初二数学竞赛测试题

初二数学竞赛测试题

一、选择题(每小题4分，共32分)

1．如果a ＞b,则2a －b 一定是（ C ）

A 、负数

B 、非负数

C 、正数

D 、非正数。

2．已知x ﹥0,y ﹤0,∣x ∣﹤∣y ∣,则x+y 是（ C ）

A 、零

B 、正数

C 、负数

D 、不确定。

3．如图，△ABC 中，∠B=∠C ，D 在BC 边上， ∠BAD=500，

在AC 上取一点E ，使得∠ADE=∠AED ，则∠EDC 的度数为（ B ）

A 、150

B 、250

C 、300

D 、500

4．满足等式

2003200320032003=+--+xy y x x y y x

的正整数对（x,y ）的个数是（ ）

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4

5．今有四个命题：

①若两实数的和与积都是奇数，则这两数都是奇数。

②若两实数的和与积都是偶数，则这两数都是偶数。

③若两实数的和与积都是有理数，则这两数都是有理数。

④若两实数的和与积都是无理数，则这两数都是无理数。

其中正确命题个数为（ ）

A 、0

B 、1

C 、2

D 、4

6．若M=3x 2-8xy+9y 2-4x+6y+13（x,y 是实数），则M 的值一定是（ ）

A 、正数

B 、负数

C 、零

D 、整数

7．设A=48)4

1001441431(222+++-+-? 则与A 最接近的正整数是（ ）

A 、18

B 、20

C 、24

D 、25

8.如果关于x 的方程k(k+1) (k-2)x 2－2(k+1) (k+2)x+k+2=0,只有一个实数解,则实数k 可取不同的值的个数为( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5.

二.填空题(每小题5 分共30分)

9．如图,有一块矩形ABCD,AB=8,AD=6.将纸片折叠,使得AD 边落在AB 边上,折痕为AE,再将△AED 沿DE 向上翻折,AE 与BC 的交点为F,则△CEF 的面积为 .

10．关于x 的方程∣∣x-2 ∣－1∣=a 有三个整数解，则a 的值是 .

11．已知关于x 的方程a 2x 2－(3a 2－8a)x+2a 2－13a+15=0(其中a 是非负整数)，至少有一个整数根，那么a= .

12．若关于x 的方程1

3213+-=++x x ax x 有增根x=－1,则a= . 13．已知三个质数a,b,c 满足a+b+c+abc=99,那么a c c b b a -+-+-= .

14.在一个圆形时钟的表面,OA 表示秒针,OB 表示分针(O 为两针的旋转中心).若现在时间恰好是12点整,则经过 秒钟后,△OAB 的面积第一次达到最大.

三、解答题：

15．如图已知△ABC 中，∠ACB=900, AC=BC ，CD ∥AB ，BD=AB ，求∠D 的度数。（13分）

16.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠D=900,BC=CD=12, ∠ABE=450,若AE=10,求CE的长. （15分）

17.欣欣农工公司生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨的利润涨至7500元。欣欣农工公司收获这种蔬菜140吨，该公司的生产能力是如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16 吨，如果进行精加工，每天可以加工6 吨，但两种加工方式不能同时进行。受季节等条件限制，公司必须用15天的时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕，因此，公司研制了三种可行方案：

(1)将蔬菜全部进行粗加工；

(2)尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售。

(3)将一部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好用15天完成。你认为选择哪种方案获利最多？为什么? （15分）

18．已知,如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC,以腰AB 、CD 为一边分别向两边作正方形ABGE 和DCHF ，设线段AD 的垂直平分线 交线段EF 于点M.求证:M 是EF 的中点. （15分）

参考答案：

一、 CCBB

4.左边因式分解：（0)2003)(2003=++-y x xy ， 而2003++y x >0,所以02003=-xy ,

xy=2003,因为2003是质数，必有x=1,y=2003或x=2003,y=1

5.A

6.A

M=2(x-2y)2+(x-2)2+(y+3)2≥0且x-2y,x-2,+3不同时为0，所以M>0

7.D ．

对于正整数n ≥3,有

)2121(41412+--=-n n n 所以 A=48)4

1001441431(

222+++-+-? =48)]10216151()981211[(41 ++-+++?

=12)]102

1101110019914131211[(----+++

? =25-12)102

110111001991(+++? 因为12)102110111001991(+++?<12994?<21 所以与A 最接近的数为25.

8.C k=0,k=21,△=0,得k=-2,k=-5

2. 二、

9.由折叠过程可知：DE=AD=6，∠DAE=∠CEF=450，

所以△CEF 是等腰直角三角形，且CE=8-6=2，所以S △CEF =2；

10.1；

11、1，3，5；

12、3；

13、三质数不可能都是奇数，则必有一个为偶质数2；

若a=2，代入得b+c+2bc=97,

同理b,c 不可能都奇，

若b=2,则c=19,所以原式为34；

14、设OA 边上的高为h ，则h ≤OB,当OA ⊥OB 时，等号成立，

此时△OAB 的面积最大；设t 秒时，OA 与OB 第一次垂直，

又因为秒针1秒钟旋转6度，分针1秒钟旋转0.1度，于是

（6-0．1）t=90，解得：t=59

1515. 15、解：作DE ⊥CD 于E ，CF ⊥AB 则DE=CF=21AB=2

1BD ，故∠D=300。 16．延长DA 至，使BM ⊥BE ，过B 作BG ⊥AM ，G 为垂足，

知四边形BCDG 为正方形，所以BC=BG ，∠CBE=∠GBM

∴Rt △BEC ≌Rt △BMG ∴BM=BE ，∠ABE=∠ABM=450

∴△ABEC ≌△ABM ∴AM=AE=10

设CE=x ，则AG=10-x ，AD=12-（10-x ）=2+x,DE=12-x

AE 2=AD 2+DE 2 ∴100=(2+x)2+(12-x)2 即x 2-10x+24=0

解得；x 1=4, x 2=6 ∴CE=4或6。

17．解(1)设将蔬菜全部进行粗加工,获利W 1元

则W 1=140?4500=630000元.

(2)设尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售, 获利W 2元。

则W 2=15?6?7500+(140-15?6) ?1000=72500元.

(3) 设蔬菜进行精加工x 天，其余蔬菜进行粗加工y 天,获利W 3元

则???=+=+14016615y x y x 解得:???==5

10y x

W 3=5?16?4500+10?6?7500=855000元

故选择方案三获利最多.

18．作EP ⊥DA ，FQ ⊥DA ，AK ⊥BC ，DR ⊥BC ，

可知AK=DR ，AS=SD 。

Rt △ABK ≌Rt △AEP AP=AK

同理：Rt △DRC ≌Rt △DQF DR=DQ S 是PQ 的中点

PS=QS ∵EP ∥SM ∥QF ∴EM=MF 即M 是EF 的中点。