矩阵不可约的充要条件
关于不变子空间与特征子空间的专题讨论
关于不变⼦空间与特征⼦空间的专题讨论不变⼦空间命题：设σ为欧⽒空间V的对称变换，则σ的不变⼦空间W的正交补也是σ的不变⼦空间命题：设σ为n维欧⽒空间V的正交变换，则σ的不变⼦空间W的正交补W⊥也是σ的不变⼦空间，且W与W⊥均为σ−1的不变⼦空间参考答案命题：σ∈L(V,n,F)，σ有n个不同特征值λ1,⋯,λn，⽽W是σ的⼀个r维不变⼦空间，则σ在W上的限制σ|W有r个不同特征值，并且为λ1,⋯,λn中的r个命题：设T为有限维线性空间V的线性变换，W为V的T−不变⼦空间，则T|W最⼩多项式整除T的最⼩多项式命题：设σ∈L(V,n,F)，f(λ)为σ的特征多项式，则f(λ)在数域F上不可约的充要条件是V⽆关于σ的⾮平凡不变⼦空间命题：设σ是n维线性空间V的可对⾓化的线性变换，W是σ的不变⼦空间，则(1)存在σ的不变⼦空间W′，使得V=W⊕W′(2)设σ|W是σ在W上的限制线性变换，则σ|W可对⾓化命题：设f(x)为数域F上的线性空间V的线性变换σ的最⼩多项式，f(x)=p(x)q(x)，其中p(x)q(x)为数域F上的不同的不可约多项式，则存在σ的不变⼦空间V1,V2，使得V=V1⊕V2，且σ|V1的最⼩多项式为p(x)，σ|V2的最⼩多项式为q(x)命题：设σ∈L(V,n,F)，λ1,λ2,⋯,λs是σ的互不相同的特征值，且V=Vλ1⊕Vλ2⊕⋯⊕VλsW是σ的不变⼦空间，则(1)W=W∩Vλ1⊕W∩Vλ2⊕⋯⊕W∩Vλs(2)W的每⼀个向量η可唯⼀表⽰为η=ξ1+ξ2+⋯+ξs，其中ξi∈Vλi∩W,i=1,2,⋯,s(3)若σ有n个互异的特征根，求出σ的所有不变⼦空间命题：设σ是n维线性空间V的⼀个线性变换，V有由σ的特征向量构成的基，证明：V的任意⾮零的σ不变⼦空间W必有由σ的特征向量构成的基1命题：(10中科院六)设σ为n(n⩾维实线性空间V的线性变换，证明：\sigma⾄少有⼀个维数为1或2的不变⼦空间特征⼦空间\bf命题：设A为n阶矩阵，若存在n维列向量\alpha ，使得\alpha ,A\alpha , \cdots ,{A^{n - 1}}\alpha 线性⽆关，则A的特征⼦空间都是⼀维的\bf命题：附录(不变⼦空间)\bf命题：设\sigma为复线性空间V的线性变换，证明：\sigma相似于对⾓阵充要条件是对任意的\sigma不变⼦空间U，都有\sigma不变⼦空间W，使得V = U \oplus W1\bf命题：()()()Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/SuppMathOperators.js。
第7章new传递函数矩阵的矩阵分式描述和结构特性更新中
2
s 3
s 1 s3 s3 s4
s
s
s
2
s 1
解 首先构造G(s) 的右MFD。为此，定出G(s)各列的最小公分母如下： dc1(s) = (s+2)(s+3)2 ， dc2(s) = (s+3)(s+4) ，dc3(s) = (s+1)(s+2)
由此可以导出G(s)的右MFD为
G(s) Nr (s)Dr1(s)
Nr(s) = Qr(s)Dr(s) + R(s)
(7-31)
且 R(s)Dr-1(s) 是严真性有理矩阵，或者说在Dr(s)为列既约条件下
δcj R(s) < δcj Dr(s),
j=1,2,…,m
(7-32)
定理7-4的对偶定理 设Nl(s)和Dl(s)是两个r×m和r×r阶多项式矩阵，且
Dl(s)非奇异，则存在唯一的 r×m 阶多项式矩阵Ql(s)和L(s)使得
1 右MFD和左MFD 考虑p维输入和q维输出的连续线性时不变系统，其输入输出关系的传递
函数矩阵G(s)为q×p有理分式矩阵，其表示形式为
n11 ( s) d11 ( s)
n1p (s)
d1
p
(s)
G(s)
nq1
(
s)
nqp
(s)
dq1(s)
dqp (s)
(7 1)
严格真有理矩阵：有理矩阵 G(s) 满足 G(∞) = 0。 真有理矩阵：有理矩阵 G(s) 满足 G(∞) = G0 (非零常数)。
(6-2)
右分母矩阵： p×p 阶方阵Dr(s)；右分子矩阵： q×p 阶矩阵Nr(s)； 左分母矩阵： q×q 阶方阵Dl(s)； 左分子矩阵： q×p 阶矩阵Nl(s)。
α-链严格对角占优矩阵的一个充要条件
＜ １ 得 ：＜ １ ， 。 一
＜１ 。又对 任 意
则 由（ ） 知 ， 一 ２式 １
一
＜
ｌ Ａ） （ ｎＳ
一
， 以存 在 。 ＜１ 使 ： 所 ＜ ，
＜ ａ Ｒ ＜ ｎ
ｌ
ｎ Ｒ
（ Ａ） …
１
ｎ Ｓ ， Ａ） １ ， Ａ） （ 一 （
㈦ …
容 验 易 证一
…
证 明 ： 由 ＡＥＤ（ ） ， 然 Ｎ。 知 显 一０。而对任 意 的 ｉ ， ｌ ＞Ｒ （ Ｓ （ 成 立 。从 而 Ｉ ｝ ｝ ＥＮ 有 ａ ｌ Ａ） Ａ） ｎ ＞
ａｎ Ａ） （ 一 ａ ｌＳ （ 成 立 。 ｌＲ （ ＋ １ ）ｎ Ａ） 得 ａ ＞ 一ａ ＜ ；
Ｎ ｉ ａ ＞Ｒ （ 一Ｓ （ ） Ｎ。 ∈Ｎ Ｉａ １ Ｒ （ ，ａ ≤ Ｓ （ ） 一｛Ｅ ＮＩ ｌ Ａ） Ａ） ； Ｉ 一 ≤ Ａ） ｌ Ｉ Ａ） 。 ｌ
定 义 １ 设 Ａ一 （ ） ， 存在 ∈［ ，］ 使 ： ｎ ＥＣ 若 Ｏ１，
Ｉ ｌ Ｒ；Ａ） （ ａ ≥ （ Ｓ～ Ａ） （） １
Ｃ ｒｅ ｐ ｎ ｉｇ ａ ｔ ｏ ．Ｔｅ．： ８ — ４ ３ ６ ６ ８ １ － ｍａｌ ｓ ｃ ＠ １ ３ ｃ ｒ ｏ ｒｓ ｏ ｄｎ ｕ ｈ ｒ １ ＋ ６ １ — ８ ０ ２ ；ｅ ｉ：ｄ ｌ ６ ．ｏ ｎ
１ 基 本 概 念 与 引理
Ｈ一矩 阵作 为一 类特 殊而 重 要 的 矩 阵 ， 有 重要 的理 论 意 义 和 应 用 价值 ， 具 引起 了许 多 数 学 工 作 者 的 关
第３ 卷 第３ １ 期
２１ ０ １年 ９月
辽
宁
石
油
三次正多项式p_不可约的充要条件(精)
194宁波大学学报(理工版2006
成2个或2个以上正多项式的乘积.
定义3不能正分解的正多项式称作p -不可约的.
定义4设为一列不为0的实数,它的变号数定义为以下集合中的负数的个数
证明不失一般性,假设多项式的首项系数为1.由于1212( n n n n f x x a x a x a −−=+++⋅⋅⋅+为正
多项式,所以,而00(12n i a a i n >≥=⋅⋅⋅−,
,, , 1 var( 0f =.又易知( f x在复数域上有个根,
而n ( f x有个实根,即n ( f x的根全部是实根.根据引理1,可知( f x的正根个数为0.
第19卷第2期宁波大学学报(理工版V ol.19 No.2 2006年6月JOURNAL OF NINGBO UNIVERSITY ( NSEE June 2006
文章编号:1001-5132(2006 02-0193-03
三次正多项式p -不可约的充要条件
解烈军
(宁波大学理学院,浙江宁波315211
摘要:通过对所有可能正分解的详细讨论,给出了三次正多项式p -不可约的显式充要条件,该条件为由三次正多项式的系数构成的一个简单不等式.本文使用的主要工具是笛卡尔符号法则的推论和多项式完全判别系统相关结论等.
关键字:正多项式; p -不可约;充要条件
中图分类号:O151.1文献标识码:A
在许多生理过程中都包含所谓的“蛋白质-配位体的键合(protein-ligand binding ”过程.在众多的用于描述和解释这个过程的数学模型中, Wyman J [1]引入了键合多项式(binding polyno- mial这个基本工具.在生物化学领域,这样的一个事实是熟知的:如果某个大分子的键合多项式是p -不可约的,则其所有键合位点组成“联动结构” (linkage ,即配位体在一个位点的键合会加速或抑制其他位点的键合过程.反之,如果对应的键合多项式有正分解,则其位点可以分解成若干独立的组,不同组的位点互不影响.
马尔科夫链的状态分类
0
（2）i是正常返态
p(n) ii
n0
且
lim
n
p(n) ii
0
定理10 若 i, j 为常返态，且i j ，
则 i, j 同为正常返或同为零常返
证明 设 i, j 为常返态 因为i j
所以存在正整数
k、m，使
p(k) ij
0
，
p (m) ji
0
对于任意正整数 r， 由切普曼---可尔莫哥洛夫方程得
能再返回i，这与i是常返态旳 fii 1 相矛盾。
再由定理6知，j也是常返态， 这就是说，
自常返态出发，只能到达常返态，不能到达瞬时态。
故常返态全体构成一种闭集
4．状态空间旳分解
假如已知类中有一种常返态，则这个类中其他状态 都是常返旳； 若类中有一种瞬时态，则类中其他状态都是瞬时态。
若对不可约马氏链，则要么全是常返态，要么全是 瞬时态。
f (k) ij
fij
1 收敛， 故其尾部
f (k) ij
当
N
时趋于
0，
k 1
k N 1
即第二项当 N 时趋于 0， 从而推论得证。
阐明 用极限判断状态类型旳准则
（1）i是瞬时态
p(n) ii
n0
（这时 lim n
p(n) ii
0）
（2）i是零常返态
p(n) ii
n0
且
lim
n
p(n) ii
m1
f p (m) (nm)
ij
jj
f p (n) (0) ij jj
f (n) ij
0
所以 i j
推论 i j 的充要条件是 fij 0 且 f ji 0
3.5李氏定理
= iClkj 伴随表示的生成元与李群结构常数直接相关
10
可利用李氏第三定理验证这组矩阵I 可利用李氏第三定理验证这组矩阵Iad满足对易关系
[I ad , I ad ] = i ∑ C p (I ad ) rs j k jk p
p
综上：以下两式是伴随表示的基本性质，伴随表示的许多 综上：以下两式是伴随表示的基本性质， 应用都来自这两个式子
l jk
反之，满足上述对易关系的g个矩阵 个矩阵， 反之，满足上述对易关系的g个矩阵，可以作为李群表 示的一组生成元，确定李群的一个单值或多值表示。 示的一组生成元，确定李群的一个单值或多值表示。 因生成元是微量微分算符在表示空间的矩阵形式， 因生成元是微量微分算符在表示空间的矩阵形式，所以 微量微分算符也满足形同的对易关系
四、李群的伴随表示
1、性质 、 伴随表示的定义 RSR-1=T t j = ψ j (s1 , s 2 ,...; r1 , r2 ,...) ≡ ψ j (s; r ) D(R)D(S)D(R)-1=D(T)
∂ψ k (s; r ) 两边对参数s 求导数，且取s ， 两边对参数 j求导数，且取 j=0，并令D (R ) = ∂s j 9
l
D( A ) = 1 − i ∑ α j I j , I j = i
j=1
g
∂D(A) ∂α j
α =0
D(R ) −1 = 1 + i ∑ rl I l
l
伴随表示也用生成元展开 D ad (R ) = δ kj − i ∑ rl (Ilad ) kj kjl来自将三个展开式代入最上式可得
(I )
ad l kj
3
定理一从数学上严格描述了无穷小元素如何决定李群 性质，即前面讲的“无穷多个无穷小元素乘积” 性质，即前面讲的“无穷多个无穷小元素乘积”的数 学描述。其中组合函数fj(r;s)具体形式很复杂，没必要 学描述。其中组合函数 具体形式很复杂， 具体形式很复杂 写出。 写出。 李氏第一定理重点在于理论研究，而不是实际计算； 李氏第一定理重点在于理论研究，而不是实际计算； 解决的问题： 解决的问题：简单李群的生成元决定了李群任意元素 的表示矩阵 Ij→D(R) 原来必须由表示矩阵来判定的表示性质，现只用生成 原来必须由表示矩阵来判定的表示性质， 元判定即可 推论一 若简单李群两个表示的所有生成元间存在同一相 似变换关系， 似变换关系，则这两个表示等价 I j = X − 1 I j X 简单李群表示不可约的充要条件： 简单李群表示不可约的充要条件：表示空间不存 非平庸不变子空间) 在对所有生成元不变的子空间(非平庸不变子空间 4 非平庸不变子空间
不可约多项式的判定及应用(黄嘉盛)详解
不可约多项式的判定及应用多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念.本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳，较为系统的给出不可约多项式 Perron 判别法、Browm 判别法等。
研究了各判定方法的等价和包含关系。
此外，我们还给 出了不可约多项式的一些应用。
关键词不可约多项式；判定方法；应用2.不可约多项式的概念及性质2.1整除的概念设P 是一个数域，对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x)，其中g(x)H0，定有P[x]中的多项式q(x)， r(x)存在，使得f(x) =q(x)g(x)+ r(x)成立，其中c(r(x))<c(g(x))或者r(x)=0,并且这样的q(x)，r(x)是唯一决定的。
定义2.1数域P 上的多项式g(x)称为能整除f(x)，如果有数域P 上的多项式h(x)使等式f (x) = g(x)h(x)我们用g(x)|f(x) ”表示g(x)整除f(x)，用g(x) f (x) ”表示g(x)不能整除 f (x)。
定理2.1⑴ 对于数域P 上的任意两个多项式f(x) , g(x),其中的判定方法。
对于一般的不可约多项式的判定有 Eisenstein 判别法、Kronecker 判别法、 成立，H0, g(x) | f (x)的充分必要条件是g(x)除f (x)的余式为零。
证明：如果r(x) = 0那么f(x) = q(x)g(x),即g(x) | f (x)。
反过来，如果g(x) | f(x)，那么 f(x) = q(x)g(x) = q(x)g(x) +0, 即卩 r(x) = 0。
注1:带余除法中g(x)必须不为零。
F 面介绍整除性的几个常用性质：(1)如果 f(x) | g(x), g(x) | f (x)，那么 f(x)=cg(x)，其中 c 为非零常数。
(2)如果 f(x) | g(x), g(x) |h(x)，那么 f(x) | h(x)(整除的传递性)。
图的连通分支数的邻接矩阵判定
图的连通分支数的邻接矩阵判定王晓【摘要】连通性是图的基本性质之一,由定义来判断顶点数和边数较大的图的连通性和连通分支数比较困难.结合图的邻接矩阵,给出判断图的连通性的两个充要条件,并给出判断图的连通分支数的一个兖要条件和非负对称不可约矩阵的一个充要条件.【期刊名称】《商洛学院学报》【年(卷),期】2014(028)006【总页数】3页(P6-7,22)【关键词】图的连通性;连通分支数;邻接矩阵【作者】王晓【作者单位】商洛学院数学与计算机应用学院,陕西商洛726000【正文语种】中文【中图分类】O157.5图的连通性[1-2]是图论中基本概念之一，设G=(V(G)，E(G))表示一个图，V(G)和E(G)分别表示图G的顶点集和边集。
对u，v∈V(G)，图G中连接顶点u与v的点和边的交错序列称为uv链，内部点互不相同的链称为路。
图G中若存在连接顶点u与v的路，则称u与v是连通的。
顶点集V(G)上顶点之间的连通关系是等价关系，这种等价关系将V(G)分成等价类V1，V2，…，Vω，使得u，v∈Vi当且仅当u和v是连通的。
这些顶点子集的导出子图G[V]1，G[V]2，…，G[V]ω称为图G的连通分支，ω称为连通分支数，记为ω(G)。
若ω(G)=1则称为连通图，否则称为非连通图。
图的连通性是图论中研究的经典问题，一直是国内外学者研究[3-5]的重点,图的很多性质都与它连通性密切相关[6-8]。
对于结构简单的图判断其连通性及连通分支数利用定义即可，但对于顶点和边数较多的图来说，就比较困难，尤其不利于应用计算机程序来解决。
图的邻接矩阵是研究图的代数性质很好工具[9-10]。
本文利用图的邻接矩阵，给出判断图的连通性的两个充要条件，并给出判断图的连通分支数的一个充要条件，最后给出判断非负对称不可约矩阵的一个充要条件。
图G=(V(G)，E(G))的顶点集为V(G)={v1，v2，…，Vn}，则图G的邻接矩阵为A(G)=(aij)n×n，其中，由此，给出判断图的连通性的两个充要条件。