房山一模试卷及答案(文科)

房山区2015年高三数学(文科)一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项,直接涂在答题卡上.1．已知全集{12345}U =，，，，，集合{12}{23}A B ==，，，，则)(A C U B =（ ） 2．双曲线22194x y -=的渐近线方程是( )3．一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ） A ．43B ．83C ．4D ．84．设a ∈R ,则 “1a =”是“直线10ax y +-=与直线50x ay ++=平行”的（ ）5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1a =，45B =︒，2ABC S =△，则 b 等于 ( ) 6．在同一个坐标系中画出函数sin xy a y ax ==与的部分图象，其中01a a >≠且，则下列所给图象中可能正确的是（ ）A ．}3{B ．{45}，C ．{123}，，D ．{2345}，，，A ．23y x =± B ．49y x =±C ．32y x =±D ．94y x =±A ．充分不必要条件B ． 必要不充分条件C . 充要条件D ． 既不充分也不必要条件A．B ．5C ．41D ．25俯视图7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，则n S =（ ）8．一个人骑车以6米/秒的速度匀速追赶停在交通信号灯前的汽车,当他离汽车25米时，交通信号灯由红变绿,汽车开始做变速直线行驶(汽车与人的前进方向相同),若汽车在时刻t 的速度()v t t =米/秒，那么此人（ ） A ．可在7秒内追上汽车B ．不能追上汽车,但其间最近距离为16米C ．不能追上汽车,但其间最近距离为14米D ．不能追上汽车,但其间最近距离为7米第II 卷 非选择题(共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡指定位置.9. 若复数(1)(2)z m m i =-+-，（m ∈R ）是纯虚数，复数z 在复平面内对应的点的坐标为_____． 10．连续抛两枚骰子分别得到的点数是a ，b ，设向量(,)m a b =， 向量(1,1)n =-，则m n ⊥的概率是_____．11．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为_____．12．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=,0,31,0,)21()(x x x x f x则=-))1((f f ____；若)32(2f a f >-_____．A ．12-nB ．1)23(-nC ．1)32(-n D ．121-n13．已知命题2:,p x x ax a ∃∈++R ＜0.若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围是_____． 14. 实数,x y 满足320x y x y +≥⎧⎨-≤⎩，若(x 2)y k ≥+恒成立，则实数k 的最大值是_____．三、解答题：本大题共6小题,共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知数列{}n a 中，点),(1+n n a a 在直线2+=x y 上，且首项1a 是方程01432=+-x x 的整数解.（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）数列}{n a 的前n 项和为n S ，等比数列}{n b 中，11a b =，22a b =，数列}{n b 的前n 项和为n T ，当n n S T ≤时，请直接写出n 的值.16.（本小题共13分）已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的图象的一部分如图所示．（Ⅰ）求函数)(x f 的解析式；（Ⅱ）当1[6,]3x ∈--时，求函数()y f x =的最大值与最小值及相应的x 的值．17.（本小题共13分）教育资源的不均衡是促进“择校热”的主要因素之一，“择校热”也是教育行政部门一直着力解决的问题。

某社会调查机构为了调查学生家长对解决“择校热”的满意程度，从D C B A ,,,四个不同区域内分别选择一部分ADE学生家长作调查，每个区域选出的人数如条形图所示.为了了解学生家长的满意程度，对每位家长都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：（Ⅰ）若家长甲来自A 区域，求家长甲的调查问卷被选中的概率； （Ⅱ）若想从调查问卷被选中且填写不满意的家长中再选出 2人进行面谈，求这2人中至少有一人来自D 区域的概率.18.（本小题共14分）如图，四棱锥E ABCD -中，侧面EAB ⊥底面ABCD ,底面ABCD AD ∥BC ，2AB BC AD ==，90DAB ︒∠=,△EAB 是正三角形，F （Ⅰ）求证：DF ∥平面EAB ； （Ⅱ）求证：DF ⊥平面EBC .19.（本小题共13分）已知函数()ln 1f x x ax =-+，a 是常数，∈a R ． （Ⅰ）求曲线)(x f y =在点(1,(1))P f 处的切线l 的方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（III ）证明:函数()f x )1(≠x 的图象在直线l 的下方．20.（本小题共14分）已知椭圆W ：12222=+by a x )0(>>b a 的离心率为21，Q 是椭圆上的任意一点，且点Q 到椭圆左右焦点1F ，2F 的距离和为4．（Ⅰ）求椭圆W 的标准方程；（Ⅱ）经过点()1,0且互相垂直的直线1l 、2l 分别与椭圆交于A 、B 和C 、D 两点（A 、B 、C 、D 都不与椭圆的顶点重合），E 、F 分别是线段AB 、CD 的中点，O 为坐标原点，若OE k 、OF k 分别是直线OE 、OF 的斜率，求证：OE OF k k ⋅为定值．房山区2015年高三第一次模拟试题高三数学(文科) 参考答案一、选择题（每题5分，共40分）二、填空题（每题5分，共30分） 9．(0,1)-; 10.61; 11. 60137 ； 12. 5-，⎪⎭⎫⎝⎛-3,21 ; 13. [04]，14. 23三、解答题（写出必要的文字说明，计算或证明过程。

共80分）15.（本小题共13分）解：（I ）根据已知11=a ，21+=+n n a a 即d a a n n ==-+21，………………2分所以数列}{n a 是一个等差数列，12)1(1-=-+=n d n a a n ………………4分（II ）数列}{n a 的前n 项和2n S n =………………6分等比数列}{n b 中，111==a b ，322==a b ，所以3=q ，13-=n n b……………9分数列}{n b 的前n 项和2133131-=--=n n n T ……………11分n n S T ≤即2213n n ≤-，又*N n ∈，所以1=n 或2 ……………13分16．（本小题共13分）解：(I)由图象知A ＝2，T ＝8＝2πω，∴ω＝π4，得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ. 由π4×1＋φ＝2k π＋π2⇒φ＝2k π＋π4，Z k ∈ 又|φ|<π2，∴φ＝π4.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4 ……………6分 (II)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4 ∵x ∈1[6,]3--， ∴5[,]4446x ππππ+∈-，∴当5444x πππ+=-，即6x =-时 (x)f 当442x πππ+=-，即3x =-时 (x)f 取得最大值为2- ……………13分17.（本小题共13分） 解：（Ⅰ）由条形图可得，来自A ，B ，C ，D 四个区域的家长共有200人， ……………1分 其中来自A 区域的家长为40人， ……………2分 由分层抽样可得从A 区域的家长问卷中抽取了 42004020=⨯份. ……………4分 设事件M =“家长甲被选中进行问卷调查”， ……………5分 则.10404)(==M P . ……………6分 (II) 由图表可知，来自A ，B ，C ，D 四区域的家长分别接受调查的人数为4，5，6，5. 其中不满意的家长人数分别为1，1，0，2个 . ………7分 记来自A 区域不满意的家长是a ；来自B 区域不满意的家长是b ；来自D 区域不满意的家长是c ，d. ………8分 设事件N=“从填写不满意的家长中选出2人，至少有一人来自区域D ” …………9分 从填写不满意的学生中选出2人，共有(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)6个基本事件， ……10分 而事件N 有(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)5个基本事件， ………11分 故()65=N P . ………13分 18.（本小题共14分）证明：（I ）设M 为BE 的中点,连结FM ，AM∵F 为EC 的中点∴FM ∥BC ，12FM BC =∵AD ∥BC ，2BC AD = ∴四边形AMFD 是平行四边形∴AM ∥DF ………6分又DF ⊄平面EAB ，AM ⊂平面EAB ∴DF ∥平面EAB(II)∵AD ∥BC ，090DAB ∠= ∴BC ⊥AB又侧面EAB ⊥底面ABCD ，侧面EAB 底面ABCD AB =,AB ⊂平面ABCD∴BC ⊥平面EAB ,又AM ⊂平面EAB ∴BC ⊥AM∵△EAB 是正三角形，F 为EC 的中点 ∴BE ⊥AM 又BCBE B =,BC ⊂平面EBC ,BE ⊂平面EBC∴AM ⊥平面EBC ∵AM ∥DF∴DF ⊥平面EBC …………………14分19.（本小题共13分） 解：（Ⅰ）1()=f x a x'- …………………2分 (1)=+1f a -，=(1)=1l k f a '-，所以切线 l 的方程为(1)=(1)l y f k x --，即=(1)y a x -． …………………4分（Ⅱ）)(x f 定义域为()+∞,01()=f x a x'-x ax -=1 （1）当0=a 时，()01>='xx f ，)(x f 在()+∞,0为增函数 （2）当0≠a 时， 令01=-x ax 得，0=x 或ax 1=①当0<a 时，)(x f 在()+∞,0为增函数 ②当0>a 时，)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1,0上是增数，在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1a 是减函数 …………………9分 （Ⅲ）令()=()(1-)=ln +1>0F x f x a x x x x --，，则11()=1=(1)()=0=1.F x x F x x x x''--， 解得 (1)<0F ，所以>0x ∀且1x ≠，()<0F x ，()<(1)f x a x -，即函数=()(1)y f x x ≠的图像在直线 l 的下方． ……………13分20.（本小题共14分）解：（Ⅰ）∵点Q 到椭圆左右焦点的距离和为4. ∴24a =，2a =.又12c e a ==，∴1c =，2223b a c =-=. ∴椭圆W 的标准方程为：22143x y +=…………………5分 （Ⅱ）∵直线1l 、2l 经过点(0,1)且互相垂直，又A 、B 、C 、D 都不与椭圆的顶点重合 ∴设1l ：1y kx =+，2l ：11y x k=-+；点11(,)A x y 、22(,)B x y 、(,)E E E x y 、(,)F F F x y 由221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)880k x kx ++-= ∵点(0,1)在椭圆内，∴△0>∴122834kx x k +=-+，∴1224234E x x kx k+==-+，23134E E y kx k =+=+ ∴34E OE E y k x k==- 同理33144()F OF Fy kk x K==-=-∴916OE OF k k ⋅=-…………………14分。