初中数学知识点精讲精析 平方根知识讲解
初三数学平方根知识点汇总
初三数学平方根知识点汇总一、平方根的定义平方根是指一个数的平方等于给定数的非负实数解。
如果一个数的平方等于给定数，那么这个数就叫做给定数的平方根。
平方根表示为√。
二、平方根的性质1. 非负数的平方根是非负数。
2. 正数的平方根有两个解：一个正数和一个负数。
3. 0的平方根是0。
4. 负数没有实数平方根，但可以用虚数表达。
三、平方根的运算法则1. 平方根与平方的运算互相抵消，即√(a^2) = a。
2. 平方根与乘法可以交换次序，即√(a*b) = √a * √b。
3. 平方根与除法可以交换次序，即√(a/b) = √a / √b。
4. 平方根的和与差可以分别用相应数的平方根表示，即√a + √b ≠ √(a + b)，√a - √b ≠ √(a - b)。
四、求平方根的方法1. 分解质因数法：将被开方数分解成质因数的形式，相同因数的指数减半。
2. 逼近法：通过不断逼近，找到一个足够接近被开方数的近似值。
3. 牛顿迭代法：通过求切线与x轴的交点，逐步逼近被开方数的平方根。
五、常见的平方根1. 平方根的近似值：- √2 ≈ 1.41- √3 ≈ 1.73- √5 ≈ 2.24- √7 ≈ 2.65- √10 ≈ 3.162. 完全平方数的平方根：- 1的平方根是1。
- 4的平方根是2。
- 9的平方根是3。
- 16的平方根是4。
- ...六、注意事项1. 在计算平方根时，要注意是否涉及虚数。
2. 求平方根时，如果不要求精确值，可以使用近似值进行计算。
3. 在运算中，要注意平方根的运算法则，以避免出现错误的结果。
以上是初三数学平方根的知识点汇总，希望对您有所帮助！。
初中平方根知识讲解
平方根知识点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a，读作“a 的算术平方根”，a 叫做被开方数.要点诠释：a≥0，a ≥0.2.平方根的定义如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a (a ≥0)的平方根的符号表达为0)a ≥a 的算术平方根.知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点三、平方根的性质0||000a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20a a =≥知识点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.250=25=2.5=0.25=.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、下列说法错误的是（ ）A.5是25的算术平方根B.l 是l 的一个平方根C.()24-的平方根是－4D.0的平方根与算术平方根都是0举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：（1）9-没有平方根．（ ）（24=±．（ ）（3）21()10-的平方根是110±．（ ） （4）25--是425的算术平方根．（ ） 2、 填空：（1）4-是 的负平方根．（2表示 的算术平方根，= ．（3的算术平方根为 ．（43=，则x = ，若3=，则x = ．举一反三：【变式1】下列说法中正确的有（ ）：①3是9的平方根． ② 9的平方根是3．③4是8的正的平方根．④ 8-是64的负的平方根．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式2】求下列各式的值：（1） （2（3（43x 的取值范围是______________．类型二、利用平方根解方程4、求下列各式中的x .（1）23610;x -= （2）()21289x +=； （3）()2932640x +-= 类型三、平方根的应用5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？类型一、平方根和算术平方根的概念1、若2m －4与3m －1是同一个正数的两个平方根，求m 的值．举一反三：【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 的平方根，求m 的值.类型二、平方根的运算3、求下列各式的值．-类型三、利用平方根解方程4、求下列各式中的x . （1）23610;x -= （2）()21289x +=； （3）()2932640x +-= 举一反三：【变式】求下列等式中的x ：（1）若2 1.21x =，则x ＝______； （2）2169x =，则x ＝______；（3）若29,4x =则x ＝______； （4）若()222x =-，则x ＝______． 类型四、平方根的综合应用5、已知a 、b |0b -=，解关于x 的方程2(2)1a x b a ++=-．举一反三：0=，求20112012x y +的值．。
七年级数学下平方根知识点
七年级数学下平方根知识点数学是一门重要的学科，也是一门相对来说比较难的学科。
在数学的课程中，平方根是一个重要的知识点，也是我们每一个人在很多时候都需要运用到的一个基础。
接下来，我们将会对七年级数学下平方根的知识点进行详细讲解，希望可以给大家带来帮助。
一、平方根的定义平方根是一个数学计算中的一个运算符号，表示为“√”，它的主要作用是求一个数的正平方根。
例如，我们可以用“√9=3”来表示3是数字9的平方根。
而在数学中，我们还可以用“√a²=a”来表示一个数的平方根。
二、平方根的计算方法在进行平方根的计算时，我们通常使用的是开根号法。
这种方法可以用于计算各种数字的平方根，不仅仅是整数，还可以是小数和负数。
下面，我们就来对开根号法进行详细的讲解。
1.完全平方数的平方根“完全平方数”指的是一个整数的平方，比如1、4、9、16等等。
对于完全平方数来说，其平方根也是一个整数。
例如，9的平方根就是整数3，而16的平方根则是整数4。
2.小数的平方根对于小数来说，其平方根可以使用求近似值的方法进行计算。
例如，要计算2的平方根，我们可以这样做：首先猜测它的平方根，例如1.5，然后进行验证，即1.5²=2.25，比2要大一点。
因此，我们需要尝试更小的值来进行猜测。
一个常用的方法是将2除以2，得到1，这时再尝试1.5，得到1.5²=2.25，比2要大一点。
接着，我们可以将1.5和1相加并除以2，得到1.25，再进行类似的验证，直到得到精确的结果为止。
3.负数的平方根负数的平方根是一个虚数。
虚数的表示方式是“i开平方”，其中i是一个复数单位，表示“虚数单位”。
比如，其中一个负数的平方根是-9，那么我们可以将其表示为9i，即“√-9=3i”。
三、平方根的性质平方根有许多有趣的性质，包括：1.两个正实数的平方根之和是不能再化简的形式。
即，“√a+√b”不能再化简；同样，“√a-√b”也不能再化简。
初中数学平方根知识点归纳
初中数学平方根知识点归纳平方根是初中数学中一个重要的概念，它与平方和开方有着密切的关系。
在初中数学教学中，平方根的概念和性质是学生掌握的基础知识之一。
本文将围绕初中数学平方根知识点进行归纳和总结，以帮助学生更好地理解和应用平方根概念。
一、平方根的定义和性质平方根的定义：对于任意一个非负实数a，如果存在一个非负实数x，使得x的平方等于a，那么x就是a的平方根。
符号表示：√平方根的性质：平方根具有以下性质：1. 非负实数的平方根是非负实数；2. 0的平方根是0；3. 正实数的平方根有两个值，一个是正数，另一个是负数；4. 通过平方运算，平方根是可逆的，即(√a)²=a，其中a≥0。
二、平方根的计算方法求一个数的平方根可以通过多种方法进行计算，下面介绍两种常用的计算方法。
1. 精确计算法：当被开方数是一个完全平方数时，可以直接提取根号。
例如，√16=4；√25=5。
2. 近似计算法：对于非完全平方数，可以使用近似计算法来获取平方根的估计值。
其中一种方法是利用长除法，逐步逼近平方根的准确值。
另一种方法是利用二分法，根据平方根的大小与区间中点的大小关系，逐渐缩小区间范围，直到精度满足要求。
三、平方根的性质与运算1. 合并根号：对于正实数a和b，有√(a × b) = √a × √b；2. 开方运算的基本性质：a) √(a × b) = √a × √b，其中a≥0，b≥0；b) √(a ÷ b) = √a ÷ √b，其中a≥0，b>0；c) √(a ÷ b) ≠ √(a) ÷ √(b)，当a≥0，b>0且a≠b时，两者不等；3. 平方根与乘方运算：(a^2)^0.5 = |a|，其中a可以是任意实数。
四、应用举例平方根的应用广泛存在于各个领域，在初中数学中也有一些常见的应用举例。
1. 利用平方根求直角三角形的斜边：在一个直角三角形中，已知两条边的长度，可以利用勾股定理求解未知边的长度，其中需要涉及到平方根的运算。
七年级平方根知识点
七年级平方根知识点平方根是数学中常见的概念，也是七年级数学中的重要知识点。
学好平方根，不仅可以提高数学素养，还能帮助我们解决实际问题。
下面就来详细了解一下七年级平方根知识点。
1. 平方根的定义平方根指的是一个数的正平方根或负平方根。
例如正数a的正平方根是x，即x²=a，那么x就是a的正平方根；负数a的平方根是i*x，即(i*x)²=a，其中i表示虚数单位，那么i*x就是a的负平方根。
2. 平方根的性质平方根有以下几个重要的性质：（1）正数的平方根是正数，负数的平方根是虚数；（2）任何正数都有两个平方根，一个正平方根和一个负平方根；（3）零的平方根是零，任何负数的平方根都不存在实数解。
3. 简化平方根当我们求解平方根时，有一些情况下可以将平方根简化为较小的数。
例如对于正整数a，如果a可以分解成两个数的积，那么a 的平方根可以被简化。
具体地说，我们可以找到a的因数b和c，使得a=b*c，那么a的平方根就可以化简成根号b*根号c。
4. 平方根的运算在平方根的运算中，最基本的运算是加减。
有平方根的表达式相加减时，我们需要先将同类项合并，再根据平方根的性质进行约分，最后将常数项相加减即可。
在乘除运算中，平方根可以和普通数相乘除，也可以和平方根相乘除。
具体方法如下：（1）和普通数相乘除时，我们可以将平方根化简为最简形式，再和另一个数相乘除。
例如sqrt(2) * 3 = 3sqrt(2)，3 / sqrt(2) =3sqrt(2) / 2。
（2）和平方根相乘除时，我们需要用到一个公式：sqrt(a) *sqrt(b) = sqrt(ab)。
例如，我们要求解sqrt(2) * sqrt(3)，可以将其化为sqrt(6)，即sqrt(2)*sqrt(3) = sqrt(6)；同样地，我们也可以将sqrt(2)/sqrt(3)化为sqrt(2/3)。
5. 平方根的应用平方根除了在数学中起到重要的作用外，在实际生活中也有许多应用。
初中数学知识归纳平方根的概念和运算
初中数学知识归纳平方根的概念和运算初中数学知识归纳——平方根的概念和运算在初中数学中，平方根是一个重要的数学概念，它与方程、代数、几何等不同数学分支有着紧密的联系。
理解和掌握平方根的概念及其运算方法，对于学习更高级的数学知识以及实际生活中的问题解决都至关重要。
本文将详细介绍平方根的概念、性质和运算方法，帮助读者全面理解这一知识点。
一、平方根的概念平方根是指一个数的平方等于给定数的数值。
用符号√a表示，其中a为待开方的数，√称为根号，a称为被开方数。
在数学上，平方根可以分为正平方根和负平方根两种形式。
例如，√4 = 2，√9 = 3，√16 = 4，这些都是正平方根。
负平方根可以表示为-√a，例如-√4 = -2，-√9 = -3，-√16 = -4。
二、平方根的性质1. 平方根的符号平方根的符号与被开方数的符号有关。
当被开方数为正数时，平方根也为正数；当被开方数为负数时，平方根为虚数。
2. 平方根的存在性非负数都有平方根。
正数的平方根是正数，而负数没有实数平方根，只有虚数平方根。
3. 平方根的运算律（1）非负数的平方根是唯一的。
（2）两个非负数的乘积的平方根等于它们各自平方根的乘积，即√(a×b) = √a × √b。
（3）两个非负数的商的平方根等于它们各自平方根的商，即√(a/b) = √a / √b。
（其中b不等于0）三、平方根的运算方法1. 化简含有平方根的表达式当一个数的平方根不能被整除时，我们可以尝试对其进行化简。
例如，√12可以化简为2√3。
2. 计算平方根的近似值有些数的平方根无法精确表示为有限小数，只能使用近似值来表示。
这时可以借助计算器或者牛顿-拉弗森算法等方法来计算。
3. 运用平方根进行方程的求解平方根的概念在求解方程时经常被使用，例如，对于方程x^2 = 16，可以得到x = ±4，其中正负号表示正平方根和负平方根。
四、应用举例平方根的概念和运算方法在实际生活中有广泛的应用，例如：1. 建筑设计中，需要确定一个房间的边长时，可以通过计算平方根来得到准确的结果。
平方根知识点总结
平方根知识点总结平方根是代数学中的一个重要概念，经常在各种数学问题中出现。
简单来说，平方根就是一个数与自己相乘等于指定数的操作的逆运算。
本文将为您总结平方根的知识点，并讨论相关概念、性质和应用。
一、基本概念1. 平方根的定义：对于一个非负数a，它的平方根是指满足x * x = a的非负数x。
符号√a表示a的平方根，√a ≥ 0。
2. 平方根的记法：平方根记作√a。
例如√25 = 5，√144 = 12。
二、性质与运算1. 非负数的平方根：对于任意非负实数a，都存在唯一一个非负实数x，使得x * x = a。
2. 平方根的唯一性：每个正实数只有一个正平方根，即√a是唯一的。
但负实数没有实数平方根。
3. 非零实数的平方根：对于任意非零实数a，其平方根√a的正负号取决于a的符号。
当a > 0时，√a > 0；当a < 0时，√a不存在实数解。
4. 平方根的运算性质：a) 两个非负数的积的平方根等于它们的平方根的乘积：√(ab) = √a * √b。
b) 两个非负数的商的平方根等于它们的平方根的商：√(a/b) = √a / √b（b ≠ 0）。
c) 平方根的乘方等于它的被开方数：(√a)² = a。
三、平方根的求解方法1. 估算法：通过估算被开方数的大小，可以快速确定一个近似的平方根。
2. 迭代法：通过迭代运算，逐步逼近平方根的精确值。
3. 牛顿法：利用泰勒级数近似平方根，通过迭代逼近平方根的解。
四、平方根的应用1. 几何应用：平方根在几何图形的计算中有广泛应用，如计算圆的半径或直径、计算三角形的斜边、计算四边形的对角线等。
2. 物理应用：平方根在物理学中的运动学、力学、电磁学等领域广泛应用，如计算速度、加速度、力的大小等。
3. 工程应用：平方根在工程学中的建筑、机械等领域有重要应用，如计算力的大小、材料的强度等。
4. 统计学应用：平方根在统计学中用于计算方差和标准差等。
总结：平方根是数学中一个非常重要的概念，它在各个领域均有广泛的应用。
初中数学平方根知识点整理
初中数学平方根知识点整理平方根是数学中的一个重要概念，它是指一个数的平方根是另一个数，即被开方的数。
在初中数学中，平方根是一个基础知识点，学生需要掌握平方根的计算方法和相关性质。
下面我们来整理一下初中数学中关于平方根的知识点。
一、平方根的定义1.正数的平方根：如果a的平方等于b，那么b就是a的平方根，记为√b=a。
例如，√9=3，因为3的平方等于92.负数的平方根：负数的平方根可以写成√-a=i√a，其中i是虚数单位。
例如，√-9=3i，因为3i的平方等于-9二、平方根的计算1.简化平方根：将一个数写成两个数的积的形式，其中一个数是能被开方的完全平方数，这样就可以简化平方根的计算。
例如，√75=√25×3=5√32.估算平方根：对于不是完全平方数的数，可以通过估算来计算它的近似值。
例如，√13≈3.6，因为3.6的平方约等于13三、平方根的性质1.非负性：平方根是非负数，即√a≥0。
2.奇函数：平方根函数是奇函数，即√(-a)=-√a。
3. 开平方的性质：如果a≥0，b≥0，则√(ab)=√a×√b。
4.套用公式：如果√a=√b，则a=b；如果√a=-√b，则a=-b。
四、平方根的应用1.平方根定理：平方根定理是一个在初中数学中广泛应用的公式，它是勾股定理的推广，用于解决关于直角三角形的问题。
2.模型问题：平方根在数学建模中有着广泛的应用，例如在物理学中用于求解速度、加速度等问题。
3.几何问题：平方根在几何图形中也有着重要的应用，例如用于求解正方形的对角线长度。
总结：平方根是初中数学中重要的知识点之一，学生要熟练掌握平方根的计算方法和性质，灵活运用平方根解决各种问题。
希望以上整理的知识点能够帮助学生更好地理解和掌握平方根的概念。
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13·1 平方根
要点精讲
1. 平方根的概念
（1）如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根．即：x 2＝a ，x 叫a 的平方根．
（2）数a （a ≥0）的平方根记作±a ，读作“正负根号下a ”，其中a 表示a 的正的平方根，－a 表示a 的负的平方根；“a ”实际上省略了2
a 中的2，2叫做根指数，a 叫做被开方数．
2. 平方根的性质
（1）正数有两个平方根，它们互为相反数．
（2）0的平方根只有一个，还是0．
（3）负数没有平方根．
3. 算术平方根
一个正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，0的算术平方根还是0．
（1）算术平方根的定义表明，只要是非负数就一定有算术平方根．
（2）算术平方根是平方根的一种．
（3）非负数的算术平方根还是非负数．a (a ≥0)， a ≥0
常见的非负数的类型：︱a ︱，a 2，a (a ≥0)
注：
（1）要加强对平方根和算术平方根概念的理解，进一步明确非负数a 的算术平方根是a ，而平方根是±a ．
（2）计算化简时要谨慎细心，如求81的平方根，需先算出81＝9，求81的平方根就是求9的平方根，而不是求81的平方根．
（3）真正领会负数没有平方根．
典型例题
例1.求下列各数的平方根和算术平方根
（1）12149
（2）0.0081 （3）(－45)2 （4）14
解析：（1）平方根是：±117，算术平方根是：117
（2）平方根是：±0.09，算术平方根是：0.09
（3）平方根是：±45，算术平方根是：45
（4）平方根是：±14，算术平方根是：14
例2.求下列各式中的x ．
（1）9x 2－256＝0
（2）4(2x －1)2＝25
解析：（1）x 2＝2569，x ＝±163
（2）把2x －1作为一个整体，则2x －1＝±52．当2x －1＝52时，x ＝74；当2x －1＝－52
时，x ＝－34
4. ∵（1－2a ）2≥0，b －2≥0，又（1－2a ）2＋b －2＝0，∴（1－2a ）2＝0，b －2＝
0，∴1－2a ＝0，b －2＝0，∴a ＝12
，b ＝2，∴ab ＝1．
例3.如果一个正数的平方根是a ＋3和2a －15，求a 的值和这个正数．
分析：由平方根的意义可知a ＋3和2a －15互为相反数，故有a ＋3＋（2a －15）＝0，从而可以解得a ，进而求出这个正数．
解：因为一个正数的两个平方根互为相反数，
所以（a ＋3）＋（2a －15）＝0，解得a ＝4．
当a ＝4时，a ＋3＝7，2a －15＝－7．
即这个正数的平方根分别是＋7和－7，所以原数为49．
评析：解决本题的关键是利用一个正数的平方根是互为相反数的关系得到a 的一元一次方程，解方程求出a 的值，从而求出这个正数．
例4.在交通事故的处理中，警察往往用公式v ＝16df 来判断该车辆是否超速，其中v 表示车速（单位：千米/时），d 表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f 表示摩擦系数.某日，在一段限速60千米/时的公路上，发生了一起两车追尾事故，警察赶到后经过测量，得出其中一辆车的d ＝18，f ＝2. 请问：该车超速了吗？
分析：运用公式，求出该车的速度，再与60千米/时进行比较，看是否超速便可解决. 解：把d ＝18，f ＝2代入公式v ＝16df 得
v ＝1618×2＝16×6＝96（千米/时）.
而96＞60，所以该车超速了.
评析：平方根和立方根的知识在实际生活中应用非常广泛，因此数的发展与现实需要密不可分.
例5.求下列各式中的x 的值．
（1）x 2－676＝0；（2）9（3x ＋1）2＝64．
分析：这是一道求平方根的题目．（1）x 2－676＝0可化为x 2＝676，x 的值就是676的
平方根．（2）可将3x ＋1看作一个整体来解，即（3x ＋1）2＝649，所以3x ＋1是649
的平方根，从而可求出x ．
解：（1）∵x 2－676＝0，∴x 2＝676．
∴x ＝±676＝±26．
（2）∵9（3x ＋1）2＝64，∴（3x ＋1）2＝649
，
∴3x ＋1＝±649＝±83
， 当3x ＋1＝83时，x ＝59
； 当3x ＋1＝－83时，x ＝－119
． 评析：解带有平方的方程时，首先应将方程化为一边是完全平方，另一边是一个非负数的形式，然后两边同时开平方，开方时一定要注意不要漏掉负的平方根，同时根据题目的特点，本题利用了一个重要的数学思想——整体思想．
例6.对于题目：“化简并求值：1a ＋(1a －a )2，其中a ＝15”，甲、乙两人的解答不同． 甲的解答是：1a ＋(1a －a )2＝1a ＋1a －a ＝2a －a ＝495
， 乙的解答是：1a ＋(1a －a )2＝1a ＋a －1a ＝a ＝15． 阅读后你认为谁的解答是错误的？为什么？
分析：将a ＝15代入便知谁的解答正确． 解：乙的解答是错误的，因为当a ＝15时，1a
＝5． a －1a ＝15－5＜0，所以(1a －a )2≠a －1a ，而应是(1a －a )2＝1a
－A. 评析：在化简a 2时，一定要注意a 的符号，并且根据算术平方根的意义，a 2的结果应为非负数．
例7.利用计算器计算： …，0.0625，0.625， 6.25，62.5，625，6250，62500，…计算后，分析结果，你发现了什么规律？
分析：可分析开方前和开方后小数点的变化规律．
解：用计算器计算结果如下：
…，0.25，0.7906，2.5，7.906，25，79.06，250，…
分析计算结果可以发现：被开方数的小数点每向右（左）移动两位，算术平方根的小数点相应地向右（左）移动一位．
评析：可利用开平方时小数点的这一变化规律对一些数开平方．。