天津市和平区2016-2017学年高二(上)期末数学试卷(解析版)(文科)

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天津市和平区2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含解析

和平区2017-2018学年度第一学期高二年级数学（理）学科期末质量调查试卷一、选择题：本大题共8个小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 的离心率为”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵，∴“”是“双曲线”的充要条件。

选C。

2. 在空间直角坐标系中，已知（）C.【答案】B【解析】由空间中两点间的距离公式得选B。

3. ，则双曲线的标准方程为（）【答案】A【解析】设双曲线的方程为双曲线的标准方程为 A.4. 若双曲线（）的离心力为，则该双曲线的渐近线方程为（）B.【答案】C，则离心率则双曲线的渐近线方程为 C.5. 的焦点是椭圆的一个焦点，则椭圆的离心率为（）【答案】BB.6. ，则（）【答案】D【解析】∴∥D。

7. 平分，则这条弦所在的直线方程是（）B.【答案】C【解析】设这条弦的两端点为，可得的直线方程为 C.【方法点睛】本题主要考查待定点斜式求直线的方程及“点差法”的应用，属于难题 . 对于有弦关中点问题常用“点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.8. ）为长轴的两个端点，若在椭圆上存在，则离心率的取值范围为（）B.【答案】A【解析】，故选A.【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率的范围，属于中档题 . 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.关于的不等式，最后解出的范围.二、填空题（每题6分，满分24分，将答案填在答题纸上）9. ）的左焦点在抛物线的准线上，__________．【答案】4的左焦点的准线上，可得，解得，故答案为.10. 的直线经过椭圆两点，则的长为__________．【答案】【解析】椭圆代入椭圆方程，可得，故答案为11. 已知抛物线的焦点为，准线为直线，过抛物线上一点，，若__________．【答案】【解析】由抛物线，代入抛物线的方程可得，，故答案为.12. 的值为__________．【答案】0【解析】∴。

天津市五区县1617学年度高二上学期期末考试(图片)——数学文数学文

天津市部分区2016～2017学年度第一学期期末考试高二数学（理科）试卷参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11． 12． 13． 14．1 15. 13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）解：（1）解法一：设圆的方程为 222()()x a y a r -+-=（）．依题意得222222(3),(3)(2),a a r a a r ⎧+-=⎨-+-=⎩ ……………………………………………………3分解得，，所以圆的方程为． …………………………………………6分解法二：依题意易得线段的中垂线方程为．…………………………………3分联立方程组解得所以圆心，所以圆的方程为．………………………………………6分（2）直线的倾斜角为∴ ………………………………………8分∴可设直线的方程为由（Ⅰ）可知圆心到直线的距离………………………………………11分解得∴直线的方程为 ………………………………………12分17．（12分）解：（1）5,3,4AC CB AB ===∴∴………………2分又四边形是矩形∴………………3分又∴平面又平面∴平面平面 ………………………………………6分（2）取的中点，连结，∴为正三角形∴ …………………………8分由（Ⅰ）可知平面平面∴平面平面又平面平面∴平面∴是在平面上的投影∴是直线与平面所成的角 …………………………10分在中，1A D CD ==∴11tan A D ACD CD ∠== ∴直线与平面所成角的正切值为. …………………………12分18．（12分）解：（1）抛物线的准线方程为：由抛物线的定义可知：∴∴抛物线的标准方程为． …………………………………………4分（2）由已知，，直线的方程为，……………………6分联立消得：，所以 ……………………………8分所以， …………………10分又因为到直线的距离，所以1822OMN S ∆=⨯= ． ……………………………………12分 19．（12分）解：（1）连接交于，连接四边形为矩形∴为的中点，又是中点 ∴， ∴ （2）如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系,依题意得，，，，，，， ………………………………………………4分易得， …………………5分cos ,||||CE AP CE AP CE AP ⋅<>==-⋅ ………………………6分 ∴所求异面直线与所成角的余弦值为………………………7分（3）由题意可知：平面的一个法向量为 …………………………8分又可解得1(1,2,0),(0,1,)2AC AP ==故设平面的一个法向量为则00n AC n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20102x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩不妨令，可得 ……10分于是2cos ,3||||AB n AB n AB n ⋅<>==⋅ 所以二面角的余弦值为 …………………………12分20．（12分）解： (1)由题意可知： …………………………1分 …………………………2分∴∴∴椭圆的方程为： ……………………………3分(2) 设点，由方程组2210132x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去，整理得 ………………4分求解可得， ………………………………5分AB ==………………………………6分（3）由方程组2222101x y x y ab +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去，整理得222222()2(1)0a b x a x a b +-+-=设点，222222(2)4()(1)0a a b a b =--+⋅->， ……………………………7分以为直径的圆经过坐标原点，∴∴121212122()10x x y y x x x x +=-++=∴① ……………………………8分又 ∴由①可知 ………………………………10分∴∴ ∴ ……………………………12分。

2015-2016学年天津市和平区高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)

2015-2016学年天津市和平区高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）若i为虚数单位，则等于（）A．+i B．2i C．i D．i2．（4分）已知命题p：∀x∈R（x≠0），x+≥2，则￢p为（）A．∃x0∈R（x0≠0），x0+≤2B．∃x0∈R（x0≠0），x0+＜2C．∀x∈R（x≠0），x+≤2D．∀x∈R（x≠0），x+＜23．（4分）过点（﹣2，3），且与直线3x﹣4y+5＝0垂直的直线方程是（）A．3x﹣4y+18＝0B．4x+3y﹣1＝0C．4x﹣3y+17＝0D．4x+3y+1＝0 4．（4分）设x∈R，则“|x﹣1|＜2”是“0＜x+1＜5”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（4分）已知a，b，c满足a＜b＜c，且ac＜0，则下列不等关系中不满足恒成立条件的是（）A．＞0B．＜C．＜0D．＜6．（4分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的S的值为（）A．﹣1B．C．D．47．（4分）若平面α，β，满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中的假命题为（）A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面βB．过点P在平面α内作垂直于l的直线必垂直于平面βC．过点P垂直于平面β的直线在平面α内D．过点P垂直于直线l的直线在平面α内8．（4分）若函数f（x）＝x3﹣3ax+b（a＞0）的极大值为6，极小值为2，则f（x）的单调递减区间为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）9．（4分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）与抛物线y2＝﹣8x有相同的焦点，且双曲线过点M（3，），则双曲线的方程为（）A．﹣y2＝1B．﹣＝1C．x2﹣＝1D．﹣＝110．（4分）已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集为（1，2），则关于x的一元二次不等式cx2+bx+a＜0的解集为（）A．（1，2）B．（﹣2，﹣1）C．（，1）D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）二.填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11．（4分）一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3．12．（4分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为．13．（4分）已知圆C的圆心为（2，﹣2），且圆C上的点到y轴的最小距离是1，则圆C的方程为．14．（4分）曲线y＝x3﹣2x+4在点（1，3）处的切线方程．15．（4分）如图，将正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第20行从左向右的第2个数为．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（6分）设直线l：y＝﹣x+，圆O：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0，求直线l被圆O所截得的弦长．17．（8分）某车间生产甲、乙两种产品．已知生产甲产品1桶需要A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需要A原料3千克、B原料1千克．生产计划中规定每天消耗的A 原料不超过21千克、B原料不超过12千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，每天生产甲、乙产品各多少桶可以获得最大利润？最大利润是多少元？18．（8分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D、E分别为BC、B1C1的中点，且AB ＝AA1＝2．（1）求证：A1E⊥C1D；（2）求证：A1E∥平面AC1D；（3）求直线AC1与平面BCC1B1所成角的余弦值．19．（8分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）经过点A（2，3），且右焦点为F（2，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）设坐标原点为O，平行于OA的直线l与椭圆C有公共点，且OA与l的距离等于，求直线l的方程．20．（10分）设函数f（x）＝﹣x3+x2+2ax，x∈R．（1）当a＝﹣1时，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）在（，+∞）内存在单调递增区间，求a的取值范围；（3）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]上的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值．2015-2016学年天津市和平区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）若i为虚数单位，则等于（）A．+i B．2i C．i D．i【解答】解：＝，故选：C．2．（4分）已知命题p：∀x∈R（x≠0），x+≥2，则￢p为（）A．∃x0∈R（x0≠0），x0+≤2B．∃x0∈R（x0≠0），x0+＜2C．∀x∈R（x≠0），x+≤2D．∀x∈R（x≠0），x+＜2【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定是特称命题，则￢p：∃x0∈R（x0≠0），x0+＜2，故选：B．3．（4分）过点（﹣2，3），且与直线3x﹣4y+5＝0垂直的直线方程是（）A．3x﹣4y+18＝0B．4x+3y﹣1＝0C．4x﹣3y+17＝0D．4x+3y+1＝0【解答】解：∵直线3x﹣4y+5＝0的斜率为：，∴与之垂直的直线的斜率为：﹣，∴所求直线的方程为y﹣3＝﹣（x+2），化为一般式可得4x+3y﹣1＝0，故选：B．4．（4分）设x∈R，则“|x﹣1|＜2”是“0＜x+1＜5”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由|x﹣1|＜2得﹣2＜x﹣1＜2即﹣1＜x＜3，由0＜x+1＜5得﹣1＜x＜4，即“|x﹣1|＜2”是“0＜x+1＜5”的充分不必要条件，故选：A．5．（4分）已知a，b，c满足a＜b＜c，且ac＜0，则下列不等关系中不满足恒成立条件的是（）A．＞0B．＜C．＜0D．＜【解答】解：∵a＜b＜c，且ac＜0，∴a＜0，c＞0，∴由b﹣c＜0得：＞0恒成立，由a＜b得：＜＞0恒成立，由c﹣a＞0得：＜0恒成立，但＜不一定恒成立，故选：D．6．（4分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的S的值为（）A．﹣1B．C．D．4【解答】解：模拟执行程序，可得S＝﹣1，i＝1满足条件i＜15，执行循环体，S＝，i＝2满足条件i＜15，执行循环体，S＝，i＝3满足条件i＜15，执行循环体，S＝4，i＝4满足条件i＜15，执行循环体，S＝﹣1，i＝5…观察规律可知，S的取值周期为4，由于15＝4×3+3，可得：满足条件i＜15，执行循环体，S＝，i＝15不满足条件i＜15，退出循环，输出S的值为．故选：C．7．（4分）若平面α，β，满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中的假命题为（）A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面βB．过点P在平面α内作垂直于l的直线必垂直于平面βC．过点P垂直于平面β的直线在平面α内D．过点P垂直于直线l的直线在平面α内【解答】解：过点P且垂直于α的直线一定平行于在β内与交线垂直的直线，故A正确；由题意和面面垂直的判定定理知，选项B正确；由题意和面面垂直的性质定理知，选项B正确过点P且垂直于l的直线有可能垂直于α，D不正确；故选：D．8．（4分）若函数f（x）＝x3﹣3ax+b（a＞0）的极大值为6，极小值为2，则f（x）的单调递减区间为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）【解答】解：：令f′（x）＝3x2﹣3a＝0，得x＝±，令f′（x）＞0得x＞或x＜﹣；令f′（x）＜0得﹣＜x＜．即x＝﹣取极大，x＝取极小．∵函数f（x）＝x3﹣3ax+b（a＞0）的极大值为6，极小值为2，∴f（）＝2，f（﹣）＝6，即a﹣3a+b＝2且﹣a+3a+b＝6，得a＝1，b＝4，则f′（x）＝3x2﹣3，由f′（x）＜0得﹣1＜x＜1．则减区间为（﹣1，1）．故选：B．9．（4分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）与抛物线y2＝﹣8x有相同的焦点，且双曲线过点M（3，），则双曲线的方程为（）A．﹣y2＝1B．﹣＝1C．x2﹣＝1D．﹣＝1【解答】解：抛物线y2＝﹣8x的焦点坐标为（﹣2，0），即c＝2，则双曲线的两个焦点坐标为A（2，0），B（﹣2，0），∵双曲线过点M（3，），∴2a＝|BM|﹣|AM|＝﹣＝﹣＝2，则a＝，则b2＝c2﹣a2＝4﹣3＝1，则双曲线的方程为﹣y2＝1，故选：A．10．（4分）已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集为（1，2），则关于x的一元二次不等式cx2+bx+a＜0的解集为（）A．（1，2）B．（﹣2，﹣1）C．（，1）D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＜0的解集为（1，2），∴﹣＝1+2＝3，＝1×2，且a＞0，∴b＝﹣3a，c＝2a，∴不等式cx2+bx+a＜0可化为2ax2﹣3ax+a＜0，即可化为2x2﹣3x+1＜0，即为（2x﹣1）（x ﹣1）＜0，解得＜x＜1，故不等式的解集为（，1），故选：C．二.填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11．（4分）一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为64cm3．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是上部为正四棱锥，下部为正四棱柱的组合体，如图所示，长方体的长为5，宽为4，高为3，∴该组合体的体积为V＝×4×4×3+4×4×3＝64．故答案为：64．12．（4分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为．【解答】解：在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，连结A1B，根据四棱柱的性质A1B∥CD1设AB＝1，则：AA1＝2AB＝2，∵E为AA1的中点，∴AE＝1，，BE＝在△A1BE中，利用余弦定理求得：＝即异面直线BE与CD1所成角的余弦值为：故答案为：13．（4分）已知圆C的圆心为（2，﹣2），且圆C上的点到y轴的最小距离是1，则圆C的方程为（x﹣2）2+（y+2）2＝1．【解答】解：由题意圆C上的点到y轴的最小距离是1，得：圆的半径r＝1，∵圆C的圆心为（2，﹣2），∴圆的标准方程为（x﹣2）2+（y+2）2＝1．故答案为：（x﹣2）2+（y+2）2＝1．14．（4分）曲线y＝x3﹣2x+4在点（1，3）处的切线方程x﹣y+2＝0．【解答】解：y＝x3﹣2x+4的导数为：y＝3x2﹣2，将点（1，3）的坐标代入，即可得斜率为：k＝1，∴曲线y＝x3﹣2x+4在点（1，3）处的切线方程为y﹣3＝x﹣1，即x﹣y+2＝0．故答案为：x﹣y+2＝0．15．（4分）如图，将正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第20行从左向右的第2个数为192．【解答】解：由排列的规律可得，第n﹣1行结束的时候排了1+2+3+…+n﹣1＝n（n﹣1）个数．所以第n行从左向右的第2个数n（n﹣1）+2，所以第20行从左向右的第2个数为＝192，故答案为：192．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（6分）设直线l：y＝﹣x+，圆O：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0，求直线l被圆O所截得的弦长．【解答】解：∵直线l：y＝﹣x+，∴直线l的一般形式为：3x+4y﹣5＝0，圆O的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4，则圆心O（2，1）到直线l的距离：d＝＝1，圆O的半径r＝2，故半弦长为＝，∴直线l被圆O所截得的弦长为2．17．（8分）某车间生产甲、乙两种产品．已知生产甲产品1桶需要A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需要A原料3千克、B原料1千克．生产计划中规定每天消耗的A 原料不超过21千克、B原料不超过12千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，每天生产甲、乙产品各多少桶可以获得最大利润？最大利润是多少元？【解答】解：设分别生产甲乙两种产品为x桶，y桶，利润为z，则根据题意可得，z＝300x+400y．作出不等式组表示的平面区域，如图所示．作直线L：3x+4y＝0，然后把直线向可行域平移，由，可得x＝3，y＝6，此时z最大，最大值为z＝300×3+400×6＝3300（元）．则每天生产甲产品3桶，乙产品6桶，可以获得最大利润3300元．18．（8分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D、E分别为BC、B1C1的中点，且AB ＝AA1＝2．（1）求证：A1E⊥C1D；（2）求证：A1E∥平面AC1D；（3）求直线AC1与平面BCC1B1所成角的余弦值．【解答】（1）证明：在如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面A1B1C1，A1E⊂平面A1B1C1，∴CC1⊥A1E，则在三角形A1B1C1中，E为B1C1的中点，则A1E⊥B1C1，∵CC1∩B1C1＝C1，∴A1E⊥平面BCC1B1，∵C1D⊂平面BCC1B1，∴A1E⊥C1D；（2）连接DE，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形BCC1B1是矩形，点D、E分别为BC、B1C1的中点，∴BB1∥DE，且BB1＝DE∵BB1∥AA1，且BB1＝AA1，∴AA1∥DE，且AA1＝DE，即四边形ADEA1，为平行四边形．∴A1E∥AD，∵AD⊂平面AC1D，AE⊄平面AC1D，∴A1E∥平面AC1D；（3）∵AD∥A1E，∴A1E⊥面BB1C1C，∴AD⊥面BB1C1C，∴∠AC1D就是AC1与平面BB1C1C所成的角，在Rt△AC1D中，∠ADC1＝90°，DC1＝，AC1＝2，cos∠AC1D＝＝．即所求角的余弦值为．19．（8分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）经过点A（2，3），且右焦点为F（2，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）设坐标原点为O，平行于OA的直线l与椭圆C有公共点，且OA与l的距离等于，求直线l的方程．【解答】解：（1）依题意设椭圆C的方程为+＝1（a＞b＞0）且可知左焦点为F′（﹣2，0），|AF|＝＝3，|AF′|＝＝5，从而有c＝2，2a＝|AF|+|AF′|＝8，解得a＝4，c＝2，又a2＝b2+c2，所以b2＝12，故椭圆C的方程为＝1．（2）∵k OA＝，∴平行于OA的直线l的方程为y＝x+t，联立直线与椭圆方程，得3x2+3bx+t2﹣12＝0，∵平行于OA的直线l与椭圆有公共点，∴△＝9t2﹣12（t2﹣12）≥0，解得﹣4≤t≤4∵OA与l的距离等于，∴＝，∴t＝±∈[﹣4，4]∴直线l的方程为y＝x±．20．（10分）设函数f（x）＝﹣x3+x2+2ax，x∈R．（1）当a＝﹣1时，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）在（，+∞）内存在单调递增区间，求a的取值范围；（3）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]上的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值．【解答】解：（1）a＝﹣1时，f（x）＝）＝﹣x3+x2﹣2x，∵f′（x）＝﹣﹣＜0，∴f（x）在R递减；（2）由f′（x）＝﹣x2+x+2a＝0，解得：x1＝，x2＝，则极大值点是x2，令＞，解得：a＞﹣，∴a的范围是（﹣，+∞）；（3）由（2）得f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）递减，在（x1，x2）递增，当0＜a＜2时，x1∈（，0），x2∈（1，），故x1＜1＜x2＜4，∴f（x）在[1，4]上的最大值是f（x2），∵f（4）﹣f（1）＝﹣+6a＜0，∴f（x）在[1，4]上的最小值是f（4）＝﹣+8a＝﹣，解得：a＝1，x2＝2，∴f（x）在区间[1，4]上的最大值是f（2）＝．。

天津市五区县20162017学年高二上学期期末考试数学文试题Word版含答案

天津市部分区2016～2017学年度第一学期期末考试高二数学（文科）试卷参考答案一、选择题：1．B 2．D 3．A 4．B 5．D 6．C 7．C 8．A 9．C 10．B二、填空题：11．«Skip Record If...» 12．4 13．«Skip Record If...» 14．«Skip Record If...»15．«Skip Record If...»三、解答题：16．（本小题满分12分）（1）直线«Skip Record If...»的斜率为«Skip Record If...»«Skip Record If...»，…………………………………………………1分当«Skip Record If...»时，直线«Skip Record If...»与«Skip Record If...»轴垂直，显然不与直线«Skip Record If...»垂直，∴«Skip Record If...»，∴直线«Skip Record If...»的斜率为«Skip Record If...»«Skip Record If...»…………………………………………………3分∵«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»………………………………………………………………4分即«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»，解得«Skip Record If...»………………………………………………6分（2）由（1）知，«Skip Record If...»：«Skip Record If...»，«Skip Record If...»：«Skip Record If...»以上二方程联立«Skip Record If...»，解得«Skip Record If...»，即圆心坐标为«Skip Record If...»…………8分圆心到直线«Skip Record If...»的距离为«Skip Record If...» (10)分∴ 圆的半径为4 ……………………………………………………………………11分∴ 所求圆的方程为«Skip Record If...»……………………………………12分17．（本小题满分12分）（1）∵«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»，∴«Skip RecordIf...»…………………………………………2分又«Skip Record If...»……………………………………………………………………………………3分以上二式联立，解得«Skip Record If...»………………………………………………………5分∴ 椭圆«Skip Record If...»的方程«Skip Record If...»………………………………………………………6分（2）点«Skip Record If...»的坐标分别为«Skip Record If...»，∴直线«Skip Record If...»的斜率为«Skip Record If...»…………7分∵直线«Skip Record If...»与直线«Skip Record If...»平行，∴直线«Skip Record If...»的斜率为2，设直线«Skip Record If...»的方程为«Skip Record If...»……………8分与«Skip Record If...»联立消去«Skip Record If...»得«Skip Record If...»……………………………9分∵直线«Skip Record If...»与椭圆«Skip Record If...»相切∴«Skip Record If...»，解得«Skip Record If...»………11分∴直线«Skip Record If...»的方程为«Skip R ecord If...»．………………………………………………………12分18．（本小题满分12分）（1）∵«Skip Record If...»平面«Skip Record If...»，«Skip Record If...»平面«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»………………………2分∵«Skip Record If...»，«Skip Record If...»是平面«Skip Record If...»内的两条相交直线………………………4分∴«Skip Record If...»平面«Skip Record If...»∵«Skip Record If...»∥«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»，∴四边形«Skip Record If...»是平行四边形∴«Skip Record If...»∥«Skip Record If...»…………………………………………………………5分∴ «Skip Record If...»平面«Skip Record If...»……………………………………………………………6分（2）连接«Skip Record If...»，在直角«Skip Record If...»中，«Skip Record If...»，在直角梯形«Skip Record If...»中，«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»是边长为2的正三角形，取«Skip Record If...»中点«Skip Record If...»，连«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»且«Skip Record If...» (7)分∵«Skip Record If...»平面«Skip Record If...»，«Skip Record If...»平面«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»∵«Skip Record If...»是平面«Skip Record If...»内的两条相交直线，∴«Skip Record If...»平面«Skip Record If...»………………9分连«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»是直线«Skip Record If...»与平面«Skip Record If...»所成的角………………………10分在直角«Skip Record If...»中，«Skip Record If...»，在直角«Skip Record If...»中，«Skip Record If...»∴在直角«Skip Record If...»中，«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»«Skip Record If...»……………12分19．（本小题满分12分）（1）∵抛物线«Skip Record If...»的准线为«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»∴ 抛物线«Skip Record If...»的方程为«Skip Record If...»………………………………………………………2分∴ 抛物线«Skip Record If...»的焦点为«Skip Record If...»……………………………………………………3分过点«Skip Record If...»向准线«Skip Record If...»作垂线，垂足为«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，依题意«Skip Record If...»∴ «Skip Record If...»，∴直线«Skip Record If...»的倾斜角为«Skip Record If...»，即直线«Skip Record If...»的斜率为«Skip Record If...»…………5分（或：设点«Skip Record If...»的横坐标为«Skip Record If...»，∵«Skip Record If...»为线段«Skip Record If...»的中点，∴«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»，易知点«Skip Record If...»的纵坐标«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»的斜率为«Skip Record If...»………5分）∴ 直线«Skip Record If...»的方程为«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»…………………6分（2）由«Skip Record If...»解得«Skip Record If...»或«Skip Record If...»………………………8分即«Skip Record If...»………………………………………………10分∴«Skip Record If...»…………………………………12分20．（本小题满分12分）（1）当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，∴«Skip Record I f...»……………1分令«Skip Record If...»，解得«Skip Record If...»或«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»的变化情况如下表：…………4分«Skip Record If...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»2«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»+ 0 - 0 +«SkipRecordIf...»↗ 1 ↘-3 ↗∴«Skip Record If...»的单调递增区间为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，单调递减区间为«Skip Record If...»…………5分当«Skip Record If...»时，极大值为1，当«Skip Record If...»时，极小值为-3 ………………………………6分（2）方程«Skip Record If...»即方程«Skip Record If...»，∵«Skip Record If...»显然不是方程的根，∴«Skip Record If...»恰有一个实数根，即方程«Skip Record If...»恰有一个实数根……………8分令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，令«Skip Record If...»«Skip Record If...»由（1）可知，函数«Skip Record If...»的单调递增区间为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，单调递减区间为«Skip Record If...»………10分∵方程«Skip Record If...»恰有一个实数根，考虑到«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»或«Skip Record If...»即所求«Skip Record If...»的取值范围是«Skip Record If...»或«Skip Recor d If...»……………………………………………12分。

天津高二高中数学期末考试带答案解析

天津高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.命题“”的否定是（）A．B．C．D．2.如图，在正方体中，分别为的中点，则下列直线中与直线相交的是（）A．直线B．直线C．直线D．直线3.如图，在三棱柱中，为的中点，若，则可表示为（）A．B．C．D．4.直线与的位置关系是（）A．相离或相切B．相切C．相交D．相切或相交5.方程表示的曲线是（）A．一个圆和一条直线B．一个圆和一条射线C．一个圆D．一条直线6.设是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：（1）如果，那么.（2）如果，那么.（3）如果，那么.其中正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．37.条件；条件：直线与圆相切，则是的（）A．充分必要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件8.已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，是抛物线的一动点，到双曲线上的焦点的距离与到直线的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．二、填空题1.双曲线的实半轴长与虚轴长之比为__________．2.由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为__________．3.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是__________．4.如图，椭圆的左、右焦点分别为，过且斜率为的直线交椭圆于两点，若为直角三角形，则椭圆的离心率为__________．5.若关于的方程只有一个解，则实数的取值范围是__________．6.在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦的中点为，且满足，当取得最大值时，直线的方程是__________．三、解答题1.已知圆锥曲线.命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：圆锥曲线的离心率，若命题为真命题，求实数的取值范围.2.如图，四棱锥的底面为正方形，⊥底面，分别是的中点，.（Ⅰ）求证∥平面；（Ⅱ）求直线与平面所成的角；（Ⅲ）求四棱锥的外接球的体积.3.已知椭圆的半焦距为，原点到经过两点的直线的距离为.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过两点，求椭圆的方程.4.已知曲线在的上方，且曲线上的任意一点到点的距离比到直线的距离都小1. （Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）设，过点的直线与曲线相交于两点.①若是等边三角形，求实数的值；②若，求实数的取值范围.5.如图所示的多面体中，菱形，是矩形，⊥平面，，.（Ⅰ）异面直线与所成的角余弦值；（Ⅱ）求证平面⊥平面；（Ⅲ）在线段取一点，当二面角的大小为60°时，求.天津高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.命题“”的否定是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】特称命题的否定是把存在量词改为全称量词并否定结论，则应为.故本题正确答案为点睛:(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“”是真命题，需要对集合中的每个元素，证明成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合中的一个特殊值，使不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个，使成立即可，否则就是假命题.2.如图，在正方体中，分别为的中点，则下列直线中与直线相交的是（）A．直线B．直线C．直线D．直线【答案】D【解析】根据异面直线的概念可看出直线,,都和直线为异面直线;和在同一平面内,且这两直线不平行;直线和直线相交,即选项正确.3.如图，在三棱柱中，为的中点，若，则可表示为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】,故本题正确答案为4.直线与的位置关系是（）A．相离或相切B．相切C．相交D．相切或相交【答案】C【解析】由已知过定点，点在圆上.又直线过点且为圆的切线，又斜率存在，所以与圆一定相交. 故本题正确答案为5.方程表示的曲线是（）A．一个圆和一条直线B．一个圆和一条射线C．一个圆D．一条直线【答案】D【解析】由题意可化为或），在的右方，）不成立，，方程表示的曲线是一条直线.故本题正确答案为6.设是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：（1）如果，那么.（2）如果，那么.（3）如果，那么.其中正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】对于①，，则的位置关系无法确定，故错误；对于②,因为，所以过直线作平面与平面相交于直线，则c，因为 ,,，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；故本题正确答案为7.条件；条件：直线与圆相切，则是的（）A．充分必要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，则直线为，圆的圆心到直线的距离为，圆半径，所以，所以直线与圆相切；若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为，解得.故本题正确答案为8.已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，是抛物线的一动点，到双曲线上的焦点的距离与到直线的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】抛物线的焦点,双曲线的一条渐近线的方程为,抛物线的焦点F到双曲线的渐近线的距离为,到双曲线C的上焦点的距离与到直线的距离之和的最小值为,,双曲线的方程为故本题正确答案为二、填空题1.双曲线的实半轴长与虚轴长之比为__________．【答案】【解析】双曲线方程,双曲线的标准方程为: ,，该双曲线的实半轴长为,虚轴长为，.故本题正确答案为.2.由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为__________．【答案】【解析】从题意看出，切线长、直线上的点到圆心的距离、半径之间满足勾股定理，显然圆心到直线的距离最小时，切线长也最小．圆心到直线的距离为：,切线长的最小值为：故本题正确答案为.3.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是__________．【答案】【解析】根据三视图画出该空间几何体的立体图：；；；，所以.故本题正确答案为.点睛:本题考查的是由三视图求出立体图的表面积问题，由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.4.如图，椭圆的左、右焦点分别为，过且斜率为的直线交椭圆于两点，若为直角三角形，则椭圆的离心率为__________．【答案】【解析】设，则由于所以因为所以椭圆的离心率为 .5.若关于的方程只有一个解，则实数的取值范围是__________．【答案】或【解析】关于x的方程只有一解等价于有一解,等价于与的图象有一个公共点,其图象为为圆心为半径的圆的上半部分,作图可得当平行直线介于两直线之间时满足题意,易得直线的截距为,设直线的截距为,由直线与圆相切可得直线到点的距离为,可得,计算得出,或(舍去), 或者，解得或因此，本题正确答案是:或.点睛：本题考查的是方程只有一解的问题，利用转化与化归思想转化为函数与的图象有一个公共点的问题，关键是正确画出两个函数的图像以及搞明白的几何意义.当直线平移时有一个交点的情况即为所求，特别地，当直线与圆相切时容易丢掉.6.在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦的中点为，且满足，当取得最大值时，直线的方程是__________．【答案】【解析】因为则直线可表示为过定点，被圆截得的弦的中点为,则满足为时,取最大，此时直线,, ,,即.三、解答题1.已知圆锥曲线.命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：圆锥曲线的离心率，若命题为真命题，求实数的取值范围.【答案】.【解析】试题分析: 分别求出两个命题的为真命题的等价条件,利用复合命题真假之间的关系进行判断求解.试题解析：因为表示曲线，所以，命题是真命题，则；满足，解得.2.如图，四棱锥的底面为正方形，⊥底面，分别是的中点，.（Ⅰ）求证∥平面；（Ⅱ）求直线与平面所成的角；（Ⅲ）求四棱锥的外接球的体积.【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）45°;（Ⅲ）.【解析】(Ⅰ)欲证∥平面；连,根据中位线可以知道 ,而不在平面内,满足定理所需条件; (Ⅱ)关键是证明平面，找到是直线与平面所成的角;（Ⅲ）利用补成正方体的思想，求外接球的半径.试题解析：（Ⅰ）如图，连结，则是的中点，又是的中点，∴.又∵平面，面∴平面.（Ⅱ）取的中点，连接.在正方形中，是的中点，有.∵平面，平面，∴，∵，∴平面，∴是直线在平面的射影，∴是直线与平面所成的角，在直角三角形中，，所以.∴直线与平面所成的角为45°.（Ⅲ）设四棱锥的外接球半径为，，则，即.所以外接球的体积为.点睛：本题第三问考查的是四棱锥外接球的问题，若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把四棱锥“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．3.已知椭圆的半焦距为，原点到经过两点的直线的距离为.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过两点，求椭圆的方程.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】（1）依题意，由点到直线的距离公式可得，又有，联立可求离心率；（2）由（1）设椭圆方程，再设直线方程，与椭圆方程联立，求得，令，可得，即得椭圆方程.试题解析：（Ⅰ）过点的直线方程为，则原点到直线的距离，由，得，解得离心率.（Ⅱ）由（1）知，椭圆的方程为.依题意，圆心是线段的中点，且.易知，不与轴垂直.设其直线方程为，代入（1）得.设，则，.由，得，解得.从而.于是.由，得，解得.故椭圆的方程为.4.已知曲线在的上方，且曲线上的任意一点到点的距离比到直线的距离都小1.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）设，过点的直线与曲线相交于两点.①若是等边三角形，求实数的值；②若，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】（1）设出点坐标，根据题意可建立等式求出曲线方程，同时要注意.（2）①由题意，得到.②联立直线与抛物线方程，用坐标表示出，令，解出的范围即可试题解析：（Ⅰ）设点曲线上任意一点，由题设有，于是，整理得.由于曲线在轴的上方，所以.所以曲线的方程为.（Ⅱ）设.由题意，即，于是，将代入，得，由，得.从而，所以.因为是等边三角形，所以.将代入，，解得，此时.（此题也可结合抛物线性质求解，其它解法酌情给分）设直线，联立得，，.，于是.因为，即.因，从而.解得.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．5.如图所示的多面体中，菱形，是矩形，⊥平面，，.（Ⅰ）异面直线与所成的角余弦值；（Ⅱ）求证平面⊥平面；（Ⅲ）在线段取一点，当二面角的大小为60°时，求.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析;（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）利用，找到就是异面直线与所成的角；（Ⅱ）通过证明，得到就是二面角的平面角；（Ⅲ）引入变量，通过坐标法求解.试题解析：（Ⅰ）因为，所以就是异面直线与所成的角，连接，在中，，于是，所以异面直线与所成的角余弦值为. （Ⅱ）取的中点.由于面，，∴，又是菱形，是矩形，所以，是全等三角形，，所以，就是二面角的平面角经计算，所以，即.所以平面平面.（Ⅲ）建立如图的直角坐标系，由，则.平面的法向量.设，则设平面的法向量，则得，令，则，得.因为二面角的大小为60°，所以，整理得，解得所以.点晴：本题考查是空间的直线与直线所成的角，平面与平面垂直的判定以及平面和平面所成的二面角问题.解答时第一问充分借助，得到就是异面直线与所成的角，第二问中通过证明，利用二面角的定义得到就是二面角的平面角；第三问中引入变量，通过坐标法求解即可.。

天津市和平区高二上学期期末质量调查数学(理)试题 Word版含答案

数学（理）第Ⅰ卷（共30分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.“0m n >>”是“方程321mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的（）A ．充而分不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.已知1(3,0)F -，2(3,0)F ，动点P 满足12||||4PF PF -=，则点P 的轨迹是（） A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．一条射线 D ．不存在3.在空间直角坐标中，点(1,2,3)P ---到平面xOz 的距离是（）A ．1B ．2C ．3D ．4.已知空间两点(3,3,1)(1,1,5)A B -，，则线段AB 的长度为（）A ．6B ． C. ．5.抛物线212y x =-的准线方程是（） A ．12y = B ．18y = C.14x = D ．18x =6.焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为）A ．22164x y +=B ．2211636x y += C. 2213616x y += D ．221499x y += 7.直线12l l 、的方向向量分别为(1,3,1)a =-- ，(8,2,2)b = ，则（）A ．12l l ⊥B ．12//l l C. 1l 与2l 相交不平行 D ．1l 与2l 重合8.已知在空间四边形ABCD 中，AB a = ，BC b = ，AD c = ，则CD = （）A ．a b c +-B ．c a b -- C.c a b +- D ．a b c ++9.已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，PQ 是经过1F 且垂直于x 轴的双曲线的弦，若290PF Q ∠=°，则双曲线的离心率为（）A ．2B ．1 D ．110.若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP •的最大值为（）A ．2B ．3 C. 6 D ．8第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.顶点在原点，对称轴是y 轴，且顶点与焦点的距离等于6的抛物线标准方程是__________.12.已知双曲线与椭圆221163x y +=有相同的焦点，且其中一条渐近线为32y x =，则该双曲线的标准方程是__________.13.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的三个顶点1(0,)B b -，2(0,)B b ，(,0)A a ，焦点(,0)F c ，且12B F AB ⊥，则椭圆的离心率为__________.14.已知(1,0,0)A ，(0,1,1)B -，OA OB λ+ 与OB 的夹角为120°，则λ的值为_________.三、解答题（本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. （本题满分10分）求满足下列条件的椭圆的标准方程.（1）焦点在y 轴上，6c =，23e =；（2）经过点(2,0)，e =16. （本题满分10分）已知,A B 为抛物线E 上不同的两点，若抛物线E 的焦点为(1,0)，线段AB 恰被点(2,1)M 所平分.（1）求抛物线E 的方程；（2）求直线AB 的方程.17. （本题满分10分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，4BC =，2AB PA ==，M 为线段PC 的中点，N 在线段BC 上，且1BN =.（1）证明：BM AM ⊥；（2）求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值.18. （本题满分10分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，过点(,0)A a ，(0,)B b 的直线倾斜角为56π，原点到该直线的距离为2. （1）求椭圆的方程；（2）是否存在实数k ，使直线2y kx =+交椭圆于P Q 、两点，以PQ 为直径的圆过点(1,0)D ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.19. （本题满分10分）如图是一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC .已知11190A B C ∠= ，14AA =，12BB =，13CC =，11111A B B C ==.（1）设点O 是AB 的中点，证明：//OC 平面111A B C ；（2）求二面角1B AC A --的正弦值.和平区2016-2017学年度第一学期高二年级数学(理)学科期末质量调查试卷参考答案及评分标准第Ⅰ卷选择题（共30分）一、选择题.1-5:CBBAD 6-10:CABDC第Ⅱ卷非选择题（共70分）二、填空题（共20分）.11. 224x y =±. 12.22149x y -=-. 三、解答题（共50分）.15.（本题满分10分）（1）解：由26,3c e ==得，623a =，解得，9a =，……2分因为222abc =+，所以222813645b a c =-=-=，……4分因为焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为 2218145y x +=.……5分由于椭圆经过点为()2,0，即为椭圆的顶点，且在x 轴上，……8分所以，若点()2,0为长轴的顶点，则2a =，此时22k =，所以1k =，所以1b =，则椭圆的标准方程为2214x y +=.……9分若点()2,0为短轴的顶点，则2b =，此时2k =，所以4a =，则椭圆的标准方程为221164y x +=.……10分 16.（本题满分10分）（1）解：因为抛物线E 的焦点为()1,0，所以12P=，所以2P =，……2分于是，所求抛物线E 的方程为24y x =.……4分（2）解：设()()1122,,,A x y B x y ，则2114y x =，①2224y x =，②……4分因为点()2,1M 是线段AB 的中点，……7分所以12124,2x x y y +=+=，……7分由②-①得，()()()2121214y y y y x x +-=-，所以21212y y x x -=-，即2AB k =，……9分所以所求直线AB 的方程为()122y x -=-，即230x y --=.……10分17.（本题满分10分）（1）证明：如图，以A 为原点，分别以,,AB AD AP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系.……1分依题意，()()()()0,0,0,2,0,0,1,2,1,2,1,0A B M N ，……2分则()()2,1,0,1,2,1AN BM ==- ，……3分所以()1221100BM AN ⋅=-⨯+⨯+⨯= .所以AN BM ⊥ ，即BM AN ⊥.……4分（2）解：依题意，结合（1）中的空间直角坐标系，得 ()()()2,4,0,0,4,0,0,0,2C D P ，则()()2,4,2,0,4,2PC PD =-=- ，……5分设平面PCD 的一个法向量为(),,n x y z = ，由0,0,n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得2420,420,x y z y z +-=⎧⎨-=⎩解得0,2,x z y =⎧⎨=⎩ 不妨设1y =，则2z =，可得()0,1,2n = .……7分设直线MN 与平面PCD 所成的角为θ，又()1,1,1MN =-- ，因为cos ,MN n MN n MN n⋅<>===⋅ 9分所以sin cos ,MN n θ=<>= ，所以，直线MN 与平面PCD所成角的正弦值为5.……10分 18.（本题满分10分）（1）解：由已知得，5tan ,61,22b a ab π⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩……1分即，()222243,b a a b a b ⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得1a b ==，……3分所以椭圆方程为2213x y +=.……4分（2）解：将2y kx =+代入2213x y +=并整理得. ()()22131290k x kx +++=*.……5分设()()1122,,,P x y Q x y ，因为以PQ 为直径的圆过点()1,0D ，所以PD QD ⊥，所以0DP DQ ⋅= ，则()()11221,1,0x y x y -⋅-=，……6分因为11222,2y kx y kx =+=+，所以()()()()112212121,1,11x y x y x x y y -⋅-=--+； ()()()()12121122x x kx kx =--+++；()()()212121215k x x k x x =++-++，所以()()()2121212150k x x k x x ++-++=，①……8分对于方程()*有，121222129,1313kx x x x k k +=-=++，代入①并整理得，670k +=，解得76k =-.……9分此时方程()130*∆=>，所以存在76k =-，满足题设条件.……10分19.（本题满分10分）（1）证明：如图，以1B 为原点，分别以11111,,BC B A B B的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系.……1分依题意，()()()()11110,1,0,0,0,0,1,0,0,0,,3,1,0,32A B C O C ⎛⎫⎪⎝⎭，因为()()111111,,0,0,1,0,1,0,02OC A B B C ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ ，……3分所以()11111110,,01,0,01,,0222A B B C ⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以111112OC A B B C =+ ，又OC ⊄平面111A B C ，所以//OC 平面111A B C .……4分（2）解：依题意，结合（1）中的空间直角坐标系，得 ()()()()10,1,4,0,0,2,1,0,3,0,1,0A B C A ，则()()()()10,1,2,1,0,1,1,1,1,0,0,4AB BC AC A A =--==--= ，……5分设()1111,,n x y z = 为平面ABC 的一个法向量，由0,0,n AB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得121120,0,y z x z --=⎧⎨+=⎩解得112,,y z x z =-⎧⎨=-⎩ 不妨设11z =，则111,2,x y =-=-所以()11,2,1n =-- .……7分设()2222,,n x y z = 为平面1ACA 的一个法向量，由2210,0,n AC n A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得22220,0,x y z z --=⎧⎨=⎩解得222,0,x y z =⎧⎨=⎩ 不妨设21y =，则21x =，所以()21,1,0n = .……9分因为，121212cos2n nn nn n⋅<⋅>===⋅，于是121sin2n n<⋅>=，所以，二面角1B AC A--的正弦值为12.……10分。

2016-2017学年天津市和平区高二下学期期末质量调查数学(理)试题(解析版)

2016-2017学年天津市和平区高二下学期期末质量调查数学（理）试题一、选择题1．已知2132n A =，则n = ( )A. 11B. 12C. 13D. 14 【答案】B【解析】∵2132n A =，∴()1132n n -=，整理，得，21320n n --=；解得12n =,或11n =- (不合题意,舍去)； ∴n 的值为12. 故选：B.2．若离散型随机变量ξ的概率分布列如下表所示，则a 的值为( )A.13 B. 2- C. 13或2- D. 12【答案】A【解析】由离散型随机变量ξ的概率分布表知：220411{031 4131a a a a a a -+-++=剟剟. 解得13a =. 故选：A.3．在一次试验中，测得(),x y 的四组值分别是()1,2A ， ()2,3B ， ()3,4C ， ()4,5D ，则y 与x 之间的线性回归方程为( )A. ˆ1yx =- B. ˆ2y x =+ C. ˆ21y x =+ D. ˆ1y x =+ 【答案】D【解析】()()111234 2.5,2345 3.544x y =⨯+++==+++=， ∴这组数据的样本中心点是(2.5,3.5)把样本中心点代入四个选项中，只有ˆ1yx =+成立，故选：D.4．4名同学报名参加两个课外活动小组，每名同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有( )A. 4种B. 16种C. 64种D. 256种【答案】B【解析】根据题意，每个同学可以在两个课外活动小组中任选1个，即有2种选法，则4名同学一共有222216⨯⨯⨯=种选法；故选：B.5．二项式()2na b +展开式中的第二项系数是8，则它的第三项的二项式系数为( ) A. 24 B. 18 C. 6 D. 16 【答案】C【解析】由题意可得： 111122n n C a b C a b n n--⋅⋅=⋅，∴128Cn=，解得4n =.它的第三项的二项式系数为264C =.故选：C.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.6．某学校为解决教师的停车问题，在校内规划了一块场地，划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有( )A. 99A 种B. 812A 种C. 888A 种D. 84842A A 种【答案】A【解析】根据题意，要求有4个空车位连在一起，则将4个空车位看成一个整体，将这个整体与8辆不同的车全排列,有99A 种不同的排法，即有99A 种不同的停车方法；故选：A. 点睛：（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解． 7．某校开设10门课程供学生选修，其中A 、B 、C 三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位学生选修三门，则每位学生不同的选修方案种数是( ) A. 70 B. 98 C. 108 D. 120 【答案】B【解析】根据题意，分2种情况讨论：①、从A ,B ,C 三门中选出1门,其余7门中选出2门,有126337C C=种选法，②、从除A ,B ,C 三门之外的7门中选出3门,有3357C=种选法；故不同的选法有63+35=98种；故选：B. 点睛：（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解． 8．若X 是离散型随机变量， ()()1221,33P X x P X x ====，且12x x <，又已知()()42,39E X D X ==，则12x x +的值为（） A. 53 B. 73 C. 3 D. 113【答案】C【解析】试题分析：根据期望和方差的计算公式可知：122212214333{4241233339x x x x +=⎛⎫⎛⎫-⨯+-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求解可得12x x + 3.= 【考点】本小题主要考查期望和方差的计算和应用.点评：解决有关期望和方差的问题时，要准确应用期望和方差公式，仔细计算.二、填空题9．每次试验的成功率为()01p p <<，重复进行10次试验，其中前6次都未成功，后4次都成功的概率为____________.【答案】()641p p -【解析】每次试验的成功率为(01)p p <<，重复进行10次试验，其中前6次都未成功，后4次都成功，所以所求的概率为64(1)p p -⋅.故答案为： ()641p p -.10．端午节小长假期间，张洋与几位同学从天津乘到大连去旅游，若当天从天津到大连的三列火车正点到达的概率分别为0.8， 0.7， 0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响，则这三列火车恰好有两列正点到达的概率是____. 【答案】0.398【解析】设当天从天津到大连的三列火车正点到达的事件分别为A ，B ，C ，则()()()0.8,0.7,0.9P A P B P C ===，事件A ，B ，C 相互独立，∴这三列火车恰好有两列正点到达的概率：()()()()()()0.80.710.90.810.70.910.80.70.90.39p P ABC P ABC P ABC =++=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=，故答案为：0.398.11．二项式189x ⎛⎝的展开式的常数项为________(用数字作答).【答案】18564【解析】由已知得到展开式的通项为： 318183632(9)31818rrr rr r Cx Cx---=，令r =12,得到常数项为01231856418C=；故答案为：18564.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.12．一名同学想要报考某大学，他必须从该校的7个不同专业中选出5个，并按第一志愿、第二志愿、…、第五志愿的顺序填写志愿表，若A 专业不能作为第一、第二志愿，则他共有____种不同的填法。

2017-2018学年天津市和平区高二上学期期末数学试题(理科)(解析版)

2017-2018学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）“m=1”是“双曲线的离心率为2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（3分）在空间直角坐标系中，已知A（1，0，﹣3），B（4，﹣2，1），则|AB|=（）A． B． C． D．3．（3分）已知双曲线的一个焦点坐标为（，0），且经过点（﹣5，2），则双曲线的标准方程为（）A．﹣y2=1 B．﹣x2=1 C．﹣y2=1 D．﹣=14．（3分）若双曲线﹣y2=1（a＞0）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±3x C．y=±x D．y=±x5．（3分）已知抛物线y2=x的焦点是椭圆+=1的一个焦点，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．（3分）已知向量=（2，4，5），=（3，x，y），分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则（）A．x=6，y=15 B．x=3，y=15 C．x=，y=D．x=6，y=7．（3分）如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A．x﹣2y=0 B．5x+2y﹣4=0 C．x+2y﹣8=0 D．2x+3y﹣12=08．（3分）已知椭圆C：，点M，N为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点H，使，则离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（每题6分，满分36分，将答案填在答题纸上）9．（6分）若双曲线（p＞0）的左焦点在抛物线y2=2px 的准线上，则p=．10．（6分）已知斜率为2 的直线经过椭圆的右焦点F2，与椭圆相交于A、B 两点，则AB 的长为．11．（6分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为直线l，过抛物线上一点P作PE⊥l于E，若直线EF的倾斜角为150°，则|PF|=．12．（6分）如图所示，已知空间四边形OABC中，OB=OC，且∠AOB=∠AOC=，则cos＜，＞的值为．13．（6分）设椭圆与双曲线有公共焦点F1，F2，P是两条曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2等于．14．（6分）已知双曲线（a＞0，b＞0 ）的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右志于P，Q 两点，且PQ⊥PF1，若|PQ|=|PF1|，则双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知三点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）．（Ⅰ）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆标准方程；（Ⅱ）设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程．16．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点D（2，y0）在抛物线C上，且|DF|=3，直线y=x﹣1与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点．（1）求抛物线C的方程；（2）求△OAB的面积．17．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点．（Ⅰ）求证：MN||平面BCC1B1；（Ⅱ）求证：平面AMN⊥平面A1B1C．18．已知椭圆E：（a＞b＞0 ）的离心率为，C为椭圆E 上位于第一象限内的一点．（1）若点C 的坐标为（2，），求椭圆E的标准方程；（2）设A为椭圆E 的左顶点，B 为椭圆E 上一点，且=，求直线AB 的斜率．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，∠ADC=∠DAB=90°，SD=AD=AB=2，DC=1（1）求二面角S﹣BC﹣A的余弦值；（2）设P是棱BC上一点，E是SA的中点，若PE与平面SAD所成角的正弦值为，求线段CP的长．2017-2018学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）“m=1”是“双曲线的离心率为2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据双曲线离心率的定义求出m的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由双曲线的方程得a2=m，（m＞0），b2=3，则c2=3+m，∵双曲线的离心率e=2，∴e2===4，即3+m=4m，即3m=3，m=1，则“m=1”是“双曲线的离心率为2”的充要条件，故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合双曲线的离心率公式是解决本题的关键．2．（3分）在空间直角坐标系中，已知A（1，0，﹣3），B（4，﹣2，1），则|AB|=（）A． B． C． D．【分析】利用空间直角坐标系中两点间的距离公式，计算即可．【解答】解：空间直角坐标系中，A（1，0，﹣3），B（4，﹣2，1），则|AB|==．故选：B．【点评】本题考查了空间中两点间的距离应用问题，是基础题．3．（3分）已知双曲线的一个焦点坐标为（，0），且经过点（﹣5，2），则双曲线的标准方程为（）A．﹣y2=1 B．﹣x2=1 C．﹣y2=1 D．﹣=1【分析】设双曲线的方程为（a＞0，b＞0），利用双曲线的一个焦点坐标为（，0），且经过点（﹣5，2），建立方程组，即可求出双曲线的标准方程．【解答】解：设双曲线的方程为（a＞0，b＞0），∵双曲线的一个焦点坐标为（，0），且经过点（﹣5，2），∴，∴a=，b=1，∴双曲线的标准方程为﹣y2=1．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线的方程，正确运用待定系数法是关键．4．（3分）若双曲线﹣y2=1（a＞0）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±3x C．y=±x D．y=±x【分析】求出双曲线的c，由离心率公式，解方程求得a，再由双曲线的渐近线方程即可得到．【解答】解：双曲线﹣y2=1（a＞0）的c=，则离心率e===2，解得，a=．则双曲线的渐近线方程为y=x，即为y=x．故选D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法和离心率公式的运用，考查运算能力，属于基础题．5．（3分）已知抛物线y2=x的焦点是椭圆+=1的一个焦点，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题意，抛物线y2=x的焦点为（，0），从而求椭圆的离心率．【解答】解：抛物线y2=x的焦点为（，0）；抛物线y2=x的焦点是椭圆+=1的一个焦点，故c=，b=，a==；故e===；故该椭圆的离心率为：；故选D．【点评】本题考查了抛物线及椭圆的性质以及应用，属于基础题．6．（3分）已知向量=（2，4，5），=（3，x，y），分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则（）A．x=6，y=15 B．x=3，y=15 C．x=，y=D．x=6，y=【分析】由l1∥l2，可得存在实数使得=k，【解答】解：∵l1∥l2，∴存在实数使得=k，∴，解得x=6，y=．故选：D．【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．（3分）如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A．x﹣2y=0 B．5x+2y﹣4=0 C．x+2y﹣8=0 D．2x+3y﹣12=0【分析】若设弦的端点为A（x1，y1）、B（x2，y2），代入椭圆方程得9x12+36y12=36×9①，9x22+36y22=36×9②；作差①﹣②，并由中点坐标公式，可得直线斜率k，从而求出弦所在的直线方程．【解答】解：设弦的端点为A（x1，y1）、B（x2，y2），代入椭圆方程，得：9x12+36y12=36×9①，9x22+36y22=36×9②；①﹣②得：9（x1+x2）（x1﹣x2）+36（y1+y2）（y1﹣y2）=0；由中点坐标=4，=2，代入上式，得36（x1﹣x2）+72（y1﹣y2）=0，∴直线斜率为k==﹣，所求弦的直线方程为：y﹣2=﹣（x﹣4），即x+2y﹣8=0．故选：C．【点评】本题考查了圆锥曲线中由中点坐标公式，通过作差的方法，求得直线斜率k的应用模型，属于基础题目．8．（3分）已知椭圆C：，点M，N为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点H，使，则离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】设H（x0，y0），则=．可得k MH k NH==∈，即可得出．【解答】解：M（﹣a，0），N（a，0）．设H（x0，y0），则=．∴k MH k NH====∈，可得：=e2﹣1∈，∴e∈．故选：A．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（每题6分，满分36分，将答案填在答题纸上）9．（6分）若双曲线（p＞0）的左焦点在抛物线y2=2px 的准线上，则p=4．【分析】求出双曲线的左焦点坐标，代入抛物线的准线方程，求出P即可．【解答】解：双曲线（p＞0）的左焦点（﹣，0），双曲线（p＞0）的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，可得：﹣=，解得p=4．故答案为：4．【点评】本题考查双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．10．（6分）已知斜率为2 的直线经过椭圆的右焦点F2，与椭圆相交于A、B 两点，则AB 的长为．【分析】求得椭圆的a，b，c，可得右焦点，求得直线AB的方程，代入椭圆方程，可得交点A，B的坐标，由两点的距离公式计算即可得到所求弦长．【解答】解：椭圆的a=，b=2，c==1，右焦点为（1，0），直线的方程为y=2（x﹣1），代入椭圆方程，可得6x2﹣10x=0，解得x=0或x=，即有交点为A（0，﹣2），B（，），则弦长为|AB|==．故答案为：．【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程和椭圆方程联立，求交点和弦长，考查运算能力，属于基本知识的考查．11．（6分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为直线l，过抛物线上一点P作PE⊥l于E，若直线EF的倾斜角为150°，则|PF|=．【分析】由抛物线y2=4x方程，可得焦点F（1，0），准线l的方程为：x=﹣1．由直线EF的倾斜角为150°，可得k l=．进而得到直线EF的方程为：，与抛物线方程联立，可得解得y E．由于PE⊥l于E，可得y P=y E，代入抛物线的方程可解得x P．再利用|PF|=|PE|=x P+1即可得出．【解答】解：由抛物线y2=4x方程，可得焦点F（1，0），准线l的方程为：x=﹣1．∵直线EF的倾斜角为150°，∴k l=tan150°=．∴直线EF的方程为：y=﹣（x﹣1），联立，解得y=．∴E．∵PE⊥l于E，∴y P=，代入抛物线的方程可得，解得x P=．∴|PF|=|PE|=x P+1=．故答案为：．【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立，属于中档题．12．（6分）如图所示，已知空间四边形OABC中，OB=OC，且∠AOB=∠AOC=，则cos＜，＞的值为0．【分析】利用向量三角形法则、数量积运算性质即可得出．【解答】解：∵，OB=OC，∴===﹣=0，故答案为：0．【点评】本题考查了向量三角形法则、数量积运算性质，考查了计算能力，属于基础题．13．（6分）设椭圆与双曲线有公共焦点F1，F2，P是两条曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2等于．【分析】先求出公共焦点分别为F1，F2，再联立方程组求出P，由此可以求出和，利用向量的数量积求解cos∠F1PF2．【解答】解：由题意知F1（﹣2，0），F2（2，0），解方程组，得取P点坐标为（，），=（﹣2﹣，﹣），=（2﹣，﹣）cos∠F1PF2==．故答案为：．【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．14．（6分）已知双曲线（a＞0，b＞0 ）的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右志于P，Q 两点，且PQ⊥PF1，若|PQ|=|PF1|，则双曲线的离心率为．【分析】由PQ⊥PF1，|PQ|与|PF1|的关系，可得|QF1|于|PF1|的关系，由双曲线的定义可得2a=|PF1|﹣|PF2|=|QF1|﹣|QF2|，解得|PF1|，然后利用直角三角形，推出a，c的关系，可得双曲线的离心率．【解答】解：设P，Q为双曲线右支上一点，由PQ⊥PF1，|PQ|=|PF1|，在直角三角形PF1Q中，|QF1|==|PF1|，由双曲线的定义可得：2a=|PF1|﹣|PF2|=|QF1|﹣|QF2|，由|PQ|=|PF1|，即有|PF2|+|QF2|=|PF1|，即为|PF1|﹣2a+|PF1|﹣2a=|PF1|，∴（1﹣+）|PF1|=4a，解得|PF1|=．∴|PF2|=|PF1|﹣2a=，由勾股定理可得：2c=|F1F2|==，则e=．故答案为：．【点评】本题考查了双曲线的定义、方程及其性质，考查勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知三点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）．（Ⅰ）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆标准方程；（Ⅱ）设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程．【分析】（Ⅰ）根据题意设出所求的椭圆的标准方程，然后代入半焦距，求出a，b．最后写出椭圆标准方程．（Ⅱ）根据三个已知点的坐标，求出关于直线y=x的对称点分别为点，设出所求双曲线标准方程，代入求解即可．【解答】解：（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为（a＞b＞0），其半焦距c=6∴，b2=a2﹣c2=9．所以所求椭圆的标准方程为（2）点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）关于直线y=x的对称点分别为点P′（2，5）、F1′（0，﹣6）、F2′（0，6）．设所求双曲线的标准方程为由题意知，半焦距c1=6，，b12=c12﹣a12=36﹣20=16．所以所求双曲线的标准方程为．【点评】本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力．属于中档题．16．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点D（2，y0）在抛物线C上，且|DF|=3，直线y=x﹣1与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点．（1）求抛物线C的方程；（2）求△OAB的面积．【分析】（1）根据题意，由抛物线的定义，可得，解可得p=2，代入标准方程，即可得答案；（2）联立直线与抛物线的方程，消去y得x2﹣6x+1=0，进而设A（x1，y1），B（x2，y2），由一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=6，结合抛物线的几何性质，可得|AB|的长，由点到直线距离公式可得O到直线y=x﹣1，进而由三角形面积公式计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，D（2，y0）在抛物线y2=2px，上且|DF|=3由抛物线定义得，∴p=2故抛物线的方程为y2=4x；（2）由方程组，消去y得x2﹣6x+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=6；∵直线y=x﹣1过抛物线y2=4x的焦点F，∴|AB|=x1+x2+p=6+2=8又O到直线y=x﹣1的距离，∴△ABO的面积．【点评】本题考查抛物线的几何性质，涉及直线与抛物线的位置关系，关键是利用抛物线的几何性质求出其标准方程．17．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点．（Ⅰ）求证：MN||平面BCC1B1；（Ⅱ）求证：平面AMN⊥平面A1B1C．【分析】（Ⅰ）连接BC1，AC1，运用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；（Ⅱ）连接A1M，CM，运用面面垂直的判定定理，证得MN⊥平面A1B1C，即可得证．【解答】证明：（Ⅰ）连接BC1，AC1，在△ABC1中，由AM=MB，AN=NC1，可得MN∥BC1，MN⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，则MN∥平面BCC1B1；（Ⅱ）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，AB=BC=BB1=2，可得四边形BCC1B1为正方形，即有BC1⊥B1C，MN⊥B1C，连接A1M，CM，由AM=BM，AA1=BC，∠A1AM=∠MBC=90°，可得△AMA1≌△BMC，可得A1M=CM，又N是A1C的中点，则MN⊥A1C，B1C∩A1C=C，MN⊥平面A1B1C，MN⊂平面AMN，则平面AMN⊥平面A1B1C．【点评】本题考查线面平行和面面垂直的判定定理的运用，注意运用转化思想，考查推理能力和空间想象能力，属于中档题．18．已知椭圆E：（a＞b＞0 ）的离心率为，C为椭圆E 上位于第一象限内的一点．（1）若点C 的坐标为（2，），求椭圆E的标准方程；（2）设A为椭圆E 的左顶点，B 为椭圆E 上一点，且=，求直线AB 的斜率．【分析】（1）利用抛物线的离心率求得=，将（2，）代入椭圆方程，即可求得a和b的值；（2）方法一：设直线OC的斜率，代入椭圆方程，求得C的纵坐标，则直线直线AB的方程为x=my﹣a，代入椭圆方程，求得B的纵坐标，由=，则直线直线AB的斜率k；方法二：由=，y2=2y1，将B和C代入椭圆方程，即可求得C点坐标，利用直线的离心率公式即可求得直线AB的斜率．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e===，则=，①由点C在椭圆上，将（2，）代入椭圆方程，+=1，②解得：a2=9，b2=5，∴椭圆E的标准方程为+=1；（2）方法一：由（1）可知：=，则椭圆方程：5x2+9y2=5a2，设直线OC的方程为x=my（m＞0），B（x1，y1），C（x2，y2），，消去x整理得：5m2y2+9y2=5a2，∴y2=，由y2＞0，则y2=，由=，则AB∥OC，设直线AB的方程为x=my﹣a，则，整理得：（5m2+9）y2﹣10amy=0，由y=0，或y1=，由=，则（x1+a，y1）=（x2，y2），则y2=2y1，则=2×，（m＞0），解得：m=，则直线AB的斜率=；方法二：由（1）可知：椭圆方程5x2+9y2=5a2，则A（﹣a，0），B（x1，y1），C（x2，y2），由=，则（x1+a，y1）=（x2，y2），则y2=2y1，由B，C在椭圆上，∴，解得：x2=，y2=则直线直线AB的斜率k==；直线AB的斜率=【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，向量共线定理，考查计算能力，属于中档题．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，∠ADC=∠DAB=90°，SD=AD=AB=2，DC=1（1）求二面角S﹣BC﹣A的余弦值；（2）设P是棱BC上一点，E是SA的中点，若PE与平面SAD所成角的正弦值为，求线段CP的长．【分析】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，1，0），S（0，0，2），利用空间向量求解．【解答】解：（1）以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，1，0），S（0，0，2）∴，，设面SBC的法向量为由可取∵SD⊥面ABC，∴取面ABC的法向量为|cos|=，∵二面角S﹣BC﹣A为锐角．二面角S﹣BC﹣A的余弦值为（2）由（1）知E（1，0，1），则，，设，（0≤λ≤1）．则，易知CD⊥面SAD，∴面SAD的法向量可取|cos|=，解得λ=或λ=（舍去）．此时，∴||=，∴线段CP的长为【点评】本题考查了空间向量求解面面角，线面角，解题时要仔细运算，合理转化，属于中档题．。

天津市和平区2017届高三上学期期末数学试卷(文科) 含解析

2016—2017学年天津市和平区高三（上）期末数学试卷（文科)一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合A=｛x|x2﹣x﹣6＜0｝，B={x|﹣3≤x≤1｝,则A∪B等于（）A．[﹣2，1) B．（﹣2，1] C．[﹣3，3) D．(﹣3,3]2．一个袋子里装有红、黄、绿三种颜色的球各2个,这6个球除颜色外完全相同,从中摸出2个球，则这2个球中至少有1个是红球的概率是（）A．B． C．D．3．如图的三视图所对应的立体图形可以是( ）A．B．C．D．4．若双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则p的值为( ）A．2 B．3 C．4 D．5．“x＜1”是“ln（x+1)＜0”的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知f（x）和g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且f （x）﹣g（x）=2x3+x2+3，则f(2）+g（2)等于（）A．﹣9 B．﹣7 C．7 D．97．如图，在平行四边形ABCD中，，AB=2，AD=1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足,其中λ∈［0,1］，则的取值范围是（）A．[0，3］B．［1,4］C．[2,5］D．［1,7]8．设函数，则函数f（x）的最大值和最小值分别为（）A．13和﹣11 B．8和﹣6 C．1和﹣3 D．3和﹣1二、填空题已知复数z=1﹣2i，那么复数的虚部是．10．已知函数，f’（x）为f(x）的导函数，则f'（2)的值为．11．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出T的值为．12．直线y=kx+3(k≠0）与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于A、B 两点,若,则k 的值为．13．已知a＞b＞0,那么a2+的最小值为．14．已知函数若关于x的方程恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是．三、解答题(本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（13分）在△ABC中，若a=2,b+c=7,．（1）求b的值;（2）求△ABC的面积．16．(13分)某单位生产A、B两种产品，需要资金和场地,生产每吨A种产品和生产每吨B种产品所需资金和场地的数据如表所示：资源产品资金（万元）场地（平方米）A2100。

2016-2017天津市和平区高二下期末数学试卷(理科)(解析版)

2016-2017学年天津市和平区高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知A n2=132，则n=（）A．11 B．12 C．13 D．142．若离散型随机变量ξ的概率分布如表所示，则a的值为（）ξ﹣11P4a﹣13a2+a A．B．﹣2 C．或﹣2 D．3．在一次实验中，测得（x，y）的四组值分别是A（1，2），B（2，3），C（3，4），D（4，5），则y与x之间的线性回归方程为（）A．=x﹣1 B．=x+2 C．=2x+1 D．=x+14．4名同学报名参加两个课外活动小组，每名同学限报其中的一个小组，则不同的标报名方法共有（）A．4种 B．16种C．64种D．256种5．二项式（a+2b）n展开式中的第二项系数是8，则它的第三项的二项式系数为（）A．24 B．18 C．6 D．166．某学校为解决教师的停车问题，在校内规划了一块场地，划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有（）A．种B．种C．8种D．2种7．某校开设10门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位学生选修三门，则每位学生不同的选修方案种数是（）A．70 B．98 C．108 D．1208．若X是离散型随机变量，P（X=x1）=，P（X=x2）=，且x1＜x2，又已知E （X）=，D（X）=，则x1+x2的值为（）A．B．C．3 D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案直接填在题中的横线上）9．每次试验的成功率为p（0＜p＜1），重复进行10次试验，其中前6次都未成功，后4次都成功的概率为．10．端午节小长假期间，张洋与几位同学从天津乘火车到大连去旅游，若当天从天津到大连的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响，则这三列火车恰好有两列正点到达的概率是．11．二项式（9x+）18的展开式的常数项为（用数字作答）．12．一名同学想要报考某大学，他必须从该校的7个不同专业中选出5个，并按第一志愿、第二志愿、…第五志愿的顺序填写志愿表．若A专业不能作为第一、第二志愿，则他共有种不同的填法（用数字作答）．13．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张，将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞，则两张都是假钞的概率是．14．一个口袋里装有5个不同的红球，7个不同的黑球，若取出一个红球记2分，取出一个黑球记1分，现从口袋中取出6个球，使总分低于8分的取法种数为（用数字作答）．三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答题应写出解题（或证明）过程.）15．从5名男生和4名女生中选出4人去参加座谈会，问：（Ⅰ）如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？（Ⅱ）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？（Ⅲ）如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？16．从6名男生和4名女生中任选4人参加比赛，设被选中女生的人数为随机变量ξ，求（Ⅰ）ξ的分布列；（Ⅱ）所选女生不少于2人的概率．17．环境监测中心监测我市空气质量，每天都要记录空气质量指数（指数采取10分制，保留一位小数）．现随机抽取20天的指数（见下表），将指数不低于8.5视为当天空气质量优良．天数1 2 34 5 6 789 107.18.3 7.39.58.67.78.78.88.7 9.1空气质量指数天数1112 13 14 1516 17 18 19 207.48.59.78.49.67.69.48.98.39.3空气质量指数（Ⅰ）求从这20天随机抽取3天，至少有2天空气质量为优良的概率；（Ⅱ）以这20天的数据估计我市总体空气质量（天数很多）．若从我市总体空气质量指数中随机抽取3天的指数，用X表示抽到空气质量为优良的天数，求X 的分布列及数学期望．18．如图，在三棱锥S﹣ABC中，SB⊥底面ABC，且SB=AB=2，BC=，D、E分别是SA、SC的中点．（I）求证：平面ACD⊥平面BCD；（II）求二面角S﹣BD﹣E的平面角的大小．19．已知函数f（x）=x2+alnx（a为实常数）（Ⅰ）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；（Ⅱ）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；（Ⅲ）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年天津市和平区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知A n2=132，则n=（）A．11 B．12 C．13 D．14【考点】D4：排列及排列数公式．【分析】根据排列数的公式，列出方程，求出n的值即可．【解答】解：∵=132，∴n（n﹣1）=132，整理，得，n2﹣n﹣132=0；解得n=12，或n=﹣11（不合题意，舍去）；∴n的值为12．故选：B．2．若离散型随机变量ξ的概率分布如表所示，则a的值为（）ξ﹣11P4a﹣13a2+a A．B．﹣2 C．或﹣2 D．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】利用离散型随机变量ξ的概率分布列的性质列出不等式组，由此能求出结果．【解答】解：由离散型随机变量ξ的概率分布表知：，解得a=．故选：A．3．在一次实验中，测得（x，y）的四组值分别是A（1，2），B（2，3），C（3，4），D（4，5），则y与x之间的线性回归方程为（）A．=x﹣1 B．=x+2 C．=2x+1 D．=x+1【考点】BK：线性回归方程．【分析】根据所给的这组数据，取出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入所给的四个选项中验证，若能够成立的只有一个，这一个就是线性回归方程．【解答】解：∵=×（1+2+3+4）=2.5，=×（2+3+4+5）=3.5，∴这组数据的样本中心点是（2.5，3.5）把样本中心点代入四个选项中，只有y=x+1成立，故选：D．4．4名同学报名参加两个课外活动小组，每名同学限报其中的一个小组，则不同的标报名方法共有（）A．4种 B．16种C．64种D．256种【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分析可得4名同学中每个同学都有2种选法，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，每个同学可以在两个课外活动小组中任选1个，即有2种选法，则4名同学一共有2×2×2×2=16种选法；故选：B．5．二项式（a+2b）n展开式中的第二项系数是8，则它的第三项的二项式系数为（）A．24 B．18 C．6 D．16【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：由题意可得：•a n﹣1•2b=a n﹣1b，∴=8，解得n=4．它的第三项的二项式系数为=6．故选：C．6．某学校为解决教师的停车问题，在校内规划了一块场地，划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有（）A．种B．种C．8种D．2种【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，用捆绑法分析：将4个空车位看成一个整体，并将这个整体与8辆不同的车全排列，由排列数公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，要求有4个空车位连在一起，则将4个空车位看成一个整体，将这个整体与8辆不同的车全排列，有A99种不同的排法，即有A99种不同的停车方法；故选：A．7．某校开设10门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位学生选修三门，则每位学生不同的选修方案种数是（）A．70 B．98 C．108 D．120【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，由于A，B，C三门中至多选一门，则分2种情况讨论：①、从A，B，C三门中选出1门，其余7门中选出2门，②、从除A，B，C三门之外的7门中选出3门，分别求出每一种情况的选法数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、从A，B，C三门中选出1门，其余7门中选出2门，有C31C72=63种选法，②、从除A，B，C三门之外的7门中选出3门，有C73=35种选法；故不同的选法有63+35=98种；故选：B．8．若X是离散型随机变量，P（X=x1）=，P（X=x2）=，且x1＜x2，又已知E （X）=，D（X）=，则x1+x2的值为（）A．B．C．3 D．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】根据数学期望和方差公式列方程组解出x1，x2．【解答】解：∵E（X）=，D（X）=，∴，解得或（舍），∴x1+x2=3．故选C．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案直接填在题中的横线上）9．每次试验的成功率为p（0＜p＜1），重复进行10次试验，其中前6次都未成功，后4次都成功的概率为（1﹣p）6•p4．【考点】CA：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】由题意知符合二项分布概率类型，由概率公式计算即可．【解答】解：每次试验的成功率为p（0＜p＜1），重复进行10次试验，其中前6次都未成功，后4次都成功，所以所求的概率为（1﹣p）6•p4．故答案为：（1﹣p）6•p4．10．端午节小长假期间，张洋与几位同学从天津乘火车到大连去旅游，若当天从天津到大连的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响，则这三列火车恰好有两列正点到达的概率是0.398．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】设当天从天津到大连的三列火车正点到达的事件分别为A，B，C，事件A，B，C相互独立，这三列火车恰好有两列正点到达的概率p=P（AB）+P（A C）+P（），由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出结果．【解答】解：设当天从天津到大连的三列火车正点到达的事件分别为A，B，C，则P（A）=0.8，P（B）=0.7，P（C）=0.9，事件A，B，C相互独立，∴这三列火车恰好有两列正点到达的概率：p=P（AB）+P（A C）+P（）=0.8×0.7×（1﹣0.9）+0.8×（1﹣0.7）×0.9+（1﹣0.8）×0.7×0.9=0.398．故答案为：0.398．11．二项式（9x+）18的展开式的常数项为18564（用数字作答）．【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】首先写出展开式的通项并整理，从未知数的指数找出满足条件的常数项．【解答】解：由已知得到展开式的通项为：=，令r=12，得到常数项为=18564；故答案为：18564．12．一名同学想要报考某大学，他必须从该校的7个不同专业中选出5个，并按第一志愿、第二志愿、…第五志愿的顺序填写志愿表．若A专业不能作为第一、第二志愿，则他共有1800种不同的填法（用数字作答）．【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2步进行分析：①、在除A之外的6个专业中，任选2个，作为第一、二志愿，②、第一二志愿填好后，在剩下的5个专业中任选3个，作为第三四五志愿，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、由于A专业不能作为第一、第二志愿，需要在除A之外的6个专业中，任选2个，作为第一、二志愿，有A62=30种填法，②、第一二志愿填好后，在剩下的5个专业中任选3个，作为第三四五志愿，有A53=60种填法，则该学生有30×60=1800种不同的填法；故答案为：1800．13．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张，将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞，则两张都是假钞的概率是．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】设事件A表示“抽到的两张都是假钞”，事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”，所求的概率即P（A|B）．先求出P（AB）和P（B）的值，再根据P （A|B）=，运算求得结果．【解答】解：设事件A表示“抽到的两张都是假钞”，事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”，则所求的概率即P（A|B）．又P（AB）=P（A）==，P（B）==，∴P（A|B）===，故答案为：．14．一个口袋里装有5个不同的红球，7个不同的黑球，若取出一个红球记2分，取出一个黑球记1分，现从口袋中取出6个球，使总分低于8分的取法种数为112（用数字作答）．【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，设取出x个红球，则取出6﹣x个黑球，若总分低于8分，可得2x+（6﹣x）＜8，即x＜2，分析可得总分低于8分的情况有2种：①、取出6个黑球，②、取出1个红球，5个黑球，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，设取出x个红球，则取出6﹣x个黑球，此时总得分为2x+（6﹣x），若总分低于8分，则有2x+（6﹣x）＜8，即x＜2，即x可取的情况有2种，即x=0或x=1，即总分低于8分的情况有2种：①、取出6个黑球，有C76=7种取法，②、取出1个红球，5个黑球，有C51×C75=105种取法，故使总分低于8分的取法有7+105=112种；故答案为：112．三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答题应写出解题（或证明）过程.）15．从5名男生和4名女生中选出4人去参加座谈会，问：（Ⅰ）如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？（Ⅱ）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？（Ⅲ）如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】（Ⅰ）根据题意，分别计算“从5名男生中选出2人”和“从4名女生中选出2人”的选法数目，由分步计数原理计算可得答案；（Ⅱ）用间接法分析：先计算在9人中任选4人的选法数目，再排除其中“甲乙都没有入选”的选法数目，即可得答案；（Ⅲ）用间接法分析：先计算在9人中任选4人的选法数目，再排除其中“只有男生”和“只有女生”的选法数目，即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，从5名男生中选出2人，有C52=10种选法，从4名女生中选出2人，有C42=6种选法，则4人中男生和女生各选2人的选法有10×6=60种；（Ⅱ）先在9人中任选4人，有C94=126种选法，其中甲乙都没有入选，即从其他7人中任选4人的选法有C74=35种，则甲与女生中的乙至少要有1人在内的选法有126﹣35=91种；（Ⅲ）先在9人中任选4人，有C94=126种选法，其中只有男生的选法有C51=5种，只有女生的选法有C41=1种，则4人中必须既有男生又有女生的选法有126﹣5﹣1=120种．16．从6名男生和4名女生中任选4人参加比赛，设被选中女生的人数为随机变量ξ，求（Ⅰ）ξ的分布列；（Ⅱ）所选女生不少于2人的概率．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）依题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，4，ξ股从超几何分布P（ξ=k）=，由此能求出ξ的分布列．（Ⅱ）所选女生不少于2人的概率为P（ξ≥2）=P（ξ=2）+P（ξ=3）+P（ξ=4），由此能求出结果．【解答】解：（Ⅰ）依题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，4，ξ股从超几何分布P（ξ=k）=，k=0，1，2，3，4，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==，∴ξ的分布列为：ξ01234P（Ⅱ）所选女生不少于2人的概率为：P（ξ≥2）=P（ξ=2）+P（ξ=3）+P（ξ=4）==．17．环境监测中心监测我市空气质量，每天都要记录空气质量指数（指数采取10分制，保留一位小数）．现随机抽取20天的指数（见下表），将指数不低于8.5视为当天空气质量优良．天数1 2 34 5 6 789 107.18.3 7.39.58.67.78.78.88.7 9.1空气质量指数天数1112 13 14 1516 17 18 19 207.48.59.78.49.67.69.48.98.39.3空气质量指数（Ⅰ）求从这20天随机抽取3天，至少有2天空气质量为优良的概率；（Ⅱ）以这20天的数据估计我市总体空气质量（天数很多）．若从我市总体空气质量指数中随机抽取3天的指数，用X表示抽到空气质量为优良的天数，求X 的分布列及数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）根据组合数公式计算所有可能的情况种数，得出答案；（II）根据二项分布的概率计算公式得出分布列，再计算数学期望．【解答】解：（I）由表中数据可知20天中，空气质量优良的天数是12天，∴从这20天随机抽取3天，至少有2天空气质量为优良的概率为P==．（II）任意抽取1天，则该天空气质量优良的概率为=，故X服从二项分布X～B（3，），∴P（X=0）=（）3=，P（X=1）=××（）2=，P（X=2）=×（）2×=，P（X=3）=（）3=．∴X的分布列为：X0 1 2 3P∴E（X）=0×+1×+2×+3×=．18．如图，在三棱锥S﹣ABC中，SB⊥底面ABC，且SB=AB=2，BC=，D、E分别是SA、SC的中点．（I）求证：平面ACD⊥平面BCD；（II）求二面角S﹣BD﹣E的平面角的大小．【考点】MR：用空间向量求平面间的夹角；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理证明AD⊥平面BCD即可证明平面ACD ⊥平面BCD．（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角S﹣BD﹣E的余弦值．【解答】证明：（I）∵∠ABC=，∴BA⊥BC，建立如图所示的坐标系，则C（0，，0），A（2，0，0），D（1，0，1），E（0，，1），S（0，0，2），则=（﹣1，0，1），=（0，，0），=（1，0，1），则•=（﹣1，0，1）•（0，，0）=0，•=（﹣1，0，1）•（1，0，1）=﹣1+1=0，则⊥，⊥，即AD⊥BC，AD⊥BD，∵BC∩BD=B，∴AD⊥平面BCD；∵AD⊂平面BCD；∴平面ACD⊥平面BCD；（II）=（0，，1），则设平面BDE的法向量=（x，y，1），则，即，解得x=﹣1，y=，即=（﹣1，，1），又平面SBD的法向量=（0，，0），∴cos＜，＞==，则＜，＞=，即二面角S﹣BD﹣E的平面角的大小为．19．已知函数f（x）=x2+alnx（a为实常数）（Ⅰ）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；（Ⅱ）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；（Ⅲ）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】（1）当a=﹣2时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，故函数在（1，+∞）上是增函数；（2）求导f′（x）=2x+=（x＞0），当x∈[1，e]时，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．分①a≥﹣2，②﹣2e2＜a＜﹣2，③a≤﹣2e2，三种情况得到函数f（x）在[1，e]上是单调性，进而得到[f（x）]min；（3）由题意可化简得到（x∈[1，e]），令（x∈[1，e]），利用导数判断其单调性求出最小值为g（1）=﹣1．【解答】解：（1）当a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，x∈（0，+∞），则f′（x）=2x﹣=（x＞0）由于f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，故函数在（1，+∞）上是增函数；（2）f′（x）=2x+=（x＞0），当x∈[1，e]时，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．①若a≥﹣2，f′（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f′（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1．②若﹣2e2＜a＜﹣2，当x=时，f′（x）=0；当1≤x＜时，f′（x）＜0，此时f（x）是减函数；当＜x≤e时，f′（x）＞0，此时f（x）是增函数．故[f（x）]min=f（）=ln（﹣）﹣．③若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]min=f（e）=a+e2．综上可知，当a≥﹣2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；当﹣2e2＜a＜﹣2时，f（x）的最小值为ln（﹣）﹣，相应的x值为；当a≤﹣2e2时，f（x）的最小值为a+e2，相应的x值为e．（3）不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0，因而（x∈[1，e]）令（x∈[1，e]），则，当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx＞0，从而g′（x）≥0（仅当x=1时取等号），所以g（x）在[1，e]上为增函数，故g（x）的最小值为g（1）=﹣1，所以a的取值范围是[﹣1，+∞）．2017年7月13日。

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2016-2017学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．“m＞n＞0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充而分不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．已知F1（﹣3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|=4，则点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支C．一条射线D．不存在3．已知函数，当x由2变为1.5时，函数的增量为（）A．1 B．2 C．D．4．设曲线y=ax2在点（1，a）处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，则a=（）A．1 B．C．D．﹣15．抛物线y2=﹣x的准线方程是（）A．y= B．y= C．x= D．x=6．双曲线=1的焦距为（）A．2 B．4 C．2 D．47．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．8．下列函数中，导函数是奇函数的是（）A．y=cosx B．y=e x C．y=lnx D．y=a x9．已知函数，则f'（π）=（）A． B．C．D．10．已知椭圆的离心率，则实数k的值为（）A．3 B．3或C．D．或二、填空题顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于6的抛物线标准方程是．12．（5分）与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程是．13．（5分）曲线和y=x2在它们的交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是．14．（5分）已知椭圆的三个顶点B1（0，﹣b），B2（0，b），A（a，0），焦点F（c，0），且B1F⊥AB2，则椭圆的离心率为．三、解答题（本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（10分）求满足下列条件的椭圆的标准方程．（1）焦点在y轴上，c=6，；（2）短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3．16．（10分）已知A、B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为（1，0），线段AB恰被M（2，1）所平分．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）求直线AB的方程．17．（10分）已知函数．（1）求f'（x）；（2）设f（x）的图象在x=1处与直线y=2相切，求函数f（x）的解析式．18．（10分）已知曲线．（1）求满足斜率为的曲线的切线方程；（2）求曲线过点P（1，0）的切线方程．19．（10分）已知椭圆的离心率为，且曲线过点（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线x﹣y+m=0与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点不在圆内，求m的取值范围．2016-2017学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．“m＞n＞0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充而分不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】本题考查的知识点是充要条件的定义，及椭圆的定义，我们分别判断“m ＞n＞0”⇒“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的真假，及“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”⇒“m＞n＞0”的真假，然后根据充要条件的定义，即可得到结论．【解答】解：当“m＞n＞0”时”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”成立，即“m＞n＞0”⇒”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”为真命题，当“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”时“m＞n＞0”也成立，即“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”⇒“m＞n＞0”也为真命题，故“m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件，故选：C．【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p 是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p 是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q 的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．2．已知F1（﹣3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|=4，则点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支C．一条射线D．不存在【考点】轨迹方程．【分析】利用已知条件，结合双曲线定义，判断选项即可．【解答】解：F1（﹣3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|=4，因为|F1F2|=6＞4，则点P的轨迹满足双曲线定义，是双曲线的一支．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质以及双曲线定义的应用，是基础题．3．已知函数，当x由2变为1.5时，函数的增量为（）A．1 B．2 C．D．【考点】变化的快慢与变化率．【分析】直接由f（2）﹣f（1.5）得到函数的增量【解答】解：函数，当x由2变为1.5时，函数的增量为f（1.5）﹣f（2）=﹣=﹣1=，故选：C【点评】本题考查了变化的快慢与变化率，考查了函数的增量，是基础的计算题．4．设曲线y=ax2在点（1，a）处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，则a=（）A．1 B．C．D．﹣1【考点】导数的几何意义．【分析】利用曲线在切点处的导数为斜率求曲线的切线斜率；利用直线平行它们的斜率相等列方程求解．【解答】解：y'=2ax，于是切线的斜率k=y'|x=1=2a，∵切线与直线2x﹣y﹣6=0平行∴有2a=2∴a=1故选：A【点评】本题考查导数的几何意义：曲线在切点处的导数值是切线的斜率．5．抛物线y2=﹣x的准线方程是（）A．y= B．y= C．x= D．x=【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线y2=﹣x的开口向左，且2p=，由此可得抛物线y2=﹣x的准线方程．【解答】解：抛物线y2=﹣x的开口向左，且2p=，∴=∴抛物线y2=﹣x的准线方程是x=故选D．【点评】本题考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．6．双曲线=1的焦距为（）A．2 B．4 C．2 D．4【考点】双曲线的简单性质．【分析】直接利用双曲线方程，求出c，即可得到双曲线的焦距．【解答】解：双曲线=1，可知a2=10，b2=2，c2=12，∴c=2，2c=4．双曲线=1的焦距为：4．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查．7．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．【分析】利用椭圆的简单性质列出方程，求解即可．【解答】解：焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，可得a+b=10，2c=4，c=2，即a2﹣b2=20，解得a2=36，b2=16，所求椭圆方程为：．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，考查计算能力．8．下列函数中，导函数是奇函数的是（）A．y=cosx B．y=e x C．y=lnx D．y=a x【考点】函数奇偶性的判断．【分析】运用常见函数导数的公式和奇偶性的定义，即可判断A正确．【解答】解：A，y=cosx的导数为y′=﹣sinx，显然为奇函数；B，y=e x的导数为y′=e x为非奇非偶函数；C，y=lnx的导数为y′=（x＞0）为非奇非偶函数；D，y=a x的导数为y′=a x lna为非奇非偶函数．故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断和函数的导数公式的运用，考查判断能力，属于基础题．9．已知函数，则f'（π）=（）A． B．C．D．【考点】导数的运算．【分析】先对函数f（x）求导，进而可求出f′（π）的值．【解答】解：∵f′（x）=•sinx+cosx，∴f′（π）=sinπ+cosπ=﹣．故选：B．【点评】本题考查导数的值，正确求导是解决问题的关键．10．已知椭圆的离心率，则实数k的值为（）A．3 B．3或C．D．或【考点】椭圆的简单性质．【分析】当K＞5时，由e===求得K值，当0＜K＜5时，由e===，求得K值．【解答】解：当K＞5时，e===，K=．当0＜K＜5时，e===，K=3．综上，K=3，或．故选B．【点评】本题考查椭圆的标准方程，以及简单性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，分类讨论是解题的关键．二、填空题（2016秋•和平区期末）顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于6的抛物线标准方程是x2=±24y．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用已知条件，求出抛物线的距离p，然后写出抛物线方程即可．【解答】解：顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于6，可得抛物线方程p=12，所求抛物线方程为：x2=±24y．故答案为：x2=±24y．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．12．与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出双曲线方程，利用双曲线经过的点，代入求解即可．【解答】解：与双曲线有共同的渐近线，可设双曲线方程为：，双曲线过点，可得，即m=﹣，所求双曲线方程为：．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．13．曲线和y=x2在它们的交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是．【考点】直线的点斜式方程．【分析】本题可以先求出交点坐标，再求解交点处的两个方程，然后分别解出它们与x轴的交点坐标，计算即可．【解答】解：联立方程解得曲线和y=x2在它们的交点坐标是（1，1），则易得两条切线方程分别是y=﹣x+2和y=2x﹣1，y=0时，x=2，x=，于是三角形三顶点坐标分别为（1，1）；（2，0）；（，0），s=×，即它们与x轴所围成的三角形的面积是．【点评】本题考查了直线的点斜式方程的求法，应注意掌握好这一基本方法．14．已知椭圆的三个顶点B1（0，﹣b），B2（0，b），A（a，0），焦点F（c，0），且B1F⊥AB2，则椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用已知条件列出方程，通过椭圆的几何量的关系求解椭圆的离心率即可．【解答】解：椭圆的三个顶点B1（0，﹣b），B2（0，b），A（a，0），焦点F（c，0），且B1F⊥AB2，可得：=0，即b2=ac，即a2﹣c2﹣ac=0，可得e2+e﹣1=0，e∈（0，1），解得e=．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．三、解答题（本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（10分）（2016秋•和平区期末）求满足下列条件的椭圆的标准方程．（1）焦点在y轴上，c=6，；（2）短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3．【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．【分析】（1）利用椭圆的离心率，求出a，b即可得到椭圆方程．（2）利用已知条件列出方程，求出a，b，即可求出椭圆方程．【解答】（本题满分10分）解：（1）焦点在y轴上，c=6，；可得=，所以a=9，则b==．所求椭圆方程为：．…（5分）（2）解：由题意知，a=5，c=3，所以b2=a2﹣c2=25﹣9=16，…（6分）若焦点在x轴上，则椭圆的标准方程为，…（8分）若焦点在y轴上，则椭圆的标准方程为．…（10分）【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力．16．（10分）（2016秋•和平区期末）已知A、B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为（1，0），线段AB恰被M（2，1）所平分．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）求直线AB的方程．【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．【分析】（Ⅰ）令抛物线E的方程，根据抛物线E的焦点为（1，0），即可求得结论；（Ⅱ）利用点差法，结合线段AB恰被M（2，1）所平分，求出AB的斜率，即可求得直线AB的方程．【解答】解：（Ⅰ）令抛物线E的方程：y2=2px（p＞0）∵抛物线E的焦点为（1，0），∴p=2∴抛物线E的方程：y2=4x（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则y12=4x1，y22=4x2，两式相减，得（y2﹣y1）/（y1+y2）=4（x2﹣x1）∵线段AB恰被M（2，1）所平分∴y1+y2=2∴=2∴AB的方程为y﹣1=2（x﹣2），即2x﹣y﹣3=0．【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．17．（10分）（2016秋•和平区期末）已知函数．（1）求f'（x）；（2）设f（x）的图象在x=1处与直线y=2相切，求函数f（x）的解析式．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）利用导数法则求f'（x）；（2）由f（x）的图象在x=1处与直线y=2相切，得，求出a，b，即可求函数f（x）的解析式．【解答】解：（1）…（2分）==．…（2）依题意有…（6分）所以，解得a=4，b=1，…（9分）所以．…（10分）【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．18．（10分）（2016秋•和平区期末）已知曲线．（1）求满足斜率为的曲线的切线方程；（2）求曲线过点P（1，0）的切线方程．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求导数，利用斜率为，求出切点坐标，即可求满足斜率为的曲线的切线方程；（2）设过该点的切线切点为，求导数，即可求曲线过点P（1，0）的切线方程．【解答】解：（1）设切点为，则切线斜率为，…（1分）所以，解得，…（2分）所以，切点坐标为或，…于是，切线方程为或，整理得，或．…（5分）（2）显然点P（1，0）不在曲线上，…（6分）则可设过该点的切线切点为，而斜率，…（7分）于是，切线方程为，①…（8分）将P（1，0）坐标代入方程①得，解得，…（9分）把代入方程①，并整理得切线方程为4x+y﹣4=0．…（10分）【点评】本题考查导数几何意义的运用，考查学生的计算能力，正确求导是关键．19．（10分）（2010•怀柔区二模）已知椭圆的离心率为，且曲线过点（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线x ﹣y +m=0与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点不在圆内，求m 的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）根据离心率为，a 2=b 2+c 2得到关于a 和b 的一个方程，曲线过点，把点代入方程即可求得椭圆C 的方程；（2）直线x ﹣y +m=0与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点，联立直线和椭圆的方程，消元，得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理求得AB 的中点坐标，再根据该点不在圆内，得到该点到圆心的距离≥半径，求得m 的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴，∴a 2=2b 2①曲线过，则②由①②解得，则椭圆方程为．（2）联立方程，消去y 整理得：3x 2+4mx +2m 2﹣2=0则△=16m 2﹣12（2m 2﹣2）=8（﹣m 2+3）＞0，解得③，，即AB 的中点为又∵AB 的中点不在内，∴解得，m≤﹣1或m≥1④由③④得：＜m≤﹣1或1≤m＜．【点评】本小题主要考查直线与圆锥曲线等基础知识，考查数形结合的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力，直线与圆锥曲线相交问题，易忽视△＞0，属中档题．。