定积分在经济分析中的应用

r m ⋅t F = lim P (1 + ) = Pe r ⋅ t m→∞ m
若要从终值F求原来的投资初值 ，则有现值公式： 若要从终值 求原来的投资初值P，则有现值公式： 求原来的投资初值 − r ⋅t (*) P = Fe 此时，公式中的时间变量 为连续的变量 为连续的变量。 此时，公式中的时间变量t为连续的变量。 若仍假定收入流以每年a元的变化率进行，则在从 年到 若仍假定收入流以每年 元的变化率进行，则在从t年到 元的变化率进行 （t+∆t）年的小时间间隔内得到的收入（近似地）为a·∆t . ）年的小时间间隔内得到的收入（近似地）
由于R′(x)= MR(x) 由于
所以 R( x ) =
y S H N P Q O M
∫
x
0
M R ( x )dx + C
R(x) AR(x) MR(x)
x
由于R(0)=0，所以C=0, ，所以 由于
R( x ) =
∫
x
0
M R ( x )dx
(1 )
在几何图形上是以边际收益曲线M (x)为曲边的曲边梯形 在几何图形上是以边际收益曲线MR(x)为曲边的曲边梯形 OMQS的面积（图中阴影部分）。 的面积（图中阴影部分）。 的面积 当产量为x时 相应的平均收益为 当产量为 时，相应的平均收益为AR(x)，总收益为 ， R(x)=x· AR(x) （2） ） 在几何图形上总收益R(x)为矩形 为矩形OMPN的面积。 的面积。 在几何图形上总收益 为矩形 的面积
r mn F = P (1 + ) 已知） ( P已知） m r − mn P = F (1 + ) ( F已知） 已知） m
上述几个公式中的时间n都是离散取值的。 上述几个公式中的时间 都是离散取值的。 都是离散取值的 单笔投资P在连续复利（每年计息无数次）的条件下， 单笔投资 在连续复利（每年计息无数次）的条件下，t 在连续复利 年后的复利终值F为 年后的复利终值 为：
a P = (1 − e − tr ) r
下面推证上述现值公式。 下面推证上述现值公式。 如设年利率为r，单笔投资为 ，每年计息一次， 如设年利率为 ，单笔投资为P，每年计息一次，则n年后 年后 复利终值为： 复利终值为： F=P（1+r)n （
年后的终值F为已知 若n年后的终值 为已知，则在当前的投资现值 为： 年后的终值 为已知，则在当前的投资现值P为 P=F（1+r)-n （ 若每年计息m次 每次利率为r ， 年共计息 年共计息nm次 若每年计息 次，每次利率为 /m，n年共计息 次，则n 年后的复利终值和当前的投资现值公式分别为： 年后的复利终值和当前的投资现值公式分别为：
用定积分表示， 用定积分表示，即
P = ∫ f ( t )e dt
0
x
− rt
例3
已知一连续的收入流，收入率为每年 已知一连续的收入流，收入率为每年1000元。 元
年且连续计息的利率为每年0.05，求 （1）若收入流延续了 年且连续计息的利率为每年 ）若收入流延续了2年且连续计息的利率为每年 ， 现值P。 现值 （2）若收入流在第三年底终止，连续利率 ）若收入流在第三年底终止，连续利率0.04，求现值 。 ，求现值P。 解：（1）已知 ）已知a=1000元，t=2年，r=0.05 则现值 元 年
∫
x
0
C ′( t )dt + C 0 =
∫
x
0
2 e 0.2 t dt + 90
= 10 e 0 .2 x + 80
已知生产某产品x单位 百台） 单位（ 例2： ： 已知生产某产品 单位（百台）的边际成本函数和边际 收益函数分别为
C ′( x ) = 3 +
1 x ( 万元 / 百台）， R ′( x ) = 7 − x ( 万元 / 百台） 百台） 百台） 3
），求总成本函数 （1）若固定成本 ）若固定成本C(0)=1（万元），求总成本函数、总收益 （万元），求总成本函数、 函数及总利润函数。 函数及总利润函数。 台增加到500台时 ，求总成本和总收益。 （2）当产量从 ）当产量从100台增加到 台增加到 台时 求总成本和总收益。 （3）产量为多少时，总利润最大？最大利润为多少？ ）产量为多少时，总利润最大？最大利润为多少？ 解：(1 )总成本 C ( x ) = C ( 0 ) +
P=
∫
x
0
ae
− rt
a − rt x a dt = − ⋅ e |0 = (1 − e − rx ) r r
当x=t时，就得到要推证的收支流的现值公式： 时 就得到要推证的收支流的现值公式：
a − rt P = (1 − e ) r
一般地， 不是常数， 的函数f(t)， 一般地，若a不是常数，而是时间 的函数 ，则在连续 不是常数 而是时间t的函数 复利且年利率为r的条件下，持续 年的资金收支流的现值可 复利且年利率为 的条件下，持续x年的资金收支流的现值可 的条件下
2、推证收支流的现值公式 、 所谓收支流是指连续均匀地收入或支出。 所谓收支流是指连续均匀地收入或支出。 比如一台冰箱采用某种节能技术后，每月电费比原来节省 比如一台冰箱采用某种节能技术后，每月电费比原来节省a 元是持续了一个月的资金收入流， 元，这a元是持续了一个月的资金收入流，不是在月底一次性收 元是持续了一个月的资金收入流 到的，而是随时间的推移均匀积累满一个月而收到的。 到的，而是随时间的推移均匀积累满一个月而收到的。 所谓收支流的现值公式，就是一年之内， 所谓收支流的现值公式，就是一年之内，连续均匀地收到 的钱， 的条件下， （或支出）总数为a的钱，在连续复利，年利润率为 的条件下， 或支出）总数为 的钱 在连续复利，年利润率为r的条件下 持续了t年 则这笔钱的现值为： 持续了 年，则这笔钱的现值为：
1000 P= (1 − e − 0.05×2 ) = 2000(1 − e − 0.1 ) ≈ 1903.25 元） （ 0.05
（2）已知 ）已知a=1000元，t=3年，r=0.04 则现值 元 年
1000 P= (1 − e − 0.04×3 ) = 25000 × (1 − e 0.12 ) ≈ 2826.99 元） （ 0.04
R ′( x )dx = R ( 5 ) − R (1 )
1 1 2 万元） = ( 7 × 5 − × 5 ) − ( 7 × 1 − × 1 2 ) = 16 ( 万元） 2 2
（3）由 L′( x ) = 4 − 4 x = 0 , 得惟一驻点 x = 3(百台）， 百台）， 3 4 总利润最大， 此时 L ′′ ( x ) = − < 0 , 故 x = 3时，总利润最大， 3 2 5 万元） 最大利润为 L ( 3 ) = − 1 + 4 × 3 − × 3 2 = （万元） 3
第六节 定积分在经济分析中的应用
一、分析经济量的平均和边际之间的关系 下面以收益函数为例加以讨论。 下面以收益函数为例加以讨论。
S y H P Q O M
对于商品市场活动， 对于商品市场活动，通常可用 三种函数（总函数、平均函数 三种函数（总函数、
N
R(x) AR(x) MR(x)
x
及边际函数）和三条曲线来描述。 及边际函数）和三条曲线来描述。
由于利息是连续复利，所以在年利率为 时 的现值按（ ） 由于利息是连续复利，所以在年利率为r时a·∆t的现值按（*） 的现值按 式得a·e 若这个收入延续了x年 则将区间[0,x]进行分 式得 -rt·∆t 。若这个收入延续了 年，则将区间 进行分 ，得现值积分微元dP= a·e-rt·dt，于是 割，任取[t,t+∆t]⊂[0,x]，得现值积分微元 任取 ⊂ , ，得现值积分微元 ，
台增加到500台时 台时， （2）产量从 ）产量从100台增加到 台时，总成本为 台增加到
∫
5
1
C ′( x )dx = C (5) − C (1)
1 2 1 2 = (1 + 3 × 5 + × 5 ) − (1 + 3 × 1 + × 1 ) = 16 万元） （万元） 6 6 总收益为
∫
5
1
x
∫
x
0
C ′( t )dt
1 1 2 万元） = 1 + ∫ ( 3 + t )dt = 1 + 3 x + x (万元） 0 3 6 x 总收益 R ( x ) = R ( 0 ) + ∫ R ′( t )dt 0 x 1 2 万元） = 0 + ∫ ( 7 − t ) dt = 7 x − x ( 万元） 0 2 2 2 万元） 总利润 L( x ) = R( x ) − C ( x ) = −1 + 4 x − x (万元） 3
设商品产量为x，商品投入市场的总收益为 设商品产量为 ，商品投入市场的总收益为R(x)，平均收益 ， 为AR(x)，边际收益为 R(x)，对应曲线如图所示。 ，边际收益为M ，对应曲线如图所示。 当产量为x=OM时，过M作垂线分别交 作垂线分别交R(x)、 AR(x)及MR(x) 当产量为 时 作垂线分别交 、 及 三条曲线为H、 、 三点 三点， 三条曲线为 、P、Q三点，此时 R(x)=MH, AR(x)=MP, MR(x)=MQ
的函数C´ 例1：某企业的边际成本是产量 的函数 ´(x)=2e0.2x,当固定 ：某企业的边际成本是产量x的函数 当固定 成本C 成本 0=90时，求总成本函数 时 求总成本函数C(x)。 。 解： 因为 因为C(x)为C′(x)的一个原函数，所以 的一个原函数， 为 的一个原函数
C ( x) =）、（2） 由（1）、（Fra bibliotek）两式得 ）、（
AR ( x ) ⋅ x = ∫ M R ( x )dx