母函数和特征函数简介
概率论上的母函数
概率论上的母函数(gen erati ng fucnction)定义：假设随机变量E取非负整数值，且相应的分布列为：(0，1, 2)(P o, P i, P2)那么P k*s k( k从0到无穷)的和为s的函数，此函数称为的母函数。
特征函数(概率论)在概率论中，任何随机变量的特征函数完全定义了它的概率分布。
在实直线上，它由以下公式给出，其中X是任何具有该分布的随机变量：®x(t) = E(e itX)其中t是一个实数，i是虚数单位，E表示期望值。
用矩母函数M x(t)来表示(如果它存在)，特征函数就是iX的矩母函数，或X在虚数轴上求得的矩母函数。
「x(t)二M ix (t)二M x(it)与矩母函数不同，特征函数总是存在。
如果F x是累积分布函数，那么特征函数由黎曼-斯蒂尔切斯积分给出：E (e itx)= ::e itx dF x(x)在概率密度函数f x存在的情况下，该公式就变为：E (e itx) = . ： e itx f x (x)dx如果X是一个向量值随机变量，我们便取自变量t为向量，tx为数量积。
R或R n上的每一个概率分布都有特征函数，因为我们是在有限测度的空间上对一个有界函数进行积分，且对于每一个特征函数都正好有一个概率分布。
一个对称概率密度函数的特征函数(也就是满足f x(x) = f x(-x))是实数，因为从x>0所获得的虚数局部与从x<0所获得的相互抵消。
连续性勒维连续定理勒维连续定理说明，假设(X n)n」"为一个随机变量序列，其中每一个X n都有特征函数-：n,那么它依分布收敛于某个随机变量X :Xn ° > X当n —如果件一巴in^is j cp 当n Too且④(t)在t=0处连续，9是X的特征函数。
莱维连续定理可以用来证明弱大数定律。
反演定理在累积概率分布函数与特征函数之间存在双射。
也就是说，两个不同的概率分布不能有相同的特征函数。
母函数（生成函数）
母函数（⽣成函数）介绍母函数是组合数学中相当重要的⼀个知识点，可以⽤来解决⼀些排列组合问题，还有所有的常系数线性齐次递推问题。
如果系数不是常数，需要根据具体情况进⾏处理。
具体的内容可以看组合数学相关书籍或者，由于⼤佬总是想当然地把别⼈当成⼤佬，⼀些内容对（像我这种）蒟蒻来说不是很友好，在这⾥讲⼀下母函数的基础。
（研究母函数时，钦定|x|<1）,这样，由等⽐数列求和公式有：11−x=∑∞i=0x i=1+x+ (x)11−kx=∑∞i=0k i x i=1+kx+...+k∞x∞1.普通型母函数。
假设有⼀个数列a,那么它的母函数其实就是⼀个关于x的多项式，x n的系数为a n，对于已知通项的数列，其母函数可以直接写出来。
⽽对于未知的数列，主要分为两类：递推型和组合型。
递推型就是利⽤错位相消，举个栗⼦：a n=3a n−1+10a n−2,a0=1,a1=2移项，得a n−3a n−1−10a n−2=0，设a n的母函数为G(x)G(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3...−3xG(x)=−3a0x+(−3)a1x2+(−3)a2x3...−10x2G(x)=−10a0x2+(−10)a1x3三⾏相加，可以发现等式右侧除了第⼀⾏的第1,2项和第⼆⾏的第1项外全消掉了。
所以我们可以得到(1−3x−10x2)G(x)=a0+a1x−3a0x=1−x，即G(x)=1−x1−3x−10x2，⽣成函数就求出来了，那如果我们还要求an的通项呢？对于这种东西，我们可以把他化成k1x−A+k2x−B这种形式，其中A和B由分母的因式分解唯⼀确定，然后k1,k2可由待定系数法解得。
然后对于kx−A,总可以化成k′∗11−Nx，就是k′∑∞i=0N i x i，找出x k的系数就是a n，如果母函数拆开成多个该类分式的话各部分相加就好。
具体计算就不算了。
PS:⼀部分⾮齐次线性递推其实也可以这样解，⽐如a n−3a n−1−10a n−2=f(n)，按照上述⽅法错项后会剩下⼀个等⽐数列和前⼏项余项。
1-4特征函数和母函数
k =1 n
n
k =1
Ex.7 随机变量Y～B(n, p),写出其特征函数 写出其特征函数. 随机变量 ～ 写出其特征函数 二项分布随机变量Y可表示为 解 二项分布随机变量 可表示为Y = ∑ X k ,且 且 Xk～B(1, p),k=1,2,…,n, 相互独立,故Y 的特征 相互独立, , 函数为 n
g(t1 , t2 ) = E[e
i ( t1 X + t 2Y )
]= ∫
∞
∞ ∞
∫
∞
ei (t1 x+t2 y )dF( x, y)
连续型 离散型
g(t1 , t 2 ) = ∫
∞
∞ ∞
∫
∞
e i (t1 x + t2 y ) f ( x, y)dxdy
i ( t1 X r + t 2YsS )
特征函数、 §1.4 特征函数、母函数
一、特征函数的定义及例子 是实随机变量, 定义 设X,Y是实随机变量,复随机变量 是实随机变量 Z=X+i Y, , 的数学期望定义为 E ( Z ) = E ( X ) + i E (Y ), i = 1 特别 X是实随 是实随 itX Ee = E (costX ) + i E (sintX ) 机变量
g ( t ) = ∫ e itx f ( x )dx;
∞
+∞
g ( t ) = ∑ e itxk pk .
k
Ex.1 单点分布 P{X = c} = 1,
g( t ) = E (e itc ) = e itc , t ∈ R.
Ex.2 两点分布
g( t ) = e (1 p) + e
特征函数和矩母函数概要
P ( s) pk s pk s
k k k 0 k 0
n
k n 1
p s
k
k
, n n! pn
k n 1
k (k 1)(k n 1) p s
令s 0, 则P ( n ) (0) n! pn 故pn P
k 0 l 0
P{ N l} P{Y k}s
l 0 k 0
k
l k P{N l} P X j k s l 0 k 0 j 1
k P{N l} P{ X j k}s l 0 j 1 k 0
k 0 k 0
PZ ( s) ck s k
k 0
PX ( s ) PY ( s ) pk s
k 0
k
q s
l 0 l
l
k ,l 0
p qs
k l r
k l
r pk q r k s r 0 k 0
r
c r s PZ ( s )
4. 母函数
定义：设X是非负整数值随机变量，分布律
P{X=k}=pk，k=0,1, 则称
P ( s) E ( s ) pk s
X k 0
k
为X的母函数。
性质： (1)非负整数值随机变量的分布律pk由其母 函数P(s)唯一确定 (k ) P (0) pk , k 0,1,2, k! (2)设P(s)是X的母函数， 若EX存在，则EX=P(1) 若DX存在，则DX= P(1) +P(1)- [P(1)]2
北大随机过程课件：第 3 章 第 6 讲 特征函数与母函数
特征函数、母函数、矩母函数确定随机变量的概率密度函数/分布律 方便求解独立随机变量和的分布函数一类问题可以通过微分运算求随机变量的数字特征1．特征函数：设随机变量ξ的分布函数为Ｆ(x), 概率密度函数为f(x), 称：(){}()()jt jtx jtx t E e e dF x e f x dx ξ∞∞−∞−∞Φ===∫∫ 为随机变量ξ的分布函数的特征函数，或ξ的特征函数,特征函数是概率密度函数的付氏变换。
特征函数的性质：1．特征函数与概率密度函数相互唯一地确定；2．两个相互统计独立的随机变量和的特征函数等于各个随机变量特征函数的积；3．特征函数与随机变量的数字特征的关系：()0()|{}k k k t t j E ξ=Φ=典型随机变量的特征函数1． 两点分布的特征函数：()jt t q pe Φ=+2． 二项式分布的特征函数：()()n jt t q pe Φ=+3． 几何分布：()1jtjtpe t qe Φ=− 4． 泊松分布(λ)：(1)()jt e t eλ−−Φ= 5． 正态分布2(,)N σ∂：22()exp{}2t t j t σΦ=∂−6． 均匀分布[0，1]：1()jt e t jt−Φ= 7． 负指数分布：()t jtλλΦ=−2．母函数研究分析非负整值随机变量时，可以采用母函数法：对于一个取非负整数值n=0,1,2,……，的随机变量x ，，其相应的矩生成函数定义为： 0()()n n z p x n z ∞=Φ==⋅∑(1/)z Φ是序列()p x n =的正常的z 变换母函数的性质：1． 两个相互统计独立的随机变量和的母函数等于各个随机变量的母函数的积。
2． 随机个独立同分布的非负整值随机变量和的矩生成函数是原来两个母函数的复合(见附合泊松过程的应用)3．()000(),()!1,2,k k z z z p z k p k ==Φ=Φ=="通过母函数有理分式的幂级数展开等方法，得到随机变量的概率分布表达式。
母函数详解——精选推荐
母函数详解在数学中，某个序列的母函数(Generating function，⼜称⽣成函数)是⼀种形式幂级数，其每⼀项的系数可以提供关于这个序列的信息。
使⽤母函数解决问题的⽅法称为母函数⽅法。
母函数———把组合问题的加法法则和幂级数的的乘幂的相加对应起来我们从经典的砝码的例⼦讲起题⽬：有1g 2g 3g 4g的砝码各⼀枚，能称出多少种重量？每种重量的可能组合砝码是什么穷举的话，很容易得出结果，单数时间复杂的度为n的四次⽅，较⼤，不能采取所以，我么可以采⽤⼀个类似离散数学的逻辑式⼦表⽰前两种砝码组合产⽣的情况这⾥ ||代表或 &&代表与（使⽤1g||不使⽤1g）&&（使⽤2g||不适⽤2g）=使⽤1g&&使⽤2g||不使⽤1g&&使⽤2g||使⽤1g&&不使⽤2g||不使⽤1g&&不使⽤2g思考：⼤家可以发现这个表达式和⼀种表达式很像，没错，如果把“||”看成加法，“&&”看成乘法，和多项式的乘法⼀模⼀样。
那么我们直觉的想到，有没有可能⽤多项式乘法来表⽰组合的情况呢？我们再来看题⽬，题⽬需要的是⼏种砝码组合后的重量，是⼀个加法关系，但是在上式中“&&”是⼀种类似于乘法的运算关系，这怎么办呢？有没有什么这样⼀种运算关系，以乘法的形式运算，但是结果表现出类似于加法的关系呢？正好有⼀个，那就是幂运算。
Xm 乘上Xn结果是Xm+n，他完美的符合了我们的要求。
那么以次数表⽰砝码的质量，就可以以多项式的形式表⽰砝码组合的所有⽅案。
还是以前俩个砝码为例说明。
表⽰1g砝码的两种多项式就是（x^0+x^1），表⽰2g砝码的两种多项式就是（x^0+x^2)，x的0次⽅表⽰没有使⽤该砝码，当然x的0次⽅等于1，所以写成1也是对的。
注意，砝码的重量是⽤次数表⽰的，⽽不是⽤下标表⽰的 （x^0+x^1)*(x^0+x^2) =x^0*x^0+x^1*x^1+x^0*x^1+x^1*x^2 =x^0+x^1+x^2+x^3 结果很显然，有四个⽅案；0g 1g 2g 3g 再试试四个砝码加⼀起的结果 ⼀个1g 2g 3g 4g （x^0+x^1）* （x^0+x^2） * （x^0+x^3）* （x^0+x^4） =x^0 + x^1 + x^2 + 2x^3 + 2x^4 + 2x^5 + 2x^6 + 2x^7 + x^8+ x^9 + x^10 结果就是0g 1g 2g 2个3g 2个4g 2个5g 2个6g 2个7g ⼀个8g ⼀个9g ⼀个10g ⾄此也就得出了答案。
CTRW总结精选全文
f (s) est F (t)dt 0
基本公式
L{F '(t)} sf (s) F (0)
t
L{
F (u)du}
f (s)
0
s
常用公式，在后面 推导中将经常运用 到
CTRW的原理 提出：CTRW最早是由Scher and Montrol提出，以解决不规则半导体 内部电子的反常扩散问题。
进一P(s, i)
代入D(ω)的公式。对ψ(t)求二次距我们可以的到：
D() 1 2rms ()i (i) /[1 (i)]
6
2 rms
()
s2 (s,i) / (i)
s
如此一来我们就把扩散系数和电导与时间分布
函数联系起来。
核心假设：认为粒子在一个时刻瞬 时地跳跃到另外的一个位置，这个 过程是随机地，并且在两次跳跃之 间的时间间隔服从一个概率分布函 数。
CTRW的原理图
CTRW的基本参数：
1、等待时间概率分布函数ψ(t)拉普拉斯变换
(s) est (t)dt 0
等待时间概率分布函数的数学形 式在很大的程度上决定了体系的 性质。
2、粒子的在某一位置存在时间大于t的 函数：
t
(t) 1 0 (t)dt
拉普拉斯变换
(s) 1 (s)
s
3.粒子在时间t时刻恰好走n步的概率
t
n (t)
0
n
(
)
(t
)
拉普拉斯变换
4.粒子在t时刻处于x的概率
n
(s)
n
(s)
1
s
(
s)
P(x,t) pn (x)n (t) n0
【工程数学课件】4.3 母函数
或取两次，L ，或取r次，L ，是用如下形式表示：
1 x x2 L xr +L
2!
r!
例5 证明从n个不同的物体中允许重复地选取r个物体 的排列数为nr。
解：设ar为所求的排列数，则序列(a0 ,a1,a2,L ,ar ,L )的 指数母函数为：
fe(x) 1
x
x2 2!
L
xr r!
每个物体出现偶数次的方式数。 解：设a2r为所求的方式数，则序列(a0 ,a1,L ,ar ,L )的普 通母函数为：
f
(x)
(1
x2
x4
L
)n
1
1 x2
n
r 0
n
r r
1
x2r
故有：a2r
n
r r
1
六、指数母函数在排列中的应用
与组合不同的是，某个物体在排列中不取，或取一次，
n n
x
n
1
xn
二、指数母函数
定义 fe ( x
)给 定 a0 一 a个1 1无 x! 穷a序2 x2列2! (aL0,
a1 ,L an
,xann n!
,L )，称函数
L
ai i0
xi i!
为序列(a0 ,a1,L ,an ,L )的指数母函数。
例5 容易得到序列(p(n,0), p(n,1),L , p(n, n))的指数母
x4)(142x4)L4(14 3x)
n
(1
x)n
n r 0
n
r
xr
x
r
的系数
n r
为从n个不同的物体选取r个的方法数.
(1 x x2L ) 表示某一物体可以不选，或选一次， 或选二次,…
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§1 母函数（生成函数）简介
对于取值非负整数的随机变量，其母函数有极其良好的性质且又便于计算和分析，因此引入母函数是非常必要的。
母函数又称生成函数(Generating function)。
母函数的定义
● 定义：对于数列}0,{≥n a n ，称幂级数
)1(0
≤∑∞
=s s
a n n
n 为}0,{≥n a n 的母函数。
● 定义：设X 为取值于非负整数随机变量，分布率为 ,2,1,0,}{===k p x X P k k ，则
称
1)(ˆ)(0
≤==∑∞
=s s p s E s g k k
k X
为随机变量X 的概率母函数，简称母函数。
一些常用分布的母函数
（1） 若).(~p n B X ，则n sp q s g )()(+=
（2） 若)(~λPo X ，则)1()(-=s e s g λ （3） 若)(~p G X ，则qs
ps
s g -=1)(
母函数的基本性质
（1）X 的母函数与其分布率是一一对应的，且有!
)
0()(k g p k k =
（2）设非负整值随机变量n X X X ,,,21 相互独立，而n g g g ,,,21 分别是它们的母函数，则∑==
n
k k
X
Y 1
的母函数为：
)()()()(21s g s g s g s g n Y =
（3）设随机变量X 的母函数为)(s g ，则有：
（a ）)1()(g X E '=
（b ）2)]1([)1()1()()(g g g X Var X D '-'+''==
母函数的应用
（4） 设n X X X ,,,21 独立同分布，且).1(~p B X i ，求∑==
n
k k
X
Y 1
的分布。
（5） 设21,X X 独立，且2,1,).(~=i p n B X i i ，证明),(~2121p n n B X X ++。
（6） 设21,X X 独立，且2,1,)(~=i Po X i i λ，证明)(~2121λλ++Po X X 。
§2 特征函数
1． 特征函数的定义
● 定义：如果Y X ,均为概率空间),,(P ∑Ω上的实值随机变量，则称Y i X +=ξ为一复
随机变量，且定义复随机变量的数学期望为EY i EX E +=ξ。
由以上定义，有}{sin }{cos }sin {cos }{X t iE X t E X t i X t E e E X t i +=+=。
● 定义：若随机变量X 的分布函数为)(x F X ，则称：
)()sin (cos ˆ)(ˆ)(x dF tx i tx x dF e Ee t X X itx itX ⎰⎰∞
∞
-∞∞
-+===ϕ
为随机变量X 的特征函数（c.f.）
● 特征函数其实就是随机变量函数的数学期望。
● 特征函数的简单性质
（1）由于1≤itX
e
，所以对任意随机变量，特征函数都有意义
（2）特征函数是一实变量的复值函数
（3）特征函数只与分布函数有关，因此又称为某一分布的特征函数
（4）若X 的特征函数为)(t ϕ，则bX a +的特征函数为)(}exp{
bt ita ϕ函数 （5）1)0(=ϕ
（6）对离散型的随机变量X ，其分布率为 2,1}{===j p x X P j j ，则其特征函数为∑∞
==
1
}exp{)(j j j
itx p
t ϕ，若是连续型随机变量，概率密度为)(x f ，则其特征函数为
⎰∞
∞
-=dx x f itx t )(}exp{)(ϕ。
2．几种常见分布的特征函数
（1） 若),1(~p B X ，则q p it t +=}exp{)(ϕ （2） 若)(~λPo X ，则)}1(exp{)(-=it e t λϕ （3） 若),(~2σμN X ，则⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
-=2221exp )(t t i t σμϕ
2． 特征函数的性质
性质1
1)0()(=≤ϕϕt ，且)()(t t ϕ=-。
性质2 )(t ϕ在),(∞+-∞上一致连续
性质3 若}{k
X E 存在，则对于),(∞+-∞∈t ，)
(t ϕk 阶可导，且
}{)()(itX k k k e X E i t =ϕ 特别有 }{)0()(k k k X E i =ϕ
性质 4 )(t ϕ具有非负定性，即对于任意的正整数n 及任意的实数n t t t ,,,21 与复数
n λλλ,,,21 ，总有：
0)(11
≥-∑∑==n k n
j j k j k
t t
λλϕ
性质 5 设n X X X ,,,21 相互独立，n ϕϕϕ,,,21 分别为它们的特征函数，则
n X X X Y +++= 21的特征函数为 n ϕϕϕ 21
3． 特征函数与分布函数的关系
● 定理1：分布函数)(x F 到特征函数)(t ϕ的变换是一一对应的。
● 定理2：分布函数序列}1,{≥n F n 与分布函数)(x F 具有关系：
)()(lim x F x F n n =∞
→ （对任意)(x F 的连续点）
当且仅当：
)()(lim t t n n ϕϕ=∞
→
其中)(t ϕ是)(x F 的特征函数，)(t n ϕ是)(x F n 的特征函数。