，且乙不在B 校学习，∴乙必然在C 校学习，又甲不在A 校学习， ∴甲在B 校学习，丙在A 校学习，故选A.二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11.已知0a b c ++=，则代数式111111a b c b c c a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为 .解：答案为－3. ∵0a b c ++=，∴a b c +=-，b c a +=-，c a b +=-，图2∴111111a b c b c c a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝()()()a c b b a c c b a bc ca ab +++++＝()()()222a c b b a c c b a abc+++++＝222222a c a b b a b c c b c aabc+++++＝()()()222222a c c a a b b a b c c b abc+++++＝()()()ac a c ab a b bc b c abc+++++＝()()()ac b ab c bc a abc-+-+-＝3abcabc-＝－3.12.已知2310x x -+=，则331x x+的值为 .解：答案为18.显然x ≠0，把方程两边同时除以x 得：13x x -+，从而13x x+=.∴219x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即22129x x ++=，故2217x x +=，∴32321111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝3（7－1）＝18.13.已知关于x ，y 的方程组34517843x y m x y m +=-⎧⎨-=+⎩的解满足42x y -=，则m ＝ .解：答案为－1.解方程组34517843x y m x y m +=-⎧⎨-=+⎩得14113m x +=，代入3451x y m +=-，得()314123164513511313m m y m x m +-=--=--=，∵42x y -=，∴14113m +－231613m -＝2，解得m ＝－1.14.如图，D 为等边△ABC 内一点，DB ＝DA ，BE ＝AB ，∠DBE ＝∠DBC ，则∠BED ＝ . 解：答案为30°.由AD ＝BD ，AC ＝BC ，CD ＝CD ，得△ACD ≌△BCD ，所以∠ACD ＝∠BCD.A因为∠ACD ＋∠BCD ＝∠ACB ＝60°，所以∠ACD ＝∠BCD ＝30°. ∵BE ＝AB ，而AB ＝BC ，∴BE ＝BC ，又∠DBE ＝∠DBC ，BD ＝BD ， ∴△DBE ≌△DBC ，从而∠BED ＝∠BCD ＝30°.15.如图，矩形ABCD 的面积为24，点E 、F 分别是边AB 、BC 的中点，连AF 、CE ，设AF 、CE 交于点G ，则四边形BEGF 的面积为 . 解：答案为4.连接BG.S △ABF ＝12AB ·BF ＝12AB ·BC ＝14 AB ·BC ＝14⨯24＝6，同理S △BCE ＝6. ∵E 、F 分别为AB 、BC 的中点， ∴S △AGE ＝S △BGE ，S △CGF ＝S △BGF .设S △AGE ＝S △BGE ＝x ，S △CGF ＝S △BGF ＝y ，则有下面的方程组：2626x y x y +=⎧⎨+=⎩， ∴()()2212x y x y +++=，故4x y +=，即S 四边形BEGF ＝4x y +=.16.如图，两直线分别表示一个正比例函数和一个一次函数的图象，它们交于点A （4，3），一次函数的图象与y 轴交于点B ，且OA ＝OB ，则这两条直线与x 轴围成的△AOC 的面积为 .解：答案为154. 过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，由A （4，3）得AD ＝3，OD＝4，故在Rt △AOD 中由勾股定理得OA ＝5，从而OB ＝OA ＝5，所以点B 的坐标为（0，－5）.设一次函数的解析式为y kx b =+，将A 、B两点坐标分别代入，得：345k bb=+⎧⎨-=⎩，G 第16题第15题第14题DB FEC A ED C B A y x yxCB A G F ED解得2k =，b ＝－5，∴一次函数的解析式为25y x =-.令y ＝0，可得x ＝52，即C 点坐标为（52，0），所以OC ＝52. ∴S △AOC ＝12⨯OC ⨯AD ＝12⨯52⨯3＝154.17.有一个六位数，它的个位数字是6，如果把6移至最高位，那么所得到的六位数是原六位数的4倍，则这个六位数是 . 解：答案为153846.设原六位数去掉个位数字之后得到的五位数为x ，则这个六位数可以表示为10x ＋6，而新的六位数则可以表示为600000＋x ，根据题意得： 600000＋x ＝4（10x ＋6）解得x ＝15384.故所求六位数为153846.18.已知函数1222y x x x =-+++（－1≤x ≤2），则y 的最大值与最小值之差为 .解：答案为1. ∵－1≤x ≤2，∴x －2＜0，x ＋2＞0.∴()()()()()()()()1122 4 101222211222 4 0222x x x x x y x x x x x x x x ⎧-+-++=-+-≤≤⎪⎪=-+++=⎨⎪-+++=+≤≤⎪⎩，显然，当x ＝2时，y 有最大值为5，当x ＝0时，y 有最小值为4. ∴y 的最大值与最小值的差为5－4＝1.三、解答题（本大题共4小题，每小题12分，共48分）19.小刚为书房买灯，现有两种灯可供选择，其中一种是9瓦（即千瓦）的节能灯，售价49元/盏，另一种是40瓦（即千瓦）的白炽灯，售价为18元/盏.假设两种灯的照明亮度一样，使用寿命都可以达到2800小时，已知小刚家所在地的电价是元/千瓦·时.（1）设照明时间为x 小时，请用含x 的代数式分别表示用一盏节能灯和用一盏白炽灯的费用；（注：费用＝灯的售价＋电费）（2）小刚想在这两种灯中选购一盏.①当照明时间是多少时，使用两种灯的费用一样多？②当照明时间在什么范围内，选用白炽灯费用低；照明时间在什么范围内，选用节能灯费用低？（3）小刚想在这两种灯中选购两盏.假定照明时间是3000小时，请你帮他设计费用最低的选灯方案，并说明理由.解：（1）用一盏节能灯的费用是：（49＋）元；用一盏白炽灯的费用是：（18＋）元.（2）①由题意，得：49＋＝18＋解得x＝2000∴当照明时间为2000小时时，两种灯的费用一样多.②当白炽灯费用低时，有49＋＞18＋∴x＜2000当节能灯费用低时有49＋＜18＋∴x＞2000∴当照明时间小于2000小时时，选用白炽灯费用低，当照明时间大于2000小时且不超过2800小时时，选用节能灯费用低.（3）分下列三种情况讨论：①如果选用两盏节能灯，则费用是：98＋⨯＝（元），②如果选用两盏白炽灯，则费用是：36＋⨯＝96（元），③如果选用一盏节能灯和一盏白炽灯，由（2）可知，当照明时间大于2000小时时，用节能灯比用白炽灯费用低，所以节能灯用足2800小时，白炽灯用200小时，总费用为：67＋⨯＋⨯＝（元）.∵＜96＜∴选用一盏节能灯、一盏白炽灯，且节能灯用2800小时，白炽灯用200小时，可使总费用最低.20.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，点M、N分别是边AC、BC 的中点，点D在射线BM上，且BD＝2BM，点E在射线NA上，且NE＝2NA.求证：BD⊥DE.证明：连接CD，由题意可知AC与BD互相平分，所以四边形ABCD是平行四边形.∴AD∥BC，AD＝BC.∴∠1＝∠2，∠4＝∠5.∵AC＝BC，M、N分别是AC、BC的中点，∴CN＝CM，又∠C＝∠C，∴△BCM≌△ACN.∴∠2＝∠3，从而∠1＝∠3.取AD中点F，连接EF.则由AD＝BC可得AF＝NC.∵NE＝2NA，∴AE＝NA，又∠4＝∠5，∴△AFE≌△NCA.∴∠AFE＝∠NCA＝90°，从而EF是AD的垂直平分线. ∴AE＝DE，故∠4＝∠6.在Rt△ACN中，∠3＋∠5＝90°，∴∠3＋∠4＝90°.∵∠1＝∠3，∠6＝∠4，∴∠1＋∠6＝90°，即∠BDE＝90°.∴BD⊥DE.MAEDCB654321NMFEDCBA21.如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线12y x b =-+交折线OAB 于点E.（1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形O 1A 1B 1C 1，试探究四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由.解：（1）易知点B 的坐标是（3，1）. 若直线12y x b =-+经过点A ，则32b =；若直线12y x b =-+经过点B ，52b =；若直线12y x b =-+经过点C ，1b =.①点E 在OA 上时，1＜b ≤32，如图1，此时点E 的坐标为（2b ，0）.∴S ＝12OE ⨯CO ＝12⨯2b ⨯1＝b ；②当点E 在AB 上时，32＜b ＜52，如图2，此时点E 的坐标为（3，32b -），点D 的坐标为（22b -，1）.∴S ＝S 矩形OABC －S △OCD －S △OAE －S △BDE＝()()11315322135222222b b b b ⎛⎫⎛⎫--⨯-⨯---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝252b b -.综上，2312535222b b S b bb ⎧⎛⎫<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-<< ⎪⎪⎝⎭⎩. （2）如图3，设O1A1与CB 相交于点M ，C1B1与OA 相交于点N ，则两个矩形重叠部分面积就是四边形DNEM 的面积.显然，四边形DNEM 是平行四边形.又由对称知，∠MED ＝∠NED ，而∠MDE ＝∠NED ， ∴∠MED ＝∠MDE ，∴MD ＝ME ，∴四边形DNEM 是菱形，设其边长为a .过点D 作DH ⊥OA 于H ，由题意可知D （22b -，1），E （2b ，0）. ∴DH ＝1，HE ＝OE －OH ＝2b －（2b －2）＝2.∴HN ＝HE －NE ＝2－a .在Rt △DHN 中，由勾股定理得：DH 2＋HN 2＝DN 2， ∴12＋（2－a ）2＝a 2，解得54a =. ∴S 菱形DNEM ＝NE ⨯DH ＝54⨯1＝54. ∴矩形OABC 与四边形O 1A 1B 1C 1重叠部分面积不变，始终为5422.已知a ，b ，c ，d 均为正整数，且54a b =，32c d =，19c a -=，求d b -的值. 解：∵54a b =，32c d =，∴a 为四次方数，c 为平方数.设2c m =，4a n =，其中m 、n 都是正整数.则24c a m n -=-＝19，即()()22m n m n +-＝19.∵19＞0，2m n +＞0，∴2m n -＞0.∵19是质数，∴19＝19⨯1，而又显然有2m n +＞2m n -，∴22191m n m n ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得10m =，3n =.∴23d c =＝()3210＝()2310，∴3101000d ==； 45b a =＝()543＝()453，∴53343b ==. ∴1000243757d b -=-=.。

湖南省长沙市2018年长郡集团“澄池杯”复赛九年级数学试卷(含解析)

2018年长郡集团“澄池杯”复赛初三数学试卷一．选择题（共6小题）1．规定：在平面直角坐标系中，如果点P的坐标为（m，n），向量可以用点P的坐标表示为：＝（m，n）．已知：＝（x1，y1），＝（x2，y2），如果x1•x2+y1•y2＝0，那么与互相垂直．下列四组向量，互相垂直的是（）A．＝（3，2），＝（﹣2，3）B．＝（﹣1，1），＝（+1，1）C．＝（3，20180），＝（﹣，﹣1）D．＝（，﹣），＝（（）2，4）2．某篮球队10名队员的年龄结构如表，已知该队队员年龄的中位数为21.5，则众数与方差分别为（）A．22，3 B．22，4 C．21，3 D．21，43．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①4a+2b+c＞0；②5a﹣b+c＝0；③若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+＝0有两个不相等的实数根x1，x2．若+＝4m，则m的值是（）A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．不存在5．若数a使关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程+＝1有整数解，则满足条件的所有a的值之和是（）A．﹣10 B．﹣12 C．﹣16 D．﹣186．如图，在Rt△PMN中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝6cm，矩形ABCD中AB＝2cm，BC＝10cm，点C和点M重合，点B、C（M）、N在同一直线上，令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线以每秒1cm的速度向右移动，至点C与点N重合为止，设移动x秒后，矩形ABCD 与△PMN重叠部分的面积为y，则y与x的大致图象是（）A．B．C．D．二．填空题（共4小题）7．在平面直角坐标系内有两点A、B，其坐标为A（﹣1，﹣1），B（2，7），点M为x轴上的一个动点，若要使MB﹣MA的值最大，则点M的坐标为．8．折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB＝AD+2，EH＝1，则AD＝．9．在﹣4、﹣2，1、2四个数中、随机取两个数分别作为函数y＝ax2+bx+1中a，b的值，则该二次函数图象恰好经过第一、二、四象限的概率为．10．定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫作图形的γ（a，θ）变换．如图，等边△ABC的边长为1，点A在第一象限，点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上．△A1B1C1就是△ABC经γ（1，180°）变换后所得的图形．若△ABC经γ（1，180°）变换后得△A1B1C1，△A1B1C1经γ（2，180°）变换后得△A2B2C2，△A2B2C2经γ（3，180°）变换后得△A3B3C3，依此类推……△A n﹣1B n﹣1C n﹣1经γ（n，180°）变换后得△A n B n∁n，则点A1的坐标是，点A2018的坐标是．三．解答题（共3小题）11．随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了10000kg 小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天的总成本为166000，放养30天的总成本为178000元．设这批小龙虾放养t天后的质量为akg，销售单价为y元/kg，根据往年的行情预测，a与t的函数关系为a＝，y与t的函数关系如图所示．（1）设每天的养殖成本为m元，收购成本为n元，求m与n的值；（2）求y与t的函数关系式；（3）如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？（总成本＝放养总费用+收购成本；利润＝销售总额﹣总成本）12．如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．13．如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E、F分别在边AB、CD上，将正方形ABCD 沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设BE＝x．（1）当AM＝时，求x的值；（2）随着点M在边AD上位置的变化，△PDM的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；（3）设四边形BEFC的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并求出S的最小值．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．规定：在平面直角坐标系中，如果点P的坐标为（m，n），向量可以用点P的坐标表示为：＝（m，n）．已知：＝（x1，y1），＝（x2，y2），如果x1•x2+y1•y2＝0，那么与互相垂直．下列四组向量，互相垂直的是（）A．＝（3，2），＝（﹣2，3）B．＝（﹣1，1），＝（+1，1）C．＝（3，20180），＝（﹣，﹣1）D．＝（，﹣），＝（（）2，4）【分析】根据垂直的向量满足的条件判断即可；【解答】解：A、∵3×（﹣2）+2×3＝0，∴与垂直，故本选项符合题意；B、∵（﹣1）（+1）+1×1＝2≠0，∴与不垂直，故本选项不符合题意；C、∵3×（﹣）+1×（﹣1）＝﹣2≠0，∴与不垂直，故本选项不符合题意；D、∵×（）2+（﹣）×4＝2≠0，∴与不垂直，故本选项不符合题意，故选：A．2．某篮球队10名队员的年龄结构如表，已知该队队员年龄的中位数为21.5，则众数与方差分别为（）A．22，3 B．22，4 C．21，3 D．21，4【分析】先根据数据的总个数及中位数得出x＝3、y＝2，再利用众数和方差的定义求解可得．【解答】解：∵共有10个数据，∴x+y＝5，又该队队员年龄的中位数为21.5，即，∴x＝3、y＝2，则这组数据的众数为21，平均数为＝22，所以方差为×[（19﹣22）2+（20﹣22）2+3×（21﹣22）2+2×（22﹣22）2+2×（24﹣22）2+（26﹣22）2]＝4，故选：D．3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①4a+2b+c＞0；②5a﹣b+c＝0；③若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据二次函数的性质一一判断即可．【解答】解：∵抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a），∴﹣＝﹣2，＝﹣9a，∴b＝4a，c＝﹣5a，∴抛物线的解析式为y＝ax2+4ax﹣5a，∴4a+2b+c＝4a+8a﹣5a＝7a＞0，故①正确，5a﹣b+c＝5a﹣4a﹣5a＝﹣4a＜0，故②错误，∵抛物线y＝ax2+4ax﹣5a交x轴于（﹣5，0），（1，0），∴若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1，正确，故③正确，若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，设方程ax2+bx+c＝1的两根分别为x1，x2，则＝﹣2，可得x1+x2＝﹣4，设方程ax2+bx+c＝﹣1的两根分别为x3，x4，则＝﹣2，可得x3+x4＝﹣4，所以这四个根的和为﹣8，故④错误，故选：B．4．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+＝0有两个不相等的实数根x1，x2．若+＝4m，则m的值是（）A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．不存在【分析】先由二次项系数非零及根的判别式△＞0，得出关于m的不等式组，解之得出m 的取值范围，再根据根与系数的关系可得出x1+x2＝，x1x2＝，结合+＝4m，即可求出m的值．【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+＝0有两个不相等的实数根x1、x2，∴，解得：m＞﹣1且m≠0．∵x1、x2是方程mx2﹣（m+2）x+＝0的两个实数根，∴x1+x2＝，x1x2＝，∵+＝4m，∴＝4m，∴m＝2或﹣1，∵m＞﹣1，∴m＝2．故选：A．5．若数a使关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程+＝1有整数解，则满足条件的所有a的值之和是（）A．﹣10 B．﹣12 C．﹣16 D．﹣18【分析】思想利用不等式组根据已知条件确定a的取值范围，求出分式方程的解，求出满足有整数解的a的值即可解决问题；【解答】解：，由①得到：x≥﹣3，由②得到：x≤，∵不等式组有且仅有三个整数解，∴﹣1≤＜0，解得﹣8≤a＜﹣3．由分式方程+＝1，解得y＝﹣，∵有整数解，∴a＝﹣8或﹣4，﹣8﹣4＝﹣12，故选：B．6．如图，在Rt△PMN中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝6cm，矩形ABCD中AB＝2cm，BC＝10cm，点C和点M重合，点B、C（M）、N在同一直线上，令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线以每秒1cm的速度向右移动，至点C与点N重合为止，设移动x秒后，矩形ABCD 与△PMN重叠部分的面积为y，则y与x的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】在Rt△PMN中解题，要充分运用好垂直关系和45度角，因为此题也是点的移动问题，可知矩形ABCD以每秒1cm的速度由开始向右移动到停止，和Rt△PMN重叠部分的形状可分为下列三种情况，（1）0≤x≤2；（2）2＜x≤4；（3）4＜x≤6；根据重叠图形确定面积的求法，作出判断即可．【解答】解：∵∠P＝90°，PM＝PN，∴∠PMN＝∠PNM＝45°，由题意得：CM＝x，分三种情况：①当0≤x≤2时，如图1，边CD与PM交于点E，∵∠PMN＝45°，∴△MEC是等腰直角三角形，此时矩形ABCD与△PMN重叠部分是△EMC，∴y＝S△EMC＝CM•CE＝；故选项B和D不正确；②如图2，当D在边PN上时，过P作PF⊥MN于F，交AD于G，∵∠N＝45°，CD＝2，∴CN＝CD＝2，∴CM＝6﹣2＝4，即此时x＝4，当2＜x≤4时，如图3，矩形ABCD与△PMN重叠部分是四边形EMCD，过E作EF⊥MN于F，∴EF＝MF＝2，∴ED＝CF＝x﹣2，∴y＝S梯形EMCD＝CD•（DE+CM）＝＝2x﹣2；③当4＜x≤6时，如图4，矩形ABCD与△PMN重叠部分是五边形EMCGF，过E作EH⊥MN于H，∴EH＝MH＝2，DE＝CH＝x﹣2，∵MN＝6，CM＝x，∴CG＝CN＝6﹣x，∴DF＝DG＝2﹣（6﹣x）＝x﹣4，∴y＝S梯形EMCD﹣S△FDG＝﹣＝×2×（x﹣2+x）﹣＝﹣+6x﹣10，故选项A正确；故选：A．二．填空题（共4小题）7．在平面直角坐标系内有两点A、B，其坐标为A（﹣1，﹣1），B（2，7），点M为x轴上的一个动点，若要使MB﹣MA的值最大，则点M的坐标为．【分析】要使得MB﹣MA的值最大，只需取其中一点关于x轴的对称点，与另一点连成直线，然后求该直线x轴交点即为所求．【解答】解：取点B关于x轴的对称点B′，则直线AB′交x轴于点M．点M即为所求．设直线AB′解析式为：y＝kx+b把点A（﹣1，﹣1）B′（2，﹣7）代入解得∴直线AB′为：y＝﹣2x﹣3，当y＝0时，x＝﹣∴M坐标为（﹣，0）故答案为：（﹣，0）8．折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB＝AD+2，EH＝1，则AD＝3+2．【分析】设AD＝x，则AB＝x+2，利用折叠的性质得DF＝AD，EA＝EF，∠DFE＝∠A＝90°，则可判断四边形AEFD为正方形，所以AE＝AD＝x，再根据折叠的性质得DH＝DC＝x+2，当AH＝AE﹣HE＝x﹣1，然后根据勾股定理得到x2+（x﹣1）2＝（x+2）2，再解方程求出x 即可．【解答】解：设AD＝x，则AB＝x+2，∵把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，∴DF＝AD，EA＝EF，∠DFE＝∠A＝90°，∴四边形AEFD为正方形，∴AE＝AD＝x，∵把△CDG翻折，点C落在直线AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，∴DH＝DC＝x+2，∵HE＝1，当AH＝AE﹣HE＝x﹣1，在Rt△ADH中，∵AD2+AH2＝DH2，∴x2+（x﹣1）2＝（x+2）2，整理得x2﹣6x﹣3＝0，解得x1＝3+2，x2＝3﹣2（舍去），即AD的长为3+2．故答案为3+2．9．在﹣4、﹣2，1、2四个数中、随机取两个数分别作为函数y＝ax2+bx+1中a，b的值，则该二次函数图象恰好经过第一、二、四象限的概率为．【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，根据二次函数的性质，找出满足a＞0，b＜0的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有12种等可能的结果数，满足a＞0，b＜0的结果数为4，但a＝1，b＝﹣2和a＝2，b＝﹣2时，抛物线不过第四象限，所以满足该二次函数图象恰好经过第一、二、四象限的结果数为2，所以该二次函数图象恰好经过第一、二、四象限的概率＝＝．故答案为．10．定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫作图形的γ（a，θ）变换．如图，等边△ABC的边长为1，点A在第一象限，点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上．△A1B1C1就是△ABC经γ（1，180°）变换后所得的图形．若△ABC经γ（1，180°）变换后得△A1B1C1，△A1B1C1经γ（2，180°）变换后得△A2B2C2，△A2B2C2经γ（3，180°）变换后得△A3B3C3，依此类推……△A n﹣1B n﹣1C n﹣1经γ（n，180°）变换后得△A n B n∁n，则点A1的坐标是（﹣，﹣），点A2018的坐标是（﹣，）．【分析】分析图形的γ（a，θ）变换的定义可知：对图形γ（n，180°）变换，就是先进行向右平移n个单位变换，再进行关于原点作中心对称变换．向右平移n个单位变换就是横坐标加n，纵坐标不变，关于原点作中心对称变换就是横纵坐标都变为相反数．写出几次变换后的坐标可以发现其中规律．【解答】解：根据图形的γ（a，θ）变换的定义可知：对图形γ（n，180°）变换，就是先进行向右平移n个单位变换，再进行关于原点作中心对称变换．△ABC经γ（1，180°）变换后得△A1B1C1，A1 坐标（﹣，﹣）△A1B1C1经γ（2，180°）变换后得△A2B2C2，A2坐标（﹣，）△A2B2C2经γ（3，180°）变换后得△A3B3C3，A3坐标（﹣，﹣）△A3B3C3经γ（4，180°）变换后得△A4B4C4，A4坐标（﹣，）△A4B4C4经γ（5，180°）变换后得△A5B5C5，A5坐标（﹣，﹣）依此类推……可以发现规律：A n纵坐标为：当n是奇数，A n横坐标为：﹣当n是偶数，A n横横坐标为：﹣当n＝2018时，是偶数，A2018横坐标是﹣，纵坐标为故答案为：（﹣，﹣），（﹣，）．三．解答题（共3小题）11．随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了10000kg 小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天的总成本为166000，放养30天的总成本为178000元．设这批小龙虾放养t天后的质量为akg，销售单价为y元/kg，根据往年的行情预测，a与t的函数关系为a＝，y与t的函数关系如图所示．（1）设每天的养殖成本为m元，收购成本为n元，求m与n的值；（2）求y与t的函数关系式；（3）如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？（总成本＝放养总费用+收购成本；利润＝销售总额﹣总成本）【分析】（1）根据题意列出方程组，求出方程组的解得到m与n的值即可；（2）根据图象，分类讨论利用待定系数法求出y与P的解析式即可；（3）根据W＝ya﹣mt﹣n，表示出W与t的函数解析式，利用一次函数与二次函数的性质求出所求即可．【解答】解：（1）依题意得，解得：；（2）当0≤t≤20时，设y＝k1t+b1，由图象得：，解得：∴y＝t+16；当20＜t≤50时，设y＝k2t+b2，由图象得：，解得：，∴y＝﹣t+32，综上，；（3）W＝ya﹣mt﹣n，当0≤t≤20时，W＝10000（t+16）﹣600t﹣160000＝5400t，∵5400＞0，∴当t＝20时，W最大＝5400×20＝108000，当20＜t≤50时，W＝（﹣t+32）（100t+8000）﹣600t﹣160000＝﹣20t2+1000t+96000＝﹣20（t﹣25）2+108500，∵﹣20＜0，抛物线开口向下，∴当t＝25，W最大＝108500，∵108500＞108000，∴当t＝25时，W取得最大值，该最大值为108500元．12．如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）设出抛物线顶点坐标，把C坐标代入求出即可；（2）由△BCQ与△BCP的面积相等，得到PQ与BC平行，①过P作PQ∥BC，交抛物线于点Q，如图1所示；②设G（1，2），可得PG＝GH＝2，过H作直线Q2Q3∥BC，交x轴于点H，分别求出Q的坐标即可；（3）存在点M，N使四边形MNED为正方形，如图2所示，过M作MF∥y轴，过N作NF ∥x轴，过N作NH∥y轴，则有△MNF与△NEH都为等腰直角三角形，设M（x1，y1），N （x2，y2），设直线MN解析式为y＝﹣x+b，与二次函数解析式联立，消去y得到关于x 的一元二次方程，利用根与系数关系表示出NF2，由△MNF为等腰直角三角形，得到MN2＝2NF2，若四边形MNED为正方形，得到NE2＝MN2，求出b的值，进而确定出MN的长，即为正方形边长．【解答】解：（1）设y＝a（x﹣1）2+4（a≠0），把C（0，3）代入抛物线解析式得：a+4＝3，即a＝﹣1，则抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；（2）由B（3，0），C（0，3），得到直线BC解析式为y＝﹣x+3，∵S△PBC＝S△QBC，∴PQ∥BC，①过P作PQ∥BC，交抛物线于点Q，如图1所示，∵P（1，4），∴直线PQ解析式为y＝﹣x+5，联立得：，解得：或，即（1，4）与P重合，Q1（2，3）；②∵S△BCQ＝S△BCP，∴PG＝GH∵直线BC的解析式为y＝﹣x+3，P（1，4）∴G（1，2），∴PG＝GH＝2，过H作直线Q2Q3∥BC，交x轴于点H，则直线Q2Q3解析式为y＝﹣x+1，联立得：，解得：或，∴Q2（，），Q3（，）；（3）存在点M，N使四边形MNED为正方形，如图2所示，过M作MF∥y轴，过N作NF∥x轴，过N作NH∥y轴，则有△MNF与△NEH 都为等腰直角三角形，设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线MN解析式为y＝﹣x+b，联立得：，消去y得：x2﹣3x+b﹣3＝0，∴NF2＝|x1﹣x2|2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝21﹣4b，∵△MNF为等腰直角三角形，∴MN2＝2NF2＝42﹣8b，∵H（x2，﹣x2+3），∴NH2＝[y2﹣（﹣x2+3）]2＝（﹣x2+b+x2﹣3）2＝（b﹣3）2，∴NE2＝（b﹣3）2，若四边形MNED为正方形，则有NE2＝MN2，∴42﹣8b＝（b2﹣6b+9），整理得：b2+10b﹣75＝0，解得：b＝﹣15或b＝5，∵正方形边长为MN＝，∴MN＝9或．13．如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E、F分别在边AB、CD上，将正方形ABCD 沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设BE＝x．（1）当AM＝时，求x的值；（2）随着点M在边AD上位置的变化，△PDM的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；（3）设四边形BEFC的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并求出S的最小值．【分析】（1）利用勾股定理构建方程，即可解决问题；（2）设AM＝y，则BE＝EM＝x，MD＝1﹣y，在Rt△AEM中，由勾股定理得出x、y的关系式，可证Rt△AEM∽Rt△DMP，根据相似三角形的周长比等于相似比求△DMP的周长；（3）作FH⊥AB于H．则四边形BCFH是矩形．连接BM交EF于O，交FH于K．根据梯形的面积公式构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题即可；【解答】解：（1）如图，在Rt△AEM中，AE＝1﹣x，EM＝BE＝x，AM＝，∵AE2+AM2＝EM2，∴（1﹣x）2+（）2＝x2，∴x＝．（2）△PDM的周长不变，为2．理由：设AM＝y，则BE＝EM＝x，MD＝1﹣y，在Rt△AEM中，由勾股定理得AE2+AM2＝EM2，（1﹣x）2+y2＝x2，解得1+y2＝2x，∴1﹣y2＝2（1﹣x）∵∠EMP＝90°，∠A＝∠D，∴Rt△AEM∽Rt△DMP，∴＝，即＝，解得DM+MP+DP＝＝2．∴△DMP的周长为2．（3）作FH⊥AB于H．则四边形BCFH是矩形．连接BM交EF于O，交FH于K．在Rt△AEM中，AM＝＝，∵B、M关于EF对称，∴BM⊥EF，∴∠KOF＝∠KHB，∵∠OKF＝∠BKH，∴∠KFO＝∠KBH，∵AB＝BC＝FH，∠A＝∠FHE＝90°，∴△ABM≌△HFE，∴EH＝AM＝，∴CF＝BH＝x﹣，∴S＝（BE+CF）•BC＝（x+x﹣）＝[（）2﹣+1]＝（﹣）2+．当＝时，S有最小值＝．。

湖南省长沙市初一数学竞赛卷

湖南省长沙市初一数学竞赛卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共16分)1. （2分）一条船在一条河上的顺流航速是逆流航速的3倍，这条船在静水中的航速与河水的流速之比为（）A . 3：1B . 2：1C . 1:1D . 3:22. （2分） (2018七下·大庆开学考) 如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，它们的交点P在线段CD上，下面的结论：①AP⊥BP；②点P到直线AD，BC的距离相等；③PD＝PC．其中正确的结论有（）A . ①②③B . ①②C . ①D . ②3. （2分）不等式2x－6＞0的解集为（）A . x＞3B . x>－3C . x＜3D . x＜－34. （2分） (2019八上·长兴月考) 下列图形中不具有稳定性的是（）A .B .C .D .5. （2分）小华的年龄与爷爷的年龄之和等于爸爸年龄的2倍，爸爸的年龄是小华年龄的3倍，则爷爷的年龄是小华年龄的（）A . 4倍B . 5倍C . 6倍D . 7倍6. （2分）(2017·乐陵模拟) 若函数，则当函数值y=8时，自变量x的值是（）A . ±B . 4C . ± 或4D . 4或﹣7. （1分）规定a※b= ，例如2※3= ，则[2※（-5）]※4=________8. （1分）有八个球编号是①至⑧，其中有六个球一样重，另外两个球都轻1克，为了找出这两个轻球，用天平称了三次，结果如下：第一次①+②比③+④重，第二次⑤+⑥比⑦+⑧轻，第三次①+③+⑤和②+④+⑧一样重．那么，两个轻球的编号是________．9. （1分）科学家最新研究表明，吸烟会导致人的寿命减少，按天计算，平均每天吸一包烟可以导致寿命减少2小时20分，如果一个人一个月有n天每天吸一包烟，则这个月他的寿命减少了________ 天．10. （1分） (2016七上·连城期末) 小虎在写作业时不小心将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨迹盖住的整数之和为________．参考答案一、选择题 (共10题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、。

2017年湖南省长沙市长郡集团“澄池杯”八年级数学竞赛复赛试卷

“澄池杯”数学问卷（初赛）解析一、选择题（每小题5分，共30分）1、D2、C3、D4、B5、D6、A二、填空题（每小题5分，共30分）7、13-8、13a ≤- 9、10% 10、10k k ≥-≠且11、()967221283,4,,25252525⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或或 12、43 三、解答题（共4小题，满分40分）13、【解析】⑴设一个A 型口罩的售价是a 元，一个B 型口罩的售价是b 元，依题意有：3263229a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：57a b =⎧⎨=⎩．答：一个A 型口罩的售价是5元，一个B 型口罩的售价是7元．⑵设A 型口罩x 个，依题意有：()35350x x x ≥⎧⎨≤-⎩，解得：3537.5x ≤≤， ∵x 为整数，∴35,36,37x =．方案如下：方案 A 型口罩B 型口罩一35 15 二36 14 三37 13 设购买口罩需要y 元，则()57502350y x x x =+-=-+，20k =-<，∴y 随x 增大而减小，∴37x =时，y 的值最小．答：有3种购买方案，其中方案三最省钱．14、【解析】⑴设从甲仓库运x 吨往A 港口，则从甲仓库运往B 港口的有()80x -吨，从乙仓库运往A 港口的有()100x -吨，运往B 港口的有()()508030x x --=-吨， ∴()()()1420100108083082560y x x x x x =+-+-+-=-+，x 的取值范围是3080x ≤≤．⑵由⑴得82560y x =-+，y 随x 增大而减少，所以当80x =时总运费最小，当80x =时，88025601920y =-⨯+=，此时方案为：把甲仓库的全部运往A 港口，再从乙仓库运20吨往A 港口，乙仓库的余下的全部运往B 港口．15、【解析】⑴如图，连接OD 、CD ，∵AC 为⊙O 的直径，∴BCD ∆是直角三角形，∵E 为BC 的中点，∴BE CE DE ==，∴CDE DCE ∠=∠，∵OD OC =，∴ODC OCD ∠=∠，∵90ACB ∠=︒，∴90OCD DCE ∠+∠=︒，∴90ODC CDE ∠+∠=︒，即OD DE ⊥，∴DE 是⊙O 的切线；⑵设⊙O 的半径为r ，∵90ODF ∠=︒，∴222OD DF OF +=，即()22242r r +=+，解得：3r =，∴⊙O 的直径为6．16、【解析】⑴把点()4,0B ，点53,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入21y ax bx =++中得， 1641059312a b a b ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩，解得：34114a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线的表达式为2311144y x x =-++； ⑵设直线AD 的解析式为y kx b =+，∵()0,1A ，53,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴1532b k b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：112b k =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴直线AD 的解析式为：112y x =+，设(),0P t ，∴1,12M t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴112PM t =+， ∵CD x ⊥轴，∴3PC t =-， ∴()211111*********PCM S PC PM t t t t ∆⎛⎫==⨯-⨯+=-++ ⎪⎝⎭， ∴211254216PCM S t ∆⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭， ∴PCM ∆面积的最大值是2516； ⑶∵OP t =，∴点M ，N 的横坐标为t ，设1,12M t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2311,144N t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭， ∴223111391144244MN t t t t t =-++--=-+，52CD =，如图1，如果以点M 、C 、D 、N 为顶点的四边形是平行四边形，∴MN CD =，即：2395442t t -+=， ∵390∆=-<， ∴方程2395442t t -+=无实数根， ∴不存在t ，如图2，如果以点M 、C 、D 、N 为顶点的四边形是平行四边形，∴MN CD =，即：2395442t t -=， ∴92016t +=，（负值舍去）， ∴当92016t +=时，以点M 、C 、D 、N 为顶点的四边形是平行四边形．。

湘教版七年级下册数学竞赛试题(含答案)

16、 6 17、25° 18、2
19、5
20、4
三、解答题：
21、（7 分）解：20162+4032×2015+20152－40302
=20162+2×2016×2015+20152－40302----（1 分）
=（2016+2015）2－40302--------------（3 分）
=40312 －40302 --------------------（4 分）
=（4031+4030）（4031-4030）---------（6 分）
=8061×1
=8061-----------------------------（7 分） 22、(7 分)解：①12＋22＋32＋……＋252=16×25×（25+1）×（2×25+1）----（1 分）
(
)
A、∠1=∠3 B、∠2=∠3 C、∠4=∠5 D、∠2+∠4=180°
10、一组数据由 5 个整数组成，已知中位数是 4，唯一众数是 5，
则这组数据最大和的可能是
（）
A、 19
B、 20
C、22
D、23
二、填空题（每小题 4 分，共 40 分）
11、若代数式 2x2+3x+7 的值为 8，则代数式 4x2+6x－9 的值是
------------------------装----------------------订---------------------------线---------------------------------------------
考号
考室名称
湘教版七年级下册数学竞赛试题

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三、解答题（本题有4小题，共46分） 19、（本题满分12分）
“六一”前夕，某玩具经销商用去2350元购进A、B、C三种新型的电动玩具共50套，并且购进的三种玩具都不少于10套，设购进A种玩具套，B种玩具套，三种电动玩具的进价和售价如右表所示．
型号Βιβλιοθήκη ＡＢC进价(元／套) 40
55
50
售价(元／套) 50
）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
11、若，则
.
12、已知
，若
，
，则
＝ .
13、分解因式：
.
14、如图，DC∥AB，∠BAE =∠BCD，AE⊥DE，∠D = 130°，则∠B =
.
第14题第15题
15、如图是根据某初中为地震灾区捐款的情况而制作的统计图，已知该
A、 B、 C、 D、
3、当时，=（）
D、正数
A、 B、 C、 D、 4、设> 0，，，则之间的大小关系是（）
A、M >P >N B、N > P> M C、P > M >N D、P >N >M 5、下列五个命题:①若直角三角形的两条边长为3与4,则第三边长是5；
②③若点在第三象限,则点在第一象限；④连结对角线垂直且相等的四边形各边中点的四边形是正方形；⑤两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等. 其中正确的命题的个数是（）
A、2个
B、3个
C、4个
D、5个
6、在⊿ABC中，AC=5，中线AD=4，则AB的取值范围是（
A、3 <AB <13 B、5 <AB <13 C、9 <AB <13
<9
） D、1 <AB
7、如图，直线
和双曲线
（
）交于A、B两点，
第7题
P是线段AB上的点（不与A、B重合），过点A、B、P 分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、 OP，设△AOC的面积为
校在校学生有2000人，请根据统计图计算该校共捐款
元．
第17题
16、设多项式，已知当＝0时，
；当时，，则当时，
＝
.
17、如图，直线过点A（0，2），且与直线
交于点P（1，m），则关于的不等式组
A1
A3 A2 B1 B2 B3 M1 M2
M3
C O x y
第18题
mx＞kx+b＞mx－2的解集是______________. 18、如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形 OA1B1C的对角线
9、关于的方程的解是正数，则的取值范围是（）
A、 B、 C、 D、
10、如图所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、
A
D
C
B
第10题
E
G
F
O
C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC
与BD交于点F，连接OC、FG，则下列结论：①AE＝BD；②AG
＝BF；③FG∥BE；④∠BOC＝∠EOC，其中正确结论的个数（
A1C和OB1交于点M1；以M1A1为对角线作第二个正方形A2A1B2 M1，对角线A1 M1和A2B2 交于点M2；以M2A1为对角线作第三个正方形A3A1B3 M2，对角线A1 M2和A3B3 交于点M3；……，依次类推，这样作的第n个正方形对角线交点的坐标为Mn __________________．
点O，交AC于点F，交AD于点G. （1）证明：BE=AG；（2）点E位于什么位置时，∠AEF=∠CEB，说明理由.
E B A O F G C D
21、（本题满分12分）在平面直角坐标系内有两点A（-2，0），B（4，0）和直线.在直
线上是否存在点P，使为直角三角形，若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.
80
65
⑴ 用含、的代
数式表示购进C种
玩具的套数；
⑵ 求与之间的函数关系式；
⑶ 假设所购进的这三种玩具能全部卖出，且在购销这种玩具的过程
中需要另外支出各种费用200元．
①求出利润P(元)与(套)之间的函数关系式；
②求出利润的最大值，并写出此时三种玩具各多少套．
20、（本题满分12分）如图，在正方形ABCD中，E是AB边上任意一点，BG⊥CE，垂足为
、△BOD的面积为
、△POE 的面积为
，则有（） A、
B、
C、
D、
8、有铅笔,练习本,圆珠笔三种学习用品. 若购铅笔3支，练习本7本，圆
珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本10本，圆珠笔1支共需4.2
元. 现购铅笔、练习本、圆珠笔各1件，共需（）
A、1.2元 B、1.05元
C、0.95元 D、0.9元
2011年长沙市中学数学“学用杯”应用与创新能
力大赛
八年级决赛试题
（时量：120分钟
满分：100分）
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）（请将惟一正确的选项代号填在下面的答题卡内）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1、多项式的值总为（）
A、非负数 B、零
C、负数
2、比较2，，的大小，正确的是（）
22、（本题满分10分）已知a，b是实数，若关于x，y的方程组有整数解，求a，b满足的关
系式.