根与系数关系练习
一．选择题（共18小题）1．（2011•自贡）已知x1、x2是方程x2+6x+3=0的两个实数根，则的值等于（）A．﹣6 B．6 C．10 D．﹣102．（2011•咸宁）若关于x的方程x2﹣2x+m=0的一个根为﹣1，则另一个根为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．33．（2011•武汉）若x1，x2是一元二次方程x2+4x+3=0的两个根，则x1•x2的值是（）A．4 B．3 C．﹣4 D．﹣34．（2011•随州）下列说法中①一个角的两边分别垂直于另一角的两边，则这两个角相等②数据5，2，7，1，2，4的中位数是3，众数是2③等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形④Rt△ABC中，∠C=90°，两直角边a、b分别是方程x2﹣7x+7=0的两个根，则AB边上的中线长为正确命题有（）A．0个B．1个C．2个D．3个5．（2011•黔东南州）若a、b是一元二次方程x2﹣2011x+1=0的两根，则的值为（）A．2010 B．2011 C．D．6．（2011•南通）若3是关于方程x2﹣5x+c=0的一个根，则这个方程的另一个根是（）A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．57．（2011•南昌）已知x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根，则方程的另一个根是（）A．1 B．2 C．﹣2 D．﹣18．（2011•昆明）若x1，x2是一元二次方程2x2﹣7x+4=0的两根，则x1+x2与x1•x2的值分别是（）A．﹣，﹣2 B．﹣，2 C．，2 D．，﹣29．（2011•贵港）若关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0的一个根为﹣1，则另一个根为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣210．（2010•玉溪）一元二次方程x2﹣5x+6=0的两根分别是x1，x2，则x1+x2等于（）A．5 B．6 C．﹣5 D．﹣611．（2010•武汉）若x1，x2是方程x2=4的两根，则x1+x2的值是（）A．8 B．4 C．2 D．012．（2010•铜仁地区）已知x=0是方程x2+2x+a=0的一个根，则方程的另一个根为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．213．（2010•日照）如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=1，那么p，q的值分别是（）A．﹣3，2 B．3，﹣2 C．2，﹣3 D．2，314．（2010•眉山）已知方程x2﹣5x+2=0的两个解分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1•x2的值为（）A．﹣7 B．﹣3 C．7 D．315．（2010•昆明）一元二次方程x2+x﹣2=0的两根之积是（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．216．（2010•滨州）一元二次方程x2+kx﹣3=0的一个根是x=1，则另一个根是（）A．3 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣217．（2010•包头）关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=7，则（x1﹣x2）2的值是（）A．1 B．12 C．13 D．2518．（2009•宜昌）设方程x2﹣4x﹣1=0的两个根为x1与x2，则x1x2的值是（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．0二．解答题（共5小题）19．已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2=0的两个实数根，使得（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80成立，求其实数a的可能值．20．设x1，x2是方程2x2+4x﹣3=0的两个根，求下列各式：（1）；；（3）．21．已知：关于的方程x2﹣kx﹣2=0．（1）求证：无论k为何值时，方程有两个不相等的实数根．（2）设方程的两根为x1，x2，若2（x1+x2）＞x1x2，求k的取值范围．22．（1）设α、β是方程x2+2x﹣9=0的两个实数根，求α2β+αβ2的值．（2）先化简，再求值：．23．在解方程x2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与﹣3；小王看错了q，解得方程的根为4与﹣2．（1）求p和q的值；（2）设α，β是方程x2+px+q=0的两实数根，不解方程求α2+2β2+pβ的值．答案与评分标准一．选择题（共18小题）1．（2011•自贡）已知x1、x2是方程x2+6x+3=0的两个实数根，则的值等于（）A．﹣6 B．6 C．10 D．﹣10考点：根与系数的关系。
专题：计算题。
分析：由x1、x2是方程x2+6x+3=0的两个实数根，根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后将所求的式子通分后，再利用完全平方公式变形后，将求出的两根之和与两根之积代入即可求出值．解答：解：∵x1、x2是方程x2+6x+3=0的两个实数根，∴x1+x2=﹣=﹣6，x1x2==3，则====10．故选C点评：此题考查了根与系数的关系，当一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有解，即b2﹣4ac≥0时，可设方程的两解为x1，x2，则有x1+x2=﹣，x1x2=．2．（2011•咸宁）若关于x的方程x2﹣2x+m=0的一个根为﹣1，则另一个根为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3考点：根与系数的关系。
专题：计算题。
分析：设方程另一个根为x1，根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+（﹣1）=2，解此方程即可．解答：解：设方程另一个根为x1，∴x1+（﹣1）=2，解得x1=3．故选D．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．3．（2011•武汉）若x1，x2是一元二次方程x2+4x+3=0的两个根，则x1•x2的值是（）A．4 B．3 C．﹣4 D．﹣3考点：根与系数的关系。
专题：方程思想。
分析：根据一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=解答并作出选择．解答：解：∵一元二次方程x2+4x+3=0的二次项系数a=1，常数项c=3，∴x1•x2==3．故选B．4．（2011•随州）下列说法中①一个角的两边分别垂直于另一角的两边，则这两个角相等②数据5，2，7，1，2，4的中位数是3，众数是2③等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形④Rt△ABC中，∠C=90°，两直角边a、b分别是方程x2﹣7x+7=0的两个根，则AB边上的中线长为正确命题有（）A．0个B．1个C．2个D．3个考点：根与系数的关系；垂线；直角三角形斜边上的中线；勾股定理；等腰梯形的性质；中位数；众数。
分析：①一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，这两个角互补．②在这组数据中，中位数是2和4的平均数，出现次数最多的数是2，可以求出中位数和众数．③等腰梯形是轴对称，而不是中心对称．④利用根与系数的关系得到a+b=7，ab=7，然后利用勾股定理求出斜边AB，得到斜边中线的长．解答：解：①一个角的两边垂直于另一个角的两边，这两个角互补，而不是相等，所以①错误．②数据1，2，2，4，5，7，中位数是（2+4）=3，其中2出现的次数最多，众数是2，所以②正确．③等腰梯形只是轴对称图形，而不是中心对称图形，所以③错误．④根据根与系数的关系有：a+b=7，ab=7，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=49﹣14=35，即：AB2=35，AB=∴AB边上的中线的长为．所以④正确．故选C．点评：本题考查的是根与系数的关系，利用基本概念对每个命题进行分析，作出正确的判断．5．（2011•黔东南州）若a、b是一元二次方程x2﹣2011x+1=0的两根，则的值为（）A．2010 B．2011 C．D．考点：根与系数的关系。
分析：因为a、b是一元二次方程x2﹣2011x+1=0的两根，有根与系数的关系可得a+b和ab的值，把通分，再把a+b和ab的值代入即可得到问题的答案．解答：解：∵a、b是一元二次方程x2﹣2011x+1=0的两根，∴a+b=2011，ab=1，又∵=，∴==2011，故选B．点评：本题考查了根与系数的关系：若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=，反过来也成立，即=﹣（x1+x2），=x1x2．6．（2011•南通）若3是关于方程x2﹣5x+c=0的一个根，则这个方程的另一个根是（）分析：由根与系数的关系，即3加另一个根等于5，计算得．解答：解：由根与系数的关系，设另一个根为x，则3+x=5，即x=2．故选B．点评：本题考查了根与系数的关系，从两根之和为出发计算得．7．（2011•南昌）已知x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根，则方程的另一个根是（）A．1 B．2 C．﹣2 D．﹣1考点：根与系数的关系。
专题：计算题。
分析：根据根与系数的关系得出x1x2==﹣2，即可得出另一根的值．解答：解：∵x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根，∴x1x2==﹣2，∴1×x2=﹣2，则方程的另一个根是：﹣2，故选C．点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，得出两根之积求出另一根是解决问题的关键．8．（2011•昆明）若x1，x2是一元二次方程2x2﹣7x+4=0的两根，则x1+x2与x1•x2的值分别是（）A．﹣，﹣2 B．﹣，2 C．，2 D．，﹣2考点：根与系数的关系。
专题：推理填空题。
分析：根据根与系数的关系得出x1+x2=﹣，x1•x2=，代入即可求出答案．解答：解：2x2﹣7x+4=0，x1+x2=﹣=，x1•x2==2．故选C．点评：本题主要考查对根与系数的关系的理解和掌握，能熟练地运用根与系数的关系进行计算是解此题的关键．9．（2011•贵港）若关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0的一个根为﹣1，则另一个根为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2考点：根与系数的关系。
专题：计算题。
分析：根据一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=来求方程的另一个根．解答：解：设x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0的两个根，∴由韦达定理，得x1•x2=﹣2，即﹣x2=﹣2，解得，x2=2．即方程的另一个根是2．故选C．10．（2010•玉溪）一元二次方程x2﹣5x+6=0的两根分别是x1，x2，则x1+x2等于（）A．5 B．6 C．﹣5 D．﹣6考点：根与系数的关系。
分析：根据根与系数的关系即可求得两根的和．解答：解：∵一元二次方程x2﹣5x+6=0的两根分别是x1，x2，∴x1+x2=﹣=5；故选A．点评：此题主要考查的是一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程y=ax2+bx+c（a≠0）的两个实数根分别是x1、x2，则：x1+x2=﹣，x1x2=．11．（2010•武汉）若x1，x2是方程x2=4的两根，则x1+x2的值是（）A．8 B．4 C．2 D．0考点：根与系数的关系。
根与系数关系经典习题
欢迎阅读一.填空题1. 如果冷冷是方程x2—7x + 2 = 0的两个根，那么x, +x2 = ______________________________ 。
2 2 22. 已知一元二次方程x -3x-5 = 0的两根分别为x i、x2，那么召+X2的值是__________________ 。
3. 若方程x2-2x+k=0的两根的倒数和是6 7 8，则k= 。
3..选择题1. 下列方程中，两实数根之和等于2的方程是（）I / _-------- .A. x2 2x-3=0B.x2-2x 3 = 0C. 2X2-2X-3=0D.3x2-6x 1=02. 如果一元二次方程x2，3x-2 = 0的两个根为x1> x2，那么x1 x2与x1x2的值分别为（）A. 3，2B. -3, - 2C. 3, - 2D. -3，23. 如果方程汶-6x+3二0的两个实数根分别为x、冷，那么X1X2的值是（）3 3A. 3B. -3C. —D.——2 24. 如果x1、x2是方程x2-3x+1 = 0的两个根，那么丄+丄的值等于（）X1 X21 1A. - 3B. 3C.D.-3 325. 已知关于X的方程x -（k 2）x 6^ 0有两个相等的正实数根，则k的值是（）■I I ;A. 2B. - 10C. 2 或-10D. 2『56 若方程x2二8x • m = 0两实数根的平方差为16，则m的值等于（）\ ""■■■•, 11A. 3B. 5C. 15D. - 157 如果X1、X2是两个不相等的实数，且满足- 2x1= 1，x22 - 2x2 =1，那么X1X2等于（）A. 2B. -2C. 1D. - 18. 对于任意实数m，关于x的方程（m21）x2-2mx （m24^ 0一定（）A.有两个正的实数根B.有两个负的实数根C.有一个正实数根、一个负实数根D.没有实数根三.解答题1. 已知关于x的方程x2-（k-1）x • k • 1 =0的两上实数根的平方和等于4,求实数k的值。
一元二次方程根与系数的关系习题(配答案)
一元二次方程根与系数旳关系习题一、单选题:1.有关x 旳方程0122=+-x ax 中，如果0<a ，那么根旳状况是（ B ）(A ）有两个相等旳实数根 （Ｂ）有两个不相等旳实数根（C ）没有实数根 （Ｄ)不能拟定a 4)2(2--=∆ 解： 04>-∴a 实数根。
原方程有两个不相等的∴a 44-= 044>-∴a0<a 0>∆即2.设21,x x 是方程03622=+-x x 旳两根，则2221x x +旳值是（ C )(Ａ）1５ （B)12 （C)6 （D ）３21x x ，方程两根为解： 2122122212)(x x x x x x -+=+∴ 2332121==+x x x x ， 623232=⨯-= 3.下列方程中，有两个相等旳实数根旳是( B ）（A ） 2y 2+5=6y(B)x ２＋５=2错误!ｘ(Ｃ）错误!x 2-错误!x+2=０（D)3ｘ2-2错误!x+1=0 )0(”的方程即可本题为找出“=∆4.以方程x 2＋2ｘ－３=0旳两个根旳和与积为两根旳一元二次方程是( B )（A ） y ２+5y －6=0 (B ）ｙ2+５y ＋６=０ （Ｃ）ｙ2－５y ＋６=０ (D)y 2－５y-6=0，则：，解：设方程两根为21x x 0)3)(2()]3()2[(2=--+-+--y y322121-=-=+x x x x ， 0652=++y y 即：：为根的一元二次方程为和以32--∴５．如果21x x ，是两个不相等实数,且满足12121=-x x ,12222=-x x ,那么21x x •等于( D )(A)２ （B ）－2 （C ） 1 （D)－1 1212222121=-=-x x x x ，解： 的两根12221=-∴x x x x 可看作是方程， 121-=∴x x二、填空题:１、如果一元二次方程0422=++k x x 有两个相等旳实数根,那么k ＝2±。
初中根与系数的关系复习题 附答案
10．已知关于 x 的方程（m-2）x2-（m-1）x+m=0． （1）请你选取一个合适的整数 m，使方程有两个有理数根，并求出这两个根； （2）当 m＞0，且 m2-2m＜0 时，讨论方程的实数根的情况．
11．（2013•平谷区一模）已知关于 m 的一元二次方程 2x2+mx-1=0． （1）判定方程根的情况； （2）设 m 为整数，方程的两个根都大于 -1 且小于
b a a b
3 ，那么它的另一个根是为
3
是关于 x 的方程 x2-4x+c=0 的一个根，则 c 的值是
7．已知关于 x 的方程 2x2-mx-6=0 的一个根 2，则 m=
，另一个根为
8．若 x1，x2 是方程 3x2-|x|-4=0 的两根，则
x1 x 2 1 的值 x1 x 2
9．方程 x2-3x+1=0 中的两根分别为 a 、b，则代数式 a 2-4 a -b 的值为
2
2
18．已知 x1，x2 是方程 x2-2x-2=0 的两实数根，不解方程求下列各式的值： （1）
2 2 x1 x 2
；
（2）
1 1 x1 x 2
19． 已知关于 x 的方程 x
2
x2 的积是两根和的两倍， ①求 m 的值； (2m 3) x m 2 6 0 的两根 ，求 a b 的值．
23．要在一个长 10m，宽 8m 的院子中沿三边辟出宽度相等的花圃，使花圃的面积等于院子面积的 30%， 试求这花圃的宽度．
24．某电热器经过两次降价后，利润由 20 元降到 5 元，已知降价前该产品的利润率是 25%，解答下列问 题： （1）求这种电热器的进价； （2）求经过两次降价后的售价； （3）求每次降价的平均降价率？（精确到 1%）
根与系数关系经典习题
一.填空题X2—7X+ 2 = 0的两个根,那么Xi+X2=1.如果%、%是方程2 2 22 .一元二次方程x2-3x-5 = 0的两根分别为x i、X2,那么X i +X2的值是o3 .假设方程X2 -2X+k =0的两根的倒数和是8,那么卜二.3二.选择题1 .以下方程中,两实数根之和等于2的方程是〔〕I / _ ----- .A. x2+2x-3=0B.x2-2x + 3 = 0C. 2x2-2x-3=0D. 3x2-6X+1=02 .如果一元二次方程X2 +3x-2 =0的两个根为Xp x2,那么X1+x2与X1X2的值分别为〔〕A. 3, 2B. -3, -2C. 3, -2D. -3, 23 .如果方程2x2 -6x+3=0的两个实数根分别为X、",那么X1X2的值是〔〕A. 3B. -3C. - 3D. 3—2 24.如果X、X2是方程X2-3X+1 = 0的两个根,那么二十1的值等于〔〕X1 X2A. - 3B. 3C. 1D. - 13 325 .关于x的方程x -〔k+2〕x+6-k-0有两个相等的正实数根,那么k的值是〔〕■■, I ;A. 2B. - 10C. 2 或-10D. 2 V?\ \ '1\ V'"一二一：6 .假设方程x2 -8x+m = 0两实数根的平方差为16,那么m的值等于〔〕I i y「'J I1A. 3B. 5C. 15D. - 157 .如果％、X2是两个不相等的实数,且满足X12 - 2x1 = 1 , x22 -2x2=1,那么X1X2等于〔〕A. 2B. -2C. 1D. - 18 .对于任意实数m,关于x的方程〔m2+1〕x2-2mx + 〔m2+4〕 = 0一定〔〕A.有两个正的实数根B.有两个负的实数根C.有一个正实数根、一个负实数根D.没有实数根三.解做题1 .关于x的方程x2-〔k-1〕x + k+1 =0的两上实数根的平方和等于4,求实数k的值.2 .一元二次方程x2-2x+m-1=0〔1〕当m取何值时,方程有两个不相等的实数根？(2)设x1、乂2是方程的两个实数根,且满足x12+x1x2 = 1 ,求m的值.2 1 23 .关于x的万程x -(k+1)x+ —k +1=04(1) k取什么值时,方程有两个实数根？(2)如果方程的两个实数根x1、x2满足|x"= x2 ,求k的值.4 .关于x的一元二次方程ax2+ x - a = 0(a 0 0)(1)求证：对于任意非零实数a,该方程包有两个异号的实数根；(2)设x1、乂2是方程的两个实数根,假设|x1| + |x2|=4,求a的值. I / ---------- .一元二次方程根与系数的关系知识考点：掌握一元二次方程根与系数的关系,并会根据条件和根与系数的关系不解方程确定相关的方程和未知的系数值.精典例题：2【例1】关于x的万程2x +kx — 4 =10的一个根是一2,那么方程的另一根是；k =.分析：设另一根为x1,由根与系数的关系可建立关于x1和k的方程组,解之即得.一5答案：一,—12【例2】x1、x2是方程2x2—3x—5=0的两个根,不解方程,求以下代数式的值：,八 2 , 2 | 2 」-2 -(1)x1 +x2(2) |x1 -x2(3) x1 +3x2-3x2a 1 I ,1 J2 2 . . 2 1略解：(1) x1 +x2 =(x1+x2) —2x1x2=7 一4-i 匚Z~~T2 I c 1(2) x1 -x2= 4(x1 +x2) -4x1x2= 3一2,2 2 2 1 _ _ 1(3)原式=(x〔+x2)+(2x2 -3x2) = 7 — + 5 = 12 —4 4【例3】关于x的方程x2 +2(m +2)x +m2 -5 =0有两个实数根,并且这两个根的平方和比这两个根的积大16,求m的值.2 2分析：有实数根,那么0,且x1 +x2 = x1x2 +16 ,联立解得m的值.略解：依题意有：.__ __ _ ______ 9由①②③解得：m = —1或m = -15 ,又由④可知m >4m = 一15 舍去,故m = -1探索与创新：【问题一】x1、x2是关于x的一元二次方程4x2+4(m—1)x+m2 = 0的两个非零实数根,问：*1与*2能否同号？欢送阅读假设能同号请求出相应的 m 的取值范围；假设不能同号,请说明理由.1 ,12略解：由△ = -32m +16)0得 mW —.x 1+x 2= -m +1, x 1 x 2= — m >02 4X 1与x 2可能同号,分两种情况讨论:X1 + X 2 > 0 - 一,解得m < 1且m ,0 x 1x 2 > 0±4,又 k <0:存在整数k 的值为一2、一3、- 5A,有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根2,假设方程kX 2—6X + 1 = 0有两个不相等的实数根,那么k 的取值范围是1 1 3 .设X 1、X 2是万程3X 2+ 4X —5=0的两根, X 1 X 2⑵假设 X1 <0, X 2 < 0, X + X 2 < 0 那么1 X 1X 2 0 … - 1,一 ,解得m > 1与m 0 —相矛盾 2 综上所述：当 m < 1且m ,0时,方程的两根同号. 2 2 一 . 【问题一】X 1、X 2是一元二次方程4kX —4kX +k +1 = 0的两个实数根. (1) . ... .. ..................................................... 3 是否存在头数k ,使〔2X 1 -X 2〕〔X 1 —2X 2〕=——成立？假设存在,求出k 的值；假设不存在,请说明理由. 2 (2) 求使 '+至_ 2的值为整数的实数 k 的整数值. X 2 X 1 略解: (1)由 k ,0和0= k <0 d k 1 X 1 +X 2 =1, X 1X 2 = -------------------- 4k 2 人 • • (2x 1 - X 2)(X 1 -2x 2)= 2(X 1 X 2) - 9X 1X 2 ..9 .一 k =—,而 k <0 5 :不存在： ⑵X1 X 2 十红 _2=(X 1 +X 2)2 .4 4 … 4 —,要使— --------- 的值为整数,而k 为整数,k+1只能取土 1、±2、 X 1 X 1X 2 C .只有一个实数根D.没有实数根 (1)假设 X1 >0, X 2 >0, 那么〕 次方程X 2 -2x -1 =0的根的情况为〔4 .关于 x 的方程 2x 2 + (n2 —9)x+m+ 1=0,当 m=时,两根互为倒数；当m=时,两根互为相反数. 5 .假设X i =$3-2是二次方程x 2+ ax+1 = 0的一个根,那么a=,该方程的另一个根X 2 =. 6 .设 x i, x 2是方程 2x 2+ 4x —3=0 的两个根,那么(x i+1)(x 2+1)=, x ； + x 22=, 1 1 、2一 十 — —? (x 1 — x 2) _.x 1 x 27 .当c= ___________ 时,关于x 的方程2x 2+8x+c = 0有实数根.(填一个符合要求的数即可)I / --------- -- .8 .关于x 的方程x 2—(a + 2)x+a - 2b = 0的判另1J 式等于0,且x=g ■是方程的根,那么a + b 的值 为.9 .a, b 是关于x 的方程x 2-(2k+1)x+k(k+1) =0的两个实数根,那么a 2+b 2的最小值是10 .a , P 是关于x 的一元二次方程x 2 +(2m+3)x + m 2 =0的两个不相等的实数根,且满足11 .................. 一 = -1,那么m 的值是() a P D . -3 或 1X, & ,那么 x ；x 2 +x 1x 22 的值是( D . —1 312.(泸州)假设关于x 的一元二次方程x 2.-2x+m=0没有实数根,那么实数 m 的取值范围是(A . m<l跟踪练习：一、填空题：2 — 11 1、设x 1、x 2是方程x — 4x +2=0的两根,那么① + = x 1 x2 一、一一 22、以方程2x 2 -x -4 = 0的两根的倒数为根的一元二次方程是23、万程x -mx +45 =0的两实根差的平万为144,那么m =.4、方程x 2 —3x+m=0的一个根是1,那么它的另一个根是 , m 的值是2 26、x 1、x 2是方程x 2 -3x +1 =0的两根,那么4x 1 +12x 2 +11的值为.A . 3 或—1B . 3C . 1 11. 一元二次方程x 2 -3x+1=0的两个根分别是1A. 3 B . -3 C .— 3 [② x 1 -x 2 [③国 +1)(x 2+1)=欢送阅读二、选择题:21、如果万程x十mx =1的两个实根互为相反数,那么m的值为〔〕A、0B、一1C、1D、± 12 「b f -小小…、2、ab,0,方程ax +bx +c = 0的系数满足一i =ac,那么万程的两根之比为〔〕<2；A、0 ： 1B、1 ： 1C、1 ： 2D、2 ： 32 24、菱形ABCD的边长是5,两条对角线交于O点,且AO、BO的长分别是关于x的万程：x +〔2m — 1〕x + m +3 = 0的根, 那么m的值为〔〕A、- 3B、5C、5 或—3D、—5或3三、解做题：、一21、证实：方程x2—1997x+1997 =0无整数根. 2 22、关于x的方程x +3x+a =0的两个实数根的倒数和等于3,关于x的方程〔k —1〕x +3x —2a = 0有实根,且k为k -1正整数,求代数式--------- 的值.k -22 23、关于x的万程x -〔1 -2a〕x +a -3 = 0 ……①有两个不相等的实数根,且关于x的万程2x2——2x+2a —1=0……②没有实数根,问：a取什么整数时,方程①有整数解？. . … 2 一. 八 2 一一4、关于x的万程x — 2〔m+1〕x+m —3=0〔D当m取何值时,方程有两个不相等的实数根？2 〔2〕设x「x2是万程的两根,且〔x1 +x2〕-〔x1 + x2〕-12 = 0 ,求m的值.i 产J F 1 I , I\ \ xI . F ；、一. 2 ........... 一.. .、一.. .、2 _ ____ __ 5、关于x的方程kx +〔2k —1〕x+k —1 =0只有整数根,且关于y的一元二次方程〔k—1〕y — 3y + m = 0的两个实\ \ . । \ 卜二二一二’ 数根为y1、y2.〔1〕当k为整数时,确定k的值.I I 2 2〔2〕在〔1〕的条件下,假设m = 2,求y1 +y2的值. 2 26、X I、x2是关于x的一元二次方程4x +4〔m-1〕x + m =0的两个非零实根,问：x1、x2能否同号？假设能同号,请求出相应m的取值范围；假设不能同号,请说明理由.7 .设关于x的方程kx2—〔2卜+1伙+卜=0的两实数根为X I、X2,,假设上+也=17,求k的值. x2x1 48 .关于x的一元二次方程x2m -1 〕x+m+2 = 0 .〔1〕假设方程有两个相等的实数根,求m的值；(2)假设方程的两实数根之积等于m2—9m+2,求“希百的值.-J/-。
根与系数的关系练习题
根与系数的关系练习题一元二次方程根与系数的关系1、如果方程ax2+bx+c=0(a ≠0)的两根是x 1、x 2，那么x 1+x 2= ，x 1·x 2= 。
2、已知x 1、x 2是方程2x 2+3x －4=0的两个根，那么：x 1+x 2= ；x 1·x 2= ；2111x x +；x 21+x 22= ；(x 1+1)(x 2+1)= ；｜x 1－x 2｜= 。
3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是。
4、如果关于x 的一元二次方程x2+2x+a=0的一个根是1－2，那么另一个根是，a 的值为。
5、如果关于x 的方程x 2+6x+k=0的两根差为2，那么k= 。
6、已知方程2x2+mx －4=0两根的绝对值相等，则m= 。
7、一元二次方程px 2+qx+r=0(p ≠0)的两根为0和－1，则q ∶p= 。
8、已知方程x2－mx+2=0的两根互为相反数，则m= 。
9、已知关于x 的一元二次方程(a2－1)x 2－(a+1)x+1=0两根互为倒数，则a= 。
10、已知关于x 的一元二次方程mx 2－4x －6=0的两根为x 1和x 2，且x 1+x 2=－2，则m= ，(x 1+x 2)21x x ?= 。
11、已知方程3x 2+x －1=0，要使方程两根的平方和为913，那么常数项应改为。
12、已知一元二次方程的两根之和为5，两根之积为6，则这个方程为。
13、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二次方程为。
(其中二次项系数为1)14、已知关于x 的一元二次方程x2－2(m －1)x+m 2=0。
若方程的两根互为倒数，则m= ；若方程两根之和与两根积互为相反数，则m= 。
15、已知方程x2+4x －2m=0的一个根α比另一个根β小4，则α= ；β= ；m= 。
16、已知关于x 的方程x2－3x+k=0的两根立方和为0，则k=17、已知关于x 的方程x 2－3mx+2(m －1)=0的两根为x 1、x 2，且43x 1x 121-=+，则m= 。
根与系数关系例题附答案
根与系数关系专练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知α，β方程x 2+3x ﹣8＝0的两个实数根，则为x 1、x 2，则α2+β2的值为（ ） A ．﹣7 B ．25 C ．17 D ．1【答案】B 【分析】根据韦达定理可得α＋β＝-3，αβ＝-8，再根据完全平方公式变形即可求解． 【详解】解：∵α，β方程x 2+3x ﹣8＝0的两个实数根， ∴α＋β＝-3，αβ＝-8，∴α2+β2=（α＋β）2-2αβ＝9+16=25， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，若x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根时，则x 1＋x 2＝−b a，x 1x 2＝c a ．2．一元二次方程240x kx +-=的一个根是1x =-，则另一个根是（ ） A ．4 B ．-1 C ．-3 D ．-2【答案】A 【分析】设方程的另一个根为m ，由根与系数的关系即可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设方程的另一个根为m ， 则有m ×（-1）=-4， 解得：m =4． 故选：A ． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及解一元一次方程，牢记两根之积等于ca是解题的关键．3．已知,m n 是方程2310x x +-=的两根，则24m m n ++的值为（ ）A ．2-B ．2C ．3-D ．4【答案】A 【分析】,m n 是方程2310x x +-=的两根,则有2310m m +-=，3m n +=-，将原式变形代入求解即可． 【详解】解：∵,m n 是方程2310x x +-=的两根 ∴2310m m +-=，3m n +=- ∴231m m +=∴22+4+=3=132m m n m m m n +++-=- 故选：A 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及方程解的定义，根据所对应的代数式进行适当的变形是解题关键．4．若x 1，x 2是一元二次方程x 2+x ﹣1＝0的两根，则x 12﹣2017x 1﹣2018x 2的值为（ ） A ．2020 B ．2019 C ．2018 D ．2017【答案】B 【分析】根据一元二次方程的解的定义可得21110x x +-=，根与系数的关系求得12x x +1=-，代入求解即可． 【详解】x1，x 2是一元二次方程x 2+x ﹣1＝0的两根，∴21110x x +-=，12x x +1=-，()()2111220181201812019x x x x ∴=+-+=-⨯-=原式．故选B ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键． 5．已知实数a ，b 满足a ≠b ，且a 2－4a ＝b 2－4b ＝2，则a 2＋b 2的值为（ ） A ．16 B ．20 C ．25 D ．30【答案】B 【分析】根据题意可得则,a b 为2x 4x 2-=的两根，进而根据一元二次方程根与系数的关系以及完全平方公式的变形求值即可． 【详解】242a a -=，242b b -=，则,a b 为2x 4x 2-=的两根 2420x x --=， 4,2a b ab ∴+==-，()222216420a b a b ab ∴+=+-=+=，故选B 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，理解,a b 为2x 4x 2-=的两根是解题的关键．6．等腰三角形三边长分别为a 、b 、4，且a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣12x +k +2＝0的两根，则k 的值为（ ） A ．30 B ．34或30C ．36或30D ．34【答案】D 【分析】分三种情况讨论，①当a =4时，②当b =4时，③当a=b 时；结合一元二次方程根与系数的关系即可求解； 【详解】解：当4a =时，440448b -=<<+=时，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x k -++=的两根， 412b ∴+=， 8b ∴=不符合；当4b =时，440448a -=<<+=，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x k -++=的两根， 412a ∴+=，8a ∴=不符合；当a b =时，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x k -++=的两根， 1222a b ∴==， 6a b ∴==，236k ab ∴+==，34k ∴=； 故选D ． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合一元二次方程根与系数的关系和三角形三边关系进行解题是关键． 7．方程2x 2+（k +1）x －6=0的两根和是－2，则k 的值是（ ） A ．k =3 B ．k =－ 3 C ．k =0 D ．k =1【答案】A 【分析】设方程22(1)60x k x ++-=的两根分别为1x ，2x ，则由题意得12122k x x ++=-=-，解方程即可． 【详解】解：设方程22(1)60x k x ++-=的两根分别为1x ，2x ， ∵方程22(1)60x k x ++-=的两根之和是-2， ∴12122k x x ++=-=-， ∴3k =， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． 8．点(),A a b 在反比例函数9y x=上的点图象上，且a ，b 是关于的一元二次方程260x x m -+=的两根，则点A 坐标是（ ）A ．（1，9）B ．92,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．（3，3）D ．（-3，-3）【答案】C 【分析】根据点(),A a b 在反比例函数9y x=上的点图象上，可得9ab = ，再利用一元二次方程根与系数的关系，可得ab m =，从而得到9m = ，然后解出方程，即可求解． 【详解】解：∵点(),A a b 在反比例函数9y x=上的点图象上， ∴9ab = ，∵a ，b 是关于的一元二次方程260x x m -+=的两根， ∴ab m =， ∴9m = ，∴方程260x x m -+=为2690x x -+=， 解得：123x x == ， 即3a b == ， ∴点A 坐标是()3,3 ． 故选：C 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握反比例函数的性质，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．二、填空题9．设a ，b 是方程x 2＋x ﹣2021＝0的两个实数根，则a 2＋2a ＋b 的值为____． 【答案】2020 【分析】由于a 2＋2a ＋b ＝（a 2＋a ）＋（a ＋b ），故根据方程的解的意义，求得（a 2＋a ）的值，由根与系数的关系得到（a ＋b ）的值，即可求解． 【详解】解：∵a ，b 是方程x 2＋x −2021＝0的两个实数根， ∴a 2＋a −2021＝0，即a 2＋a ＝2021，a ＋b ＝ba-＝−1，∴a 2＋2a ＋b ＝a 2＋a ＋a ＋b ＝2021−1＝2020， 故答案为：2020． 【点睛】本题综合考查了一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，要正确解答本题还要能对代数式进行恒等变形．10．若方程x 2﹣3x +1＝0的两根是x 1，x 2，则x 1（1+x 2）+x 2的值为___． 【答案】4 【分析】根据根与系数的关系可得出x 1+x 2＝3、x 1x 2＝1，将其代入x 1（1+x 2）+x 2＝（x 1+x 2）+x 1x 2中即可求出结论． 【详解】解：∵方程x 2﹣3x +1＝0的两根是x 1，x 2， ∴x 1+x 2＝3，x 1x 2＝1，∴x 1（1+x 2）+x 2＝x 1+x 1x 2+x 2＝（x 1+x 2）+x 1x 2＝3+1＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-b a、两根之积等于ca 是解题的关键．11．设a ，b 是方程x 2+x ﹣2021＝0的两个实数根，则（a +1）（b +1）的值为_______． 【答案】-2021 【分析】首先根据一元二次方程根与系数的关系得出1,2021a b ab +=-=-，然后整体代入求解即可． 【详解】∵a ，b 是方程x 2+x ﹣2021＝0的两个实数根， 1,2021a b ab ∴+=-=-，()()()()1112021112021a b ab a b ∴++=+++=-+-+=-，故答案为：-2021． 【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握一元二次方程根与系数的关系是关键．12．已知方程3x 2﹣x ﹣1＝0的两根分别是x 1和x 2，则x 1+x 2﹣x 1x 2的值为_________． 【答案】23【分析】根据一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系可得x 1+x 2＝13，x 1x 2＝13-，再将它们代入x 1+x 2﹣x 1x 2，计算即可． 【详解】解：∵方程3x 2﹣x ﹣1＝0的两根分别是x 1和x 2，∴x 1+x 2＝13，x 1x 2＝13-，∴x 1+x 2﹣x 1x 2＝13﹣1()3-＝23．故答案为：23．【点睛】本题考查了根与系数的关系：x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2＝﹣b a，x 1•x 2＝ca ．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．也考查了一元二次方程的解的定义．13．设x 1，x 2是方程2x 2+3x ﹣4＝0的两个实数根，则4x 12+4x 1﹣2x 2的值为 ______． 【答案】11 【分析】先根据一元二次方程根的定义得到2x 12＝﹣3x 1+4，则4x 12+4x 1﹣2x 2化为﹣2（x 1+x 2）+8，再根据根与系数的关系得到x 1+x 2＝﹣32，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵x 1是方程2x 2+3x ﹣4＝0的根， ∴2x 12+3x 1﹣4＝0， ∴2x 12＝﹣3x 1+4，∴4x 12+4x 1﹣2x 2＝2（﹣3x 1+4）+4x 1﹣2x 2＝﹣2（x 1+x 2）+8， ∵x 1，x 2是方程2x 2+3x ﹣4＝0的两个实数根， ∴x 1+x 2＝﹣32，∴4x 12+4x 1﹣2x 2＝﹣2（x 1+x 2）+8＝﹣2×（﹣32）+8＝11．故答案为:11． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根，则12bx x a +=-，12c x x a=．14．设α、β是方程x 2+2x ﹣2021＝0的两根，则α2+3α+β的值为______． 【答案】2019 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到α2+2α-2021=0，则α2+2α=2021，于是α2+3α+β可化为2021+α+β，再利用根与系数的关系得到α+β=-2，然后利用整体代入的方法计算求解即可． 【详解】解：根据题意知，α2+2α﹣2021＝0，即α2+2α＝2021． 又∵α+β＝﹣2．所以α2+3α+β＝α2+2α+（α+β）＝2021﹣2＝2019． 故答案是：2019． 【点睛】此题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，1212,b cx x x x a a+=-=，也考查了一元二次方程的解．解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解以及根与系数的关系．三、解答题15．已知关于x 的方程240x x m -+=的一个根为2+ （1）求m 的值及方程的另一个根； （2）设方程的两个根为1x ，2x ，求20212022121x xx +的值．【答案】（1）m =1，（2）4 【分析】（1）设方程的另一个根为a ，则由根与系数的关系得：a ，（a =m ，求出即可．（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到x 1+x 2=4，x 1•x 2=1，根据积的乘方把原式变形，代入计算即可． 【详解】解：（1）设方程的另一个根为a ，则由根与系数的关系得：a ，（a =m ，解得：a m =1，即m =1，方程的另一个根为 （2）x 1，x 2是方程x 2-4x +1=0的两个根， 则x 1+x 2=4，x 1•x 2=1，∴x 12021x 22022+x 1=（x 1x 2）2021x 2+x 1=x 2+x 1=4． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式的应用，x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=ba -，x 1x 2=c a ，反过来也成立．16．已知关于x 的方程221(2)04x m x m --+=有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）求m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由．【答案】（1）m ＜1；（2）不存在；理由见解析． 【分析】（1）由题意根的判别式大于0即可求解；（2）根据互为相反数的两数和等于0得方程，求解并判断即可． 【详解】解：（1）∵关于x 的方程221(2)04x m x m --+=有两个不相等的实数根，∴Δ=（m -2）2-2144m ⨯ ＞0即：4-4m ＞0 m ＜1（2）由题意，x 1+x 2=()214m ---=4m -8， 若方程两实数根互为相反数，则4m -8=0， 解得，m =2， 因为m ＜1，所以m =2时，原方程没有实数根，所以不存在实数，使方程两实数根互为相反数． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系．（2）易错，只关注求m 的值而忽略m 的范围．17．定义：若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两个实数根为12,x x （12x x <），分别以12,x x 为横坐标和纵坐标得到点M （12,x x ），则称点M 为该一元二次方程的奇特点． （1）若方程为x 2=3x ，写出该一元二次方程的奇特点M 的坐标；（2）若关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m +1）x +2m ＝0（m ＜0）的奇特点为M ，过点M 向x 轴和y 轴作垂线，两垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m 的值； （3）是否存在b ，c ，使得不论k （k ≠0）为何值，关于x 的一元二次方程x 2+bx +c ＝0的奇特点M 始终在直线y ＝3kx ﹣2（k ﹣2）上，若存在请算出b ，c 的值，若不存在请说明理由．【答案】（1）()0,3 ；（2）12m =- ；（3）存在，148,33b c ==【分析】（1）先解出一元二次方程，再根据奇特点M 的定义，即可求解；（2）先解出一元二次方程，再根据奇特点M 的定义，可得奇特点M 的坐标为()2,1m ，再由过点M 向x 轴和y 轴作垂线，两垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，可得到关于m 的方程，解出即可；（3）将直线解析式变形，可得直线过定点2,43⎛⎫⎪⎝⎭，从而得到一元二次方程x 2+bx +c ＝0的两个根为122,43x x == ，即可求解．【详解】解：（1）23x x = ，整理得： 230x x -=，即()30x x -=，解得：120,3x x == ， ∴奇特点M 的坐标为()0,3 ； （2）x 2﹣（2m +1）x +2m ＝0， ∴()()210x m x --= ， 解得：122,1x m x == ， ∵m ＜0， ∴21m < ，∴奇特点M 的坐标为()2,1m ，∵过点M 向x 轴和y 轴作垂线，两垂线与坐标轴恰好围成一个正方形， ∴21m -= ，解得：12m =- ；（3）存在，理由如下：∵()()322324y kx k k x =--=-+ ，∴当320x -= ，即23x =时，4y = ， ∴直线y ＝3kx ﹣2（k ﹣2）过定点2,43⎛⎫⎪⎝⎭ ，∵一元二次方程x 2+bx +c ＝0的奇特点M 始终在直线y ＝3kx ﹣2（k ﹣2）上，一元二次方程x 2+bx +c ＝0的两个根为122,43x x == ， ∴224,433b c +=-⨯= ， 解得：148,33b c == ． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正方形的性质，一次函数的性质，理解新定义是解题的关键．18．已知方程2x ﹣（m ﹣3）x ﹣3m ＝0有一个根为4，求它的另一个根．【答案】﹣3【分析】直接把4代入方程即可求得m 的值，然后利用根与系数关系求另一个根即可．【详解】解：把4代入已知方程得：24﹣4（m ﹣3）﹣3m ＝0，解得m ＝4，∴两根之积为﹣3m ＝﹣12，∴另一个根为：﹣12÷4＝﹣3．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，根与系数关系定理，熟练掌握根与系数关系定理是解题的关键．19．利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：（1）(31)10x x --=； （2）(25)(1)7x x x ++=+．【答案】（1）1213x x +=，1213x x =-；（2）123x x +=-，121x x =-． 【分析】将原式整理为一元二次方程一般式，然后根据根与系数的关系：1212,b c x x x x a a+=-⋅=，求解即可．【详解】解：（1）原式整理为：2310x x --=，∴3,1,1a b c ==-=-， ∴1213b x x a +=-=，1213c x x a ⋅==-； （2）原式整理为：2310x x +-=，∴1,3,1a b c ===-， ∴123b x x a +=-=-，121c x x a⋅==-． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．20．求下列方程两个根的和与积：（1）25100x x --=； （2）22710x x ++=；（3）23125x x -=+； （4）(1)37x x x -=+．【答案】（1）125x x +=，x x ⋅=-1210；（2）1272x x +=-，1212x x ⋅=；（3）1223x x +=，122x x ⋅=-；（4）124x x +=，x x ⋅=-127 【分析】（1）直接根据根与系数的关系求解；（2）直接根据根与系数的关系求解；（3）先把方程化为一般式为23260x x --=，然后根据根与系数的关系求解； （4）先把方程化为一般式为2470x x --=，然后根据根与系数的关系求解．【详解】解：（1）设方程的两根为1x ，2x ，则125x x +=，x x ⋅=-1210 ．（2）设方程的两根为1x ，2x ，则1272x x +=-，1212x x ⋅=． （3）原方程化为23260x x --=，设方程的两根为1x ，2x ，则1223x x +=，122x x ⋅=-． （4）原方程化为2470x x --=，设方程的两根为1x ，2x ，则124x x +=，x x ⋅=-127．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1＋x 2＝−b a，x 1x 2＝c a ． 21．根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根12,x x 的和与积： （1）26150x x --=（2）23790x x +-=（3）2514x x -=【答案】（1）12126,15x x x x +==-；（2）12127,33x x x x +=-=-；（3）121251,44x x x x +== 【分析】（1）根据如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根为，1x 和2x ，那么12b x x a +=-，12c x x a=进行求解即可得到答案； （2）根据如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根为，1x 和2x ，那么12b x x a +=-，12c x x a=进行求解即可得到答案； （3）根据如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根为，1x 和2x ，那么12b x x a +=-，12c x x a=进行求解即可得到答案． 【详解】解：（1）∵26150x x --=，∴1a =，6b =-，15c =-， ∴126b x x a +=-=，1215c x x a==-； （2）∵23790x x +-=，∴3a =，7b =，9c =-， ∴1273b x x a +=-=-，123c x x a==-； （3）∵2514x x -=，即24510x x -+=∴4a =，5b =-，1c =， ∴1254b x x a +=-=，1214c x x a ==． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根于系数的关系．22．已知1x ，2x 是一元二次方程22210x x m -++=的两个实数根．（1）求实数m 的取值范围；（2）如果1x ，2x 满足不等式2121246()x x x x +>+，且m 为整数，求m 的值．【答案】（1）12m；（2）1-或0 【分析】（1）由题意得一元二次方程判别式Δ≥0，进而求解．（2）由根与系数的关系用含m 的代数式表示12x x +与12x x ⋅，进而求解．【详解】解：（1）方程22210x x m -++=有两个实数根，∴Δ0，即2(2)42(1)0m --⨯+， 解得12m ， ∴实数m 的取值范围是12m； （2）1x ，2x 是一元二次方程22210x x m -++=的两个实数根，121x x ∴+=，121(1)2x x m ⋅=+，2121246()x x x x +>+，2146(1)12m ∴+⨯+>， 解得2m >-， 12m 且m 为整数， m ∴的值为1-或0．【点睛】本题考查一元二次的判别式及根与系数的关系，解题关键是掌握一元二次方程根的情况与Δ的关系，掌握12b x x a +=-，12c x x a=． 23．已知关于x 的方程 (k 2+1)x 2+(2k 2+1)x +k 2−1=0．（1）证明：无论k 取何值，方程都有两个不相等的实数根；（2）是否存在实数k ，使方程两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值，如不存在，说明理由．【答案】（1）见解析；（2）不存在符合条件的实数k ，理由见解析【分析】（1）根据方程各项的系数结合根的判别式即可得出Δ=4k 2+5＞0，由此可得出无论k 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程(k 2+1)x 2+(2k 2+1)x +k 2−1=0的两根分别为x 1、x 2，利用根与系数的关系结合x 1、x 2互为相反数，可得出关于k 的方程，解之即可求出k 值，再由（1）中k 的取值范围，即可得出不存在符合条件的k 值．【详解】（1）证明：Δ=(2k 2+1)2-4×(k 2+1)×(k 2-1) =4k 4+4k 2+1-4k 4+4=4k 2+5，∴k 2+1＞0，4k 2+5＞0，∴无论k 为何值，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）不存在符合条件的实数k ，理由如下：设方程(k 2+1)x 2+(2k 2+1)x +k 2−1=0的两根分别为x 1、x 2，由根与系数关系得：x 1+x 2=-22211k k ++． ∵x 1、x 2互为相反数，∴x 1+x 2=0，即-222101k k +=+， ∵k 2≥0，∴2k 2+1≥1，∴不存在符合条件的k 值．【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义、相反数以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据非负数的性质得到根的判别式Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）根据根与系数的关系结合x 1、x 2互为相反数，求出k 值．24．关于x 的方程2210x x k -++=的两个实数根是1x ，2x ．（1）求k 的取值范围；（2）若k 为整数，且满足12124x x x x +-<，求k 的值．【答案】（1）0k ≤；（2）2k =-，1-，0【分析】（1）根据“方程2210x x k -++=有两个实数根，”可得0∆≥，即可求解；（2）根据“k 为整数，且满足12124x x x x +-<，”可得3k >-，结合（1）0k ≤，即可求解．【详解】解：（1）∵方程2210x x k -++=有两个实数根，∴0∆≥，即()244410b ac k -=-+≥，解得0k ≤；（2）∵122x x +=，121x x k =+，∴214k --<，由（1）0k ≤，可得30k -<≤，∵k 为整数，∴2k =-，1-，0．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根的判别式24b ac ∆=-，根与系数的关系12b x x a+=-，12c x x a =是解题的关键．。
根与系数关系专题练习
根与系数关系专题1．已知关于x的一元二次方程20+-=（k为常数）总有实数根．x k（1）求k的取值范围；（2）若该方程有两个相等的实数根，求该方程的根．2．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2有实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果m是符合条件的最小整数，且一元二次方程（k+1）x2+x+k﹣3＝0与方程（m ﹣1）x2﹣2mx+m＝2有一个相同的根，求此时k的值．3．若关于x 的一元二次方程mx 2-4x +3=0有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 为正整数，求此时方程的根．4．关于x 的方程（k ﹣1）x 2﹣4x ﹣1＝0．（1）若方程有实根，求k 的取值范围；（2）若方程两根x 1，x 2，满足x 12＋x 22﹣4x 1x 2＝1，求k 的值．5．已知一元二次方程()22420k x x --+=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）定义：如果两个一元二次方程有且仅有一个相同的实数根，则称这两个方程为“友好方程”，若一元二次方程240x x k -+=与210x mx +-=是友好方程，且k 是符合（1）中条件的最大整数，求此时m 的值．6．关于x 的一元二次方程()222110x m x m +-+-=有两个不相等的实数根1x ，2x ． （1）求实数m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使得22121216x x x x +=+成立？如果存在，求出m 的值：如果不存在，请说明理由．7．已知关于x 的一元二次方程()26410x x m -++=有实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若该方程的一个实数根为1，求m 的值及方程的另一个根．8．已知关于x 的一元二次方程24230x x m -++=有两个不相等的实数根1x ，2x ． （1）求m 的取值范围；（2）若22121213x x x x +-≤，且m 为整数，求m 的值．9．已知关于x 的方程x 2﹣（k +1）x +14k 2+1＝0，根据下列条件，分别求出k 的值． （1）方程两实根的积为5； （2）方程的两实根x 1，x 2满足|x 1|＝x 2．10．已知关于x 的一元二次方程26(21)0x x m -++=有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为1x 、2x ，且1212220x x x x ++>，求m 的取值范围．11．已知关于x 的方程（k +1）x 2+（3k ﹣1）x +2k ﹣2＝0（1）求证：无论k 取何值，此方程总有实数根；（2）若此方程有两个整数根，求正整数k 的值；（3）若一元二次方程（k +1）x 2+（3k ﹣1）x +2k ﹣2＝0满足|x 1﹣x 2|＝3，求k 的值．12．已知关于x 的一元二次方程()22230x m x m +++=有两根α，β． （1）求m 的取值范围；（2）若()()111αβ++=，求m 的值．13．已知一元二次方程（a ﹣3）x 2﹣4x+3＝0．（1）若方程的一个根为x ＝﹣1，求a 的值；（2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a 的值．14．已知关于x 的一元二次方程220x x k +-=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围（2）若k 为（1）中的最小整数，请求出此时方程的根．15．已知关于x 的一元二次方程222x x m -+=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）当1m =时，求方程222x x m -+=的解．16．已知关于x 的一元二次方程222(1)30x m x m m --+-=．（1）若该方程有实数根，求m 的取值范围；（2）若12,x x 是方程的两个实数根，且122x x -=，求m 的值；（3）已知等腰ABC 的一边长为10，若12,x x 恰好是ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长．17．已知关于x 的一元二次方程22210x kx k k -+++=有两个实数根．（1）试求k 的取值范围；（2）若此方程的两个实数根12x x 、，是否存在实数k ，满足12112x x +=-，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．18．已知关于x 的方程22(21)10x m x m +-+-=．（1）m 为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）若抛物线y =22(21)1x m x m +-+-交x 轴于A ，B 两点，且AB =3，求m 的值．19．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．（1）说明方程29180x x ++=是倍根方程；（2）若一元二次方程20x bx c ++=是倍根方程，且方程有一个根为4，求b 、c 的值．20．已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +++=有两个实数根1x 和2x ． （1）求实数m 的取值范围；（2）当22120x x -=时，求m 的值．（1）求m 的取值范围；（2）若1x 、2x 是方程的两根，且12111x x +=，求m 的值．22．已知关于x 的一元二次方程()222320x m x m -+++=． （1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程的两个实数根分别为12,x x ，且满足22121231x x x x +=+，求实数m 的值．23．已知关于x 的一元二次方程220x x k +-=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）若方程的两个不相等实数根是a ，b ，求111a ab -++的值．（1）求k 的取值范围；（2）若33121224x x x x +=，求k 的值．25．已知关于x 的方程2410x x k -++=有两实数根．（1）求k 的取值范围； （2）设方程两实数根分别为1x 、2x ，且1212334x x x x +=-，求实数k 的值．26．已知1x ，2x 是一元二次方程2220x x k -++=的两个实数根． （1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得等式12112k x x +=-成立？如果存在，请求出k 的值，如果不存在，请说明理由．27．已知关于x 的方程22210x x k -+-=有实数根．(1)求k 的取值范围；(2)设方程的两根分别是1x 、2x ，且211212x x x x x x +=⋅，试求k 的值．28．已知关于x 的一元二次方程222(1)20x a x a a --+--=有两个不相等的实数根1x ，2x .（1）若a 为正整数，求a 的值；（2）若1x ，2x 满足221212-16x x x x +=，求a 的值.29．已知关于x 的一元二次方程2x 5x 2m 0-+=有实数根．()1求m 的取值范围；()2当5m 2=时，方程的两根分别是矩形的长和宽，求该矩形外接圆的直径．30．已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值．31．已知关于的一元二次方程有两个实数根.（1）求的取值范围；（2）若满足，求的值.32．已知关于x的方程x2－(2k－1)x＋k2－2k＋3＝0有两个不相等的实数根．(1)求实数k的取值范围．(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，是否存在这样的实数k，使得|x1|－|x2|成立？若存在，求出这样的k值；若不存在，请说明理由．33．关于x 的一元二次方程2220x x m ++=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若1x ，2x 是一元二次方程2220x x m ++=的两个根，且22128x x +=，求m 的值．34．关于x 的一元二次方程x 2+（2k+1）x+k 2+1=0有两个不等实根12,x x ．（1）求实数k 的取值范围．（2）若方程两实根12,x x 满足｜x 1｜+｜x 2｜=x 1·x 2，求k 的值．35．（7分）已知关于x 的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根为，，且满足，求实数的值．36．已知关于x的方程x2−kx+k2+n=0有两个不相等的实数根x1、x2,且(2x1+x2)−8(2x1+x2)+15=0.（1）求证：n<0;（2）试用k的代数式表示x1;（3）当n=−3时,求k的值.37．若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根，且|x1|+|x2|=2|k|（k是整数），则称方程x2+bx+c=0为“偶系二次方程”．如方程x2﹣6x﹣27=0，x2﹣2x﹣8=0，227x3x04+-=，x2+6x﹣27=0，x2+4x+4=0，都是“偶系二次方程”．（1）判断方程x2+x﹣12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”，并说明理由．38．关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．39．关于x 的一元二次方程230x x k -+=有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程()2130m x x m -++-=与方程230x x k -+=有一个相同的根，求此时m 的值．40．已知关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋m ＝0 ．（1）如果方程有两个实数根，求m 的取值范围；（2）如果()()122,,3,y y 是直线(3y m x =+上两点，比较1y 与2y 的大小．根与系数关系专题一、解答题1．已知关于x 的一元二次方程20x k +-=（k 为常数）总有实数根． （1）求k 的取值范围；（2）若该方程有两个相等的实数根，求该方程的根．【答案】（1）7k -；（2）12x x ==【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围；（2）由方程有两个相等的实数根，可得出关于k 的一元一次方程，解之即可得出k 值，将k 的值代入原方程中，再利用配方法解一元二次方程即可得出结论．【详解】解：（1）∵方程总有实数根，240k ∴∆=+≥，解得：7k -；（2）∵方程有两个相等的实数根，240k ∴∆=+=，解得：7k =-，代入方程得：270x ++=，解得：12x x ==【点睛】本题考查了根的判别式以及配方法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）牢记“当△＝0时，方程有两个相等的实数根”． 2．若关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2﹣2mx +m ＝2有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）如果m 是符合条件的最小整数，且一元二次方程（k +1）x 2+x +k ﹣3＝0与方程（m ﹣1）x 2﹣2mx +m ＝2有一个相同的根，求此时k 的值．【答案】（1）m ≥23且m ≠1，（2）k ＝3 【分析】 （1）根据判别式即可求出答案．（2）根据一元二次方程的解法即可求出答案．【详解】解：（1）化为一般式：（m ﹣1）x 2﹣2mx +m ﹣2＝0，∴()()21044120m m m m -≠⎧⎨=---≥⎩， 解得：m ≥23且m ≠1 （2）由（1）可知：m 是最小整数，∴m ＝2，∴（m ﹣1）x 2﹣2mx +m ＝2化为x 2﹣4x ＝0，解得：x ＝0或x ＝4，∵（k +1）x 2+x +k ﹣3＝0与（m ﹣1）x 2﹣2mx +m ＝2有一个相同的根，∴当x ＝0时，此时k ﹣3＝0，k ＝3，当x ＝4时，16（k +1）+4+k -3＝0，∴k ＝﹣1，∵k +1≠0，∴k ＝﹣1舍去，综上所述，k ＝3．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义，准确计算是解题的关键．3．若关于x 的一元二次方程mx 2-4x +3=0有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 为正整数，求此时方程的根．【答案】（1）m ＜43且m ≠0；（2）x 1=1，x 2=3 【分析】取值范围．（2）根据题意方程为x2-4x+3=0，因式分解法解方程即可求得方程的根．【详解】解：(1)∵△=(-4)2-4m×3=16-12m＞0,解得m＜4 3又m≠0，∴m＜43且m≠0，（2）∵m为正整数∴m=1，∴原方程为x2-4x+3=0，解得x1=1，x2=3．【点睛】本题考查了根的判别式，解一元一次不等式和解一元二次方程，能根据根的判别式和已知得出不等式是解题的关键．4．关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0．（1）若方程有实根，求k的取值范围；（2）若方程两根x1，x2，满足x12＋x22﹣4x1x2＝1，求k的值．【答案】（1）k≥﹣3；（2）k＝9或k＝﹣1【分析】（1）根据方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况解答；（2）根据根与系数的关系，以及x12＋x22﹣4x1x2＝1得方程即可求解．【详解】解：（1）∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有实根，①当方程为一元二次方程时，△≥0且k﹣1≠0，即（﹣4）2﹣4（k﹣1）×（﹣1）≥0，k≠1，∴k≥﹣3且k≠1．②当方程为一元一次方程时，k﹣1＝0，∴k＝1，综上，k≥﹣3时方程有实根；（2）∵x1、x2是方程的两个实数根，∴x 1＋x 2＝41k -，x 1x 2＝﹣11k -， ∵x 12＋x 22﹣4x 1x 2＝1，∴（x 1＋x 2）2﹣6x 1x 2＝1，∴（41k -）2＋61k -＝1， ∴()()2161160k k ----=，∴()()18120k k ---+=，∴90,10k k -=+=，解得：k ＝9或k ＝﹣1．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式与方程实根，一元二次方程根与系数关系，掌握一元二次方程根的判别式与方程实根，一元二次方程根与系数关系，利用根与系数关系构造新方程是解题关键．5．已知一元二次方程()22420k x x --+=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）定义：如果两个一元二次方程有且仅有一个相同的实数根，则称这两个方程为“友好方程”，若一元二次方程240x x k -+=与210x mx +-=是友好方程，且k 是符合（1）中条件的最大整数，求此时m 的值．【答案】（1）k ＜4且k ≠2；（2）m =0或m =83-．【分析】（1）根据k -2≠0且240b ac -＞求解即可；（2）k =3，求得240x x k -+=的两个根为121,3x x ==，分别代入210x mx +-=计算即可．【详解】（1）∵一元二次方程()22420k x x --+=有两个不相等的实数根，∴k -2≠0且240b ac -＞，∴k -2≠0且2(4)4(2)20k --⨯-⨯＞，∴k ＜4且k ≠2；（2）∵k ＜4且k ≠2，且k 是最大整数，∴240x x k -+=变形为2430x x -+=，∴(1)(3)0x x --=∴121,3x x ==，当x =1是相同的实数根时，则21110m +⨯-=，解得m =0；当x =3是相同的实数根时，则23310m +⨯-=，解得m = 83-；综上所述，m =0或m =83-．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的定义，一元二次方程的解法，不等式的整数解，熟练将根的判别式具体化，灵活解方程是解题的关键．6．关于x 的一元二次方程()222110x m x m +-+-=有两个不相等的实数根1x ，2x ． （1）求实数m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使得22121216x x x x +=+成立？如果存在，求出m 的值：如果不存在，请说明理由．【答案】（1）m ＜1；（2）m =-1【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根，那么△＞0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围；（2）根据根与系数的关系即可得出x 1+x 2=-2（m -1），x 1•x 2=m 2-1，由条件可得出关于m 的方程，解之即可得出m 的值．【详解】解：（1）∵方程x 2+2（m -1）x +m 2-1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．∴△=4（m -1）2-4（m 2-1）=-8m +8＞0，∴m<1；（2）∵原方程的两个实数根为x 1、x 2，∴x 1+x 2=-2（m -1），x 1•x 2=m 2-1．∴(x 1+x 2)2＝16+3x 1x 2，∴4（m -1）2=16+3（m 2-1），解得：m 1=-1，m 2=9，∵m ＜1，∴m 2=9舍去，即m =-1．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据方程有两个不相等的实数根找出根与系数的关系；（2）根据根与系数的关系得出m 的值，注意不能忽视判别式应满足的条件．7．已知关于x 的一元二次方程()26410x x m -++=有实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若该方程的一个实数根为1，求m 的值及方程的另一个根．【答案】（1）m ≤2；（2）m =1；另一个根为5【分析】（1）根据根的判别式大于或等于零求解即可；（2）把x =1代入()26410x x m -++=求出m 的值，利用根与系数的关系即可求出方程的另一个根．【详解】解：（1）由题意，得36-4(4m +1) ≥0，解得m ≤2；（2）把x =1代入()26410x x m -++=，得 ()16410m -++=，解得m =1；设另一根为x 2，则1+ x 2=6，解得x 2=5，∴方程的另一个根为5．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，以及根与系数的关系，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．8．已知关于x 的一元二次方程24230x x m -++=有两个不相等的实数根1x ，2x ． （1）求m 的取值范围；（2）若22121213x x x x +-≤，且m 为整数，求m 的值．【答案】（1）12m <；（2）m=-1或m=0 【分析】 （1）根据根的判别式，可得到关于m 的不等式，则可求得m 的取值范围；（2）由根与系数的关系，用m 表示出两根积、求两根和，由已知条件可得到关于m 的不等式，则可求得m 的取值范围，再求其值即可．【详解】解：（1）由题可得，2(4)4(23)48m m ∆=--+=-方程有两个不相等的实数根，0∴∆>即480m ->．解得12m < （2）由根与系数的关系可得124x x +=，1223x x m =+．22121213x x x x +-≤)21212(313x x x x ∴+-≤即243(23)13m -+≤，解得1m ≥-由（1）可得112m -≤<又m 为整数， 1m ∴=-或0m =【点睛】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，利用根的判别式求得m 的取值范围是解题的关键，注意方程根的定义的运用．9．已知关于x 的方程x 2﹣（k +1）x +14k 2+1＝0，根据下列条件，分别求出k 的值． （1）方程两实根的积为5；（2）方程的两实根x 1，x 2满足|x 1|＝x 2．【答案】（1）4；（2）32【分析】（1）根据二次函数的性质和根的判别式即可求出k 的值；（2）把已知等式两边平分可得到（x 1+x 2）（x 1﹣x 2）＝0，则x 1+x 2＝0或x 1﹣x 2＝0，继而可得：k +1＝0或△＝0，再分别求出k ，然后根据（1）中k 的取值范围即可求得k 的值【详解】解：（1）根据题意得△＝（k +1）2﹣4（14k 2+1）≥0，解得k ≥32， x 1+x 2＝k +1，x 1x 2＝14k 2+1， ∵x 1x 2＝5， ∴14k 2+1＝5，解得k ＝±4， ∵k ≥32， ∴k 的值为4；（2）∵|x 1|＝x 2，∴x 12＝x 22，∴（x 1+x 2）（x 1﹣x 2）＝0，∴x 1+x 2＝0或x 1﹣x 2＝0，∴k +1＝0或△＝0，∴k ＝﹣1或k ＝32， ∴k 的值为32． 【点睛】 本题考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是熟练运用一元二次方程的有关知识点．10．已知关于x 的一元二次方程26(21)0x x m -++=有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为1x 、2x ，且1212220x x x x ++>，求m 的取值范围．【答案】（1）4m ≤；（2）3＜4m ≤．【分析】（1）由一元二次方程26(21)0x x m -++=有实数根，得到△≥0即2(-6)-4(2m 1)+≥0，解不等式即可；（2）先利用根与系数关系定理，得1x +2x =6，1x 2x =2m +1，代入1212220x x x x ++>，求得m 的一个范围，最后联立根的判别式确定范围即可．【详解】（1）∵一元二次方程26(21)0x x m -++=有实数根，∴△≥0即2(-6)-4(2m 1)+≥0，∴9-2m -1≥0，解得：4m ≤（2）∵一元二次方程26(21)0x x m -++=的两个实数根为1x 、2x ，∴1x +2x =6，1x 2x =2m +1，∵1212220x x x x ++>，∴6+2（2m +1）＞20，解得m ＞3，∵4m ≤，∴m 的取值范围是3＜4m ≤．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数关系定理，结合具体方程将根与系数关系定理具体化，整体代入计算是解题的关键．11．已知关于x 的方程（k +1）x 2+（3k ﹣1）x +2k ﹣2＝0（1）求证：无论k 取何值，此方程总有实数根；（2）若此方程有两个整数根，求正整数k 的值；（3）若一元二次方程（k +1）x 2+（3k ﹣1）x +2k ﹣2＝0满足|x 1﹣x 2|＝3，求k 的值．【答案】（1）见解析；（2）k ＝1或k ＝3；（3）k 的值为﹣3或0【分析】（1）分k +1=0和k +1≠0两种情况考虑：当k +1=0时，方程为一元一次方程，有实数根；当k +1≠0时，根的判别式△=（k -3）2≥0，由此可得出方程有实数根．综上即可证出结论；（2）由方程有两个实数根，可得出k ≠-1，利用求根公式求出x 1、x 2的值，由x 1=-1和x 2为整数以及k 为正整数，即可求出k 的值；（3）结合（2）的结论即可得出关于k 的含绝对值符号的分式方程，解方程即可得出结论，经检验后，此题得解．【详解】解：（1）证明：当k +1=0，即k =-1时，原方程为-4x -4=0，解得：x =-1；当k +1≠0，即k ≠-1时，△=（3k -1）2-4（k +1）（2k -2）=k 2-6k +9=（k -3）2≥0， ∴方程有实数根，综上可知：无论k 取何值，此方程总有实数根；（2）∵方程有两个整数根，∴()1133121k k x k -+-==-+，()()()2133214=-2+21+1k+1k k k x k k ----==+，且k ≠﹣1， ∵x 2为整数，k 为正整数，∴k =1或k =3；（3）由（2）得x 1=-1，24-2+k+1x =，且k ≠-1， ∴|x 1-x 2|=44-1--2+13k+11k ⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭， 解得：k =-3或k =0，经检验k =﹣3或k =0是原方程的解，故k 的值为﹣3或0．【点睛】本题考查了根的判别式、解含绝对值符号的分式方程以及利用公式法解方程，解题的关键是：（1）分k +1=0和k +1≠0两种情况考虑；（2）找出x 1=﹣1，24-2+k+1x =；（3）找出关于k 的含绝对值符号的分式方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用根的判别式的符号得出方程解的情况是关键．12．已知关于x 的一元二次方程()22230x m x m +++=有两根α，β． （1）求m 的取值范围；（2）若()()111αβ++=，求m 的值．【答案】（1）3m 4≥-；（2）m 3= 【分析】（1）利用判别式得到()222340m m =+-≥，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到()23m αβ+=-+，2m αβ=，由已知得到 0αβαβ++=，代入得到关于m 的方程，解方程即可求得m 的值．【详解】（1）由题意知：()22242340b ac m m =-=+-≥， 解得：3m 4≥-， ∴m 的取值范围是3m 4≥-； （2）由根与系数关系可知：()23m αβ+=-+，2m αβ=，∵()()111αβ++=，∴ 0αβαβ++=， 即()2230m m -+=， 解得：1231m m ==-，(舍去)，∴m 的值为3．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，若12x x 、是一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的两根时，12b x x a +=-，12c x x a=． 13．已知一元二次方程（a ﹣3）x 2﹣4x+3＝0．（1）若方程的一个根为x ＝﹣1，求a 的值；（2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a 的值．【答案】（1）a=-4．（2）a=1或2或4．【分析】（1）把x=-1代入方程求出a 即可．（2）利用判别式根据不等式即可解决问题．【详解】解：（1）∵方程的一个根为x=-1，∴a-3+4+3=0，∴a=-4．（2）∵方程有实数根，∴△≥0且a≠3，∴16-12（a-3）≥0，解得a≤133，a≠3， ∵a 是正整数，∴a=1或2或4．【点睛】本题属于根的判别式，一元二次方程的解等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14．已知关于x 的一元二次方程220x x k +-=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围（2）若k 为（1）中的最小整数，请求出此时方程的根．【答案】（1）1k >-；（2）12x =-，20x =【分析】（1）根据方程根的情况可得24440b ac k ∆=-=+>，求解即可；（2）将k 的值代入，求解一元二次方程即可．【详解】解：（1）方程有两个不相等的实数根，24440b ac k ∴∆=-=+>，解得1k >-．k ∴的取值范围为1k >-；（2）k 为（1）中的最小整数0k ∴=∴方程为220x x +=解得：12x =-，20x =．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握24b ac ∆=-与一元二次方程根的情况是解题的关键．15．已知关于x 的一元二次方程222x x m -+=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）当1m =时，求方程222x x m -+=的解．【答案】（1）3m <；（2）1211x x ==【分析】（1）根据分的判别式求解即可；（2）根据公式法计算即可；【详解】解：()1根据题意得：()2()2421240m m ∆=-=-->-，解得3m <；()2当1m =时，原方程为2210x x --=，()22(41)28--∆=⨯-=，∴22x ±=，解得1211x x ==【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和公式法求解，准确计算是解题的关键． 16．已知关于x 的一元二次方程222(1)30x m x m m --+-=． （1）若该方程有实数根，求m 的取值范围；（2）若12,x x 是方程的两个实数根，且122x x -=，求m 的值；（3）已知等腰ABC 的一边长为10，若12,x x 恰好是ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长．【答案】（1）m≥-1；（2）m=0；（3）24或38【分析】（1）令判别式△≥0，解不等式即可；（2）根据方程得出()1221x x m +=-，2123x x m m =-，再由122x x -=得到122x x -==，代入得到方程，解之即可；（3）分10为等腰三角形的腰和底两种情况分别求解．【详解】解：（1）∵方程222(1)30x m x m m --+-=有实数根，∴()224(1)4130m m m =--⨯⨯-≥△，解得：m≥-1；（2）∵12,x x 是方程的两个实数根，∴()1221x x m +=-，2123x x m m =-， ∵122x x -==， ∴()()2242143m m m --⎦-=⎡⎤⎣， 解得：m=0；（3）当腰长为10时，则x=10是一元二次方程222(1)30x m x m m --+-=的一个解，把x=10代入方程得210020(1)30m m m --+-=，解得m 1=8，m 2=15，当m=8时，x 1+x 2=2（m-1）=14，解得x 2=4，则三角形周长为4+10+10=24； 当m=15时，x 1+x 2=2（m-1）=28，解得x 2=18，则三角形周长为10+10+18=38； 当10为等腰三角形的底边时，则x 1=x 2，所以m=-1，方程化为2440x x ++=，解得x 1=x 2=-2，故舍去；综上所述，这个三角形的周长为24或38．【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式，三角形三边关系，等腰三角形的性质，同时考查了学生的综合应用能力及推理能力．17．已知关于x 的一元二次方程22210x kx k k -+++=有两个实数根．（1）试求k 的取值范围；（2）若此方程的两个实数根12x x 、，是否存在实数k ，满足12112x x +=-，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）1k ≤-；（2）存在，1k =-．【分析】（1）由根的判别式0∆≥，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围；（2）由根与系数的关系，得到122x x k +=，2121x x k k =++，然后解关于k 的一元二次方程，即可求出答案．【详解】解：（1）∵此方程有两个实数根，∴0∆≥即222411k k k ∆=--⨯⨯++（）（）440k =--≥，∴1k ≤-；（2）存在．根据题意，∵一元二次方程22210x kx k k -+++=，∴122x x k +=，2121x x k k =++， ∴122121211221x x k x x x x k k ++===-++， ∴121k k ==-符合题意，即1k =-；【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据根的判别式△＞0，列出关于k 的一元一次不等式；（2）根据根与系数的关系求出k 值．18．已知关于x 的方程22(21)10x m x m +-+-=．（1）m 为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）若抛物线y =22(21)1x m x m +-+-交x 轴于A ，B 两点，且AB =3，求m 的值．【答案】（1）m ＜54；（2）-1． 【分析】 （1）求出判别式△，令△＞0，解不等式即可求解；（2）设A （x 1，0），B （x 2，0），则x 1+x 2=﹣2m +1，x 1x 2=m 2﹣1， 利用两点间的坐标公式可得关于m 的方程，解方程即可．【详解】解：（1）由题意，得，⊿=（2m -1）2-4（m 2-1）=﹣4m +5＞0，解得，m ＜54故当m ＜54时，方程有两个不相等的实数根； （2）设A （x 1，0），B （x 2，0），则x 1+x 2=﹣2m +1，x 1x 2=m 2﹣1，AB =|x 1﹣x 2=，3=.解得，m =﹣1（m ＜54） 故m 的值为﹣1．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练掌握根的判别式，根与系数的关系，两点间的坐标公式．19．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．（1）说明方程29180x x ++=是倍根方程；（2）若一元二次方程20x bx c ++=是倍根方程，且方程有一个根为4，求b 、c 的值． 【答案】（1）见解析；（2）6b =-，8c =或12b =-，32c =．【分析】（1）求出该方程的两个根，判断两个根的关系即可．（2）根据20x bx c ++=是倍根方程，可知另一根为2或8．即可分类讨论求出该一元二次方程，即可求出b 、c ．【详解】（1）∵29180x x ++=， ()()360x x ++=，13x =-，26x =-．∵6-是3-的2倍，∴29180x x ++=是倍根方程；（2）∵20x bx c ++=是倍根方程，且有一个根为4，则另一根为2或8． ①当两根为4和2时，()()242680x x x x --=-+=，∴6b =-，8c =．②当两根为4和8时，()()24812320x x x x --=-+=，∴12b =-，32c =，综上所述：6b =-，8c =或12b =-，32c =． 【点睛】本题考查解一元二次方程以及根据一元二次方程根的情况求参数．根据题干理解倍根方程的定义是解答本题的关键．20．已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +++=有两个实数根1x 和2x ． （1）求实数m 的取值范围；（2）当22120x x -=时，求m 的值．【答案】（1）14m ≥-；（2）14m =-.【分析】（1）根据判别式△=24b ac -≥0求解即可；(2)分解因式,确定两个根之间的关系,后根据判别式计算即可. 【详解】(1)∵关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +++=有两个实数根1x 和2x ． ∴△=22(21)4m m +-≥0, ∴14m ≥-; (2) ∵22120x x -=∴1212()()0x x x x -+=, ∴120x x -=或120x x +=, ∴△=0或2m+1=0, 解得14m =-或12m =-(舍去),∴14m =-. 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与判别式的关系,根与系数的关系定理,熟记根的判别式和根与系数关系定理是解题的关键.21．关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m +-+=有两个不相等的实数根． （1）求m 的取值范围； （2）若1x 、2x 是方程的两根，且12111x x +=，求m 的值． 【答案】（1）34m <；（2）3- 【分析】（1）根据一元二次方程判别式的性质计算，即可得到答案；（2）根据一元二次方程根与系数的关系、分式方程、一元二次方程判别式的性质计算，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，得()222340m m ∆=-->， 解得：34m <； （2）根据题意，得：()122332x x m m +=--=-，212x x m =∵12111x x +=，即12121·x xx x += ∴2321mm -= 解得：1m =或3m =- ∵34m <∴1m =舍去当3m =-时，20m ≠ ∴m 的值是3-． 【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程判别式、一元二次方程根与系数关系、一元一次不等式、分式方程的性质，从而完成求解． 22．已知关于x 的一元二次方程()222320x m x m -+++=．（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程的两个实数根分别为12,x x ，且满足22121231x x x x +=+，求实数m 的值． 【答案】（1）112m ≥-（2）2m =【解析】试题分析：（1）若方程有实数根，则△≥0，解不等式即可；（2）由根与系数的关系得到1223x x m +=+，2122x x m =+，由21220x x m =+>和22121231x x x x +=+，得到22121231x x x x +=+，即21212()313x x x x +=+，代入即可得到结果．试题解析：（1）∵关于x 的一元二次方程()222320x m x m -+++=有实数根，∴△≥0，即22(23)4(2)0m m +-+≥，∴112m ≥-； （2）根据题意得1223x x m +=+，2122x x m =+，∵21220x x m =+>，∴1212x x x x =，∵22121231x x x x +=+，∴22121231x x x x +=+，∴21212()313x x x x +=+，即22(23)313(2)m m +=++，解得m=2，m=﹣14（舍去），∴m=2．考点：1．根的判别式；2．根与系数的关系；3．综合题．23．已知关于x 的一元二次方程220x x k +-=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）若方程的两个不相等实数根是a ，b ，求111a ab -++的值． 【答案】（1）k>-1；（2）1 【分析】（1）根据∆>0列不等式求解即可；（2）根据根与系数的关系求出a+b 、ab 的值，然后代入所给代数式计算即可. 【详解】 解：（1）由题意得 ∆=4+4k>0， ∴k>-1；（2）∵a+b=-2，ab=-k ， ∴111a ab -++ =()()()()1111a b a a b +-+++=11ab ab a b -+++=121k k ----+=1. 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）根的判别式与根的关系，以及根与系数的关系，若x 1，x 2为方程的两个根，则x 1，x 2与系数的关系式：12bx x a +=-，12c x x a⋅=． 24．已知关于x 的一元二次方程24280x x k --+=有两个实数根12,x x ． （1）求k 的取值范围；（2）若33121224x x x x +=，求k 的值． 【答案】(1) 2k ≥；(2) =3k 【分析】(1)根据0∆≥建立不等式即可求解；(2)先提取公因式对等式变形为2121212()224⎡⎤+-=⎣⎦x x x x x x ，再结合韦达定理求解即可． 【详解】解：(1)由题意可知，2(4)41(28)0∆=--⨯⨯-+≥k ，整理得：16+8320-≥k ， 解得：2k ≥，∴k 的取值范围是：2k ≥． 故答案为：2k ≥．(2)由题意得：3321212121212()224⎡⎤+=+-=⎣⎦x x x x x x x x x x ， 由韦达定理可知：12+=4x x ，1228=-+x x k ， 故有：2(28)42(28)24⎡⎤-+--+=⎣⎦k k ， 整理得：2430k k -+=， 解得：12=3,1=k k ， 又由(1)中可知2k ≥， ∴k 的值为=3k ． 故答案为：=3k ． 【点睛】本题考查了一元二次方程判别式、根与系数的关系、韦达定理、一元二次方程的解法等知识点，当∆＞0时，方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，方程有两个相等的实数根；当∆＜0时，方程没有实数根．25．已知关于x 的方程2410x x k -++=有两实数根． （1）求k 的取值范围；（2）设方程两实数根分别为1x 、2x ，且1212334x x x x +=-，求实数k 的值． 【答案】（1）k≤3；（2）3k =-． 【分析】（1）根据方程有两个实数根得出△＝()()24411k --⨯⨯+≥0，解之可得．（2）利用根与系数的关系可用k 表示出x 1＋x 2和x 1x 2的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍． 【详解】解：（1）∵关于x 的一元二次方程2410x x k -++=有两个实数根， ∴△≥0，即()()24411k --⨯⨯+≥0， 解得：k≤3，故k 的取值范围为：k≤3．（2）由根与系数的关系可得124x x +=，121x x k =+由1212334x x x x +=-可得()12121234x x x x x x +=-， 代入x 1＋x 2和x 1x 2的值，可得：12141k k =+-+ 解得：13k =-，25k =（舍去）， 经检验，3k =-是原方程的根， 故3k =-． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0，a ，b ，c 为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根以及根与系数的关系，也考查了解一元二次方程和分式方程，注意分式方程要验根．26．已知1x ，2x 是一元二次方程2220x x k -++=的两个实数根．（1）求k 的取值范围； （2）是否存在实数k ，使得等式12112k x x +=-成立？如果存在，请求出k 的值，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）1k ≤-；（2）k =【分析】（1）根据方程的系数结合∆≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝k ＋2，结合12112k x x +=-，即可得出关于k 的方程，解之即可得出k 值，再结合（1）即可得出结论． 【详解】解：（1）∵一元二次方程有两个实数根， ∴2(2)4(2)0k ∆=--+ 解得1k ≤-；（2）由一元二次方程根与系数关系，12122,2x x x x k +==+ ∵12112k x x +=-， ∴1212222x x k x x k +==-+ 即(2)(2)2k k +-=，解得k = 又由（1）知：1k ≤-，∴k = 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合12112k x x +=-，找出关于k 的方程． 27．已知关于x 的方程22210x x k -+-=有实数根．(1)求k 的取值范围；(2)设方程的两根分别是1x 、2x ，且211212x x x x x x +=⋅，试求k 的值． 【答案】(1)1k ≤；(2)k =. 【分析】(1)根据一元二次方程22210x x k -+-=有两个不相等的实数根得到()()224210k ∆=---≥，求出k 的取值范围即可；(2)根据根与系数的关系得出方程解答即可． 【详解】(1)解：∵原方程有实数根，∴240b ac -≥，∴()()224210k ---≥， ∴1k ≤.(2)∵1x ，2x 是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得：122x x +=，1221x x k ⋅=-，又∵211212x x x x x x +=⋅， ∴22121212x x x x x x +=⋅⋅， ∴()()221212122x x x x x x +-=⋅， ∴()()22222121k k --=-，解之，得：12k =，22k =-． 经检验，都符合原分式方程的根， ∵1k ≤，∴k =． 【点睛】本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是根据根的判别式的意义求出k 的取值范围，此题难度不大．。
一元二次方程根与系数的关系习题(配答案) - 副本
一元二次方程根与系数的关系习题(配答案) - 副本一元二次方程根与系数的关系题一、单项选择题：1.关于方程 $ax-2x+1=0$，如果 $a<0$，那么根的情况是（）A) 有两个相等的实数根 (B) 有两个不相等的实数根C) 没有实数根 (D) 不能确定2.设 $x_1,x_2$ 是方程 $2x^2-6x+3=0$ 的两根，则$x_1+x_2$ 的值是（）A) 15 (B) 12 (C) 6 (D) 33.下列方程中，有两个相等的实数根的是（）A) $2y+5=6y$ (B) $x+5=25x$ (C) $3x^2-2x+2=0$ (D)$3x^2-26x+1=0$本题为找出 $\Delta$ 的方程即可)4.以方程 $x^2+2x-3=0$ 的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（）A) $y^2+5y-6=0$ (B) $y^2+5y+6=0$ (C) $y^2-5y+6=0$ (D) $y^2-5y-6=0$5.如果 $x_1,x_2$ 是两个不相等实数，且满足 $x_1-2x_1=1$，$x_2-2x_2=1$，那么 $x_1\cdot x_2$ 等于（）A) 2 (B) -2 (C) 1 (D) -1二、填空题：1、如果一元二次方程 $x^2+4x+k=0$ 有两个相等的实数根，那么 $k=$ _____。
2、如果关于 $x$ 的方程 $2x^2-(4k+1)x+2k-1=0$ 有两个不相等的实数根，那么 $k$ 的取值范围是______。
3、已知 $x_1,x_2$ 是方程 $2x^2-7x+4=0$ 的两根，则$x_1+x_2=$ _______。
4、若关于 $x$ 的方程 $(m-2)x^2-(m-2)x+1=0$ 的两个根互为倒数，则 $m=$ _____。
5、当 $m=$ _______ 时，方程 $x^2+mx+4=0$ 有两个相等的实数根；6、已知关于 $x$ 的方程 $10x^2-(m+3)x+m-7=0$，若有一个根为 $1$，则 $m=7$，这时方程的另一个根是 $7/5$；若两根之和为 $-5/3$，则 $m=-9$，这时方程的两个根为 $1/2,-7/5$。
韦达定理(根与系数的关系)全面练习题及答案
1、韦达定理（根与系数的关系）韦达定理：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a丰0），如果方程有两个实数根x,x,那么12说明：定理成立的条件A>0练习题一、填空：1、如果一兀二次方程ax2+bx+c=0（a丰0）的两根为x,x，那么x+x=1212xx=.122、如果方程x2+px+q=0的两根为x,x，那么x+x=,xx=.1212123、方程2x2-3x-1=0的两根为x,x，那么x+x=,xx=.1212124、如果一元二次方程x2+mx+n二0的两根互为相反数，那么m=；如果两根互为倒数,5方程x2+mx+（n-1）=0的两个根是2和一4,那么m=,n=.6、以x,x为根的一元二次方程（二次项系数为1）是127、以<3+1,v3-1为根的一元二次方程是.8、若两数和为3,两数积为一4,则这两数分别为.9、以3+迈和3-迈为根的一元二次方程是.10、若两数和为4,两数积为3,则这两数分别为.11、已知方程2x2+3x-4二0的两根为x,x，那么x2+x2=.121212、若方程x2-6x+m=0的一个根是3-j2,则另一根是,m的值是.13、若方程x2-（k-1）x-k-1=0的两根互为相反数，则k=，若两根互为倒数，贝Uk=.14、如果是关于x的万程x2+mx+n=0的根是-詔2和J3，那么x2+mx+n在实数范围内可分解为.二已知方程x2—3x—2—0的两根为x，且>x,求下列各式的值:1212(1 )x2+x2=；(2)11+= 12x x12(3 )(x一x)2—=；(4)(x+1)(x+1)=. 1212三、选择题：1、关于x的方程2x2-8x-p=0有一个正根，一个负根，则p的值是（）（A）0（B）正数（C）—8（D）—42、已知方程x2+2x—1=0的两根是x,x，那么x2x+xx2+1—()12(A)－7 (B)3 (C)7 (D)—33、已知方程2x2—x—3—0的两根为x,x12 那么丄+丄=（）xx12（B）1(C)3 (D)4、下列方程中，两个实数根之和为2的一元次方程是(A)x2+2x—3—0 (B)x2—2x+3—0(C)x2—2x—3—0 (D)x2+2x+3—05、若方程4x2+（a2—3a-10）x+4a—0的两根互为相反数, 则a的值是（(A)5或—2 (B)5 (C)—2 (D)—5或26、若方程2x2—3x—4—0的两根是x,x，那么(x+1)(x1211(C)2 +1）的值是（(B)—6 （D）-27、分别以方程x2—2x—1=0两根的平方为根的方程是（C)y2—6y—1—0(D)y2+6y一1—0(A)y2+6y+1—0 (B)y2一6y+1—0四、解答题:1、若关于x的方程5x2+23x+m=0的一个根是一5,求另一个根及m的值.2、关于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4二0有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21.求m的值.3、若关于x的方程x2+(m-2)x-m-3=0两根的平方和是9.求m的值.4、已知方程x2-3x-m二0的两根之差的平方是7,求m的值.5、已知方程x2+(m2-4m-5)x+m=0的两根互为相反数，求m的值.6、关于x的方程3x2-(4m2-1)x+m(m+2)=0的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m的值.7、已知方程x2-2x+3m=0，若两根之差为一4,求m的值.8、已知x,x是一元二次方程4kx2-4kx+k+1二0的两个实数根.123(1)是否存在实数k，使(2x-x)(x-2x)二-一成立？若存在，求出k的值；若不存在，请12122您说明理由.⑵求使九+•-2的值为整数的实数k的整数值.xx21韦达定理；肘于一元二次方程ax 3+^+^0^*0）.如果方程有两个窝雜根环E ・那么丙+Aj=__，片％=-aa说明：定理成立的条件也±0练习题iK 如果一元二次方程o?+址+G =0S 古叭的两根为工厂旳，那么心+勺工_£2、如果方程工"卡戸工+《弓0的两根为為’x ±,那么百*0=_1&孔=―I①方程2+—H 工一1"的两根为f 那么斗+斗巧匸士一-涉如果一元二次方稈十+淞E+丹土0的两根互丸相反数.那么rn=PJ 如果两根互为倒数.那么祥=_...护趕++楓子厲-120的两个根是2和一4、那么m=2."-7.以.旺，观为根的一元二次方程（二抿项系数为O 是代宀七入九沁、 以舲+1,再-1为银的一元…祢方稈是％-2怡喘池可T,斑nl 若两数和为趴踽数积为-4,则这两敢分别為壬TA 曲_口？馭齢血利3-迈再根的一元二次方程是上也如壬 kd@若两数和为4,两数厂-门，瓦这两数分别为」和占II 、已期方穆2d+3工一4=U 的茁郴为“，j 心，那虫工；于工；@若方理宀钳+协=0的一卡根2近.耻I -根是丄坐_，用的值鬼J_.售琥d 塑），若方程讹-1）—七-1=0的两覘耳知皈数“则"_L ・若两根互为倒数，则"竺.严炭贅关于”的方程一F+酥+姑=0的根是-近和更、邯么F+吟严右険数范川內出分解为（世环Q 【環也）,答案: 根与系数的关系（韦达定理） —、填空:9、g已知方jix3-jj-2=o的两根为卧小且7筍亠“求下列各貳的值：⑶匚―可『==；⑷佃+1)(工严1)=—.—■三、选择题；@关于x的方程2Sp=0有-牛正根，一个负根・则p的值是(ja>)(A)0(B)正数(C)-8<D)~42、已知方程x z+2i-l=0的两根是冲x2.削么彳珀卡旺帀'42(B(A)-7(B)3{(：)了(D)-3氛已知方程空疋-工-3"的两根为书.%那么丄+丄=©A〉円x i”电(A)-|(B)+(C)3(D)-3瑾®'下测方理中，两个实数根之和为2的一元二次方程是(匚)(A)x5+2x~3=0CB)j2-2x+3=Q免钮1(C)F-2—3=0(D)J2+2x+3=O形若方程4?+(/—加―】哄+硼二0的弊互曲相反数，则"的帶1是〔C> tA)5或一2(B)5(C)-2(□)-5或26.若方程"-脈-斗=G的两根是鬲』补那么詬+i〕g+D的值是(C)(A)—扌(B)-6(C)|(D)殆@为别以方程工―2—1-0两根杓平方为根的方程是(B)%■<缜二工■,儿仏二-I矗=了求曲的值， 呼1+孙：一尊1%H 屈Qn 山械一小-.叙知九十*二A M 叩 [7k +Jk^-旳Ml 二^|.二-S*L yt-卒gd -上(韭华,“対s 站叮，也么、叔4y网二7盘亠丨m H 料r 寻]二w(K.+ViJ-4>«=74—f 二切=』石-J ，仃工X-$%占=f£tQ7•迩己知X ］，号是一元二祝方程4fac s -4^+A+1=0的两个实数根.3⑴是否存程实数帚便俗I--qH 咼-2即=-二成立？若存在，求出A 的直；若平存也 请您说明理由.d 二協’必f ““二W£*■J ■号虫S”⑵求使A +2__2的值为整数的实坡丘的鰹数学.X?斗m 的值.>tKi ，T 十41曰- 丁-仆（厲T ）（器叶1":Pz 「匕—I@己知方程x 1-2x+^m=0・若两根之差为Q 求朋的值一I"创冷一缈5左&乜乔戚宜癸£a 4窗巳*试2T%亠fr~i.^'*-??d -1—◎二讥“埠£ 厶二-耳“$£.心f-7Z+■/A0关于工的方程如'-（4用*」找十粗佃+2］二0的两实数根之和等于两实数很的倒数和，求。
专题2.1 一元二次方程根与系数的关系(压轴题专项讲练)(北师大版)(解析版)
专题2.1 一元二次方程根与系数的关系【典例1】已知关于x的二次方程x2−ax+a2−4=0．（1）a为何值时，方程有两个不同的正根；（2）a为何值时，方程只有一个正根．（1）根据一元二次方程有两个不相等正根，则根的判别式Δ=(−a)2−4(a2−4)>0，x₁+x₂＞0，x₁·x₂＞0，组成不等式组求出a的取值范围即可；（2）根据一元二次方程只有一个正实数根，分为三种情况，一是有且只有一个正根，二是有两个根其中一个是正根，另一个根式负根或0，结合判别式以及根与系数的关系列不等式，求出a的值即可．解：（1）根据题意得，方程x2−ax+a2−4=0有两个不同的正根，∴Δ=(−a)2−4(a2−4)=−3a2+16＞0①，且x₁+x₂=a＞0②，x₁·x₂=a²-4＞0③，解由①②③组成的不等式组得，2＜a故当2＜a（2）Ⅰ当方程x2−ax+a2−4=0只且只有一个正根时，∴Δ=(−a)2−4(a2−4)=−3a2+16=0①，且x₁+x₂=a＞0②，x₁·x₂=a²-4＞0③，解①得：a=当②、③，而a=②，故舍去，故当Ⅱ 当方程x 2−ax +a 2−4=0有一个正根，一个负根，则Δ=(−a )2−4(a 2−4)=−3a 2+16>0①，且x₁·x₂=a²-4＜0②解①得：a 解②得：-2＜a ＜2，即−2<a <2Ⅲ 当方程x 2−ax +a 2−4=0有一个正根，一个0，则Δ=(−a )2−4(a 2−4)=−3a 2+16>0①，且x₁·x₂=a²-4=0②x₁+x₂=a ＞0③解①得：a 解②得： a=±2，由③a ＞0即a=2综上所述：−2<a ≤21．（2022·四川宜宾·九年级专题练习）关于x 的方程ax 2+（a +2）x +9a ＝0有两个不等的实数根x 1，x 2，且x 1＜1＜x 2，那么a 的取值范围是（ ）A ．﹣27＜a ＜25B ．a ＞25C ．a ＜﹣27D ．﹣211＜a ＜0【思路点拨】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a 的不等式，求出a 的取值范围．又存在x 1＜1＜x 2，即（x 1-1）（x 2-1）＜0，x 1x 2-（x 1+x 2）+1＜0，利用根与系数的关系，从而最后确定a 的取值范围．【解题过程】解：∵方程有两个不相等的实数根，则a≠0且△＞0，由（a+2）2-4a×9a=-35a2+4a+4＞0，解得−27<a<25，又∵x1＜1＜x2，∴x1-1＜0，x2-1＞0，那么（x1-1）（x2-1）＜0，∴x1x2-（x1+x2）+1＜0，∵x1+x2=−a2a，x1x2=9，即9+1<0，解得−211<a<0，综上所述，a的取值范围为：−211<a<0.故选D．2．（2023春·安徽安庆·九年级校联考阶段练习）若方程x2+2px−3p−2=0的两个不相等的实数根x1、x2满足x12+x13=4−(x22+x23)，则实数p的所有值之和为（）A．0B．−34C．−1D．−54【思路点拨】先根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到x12+2px1−3p−2=0，x1+x2=−2p，进而推出x13 =3px1+2x1−2px12，则x13+x12=3px1+2x1−2px12+x12，x23+x22=3px2+2x2−2px22+x22，即可推出(3p+2)(x1+x2)+(1−2p)(x12+x22)=4，然后代入x1+x2=−2p，x12+x22=(x1+x2)2−4p得到2p(4p+3)(p+1)=0，再根据判别式求出符号题意的值即可得到答案．【解题过程】解：∵x1、x2是方程x2+2px−3p−2=0的两个相等的实数根，∴x12+2px1−3p−2=0，x1+x2=−2p，x1x2=−3p−2，∴x12+2px1=3p+2，∴x13+2px12=3px1+2x1，∴x13=3px1+2x1−2px12，∴x13+x12=3px1+2x1−2px12+x12，同理得x23+x22=3px2+2x2−2px22+x22，∵x12＋x13=4−(x22+x23)，∴x12+x13+(x22+x23)=4，∴3px1+2x1−2px12+x12+3px2+2x2−2px22+x22=4，∴(3p+2)(x1+x2)+(1−2p)(x12+x22)=4，∴(3p+2)(−2p)+(1−2p)(−2p)2−2(−3p−2)=4，∴−6p2−4p+(1−2p)4p2+6p+4=4，∴−6p2−4p+4p2+6p+4−2p4p2+6p+4=4，∴−2p2+2p−2p4p2+6p+4=0，∴−2p4p2+6p+4+p−1=0，∴2p4p2+7p+3=0，∴2p(4p+3)(p+1)=0，，解得p1=0，p2=−1，p3=−34∵Δ=(2p)2+4(3p+2)>0，∴p2+3p+2>0，∴(p+1)(p+3)>0，∴p=−1不符合题意，∴p1+p3=−34∴符合题意，故选B．3．（2022秋·全国·九年级专题练习）关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②(m−1)2+(n−1)2≥2；③−1≤2m−2n≤1，其中正确结论的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【思路点拨】设方程x2+2mx+2n=0的两根为x1、x2，方程y2+2ny+2m=0同的两根为y1、y2．①根据方程解的情况可得出x1•x2=2n＞0、y1•y2=2m＞0，结合根与系数的关系可得出x1+x2=-2m、y1+y2=-2n，进而得出这两个方程的根都是负根，①正确；②由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出m2-2n≥0、n2-2m≥0，将（m-1）2+（n-1）2展开代入即可得出②正确；③根据根与系数的关系可得出2m-2n=（y1+1）（y2+1）-1、2n-2m=（x1+1）（x2+1）-1，结合x1、x2、y1、y2均为负整数即可得出-1≤2m-2n≤1，③成立．综上即可得出结论．【解题过程】解：设方程x2+2mx+2n=0的两根为x1、x2，方程y2+2ny+2m=0同的两根为y1、y2．①∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，∴x1•x2=2n＞0，y1•y2=2m＞0，∵x1+x2=-2m，y1+y2=-2n，∴这两个方程的根都是负根，①正确；②∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，∴4m2-8n≥0，4n2-8m≥0，∴m2-2n≥0，n2-2m≥0，∴（m-1）2+（n-1）2=m2-2n+1+n2-2m+1≥2，②正确；③∵y1•y2=2m，y1+y2=-2n，∴2m-2n=y1•y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）-1，∵y1、y2均为负整数，∴（y1+1）（y2+1）≥0，∴2m-2n≥-1．∵x1•x2=2n，x1+x2=-2m，∴2n-2m=x1•x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）-1，∵x1、x2均为负整数，∴（x1+1）（x2+1）≥0，∴2 n -2 m≥-1，即2m-2n≤1．∴-1≤2m-2n≤1，③成立．综上所述：成立的结论有①②③．故选D．4．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程x2−(n+2)x−2n2=0的两个根为a n,b n(n≥2)，则1(a2−2)(b2−2)+1(a3−2)(b3−2)+⋯+1(a2021−2)(b2021−2)=__________．【思路点拨】由根与系数的关系得a n+b n=n+2，a n⋅b n=−2n2，所以(a n−2)(b n−2)=a n b n−2(a n+b n)+4=−2n2−2(n+2)+4=−2n(n+1)，则1(a n−2)(b n−2)=−12n(n1)=−12(1n−1n1)，然后代入即可求解．【解题过程】由根与系数的关系得a n+b n=n+2，a n⋅b n=−2n2，所以(a n−2)(b n−2)=a n b n−2(a n+b n)+4=−2n2−2(n+2)+4=−2n(n+1)，则1(a n−2)(b n−2)=12n(n1)=−12(1n−1n1)，则1(a2−2)(b2−2)+1(a3−2)(b3−2)+⋯+1(a2021−2)(b2021−2)=−12[(12−13)+(13−14)+…+(12021−12022)]=−12×(12−12022)=−12×10102022=−5052022．故答案为：−5052022．5．（2022秋·全国·九年级专题练习）关于x的方程x2−(m−2)x−m24=0两个实根x1,x2满足|x1|=|x2|+3，则m的值为_______．【思路点拨】先判断一元二次方程根的情况，然后利用根与系数的关系，得到x1+x2=m−2，x1•x2=−m24≤0，结合|x1 |−|x2|=3，通过变形求值，即可求出m的值.【解题过程】解：在方程x2−(m−2)x−m24=0中，有Δ=[−(m−2)]2−4×1×(−m24)=2m2−4m+4=2(m−1)2+2>0，∴原方程有两个不相等的实数根；根据根与系数的关系，有：x1+x2=−−(m−2)1=m−2，x1•x2=−m241=−m24≤0，∵|x1|=|x2|+3，∴|x 1|−|x 2|=3，∴x 21−2|x 1•x 2|+x 22=9，∴(x 1+x 2)2−2x 1•x 2−2|x 1•x 2|=9，∴(x 1+x 2)2−2x 1•x 2+2x 1•x 2=9，∴(m−2)2=9，解得：m 1=5，m 2=−1；故答案为：5或−1.6．（2022春·九年级课时练习）已知实系数一元二次方程ax 2+2bx +c ＝0有两个实根x 1，x 2，且a ＞b ＞c ，a +b +c ＝0，设d =|x 1−x 2|，则d 的取值范围为_____．【思路点拨】先根据一元二次方程根与系数的关系求出d 2的表达式，再根据二次函数性质求其取值范围即可．【解题过程】解：∵实系数一元二次方程ax 2+2bx +c ＝0有两个实根x 1、x 2，∴x 1+x 2＝﹣2b a ，x 1·x 2＝c a ，∴d 2＝|x 1﹣x 2|2=（x 1+x 2）2﹣4x 1·x 2＝（﹣2b a ）2﹣4c a＝−﹣4c a −4ac a 2＝4[（c a ）2+c a +1]＝4[（c a +12）2+34]，∵a ＞b ＞c ，a +b +c ＝0，∴a ＞0，c ＜0，a ＞﹣a ﹣c ＞c ，解得：﹣2＜c a ＜﹣12，∵y ＝4[（c a +12）2+34]的对称轴为：c a ＝﹣12，∴当﹣2＜ca ＜﹣12时，y随ca增大而减小，∴3＜d2＜12，<d<d<7．（2022秋·八年级单元测试）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，甲由于看错了二次项系数，求得两个根为3和6，乙由于看错了某一项系数的符号，求得两个根为3+2b3c4a=____________【思路点拨】先利用两根分别表示出错误的方程为：对于甲：设k(x−3)(x−6)=0，得：kx2−9kx+18k=0；对于乙：设+=0，得：px2−6px−12p=0，乙的错误不可能是看错了一次项系数的符号，分两种情况：①若乙看错了二次项系数的符号，那么甲和乙的方程里面一次项和常数项分别相等；②若乙看错了常数项的符号，那么甲和乙的方程里面一次项相等，常数项互为相反数，则正确的方程为px2−6px+12p=0，求代数式的值即可.【解题过程】解：对于甲：设k(x−3)(x−6)=0得：kx2−9kx+18k=0对于乙：设+=0得：px2−6px−12p=0分情况讨论：①若乙看错了二次项系数的符号，那么−9k=−6p18k=−12p解得：k=p=0，不符合题意，舍去②若乙看错了常数项的符号，那么−9k=−6p18k−12p=0解得：p=32k则a=p,b=−6p,c=12p2b3c 4a =−12p36p4p=6③若乙看错了一次项项的符号，那么−9k=6p18k=−12p解得：p=−32k则a=p,b=6p,c=−12p2b+3c4a =12p−36p4p=−6故答案为±68．（2022春·四川内江·九年级专题练习）将两个关于x的一元二次方程整理成a(x+ℎ)2+k＝0（a≠0，a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）与方程(x+1)2−2=0是“同源二次方程”，且方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根为x1、x2，则b－2c＝______，ax1+x1x2+ax2的最大值是______．【思路点拨】利用ax2+bx+c=0（a≠0）与方程(x+1)2−2=0是“同源二次方程”得出b=2a，c=a−2，即可求出b−2c；利用一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=−2，x1x2=a−2a，进而得出ax1+x1x2+ax2=−2a+1，设a+1a=t（t>0），得a2−t⋅a+1=0，根据方程a2−t⋅a+1=0有正数解可知Δ=t2−4≥0，求出t的取值范围即可求出ax1+x1x2+ax2的最大值．【解题过程】解：根据新的定义可知，方程ax2+bx+c=0（a≠0）可变形为a(x+1)2−2=0，∴a(x+1)2−2=ax2+bx+c，展开，ax2+2ax+a−2=ax2+bx+c，可得b=2a，c=a−2，∴b−2c=2a−2(a−2)=4；∵x1+x2=−2，x1x2=a−2a，∴ax1+x1x2+ax2=a(x1+x2)+x1x2=−2a+a−2a=−2a+1，∵方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根为x1、x2，∴Δ=b2−4ac=(2a)2−4a(a−2)=8a≥0，且a≠0，∴a>0，=t（t>0），得a2−t⋅a+1=0，设a+1a∵方程a2−t⋅a+1=0有正数解，∴Δ=t2−4≥0，≥2，解得t≥2，即a+1a∴ax1+x1x2+ax2=−2a+1≤−3．故答案为：4，-3．9．（2022秋·广东江门·九年级统考阶段练习）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有_____（填序号）．①方程x2−x−2=0是“倍根方程”；②若(x−2)(mx+n)=0是“倍根方程”，则4m2+5mn+n2=0；③若p,q满足pq=2，则关于x的方程px2+3x+q=0是“倍根方程”；④若方程ax2+bx+c=0是“倍根方程”，则必有2b2=9ac．【思路点拨】①求出方程的根，再判断是否为“倍根方程”；②根据“倍根方程”和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m，n之间的关系；③当p,q满足pq=2时，有px2+3x+q=(px+1)(x+q)=0，求出两个根，再根据pq=2代入可得两个根之间的关系，讲而判断是否为“倍根方程”；④用求根公式求出两个根，当x1=2x2或2x1=x2时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．【解题过程】解：①解方程x2−x−2=0，得x1=2，x2=−1，∵x1≠2x2，∴方程x2−x−2=0不是“倍根方程”．故①不正确；②∵(x−2)(mx+n)=0是“倍根方程”，且x1=2，因此x2=1或x2=4．当x2=1时，m+n=0，当x2=4时，4m+n=0，∴4m2+5mn+n2=(m+n)(4m+n)=0，故②正确；③∵pq=2，∴px2+3x+q=(px+1)(x+q)=0，∴x1=−1p，x2=−q，∴x2=−q=−2p=2x1，因此px2+3x+q=0是“倍根方程”，故③正确；④方程ax2+bx+c=0的根为x1=2若x1=2x2×2，2=0，=0，∴b+=0，∴=−b，∴9(b2−4ac)=b2，∴2b2=9ac，若2x1=x22==0，∴−b+=0，∴b=∴b2=9(b2−4ac)，∴2b2=9ac．故④正确，故答案为：②③④．10．（2023春·全国·八年级专题练习）已知关于x的一元二次方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使1x1−1x2＝1成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k的不等式，求得k的取值范围．（2）利用根与系数的关系，根据1x 1−1x 2=x 2−x 1x 1x 2,即可求出k 的值，看是否满足（1）中k 的取值范围，从而确定k 的值是否存在．【解题过程】解：（1）由题意知，k ≠0且△＝b 2﹣4ac ＞0∴b 2﹣4ac ＝[﹣2（k +1）]2﹣4k （k ﹣1）＞0，即4k 2+8k +4﹣4k 2+4k ＞0，∴12k ＞﹣4解得：k ＞−13且k ≠0（2）存在，且k =7±∵x 1+x 2=2(k 1)k ,x 1x 2=k−1k,又有1x 1−1x 2=x 2−x 1x 1x 2=1,∴x 2−x 1=x 1x 2,∴x 22−2x 1x 2+x 21=x 21x 22,∴(x 1+x 2)2−4x 1x 2=(x 1x 2)2,∴2−4k−4k =(k−1k)2, ∴(2k +2)2−k(4k−4)=(k−1)2, ∴k 2−14k−3=0, ∵a =1,b =−14,c =−3, ∴Δ=b 2−4ac =208,∴k =7±∵ k ＞−13且k ≠0，∵≈−0.21＞−13, 7+−13.∴满足条件的k 值存在，且k =7±．11．（2022·浙江·九年级自主招生）已知方程x 2+4x +1=0的两根是α、β．（1）求|α−β|的值；（2（3）求作一个新的一元二次方程，使其两根分别等于α、β的倒数的立方．（参考公式：x 3+y 3=(x +y)x 2+y 2−xy ．【思路点拨】（1）利用一元二次方程根与系数的关系可得α+β=−4,αβ=1，再求得(α−β)2的值，进而求得|α−β|的值．（2）+α最后将α+β=−4,αβ=1代入计算即可；（3）+的值，然后根据一元二次方程根与系数的关系即可解答．【解题过程】（1）解：∵方程x 2+4x +1=0的两根是α、β∴α+β=−4,αβ=1∴(α−β)2=(α+β)2−4αβ=12∴|α−β|=（2）解：由（1）可知：α<0，β<0，∵=αβ+βα+2=α2+β2αβ+2=(α+β)2−2αβαβ+2=16，4（负值舍去）；（3+=(1α+1β+−===−1=−52==1所以新的一元二次方程x 2+52x +1=0．12．（2022春·四川南充·九年级专题练习）已知：关于x 的方程(k−1)x 2−2kx +k +2=0有实数根．（1）求k 的取值范围．（2）若x 1，x 2是方程(k−1)x 2−2kx +k +2=0的两个实数根，问：是否存在实数k ，使其满足(k−1)x 21+2k x 2+k +2=4x 1x 2，若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）利用一元二次方程根的判别式列出不等式，再求解即可；（2）根据已知得出(k−1)x 21−2kx 1+k +2=0①，x 1+x 2=−−2kk−1=2kk−1，x 1⋅x 2x 2=2kk−1−x 1，求出(k−1)x 21−2kx 1+k +2+4k 2k−1=4⋅k 2k−1②，把①代入②得出4k 2k−1=4⋅k 2k−1，最后求出k 即可.【解题过程】解：（1）当k−1=0即k =1时，方程−2x +3=0，x =32，即方程有实数根，当k−1≠0时，Δ=(−2k)2−4⋅(k−1)⋅(k +2)≥0，方程有实数根，即k ≤2，综合上述：k 的取值范围是k ≤2．（2）∵x 1，x 2是方程(k−1)x 2−2kx +k +2=0的两个实数根，∴(k−1)x 21−2kx 1+k +2=0，①x 1+x 2=−−2kk−1=2kk−1，x 1⋅x 2=∴x 2=2kk−1−x 1，∵(k−1)x 21+2kx 2+k +2=4x 1x 2，∴(k−1)x 21+1+k +2=4⋅k 2k−1，∴(k−1)x 21+4k 2k−1−2kx 1+k +2=4⋅k 2k−1，即：(k−1)x 21−2kx 1+k +2+4k 2k−1=4⋅k 2k−1，②把①代入②得：4k 2k−1=4⋅k 2k−1，k 2−k−2=0，k =2，k =−1，由（1）可知k 需满足：k ≤2且k ≠1，∴k =2或−1．13．（2022秋·九年级单元测试）已知关于x 的一元二次方程x 2−2x−a 2−a =0(a >0)．（1）求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；（2）若对于a =1，2，3，…，2019，2020时，相应得到的一元二次方程的两根分别为α1和β1,α2和β2,α3和β3，…，α2019和β2019,α2020和β2020，+1α2+1α3+…+1α2019+1β2+1β3+…+1β2019的值．【思路点拨】（1）设方程的两根是α1，β1，得出α1+β1=2，α1·β1=−a 2−a ，代入(α1−2)(β1−2)，=α1β1−2(α1+β1)+4，求出其结果是−a 2−a ，求出−a 2−a <0即可；（2）得出α1+β1=2，α1·β1=−a 2−a =−a(a +1)，把(1α1+1α2+1α3+…+1α2019+1α2020)+(1β1+1β2+1β3+…+1β2019+1β2020)112233+20202020−2×(1−12+12−13+13−14+…+12020−12021)，推出−2×(1−12021)，求出即可．【解题过程】解：（1）证明：设方程的两根是α1，β1，则α1+β1=2，α1·β1=−a 2−a ，∴(α1−2)(β1−2)=α1β1−2(α1+β1)+4=−a 2−a−2×2+4=−a 2−a ，∵a >0，∴−a 2−a <0，即这个方程的一根大于2，一根小于2；（2）∵α1+β1=2，α1·β1=−a2−a=−a(a+1)∵对于a=1，2，3，…，2019，2020时，相应得到的一元二次方程的两根分别为α1和β1，α2和β2，α3和β3，…，α2019和β2019，α2020和β2020，∴(1α1+1α2+1α3+…+1α2019+1α2020)+(1β1+1β2+1β3+…+1β2019+1β2020)=1α1+1β1+1α2+1β2+1α3+1β3+…+1α2019+1β2019+1α2020+1β2020=α1+β1α1β1+α2+β2α2β2+α3+β3α3β3+…+α2020+β2020α2020β2020=2−1×2+2−2×3+2−3×4+…+2−2020×2021=−2×(11×2+12×3+13×4+…+12020×2021)=−2×(1−12+12−13+13−14+…+12020−12021)=−2×(1−1 2021)=−40402021．14．（2022秋·九年级课时练习）一元二次方程x2+2ax+6−a=0的根x1,x2分别满足以下条件，求出实数a 的对应范围．（1）两个根同为正根；（2）两个根均大于1；（3）x1x2=3．【思路点拨】（1）由一元二次方程x2+2ax+6−a=0有两个正根，可列不等式组∴{△=(2a)2−4(6−a)≥0①x1+x2=−2a>0②x1x2=6−a>0③，再解不等式组即可；（2）由一元二次方程x2+2ax+6−a=0两个均大于1，可得(x1−1)(x2−1)>0,即x1x2−(x1+x2)+1>0,再结合根与系数的关系列不等式，结合△≥0，从而可得答案；（3）由x1x2=3可得x1=3x2,结合x1+x2=−2a,求解x1,x2,再利用x1x2=6−a,再解方程求解a的值，再检验即可.【解题过程】（1）解：∵一元二次方程x2+2ax+6−a=0有两个正根，∴{△=(2a)2−4(6−a)≥0①x 1+x 2=−2a >0②x 1x 2=6−a >0③由①得：a 2+a−6≥0, 解得：a ≥2或a ≤−3, 由②得：a <0, 由③得：a <6,所以a 的取值范围为：a ≤−3；（2）解： 由（1）得：a ≤−3,一元二次方程x 2+2ax +6−a =0两个均大于1，∴(x 1−1)(x 2−1)>0, 即x 1x 2−(x 1+x 2)+1>0, 而x 1+x 2=−2a,x 1x 2=6−a, ∴6−a +2a +1>0, 解得：a >−7, 综上−7<a ≤−3（3）解：∵ x 1x 2=3，则x 1=3x 2, ∵x 1+x 2=−2a, 解得：x 1=−32a,x 2=−12a, ∵x 1x 2=6−a, ∴34a 2=6−a,整理得：3a 2+4a−24=0,∴a ==∵ a ≥2或a ≤−3,经检验：a =a =.15．（2022秋·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）设m 是不小于﹣1的实数，使得关于x 的方程x 2＋2（m ﹣2）x ＋m 2﹣3m ＋3＝0有两个实数根x 1，x 2．（1）若x 21+x 22=2，求m 的值；（2）令T ＝mx 11−x 1＋mx 21−x 2，求T 的取值范围．【思路点拨】首先根据方程有两个实数根及m是不小于-1的实数，确定m的取值范围，根据根与系数的关系，用含m的代数式表示出两根的和、两根的积．（1）变形x12+x22为（x1+x2）2-2x1x2，代入用含m表示的两根的和、两根的积得方程，解方程根据m的取值范围得到m的值；（2）化简T，用含m的式子表示出T，根据m的取值范围，得到T的取值范围．【解题过程】解：（1）∵关于x的方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0有两个实数根，∴Δ=4（m-2）2-4（m2-3m+3）≥0，解得m≤1，∵m是不小于-1的实数，∴-1≤m≤1，∵方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0的两个实数根为x1，x2，∴x1+x2=-2（m-2）=4-2m，x1•x2=m2-3m+3．∵x12+x22=2，∴（x1+x2）2-2x1x2=2，∴4（m-2）2-2（m2-3m+3）=2，整理得m2-5m+4=0，解得m1=1，m2=4（舍去），∴m的值为1；（2）T＝mx11−x1＋mx21−x2，=mx1(1−x2)mx2(1−x1)(1−x1)(1−x2)12)121−42m3=−2m(m−1)2m2−m=−2m(m−1)2m(m−1)=2-2m．∵当x=1时，方程为1＋2（m﹣2）＋m2﹣3m＋3＝0，解得m=1或m=0．∴当m=1或m=0时，T没有意义．∴−1≤m<1且m≠0∴0<2-2m≤4且T≠2．即0<T≤4且T≠2．16．（2022秋·福建泉州·九年级石狮市石光中学校考期中）已知关于x的一元二次方程mx2+(3m+1)x+3=0(m≠0)．（1）求证：方程有两个实数根；（2）若m<0，方程的两个实数根分别为x1,x2（其中x1<x2），若y是m的函数，且y=x1−1x2，求这个函数的解析式．（3）若m为正整数，关于x的一元二次方程mx2+(3m+1)x+3=0(m≠0)的两个根都是整数，a与a+b(b≠0)分别是关于x的方程mx2+(3m+1)x+3=0的两个根．求代数式4a2+12ab+5b2+16b+8的值．【思路点拨】（1）利用Δ求出关于m的式子，然后证明关于m的式子大于或等于0即可；（2）利用公式法确定两根，代入即可得出这个函数解析式；（3）利用根与系数的关系求出m的值，即可得到a与a+b(b≠0)分别是关于x的方程x2+4x+3−b=0的两个根，利用根与系数的关系得到a+a+b=−4，即a=−4b4，代入代数式化简即可求出答案．【解题过程】（1）解：∵由题意可知Δ=(3m+1)2−4m×3=9m2−6m+1=(3m−1)2≥0，∴方程有两个实数根；（2）mx2+(3m+1)x+3=0解：由（1）可知，方程有两个实数根，∴x<0)，∴x=−3m−1±(1−3m)2m，∵x1<x2，∴x1=−3，x2=−1m，∴y=x1−1x2=−3−1−1m=−3+m,(m<0)．∴y=−3+m,(m<0)．（3）解：∵a与a+b(b≠0)分别是关于x的方程mx2+(3m+1)x+3=0的两个根．∴a+a+b=2a+b=−3m1m =−3−1m，a(a+b)=3m，∵a与b是整数，∴1m 与3m同为整数，∵m是正整数，∴m=1，∴方程为x2+4x+3=0，∴a+a+b=2a+b=−4，∴a=−4−b2，将a=−4−b2代入4a2+12ab+5b2+16b+8原式=4×++5b2+16b+8=16+8b+b2−24b−6b2+5b2+16b+8=24．17．（2022秋·福建·九年级统考期末）已知关于x的方程mx2−(m−1)x+2=0有实数根．（1）若方程的两根之和为整数，求m的值；（2）若方程的根为有理根，求整数m的值．【思路点拨】（1）根据关于x的方程mx2−(m−1)x+2=0有两个根，且为实数根，先利用一元二次方程的根的判别式确定m的取值范围，再根据一元二次方程的根与系数的关系，可知x1+x2=m−1m，若方程的两根之和为整数，即m−1m为整数，即可确定m的值；（2）分两种情况讨论：当m=0时，此时关于x的方程为x+2=0，求解可得x=−2，符合题意；当m≠0时，对于关于x的方程mx2−(m−1)x+2=0可有x m为整数，则Δ=m2−10m+1为某一有理数的平方，据此分析即可获得答案．【解题过程】（1）解：∵关于x的方程mx2−(m−1)x+2=0有两个根，且为实数根，∴m≠0，且Δ=[−(m−1)]2−4m×2=m2−10m+1≥0，根据一元二次方程的根与系数的关系，可知x1+x2=−−(m−1)m =m−1m，若方程的两根之和为整数，即m−1m为整数，∵m−1m =1−1m，∴1m是整数，∴m=±1，当m=1时，Δ=1−10+1=−8<0，不符合题意；当m=−1时，Δ=1+10+1=12>0，m−1m =−1−1−1=2，为整数，符合题意；∴m的值为−1；（2）当m=0时，此时关于x的方程为x+2=0，解得x=−2；当m≠0时，对于关于x的方程mx2−(m−1)x+2=0的根为：x若方程的根为有理根，且m为整数，则Δ=m2−10m+1为完全平方数，设m2−10m+1=k2（k为正整数），则：m==5±∵m为整数，设24+k2=n2（n为正整数），∴(k+n)(n−k)=24，∴k+n=12n−k=2或k+n=6n−k=4或k+n=8n−k=3或k+n=24n−k=1，解得：k=5n=7或k=1n=5或k=52n=112（不合题意，舍去）或k=232n=252（不合题意，舍去）∴m2−10m+1=12=1或m2−10m+1=52=25；当m2−10m+1=1时，解得m=10或m=0（舍去）；当m2−10m+1=25时，解得m=−2或m=12，综上所述，若方程的根为有理根，则整数m的值为0或10或−2或12．18．（2022秋·四川资阳·九年级统考期末）定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，若x1<x2<0，且3<x1x2<4，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程x2+13x+30=0的两根为x1=−10，x2=−3，因−10<−3<0，3<−10−3<4，所以一元二次方程x2+13x+30=0为“限根方程”．请阅读以上材料，回答下列问题：（1）判断一元二次方程x2+9x+14=0是否为“限根方程”，并说明理由；（2）若关于x的一元二次方程2x2+(k+7)x+k2+3=0是“限根方程”，且两根x1、x2满足x1+x2+x1x2 =−1，求k的值；（3）若关于x的一元二次方程x2+(1−m)x−m=0是“限根方程”，求m的取值范围．【思路点拨】（1）解该一元二次方程，得出x1=−7，x2=−2，再根据“限根方程”的定义判断即可；（2）由一元二次方程根与系数的关系可得出x1+x2=−k72，x1x2x1+x2+x1x2=−1，即可求出k1=2，k2=−1．再结合“限根方程”的定义分类讨论舍去不合题意的值即可；（3）解该一元二次方程，得出x1=−1，x2=m或x1=m，x2=−1．再根据此方程为“限根方程”，即得出此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出Δ>0，m<0且m≠−1，可求出m 的取值范围．最后分类讨论即可求解．【解题过程】（1）解：x2+9x+14=0，(x+2)(x+7)=0，∴x+2=0或x+7=0，∴x1=−7，x2=−2．∵−7<−2，3<−7−2=72<4，∴此方程为“限根方程”；（2）∵方程2x2+(k+7)x+k2+3=0的两个根分比为x1、x2，∴x1+x2=−k72，x1x2=．∵x1+x2+x1x2=−1，∴=−1，解得：k1=2，k2=−1．分类讨论：①当k=2时，原方程为2x2+9x+7=0，∴x1=−72，x2=−1，∴x1<x2<0，3<x1x2=72<4，∴此时方程2x2+(k+7)x+k2+3=0是“限根方程”，∴k=2符合题意；②当k=−1时，原方程为2x2+6x+4=0，∴x1=−2，x2=−1，∴x1<x2<0，x1x2=2<3，∴此时方程2x2+(k+7)x+k2+3=0不是“限根方程”，∴k=−1不符合题意．综上可知k的值为2；（3）x2+(1−m)x−m=0，(x+1)(x−m)=0，∴x+1=0或x−m=0，∴x1=−1，x2=m或x1=m，x2=−1．∵此方程为“限根方程”，∴此方程有两个不相等的实数根，∴Δ>0，m<0且m≠−1，∴(1−m)2+4m>0，即(1+m)2>0，∴m<0且m≠−1．分类讨论：①当−1<m<0时，∴x1=−1，x2=m，∵3<x1x2<4，∴3<−1m<4，解得：−13<m<−14；②当m<−1时，∴x1=m，x2=−1，∵3<x1x2<4，∴3<m−1<4，解得：−4<m<−3．综上所述，m的取值范围为−13<m<−14或−4<m<−3．19．（2022秋·福建泉州·九年级福建省泉州第一中学校联考期中）已知方程①：2(x−k)=x−4为关于x的方程，且方程①的解为非正数；方程②：(k−1)x2+2mx+3−k+n=0（k、m、n均为实数）为关于x的一元二次方程．（1）求k的取值范围；（2）如果方程②的解为负整数，k−m=2，2k−n=6且k为整数，求整数m的值；（3）当方程②有两个实数根x1，x2满足(x1+x2)(x1−x2)+2m(x1−x2+m)=n+5，且k为正整数，试判断m2≤4是否成立？并说明理由．【思路点拨】（1）将k当作已知数解出方程2(x−k)=x−4的解，根据该方程的解为非正数，可得出k的取值范围，方程②：(k−1)x2+2mx+3−k+n=0（k、m、n均为实数）为关于x的一元二次方程，二次项系数不为0，即k −1≠0，解得k≠1，即可求出k的取值范围；（2）根据k−m=2，2k−n=6可得m=k−2，n=2k−6，代入方程②，可得(k−1)x2+2(k−2)x+(3−k)+2k−6=0，可得x1=−1+2k−1，x2=−1，由于②的解为负整数且k为整数，所以k−1=−1或k−1=−2，可得k=0或−1，即可求出整数m的值；（3）方法1：由（1）可知k≤2且k≠1，且k为正整数，可知k=2，所以方程②为x2+2mx+1+n=0，因为方程②有两个实数根x1，x2，所以Δ≥0，x1+x2=−2m，x1⋅x2=1+n，由Δ≥0可求出m2≥n+1，将x1+x2=−2 m，x1⋅x2=1+n，代入(x1+x2)(x1−x2)+2m(x1−x2+m)=n+5，可得n=2m2−5，将其代入m2≥n+1，即可证明m2≤4；方法2：先得出k=2，m2≥n+1，x1+x2=−2m，x1⋅x2=1+n，根据x1+x2=−2m，x1⋅x2=1+n求出(x1−x2)2=4(m2−1−n)，可得x1−x2x1−x2x1−x2=−2x1+x2=−2m，x1⋅x2=1+n，代入(x1+x2)(x1−x2)+2m(x1−x2+m)=n+5，可得n=2m2−5，将其代入m2≥n+1，即可证明m2≤4．【解题过程】（1）解：∵关于x的方程2(x−k)=x−4的解为x=2k−4，且该方程的解为非正数，∴2k−4≤0，解得k≤2，又∵关于x 的方程(k−1)x 2+2mx +(3−k )+n =0是一元二次方程，∴k−1≠0，k−1≠0，解得k≠1，综上所述，k 的取值范围是k≤2且k≠1．（2）解：由（1）可知k≤2且k≠1，∵k−m =2，2k−n =6，∴m =k−2，n =2k−6，∴方程②为(k−1)x 2+2(k−2)x +(3−k )+2k−6=0，即(k−1)x 2+2(k−2)x +k−3=0，[(k−1)x +(k−3)](x +1)=0，解得：x 1=3−kk−1=−(k−1)2k−1=−1+2k−1，x 2=−1，∵方程②为(k−1)x 2+2(k−2)x +(3−k )+2k−6=0，方程②的解为负整数，∴k−1=−1或k−1=−2，∴k =0或−1，当k =0时，m =k−2=0−2=−2，当k =−1时，m =k−2=−1−2=−3，∴m 的值为−2或−3．（3）解：方法1：m 2≤4成立，理由如下：由（1）可知k≤2且k≠1，又∵k 为正整数，∴k =2，∴方程②为x 2+2mx +1+n =0，∵方程②有两个实数根x 1，x 2，∴Δ≥0，x 1+x 2=−2m ，x 1⋅x 2=1+n ，∴(2m )2−4×1×(1+n )≥0，∴m 2≥n +1（*）∵(x 1+x 2)(x 1−x 2)+2m (x 1−x 2+m )=n +5，∴−2m (x 1−x 2)+2m (x 1−x 2+m )=n +5即−2m (x 1−x 2)+2m (x 1−x 2)+2m 2=n +5，即2m 2=n +5，即n =2m 2−5代入（*）∴m2≥2m2−5+1∴m2≤4；方法2：m2≤4成立，理由如下：由（1）可知k≤2且k≠1，又∵k为正整数，∴k=2，∴方程②为x2+2mx+1+n=0，∵方程②有两个实数根x1，x2，∴Δ≥0，x1+x2=−2m，x1⋅x2=1+n，∴(2m)2−4×1×(1+n)≥0，∴m2≥n+1，∵(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1⋅x2=(−2m)2−4(1+n)=4(m2−1−n)，∴x1−x2∵(x1+x2)(x1−x2)+2m(x1−x2+m)=n+5∴当x1−x2(−2m)⋅m2m=n+5，∴2m2=n+5，∴n=2m2−5，∴m2≥2m2−5+1，∴m2≤4；当x1−x2=1种情况扣1分）(−2m)⋅−2m−2m=n+5，∴2m2=n+5，∴n=2m2−5，∴m2≥2m2−5+1，∴m2≤4；综上所述，m2≤4成立．20．（2022春·湖南邵阳·九年级邵阳市第二中学校考自主招生）已知关于x的方程|x2+2px−3p2+5|−q=0．其中p，q都是实数．（1）若q=0时方程有两个不同的实数根x1，x2，且1x1+1x2=843．求实数p的值．（2）若方程有三个不同的实数根x1，x2，x3，且1x1+1x2+1x3=0．求实数p和q的值．（3）是否同时存在质数p和整数q使得方程有四个不同的实数根x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x4=3若存在，求出所有满足条件的p，q．若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）利用根的判别式，根与系数关系定理，转化为一元二次方程求解即可．（2）根据方程根的情况，判定去绝对值后的两个方程，一个有两个不相等实数根，一个有两个相等实数根，运用根的判别式，根与系数关系定理，转化为一元二次方程求解即可．（3）根据方程根的情况，判定去绝对值后的两个方程，都有两个不相等实数根，运用根的判别式，根与系数关系定理，质数的性质，分类转化为一元二次方程求解即可．【解题过程】解：（1）当q=0时，方程为x2+2px−3p2+5=0，∴由Δ>0得p2>54，∵方程有两个不同的实数根x1，x2，∴x1+x2=−2p，x1x2=5−3p2，∵1 x1+1x2=843，∴x1x2x1x2=843，∴−2p 5−3p2=843，整理，得12p2−43p−20=0，解得：p=4，p=−512舍去，故P=4．（2）原方程化为：x2+2px−3p2+5−q=0，x2+2px−3p2+5+q=0．由题意可知q>0，∴Δ1=44p2−5+q>0，Δ2=44p2−5−q=0，∴x2+2px−3p2+5−q=0，x2+2px+p2=0，不妨设x1+x2=−2p，x1x2=−3p2+5−q，x3=−p，∵1 x1+1x2+1x3=0，12−1x3，∴−2p−3p25−q =−1−p，整理，得p2=5−q，∵4p2−5−q=0，解得q=3，p=±（3）同时存在质数p和整数q使得方程有四个不同的实数根x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x4=3，原方程化为：x2+2px−3p2+5−q=0，x2+2px−3p2+5+q=0．由题意及q>0，∴Δ1=44p2−5+q>0，Δ2=44p2−5−q＞0，不妨设x1+x2=−2p，x1x2=−3p2+5−q，x3+x4=−2p，x3x4=−3p2+5+q，∵x1x2x3x4=，∴3p2−5+q3p2−5−q=3p4，∵q>0，p为质数，∴3p2−5+q>3p2−5−q，且3p2−5+q>p2，又3p4=3p4×1=p4×3=3p3×p=p3×3p=3p2×p2，∴3p2−5+q=3p43p2−5−q=1，此时Δ1=36−4×3×11＜0，方程组无解；3p2−5+q=3p33p2−5−q=p，此时3p3−6p2+p+10=0，∴3p2(p−2)+p+10=0，∵q>0，p为质数，∴3p2(p−2)+p+10＞0，此时方程组无解；3p2−5+q=p33p2−5−q=3p，此时p3−6p2+3p+10=0，(p−2)(p2−3p−5)=0，∴p=2或p=5或p=-1(舍去)；当p=2时，q=1；当p=5时，q=55；3p2−5+q=p43p2−5−q=3，此时Δ4=36−4×13×1＜0，方程组无解；3p2−5+q=3p23p2−5−q=p2，解得pq或p=q=，∵p是质数，∴不符合题意；综上所述，p=2，q=1或p=5，q=55．。