最新苏科版九年级数学上册《圆》单元测试卷 (3)(含答案)
最新苏科版九年级上册《圆》单元测试卷一、单选题（共10题；共30分）1.已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则此圆锥的侧面积为( )A. 15πcm2B. 20πcm2C. 25πcm2D. 30πcm22.如图，∠AOB是⊙0的圆心角，∠AOB=80°则弧AB所对圆周角∠ACB的度数是( )A. 40°B. 45°C. 50°D. 80°3.圆心角为120∘，弧长为12π的扇形半径为（）A. 6B. 9C. 18D. 364.如图，直线l是⊙O的切线，点A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C，D 是优弧AC上一点，连接AD，CD.若∠ABO=40°.则∠D的大小是（）A. 50°B. 40°C. 35°D. 25°5.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是（A. AG=BGB. AB∥EFC. AD∥BCD. ∠ABC=∠ADC6.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于D，交BC于E，连接AE，则下列结论中不一定正确的是（）A.AE⊥BCB.BE=ECC.ED=ECD.∠BAC=∠EDC7.如图已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的底面半径为（）A. 2㎝B. 4㎝C. 1㎝D. 8㎝8.下列条件，可以画出圆的是( )A. 已知圆心B. 已知半径C. 已知不在同一直线上的三点D. 已知直径9.在平面直角坐标系中，抛物线y=-（x-2）2+1的顶点是点P，对称轴与x轴相交于点Q，以点P为圆心，PQ长为半径画⊙P，那么下列判断正确的是（）A. x轴与⊙P相离；B. x轴与⊙P相切；C. y轴与⊙P与相切；D. y轴与⊙P相交．10.已知⊙O的半径为2，点P是⊙O内一点，且OP= √3，过P作互相垂直的两条弦AC、BD，则四边形ABCD面积的最大值为（）A. 4B. 5C. 6D. 7二、填空题（共10题；共30分）11.若扇形的弧长为6πcm，面积为15πcm2，则这个扇形所对的圆心角的度数为________．12.圆锥的母线长为6cm，底面圆半径为2cm,则圆锥的侧面积为________.13.已知一条直线与圆有公共点，则这条直线与圆的位置关系是________．14.如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA=DC，∠CBE=50°，则∠DAC的大小为________度.15.如图，已知AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点．且∠D=130°．则∠BAC的度数是________16.如图，直线PA、PB、MN分别与⊙O相切于点A、B、D，PA=PB=8cm，△PMN的周长是 ________cm17.一块△ABC余料，已知AB=5cm，BC=13cm，AC=12cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是________ cm2．18.过圆O内一点P的最长的弦、最短弦的长度分别是8cm,6cm,则OP=________.19.已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB//CD，AB=16cm，CD=12cm，则弦AB和CD之间的距离是________ cm．̂上的动点．以BC为边作正方形20.如图，已知扇形AOB中，OA=3，∠AOB=120°，C是在ABBCDE，当点C从点A移动至点B时，点D经过的路径长是________．三、解答题（共8题；共60分）21.如图⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高AD上，AB=10，BC=12，求⊙O 的半径．22.如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，弦CE交AB于点D．连接OE、AC，且∠P=∠E，∠POE=2∠CAB．（1）求证：CE⊥AB；（2）求证：PC是⊙O的切线；（3）若BD=2OD，PB=9，求⊙O的半径及tan∠P的值．23.如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A=20°，AE交⊙O于点B，且AB=OC．（1）求∠AOB的度数（2）求∠EOD的度数24.如图所示，已知F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任一点，A是弧BF的中点，AD⊥BCBF．于点D，求证：AD= 1225.如图，已知AB为⊙O的直径，点C为半圆ACB上的动点（不与A、B两点重合），过点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交圆于点P，则点P的位置有何规律？请证明你的结论．26.如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10 cm，弦AC=6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于D ，求BC、AD和BD的长.27.如图，已知AD是△ABC的角平分线，⊙O经过A、B、D三点，过点B作BE∥AD，交⊙O 于点E，连接ED．（1）求证：ED∥AC；（2）连接AE，试证明：AB•CD=AE•AC．28.如图，直线BC与半径为6的⊙O相切于点B，点M是圆上的动点，过点M作MC⊥BC，垂足为C，MC与⊙O交于点D，AB为⊙O的直径，连接MA、MB，设MC的长为x，（6＜x＜12）．（1）当x=9时，求BM的长和△ABM的面积；（2）是否存在点M，使MD•DC=20？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．答案解析部分一、单选题1.【答案】A2.【答案】A3.【答案】C4.【答案】D5.【答案】C6.【答案】D7.【答案】A8.【答案】C9.【答案】B10.【答案】B二、填空题11.【答案】21612.【答案】12π㎝213.【答案】相切或相交14.【答案】6515.【答案】40°16.【答案】1617.【答案】4π18.【答案】√7cm19.【答案】2或1420.【答案】2 √2π三、解答题21.【答案】解：如图，连接OB．∵AD是△ABC的高．∴BD= 1BC=62在Rt△ABD中，AD= √AB2−BD2= √100−36=8．设圆的半径是R．则OD=8﹣R．在Rt△OBD中，根据勾股定理可以得到：R2=36+（8﹣R）2解得：R= 254．22.【答案】（1）证明：连接OC，∴∠COB=2∠CAB，又∠POE=2∠CAB．∴∠COD=∠EOD，则弧BC=弧BE，即CE⊥AB；（2）证明：∵CE⊥AB，∠P=∠E，∴∠P+∠PCD=∠E+∠PCD=90°，又∠OCD=∠E，∴∠OCD+∠PCD=∠PCO=90°，∴PC是⊙O的切线；（3）解：设⊙O的半径为r，OD=x，则BD=2x，r=3x，∵CD⊥OP，OC⊥PC，∴Rt△OCD∽Rt△OPC，∴OC2=OD•OP，即（3x）2=x•（3x+9），解之得x= 32，∴⊙O的半径r= 92，在Rt△OCP中，PC= √PO2−OC2= √(92+9)2+(92)2=9 √2，tan∠P= OCPC = √24.23.【答案】（1）解：连OB，如图，∵AB=OC，OB=OC，∴AB=BO，∴∠AOB=∠1=∠A=20°（2）解：∵∠2=∠A+∠1，∴∠2=2∠A ，∵OB=OE ，∴∠2=∠E ，∴∠E=2∠A ，∴∠DOE=∠A+∠E=3∠A=60°．24.【答案】证明：连接OA ，交BF 于点E ，∵A 是弧BF 的中点，O 为圆心，∴OA ⊥BF ，∴BE= 12 BF ，∵AD ⊥BC 于点D ，∴∠ADO=∠BEO=90°，在△OAD 与△OBE 中，{∠ADO =∠BEO =90°∠AOD =∠BOE BO =AO，∴△OAD ≌△OBE （AAS ），∴AD=BE ，∴AD= 12 BF25.【答案】解：点P为半圆AB的中点．理由如下：连接OP，如图，∵∠OCD的平分线交圆于点P，∴∠PCD=∠PCO，∵OC=OP，∴∠PCO=∠OPC，∴∠PCD=∠OPC，∴OP∥CD，∵CD⊥AB，∴OP⊥AB，∴弧PA=弧PB，即点P为半圆的中点．26.【答案】解：∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°. 在Rt△ACB中，BC= = =8. ∵CD平分∠ACB ，∴弧AD=弧BD.∴AD=BD.在Rt△ADB中，AD=BD= AB=5 (cm).27.【答案】证明：（1）∵BE∥AD，∴∠E=∠ADE，∵∠BAD=∠E，∴∠BAD=∠ADE，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，∴∠CAD=∠ADE，∴ED∥AC；（2）连接AE，∵∠CAD=∠ADE，∠ADE=∠ABE，∴∠CAD=∠ABE，∵∠ADC+∠ADB=180°，∠ADB+∠AEB=180°，∴∠ADC=∠AEB，∴△ADC ∽△BEA ，∴AC ：AB=CD ：AE ，∴AB•CD=AE•AC ．28.【答案】证明：（1）∵直线BC 与半径为6的⊙O 相切于点B ，且AB 为⊙O 的直径， ∴AB ⊥BC ，又∵MC ⊥BC ，∴AB ∥MC ，∴∠BMC=∠ABM ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AMB=90°，∴∠BCM=∠AMB=90°，∴△BCM ∽△AMB ，∴BM AB =MC BM ，∴BM 2=AB•MC=12×9=108，∴BM=6√3，∵BC 2+MC 2=BM 2，∴BC=√BM 2−MC 2=3√3∴S △ABM =12AB•BC=12×12×3√3=18√3；（2）解：过O 作OE ⊥MC ，垂足为E ，∵MD 是⊙O 的弦，OE ⊥MD ，∴ME=ED ，又∵∠CEO=∠ECB=∠OBC=90°，∴四边形OBCE 为矩形，∴CE=OB=6，又∵MC=x ，∴ME=ED=MC ﹣CE=x ﹣6，MD=2（x ﹣6），∴CD=MC ﹣MD=x ﹣2（x ﹣6）=12﹣x ，∴MD•DC=2（x ﹣6）•（12﹣x ）=﹣2x 2+36x ﹣144=﹣2（x ﹣9）2+18∵6＜x ＜12，∴当x=9时，MD•DC 的值最大，最大值是18，∴不存在点M，使MD•DC=20．。
第2章对称图形—圆常考单元综合测评 2021-2022学年苏科版九年级数学上册(word版含答案)
2021-2022学年苏科版九年级数学上册《第2章对称图形—圆》常考热点单元综合测评（附答案）一．选择题（共10小题，满分30分）1．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，若∠AOC＝120°，则∠D的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．45°2．如图，AB是⊙O的直径，P A切⊙O于点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC，若AB＝8，∠P＝30°，则AC＝（）A．4B．4C．4D．33．正六边形的半径与边心距之比为（）A．B．C．D．4．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝110°，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°5．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，恰好经过点O，则与的关系是（）A．＝B．＝C．＝D．不能确定6．如图，点A的坐标为（﹣3，﹣2），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小值时，点P的坐标为（）A．（﹣4，0）B．（﹣2，0）C．（﹣4，0）或（﹣2，0）D．（﹣3，0）7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，点D为线段BC上一动点．以CD为⊙O 直径，作AD交⊙O于点E，连BE，则BE的最小值为（）A．6B．8C．10D．128．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以C为圆心，2.4cm长为半径的圆与AB的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不能确定9．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（）A．B．2C．D．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G 三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（）A．B．C．D．2二．填空题（共10小题，满分30分）11．如图，△ABC中，∠A＝70°，⊙O截△ABC的三条边所截得弦长相等，则∠BOC ＝．12．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交AB于E，交⊙O于D．则弦AD的长是cm．13．已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为65πcm2，圆锥的母线是cm．14．如图，已知AD是∠BAC的平分线，以线段AB为直径作圆，交∠BAC和角平分线于C，D两点．过D向AC作垂线DE垂足为点E．若DE＝2CE＝4，则直径AB＝．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转60°后得Rt△DEC，此时点B恰好在线段DE上，其中点A经过的路径为弧AD，则图中阴影部分的面积是．16．如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为．17．点O是△ABC的外心，若∠BOC＝80°，则∠BAC的度数为．18．在直径为200cm的圆柱形油箱内装入一些油以后，截面如图（油面在圆心下）：若油面的宽AB＝160cm，则油的最大深度为．19．⊙O的直径为10cm，弦AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB和CD的距离是cm．20．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB ＝8，CD＝2，则EC的长为．三．解答题（共6小题，满分60分）21．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若PD＝，求⊙O的直径．22．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．（1）求证：CF＝BF；（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长．23．如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，∠BMO＝120°．（1）求证：AB为⊙C直径．（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标．24．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连AD．（1）求证：AD＝AN；（2）若AB＝4，ON＝1，求⊙O的半径．25．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC＝FC．（1）求证：AC是⊙O的切线：（2）若BF＝8，DF＝，求⊙O的半径；（3）若∠ADB＝60°，BD＝1，求阴影部分的面积．（结果保留根号）26．如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于E，过点A作∠DAF＝∠DAB，过点D作AF 的垂线，垂足为F，交AB的延长线于点P，连接CO并延长交⊙O于点G，连接EG．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若AD＝DP，OB＝3，求的长度；（3）若DE＝4，AE＝8，求线段EG的长．参考答案一．选择题（共10小题，满分30分）1．解：∵∠AOC＝120°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝60°，∴∠BDC＝∠BOC＝30°．故选：B．2．解：∵P A切⊙O于点A，∴OA⊥P A，∴∠OAP＝90°，在Rt△OAP中，∵∠P＝30°，∴∠AOP＝60°，AP＝OA＝4，∵∠AOP＝∠C+∠OAC＝60°，而∠C＝∠OAC，∴∠C＝30°，∴AC＝AP＝4．故选：A．3．解：∵正六边形的半径为R，∴边心距r＝R，∴R：r＝1：＝2：，故选：D．4．解：连接OD，如图，∵扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，∴BC垂直平分OD，∴BD＝BO，∵OB＝OD，∴BD＝BO＝DO，∴△OBD为等边三角形，∴∠DOB＝60°，∴∠AOD＝∠AOB﹣∠DOB＝110°﹣60°＝50°，∴的度数为50°，故选：B．5．解：如图，连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，∵把半圆沿弦AC折叠，恰好经过点O，∴OD＝OE，∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∴OD∥BC，∵OA＝OB，∴OD＝BC，∴BC＝OE＝OB＝OC，∴∠COB＝60°，∴∠AOC＝120°，∴＝，故选：A．6．解：连接AQ，AP．根据切线的性质定理，得AQ⊥PQ；要使PQ最小，只需AP最小，根据垂线段最短，可知当AP⊥x轴时，AP最短，∴P点的坐标是（﹣3，0）．故选：D．7．解：如图，连接CE，∴∠CED＝∠CEA＝90°，∴点E在以AC为直径的⊙Q上，∵AC＝10，∴QC＝QE＝5，当点Q、E、B共线时BE最小，∵BC＝12，∴QB＝＝13，∴BE＝QB﹣QE＝8，故选：B．8．解：过C作CD⊥AB于D，在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB＝＝5，由三角形面积公式得：×3×4＝×5×CD，CD＝2.4，即C到AB的距离等于⊙C的半径长，∴⊙C和AB的位置关系是相切，故选：A．9．解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠P AB＝∠PBC，∴∠BAP+∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，∴OP＝OA＝OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，在RT△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，∴OC＝＝5，∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．∴PC最小值为2．故选：B．10．解：连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，∵∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4，∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，∴四边形AFOE，FBGO是正方形，∴AF＝BF＝AE＝BG＝2，∴DE＝3，∵DM是⊙O的切线，∴DN＝DE＝3，MN＝MG，∴CM＝5﹣2﹣MN＝3﹣MN，在Rt△DMC中，DM2＝CD2+CM2，∴（3+NM）2＝（3﹣NM）2+42，∴NM＝，∴DM＝3＝，故选：A．二．填空题（共10小题，满分30分）11．解：过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OQ⊥AC于Q，连接OK、OD、OF、OB、OC，设AB，AC，BC与⊙O的另一个交点分别为E，H，G．由垂径定理得：DM＝DE，KQ＝KH，FN＝FG，∵DE＝FG＝HK，∴DM＝KQ＝FN，∵OD＝OK＝OF，∴由勾股定理得：OM＝ON＝OQ，即O到三角形ABC三边的距离相等，∴O是△ABC的内心，∴∠OBC+∠OCB＝（180°﹣70°）＝55°，∴∠BOC＝125°，故答案为125°．12．解：连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝45°，∴∠ABD＝45°，∴△ABD为等腰直角三角形，∴AD2+BD2＝AB2，∵AB＝10cm，∴AD＝5cm．故答案为5．13．解：设母线长为R，则：65π＝π×5R，解得R＝13cm．14．解：连接CD，BD，OD，过点D作DP⊥AB于点P，∵DE⊥AC，DE＝2CE＝4，∴CE＝2，∴CD＝＝2，∵AD是∠BAC的平分线，DP⊥AB，DE⊥AC，∴∠BAD＝∠DAC，DP＝DE＝4，∴BD＝CD＝2，∴PB＝＝2，在Rt△ODP中，设OD＝r，则OP＝r﹣2，∴r2＝（r﹣2）2+42，解得：r＝5，∴AB＝2r＝10．故答案为：10．15．解：过点B作BF⊥EC于点F，由题意可得：BC＝CE＝2，∠ACD＝∠BCE＝60°，故△BCE是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴AC＝BC tan60°＝2，∵EC＝2，∴FC＝EF＝1，则BF＝，∴图中阴影部分的面积是：S扇形ACD+S△DCE﹣S△ACB﹣S△BCE＝﹣＝2π﹣．故答案为：2π﹣．16．解：连接CO，OB，则∠O＝2∠A＝60°，∵OC＝OB，∴△BOC是等边三角形，∵⊙O的半径为2，∴BC＝2，∵CD⊥AB，∠CBA＝45°，∴CD＝BC＝，故答案为：．17．解：如图所示：∵O是△ABC的外心，∠BOC＝80°，∴∠A＝40°，∠A′＝180°﹣∠A＝140°，故∠BAC的度数为：40°或140°故答案为：40°或140°．18．40cm解：连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，∵直径为200cm，AB＝160cm，∴OA＝OE＝100cm，AM＝80cm，∴OM＝＝＝60cm，∴ME＝OE﹣OM＝100﹣60＝40cm．故答案为40cm．19．解：分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，过O作OF⊥AB，交AB于点F，交CD于点E，连接OA，OC，∵AB∥CD，∴OE⊥CD，∴F、E分别为AB、CD的中点，∴AF＝BF＝AB＝4，CE＝DE＝CD＝3，在Rt△COE中，∵OC＝5，CE＝3，∴OE＝＝4，在Rt△AOF中，OA＝5，AF＝4，∴OF＝＝3，∴EF＝OE﹣OF＝4﹣3＝1；当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理可得EF＝4+3＝7，综上，弦AB与CD的距离为7或1．故答案为：7或1．20．解：连接BE，设⊙O的半径为R，如图，∵OD⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝×8＝4，在Rt△AOC中，OA＝R，OC＝R﹣CD＝R﹣2，∵OC2+AC2＝OA2，∴（R﹣2）2+42＝R2，解得R＝5，∴OC＝5﹣2＝3，∴BE＝2OC＝6，∵AE为直径，∴∠ABE＝90°，在Rt△BCE中，CE＝＝＝2．故答案为：2．三．解答题（共6小题，满分60分）21．解：（1）证明：连接OA，∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，又∵AP＝AC，∴∠P＝∠ACP＝30°，∴∠OAP＝∠AOC﹣∠P＝90°，∴OA⊥P A，∴P A是⊙O的切线．（2）在Rt△OAP中，∵∠P＝30°，∴PO＝2OA＝OD+PD，又∵OA＝OD，∴PD＝OA，∵PD＝，∴2OA＝2PD＝2．∴⊙O的直径为2．22．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠ABC．∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB＝90°﹣∠ABC，∴∠ECB＝∠A．又∵C是的中点，∴＝，∴∠DBC＝∠A，∴∠ECB＝∠DBC，∴CF＝BF；（2）解：∵＝，∴BC＝CD＝6，∵∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝10，∴⊙O的半径为5，∵S△ABC＝AB•CE＝BC•AC，∴CE＝＝＝．23．解：（1）∵⊙C经过坐标原点，∴∠AOB＝90°，∴AB是⊙C的直径．（2）∵四边形AOMB是圆内接四边形，∠BMO＝120°，根据圆内接四边形的对角互补得到∠OAB＝60°，∴∠ABO＝30°，∵点A的坐标为（0，4），∴OA＝4，∴AB＝2OA＝8，⊙C的半径AC＝＝4；∵C在第二象限，∴C点横坐标小于0，设C点坐标为（x，y），由半径AC＝OC＝4，即＝，则＝＝4，解得，y＝2，x＝﹣2或x＝2（舍去），故⊙C的半径为4、圆心C的坐标分别为（﹣2，2）．24．（1）证明：∵∠BAD与∠BCD是同弧所对的圆周角，∴∠BAD＝∠BCD，∵AE⊥CD，AM⊥BC，∴∠AMC＝∠AEN＝90°，∵∠ANE＝∠CNM，∴∠BCD＝∠BAM，∴∠BAM＝BAD，在△ANE与△ADE中，∵，∴△ANE≌△ADE，∴AD＝AN；（2）解：∵AB＝4，AE⊥CD，∴AE＝2，又∵ON＝1，∴设NE＝x，则OE＝x﹣1，NE＝ED＝x，r＝OD＝OE+ED＝2x﹣1连接AO，则AO＝OD＝2x﹣1，∵△AOE是直角三角形，AE＝2，OE＝x﹣1，AO＝2x﹣1，∴（2）2+（x﹣1）2＝（2x﹣1）2，解得x＝2，∴r＝2x﹣1＝3．25．（1）证明：连接OA、OD，如图，∵D为BE的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE，∴∠ODF+∠OFD＝90°，∵CA＝CF，∴∠CAF＝∠CF A，而∠CF A＝∠OFD，∴∠ODF+∠CAF＝90°，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD+∠CAF＝90°，即∠OAC＝90°，∴OA⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r，则OF＝8﹣r，在Rt△ODF中，（8﹣r）2+r2＝（）2，解得r1＝6，r2＝2（舍去），即⊙O的半径为6；（3）解：∵∠BOD＝90°，OB＝OD，∴△BOD为等腰直角三角形，∴OB＝BD＝，∴OA＝，∵∠AOB＝2∠ADB＝120°，∴∠AOE＝60°，在Rt△OAC中，AC＝OA＝，∴阴影部分的面积＝••﹣＝．26．（1）证明：连接OD，如图1，∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ADO，∵∠DAF＝∠DAB，∴∠ADO＝∠DAF，∴OD∥AF，又∵DF⊥AF，∴DF⊥OD，∴DF是⊙O的切线；（2）∵AD＝DP∴∠P＝∠DAF＝∠DAB，而∠P+∠DAF+∠DAB＝90°，∴∠P＝30°，∴∠POD＝60°，∴的长度＝＝π；（3）解：连接DG，如图2，∵AB⊥CD，∴DE＝CE＝4，∴CD＝DE+CE＝8，设OD＝OA＝x，则OE＝8﹣x，在Rt△ODE中，∵OE2+DE2＝OD2，∴（8﹣x）2+42＝x2，解得：x＝5，∴CG＝2OA＝10，∵CG是⊙O的直径，∴∠CDG＝90°，在Rt△DCG中，DG＝＝6，在Rt△DEG中，EG＝＝2．。
苏科版2019-2020九年级数学上册第二章对称图形-圆单元综合训练题3(培优 含答案)
苏科版2019-2020九年级数学上册第二章对称图形-圆单元综合训练题3（培优含答案）1．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，连接OB、OC，则∠BOC的度数是（）A．80°B．100°C．110°D．120°2．如图,已知AB是☉O的直径,D,C是劣弧EB的三等分点,∠BOC=40°,那么∠AOE= ( )A．40°B．60°C．80°D．120°3．一个圆锥的主视图是边长为6cm的正三角形，则这个圆锥的侧面积等于（）A．36 πcm2B．24πcm2C．18πcm2D．12 πcm24．如图，PA是⊙O的直径，PC是⊙O的弦，过AC弧的中点H作PC的垂线交PC的延长线于点B．若HB=6cm，BC=4cm，则⊙O的直径为（）A．B．C．13cm D．5．如图，⊙O的直径AB长为10，弦BC长为6，OD⊥AC，垂足为点D，则OD长为（）A．6 B．5 C．4 D．36．如图，在⊙O中，弦AC和BD相交于点E，AB BC DC==，若∠BEC＝110°，则∠BDC＝（）A．35°B．45°C．55°D．70°7．在⊙Ｏ中，弦AB、CD互相垂直，且垂足E点将CD分为3cm和7cm的两段，那么圆心O到AB的距是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm8．如图，⊙O中，弧AB=弧AC，∠C=75°，则∠A=（）A．15B．20C．25D．30第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题9．小红随机地在如图所示的边长为6的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆(阴影)区域的概率为______．10．如图，P 是⊙O 的直径AB 延长线上的一点，PC 切⊙O 于点C ，∠APC 的平分线交AC 于点D ．若∠APC ＝40°，则∠CDP ＝_____．11．四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，且∠A ：∠B ：∠C=2：1：4，则∠D=_____度．12．如图，BD 为⊙O 的直径，点A 为弧BDC 的中点，∠ABD ＝35º，则∠DBC=__________．13．如图，Rt ABC △中，AB BC ⊥，6AB =，4BC =，P 是ABC △内部的一个动点，且满足90PAB PBA ︒∠+∠=，则线段CP 长的最小值为________.14．如图，⊙O 的直径垂直于弦，垂足是，已知，，则的15．已知⊙O的半径为10，弦AB的长为10，则弦AB所对的圆周角的度数是______．16．如图，正六边形内接于⊙O，⊙O的半径为4，则圆中阴影部分的面积为_____．三、解答题17．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一个动点（不与点A，B重合），D是弦AC上一点，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点C作半圆O的切线，交ED的延长线于点F．（1）求证：FC＝FD．（2）①当∠CAB的度数为时，四边形OEFC是矩形；②若D是弦AC的中点，⊙O的半径为5，AC＝8，则FC的长为．18．问题探究（1）如图①，在正方形ABCD内，请画出使∠BPC=90°的所有点P；（2）如图②，已知矩形ABCD，AB=9，BC=10，在矩形ABCD内(含边)画出使∠BPC=60°的所有点P，并求出△APD面积的最大值；（3）随着社会发展，农业观光园走进了我们的生活，某农业观光园的平面示意图如图3所示的四边形ABCD，其中∠A=120°，∠B=∠C=90°，AB=km，BC=6km，观光园的设计者想在园中找一点P，使得点P与点A、B、C、D所连接的线段将整个观光园分成四个区域，用来进行不同的设计与规划，从实用和美观的角度他们还要求在△BPC 的区域内∠BPC=120°，且△APD的区域面积最小，试问在四边形ABCD内是否存在这样的点P，使得∠BPC=120°，且△APD面积最小？若存在，请你在图中画出点P点的位置，并求出△APD的最小面积.若不存在，说明理由.19．已知，四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，DE＝EC，以AE为直径的⊙O 与边CD相切于点D，点B在⊙O上，连接OB．（1）求证：DE＝OE；（2）若CD∥AB，求证：BC是⊙O的切线；（3）在（2）的条件下，求证：四边形ABCD是菱形．20．如图，AB是⊙O的弦，半径OE⊥AB，P为AB的延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，CE与AB交于点F．（1）求证：PC＝PF；（2）连接OB，BC，若OB∥PC，3tan4BC P==，求FB的长．21．如图，已知点O是正六边形ABCDEF的对称中心，G，H分别是AF，BC上的点，且AG＝BH．（2）求证：OG＝OH．22．如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上任一点．（1）若∠BAC＝30°，过点C作半圆O的切线交直线AB于点P．求证：△PBC≌△AOC；（2）若AB＝6，过点C作AB的平行线交半圆O于点D．当以点A，O，C，D为顶点的四边形为菱形时，求的长．23．如图，四边形ABCD内接于⊙O．AC为直径，AC、BD交于E，AB=BC．（1）求证：；（2）过B作AD的平行线，交AC于F，求证：EA2+CF2=EF2；（3）在（2）条件下过E，F分别作AB、BC的垂线垂足分别为G、H，连GH、BO交于M，若AG=3，S四边形AGMO：S四边形CHMO=8：9，求⊙O半径．24．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC为⊙O直径，延长AC至D，过D作⊙O切线，切点为E，且∠D＝90°，连接BE．DE＝12，（1）若CD＝4，求⊙O的半径；（2）若AD+CD＝30，求AC的长．参考答案1．D【解析】【分析】直接利用等边三角形的性质，再结合圆周角定理得出答案．【详解】∵⊙O是等边△ABC的外接圆，∴∠A=60°，∴∠BOC的度数是：120°．故选D．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及圆周角定理，正确把握相关性质是解题关键．2．B【解析】【分析】根据题意先求出∠BOE=120°，再利用邻补角即可求出∠AOE.【详解】∵D,C是劣弧EB的三等分点,∴∠BOE=3∠BOC=120°，∴∠AOE=180°-∠BOE=60°选B.【点睛】此题主要考察圆的圆心角度数问题.3．C【解析】【分析】根据视图的意义得到圆锥的母线长为6cm，底面圆的半径为3cm，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．【详解】解：根据题意得圆锥的母线长为6cm，底面圆的半径为3cm，所以这个圆锥的侧面积＝12×6×2π×3＝18π（cm2）．故选：C．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．4．C【解析】【分析】连接PH，OH，HC，HA根据切线的判定可得到HB是圆的切线，再根据勾股定理求得BP，PH的长，利用相似三角形的判定方法得到Rt△BPH∽Rt△HPA，根据相似比即可求得直径的长．【详解】连接PH，OH，HC，HA∵H是AC的中点，∴∠HPC=∠APH，∠AOH=∠APC，∴OH∥BC，即OH⊥BH，∴HB是⊙O的切线；∵PB是⊙O的割线，HB=6cm，BC=4cm∴HB2=BC•BP，∴36=4BP，∴BP=9，∴∵在Rt△BPH与Rt△HPA中，∠HPC=∠APH，∴Rt△BPH∽Rt△HPA，∴BP PH PH AP=，∴AP=229PHBP==13cm；故选C．【点睛】本题考查的是切线的判定定理，圆周角定理及勾股定理，解答此题的关键是作出辅助线，利用数形结合解答．5．D【解析】【分析】由于，根据垂径定理得到，则可判断为的中位线，于是根据三角形中位线定理易得．【详解】解：，，是的直径，，为的中位线，．故选：．【点睛】本题考查了垂径定理和三角形中位线定理．能够熟练运用垂径定理和三角形中位线定理解决问题是解题的关键．6．A【解析】【分析】由AB BC CD==，根据圆周角定理，可得∠BDC＝∠ACB＝∠DBC，又由∠BEC＝110°，即可求得答案．【详解】解：∵AB BC CD==∴∠BDC＝∠ACB＝∠DBC，∵∠BEC＝110°，∴∠ACB＝∠DBC＝35°∴∠BDC＝35°故选：A．【点睛】此题考查了圆周角定理以及三角形内角和定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．7．B【解析】【分析】根据题意作出图形，如图所示，过O分别作OM⊥CD、ON⊥AB于M、N，由ON⊥AB 可知ON是点O到AB的距离，再结合CD⊥AB、OM⊥CD、ON⊥AB，可知四边形EMON 是矩形，即只需求出EM即可；接下来利用垂径定理，结合OM⊥CD，再由已知条件即可解答此题.【详解】根据题意画出图形，如图所示，过O分别作OM⊥CD、ON⊥AB于M、N，∵点E将CD分成3cm和7cm两部分，∴CE=3cm，DE=7cm，CD=10cm.∵OM⊥CD，∴CM=DM=12CD=5cm，∴EM=CM-CE=2cm.∵CD⊥AB，OM⊥CD，ON⊥AB，∴∠MEN=∠EMO=∠ENO=90°，∴四边形EMON是矩形，∴ON=EM=2.∵ON⊥AB，∴ON是点O到AB的距离.即点O到AB的距离是2cm.故选B.【点睛】本题考查有三个角是直角的四边形是矩形，矩形具有一般平行四边形的所有性质，垂径定理及推论.8．D【解析】【分析】根据等弧对应的圆周角相等及三角形的内角和即可求解.【详解】∵⊙O中，AB AC，∠C=75°，∴∠B=∠C=75°，∴∠A=180°-75°×2=30°．故选D．【点睛】此题主要考查圆内的角度求解，解题的关键是熟知等弧对应的圆周角相等.9．π9【解析】【分析】针扎到内切圆区域的概率就是内切圆的面积与正三角形面积的比．【详解】∵大三角形是正三角形，∴∠CAB =60°．∵正三角形的边长为6，∴AB 12=⨯6=3．∵⊙O 是内切圆，∴∠OAB =30°，∠OBA =90°，∴BO =AB tan30°=3=，则正三角形62面积是π•2=3π，9=π．．【点睛】本题考查了几何概率，用到的知识点为：边长为a 的正三角形的面积为：4a 2，求三角形内切圆的半径应构造特殊的直角三角形求解．10．45°【解析】【分析】由PC 为圆的切线，利用切线的性质得到PC 与OC 垂直，得到三角形OPC 为直角三角形，利用直角三角形的两锐角互余列出等式，根据OA=OC ，利用等边对等角得到一对角相等，利用外角性质得到∠A 为∠COP 的一半，由PD 为角平分线得到∠APD 为∠CPO 的一半，利用外角性质及等式的性质即可求出∠CDP 的度数．【详解】如图，连接OC ，∵PC为圆O的切线，∴PC⊥OC，即∠PCO=90°，∴∠CPO+∠COP=90°，∵OA=OC，∴∠A=∠ACO=∠COP，∵PD为∠APC的平分线，∴∠APD=∠CPD=∠CPO，∴∠CDP=∠APD+∠A=（∠CPO+∠COP）=45°．故答案为：45°．【点睛】此题考查了切线的性质，外角性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．11．150【解析】【分析】根据圆内接四边形的对角互补列出方程，解方程即可．【详解】设∠A、∠B、∠C分别为2x、x、4x，则2x+4x=180°，解得，x=30°，则∠B=30°，∴∠D=180°-∠B=150°，故答案为：150．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．12．20°.【解析】【分析】连接AD，根据圆周角定理可得∠BAD=90°，∠ACB=∠ADB，再由三角形的内角和定理得出∠ADB=55°，再根据等腰三角形的性质求出∠ABC=∠ACB=55°，进而可求出∠DBC. 【详解】解：如图所示：连接AD，∵BD是直径，∴∠BAD=90°，∵∠ABD=35°，∴∠ADB=55°，∴∠ACB=∠ADB=55°，∵A为弧BDC的中点，∴AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=55°，∵∠ABD=35°，∴∠DBC=55°-35°=20°，故答案为：20°．【点睛】等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理是本题的考点，题目不难，主要考查学生的推理能力．13．2：【解析】【分析】首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O交于点P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题．【详解】∵∠PAB+∠PBA=90°∴∠APB=90°∴点P在以AB为直径的弧上（P在△ABC内）设以AB为直径的圆心为点O，如图接OC，交☉O于点P，此时的PC最短∵AB=6，∴OB=3∵BC=4∴5OC===∴PC=5-3=2【点睛】此题考查了三角形与圆的综合题，重点是发现满足什么条件时PC有最小值.关于三点共线的最短距离是中考偏好考的考点之一，此类问题借助图形进行理解，发现点O的位置是关键. 14．【解析】【分析】利用圆的垂径定理得CE=DE，利用圆周角定理∠BOC=45°，故OE=EC，利用勾股定理可得CE，最后可得CD的长．【详解】解：∵直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE=CD，∵∠A=22.5°，∴∠BOC=45°，∴OE=EC，设OE=CE=x，∵OC=2，∴，解得：，∴CD=.故答案为.本题主要考查了圆的垂径定理和圆周角定理，利用勾股定理准确计算是解题的关键．15．30°或150°【解析】【分析】要分类讨论:一条弦所对的圆周角有两种类型:圆周角的顶点在弦所对的优弧上或在弦所对的劣弧上.连OA,OB,如图,由圆O的半径为10,弦AB的长为10,得到△OAB为等边三角形,所以∠A0B=60°,这样利用圆周角定理和圆内接四边形的性质即可求出∠P, ∠P′.【详解】解:连OA,OB,如图,∵OA=OB=AB=10,∴△OAB为等边三角形,∴∠A0B=60°,当弦AB所对的圆周角的顶点在优弧AB上,则∠P=30°;当弦AB所对的圆周角的顶点在劣弧AB上,则∠P′=150°.故答案为30°或150°.【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半是解题的关键.16．16π-【解析】【分析】此题是考查圆与正多边形结合的基本运算．阴影面积=总体面积-空白面积．已知圆的半径为4，则面积为16π，空白正六边形为六个边长为4的正三角形，每个三角形面积为则正六边形面积为所以阴影面积为16π-故答案为：16π-【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，解决此类阴影面积之类的问题，不规则的图形的面积可以利用一些规则图形面积的和或差计算．17．（1）见解析；（2）①45；②103.【解析】【分析】(1)证明∠FDC＝∠FCD，即可求解；(2)①当∠CAB＝45°时，∠COB＝90°，即可求解；②连接OD，过点F作FM⊥CD，垂足为M，设∠FDC＝α，由D是弦AC的中点，则OD⊥AC，求出cosα＝35ODOA=，继而根据FD＝cosDMα即可求解．【详解】(1)∵FC是圆的切线，∴∠FCD+∠ACO＝90°，∵FE⊥BA，∴∠ADC+∠CAO＝90°，而∠CAO＝∠ACO，∠ADE＝∠FDC，∴∠FDC＝∠FCD，∴FC＝FD；(2)①当∠CAB＝45°时，∠COB＝90°，则四边形OEFC是矩形，故答案为:45；②连接OD，过点F作FM⊥CD，垂足为M，设∠FDC ＝α，∵ FD=FC ，∴DM=12CD ， ∵D 是弦AC 的中点，∴OD ⊥AC ，AD ＝DC ，∴∠ADE+∠EDO=90°，∵∠DEO=90°，∴∠EDO+∠EOD=90°，∴∠ADE ＝∠AOD ＝∠FDC ＝α，∵AD ＝CD ＝12AC ＝4，OA ＝5，∴DO ， ∴cosα＝35OD OA =， ∴在△FDC 中，FD ＝cos DM α＝210353=， ∴FC=103． 【点睛】本题为圆的综合运用题，涉及到解直角三角形、矩形的基本性质，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.18．（1）见解析；（2）45-；（3）9-12. 【解析】【分析】（1）如图，以BC 为直径作上半圆（不含点B 、C ），根据直径所对的圆周角为直角得到该半圆上的任意一点即可；（2）以BC 为边作等边△BPC ；作等边△BPC 的外接圆⊙O 与AB 交于F ，与AD 交于点E 、G ，与CD 交于点H ，和即为所求，（3）以BC 为边向下作等边△BCQ，作△BCQ的外接圆⊙O，则劣弧BC即为所求，作AD的平行线MN切劣弧BC于P，连接OP并延长交AD于E，由切线的性质可得OP⊥MN，即可证明OP⊥AD，由平行线间垂线段最短，可得三角形APD面积最小，过A作AH⊥CD于H，由BC=10可得△BCQ的外接圆半径为2，与BC弦的弦心距为，根据AB=可得AH与⊙O相切，切点为G，根据平行线的判定定理可得OC//AD，进而可证明四边形OCDF为平行四边形，即可证明CD=OF，根据直角三角形锐角互余的关系可得∠EOF=30°，通过解直角三角形可求出OE的长，进而可求出PE的长，根据三角形面积公式即可得答案.【详解】（1）如图，以BC为直径作上半圆（不含点B、C），∵直径所对的圆周角是90°，∴（不含点B、C）即为所求.（2）以BC为边作等边△BPC；作等边△BPC的外接圆⊙O与AB交于F，与AD交于点E、G，与CD交于点H，∵△BPC是等边三角形，和是弦BC所对圆周角，∴和即为所求.连接CF，DF，∵三角形的底相等，高越大面积越大，∴当P点与F点或H点重合时面积最大，∵∠BFC=60°，BC=10，∴tan60°===，∴BF=，∴AF=9-，∴S△AFD=×（9-）×10=45-.（3）如图，以BC为边向下作等边△BCQ，作△BCQ的外接圆⊙O，则劣弧BC即为所求，作AD的平行线MN切劣弧BC于P，连接OP并延长交AD于E，∴OP⊥MN，∵AD//MN，∴OE⊥AD，∵平行线间垂线段最短，∴△APD面积最小，过A作AH⊥CD于H，作OK⊥BC，延长OK交AH于G，交AD于F，∵△BCQ是等边三角形，∴∠OBC=30°，BK=3，∴OB==，OK==，即外接圆的半径为，BC的弦心距为，∵∠DCB=90°，∴AH//BC，∴OG⊥AH，∴AB=KG=CH，∵AB=，∴OG=OK+KG=OK+AB=2=OB，∴AH与⊙O相切，切点为G，∵∠D=60°，∠OCD=90°+30°=120°，∴AD//OC，∵∠OKC=∠DCK=90°，∴四边形OCDF是平行四边形，∴OF=CD，∵∠BAD=120°，∠BAH=90°，∴∠FAG=30°，∵∠FAG+∠AFO=90°，∠EOF+∠AFO=90°，∴∠EOF=∠FAG=30°，∵∠FAG=30°，AH=BC=6，∴AD==，HD=6tan30°=2，∴OF=CD=HD+CH=2+=3，∴OE=OF cos∠EOF=OF cos30°=3×=，∴PE=OE-OP=-2，∴S△APD=AD PE=×（-2）×=9-12.【点睛】此题考查了圆的综合题，涉及的知识有：圆周角定理，正方形的性质，垂径定理，勾股定理，以及尺规作图，综合利用正方形的性质和同圆中同弧所对的圆周角相等得知识点是解题关键．19．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）先判断出∠2+∠3＝90°，再判断出∠1＝∠2即可得出结论；（2）根据等腰三角形的性质得到∠3＝∠COD＝∠DEO＝60°，根据平行线的性质得到∠4＝∠1，根据全等三角形的性质得到∠CBO＝∠CDO＝90°，于是得到结论；（3）先判断出△ABO≌△CDE得出AB＝CD，即可判断出四边形ABCD是平行四边形，最后判断出CD＝AD即可．【详解】（1）如图，连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，∴∠2+∠3＝∠1+∠COD＝90°，∵DE＝EC，∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠COD，∴DE＝OE；（2）∵OD＝OE，∴OD＝DE＝OE，∴∠3＝∠COD＝∠DEO＝60°，∴∠2＝∠1＝30°，∵AB∥CD，∴∠4＝∠1，∴∠1＝∠2＝∠4＝∠OBA＝30°，∴∠BOC＝∠DOC＝60°，在△CDO与△CBO中，，∴△CDO≌△CBO（SAS），∴∠CBO＝∠CDO＝90°，∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（3）∵OA＝OB＝OE，OE＝DE＝EC，∴OA＝OB＝DE＝EC，∵AB∥CD，∴∠4＝∠1，∴∠1＝∠2＝∠4＝∠OBA＝30°，∴△ABO≌△CDE（AAS），∴AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAE＝∠DOE＝30°，∴∠1＝∠DAE，∴CD＝AD，∴▱ABCD是菱形．【点睛】此题主要考查了切线的性质，同角的余角相等，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，判断出△ABO≌△CDE是解本题的关键．20．（1）详见解析；（2）4【解析】【分析】（1）连接OC，根据切线的性质以及OE⊥AB，可知∠E+∠EFA=∠OCE+∠FCP=90°，从而可知∠EFA=∠FCP，由对顶角的性质可知∠CFP=∠FCP，所以PC=PF；（2）过点B作BG⊥PC于点G，由于OB∥PC，且OB=OC，，从而可知OB=3，易证四边形OBGC是正方形，所以OB=CG=BG=6，所以34BGPG，所以PG=4，由勾股定理可知：PB=10，所以FB=PF-PB=14-10=4．【详解】(1)连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴∠OCP＝90°，∵OE＝OC，∴∠E＝∠OCE，∵OE⊥AB，∴∠E+∠EFA＝∠OCE+∠FCP＝90°，∴∠EFA＝∠FCP，∵∠EFA＝∠CFP，∴∠CFP＝∠FCP，∴PC＝PF；(2)过点B作BG⊥PC，垂足为G，∵OB∥PC，∴∠COB＝90°，∵OB＝OC，BC＝26，∴OB＝6，∵BG⊥PC，∴四边形OBGC是正方形，∴OB＝CG＝BG＝6，∵tanP＝34，∴34 BGPG，∴PG＝8，∴由勾股定理可知：PB＝10，∵PF＝PC＝14，∴FB＝PF﹣PB＝14﹣10＝4．【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及勾股定理，等腰三角形的判定，正方形的判定，锐角三角函数的定义等知识，需要学生灵活运用所学知识．21．（1）120°；（2）见解析；【解析】【分析】(1)根据多边形的内角和定理、正多边形的性质计算；(2)证明△AOG≌△BOH，根据全等三角形的性质证明结论．【详解】(1)∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠FAB＝＝120°；(2)连接OA、OB，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵∠FAB＝∠CBA，∴∠OAG＝∠OBH，在△AOG和△BOH中，，∴△AOG≌△BOH(SAS)∴OG＝OH．【点睛】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的内角的计算公式、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．22．（）证明见解析；（2）π或2π．【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB=90°，推出△OBC是等边三角形，根据等边三角形和外角的性质得到∠AOC=∠PBC=120°，根据切线的性质得到∠OCP=90°，根据全等三角形的判定即可得到结论；（2）根据菱形的性质得到OA=AD=CD=OC，连接OD，得到△AOD与△COD 是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠AOD=∠COD=60°，求得∠BOC=60°，根据弧长公式即可得到结论．【详解】（1）∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴OC＝BC，∠OBC＝∠BOC＝60°，∴∠AOC＝∠PBC＝120°，∵CP是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠OCP＝90°，∴∠ACO＝∠PCB，在△PBC与△AOC中，，∴△PBC≌△AOC（ASA）；（2）如图1，连接OD，BD，CD，∵四边形AOCD是菱形，∴OA＝AD＝CD＝OC，则，OA＝OD＝OC，∴△AOD与△COD是等边三角形，∴∠AOD＝∠COD＝60°，∴∠BOC＝60°，∴的长＝＝π；如图2，同理∠BOC＝120°，∴的长＝＝2π，综上所述，的长为π或2π．【点睛】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定，菱形的性质，圆周角定理，弧长的计算，解题的关键是正确的作出图形．23．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）延长DA至W，使AW=CD，连接WB，证△BCD和△BAW全等，得到△WBD是等腰直角三角形，然后推出结论；（2）过B作BE的垂线BN，使BN=BE，连接NC，分别证△AEB和△CNB全等，△BFE 和△BFN全等，将EA，CF，EF三条线段转化为直角三角形的三边，即可推出结论；（3）延长GE，HF交于K，通过大量的面积法的运用，将AE，CF，EF三条线段用含相同的字母表示出来，再根据第二问的结论求出相关字母的值，再求出AB的值，进一步求出⊙O 半径．【详解】解：（1）延长DA 至W ，使AW=CD ，连接WB ，∵AB =BC ，∴∠ADB=∠CDB=45°，AB=BC ，∵四边形ABCD 内接于⊙O ．∴∠BAD+∠BCD=180°，∵∠BAD+∠W AB=180°，∴∠BCD=∠W AB ，在△BCD 和△BAW 中，BC BA BCD BAW CD AW =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCD ≌△BAW （SAS ），∴BW=BD ，∠BW A=∠ADB=45°，∴△WBD 是等腰直角三角形，∴BD ；（2）如图2，设∠ABE=α，∠CBF=β，则α+β=45°，过B 作BE 的垂线BN ，使BN=BE ，连接NC ，在△AEB 和△CNB 中，AB CBABE CBNBE BN α=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△AEB≌△CNB（SAS），∴AE=CN，∠BCN=∠BAE=45°，∴∠FCN=90°，∵∠FBN=α+β=∠FBE，BE=BN，BF=BF，∴△BFE≌△BFN，∴EF=FN，∵在Rt△NFC中，CF2+CN2=NF2，∴EA2+CF2=EF2；（3）如图3，延长GE，HF交于K，由（2）得EA2+CF2=EF2，∴12EA2+12CF2=12EF2，∴S△AGE+S△CFH=S△EFK，∴S△AGE+S△CFH+S五边形BGEFH=S△EFK+S五边形BGEFH，即S△ABC=S矩形BGKH，∴12S△ABC=12S矩形BGKH，∴S△GBH=S△ABO=S△CBO，∴S△BGM=S四边形COMH，S△BMH=S四边形AGMO，∵S四边形AGMO：S四边形COMH=8：9，∴S△BMH：S△BGM=8：9，∵BM平分∠GBH，∴BG：BH=9：8，设BG=9k，BH=8k，∴CH=3+k，∴，（k+3），8k-3），∴（）2（k+3）]2（8k-3）]2，整理，得7k2-6k-1=0，解得：k1=-17（舍去），k2=1，∴AB=12，∴AO=2，∴⊙O半径为【点睛】本题考查了图形的旋转，三角形的全等，勾股定理，面积法的运用等，综合性非常强，尤其是第（3）问，解题的关键是数学综合能力要非常强．24．（1）20；（2）18.【解析】【分析】(1) （2）连接OE，作OH⊥AD于H，利用切线性质和垂径定理、矩形的判定和性质、勾股定理即可解答；【详解】（1）解：连接OE，作OH⊥AD于H，∵DE是⊙O的切线，∴OE⊥DE．又∵∠D＝90°，∴四边形OHDE是矩形，设⊙O的半径为r，在Rt△OCH中，OC2＝CH2+OH2，∴r2＝（r﹣4）2+144，∴半径r＝20．（2）解：∵OH⊥AD，∴AH＝CH．又∵AD+CD＝30，即：（AH+HD）+（HD﹣CH）＝30．∴2HD＝30，HD＝15，即OE＝HD＝OC＝15，∴在Rt△OCH中，CH ＝＝＝9．∴AC＝2CH＝18．【点睛】本题考查圆的切线的性质，矩形的判定和性质及垂径定理．解答此类题目的关键是通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求得相关线段的长度．。
苏科版九年级数学上《第二章对称图形--圆》单元测试含答案试卷分析详解
第二章对称图形--圆单元测试一、单选题（共10题；共30分）1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是 ( ）A、25πB、65πC、90πD、130π2.如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=30º，则∠ACB的大小为（）A、60ºB、30ºC、45ºD、50º3.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，以A为圆心，AD为半径的圆与BC切于点M，与AB交于点E，若AD＝2，BC＝6，则的长为（）A、3π2B、3π4C、3π8D、3π4.若⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，那么点A与⊙O的位置关系（）A、点A在圆内B、点A在圆上C、点A在圆外D、不能确定5.若正多边形的一个外角为60°，则这个正多边形的中心角的度数是( ).A、30°B、60°C、90°D、120°6.如图所示的扇形的圆心角度数分别为30°，40°，50°，则剩下扇形是圆的（）A、13B、23C、14D、347.如图，在边长为a的正六边形内有两个小三角形，相关数据如图所示．若图中阴影部分的面积为S1，两个空白三角形的面积为S2．则S1S2=（）A.3B.4C.5D.68.下列说法正确的是（）A.等弧所对的弦相等B.平分弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧C.若抛物线与坐标轴只有一个交点，则b2﹣4ac=0D.相等的圆心角所对的弧相等9.如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD等于（）A.116°B.32°C.58°D.64°10.如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D对应54°，则∠BCD的度数为（）A、27°B、54°C、63° D 、36°二、填空题（共8题；共24分）11.已知，半径为4的圆中，弦AB把圆周分成1：3两部分，则弦AB长是________ ．12.如图，MN=3，以MN为直径的⊙O1，与一个半径为5的⊙O2相切于点M，正方形ABCD的顶点A，B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点N，则正方形ABCD的边长为________ ．13.已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=5，则它的内切圆半径是________14.已知正六边形的半径为2cm，那么这个正六边形的边心距为 ________cm15.一圆锥的侧面展开后是扇形，该扇形的圆心角为120°，半径为6cm，则此圆锥的底面圆的面积为________ cm2．16.如图，AB切⊙O于点B，OA=2，∠OAB=30°，弦BC∥OA，劣弧BC^ 的弧长为________．（结果保留π）17.如图，点B、C把分成三等分，ED是⊙O的切线，过点B、C分别作半径的垂线段，已知∠E=45°，半径OD=1，则图中阴影部分的面积是________．18.如图，在扇形AOB中，∠AOB=100°，半径OA=9，将扇形OAB沿着过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点D处，折痕交OA于点C，则弧AD的长等于________．三、解答题（共5题；共36分）19.如图，P是半径为3cm的⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于点A，B，PA=PB=3cm，∠APB=60°，C 是弧AB上一点，过C作⊙O的切线交PA，PB于点D，E．（1）求△PDE的周长；（2）若DE=433cm，求图中阴影部分的面积．20.如图，已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C，若AB=2，∠P=30°，求AP的长（结果保留根号）．21.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD=24，点M在⊙O上，MD经过圆心O，联结MB．（1）若BE=8，求⊙O的半径；（2）若∠DMB=∠D，求线段OE的长．22.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E．（1）求证：EB=EC；（2）若以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由．23.如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙P与y轴相切于点C，⊙P的半径是4，直线y=x被⊙P截得的弦AB的长为43 ，求点P的坐标．四、综合题（共1题；共10分）24.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A=2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若∠A=60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）答案解析一、单选题1、【答案】B【考点】圆锥的计算，图形的旋转【解析】【分析】运用公式s=πlr（其中勾股定理求解得到母线长l为13)求解．【解答】∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，∴∴母线长l=13，半径r为5，∴圆锥的侧面积是s=πlr=13×5×π=65π．故选B．2、【答案】A【考点】圆周角定理【解析】【分析】首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠AOB的度数，再利用圆周角与圆心角的关系求出∠ACB的度数．【解答】△AOB中，OA=OB，∠ABO=30°；∴∠AOB=180°-2∠ABO=120°；∴∠ACB=12∠AOB=60°；故选A．3、【答案】A【考点】等腰梯形的性质，切线的性质，弧长的计算【解析】【分析】连接AM，因为M是切点，所以AM⊥BC，过点D作DN⊥BC于N，由等腰梯形的性质可得到BM=AM=2，从而可求得∠BAD的度数，再根据弧长公式即可求得长．【解答】连接AM，因为M是切点，所以AM⊥BC，过点D作DN⊥BC于N，根据等腰梯形的性质容易求得BM=AM=2，所以∠B=45°，所以∠EAD=135°，根据弧长公式的长为135×2π180=3π2 ，故选A．【点评】本题考查等腰梯形的性质，圆的切线的性质及弧长公式的理解及运用．4、【答案】A【考点】点与圆的位置关系【解析】【分析】点A到圆心O的距离是3，小于⊙O半径4，所以点A在圆内。
苏科版九年级数学上册圆全章复习 知识点 例题 练习(含答案)
圆全章复习【学习目标】1．理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；2．了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；3．了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；4．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；5．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. (3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3．两圆的性质(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点. 4．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.要点二、与圆有关的位置关系 1．判定一个点P 是否在⊙O 上 设⊙O 的半径为，OP=，则有 点P 在⊙O 外； 点P 在⊙O 上；点P 在⊙O 内. 要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2．判定几个点12nA A A 、、在同一个圆上的方法当时，在⊙O 上.3．直线和圆的位置关系设⊙O 半径为R ，点O 到直线的距离为. (1)直线和⊙O 没有公共点直线和圆相离. (2)直线和⊙O 有唯一公共点直线和⊙O 相切.(3)直线和⊙O 有两个公共点直线和⊙O 相交. 4．切线的判定、性质 (1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线. (2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.5．圆和圆的位置关系设的半径为，圆心距.(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离.(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.(5)和有两个公共点相交.要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.(4)垂心：是三角形三边高线的交点.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).三角形三边中垂线的(1)OA=OB=OC定在三角形内部三角形三条角平分线(1)(2)OABAC心在三角形内部2．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.要点四、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、圆的基础知识例1. 如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°,点在数轴上运动，若过P点P 且与OA 平行（或重合）的直线与⊙O 有公共点, 设OP=x ，则的取值范围是（ ）.A ．－1≤≤1B ．≤≤C ．0≤≤ D ．＞【解析】如图，平移过P 点的直线到P′，使其与⊙O 相切，设切点为Q ，连接OQ ，由切线的性质，得∠OQP′=90°， ∵OA ∥P′Q，∴∠OP′Q=∠AOB=45°， ∴△OQP′为等腰直角三角形， 在Rt △OQP′中，OQ=1， OP′=2，∴当过点P 且与OA 平行的直线与⊙O 有公共点时，0≤OP≤，当点P 在x 轴负半轴即点P 向左侧移动时，结果为-2≤OP ≤0． 故答案为：-2≤OP≤2．举一反三：x x x 2x 2x 2例2．如图所示，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB于D，F是⊙O上的点，且，BF 交CG于点E，求证：CE＝BE．【答案与解析】证法一：如图(1)，连接BC，∵ AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB，∴．∵，∴．∴∠C＝∠CBE．∴ CE＝BE．CF CB=CB GB=CF BC=CF GB=证法二：如图(2)，作ON ⊥BF ，垂足为N ，连接OE ． ∵ AB 是⊙O 的直径，且AB ⊥CG ，∴ ．∵ ，∴ ．∴ BF ＝CG ，ON ＝OD ．∵ ∠ONE ＝∠ODE ＝90°，OE ＝OE ，ON ＝OD ， ∴ △ONE ≌△ODE ，∴ NE ＝DE ． ∵ ，， ∴ BN ＝CD ，∴ BN-EN ＝CD-ED ，∴ BE ＝CE ．证法三：如图(3)，连接OC 交BF 于点N ．∵ ，∴ OC ⊥BF ． ∵ AB 是⊙O 的直径，CG ⊥AB ，∵ ，．∴ ，．∵ OC ＝OB ，∴ OC-ON ＝OB-OD ，即CN ＝BD ．又∠CNE ＝∠BDE ＝90°，∠CEN ＝∠BED ， ∴ △CNE ≌△BDE ，∴ CE ＝BE ．【变式】如图所示，在⊙O 内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC 的长为（ ）A ．19B ．16C ．18D ．20【答案】如图，延长AO 交BC 于点D,过O 作OE ⊥BC 于E.则三角形ABD 为等边三角形，DA=AB=BD=12，OD=AD-AO=4在Rt △ODE 中，∠ODE=60°，∠DOE=30°,则DE=OD=2，BE=BD-DE=10 CB BG =CB CF =CF BC BG ==12BN BF =12CD CG =CF BC =BG BC =CF BG BC ==BF CG =ON OD =12OE 垂直平分BC ，BC=2BE=20. 故选D类型三、与圆有关的位置关系例3．一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的20支香烟.打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行，如图（1）所示.经测量，一支香烟的直径约为0.75cm ，长约为8.4cm. （1）试计算烟盒顶盖ABCD 的面积（本小题计算结果不取近似值）；（2）制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张（不计重叠粘合的部分，计算结果精确到，取）0.1cm 3173..【答案与解析】（1）如图（2），作O 1E ⊥O 2O 3)324AB cm ∴=+= ∴四边形ABCD 的面积是：（2）制作一个烟盒至少需要纸张：类型四、圆中有关的计算例4．如图，AB 是⊙O 的直径，=，连接ED 、BD ，延长AE 交BD 的延长线于点M ，过点D 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点C ．（1）若OA=CD=2，求阴影部分的面积； （2）求证：DE=DM ．【答案与解析】解：如图，连接OD ，∵CD 是⊙O 切线， ∴OD ⊥CD ，∵OA=CD=2，OA=OD ，∴OD=CD=2，∴△OCD为等腰直角三角形，∴∠DOC=∠C=45°，∴S阴影=S△OCD﹣S扇OBD=﹣=4﹣π；（2）证明：如图，连接AD，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB=∠ADM=90°，又∵=，∴ED=BD，∠MAD=∠BAD，在△AMD和△ABD中，，∴△AMD≌△ABD，∴DM=BD，∴DE=DM．举一反三：【变式】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=2．（1）求AC的长度；（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）【答案】解：（1）∵OF⊥AB，∴∠BOF=90°，∵∠B=30°，FO=2，∴OB=6，AB=2OB=12，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC=AB=6；（2）∵由（1）可知，AB=12，∴AO=6，即AC=AO，在Rt△ACF和Rt△AOF中，∴Rt△ACF≌Rt△AOF，∴∠FAO=∠FAC=30°， ∴∠DOB=60°，过点D 作DG ⊥AB 于点G ， ∵OD=6，∴DG=3， ∴S △ACF +S △OFD =S △AOD =×6×3=9，即阴影部分的面积是9．【巩固练习】一、选择题1．如图所示，AB 、AC 为⊙O 的切线，B 和C 是切点，延长OB 到D ，使BD ＝OB ，连接AD ．如果∠DAC ＝78°，那么∠ADO 等于( )．A ．70°B ．64°C ．62°D ．51°2．在半径为27m 的圆形广场中心点O 的上空安装了一个照明光源S ，S 射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面SAB 的顶角为120°(如图所示)，则光源离地面的垂直高度SO 为( )． A ．54m B ．．m D ．m第1题图 第2题图第3题图第4题图3．设计一个商标图案，如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC ，且AB=8cm ，以A 为圆心、AD 的长为半径作半圆，则商标图案(阴影部分)的面积等于( ).A.(4π+8)cm 2B.(4π+16)cm 2C.(3π+8)cm 2D.(3π+16)cm 24．如图，的半径为5，弦的长为8，点在线段(包括端点)上移动，则的取值范围是( ). A. B. C. D. 5. “圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于E ，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD 的长为( )A ．12.5寸B ．13寸C ．25寸D ．26寸6．如图，已知P 是⊙O 外一点，Q 是⊙O 上的动点，线段PQ 的中点为M ，连接OP ，OM ．若⊙O 的半径为2，OP=4，则线段OM 的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．一条弦的两个端点把圆周分成4:5两部分，则该弦所对的圆周角为( )． A ．80° B ．100° C ．80°或100° D ．160°或200°8．如图所示，AB 、AC 与⊙O 分别相切于B 、C 两点，∠A ＝50°，点P 是圆上异于B 、C 的一动点，则∠BPC 的度数是( )．A ．65°B ．115°C ．65°或115°D ．130°或50°二、填空题 9．如下左图，是的内接三角形，，点P 在上移动(点P 不与点A 、C 重合)，则的变化范围是__ ________.第9题图 第10题图10．如图所示，EB 、EC 是⊙O 是两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，那么∠A 的度数是________________.11．已知⊙O 1与⊙O 2的半径、分别是方程 的两实根，若⊙O 1与⊙O 2的圆心距=5．则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是 __ __ .12．如图，AB 为⊙O 的直径，AB=AC ，BC 交⊙O 于点D ，AC 交⊙O 于点E ，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC ；③AE=2EC ；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC ，其中正确的序号是 ．1r 2r 2680x x -+=d13.两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是_______ ________. 14.已知正方形ABCD，截去四个角成一正八边形，则这个正八边形EFGHIJLK 的边长为____ ____，面积为_____ ___．15．如图(1)(2)…(m)是边长均大于2的三角形、四边形、……、凸n 边形，分别以它们的各顶点为圆心，以l 为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧，4条弧，……(1)图(1)中3条弧的弧长的和为___ _____，图(2)中4条弧的弧长的和为_____ ___； (2)求图(m)中n 条弧的弧长的和为____ ____(用n 表示)．16．如图所示，蒙古包可以近似地看做由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为9πm 2，高为3.5m ，外围高4 m 的蒙古包，至少要____ ____m 2的毛毡．三、解答题17. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，FH 是⊙O 的切线，切点为F ，FH ∥BC ，连结AF 交BC 于E ，∠ABC 的平分线BD 交AF 于D ，连结BF ． （1）证明：AF 平分∠BAC ； （2）证明：BF ＝FD.18.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．（1）求证：∠A=∠AEB；（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．19.问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图(1)，在正△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝60°，则BM＝CN；②如图(2)，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝90°，则BM＝CN．然后运用类似的思想提出了如下命题：③如图(3)，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝108°，则BM＝CN．任务要求：(1)请你从①②③三个命题中选择一个进行证明；(2)请你继续完成下面的探索；①在正n(n≥3)边形ABCDEF…中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当∠BON等于多少度时，结论BM＝CN成立(不要求证明)；②如图(4)，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，∠BON＝108°时，试问结论BM＝CN是否成立．若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】B ；【解析】由AB 为⊙O 的切线，则AB ⊥OD ．又BD ＝OB ，则AB 垂直平分OD ，AO ＝AD ，∠DAB ＝∠BAO ．由AB 、AC 为⊙O 的切线，则∠CAO ＝∠BAO ＝∠DAB ．所以，∠DAB ＝∠DAC ＝26°． ∠ADO ＝90°-26°＝64°．本题涉及切线性质定理、切线长定理、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等．2．【答案】C ；【解析】圆锥的高、底面半径与母线组成直角三角形．由题意，SO ⊥AB 于O ，∴ ∠SOA ＝∠SOB ＝90°．又SA ＝SB ，∠ASB ＝120°，∴ ∠SAB ＝∠SBA ＝，设SO ＝x m ，则AS ＝2x m ．∵ AO ＝27，由勾股定理，得(2x)2-x 2＝272，解得．3．【答案】A.；【解析】对图中阴影部分进行分析，可看做扇形、矩形、三角形的面积和差关系. ∵ 矩形ABCD 中，AB=2BC ，AB=8cm ， ∴ AD=BC=4cm ，∠DAF=90°，，，又AF=AD=4cm ， ∴，∴ .4.【答案】A ；【解析】OM 最长是半径5；最短是OM ⊥AB 时，此时OM=3，故选A. 5．【答案】D ；【解析】因为直径CD 垂直于弦AB ，所以可通过连接OA(或OB)，求出半径即可. 根据“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”， 知(寸)，在Rt △AOE 中，，即，解得OA=13，进而求得CD=26(寸).故选D. 6．【答案】B.【解析】设OP 与⊙O 交于点N ，连结MN ，OQ ，如图，∵OP=4，ON=2， ∴N 是OP 的中点， ∵M 为PQ 的中点，180120302=°-?°x =∴MN 为△POQ 的中位线， ∴MN=OQ=×2=1，∴点M 在以N 为圆心，1为半径的圆上， 当点M 在ON 上时，OM 最小，最小值为1， ∴线段OM 的最小值为1．故选B ． 7．【答案】C ； 【解析】圆周角的顶点在劣弧上时，圆周角为；圆周角的顶点在优弧上时， 圆周角为．注意分情况讨论． 8．【答案】C ；【解析】连接OC 、OB ，则∠BOC ＝360°-90°-90°-50°＝130°．点P 在优弧上时，∠BPC ＝∠BOC ＝65°；点P 在劣弧上时，∠BPC ＝180°-65°＝115°． 主要应用了切线的性质定理、圆周角定理和多边形内角和定理．二、填空题 9．【答案】； 10．【答案】99°；【解析】由EB=EC ，∠E=46°知，∠ECB= 67°，从而∠BCD=180°-67°-32°=81°， 在⊙O 中，∠BCD 与∠A 互补，所以∠A=180°-81°=99°. 11．【答案】相交；【解析】求出方程 的两实根、分别是4、2，则-<<+,所以两圆相交.12.【答案】①②④；【解析】连接AD ，AB 是直径，则AD ⊥BC ，又∵△ABC 是等腰三角形，故点D 是BC 的中点，即BD=CD ，故②正确； ∵AD 是∠BAC 的平分线，由圆周角定理知，∠EBC=∠DAC=∠BAC=22.5°，故①正确；∵∠ABE=90°﹣∠EBC ﹣∠BAD=45°=2∠CAD ，故④正确； ∵∠EBC=22.5°，2EC ≠BE ，AE=BE ，∴AE ≠2CE ，③不正确； ∵AE=BE ，BE 是直角边，BC 是斜边，肯定不等，故⑤错误． 综上所述，正确的结论是：①②④．13.【答案】7或3；【解析】两圆有三种位置关系：相交、相切(外切、内切)和相离(外离、内含).两圆内切时，5136010092⨯⨯=°°413608092⨯⨯=°°122680x x -+=1r 2r 1r 2r d 1r 2r圆心距，题中一圆半径为5，而d=2，所以有，解得r=7或r=3，即另一圆半径为7或3.14.【答案】； ；【解析】正方形ABCD 外接圆的直径就是它的对角线，由此求得正方形边长为a ．如图所示，设正八边形的边长为x ．在Rt △AEL 中，LE ＝x ，AE ＝AL，∴ ，，即正八边形的边长为．．15.【答案】(1)π； 2π； (2)(n-2)π；【解析】∵ n 边形内角和为(n-2)180°，前n 条弧的弧长的和为个以某定点为圆心，以1为半径的圆周长，∴ n 条弧的弧长的和为． 本题还有其他解法，比如：设各个扇形的圆心角依次为，，…，， 则，∴ n 条弧长的和为．16.【答案】720π；【解析】∵ S ＝πr 2，∴ 9π＝πr 2，∴ r ＝3．∴ h 1＝4，∴，∴ ，1)a 22)a 2x 22x x a ⨯+=1)x a =1)a 2222241)]2)AEL S S S a x a a a =-=-=-=△正方形正八边形(2)1801(2)3602n n -=-121(2)(2)2n n ππ⨯⨯-=-1α2αn α12(2)180n n ααα+++=-…°1212111()180180180180n n απαπαππααα⨯+⨯++⨯=+++……(2)180(2)180n n ππ=-⨯=-5l ==223523 3.5152136S S S rl rh πππππππ=+=+=⨯⨯+⨯⨯=+=锥柱．所求面积包括圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，不包括底面积．三、解答题17.【答案与解析】（1）连结OF∵FH 是⊙O 的切线 ∴OF⊥FH ∵FH∥BC ，∴OF 垂直平分BC∴∴AF 平分∠BAC .（2）由（1）及题设条件可知∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2 ∴∠1+∠4=∠2+∠3 ∴∠1+∠4=∠5+∠3 ∠FDB =∠FBD ∴BF =FD.18．【答案与解析】 证明：（1）∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠A+∠BCD=180°， ∵∠DCE+∠BCD=180°， ∴∠A=∠DCE ， ∵DC=DE ，∴∠DCE=∠AEB ， ∴∠A=∠AEB ；（2）∵∠A=∠AEB ， ∴△ABE 是等腰三角形， ∵EO ⊥CD ， ∴CF=DF ，∴EO 是CD 的垂直平分线， ∴ED=EC ， ∵DC=DE ， ∴DC=DE=EC ，∴△DCE 是等边三角形， ∴∠AEB=60°，∴△ABE 是等边三角形．19. 【答案与解析】 (1)如选命题①．2036720S ππ=⨯=总BF FC =D证明：在图(1)中，∵ ∠BON ＝60°，∴ ∠1+∠2＝60°． ∵ ∠3+∠2＝60°，∴ ∠1＝∠3． 又∵ BC ＝CA ，∠BCM ＝∠CAN ＝60°， ∴ △BCM ≌△CAN ，∴ BM ＝CM ． 如选命题②．证明：在图(2)中，∵ ∠BON ＝90°，∴ ∠1+∠2＝90°． ∵ ∠3+∠2＝90°，∴ ∠1＝∠3． 又∵ BC ＝CD ，∠BCM ＝∠CDN ＝90°， ∴ △BCM ≌△CDN ，∴ BM ＝CN ． 如选命题③．证明：在图(3)中，∵ ∠BON ＝108°，∴ ∠1+∠2＝108°． ∵ ∠2+∠3＝108°，∴ ∠1＝∠3． 又∵ BC ＝CD ，∠BCM ＝∠CDN ＝108°， ∴ △BCM ≌△CDN ，∴ BM ＝CN ． (2)①答：当∠BON ＝时结论BM ＝CN 成立．②答：当∠BON ＝108°时．BM ＝CN 还成立． 证明：如图(4)，连接BD 、CE 在△BCD 和△CDE 中，∵ BC ＝CD ，∠BCD ＝∠CDE ＝108°，CD ＝DE ， ∴ △BCD ≌△CDE ．∴ BD ＝CE ，∠BDC ＝∠CED ，∠DBC ＝∠ECD ． ∵ ∠CDE ＝∠DEN ＝108°， ∴ ∠BDM ＝∠CEM ．∵ ∠OBC+∠OCB ＝108°，∠OCB+∠OCD ＝108°． ∴ ∠MBC ＝∠NCD ．又∵ ∠DBC ＝∠ECD ＝36°， ∴ ∠DBM ＝∠ECM ． ∴ △BDM ≌△CEN ， ∴ BM ＝CN ．(2)180n n°。
最新苏科版九年级数学上册《圆》单元测试卷（3）（含答案）
最新苏科版九年级数学上册《圆》单元测试卷（3）（含答案）最新苏科版九年级上册《圆》单元测试卷一、单选题（共10题；共30分）1.已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则此圆锥的侧面积为( )A. 15πcm2B. 20πcm2C. 25πcm2D. 30πcm22.如图，∠AOB是⊙0的圆心角，∠AOB=80°则弧AB所对圆周角∠ACB的度数是( )A. 40°B. 45°C. 50°D. 80°3.圆心角为，弧长为的扇形半径为（）A. B. C. D.4.如图，直线l是⊙O的切线，点A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C，D 是优弧AC上一点，连接AD，CD.若∠ABO=40°.则∠D的大小是（）A. 50°B. 40°C. 35°D. 25°5.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O 相切于点D，则下列结论中不一定正确的是（A. AG=BGB. AB∥EFC. AD∥BCD. ∠ABC=∠ADC6.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于D，交BC于E，连接AE，则下列结论中不一定正确的是（）A.AE⊥BCB.BE=ECC.ED=ECD.∠BAC=∠EDC7.如图已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的底面半径为（）A. 2㎝B. 4㎝C. 1㎝D. 8㎝8.下列条件，可以画出圆的是( )A. 已知圆心B. 已知半径C. 已知不在同一直线上的三点D. 已知直径9.在平面直角坐标系中，抛物线y=-（x-2）2+1的顶点是点P，对称轴与x轴相交于点Q，以点P为圆心，PQ长为半径画⊙P，那么下列判断正确的是（）A. x轴与⊙P相离；B. x轴与⊙P相切；C. y轴与⊙P与相切；D. y轴与⊙P相交．10.已知⊙O的半径为2，点P是⊙O内一点，且OP= ，过P作互相垂直的两条弦AC、BD，则四边形ABCD面积的最大值为（）A. 4B. 5C. 6D. 7二、填空题（共10题；共30分）11.若扇形的弧长为6πcm，面积为15πcm2，则这个扇形所对的圆心角的度数为________．12.圆锥的母线长为6cm，底面圆半径为2cm,则圆锥的侧面积为________.13.已知一条直线与圆有公共点，则这条直线与圆的位置关系是________．14.如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA=DC，∠CBE=50°，则∠DAC的大小为________度.15.如图，已知AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点．且∠D=130°．则∠BAC的度数是________16.如图，直线PA、PB、MN分别与⊙O相切于点A、B、D，PA=PB=8cm，△PMN的周长是 ________cm17.一块△余料，已知，，，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是________ ．18.过圆内一点的最长的弦、最短弦的长度分别是8cm,6cm,则________.19.已知的半径为，，是的两条弦，，，，则弦和之间的距离是________ ．20.如图，已知扇形AOB中，OA=3，∠AOB=120°，C是在上的动点．以BC为边作正方形BCDE，当点C从点A移动至点B时，点D经过的路径长是________．三、解答题（共8题；共60分）21.如图⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高AD上，AB=10，BC=12，求⊙O 的半径．22.如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，弦CE交AB于点D．连接OE、AC，且∠P=∠E，∠POE=2∠CAB．（1）求证：CE⊥AB；（2）求证：PC是⊙O的切线；（3）若BD=2OD，PB=9，求⊙O的半径及tan∠P的值．23.如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A=20°，AE交⊙O于点B，且AB=OC．（1）求∠AOB的度数（2）求∠EOD的度数24.如图所示，已知F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任一点，A是弧BF的中点，AD⊥BC 于点D，求证：AD= BF．25.如图，已知AB为⊙O的直径，点C为半圆ACB上的动点（不与A、B两点重合），过点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交圆于点P，则点P的位置有何规律？请证明你的结论．26.如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10 cm，弦AC=6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于D ，求BC、AD和BD的长.27.如图，已知AD是△ABC的角平分线，⊙O经过A、B、D三点，过点B作BE∥AD，交⊙O 于点E，连接ED．（1）求证：ED∥AC；（2）连接AE，试证明：AB?CD=AE?AC．28.如图，直线BC与半径为6的⊙O相切于点B，点M是圆上的动点，过点M作MC⊥BC，垂足为C，MC与⊙O交于点D，AB为⊙O的直径，连接MA、MB，设MC的长为x，（6＜x＜12）．（1）当x=9时，求BM的长和△ABM的面积；（2）是否存在点M，使MD?DC=20？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．答案解析部分一、单选题1.【答案】A2.【答案】A3.【答案】C4.【答案】D5.【答案】C6.【答案】D7.【答案】A8.【答案】C9.【答案】B10.【答案】B二、填空题11.【答案】21612.【答案】12π㎝213.【答案】相切或相交14.【答案】6515.【答案】40°16.【答案】1617.【答案】18.【答案】19.【答案】2或1420.【答案】2 π三、解答题21.【答案】解：如图，连接OB．∵AD是△ABC的高．∴BD= BC=6在Rt△ABD中，AD= = =8．设圆的半径是R．则OD=8﹣R．在Rt△OBD中，根据勾股定理可以得到：R2=36+（8﹣R）2 解得：R= ．22.【答案】（1）证明：连接OC，∴∠COB=2∠CAB，又∠POE=2∠CAB．∴∠COD=∠EOD，则弧BC=弧BE，即CE⊥AB；（2）证明：∵CE⊥AB，∠P=∠E，∴∠P+∠PCD=∠E+∠PCD=90°，又∠OCD=∠E，∴∠OCD+∠PCD=∠PCO=90°，∴PC是⊙O的切线；（3）解：设⊙O的半径为r，OD=x，则BD=2x，r=3x，∵CD⊥OP，OC⊥PC，∴Rt△OCD∽Rt△OPC，∴OC2=OD?OP，即（3x）2=x?（3x+9），解之得x= ，∴⊙O的半径r= ，在Rt△OCP中，PC= = =9 ，tan∠P= = .23.【答案】（1）解：连OB，如图，∵AB=OC，OB=OC，∴AB=BO，∴∠AOB=∠1=∠A=20°（2）解：∵∠2=∠A+∠1，∴∠2=2∠A，∵OB=OE，∴∠2=∠E，∴∠E=2∠A，∴∠DOE=∠A+∠E=3∠A=60°．24.【答案】证明：连接OA，交BF于点E，∵A是弧BF的中点，O为圆心，∴OA⊥BF，∴BE= BF，∵AD⊥BC于点D，∴∠ADO=∠BEO=90°，在△OAD与△OBE中，∠∠°∠∠，∴△OAD≌△OBE（AAS），∴AD=BE，∴AD= BF25.【答案】解：点P为半圆AB的中点．理由如下：连接OP，如图，∵∠OCD的平分线交圆于点P，∴∠PCD=∠PCO，∵OC=OP，∴∠PCO=∠OPC，∴∠PCD=∠OPC，∴OP∥CD，∵CD⊥AB，∴OP⊥AB，∴弧PA=弧PB，即点P为半圆的中点．26.【答案】解：∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°. 在Rt△ACB 中，BC= = =8. ∵CD平分∠ACB ，∴弧AD=弧BD.∴AD=BD.在Rt△ADB中，AD=BD= AB=5 (cm).27.【答案】证明：（1）∵BE∥AD，∴∠E=∠ADE，∵∠BAD=∠E，∴∠BAD=∠ADE，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，∴∠CAD=∠ADE，∴ED∥AC；（2）连接AE，∵∠CAD=∠ADE，∠ADE=∠ABE，∴∠CAD=∠ABE，∵∠ADC+∠ADB=180°，∠ADB+∠AEB=180°，∴∠ADC=∠A EB，∴△ADC∽△BEA，∴AC：AB=CD：AE，∴AB?CD=AE?AC．28.【答案】证明：（1）∵直线BC与半径为6的⊙O相切于点B，且AB为⊙O的直径，∴AB⊥BC，又∵MC⊥BC，∴AB∥MC，∴∠BMC=∠ABM，∵AB是⊙O的直径，∴∠AMB=90°，∴∠BCM=∠AMB=90°，∴△BCM∽△AMB，∴，∴BM2=AB?MC=12×9=108，∴BM=6，∵BC2+MC2=BM2，∴BC==3∴S△ABM=AB?BC=×12×3=18；（2）解：过O作OE⊥MC，垂足为E，∵MD是⊙O的弦，OE⊥MD，∴ME=ED，又∵∠CEO=∠ECB=∠OBC=90°，∴四边形OBCE为矩形，∴CE=OB=6，又∵MC=x，∴ME=ED=MC﹣CE=x﹣6，MD=2（x﹣6），∴CD=MC﹣MD=x﹣2（x﹣6）=12﹣x，∴MD?DC=2（x﹣6）?（12﹣x）=﹣2x2+36x﹣144=﹣2（x﹣9）2+18∵6＜x＜12，∴当x=9时，MD?DC的值最大，最大值是18，∴不存在点M，使MD?DC=20．。
九年级上册数学《圆》单元综合测试卷(附答案)
九年级上册数学《圆》单元测试卷（满分120分，考试用时120分钟）1．如图，⊙O是△A B C 外接圆，∠A =40°，则∠OB C =（）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°2．如图，在△A B C 中，C os B ，sin C ＝35，A C ＝5，则△A B C 的面积是()A ．212B ．12C ．14D ．213．如图，O与正方形A B C D 的两边A B ，A D 相切，且D E与O相切于点E．若O的半径为5，且11AB ，则D E的长度为（）A．5 B ．6 C D ．11 24．如图，在矩形A B C D 中，A B ＝8，A D ＝12，经过A ，D 两点的⊙O 与边B C 相切于点E ，则⊙O 的半径为（ ）A ．4B ．214C ．5D ．2545．如图，O为圆心，AB 是直径，C 是半圆上的点，D 是AC 上的点.若BOC 40∠=，则D ∠的大小为（ ）A ．110 B ．120C ．130 D ．140 6．边长为2的正方形内接于⊙O ，则⊙O 的半径是（ ） A ．1 BC ．2D ．7．如图，A B 是⊙O 的弦，A O 的延长线交过点B 的⊙O 的切线于点C ，如果∠C A B =30°，则OC 的长度为（ ）A ．B ．2C ．D ．48．在Rt △A B C 中，∠C =90°，A C =8C m ，A B =10C m ，以C 为圆心，以9C m 长为直径的⊙C 与直线A B 的位置关系为（ ）A ．相交B ．相离C ．相切D ．相离或相交9．如图，C D 为圆O 的直径，弦A B ⊥C D ，垂足为E ，C E=1，半径为25，则弦A B 的长为( )A ．24B ．14C ．10D ．710．如图，用不同颜色的马赛克片覆盖一个圆形的台面，估计15圆心角的扇形部分大约需要34片马赛克片．已知每箱装有125片马赛克片，那么应该购买多少箱马赛克片才能铺满整个台面（ ）A ．56~箱B ．67~箱C ．78~箱D ．89~箱11．如图所示，扇形纸扇完全打开后，弧B C 60cm =，弧D E 20cm =．外侧两竹条AB ，AC 都等于30cm ，贴纸的宽度BD ，CE 都等于20cm ，则贴纸的面积是（ ）A ．2400cmB ．2800cmC ．21200cmD ．21600cm12．如图，△A B C 的内切圆⊙O 与A B ，B C ，C A 分别相切于点D ，E ，F ，且A D ＝2，B C ＝5，则△A B C 的周长为( )A ．16B ．14C ．12D ．1013．如图，在平面直角坐标系中，直线l 的函数表达式为y ＝x ，点O 1的坐标为（1，0），以O 1为圆心，O 1O 为半径画圆，交直线l 于点P 1，交x 轴正半轴于点O 2，以O 2为圆心，O 2O 为半径画圆，交直线l 于点P 2，交x 轴正半轴于点O 3，以O 3为圆心，O 3O 为半径画圆，交直线l 于点P 3，交x 轴正半轴于点O 4；…按此做法进行下去，其中20172018P O 的长为_____．14．如图，点B ，C ，D 在⊙O 上，若∠B C D =130°，则∠B OD 的度数是________°．15．如图，边长为6的正六边形A B C D EF的中心与坐标原点O重合，A F∥x轴．将正六边形绕原点逆时针旋转n次，每次旋转60°，当n=2019时，顶点A 的坐标为_____．16．如图，A B 是⊙O的切线，B 为切点，A O的延长线交⊙O于C 点，连接B C ，如果∠A =30°，A B =2A C 的长等于______．17．如图，D 、E分别是⊙O两条半径OA 、OB 的中点，AC=CB．（1）求证：C D =C E．（2）若∠A OB =120°，OA =x，四边形OD C E的面积为y，求y与x的函数关系式．18．如图，点C 在以A B 为直径的半圆⊙O上，A C =B C ．以B 为圆心，以B C 的长为半径画圆弧交A B 于点D ．（1）求∠A B C 的度数；（2）若A B =2，求阴影部分的面积．19．如图，正方形A B C D 内接于⊙O，M为弧A D 中点，连接B M，C M．（1）求证：B M=C M；（2）当⊙O的半径为2时，求∠B OM的度数．20．如图,点O在边长为的正方形A B C D 的对角线A C 上,以O为圆心OA 为半径的⊙O交A B 于点E.（1）⊙O过点E的切线与B C 交于点F,当0＜OA ＜6时,求∠B FE的度数;（2）设⊙O与A B 的延长线交于点M,⊙O过点M的切线交B C 的延长线于点N,当6＜OA ＜12时,利用备用图作出图形,求∠B NM的度数.21．在△A B C 中，90︒∠=C ，以边A B 上一点O 为圆心，OA 为半径的圈与B C 相切于点D ，分别交A B ，A C 于点E ，F（I ）如图①，连接A D ，若25CAD ︒∠=，求∠B 的大小；（Ⅱ）如图②，若点F 为AD 的中点，O 的半径为2，求A B 的长．22．如图，已知△A B C 中，以A B 为直径的半⊙O交A C 于D ，交B C 于E，B E=C E，∠C =70°，求∠D OE的度数．23．一个边长为4的等边三角形A B C 的高与⊙O的直径相等，如图放置，⊙O与B C 相切于点C ，⊙O 与A C 相交于点E，（1）求等边三角形的高；（2）求C E的长度；（3）若将等边三角形A B C 绕点C 顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜360°），求α为多少时，等边三角形的边所在的直线与圆相切．24．如图，A B 是⊙O的直径，A B ＝12，弦C D ⊥A B 于点E，∠D A B ＝30°．(1)求扇形OA C 的面积；(2)求弦C D 的长．25．如图，A B 为半圆O的直径，A C 是⊙O的一条弦，D 为BC的中点，作D E⊥A C ，交A B 的延长线于点F，连接D A ．（1）求证：EF为半圆O的切线；（2）若D A ＝D F＝（结果保留根号和π）26．如图，已知半圆O 的直径DE 12cm =，在ABC 中，ACB 90∠=，ABC 30∠=，BC 12cm =，半圆O 以2cm /s 的速度从左向右运动，在运动过程中，点D 、E 始终在直线BC 上．设运动时间为()t s ，当t 0s =时，半圆O 在ABC 的左侧，OC 8cm =．()1当t 为何值时，ABC 的一边所在直线与半圆O 所在的圆相切？() 2当ABC 的一边所在直线与半圆O 所在的圆相切时，如果半圆O 与直线DE 围成的区域与ABC 三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积．参考答案1．如图，⊙O 是△A B C 外接圆，∠A =40°，则∠OB C =（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°[答案]C [解析][分析]根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半求得∠B OC ，再根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的两个底角相等进行计算．[详解]连接OC ，如图，根据圆周角定理，得∠B OC =2∠A =80°∵OB =OC∴∠OB C =∠OC B ==50°． 1802BOC ︒-∠[点评]本题考查了圆周角定理：一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半；也考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理．2．如图，在△A B C 中，C os B ＝，sin C ＝，A C ＝5，则△A B C 的面积是( )A ．B ．12C ．14D ．21[答案]A[解析][分析]根据已知作出三角形的高线A D ，进而得出A D ，B D ，C D ，的长，即可得出三角形的面积．[详解]解：过点A 作A D ⊥B C ，∵△A B C 中，，sinC =，A C =5， ∴C osB ==， ∴∠B =45°，∵sinC ===， 235212352BD AB 35AD AC 5AD∴，∴B D =3，则△A B C 的面积是：×A D ×B C =×3×（3+4）=．故选：A ．[点评]此题主要考查了解直角三角形的知识，作出A D ⊥B C ，进而得出相关线段的长度是解决问题的关键．3．如图，与正方形A B C D 的两边A B ，A D 相切，且D E与相切于点E．若的半径为5，且，则D E的长度为（）A ．5B ．6CD ．[答案]B[解析][分析]连接OE，OF，OG，根据切线性质证四边形A B C D 为正方形，根据正方形性质和切线长性质可得D E=D F.[详解]连接OE，OF，OG，1212212O O O 11AB=112∵A B ，A D ，D E 都与圆O 相切，∴D E ⊥OE ，OG ⊥A B ，OF ⊥A D ，D F=D E ，∵四边形A B C D 为正方形，∴A B =A D =11，∠A =90°，∴∠A =∠A GO=∠A FO=90°，∵OF=OG=5，∴四边形A FOG 为正方形，则D E=D F=11-5=6，故选：B[点评]考核知识点：切线和切线长定理.作辅助线，利用切线长性质求解是关键.4．如图，在矩形A B C D 中，A B ＝8，A D ＝12，经过A ，D 两点的⊙O 与边B C 相切于点E ，则⊙O 的半径为（ ）A ．4B ．C ．5D ． [答案]D [解析][分析]连结EO 并延长交A D 于F ，连接A O ，由切线的性质得OE ⊥B C ，再利用平行线的性质得到214254OF ⊥A D ，则根据垂径定理得到A F=D F= A D =6，由题意可证四边形A B EF 为矩形，则EF=A B =8，设⊙O 的半径为r ，则OA =r ，OF=8-r ，然后在Rt △A OF 中利用勾股定理得到（8-r ）2+62=r 2，再解方程求出r 即可．[详解]如图，连结EO 并延长交A D 于F ，连接A O ，∵⊙O 与B C 边相切于点E ，∴OE ⊥B C ，∵四边形A B C D 为矩形，∴B C ∥A D ，∴OF ⊥A D ，∴A F=D F= A D =6，∵∠B =∠D A B =90°，OE ⊥B C ，∴四边形A B EF 为矩形，∴EF=A B =8，设⊙O 的半径为r ，则OA =r ，OF=8-r ，在Rt △A OF 中，∵OF 2+A F 2=OA 2，∴（8-r ）2+62=r 2，1212解得r=， 故选D ．[点评]本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了垂径定理和矩形的性质．解决本题的关键是构建直角三角形，利用勾股定理建立关于半径的方程．5．如图，为圆心，是直径，是半圆上的点，是上的点.若，则的大小为（ ）A ．B ．C ．D ．[答案]A [解析][分析]连接B D ，由A B 是直径可得∠A D B =90°，根据圆周角定理可知∠B D C =∠B OC ，进而可求出∠D 的度数.[详解]连接B D ， ∵是直径，是上的点，254OAB C D AC BOC 40∠=D∠11012013014012AB D AC∴∠A D B =90°，∵∠B D C 与∠B OC 是弦B C 所对的圆周角和圆心角，∠B OC =40°，∴∠B D C =∠B OC =20°， ∴∠A D C =∠A D B +∠B D C =90°+20°=110°.故选A .[点评]本题考查了圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半；直径所对的圆周角等于90°. 6．边长为2的正方形内接于⊙O ，则⊙O 的半径是（ ）A ．1BC ．2D ．[答案]B[解析][分析]连接OB ，C O ，在Rt △B OC 中，根据勾股定理即可求解．[详解]解：连接OB ，OC ，则OC＝OB ，∠B OC ＝90°， 在Rt △B OC 中， ∴⊙O故选：B ．12OB ===[点评]此题主要考查了正多边形和圆，本题需仔细分析图形，利用勾股定理即可解决问题．7．如图，A B 是⊙O 的弦，A O 的延长线交过点B 的⊙O 的切线于点C ，如果∠C A B =30°，则OC 的长度为（）A ．B．2 C ． D ．4[答案]D [解析][分析]连接OB ，作OH ⊥A B 于H ，根据垂径定理求出A H ，根据余弦的定义求出OA ，根据切线的性质定理得到∠OB C =90°，根据直角三角形的性质计算即可．[详解]解：连接OB ，作OH ⊥A B 于H ，则A H=HB = 在Rt △A OH 中，OA ==2，12AH cos A =∠∠B OC =2∠A =60°，∵B C 是⊙O 的切线，∴∠OB C =90°，∴∠C =30°，∴OC =2OB =4，故选D ．[点评]本题考查的是切线的性质、垂径定理、圆周角定理，掌握切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．8．在Rt △A B C 中，∠C =90°，A C =8C m ，A B =10C m ，以C 为圆心，以9C m 长为直径的⊙C 与直线A B 的位置关系为（ ）A ．相交B ．相离C ．相切D ．相离或相交[答案]B[解析][分析]此题首先应求得圆心到直线的距离D ，据直角三角形的面积公式即可求得；若D ＜r ，则直线与圆相交；若D =r ，则直线于圆相切；若D ＞r ，则直线与圆相离．[详解]解：∵A C =8C m ，A B =10C m ， ∴，S △A B C =A C ×BC =×6×8=24， ∴A B 上的高为：24×2÷10=4.8，即圆心到直线的距离是4.8，∵r=4.5，1212∴4.8＞4.5∴⊙C 与直线A B 相离，故选B ．[点评]本题主要考查了直线与圆的位置关系，根据三角形的面积求出斜边上的高的长度是解答此题关键．注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．9．如图，C D 为圆O的直径，弦A B ⊥C D ，垂足为E，C E=1，半径为25，则弦A B 的长为()A ．24B ．14C ．10D ．7[答案]B[解析][分析]连接OA ，根据垂径定理得到A E=EB ，根据勾股定理求出A E，得到答案．[详解]连接OA ，∵C D 为圆O的直径，弦A B ⊥C D ，∴A E=EB ，由题意得，OE=OC -C E=24，在Rt△A OE中，=7，∴A B =2A E=14，故选B ．[点评]本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 10．如图，用不同颜色的马赛克片覆盖一个圆形的台面，估计圆心角的扇形部分大约需要片马赛克片．已知每箱装有片马赛克片，那么应该购买多少箱马赛克片才能铺满整个台面（ ）A ．箱B ．箱C ．箱D ．箱[答案]B [解析][分析]利用扇形面积公式即可计算．[详解]360÷15=24，所以覆盖一个圆形的台面需24×34=816片马赛克片，816÷125=6.53．故选B ．[点评]本题看似是一个求扇形面积的题，但是不是，只要算出圆形中有几个15度的扇形即可求出此题． 11．如图所示，扇形纸扇完全打开后，弧B C ，弧D E ．外侧两竹条，都等于，贴纸的宽度，都等于，则贴纸的面积是（ ）A ．B ．C ．D ．[答案]B 153412556~67~78~89~60cm =20cm =AB AC 30cm BD CE20cm 2400cm 2800cm 21200cm 21600cm[解析][分析]根据扇形的面积公式：S 扇形=lr ，即可求得扇形B A C 的面积和扇形D A E 的面积，根据贴纸的面积是：扇形B A C 的面积﹣扇形D A E 的面积即可求解．[详解]A D =AB ﹣B D =30﹣20=10C m ．扇形B A C 的面积是：•A B =×60×30=900C m 2． 扇形D A E 的面积是：•A D =×20×10=100C m 2，∴贴纸的面积是：扇形B A C 的面积﹣扇形D A E 的面积=900﹣100=800C m 2．故选B ．[点评]本题考查了扇形的面积的计算，关键是理解贴纸的面积是：扇形B A C 的面积﹣扇形D A E 的面积，把不规则的图形转化成规则图形的面积求解．12．如图，△A B C 的内切圆⊙O 与A B ，B C ，C A 分别相切于点D ，E ，F ，且A D ＝2，B C ＝5，则△A B C 的周长为( )A ．16B ．14C ．12D ．10[答案]B [解析][分析]根据切线长定理进行求解即可.[详解]∵△A B C 的内切圆⊙O 与A B ，B C ，C A 分别相切于点D ，E ，F ，∴A F ＝A D ＝2，B D ＝B E ，C E ＝C F ，1212BC 1212DE 12∵B E+C E ＝B C ＝5，∴B D +C F ＝B C ＝5，∴△A B C 的周长＝2+2+5+5＝14，故选B ．[点评]本题考查了三角形的内切圆以及切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键.13．如图，在平面直角坐标系中，直线l 的函数表达式为y ＝x ，点O 1的坐标为（1，0），以O 1为圆心，O 1O 为半径画圆，交直线l 于点P 1，交x 轴正半轴于点O 2，以O 2为圆心，O 2O 为半径画圆，交直线l 于点P 2，交x 轴正半轴于点O 3，以O 3为圆心，O 3O 为半径画圆，交直线l 于点P 3，交x 轴正半轴于点O 4；…按此做法进行下去，其中的长为_____．[答案]22015π[解析][分析]连接P 1O 1，P 2O 2，P 3O 3，易求得P n O n 垂直于x 轴，可知为圆的周长，再找出圆半径的规律即可解题．[详解]解：连接P 1O 1，P 2O 2，P 3O 3…， 20172018PO 1n n P O 14∵P 1 是⊙O 1上的点，∴P 1O 1＝OO 1，∵直线l 解析式为y ＝x ，∴∠P 1OO 1＝45°，∴△P 1OO 1为等腰直角三角形，即P 1O 1⊥x 轴，同理，P n O n 垂直于x 轴，∴ 为圆的周长， ∵以O 1为圆心，O 1O 为半径画圆，交x 轴正半轴于点O 2，以O 2为圆心，O 2O 为半径画圆，交x 轴正半轴于点O 3，以此类推，∴OO 1＝1＝20，OO 2＝2＝21，OO 3＝4＝22，OO 4＝8＝23，…，∴OO n ＝，∴，∴，故答案为：22015π．[点评]本题考查了图形类规律探索、一次函数的性质、等腰直角三角形的性质以及弧长的计算，本题中准确找到圆半径的规律是解题的关键．1n n P O 1412n -12112224n n n n P O 201520172018P 2O π=14．如图，点B ，C ，D 在⊙O 上，若∠B C D =130°，则∠B OD 的度数是________°．[答案][解析][分析]首先圆上取一点A ，连接A B ，A D ，根据圆的内接四边形的性质，即可得∠B A D +∠B C D =180°，即可求得∠B A D 的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案．[详解]圆上取一点A ，连接A B ，A D ，∵点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，∠B C D =130°，∴∠B A D =50°，∴∠B OD =100°.故答案为100°. [点评]此题考查圆周角定理，圆的内接四边形的性质，解题关键在于掌握其定义.15．如图，边长为6的正六边形A B C D EF 的中心与坐标原点O 重合，A F ∥x 轴．将正六边形绕原点逆时针旋转n 次，每次旋转60°，当n =2019时，顶点A 的坐标为_____．100[答案]（3，[解析][分析]将正六边形A B C D EF 绕原点O 逆时针旋转2019次时，点A 所在的位置就是原D 点所在的位置．[详解]2019×60°÷360°=336…3，即与正六边形A B C D EF绕原点O 逆时针旋转3次时点A 的坐标是一样的． 当点A 按逆时针旋转180°时，与原D 点重合．连接OD ，过点D 作D H ⊥x 轴，垂足为H ；由已知ED =6，∠D OE =60°（正六边形的性质），∴△OED 是等边三角形，∴OD =D E =OE =6． ∵D H ⊥OE ，∴∠OD H =30°，OH =HE =3，HD =∵D 在第四象限，∴D （3，﹣，即旋转2019后点A 的坐标是（3，﹣．故答案为：（3，﹣．[点评]本题考查了正多边形和圆、旋转变换的性质，掌握正多边形的性质、旋转变换的性质是解题的关键． 16．如图，A B 是⊙O 的切线，B 为切点，A O 的延长线交⊙O 于C 点，连接B C ，如果∠A =30°，A B =2A C 的长等于______．[答案]6 [解析][分析]连接OB ，首先利用切线的性质可得∠A B O=90°，接下来在△A B O 中，利用正切与余弦的定义即可求出OB 与OA 的长；然后根据圆的半径相等，并结合线段之间的关系进行解答即可.[详解]连接OB ，如图所示.∵A B 是圆O 的切线，∴∠A B O =90°.∵∠A =30°，∴tA n A =，C os A =， ∴OB =2，OA =4，3OB AB =2AB OA =∴A C =4+2=6.故答案为6.[点评]本题是一道关于直线与圆的位置关系的题目，解答本题的关键是熟练掌握切线的性质与锐角三角函数的定义.17．如图，D 、E 分别是⊙O 两条半径OA 、OB 的中点， ．（1）求证：C D =C E ．（2）若∠A OB =120°，OA =x ，四边形OD C E 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式．[答案]（1）证明见解析；（2）y=x 2． [解析][分析]（1）连接OC ，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠C OA =∠C OB ，证明△C OD ≌△C OE ，根据全等三角形的性质证明；（2）连接A C ，根据全等三角形的判定定理得到△A OC 为等边三角形，根据正切的定义求出C D ，根据三角形的面积公式计算即可．[详解]（1）证明：连接OC ，AC=CB4∵，∴∠C OA =∠C OB ，∵D 、E 分别是⊙O 两条半径OA 、OB 的中点，∴OD =OE ，在△C OD 和△C OE 中，，∴△C OD ≌△C OE （SA S ）∴C D =C E ；（2）连接A C ，∵∠A OB =120°，∴∠A OC =60°，又OA =OC ，∴△A OC 为等边三角形，∵点D 是OA 的中点，∴C D ⊥OA ，OD =OA =x ， 在Rt △C OD 中，C D =OD •t A n ∠C OD =， ∴四边形OD C E 的面积为y=×OD ×C D ×2． [点评]本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握圆心角、弧、弦的关系定理，全等三角形的判定定理和性质定理是同角的关键．AC=CB OD OE COD COE OC OC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝121221218．如图，点C 在以A B 为直径的半圆⊙O 上，A C =B C ．以B 为圆心，以B C 的长为半径画圆弧交A B 于点D ．（1）求∠A B C 的度数；（2）若A B =2，求阴影部分的面积．[答案]（1）45°；（2）．[解析][分析]（1）根据圆周角定理得到∠A C B =90°，根据等腰三角形的性质即可得到结论；（2）根据阴影部分的面积=S △A B C －S 扇形D B C 即可得到结论．[详解]（1）∵A B 为半圆⊙O 的直径，∴∠A C B =90°．∵A C =B C ，∴∠A B C =45°；（2）∵A C =B C ，∴∠A B C =45°，∴△A B C 是等腰直角三角形．∵A B =2，∴B C = A B，∴阴影部分的面积=S △A B C －S 扇形D B C =．[点评]本题考查了不规则图形面积的计算，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．19．如图，正方形A B C D 内接于⊙O ，M 为弧A D 中点，连接B M ，C M ．（1）求证：B M =C M ；（2）当⊙O 的半径为2时，求∠B OM 的度数． 14π-221452360π⨯⨯14π=-[答案]（1）答案见解析；（2）135°．[解析][分析]（1）根据正方形的性质得到A B =C D ，根据圆心角、弧、弦的关系得到，得到，即可得到结论；（2）连接OA 、OB 、OM ，根据正方形的性质求出∠A OB 和∠A OM ，计算即可．[详解]（1）∵四边形A B C D 是正方形，∴A B =C D ，∴．∵M 为的中点，∴，∴，∴B M =C M ；（2）连接OA 、OB 、OM ．∵四边形A B C D 是正方形，∴∠A OB =90°．∵M 为弧A D 的中点，∴∠A OM =45°，∴∠B OM =∠A OB +∠A OM =135°．[点评]本题考查了正多边形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理，掌握正方形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理是解题的关键．20．如图,点O 在边长为的正方形A B C D 的对角线A C 上,以O 为圆心OA 为半径的⊙O 交A B 于AB CD =BM CM =AB CD =AD AM DM =BM CM =点E.（1）⊙O过点E的切线与B C 交于点F,当0＜OA ＜6时,求∠B FE的度数;（2）设⊙O与A B 的延长线交于点M,⊙O过点M的切线交B C 的延长线于点N,当6＜OA ＜12时,利用备用图作出图形,求∠B NM的度数.[答案]（1）∠B FE=45°；（2）∠B NM=45°.[解析][分析]（1）连结OE，根据圆的半径都相等可得OA =OE，再根据等边对等角可得∠EA O=∠A EO，接下来再根据正方形以及切线性质即可得到∠B EF=45°，至此，再根据三角形内角和是180°即可得到∠B FE 的度数了；（2）根据题意画出图形，连结OM，根据等边对等角的性质和正方形的性质可得∠OA M=∠A MO=45°，至此，再根据切线的性质以及三角形内角和定理进行求解即可；[详解](1)连接OE,如解图,∵四边形A B C D 为正方形,∴∠2=45°,∵OE=OA ,∴∠1=∠2=45°,∵EF为⊙O的切线,∴OE⊥EF,∴∠OEF=90°,∴∠B EF=45°,∵∠B =90°,∴∠B FE=45°;(2)连接OM,如解图,∵OM=OA ,∴∠OMA =∠OA M=45°,∵MN 为⊙O 的切线,∴OM ⊥MN,∴∠OMN=90°,∴∠B MN=45°,∵∠MB N=90°,∴∠B NM=45°.[点评]本题主要考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的性质.切线的性质：①过切点及圆心的线段垂直于该切线；②圆心到切点的距离等于圆的半径.21．在△A B C 中，，以边A B 上一点O 为圆心，OA 为半径的圈与B C 相切于点D ，分别交A B ，A C 于点E ，F（I ）如图①，连接A D ，若，求∠B 的大小；（Ⅱ）如图②，若点F 为的中点，的半径为2，求A B 的长．90︒∠=C 25CAD ︒∠=ADO[答案](1)∠B =40°；(2)A B = 6.[解析][分析]（1）连接OD ，由在△A B C 中, ∠C =90°，B C 是切线,易得A C ∥OD ,即可求得∠C A D =∠A D O ,继而求得答案;（2）首先连接OF,OD ,由A C ∥OD 得∠OF A =∠FOD ,由点F为弧A D 的中点,易得△A OF是等边三角形,继而求得答案.[详解]解:(1)如解图①,连接OD ,∵B C 切⊙O于点D ,∴∠OD B =90°,∵∠C =90°,∴A C ∥OD ,∴∠C A D =∠A D O,∵OA =OD ,∴∠D A O=∠A D O=∠C A D =25°,∴∠D OB =∠C A O=∠C A D ＋∠D A O=50°,∵∠OD B =90°,∴∠B =90°－∠D OB =90°－50°=40°;(2)如解图②,连接OF,OD ,∵A C ∥OD ,∴∠OFA =∠FOD ,∵点F为弧A D 的中点,∴∠A OF=∠FOD ,∴∠OFA =∠A OF,∴A F=OA ,∵OA =OF,∴△A OF为等边三角形,∴∠FA O=60°,则∠D OB =60°,∴∠B =30°,∵在Rt△OD B 中,OD =2,∴OB =4,∴A B =A O＋OB =2＋4=6.[点评]本题考查了切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，弧弦圆心角的关系，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质.熟练掌握切线的性质是解（1）的关键，证明△A OF为等边三角形是解（2）的关键.22．如图，已知△A B C 中，以A B 为直径的半⊙O交A C 于D ，交B C 于E，B E=C E，∠C =70°，求∠D OE的度数．[答案]∠D OE =40°．[解析][分析]连接A E，判断出A B =A C ，根据∠B =∠C =70°求出∠B A C =40°，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求出∠D OE的度数．[详解]连接A E，∵A B 是⊙O的直径，∴∠A EB =90°，∴A E⊥B C ，∵B E=C E，∴A B =A C ，∴∠B =∠C =70°，∠B A C =2∠C A E，∴∠B A C =40°，∴∠D OE=2∠C A E=∠B A C =40°．[点评]本题考查了等腰三角形的性质和圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半.23．一个边长为4的等边三角形A B C 的高与⊙O的直径相等，如图放置，⊙O与B C 相切于点C ，⊙O 与A C 相交于点E，（1）求等边三角形的高；（2）求C E 的长度；（3）若将等边三角形A B C 绕点C 顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜360°），求α为多少时，等边三角形的边所在的直线与圆相切．[答案]（1）（2）3；（3）α＝60°或120°或180°或300°. [解析][分析]（1）作A M⊥MC 于M,在直角三角形A C M中,利用勾股定理即可解题,（2）连接EF,在直角三角形C EF 中, 利用勾股定理即可解题,（3）画出图形即可解题.[详解]解：（1）如图，作A M ⊥MC 于M ．∵△A B C 是等边三角形，∴∠MA C ＝∠MA B ＝30°，∴C M ＝ A C ＝2， ∴A M ＝（2）∵C F 是⊙O 直径，∴C F ＝C M ＝EF ，则∠C EF ＝90°，∵∠EC F ＝90°﹣∠A C B ＝30°，12∴EF ＝ C F∴C E＝3．（3）由图象可知，α＝60°或120°或180°或300°时，等边三角形的边所在的直线与圆相切．[点评]本题考查了直线和圆的位置关系,属于简单题,作辅助线和利用勾股定理求边长是解题关键. 24．如图，A B 是⊙O 的直径，A B ＝12，弦C D ⊥A B 于点E ，∠D A B ＝30°．(1)求扇形OA C 的面积；(2)求弦C D 的长．[答案]（1）12π；（2）[解析][分析]（1）根据垂径定理得到，根据圆周角定理求出∠C A B ，根据三角形内角和定理求出∠A OC ，根据扇形面积公式计算；（2）根据正弦的定义求出C E ，根据垂径定理计算即可．[详解]（1）∵弦C D ⊥A B ，∴，12∴∠C A B ＝∠D A B ＝30°，∵OA ＝OC ，∴∠OC A ＝∠OA C ＝30°，∴∠A OC ＝120°，∴扇形OA C 的面积＝＝12π；（2）由圆周角定理得，∠C OE ＝2∠C A B ＝60°，∴C E ＝OC ×sin ∠C OE ＝3，∵弦C D ⊥A B ，∴C D ＝2C E ＝6．[点评]本题考查了扇形面积计算，圆周角定理，垂径定理的应用，掌握扇形面积公式是解题的关键． 25．如图，A B 为半圆O 的直径，A C 是⊙O 的一条弦，D 为的中点，作D E ⊥A C ，交A B 的延长线于点F ，连接D A ．（1）求证：EF 为半圆O 的切线；（2）若D A ＝D F ＝，求阴影区域的面积．（结果保留根号和π）[答案]（1）证明见解析 （2）﹣6π [解析][分析]（1）直接利用切线的判定方法结合圆心角定理分析得出OD ⊥EF ，即可得出答案； BC 2（2）直接利用得出S△A C D ＝S△C OD ，再利用S阴影＝S△A ED ﹣S扇形C OD ，求出答案．[详解]（1）证明：连接OD ，∵D 为弧B C 的中点，∴∠C A D ＝∠B A D ，∵OA ＝OD ，∴∠B A D ＝∠A D O，∴∠C A D ＝∠A D O，∵D E⊥A C ，∴∠E＝90°，∴∠C A D +∠ED A ＝90°，即∠A D O+∠ED A ＝90°，∴OD ⊥EF，∴EF为半圆O的切线；（2）解：连接OC 与C D ，∵D A ＝D F，∴∠B A D ＝∠F，∴∠B A D ＝∠F＝∠C A D ，又∵∠B A D +∠C A D +∠F＝90°，∴∠F＝30°，∠B A C ＝60°，∵OC ＝OA ，∴△A OC 为等边三角形，∴∠A OC ＝60°，∠C OB ＝120°，∵OD ⊥EF ，∠F ＝30°，∴∠D OF ＝60°，在Rt △OD F 中，D F ＝∴OD＝D F •t A n30°＝6，在Rt △A ED 中，D A ＝，∠C A D ＝30°，∴D E ＝D A •sin30°＝EA ＝D A •C os30°＝9，∵∠C OD＝180°﹣∠A OC ﹣∠D OF ＝60°，由C O ＝D O ，∴△C OD 是等边三角形，∴∠OC D ＝60°，∴∠D C O ＝∠A OC ＝60°，∴C D ∥A B ，故S △A C D ＝S △C OD ，∴S 阴影＝S △A ED ﹣S 扇形C OD ＝＝．[点评]此题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，解直角三角形及扇形面积求法等知识，得出S △A C D ＝S △C OD 是解题关键．2160962360π⨯⨯⨯62π-26．如图，已知半圆的直径，在中，，，，半圆以的速度从左向右运动，在运动过程中，点、始终在直线上．设运动时间为，当时，半圆在的左侧，． 当为何值时，的一边所在直线与半圆所在的圆相切？当的一边所在直线与半圆所在的圆相切时，如果半圆与直线围成的区域与三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积．[答案]（1）1s 或4s 或7s 或16s ；（2）或．[解析][分析]（1）随着半圆的运动分四种情况：①当点E 与点C 重合时，A C 与半圆相切，②当点O 运动到点C 时，A B 与半圆相切，③当点O 运动到B C 的中点时，A C 再次与半圆相切，④当点O 运动到B 点的右侧时，A B 的延长线与半圆所在的圆相切．分别求得半圆的圆心移动的距离后，再求得运动的时间．（2）在1中的②，③中半圆与三角形有重合部分．在②图中重叠部分是圆心角为90°，半径为6C m 的扇形，故可根据扇形的面积公式求解．在③图中，所求重叠部分面积为=S △POB +S 扇形D OP ．[详解]解：（1）①如图，当点E 与点C 重合时，A C ⊥OE ，OC =OE =6C m ，所以A C 与半圆O 所在的圆相切，此时点O 运动了2C m ，所求运动时间为：t ==1（s ）； ②如图，当点O 运动到点C 时，过点O 作OF ⊥A B ，垂足为F ．在Rt △FOB 中，∠FB O =30°，OB =12C m ，则OF =6C m ，即OF 等于半圆O 的半径，所以A B 与半圆O 所在的圆相切．此时点O 运动了8C m ，所求运动时间为：t ==4（s ）； ③如图，当点O 运动到B C 的中点时，A C ⊥OD ，OC =OD =6C m ，所以A C 与半圆O 所在的圆相切．此时点O 运动了14C m ，所求运动时间为：t ==7（s ）； O DE 12cm =ABC ACB 90∠=ABC 30∠=BC 12cm =O 2cm /s D E BC ()t s t 0s =O ABC OC 8cm =()1t ABC O () 2ABC O O DEABC 29πcm （）26πcm （）2282142④如图，当点O运动到B 点的右侧，且OB =12C m时，过点O作OQ⊥A B ，垂足为Q．在Rt△QOB 中，∠OB Q=30°，则OQ=6C m，即OQ等于半圆O所在的圆的半径，所以直线A B 与半圆O所在的圆相切．此时点O运动了32C m，所求运动时间为：t==16（s）．综上所述：t=1s或4s或7s或16s．（2）当△A B C 的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时，半圆O与直径D E围成的区域与△A B C 三边围成的区域有重叠部分的只有如图②与③所示的两种情形．①如图②，设OA 与半圆O的交点为M，易知重叠部分是圆心角为90°，半径为6C m的扇形，所求重叠部分面积为：S扇形EOM=π×62=9π（C m2）；②如图③，设A B 与半圆O的交点为P，连接OP，过点O作OH⊥A B ，垂足为H．则PH=B H．在Rt△OB H中，∠OB H=30°，OB =6C m，则OH=3C m，B H，B P，S△POB=××C m2），又因为∠D OP=2∠D B P=60°，所以S扇形D OP==6π（C m2），所求重叠部分面积为：S△POB+S扇形D OP（C m2）．综上所述：重叠面积为或．[点评]本题利用了直线与圆相切的概念，扇形的面积公式，直角三角形的面积公式，锐角三角函数的概念求解．32214122606360π⨯29πcm（）26πcm（）。
部编版2020九年级数学上册 第二章 对称图形—圆章末单元测试题三 (新版)苏科版
第二章对称图形—圆1．如图，已知A、B、C三点在⊙O上，∠A=50°，则∠BOC的度数为B OCAA．50° B．25° C．75° D．100°2．如图，在∆ABC中, ∠C＝90°，分别以A、B为圆心，2为半径画圆，则图中阴影部分的面积和为 ( )A BCA．3π B．2π C．π D．2π33．如图，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是上一点，BD交AC于点E，若BC=4，AD=，则AE的长是（）A． 1 B． 1.2 C． 2 D． 34．如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DC切⊙O 于E，交AM于D，交BN于C．若AD⋅BC=9，则直径AB的长为A．32 B． 6 C． 9 D．135．如图，在正方形纸板上剪下一个扇形和圆，刚好能围成一个圆锥模型，设围成的圆锥底面半径为r，母线长为R，则r与R之间的关系为（）A．R=2r B．4R=9r C．R=3r D．R=4r6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OC，⊙O的半径R=2，sinB=34，则弦AC的长为（）A． 3 B．7 C．32D．347．图中，EB为半圆O的直径，点A在EB的延长线上，AD切半圆O于点D，BC⊥AD于点C，AB=2，半圆O的半径为2，则BC的长为（）A． 2 B． 1 C． 1.5 D． 0.58．如图所示，从☉O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接BC，已知∠A=26°，则∠ACB的度数为（）A ． 32° B． 30° C． 26° D． 13°9．如图，在△ABC 中，AB=8 cm ，BC=4 cm ，∠ABC=30°，把△ABC 以点B 为中心按逆时针方向旋转，使点C 旋转到AB 边的延长线上的点C'处，那么AC 边扫过的图形(图中阴影部分)面积是（ ）A ． 20π cm 2B ． (20π+8) cm 2C ． 16π cm 2D ． (16π+8) cm 210．以下命题：①直径相等的圆是等圆； ②长度相等弧是等弧； ③相等的弦所对的弧也相等； ④圆的对称轴是直径；⑤相等的圆周角所对的弧相等；其中正确的个数是（ ）A ． 4B ． 3C ． 2D ． 111．一条弦AB 把圆的 直径分成3和11两 部分，弦 和 直径相交 成300角，则AB 的长为 ． 12．如图，点A 、B 、C 在半径为1的⊙O 上，的长为π，则∠ACB 的大小是_____．13．如图，已知等腰△ABC ，AB =BC ，以AB 为直径的圆交AC 于点D ，过点D 的⊙O 的切线交BC 于点E ，若CD =5，CE =4，则⊙O 的半径是________．14．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ， E 为CD 的延长线上一点.若110B ∠=°，则ADE ∠的大小为____________.15．如图，AB为⊙O直径，BD切⊙O于B点，弦AC的延长线与BD交于D点，若AB=10，AC=8，则DC长为________．16．已知⊙O的周长为8 cm,若PO=2cm,则点P在_______;若PO=4cm,则点P在_____;若PO=6cm,则点P在_______.17．用一张半径为9cm、圆心角为的扇形纸片，做成一个圆锥形冰淇淋的侧面（不计接缝），那么这个圆锥形冰淇淋的底面半径是____cm．18．已知圆锥底面半径为5cm，高为12cm，则它的侧面展开图的面积是cm2．19．如图，⊙ O是△ ABC的外接圆，∠ AOB=70°，则∠ C为______度.20．如图是一个装有两个大小相同的球形礼品的包装盒，其中两个小球之间有个等腰三角形隔板，已知矩形长为45cm，宽为20cm，两圆与矩形的边以及等腰△ABC的腰都相切，则所需的三角形隔板的底边AB长为___________21．在平面直角坐标系中，将某点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这个点的“互换点”，如（-3，5）与（5，-3）是一对“互换点”．（1）以O为圆心，半径为5的圆上有无数对“互换点”，请写出一对符合条件的“互换点”；（2）点M，N是一对“互换点”，点M的坐标为（m，n），且（m＞n），⊙P经过点M，N．①点M的坐标为（4，0），求圆心P所在直线的表达式；②⊙P的半径为5，求m－n的取值范围．22．（1）如图，在矩形ABCD中.点O在边AB上，∠AOC=∠BOD．求证：AO=OB．（2）如图，AB是的直径，PA与相切于点A，OP与相交于点C，连接CB，∠OPA=40°，求∠ABC的度数.23．如图，已知△ABC，AC=3，BC=4，∠C=90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r.(1) 当r取什么值时，点A、B在⊙C外.(2)当r在什么范围时，点A在⊙C内，点B在⊙C外.24．如何在操场上画一个半径为5m的圆，请说明你的理由？25．如图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，以AD为半径的⊙A分别与边AC、AB交于点E和点F，DE∥AB，延长CA交⊙A于点G，连接BG.(1)求证：BG是⊙A的切线；(2)若∠ACB＝30°，AD＝3，求图中阴影部分的面积．26．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；（2）求证：∠1=∠2．27．如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D 、E 、F ， 60B ∠=︒， 70C ∠=︒.（1）求∠BOC 的度数；（2）求∠EDF 的度数．答案：1．D试题分析：根据圆周角定理求解即可．∵∠A=50°，∴∠BOC=2∠A=100°．故选D ．考点：圆周角定理.2．C.试题分析：先根据直角三角形的性质求出直角三角形两锐角的和，再根据扇形的面积公式进行计算即可．∵△ABC 中，∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∵两圆的半径都为2cm，∴S阴影=2902=360ππ⨯⨯.故选C.3．A分析：利用圆周角性质和等腰三角形性质，确定AB为圆的直径，利用相似三角形的判定及性质，确定△ADE和△BCE边长之间的关系，利用相似比求出线段AE的长度即可．详解：∵等腰Rt△ABC，BC=4，∴AB为⊙O的直径，AC=4，AB=4，∴∠D=90°，在Rt△ABD中，AD=，AB=4，∴BD=，∵∠D=∠C，∠DAC=∠CBE，∴△ADE∽△BCE，∵AD：BC=：4=1：5，∴相似比为1：5，设AE=x，∴BE=5x，∴DE=-5x，∴CE=28-25x，∵AC=4，∴x+28-25x=4，解得：x=1．故选：A．点拨：题目考查了圆的基本性质、等腰直角三角形性质、相似三角形的判定及应用等知识点，题目考查知识点较多，是一道综合性试题，题目难易程度适中，适合课后训练．4．B试题解析：如图，连接OC ．∵AM 和BN 是它的两条切线，∴AM ⊥AB ，BN ⊥AB ，∴AM ∥BN ，∴∠ADE+∠BCE=180°∵DC 切⊙O 于E ，∴∠ODE=12∠ADE ，∠OCE=12∠BCE ， ∴∠ODE+∠OCE=90°，∴∠DOC=90°，∴∠AOD+∠COB=90°，∵∠AOD+∠ADO=90°，∴∠AOD=∠OCB ，∵∠OAD=∠OBC=90°，∴△AOD ∽△BCO ，∴=AD AO BO BC， ∴OA 2=AD•BC=9，∴OA=3，∴AB=2•OA=6．故选B ．点拨：本题考查切线的性质、平行线的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形性质解决问题，属于中考常考题型．5．D试题分析：求得侧面展开图的弧长，以及圆锥的底面周长，让它们相等即可求得r 与R 之间的关系． 解：由题意得：=2πr，解得：R=4r ，故选D ．6．A 延长AO 交圆于点D ，连接CD ，由圆周角定理，得：∠ACD=90°，∠D=∠B∴sinD=sinB=34，Rt△ADC中，sinD=34，AD=2R=4，∴AC=AD•sinD=3．故选A．7．B试题分析：连接OD．AD是切线，点D是切点，∴BC⊥AD，∴∠ODA=∠ACB=90°，BC∥OD．∵AB=O B=2，则点B是AO的中点，∴BC=OD=1．故选B．8．A分析：连接OB，根据切线的性质和直角三角形的两锐角互余求得∠AOB=64°，再由等腰三角形的性质可得∠C=∠OBC，根据三角形外角的性质即可求得∠ACB的度数.详解：连接OB，∵AB与☉O相切于点B，∴∠OBA=90°，∵∠A=26°，∴∠AOB=90°-26°=64°，∵OB=OC，∴∠C=∠OBC，∴∠AOB=∠C+∠OBC=2∠C，∴∠C=32°.故选A.9．A因为△ABC ≌△A′BC ，所以AC 边扫过的图形中阴影部分的面积是一个圆环的面积，即=20πcm²，故选A ．10．D以下命题：①直径相等的圆是等圆，正确； ②长度相等弧是等弧，错误，只有在同圆或等圆中长度相等的弧是等弧；③相等的弦所对的弧也相等，错误；④圆的对称轴是直径，错误，应该是直径所在的直线；⑤相等的圆周角所对的弧相等，错误；所以正确的只有1个，故选D.11．56． 试题分析：如图，过点O 作OF ⊥AB 于点F ，设弦AB 与直径CD 相交于点E ，连接OB ，∵分直径成3和11两部分，∴CD=14，∴OC=12CD=7，∴OE=OC ﹣CE=4，∵∠OE F=30°，∴OF=12OE=2（cm ），∴BF=22OB OF =35，∴AB=2BF=56．故答案为：56．12．36°试题解析：连结OA 、OB ．设∠AOB=n°．∵的长为2π，∴=2π，∴n=40，∴∠AOB=40°，∴∠ACB=∠AOB=20°．．13．258如图所示：连接OD、BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴BD⊥AC，又∵AB=BC，∴AD=CD，又∵AO=OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥BC，∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD，∴DE⊥BC，∵CD=5，CE=4，22543，∵S△BCD=BD•CD÷2=BC•DE÷2，∴5BD=3BC，∴BD＝35 BC，∵BD2+CD2=BC2，∴(35BC )2+52＝BC 2，解得BC=254，∵AB=BC，∴AB=254，∴⊙O 的半径是： 254÷2＝258．故答案是： 258．14．110°解析：∵四边形ABCD 内接于圆O ，∠B=110°，∴∠ADC=180°−∠B=70°，∴∠ADE=180°−∠ADC=110°.故答案为：110°.15．412试题分析：解：连接BC ，∵AB 为⊙O 直径，∴∠ACB ＝90°，∴BC 22AB AC -22108-＝6，∵BD 切⊙O 于点B ，∴∠DBA ＝90°，∴∠ABC ＋∠DBC ＝90°，∵∠A ＋∠ABC ＝90°，∴∠A ＝∠DBC ，又∠ACB ＝∠BCD ＝90°，∴△ACB ∽△BCD ，∴AC BC BC DC=， ∴DC ＝2BC AC ＝268＝4.5． 故答案为4.5．点拨：此题主要考查了切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质和勾股定理的综合应用，题目有一定的综合性，找出其中的相似三角形是解决此题的关键．16．⊙O 内，⊙O 上，⊙O 外试题分析：点到圆心的距离为d ，圆半径为r ：当r d >时，点在圆外；当r d =时，点在圆上；当r d <时，点在圆内.由题意得⊙O 的半径cm r 428=÷=ππ若PO=2cm,则点P 在⊙O 内；若PO=4cm,则点P 在⊙O 上；若PO=6cm ,则点P 在⊙O 外.考点：点与圆的位置关系17．3分析：根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长是6π，列出方程求解即可．详解：半径为9cm 、圆心角为120°的扇形弧长是：=6π，设圆锥的底面半径是r ，则2πr=6π，解得：r=3cm ．这个圆锥形冰淇淋的底面半径是3cm ．故答案为：3.点拨：本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键． 18．65π试题分析：∵圆锥的底面半径、高和母线长组成直角三角形，且圆锥的高为12cm ，底面半径为5cm ， ∴根据勾股定理，圆锥的母线长为：13cm 。
苏科版九年级数学上册第二章《圆》单元测试【含答案】
苏科版九年级数学上册第二章《圆》单元测试1．若正多边形的一个外角为60º，则这个正多边形的中心角的度数是（）A．30° B．60° C．90° D．120°2．下列说法中，结论错误的是（）A．直径相等的两个圆是等圆B．三角形的外心是这个三角形三条角平分线的交点C．圆中最长的弦是直径D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧3．已知⊙O的半径为4cm，A为线段OP的中点，当OP=6cm时，点A与⊙O的位置关系是（）A．A在⊙O内B．A在⊙O上C．A在⊙O外D．不能确定4．下面说法正确的是（）A．三点确定一个圆B．外心在三角形的内部C．平分弦的直径垂直于弦D．垂直于弦的直径平分弦5．下列说法：①三角形的外心到三角形三边的距离相等．②在直径为20的圆中，长为10的弦所对圆心角是30°③垂直平分弦的直线必经过圆心④平分弦的直径垂直于弦⑤等弧所对的圆周角相等其中正确的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个6．已知⊙O的半径为6cm，当OA=32cm时，点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在⊙O内B．点A在⊙O上C．点A在⊙O外D．不能确定7．如图，以Rt△ABC的顶点A为圆心，斜边AB的长为半径作⊙A，则点C与⊙A的位置关系是（）A．点C在⊙A内B．点C在⊙A上C．点C在⊙A外D．不能确定8．⊙O的半径R=5cm，点P与圆心O的距离OP=3cm，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．不确定9．在平面直角坐标系中，若⊙O的半径是5，圆心O的坐标是（0，0），点P的坐标是（4，3），则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．不能确定10．如图，⊙O的半径为5cm，直线l到点O的距离OM=3cm，点A在l上，AM=3.8cm，则点A与⊙O的位置关系是（）A．在⊙O内B．在⊙O上C．在⊙O外D．以上都有可能二、填空题11．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD 的长为。
2021年苏科版九年级数学上册《第2章 对称图形——圆》单元检测卷含答案
九年级上册数学《第2章对称图形——圆》单元测试卷一．选择题1．如图，⊙O的弦AB＝6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为（）A．2B．3C．4D．52．在直径为20cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油槽面宽AB＝16cm，则油的最大深度为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm3．经过不在同一直线上的三个点可以作圆的个数是（）A．1B．2C．3D．无数4．如图，四边形A BCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140°，则∠AOC的大小是（）A．100°B．80°C．60°D．40°5．在⊙O中，弦AB和CD相交于P，且AB⊥CD，如果AP＝4，PB＝4，CP＝2，那么⊙O 的直径为（）A．4B．5C．8D．106．已知⊙O的直径为6，点P到圆心O的距离为4，则点P在（）A．⊙O内B．⊙O外C．⊙O上D．无法确定7．如图，A，B，C是⊙O上的三点，AB，AC的圆心O的两侧，若∠ABO＝20°，∠ACO ＝30°，则∠BOC的度数为（）A．100°B．110°C．125°D．130°8．已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB＝a＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB＝AB＝a，DC的延长线交圆O于点E，则AE 的长为（）A．B．1C．D．a9．如图，已知⊙O的半径为3，弦C D＝4，A为⊙O上一动点（点A与点C、D不重合），连接AO并延长交CD于点E，交⊙O于点B，P为CD上一点，当∠APB＝120°时，则AP•BP的最大值为（）A．4B．6C．8D．1210．已知⊙O1，⊙O2，⊙O3是等圆，△A BP内接于⊙O1，点C，E分别在⊙O2，⊙O3上．如图，①以C为圆心，AP长为半径作弧交⊙O2于点D，连接CD；②以E为圆心，BP长为半径作弧交⊙O3于点F，连接EF；下面有四个结论：①CD+EF＝AB②③∠CO2D+∠EO3F＝∠AO1B④∠CDO2+∠EFO3＝∠P所有正确结论的序号是（）A．①②③④B．①②③C．②④D．②③④二．填空题11．在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度AB是cm．12．一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为cm．13．如图，已知⊙O中，弦AB、CD交于P，AP＝PB＝4，CP＝2，则CD＝．14．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为．15．在平面直角坐标系中有A，B，C三点，A（1，3），B（3，3），C（5，1）．现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为．16．如图，⊙O的半径为6，△OAB的面积为18，点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，P点有个．17．如图，A B是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交⊙O于点D．若CD＝1，AB＝4，则⊙O的半径是．18．如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A、∠C的度数之比为4：5，则∠C的度数是．19．如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作△ABC的外接圆，则的长等于．20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果＝，则∠ACD的度数是．三．解答题21．如图，两个同心圆的圆心为O，大圆的弦AB交小圆于C、D，求证：AC＝BD．22．如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m，即PN＝4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施．23．如图所示，⊙O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）求CD的长．24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC、BD相交于点E．（1）如图1，若AC＝BD，求证：AE＝DE；（2）如图2，若AC⊥BD，连接OC，求证：∠OCD＝∠ACB．25．已知⊙O经过四边形ABCD的B、D两点，并与四条边分别交于点E、F、G、H，且＝．（1）如图①，连接BD，若B D是⊙O的直径，求证：∠A＝∠C；（2）如图②，若的度数为θ，∠A＝α，∠C＝β，请直接写出θ、α和β之间的数量关系．26．在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝22.5°，点P为线段BC上一动点，当点P运动到某一位置时，它到点A，B的距离都等于a，到点P的距离等于a的所有点组成的图形为W，点D为线段BC延长线上一点，且点D到点A的距离也等于a．（1）求直线DA与图形W的公共点的个数；（2）过点A作AE⊥BD交图形W于点E，EP的延长线交AB于点F，当a＝2时，求线段EF的长．27．如图，已知圆O，弦AB、CD相交于点M．（1）求证：AM•MB＝CM•MD；（2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM＝2，求AM•MB的值．参考答案与试题解析一．选择题1．解：根据直线外一点到直线的线段中，垂线段最短，知：当OM⊥AB时，为最小值4，连接OA，根据垂径定理，得：BM＝AB＝3，根据勾股定理，得：OA＝＝5，即⊙O的半径为5．故选：D．2．解：过圆心O向AB作垂线，交AB于点C．根据勾股定理可得OC＝＝6．所以油的最大深度为10﹣6＝4（cm）．故选：A．3．解：经过不在同一直线上的三点确定一个圆．故选：A．4．解：∵四边形ABC D内接于⊙O，∴∠B+∠ADC＝180°，又∠ADC＝140°，∴∠B＝40°，由圆周角定理得，∠AOC＝2∠B＝80°，故选：B．5．解：∵AB⊥CD，AP＝PB＝4，∴C D为⊙O的直径，由相交弦定理得，PA•PB＝PC•PD，即2PD＝16，解得，PD＝8，∴CD＝10，6．解：∵⊙O的直径为6，∴⊙O的半径为3，∵点P到圆心O的距离为4，∴4＞3，∴点P在⊙O外．故选：B．7．解：过A作⊙O的直径，交⊙O于D．在△OAB中，OA＝OB，则∠BOD＝∠ABO+∠OAB＝2×20°＝40°，同理可得：∠COD＝∠ACO+∠OAC＝2×30°＝60°，故∠BOC＝∠BOD+∠COD＝100°．故选：A．8．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝BD＝a，∠CAB＝∠ACB＝60°；∵AB＝BD，∴，∴∠AED＝∠AOB；∵BC＝AB＝BD，∴∠D＝∠BCD；∵四边形EABD内接于⊙O，∴∠EAB+∠D＝180°，即∠EAC+60°+∠D＝180°；又∵∠ECA+60°+∠BCD＝180°，∴∠ECA＝∠EAC，即△EAC是等腰三角形；在等腰△EAC和等腰△OAB中，∠AEC＝∠AOB，∴△EAC≌△OAB；∴AE＝OA＝1．故选：B．9．解：延长AP交⊙O于T，连接BT．设PC＝x．∵AB是直径，∴∠ATB＝90°，∵∠APB＝120°，∴∠BPT＝60°，∴PT＝PB•cos60°＝PB，∵PA•PB＝2PA•PT＝2PC•PD＝2x•（4﹣x）＝﹣2（x﹣2）2+8，∵﹣2＜0，∴x＝2时，PA•PB的最大值为8，故选：C．10．解：由题意得，AP＝CD，BP＝EF，∵AP+BP＞AB，∴CD+EF＞AB；∵⊙O1，⊙O2，⊙O3是等圆，∴＝，＝，∵+＝，∴+＝；∴∠CO2D＝∠AO1P，∠EO3F＝∠BO1P，∵∠AO1P+∠BO1P＝∠AO1P，∴∠CO2D+∠EO3F＝∠AO1B；∵∠CDO2＝∠APO1，∠BPO1＝∠EFO3，∵∠P＝∠APO1+∠BPO1，∴∠CDO2+∠EFO3＝∠P，∴正确结论的序号是②③④，故选：D．二．填空题11．解：连接OC、OA．则OC⊥AB于点D，OC＝OA＝×52＝26cm，OD＝OC﹣CD＝26﹣16＝10cm．在直角△OAD中，AD＝＝＝24（cm），则AB＝2AD＝48cm．故答案是：48．12．解：设弧所在圆的半径为r，由题意得，，解得，r＝40cm．故应填40．13．解：∵弦AB、CD交于P，∴PA•PB＝PC•PD，∴4×4＝2×PD，解得，PD＝8，∴CD＝PC+PD＝10，故答案为：10．14．解：如图，∵AE⊥BE，∴点E在以AB为直径的半⊙O上，连接C O交⊙O于点E′，∴当点E位于点E′位置时，线段CE取得最小值，∵AB＝4，∴OA＝OB＝OE′＝2，∵BC＝6，∴OC＝＝＝2，则CE′＝OC﹣OE′＝2﹣2，故答案为：2﹣2．15．解：∵A（1，3），B（3，3），C（5，1）不在同一直线上∴经过点A，B，C可以确定一个圆∴该圆圆心必在线段AB的垂直平分线上∴设圆心坐标为M（2，m）则点M在线段BC的垂直平分线上∴MB＝MC由勾股定理得：＝∴1+m2﹣6m+9＝9+m2﹣2m+1∴m＝0∴圆心坐标为M（2，0）故答案为：（2，0）．16．解：解法一：过O作OC⊥AB于C，则AC＝BC，设OC＝x，AC＝y，∵AB是⊙O的一条弦，⊙O的半径为6，∴AB≤12，∵△OAB的面积为18，∴，则y＝，∴，解得x＝3或﹣3（舍），∴OC＝3＞4，∴4＜OP≤6，∵点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，OP＝5或6，P点有4个．解法二：设△AOB中OA边上的高为h，则，即，∴h＝6，∵OB＝6，∴OA⊥OB，即∠AOB＝90°，∴AB＝6，图中OC＝3，同理得：点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，OP＝5或6，P点有4个．故答案为：4．17．解：连接OA，∵C是AB的中点，∴AC＝AB＝2，OC⊥AB，∴OA2＝OC2+AC2，即OA2＝（OA﹣1）2+22，解得，OA＝，故答案为：．18．解：∵∠A、∠C的度数之比为4：5，∴设∠A＝4x，则∠C＝5x．∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，即4x+5x＝180°，解得x＝20°，∴∠C＝100°．故答案为：100°．19．解：∵每个小方格都是边长为1的正方形，∴AB＝2，AC＝，BC＝，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ACB为等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝45°，∴连接OC，则∠COB＝90°，∵OB＝，∴的长为：＝π，故答案为：π．20．解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴＝，∵＝，∴＝＝，即、、的度数是＝120°，∴∠ACD＝°＝60°，故答案为：60°．三．解答题21．证明：过O作OE⊥AB于E，则OE⊥CD，∵OE过O，∴由垂径定理得：AE＝BE，CE＝DE，∴AE﹣CE＝BE﹣DE，即AC＝BD．22．解：设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，设半径为x米，则OA＝OA′＝OP，由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，∵AB＝60米，∴AM＝30米，且OM＝OP﹣PM＝（x﹣18）米，在Rt△AOM中，由勾股定理可得AO2＝OM2+AM2，即x2＝（x﹣18）2+302，解得x＝34，∴ON＝OP﹣PN＝34﹣4＝30（米），在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N＝＝＝16（米），∴A′B′＝32米＞30米，∴不需要采取紧急措施．23．（1）证明：连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，由圆周角定理得，∠AOD＝2∠ACD，∠BOD＝2∠BCD，∴∠AOD＝∠BOD，∴DA＝DB，即△ABD是等腰三角形；（2）解：作AE⊥CD于E，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD＝AB＝5，∵AE⊥CD，∠ACE＝45°，∴AE＝CE＝AC＝3，在Rt△AED中，DE＝＝4，∴CD＝CE+DE＝3+4＝7．24．证明：（1）∵AC＝BD，∴＝，即+＝+，∴＝，∴∠ADB＝∠CAD，∴AE＝DE；（2）作直径CF，连接DF，如图2，∵AC⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠ADE+∠CAD＝90°，∵∠ACB＝∠ADE，∠F＝∠CAD，∴∠ACB+∠F＝90°，∵CF为直径，∴∠CDF＝90°，∴∠F+∠FCD＝90°，∴∠ACB＝∠FCD，即∠OCD＝∠ACB．25．解：（1）连接DF、DG．∵B D是⊙O的直径，∴∠DFB＝∠DGB＝90°，∵＝，∴∠EDF＝∠HDG，∵∠DFB＝∠EDF+∠A，∠DGB＝∠HDG+∠C，∴∠A＝∠C．（2）结论：α+β+θ＝180°．理由：如图②中，连接DF，BH．∵＝，∴∠ADF＝∠HB G＝θ，∵∠AFD+∠DFB＝180°，∠DFB+∠DHB＝180°，∴∠AFD＝∠DHB，∵∠A+∠ADF+∠AFD＝180°，∠AFD＝∠DHB＝∠C+∠HBG，∴∠A+θ+∠C+θ＝180°，∴α+β+θ＝180°．26．解：（1）直线DA与图形W的公共点的个数为1个；∵点P到点A，B的距离都等于a，∴点P为AB的中垂线与BC的交点，∵到点P的距离等于a的所有点组成图形W，∴图形W是以点P为圆心，a为半径的圆，根据题意补全图形如图所示，连接AP，∵∠B＝22.5°，∴∠APD＝45°，∵点D到点A的距离也等于a，∴DA＝AP＝a，∴∠D＝∠APD＝45°，∴∠PAD＝90°，∴DA⊥PA，∴DA为⊙P的切线，∴直线DA与图形W的公共点的个数为1个；（2）∵AP＝BP，∴∠BAP＝∠B＝22.5°，∵∠BAC＝90°，∴∠PAC＝∠PCA＝67.5°，∴PA＝PC＝a，∴点C在⊙P上，∵AE⊥BD交图形W于点E，∴＝，∴AC＝CE，∴∠DPE＝∠APD＝45°，∴∠APE＝90°，∵EP＝AP＝a＝2，∴AE＝，∠E＝45°，∵∠B＝22.5°，AE⊥BD，∴∠BAE＝67.5°，∴∠AFE＝∠BAE＝67.5°．∴EF＝AE＝．27．解：（1）∵∠A＝∠C，∠D＝∠B，∴△ADM∽△CBM∴，即AM•MB＝CM•MD．（2）连接OM、OC．∵M为CD中点，∴OM⊥CD在Rt△OMC中，∵OC＝3，OM＝2∴CM＝DM＝，由（1）知AM•MB＝CM•MD．∴AM•MB＝•＝5．1、三人行，必有我师。
2023-2024学年九年级数学上册《第二十四章 圆》单元测试卷有答案(人教版)
2023-2024学年九年级数学上册《第二十四章圆》单元测试卷有答案(人教版)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________知识点归纳1、圆在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。
固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”。
连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
小于半圆的弧叫做劣弧。
大于半圆的弧叫做优弧。
能够重合的两个圆叫做等圆。
在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧。
2、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．3、弧、弦、圆心角之间的关系定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。
注：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弦，两条弧、两个弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量也分别相等4、圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。
5、点和圆的位置关系设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为OP=d ，则有：点P 在圆外⇔d ＞r ；点P 在圆上⇔d=r ；点P 在圆内⇔d ＜r 。
性质：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。