矩阵指数函数地性质与计算
矩阵指数函数
(5) e
e e；
e；
(6) det e e , 其中
αα
证明 (1) 由定理 2.1.1 知
eµ
α 是 的迹．
λµ k!
若命k m l，则
eµ
但由于C
!，于是有
!!
eµ
∑
∑Cλ λ ．
!
C
λ
µ
1， l m!
λ
λ
e e µ．
m!
l!
反之亦然． (2) 由定理 2.1.1 知
i e
k!
i
i
!
!
!
6
中国矿业大学（北京）2011 届本科生毕业设计（论文）
d e
dt
dt dt k!
kt k 1!
t
t
l!
l!
e eA ．
(6) 设 所以
diag , , … ,
，其中 是 的 Jordan 标准型，则
e
é êe
li
eli
ê
ê
e ji
ê =ê
eli
ê
ê
ê
ê
êë
diag e , e , , … , e , ，
1 el eli
(di -1)!
现在矩阵经过两个多世纪的发展，已成为一门数学分支——矩阵论。矩阵 的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技方面都有广 泛的应用．
1.2 本文所做工作
矩阵函数是矩阵理论的重要内容，矩阵函数中最简单的是矩阵多项式，是 研究其他矩阵函数的基础．本文讨论的是矩阵函数中的一类函数——矩阵指数 函数，阐述它的定义、一般基本性质、几种计算方法及这几种方法的比较，同 时阐述一下矩阵指数函数的一些应用．
矩阵指数的定义
矩阵指数的定义矩阵指数是一个重要的数学工具，是矩阵理论中的一个基础概念。
下面来介绍它的定义和相关性质。
定义：矩阵指数是指对于一个 n 阶方阵 A，定义指数函数 f(x) = e^x，然后将其应用于 A，就得到了矩阵指数 exp(A) = f(A)。
其中 e 为自然对数的底数。
求解：矩阵指数的求解可以通过泰勒级数展开式来实现。
对于一个 n 阶方阵A，我们可以把它的指数函数表示成以下形式：exp(A) = I + A + A^2/2! + A^3/3! + ... + A^n/n! + ...其中 I 为 n 阶单位矩阵。
这个级数的求和式可以通过矩阵幂运算来实现。
性质：1. 对于任意的 n 阶矩阵 A 和 B，都有 exp(A+B) = exp(A)exp(B), 即矩阵指数具有可加性。
2. 对于任意的可逆矩阵 X 和它的逆矩阵 X^-1，都有 exp(X)exp(-X) = I，即矩阵指数具有可逆性。
3. 对于任意的实数 c 和 n 阶矩阵 A，都有 exp(cA) = exp(A)^c 和exp(A^n) = exp(nA)，即矩阵指数具有指数函数的所有基本性质。
4. 对于任意两个相似矩阵，它们的矩阵指数是相等的。
应用：矩阵指数在许多领域都有广泛的应用，比如微分方程、分析力学、量子力学等。
其中最常见的应用是通过指数函数来求解某些矩阵方程，比如矩阵微分方程和矩阵差分方程，以及求解线性系统的稳定性问题。
总结：矩阵指数是一种重要的数学工具，具有可加性、可逆性、基本性质和应用广泛等特点。
通过泰勒级数展开和矩阵幂运算，可以对矩阵指数进行求解。
它在许多领域都有广泛的应用，是矩阵理论中的一个基础概念。
矩阵幂和矩阵指数函数的计算方法
矩阵幂和矩阵指数函数的计算方法矩阵幂和矩阵指数函数是矩阵运算中比较重要的两个概念。
在矩阵幂和矩阵指数函数的计算过程中，我们需要用到一些特殊的算法和方法。
本文将介绍矩阵幂和矩阵指数函数的概念、计算方法和应用等方面的内容，帮助读者更好地了解和掌握这两个概念。
一、矩阵幂的概念对于一个$n$阶矩阵$A$，设$k$为一个自然数，则$A^k$表示$k$次幂。
即：$A^k=\underbrace{A \times A \times \cdots \times A}_{k\text{个} A}$其中，当$k=0$时，$A^k$等于$n$阶单位矩阵$I_n$。
矩阵幂的计算过程中，我们需要用到矩阵乘法的定义。
对于两个$n$阶矩阵$A$和$B$，它们的乘积$AB$定义为：$AB=[c_{ij}]=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}$其中，$c_{ij}$表示矩阵的第$i$行第$j$列的元素，$a_{ik}$和$b_{kj}$分别表示第$i$行第$k$列的元素和第$k$行第$j$列的元素。
二、矩阵幂的计算方法矩阵幂的计算方法有两种：直接幂法和快速幂法。
1. 直接幂法直接幂法是一种比较简单的计算矩阵幂的方法。
对于一个$n$阶矩阵$A$和一个自然数$k$，我们可以通过$k-1$次连乘的方式计算出$A^k$的值。
即：$A^k=\underbrace{A \times A \times \cdots \times A}_{k-1\text{个} A} \times A$由此可见，计算矩阵幂的直接幂法需要进行$k-1$次矩阵乘法运算，时间复杂度为$O(kn^3)$。
2. 快速幂法快速幂法是计算矩阵幂的高效方法，它能够有效地减少运算次数，提高计算效率。
该方法基于指数的二进制表示，通过不断地平方和乘以相应的权值，最终计算出矩阵幂的值。
具体步骤如下：（1）将指数$k$转换成二进制数，例如，$k=13$转换成二进制数为$1101$。
现代控制理论 矩阵指数函数的计算方法PDF版
《现代控制理论》MOOC课程第二章系统状态空间表达式的解三. 矩阵指数函数的计算方法根据矩阵指数函数的定义：方法一e At=I+At+12!A2t2+⋯=k=0∞1k!A k t k直接计算。
方法二将A阵化为对角标准型或约当标准型求解1. A的特征值不存在重根若A的n个特征值不存在重根，则在求出使A阵实现对角化λ1,λ2,⋯,λnT−1AT=λ1λ2⋱λn的变换阵后，即有指数函数矩阵：T−1、T e At=T eλ1teλ2t⋱eλn tT−1证明：T −1AT=λ1λ2⋱λn 由可得A =Tλ1λ2⋱λnT −1eAt=k=0∞1k!A k t k =k=0∞1k!Tλ1λ2⋱λnT−1kt k=k=0∞1k!Tλ1λ2⋱λnkT −1t k=Tk=0∞1k!λ1k tk k=0∞1k!λ2k tk ⋱k=0∞1k!λn k tk T −1=Te λ1te λ2t⋱e λn tT −1得证2. A的特征值存在重根若A的l组不同特征值为：λ1，λ2，⋯，λl，代数重数分别为σ1，σ2，⋯，σl(σ1+σ2+⋯+σl=n)且几何重数均为1，则在求出使A阵为约当标准型：J=T−1AT=J1J2⋱J l其中J i=λi1λi⋱⋱1λi为维矩阵σi×σi的变换阵后，即有指数函数矩阵：T−1、Te At=T e J1te J2t⋱e J l tT−1其中e J i t=eλi t1t12!t2⋯1(σi−1)!tσi−101t⋯1(σi−2)!tσi−2⋮⋮⋮⋯⋯⋯⋮t1证明：证明的思路与1相同,略去。
拉氏变换法：方法三e At =L −1(sI −A)−1证明：由矩阵指数函数的定义：e At=I +At +12!A 2t 2+⋯=k=0∞1k!A k tk取拉氏变换L(e At )=1s I +1s 2A +1s 3A 2+⋯=k=0∞1s(k+1)A k =s −1k=0∞s −1Ak =s −1I −s −1A−1=sI −A−1取拉氏反变换e At =L −1(sI −A)−1得证L t k k!=1sk+11+x +x 2+⋯+x k+⋯=k=0∞x k=11−x =(1−x)−1方法四应用凯莱－哈迷尔顿定理将表示为一个多项式e At e At =a 0t I +a 1t A +a 2t A 2+⋯+a n−1t A n−1若A 的特征值两两互异，则多项式的系数可按下式计算：a 0t a 1t ⋮a n−1t=1λ1λ12⋯λ1n−11λ2λ22⋯λ2n−1⋮1⋮λn⋮λn2⋮⋯⋮λnn−1−1e λ1te λ2t ⋮e λn tλ1，λ2，⋯，λl 若A 的n 个特征值为：，代数重数分别为，几何重数均为1，σ1，σ2，⋯，σl a 0t ⋮a σ1t ⋮a (σk=1l−1σk )+1t⋮a n−1t=p 1σ1⋮p 11⋮p lσl ⋮p l1−11σ1−1!t σ1−1e λ1t⋮e λ1t ⋮1σl −1!t σl −1e λl t⋮e λl t式中p i1=1λi λi 2⋯λin−1p i2=dp i1dλi ⋮p iσi =1σi −1!d σi −1p i1dλiσi −1凯莱－哈迷尔顿定理A∈R n×n设, 其特征多项式为：Dλ=λI−A=λn+a n−1λn−1+⋯+a1λ+a0=0则矩阵A必满足其特征多项式，即A n+a n−1A n−1+⋯+a1A+a0I=0证明：由凯莱－哈迷尔顿定理可表示为的线性组合,即A n−1、A n−2、⋯、A 、I A n A n =−a n−1A n−1−⋯−a 1A −a 0I进而有：A n+1=AA n =A(−a n−1A n−1−⋯−a 1A −a 0I)=−a n−1A n −a n−2A n−1−⋯−a 1A 2−a 0A=−a n−1(−a n−1A n−1−⋯−a 1A −a 0I)−a n−2A n−1−⋯−a 1A 2−a 0A=(a n−12−a n−2)A n−1+(a n−1a n−2−a n−3)A n−3+⋯+a n−1a 1−a 0A +a n−1a 0I这样均可表示为的线性组合。
matlab矩阵指数
matlab矩阵指数MATLAB是一款常用的科学计算软件，在矩阵运算方面具有高效、准确、易学等特点。
矩阵指数作为矩阵运算的一种重要方法，广泛应用于工程、物理、数学等领域中。
本文将对MATLAB中的矩阵指数进行详细的介绍和说明。
一、什么是矩阵指数矩阵指数是指对一个矩阵进行幂次运算，即将一个矩阵连乘若干次，得到的结果仍然是一个矩阵。
例如，若矩阵A的n次幂为An，则An=A×A×A×……×A(n个A相乘，n≥2)，其中A为n×n的矩阵，其结果仍为n×n的矩阵。
矩阵指数的重要性在于求解微分方程组、特征值、特征向量等问题时都需要用到。
二、MATLAB中如何实现矩阵指数在MATLAB中，可以使用expm()函数计算矩阵的指数，其函数格式为：Y = expm(X)其中，X为输入的矩阵，Y为输出的结果矩阵。
三、使用实例例如，我们定义一个2×2的矩阵A：A = [1, 2; 3, 4]运行后，输出结果为：B =-4.9975 7.384611.1329 -16.2976此时，矩阵B就是矩阵A的指数。
四、矩阵指数的性质对于任意的两个矩阵A和B，有以下几个性质：1. exp(A+B)=exp(A)exp(B)，即指数运算的乘幂规律。
以上性质可以帮助我们更好地理解矩阵指数的本质。
其中第一个性质常常用于简化矩阵运算，第二个性质则常常用于求解微分方程。
五、总结本文简单介绍了MATLAB中的矩阵指数，包括其定义、使用方法和性质。
通过对矩阵指数的解释，我们可以更好地理解其在科学计算领域中的应用，进一步挖掘矩阵运算的内涵和概念。
同时，我们也可以通过不断学习和探索，更好地掌握MATLAB的功能，为实现工程、物理和数学等学科中的计算任务提供更加高效、准确、便捷的工具。
矩阵指数python
矩阵指数python矩阵指数是线性代数中的一个重要概念，它在许多数学领域和实际应用中具有广泛的应用。
Python作为一门强大的编程语言，也提供了丰富的库和函数来计算矩阵指数。
本文将介绍如何使用Python计算矩阵指数，并探讨矩阵指数在数学和应用领域的具体应用。
首先，让我们来了解一下什么是矩阵指数。
矩阵指数是指对一个方阵进行幂级数展开，从而得到一组无穷级数，这个无穷级数形式上可以表示为e的α次方，其中e是自然对数的底数2.71828，α是一个实数。
在Python中，我们可以使用numpy库来计算矩阵的指数。
首先，我们需要导入numpy库，使用import numpy as np来实现。
接下来，我们可以使用numpy中的expm函数来计算矩阵指数。
这个函数的用法非常简单，只需要将一个方阵作为输入参数传递给它，它将返回计算得到的指数矩阵。
例如，假设我们有一个二维的方阵A，我们可以使用如下的代码来计算它的指数矩阵：```import numpy as npA = np.array([[1, 2], [3, 4]])expA = np.linalg.expm(A)```在上面的代码中，我们首先定义了一个二维的方阵A，然后使用numpy库中的linalg模块下的expm函数来计算指数矩阵。
最后，我们将计算得到的指数矩阵存储在expA变量中。
除了计算矩阵指数外，numpy库还提供了其他一些函数来处理矩阵，例如计算矩阵的逆、转置以及行列式等。
这些函数都可以在numpy的linalg模块中找到，具体用法可以参考官方文档或者在线资源。
矩阵指数在数学上具有许多重要的性质和应用。
例如，在微分方程的求解中，矩阵指数可以用来表示线性微分方程的通解。
此外，在概率论和数理统计中，矩阵指数也可以用来描述马尔可夫过程和随机矩阵的性质。
在应用领域中，矩阵指数也有广泛的应用。
例如，在金融领域，矩阵指数可以用来计算投资组合的收益率和风险。
矩阵函数及其应用
二、 矩阵函数的初步计算
1. Jordan 标准形法
对于矩阵的多项式，我们曾导出 f(A)= Pf(J)P-1 ， f：多项式
f(J)= ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣f(J1)
f(J2 ) %
%
f(Js )⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
f(Ji)= ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣f(λi)
f′(λi) %
21!f′′(λi) %
A2 = ⎡⎣⎢⎢01 01⎤⎦⎥⎥ = A3 = A4 = "
B2 = ⎡⎣⎢⎢01 -01⎤⎦⎥⎥ = B3 = B4 = "
∑ eA
=I+(
∝ n=1
1 )A n!
=I+(e
- 1)A
=
⎡⎢⎢⎣e0
e
1
1⎤⎥⎥⎦
∑ eB
=I+(
∝ n=1
1 )B n!
=I+(e
- 1)B
=
⎡⎢⎢⎣e0
1-1e⎤⎥⎥⎦
= an1x1(t)+ an2x2(t)+ " + annxn(t)
式中 t 是自变量，xi = xi(t)是 t 的一元函数(i= 1,2,",n),aij(i,j = 1,2,",n)
是常系数。
令
x(t)=[x1(t),x2(t),",xn(t)]T ， A = ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣aaa#1n2111
1 λi
1 λi
% %
λ01i ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
有非奇异矩阵 P 使得： P-1AP = J
对于函数 f(z)，若下列函数
f(λi),f′(λi),...,f(mi-1)(λi)
矩阵指数函数-状态转移矩阵
e2t
0 T 1 n t e
4 矩阵指数的计算
1、根据定义直接计算 0 1 【例2－1】已知系统矩阵 A 求 2 3 解：
1 e At I At 2! A2t
e
At
k1! Ak t k
2
k1! Ak t k
k 0
s3 ( s 1)( s 2) 2 ( s 1)( s 2) 1 ( s 1)( s 2) s ( s 1)( s 2)
则有：
1 1 1 2 s 1 s 2 s 1 s 2 At 1 e L 1 2 2 2 s 1 s 2 s 1 s 2
2et e2t t 2t 2e 2e
et e2t t 2t e 2e
A( t t0 )
称为状态转移矩阵。
这样，线性系统的自由解又可表示
x(t ) (t t0 ) x(t0 )
(3) 当t0 0 时，状态转移矩阵为 (t ) e At 状态方程解为 x(t ) (t ) x(0)
状态转移矩阵的几何意义
x(t1 ) (t1 ) x(0)
3 拉氏变换法： 可用拉氏反变换求矩阵指数
1 e At (t ) L1 ( sI A )
例2-4 用拉式变换法计算矩阵指数： 解： s 0 1 sI A A 2 2 3
1
1 s 3
s 3 1 1 ( sI A) 2 s s( s 3) 2
1 T 1 2 1 0 1 21 1 1 0 1 2 1 3 , 3 2 3 4 4 9 3 4 1 T 1 6 5 1 4 4 1
矩阵论-矩阵函数及其计算
f (Js (s ))
0
,
Js (s )
f (J1(1))
则f
(A)
P
0
0
P
1,
其中
f (Js (s ))
f
(i )
f (Ji (i ))
0
f '(i ) f (i )
f '(i )
Sylvester公式
(ni
1 1)!
f
( (ni 1) i
)
,1 i s.
f '(i ) f (i )
第四节 矩阵函数及其计算
一、矩阵函数的定义及例子
定义1：设幂函数 cmzm的收敛半径为R，且当 z R时，幂函数 m0
收敛于函数f(z)，即
f(z)= cmzm, z R. m0
若A Cnn，满足(A) R,称收敛的矩阵幂级数 cmAm的和为 m0
矩阵函数，记为f (A).即f (A)= cmAm，特别地，当R=+时， m0
5)若AB=BA，则eAeB =eBeA =eA+B; 6)一般的，eAeB，eBeA，eA+B互不相等; 7)eAeA =eAeA =I，即(eA )1 eA.(注A，eA总是可逆的)
证明：1）-4）可直接验证，6）可见书上反例，7）为5）的推论. 下证5），只需验证eAeB =eA+B，
eAeB
f (z) cm zm的收敛半径为R.若( A) R，则f (A) cmAm可表
m0
m0
为A的l-1次多项式p(A),即存在p()=0 1 l1l1, 使得
f (A) 0I 1A l1Al1=p(A),
且p( )是唯一的.
将f (A)表示为一个矩阵多项式的步骤：
现代控制理论 矩阵指数函数的计算方法PDF版
《现代控制理论》MOOC课程第二章系统状态空间表达式的解三. 矩阵指数函数的计算方法根据矩阵指数函数的定义：方法一e At=I+At+12!A2t2+⋯=k=0∞1k!A k t k直接计算。
方法二将A阵化为对角标准型或约当标准型求解1. A的特征值不存在重根若A的n个特征值不存在重根，则在求出使A阵实现对角化λ1,λ2,⋯,λnT−1AT=λ1λ2⋱λn的变换阵后，即有指数函数矩阵：T−1、T e At=T eλ1teλ2t⋱eλn tT−1证明：T −1AT=λ1λ2⋱λn 由可得A =Tλ1λ2⋱λnT −1eAt=k=0∞1k!A k t k =k=0∞1k!Tλ1λ2⋱λnT−1kt k=k=0∞1k!Tλ1λ2⋱λnkT −1t k=Tk=0∞1k!λ1k tk k=0∞1k!λ2k tk ⋱k=0∞1k!λn k tk T −1=Te λ1te λ2t⋱e λn tT −1得证2. A的特征值存在重根若A的l组不同特征值为：λ1，λ2，⋯，λl，代数重数分别为σ1，σ2，⋯，σl(σ1+σ2+⋯+σl=n)且几何重数均为1，则在求出使A阵为约当标准型：J=T−1AT=J1J2⋱J l其中J i=λi1λi⋱⋱1λi为维矩阵σi×σi的变换阵后，即有指数函数矩阵：T−1、Te At=T e J1te J2t⋱e J l tT−1其中e J i t=eλi t1t12!t2⋯1(σi−1)!tσi−101t⋯1(σi−2)!tσi−2⋮⋮⋮⋯⋯⋯⋮t1证明：证明的思路与1相同,略去。
拉氏变换法：方法三e At =L −1(sI −A)−1证明：由矩阵指数函数的定义：e At=I +At +12!A 2t 2+⋯=k=0∞1k!A k tk取拉氏变换L(e At )=1s I +1s 2A +1s 3A 2+⋯=k=0∞1s(k+1)A k =s −1k=0∞s −1Ak =s −1I −s −1A−1=sI −A−1取拉氏反变换e At =L −1(sI −A)−1得证L t k k!=1sk+11+x +x 2+⋯+x k+⋯=k=0∞x k=11−x =(1−x)−1方法四应用凯莱－哈迷尔顿定理将表示为一个多项式e At e At =a 0t I +a 1t A +a 2t A 2+⋯+a n−1t A n−1若A 的特征值两两互异，则多项式的系数可按下式计算：a 0t a 1t ⋮a n−1t=1λ1λ12⋯λ1n−11λ2λ22⋯λ2n−1⋮1⋮λn⋮λn2⋮⋯⋮λnn−1−1e λ1te λ2t ⋮e λn tλ1，λ2，⋯，λl 若A 的n 个特征值为：，代数重数分别为，几何重数均为1，σ1，σ2，⋯，σl a 0t ⋮a σ1t ⋮a (σk=1l−1σk )+1t⋮a n−1t=p 1σ1⋮p 11⋮p lσl ⋮p l1−11σ1−1!t σ1−1e λ1t⋮e λ1t ⋮1σl −1!t σl −1e λl t⋮e λl t式中p i1=1λi λi 2⋯λin−1p i2=dp i1dλi ⋮p iσi =1σi −1!d σi −1p i1dλiσi −1凯莱－哈迷尔顿定理A∈R n×n设, 其特征多项式为：Dλ=λI−A=λn+a n−1λn−1+⋯+a1λ+a0=0则矩阵A必满足其特征多项式，即A n+a n−1A n−1+⋯+a1A+a0I=0证明：由凯莱－哈迷尔顿定理可表示为的线性组合,即A n−1、A n−2、⋯、A 、I A n A n =−a n−1A n−1−⋯−a 1A −a 0I进而有：A n+1=AA n =A(−a n−1A n−1−⋯−a 1A −a 0I)=−a n−1A n −a n−2A n−1−⋯−a 1A 2−a 0A=−a n−1(−a n−1A n−1−⋯−a 1A −a 0I)−a n−2A n−1−⋯−a 1A 2−a 0A=(a n−12−a n−2)A n−1+(a n−1a n−2−a n−3)A n−3+⋯+a n−1a 1−a 0A +a n−1a 0I这样均可表示为的线性组合。
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矩阵指数函数的性质与计算PROPERTIES AND CALCULATION OF MATRIX EXPONENTIAL FUNCTION指导教师姓名：申请学位级别：学士论文提交日期：2014年6月 8日摘要矩阵函数是矩阵理论的重要组成部分，而矩阵函数中的一个最重要的函数就是矩阵指数函数，它广泛地应用于自控理论和微分方程。
本文深入浅出地介绍了矩阵指数函数，并进一步探讨如何借助矩阵指数函数分析相关问题。
文章以齐次线性微分方程组求解基解矩阵为出发点引出矩阵指数函数的概念，证明求解矩阵指数函数就是求解齐次线性微分方程组的基解矩阵，然后得到矩阵指数函数的一些基本性质。
本文的重点是讨论矩阵指数函数的五种计算方法。
其中，前三种方法广泛适用于各种矩阵，虽然计算过程复杂程度不同，但都需要计算矩阵特征值，如遇高阶矩阵或复特征值，则特征值的计算会变得异常麻烦。
后两种方法较特殊，虽然缺乏普适性，只能计算特殊矩阵的指数函数，但却避过了特征值计算，简化了运算过程。
最后，本文具体阐述矩阵指数函数在微分方程求解中的应用。
关键词：矩阵指数函数；Jordon 标准形；微分方程组ABSTRACTMatrix function is an important part of the matrix theory. And among the matrix function, there is a special and important function that is matrix exponential function. It has been widely used in automatic control theory and differential equations. This paper introduces profound theories on matrix exponential function in simple language, furthermore, it explores how to use matrix exponential function analysis related issues. Through the basic solution matrix of homogeneous linear differential equations, this paper draws out the concept of matrix exponential function. In this part, the author proves that solving matrix exponential function is to solve the basic solution matrix of the homogeneous linear differential equations. Then, some basic properties of matrix exponential function can be derived. The focus of this paper is on the discussion of five kinds of calculation on matrix exponential function. The first three methods can be applied to general cases. Although each method is different, in complexity, all of them need to compute the matrix eigenvalues. The calculation on high-order matrix or complex eigenvalues will be in trouble frequently. The latter two methods is more special for they can only calculate special matrix exponential function. These methods simplify the operation process instead of calculating eigenvalues, but their shortcomings are obvious. At the final part of this paper, the article expounds the application ofmatrix exponential function in different equations when solving the function in reality.Key words: Matrix exponential function; Jordon normal form; Differential equations目录1 前言 (1)1.1 矩阵（Matrix）的发展与历史 (1)1.2 本文的主要内容 (2)2 预备知识 (3)3 矩阵指数函数的性质 (7)3.1 矩阵指数 (7)3.1.1 关于级数! k kk A t k∞=∑的收敛性 (7)3.1.2 矩阵指数A e的性质 (8)3.1.3 常系数线性微分方程基解矩阵 (10)3.2 矩阵指数函数的性质 (130)3.2.1 矩阵函数 (130)3.2.2 矩阵指数函数的性质 (141)4 矩阵指数函数的计算方法 (207)4.1 矩阵指数函数的一般计算方法 (207)4.1.1 Hamilton‐Cayley求解法 (217)4.1.2 微分方程系数求解法 (251)4.1.3 Jordon块求解法 (283)4.2 矩阵指数函数的特殊计算方法 (316)4.2.1 矩阵指数函数展开法 (327)4.2.2 Laplace变换法 (27)4.3 矩阵指数函数方法比较 (28)5 矩阵指数函数在微分方程中的应用 (300)6 总结 (333)参考文献 (334)致谢 (35)天津科技大学2014届本科生毕业论文1 前言1.1 矩阵（Matrix）的发展与历史在数学中，矩阵（Matrix）是很常用的工具，虽然Matrix亦有“子宫，或者控制中心的母体，孕育生命的地方”此类含义，然而矩阵却与生物没有太大的关联，矩阵（Matrix）是指在二维空间里的数据纵横分布形成的表格，最先起源于方程组的各项系数和常数所组成的方阵。
矩阵的系统概念首先被英国的著名数学家凯利提出。
实际上，虽然矩阵（Matrix）这个概念诞生于19世纪，矩阵本身却有着非常古老的历史，早在很久以前就已发现幻方以及古老的拉丁方阵等关于矩阵方面相关研究记录。
在我们平时遇到的相关问题中，在解决线性方程方面问题的时候都会用到矩阵，在古代中国，也有很多类似于矩阵方面研究载，在魏晋的刘徽所编著的数学巨著《九章算术》中，就已经提到了怎样求解线性方程组增广矩阵。
书理用类似分离系数法的方法来表示线性方程组，在其一行乘以一个非零实数、把其中一行中和另一行相减等运算技巧，类似现在矩阵变换里面的初等变换。
然而由于当时世界各地并没有系统的矩阵研究，也没有相关概念，所以仅仅以线性方程内的表示方法为标准和相关的处理方式记录在书中。
在正常的逻辑中，矩阵系统这个概念应该在行列式之前被提出，但是在实际的数学历史中却正好相反。
在对行列式研究的体系慢慢完善起来之后，矩阵才慢慢进入数学家们的视野。
在该领域的数学家中，日本非常有名的关孝和（1683年）与戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（1693年）（微积分理论的提出者之一）在大致相同的时地独自建立了行列式理论。
在这以后这一理论不断发展，其经常被用来求解线性方程组。
1750年，加布里尔·克拉默提出了克莱姆法则。
随后，由于研究的需要，行数等于列数的行列式在解决重要的数学问题是有很大的局限性，无法满足实际需要。
于是矩阵便应运而生。
矩阵的当代概念体系在19世纪慢慢完成。
实际上矩阵的概念与行列式的概念有本质上的区别，其使用也有很大的不同。
在这一领域的数学家中，1850年，英国的詹姆斯（James Joseph Sylvester）最开始使用矩阵这个名字将数字构成的矩形阵列和最开始的行列式分离。
矩阵论体系的创立者一般被认为是英国著名数学家凯莱（Cayley），他将矩阵这个数学概念完全独立为一个新的数学对象，矩阵里面很多相关性质先在行列式问题的讨论中业已被发现，所以矩阵的概念的提出很容易被人接受。
在1858年，凯莱（Cayley）在他所写的《矩阵论的研究报告》里面有体系地说明了矩阵的一些基本理论。
在这篇报告里面作者规定了矩阵相等、算法、转置和矩阵基本概念，如逆矩阵的加法，给出了系列，互换性和约束力的概念。
除此之外，凯莱（Cayley）亦在报告里写下了方阵的特征方程以及特征根还有矩阵的少许基本结论。
此外，在之后关于矩阵系统的研究中，也有很多其他的数学家做出了重要的发现。
德国数学家弗洛伯纽斯（Frobenius）最先提出了最小多项式的概念，矩阵中秩的概念介绍、不变的因素和主要因素、正交矩阵的相似变换，矩阵的其他概念，如合同、不变的因素和主要因素理论的逻辑排列的形式等等。
在1854年，约丹首次发现了把一般矩阵化为标准型的方法。
1892年，梅茨勒（Metzler）使用并发展了矩阵函数及其相关概念并用它们整理出矩阵幂级数的形式。
另外，庞加莱（Poincare）以及傅立叶（Fourier）还探讨了与无限阶矩阵相关的一些问题。
到了这个时候，矩阵体系业已很完善了。
1.2 本文的主要内容矩阵函数是矩阵理论的重要内容，矩阵函数中最简单的是矩阵多项式，是研究其他矩阵函数的基础．本文讨论的是矩阵函数中的一类函数——矩阵指数函数。
本论文的题目是矩阵指数函数的性质和计算，所以主要论述便是性质和计算。
在文章的开始，本文会论述矩阵的相关发展与历史，在第二章会对本文用到的基本数学知识进行介绍，在文章的第三章，本文将会从齐次微分方程引入矩阵指数的概念，关于性质和计算部分主要在第四与第五章进行论述，性质部分论述了矩阵函数的性质，同时介绍了矩阵指数函数的相关特性；第五章将会介绍三种矩阵指数函数的计算方法，并会对这三种方法进行对比。
最后本文将会介绍矩阵指数函数在微分方程中的应用。
2 预备知识为了课题讨论中便于理解，引入研究此论文所需矩阵的相关知识概念：在这里，n n F ⨯表示对数域F 上n n ⨯矩阵的全部线性空间，因此n n C ⨯表示n n ⨯复矩阵集。