第二章 运算方法与运算器(下)
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计算机组成原理第二章课件(白中英编-科学出版社)
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计算机组成原理
十进制整数转换为二或十六进制数
ห้องสมุดไป่ตู้
演示
整数部分转换：用除法
• 十进制数整数部分不断除以基数2或16，并记下余
数，直到商为0为止 • 由最后一个余数起逆向取各个余数，则为转换成的 二进制和十六进制数
126＝01111110B 126＝7EH
计算机组成原理
7
十进制小数转换为二或十六进制数
64位双精度规格化浮点数
IEEE 754标准
E＝1~2046 e＝-1022~+1023 表达的数据范围（绝对值） ： 最小值： e＝-1022，M＝0（1.M＝1） 十进制表达：2-1022≈2.23×10-308 最大值： e＝1023，M＝11…1（52个1） 1.M＝1.11…1 （52个1） ＝2－2-52 十进制表达：（2－2-52）×21023 ≈ 2×21023 ≈1.79×10308
• 整数从左向右 • 小数从右向左 • 每4个二进制位对应一个十六进制位
00111010B＝3AH，F2H＝11110010B 十六进制数的加减运算类似十进制
• 逢16进位1，借1当16
23D9H＋94BEH＝B897H A59FH－62B8H＝42E7H
计算机组成原理
9
真值和机器数
真值：现实中真实的数值 机器数：计算机中用0和1数码组合表达的数值 定点数：固定小数点的位置表达数值的机器数
目录
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第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章
计算机系统概论 运算方法和运算器 存储系统 指令系统 中央处理器 总线系统 外围设备 输入输出系统 并行组织
计算机组成原理
十进制整数转换为二或十六进制数
ห้องสมุดไป่ตู้
演示
整数部分转换：用除法
• 十进制数整数部分不断除以基数2或16，并记下余
数，直到商为0为止 • 由最后一个余数起逆向取各个余数，则为转换成的 二进制和十六进制数
126＝01111110B 126＝7EH
计算机组成原理
7
十进制小数转换为二或十六进制数
64位双精度规格化浮点数
IEEE 754标准
E＝1~2046 e＝-1022~+1023 表达的数据范围（绝对值） ： 最小值： e＝-1022，M＝0（1.M＝1） 十进制表达：2-1022≈2.23×10-308 最大值： e＝1023，M＝11…1（52个1） 1.M＝1.11…1 （52个1） ＝2－2-52 十进制表达：（2－2-52）×21023 ≈ 2×21023 ≈1.79×10308
• 整数从左向右 • 小数从右向左 • 每4个二进制位对应一个十六进制位
00111010B＝3AH，F2H＝11110010B 十六进制数的加减运算类似十进制
• 逢16进位1，借1当16
23D9H＋94BEH＝B897H A59FH－62B8H＝42E7H
计算机组成原理
9
真值和机器数
真值：现实中真实的数值 机器数：计算机中用0和1数码组合表达的数值 定点数：固定小数点的位置表达数值的机器数
目录
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第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章
计算机系统概论 运算方法和运算器 存储系统 指令系统 中央处理器 总线系统 外围设备 输入输出系统 并行组织
计算机组成原理华科版第二章运算方法与运算器课件
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计算机组成原理
⑵补码表示法
第二章 运算方法与运算器
• 由于补码在作二进制加、减运算时较方便,所以 在计算机中广泛采用补码表示二进制数。
• 补码运算中，可以用加法代替减法，节省元件， 降低成本。
5
计算机组成原理
第二章 运算方法与运算器
⑵补码表示法
原码求补码方法：正数不变（相同）。负数符号位不变， 数值位求反加1
第二种浮点表示的格式为
1，10001001，01111111110000000000000
17
计算机组成原理
⑶ 浮点数的表示举例
第二章 运算方法与运算器
某机用32b表示一个数，阶码部分占8b（含一位符号 位2格5式6）.。5，，尾x数2=1部27分/2占56，2 4试b（写含出一x1和位x符2的号两位种）浮。点数设表x1示=-
最小负数 最大负数
最小正数
最大正数
1.0000000 1.1111111
0.0000001
0.1111111
-1
-2－7
2－7
1-2－7
11
计算机组成原理
第二章 运算方法与运算器
定点整数的表示范围：
①设字长为8b，用原码表示时，其表示范围如下：
最小负数 最大负数 最小正数 最大正数
11111111 10000001 00000001 01111111
计算机组成原理
１．真值与机器数
第二章 运算方法与运算器
采用正、负符号加上二进制的绝对值，则这种 数值称为真值。
将正负号分别用一位数码0和1来代替，一般将 这种符号位放在数的最高位。这种在机器中使 用的连同数符一起数码化的数，称为机器数。
1
计算机组成原理
计算机组成原理第二章课后习题答案
第二章运算方法和运算器练习一、填空题1. 补码加减法中，（符号位）作为数的一部分参加运算，（符号位产生的进位）要丢掉。
2. 为判断溢出，可采用双符号位补码，此时正数的符号用（00）表示，负数的符号用（11）表示。
3. 采用双符号位的方法进行溢出检测时，若运算结果中两个符号位（不相同），则表明发生了溢出。
若结果的符号位为（01），表示发生正溢出；若为（10），表示发生负溢出。
4. 采用单符号位进行溢出检测时，若加数与被加数符号相同，而运算结果的符号与操作数的符号（不一致），则表示溢出；当加数与被加数符号不同时，相加运算的结果（不会产生溢出）。
5. 利用数据的数值位最高位进位C和符号位进位Cf的状况来判断溢出，则其表达式为over=（C⊕Cf）。
6. 在减法运算中，正数减（负数）可能产生溢出，此时的溢出为（正）溢出；负数减（正数）可能产生溢出，此时的溢出为（负）溢出。
7. 补码一位乘法运算法则通过判断乘数最末位Yi和Yi-1的值决定下步操作，当YiYi-1=（10）时，执行部分积加【-x】补，再右移一位；当YiYi-1=（01）时，执行部分积加【x】补，再右移一位。
8. 浮点加减运算在（阶码运算溢出）情况下会发生溢出。
9. 原码一位乘法中，符号位与数值位（分开运算），运算结果的符号位等于（两操作数符号的异或值）。
10. 一个浮点数，当其补码尾数右移一位时，为使其值不变，阶码应该（加1）。
11. 左规的规则为：尾数（左移一位），阶码（减1）。
12. 右规的规则是：尾数（右移一位），阶码（加1）。
13. 影响进位加法器速度的关键因素是（进位信号的传递问题）。
14. 当运算结果的补码尾数部分不是（11.0×××××或00.1×××××）的形式时，则应进行规格化处理。
当尾数符号位为（01）或（10）时，需要右规。
计算机组成原理第2章-二进制加减法器
X←F 选通门
X ← X-Y
Ｆ← Ｘ
减
Ｆ← Ｙ Ｆ← １
Ｘ← Ｆ
4/12/2021
实现补码加运算的执行过程
X ← X+Y
Fs
00000111
OVR
Z
Fs 加法器
C
完成加运算，需 要把被加数和加 数送ALU的输入
端，运算结果要
F←X
选通门
F←Y 接收到累加器，
二选一
需要给出命令：
X
CP
01001001101
基本的二进制加/减法器
全加器的表达式为：
Si = Ai Bi Ci Ci+1 = AiBi + BiCi + AiCi 一位全加器内部逻辑图
Ci+
Si
C
1
AB C
Ci
Ai
Bi A
B
3
信 息 科 学 与 工 程 学 院3
第二章 运算方法和运算器
数据与文字的表示 定点加减法运算 定点乘法运算 定点除法运算 定点运算器的组成 浮点运算与浮点运算器
4/12/2021
单符号位判断
数值位向符 号位有进位
OV= C0 C1 + C0 C1 判断电路
但符号位无 进位输出或
c0
数值位向符 号位没有进 位但符号位 本身有进位 输出是溢出
x0 y0
x1 y1
FA
z0
c1
FA
z1
OV
4/12/2021
双符号位判断
OV= z0' z0 + z'0 z0 = z0' z0
5
信 息 科 学 与 工 程 学 院5
计算机组成原理第四版第二章
[x]补=0.1001, [y]补=0.0101 [x]补 0. 1 0 0 1
+ [y]补 0. 0 1 0 1 [x+y]补 0. 1 1 1 0
所以x+y=+0.1110
Back
第二章 运算方法和运算器
B 补码减法
➢ 公式：
[x-y]补=[x]补-[y]补=[x]补+[-y]补
➢ 举例
已知 x=+0.1101 ， y=+0.0110，求x-y。 解： [x]补=0.1101 [y]补=0.0110 ，[-y]补=1.1010 [x]补 0. 1 1 0 1 + [-y]补 1. 1 0 1 0 [x-y]补 1 0. 0 1 1 1
最大正数，称为“上溢” 或“正溢出”
两个负数相加，结果 小于机器所能表示的最
小负数，称为“下溢” 或“负溢出”
判断方法
举例说明
Back
第二章 运算方法和运算器
溢出检测方法常用以下两种方法：
1.采用双符号位（变形补码）判断方法：
变形补码： “00”表示正数、“11”表负数，两符号位同时参加运算， 运算结果符号出现01或10表明溢出。
发生溢出；而在浮点运算时，运算结果超出尾数的表示范围 却并不一定溢出，只有当阶码也超出所能表示的范围时，才 发生溢出。
Back
3.十进制数串的表示方法
➢ 目前,大多数通用性较强的计算机都能直接 处理十进制形式表示的数据。十进制数串 在计算机内主要有两种表示形式：
➢ 1.字符串形式 ➢ 2.压缩的十进制数串形式
➢ 计算机采用定点数表示时，对于既有整数又有小数的原始数据，需要设 定一个比例因子，数据按其缩小成定点小数或扩大成定点整数再参加运 算，运算结果，根据比例因子，还原成实际数值。若比例因子选择不当， 往往会使运算结果产生溢出或降低数据的有效精度。
+ [y]补 0. 0 1 0 1 [x+y]补 0. 1 1 1 0
所以x+y=+0.1110
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第二章 运算方法和运算器
B 补码减法
➢ 公式：
[x-y]补=[x]补-[y]补=[x]补+[-y]补
➢ 举例
已知 x=+0.1101 ， y=+0.0110，求x-y。 解： [x]补=0.1101 [y]补=0.0110 ，[-y]补=1.1010 [x]补 0. 1 1 0 1 + [-y]补 1. 1 0 1 0 [x-y]补 1 0. 0 1 1 1
最大正数，称为“上溢” 或“正溢出”
两个负数相加，结果 小于机器所能表示的最
小负数，称为“下溢” 或“负溢出”
判断方法
举例说明
Back
第二章 运算方法和运算器
溢出检测方法常用以下两种方法：
1.采用双符号位（变形补码）判断方法：
变形补码： “00”表示正数、“11”表负数，两符号位同时参加运算， 运算结果符号出现01或10表明溢出。
发生溢出；而在浮点运算时，运算结果超出尾数的表示范围 却并不一定溢出，只有当阶码也超出所能表示的范围时，才 发生溢出。
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3.十进制数串的表示方法
➢ 目前,大多数通用性较强的计算机都能直接 处理十进制形式表示的数据。十进制数串 在计算机内主要有两种表示形式：
➢ 1.字符串形式 ➢ 2.压缩的十进制数串形式
➢ 计算机采用定点数表示时，对于既有整数又有小数的原始数据，需要设 定一个比例因子，数据按其缩小成定点小数或扩大成定点整数再参加运 算，运算结果，根据比例因子，还原成实际数值。若比例因子选择不当， 往往会使运算结果产生溢出或降低数据的有效精度。
经典：计算机组成原理-第2章-运算方法和运算器
1加法器的流水线时钟周期至少为90ns10ns100ns如果采用同样的逻辑电路但不是流水线方式则浮点加法所需的时间为300ns因此4级流水线加法器的加速比为30010032当每个过程段的时间都是75ns时加速比为300754例30已知计算一维向量xy的求和表达式如下
第二章：运算方法和运算器
2．1 数据与文字的表示方法 2．2 定点加法、减法运算 2．3 定点乘法运算 2．4 定点除法运算 2．5 定点运算器的组成 2．6 浮点运算方法和浮点运算器
其中尾数域所表示的值是1.M。因为规格化的浮点数的尾数域最
左位（最高有效位）总是1。故这一位经常不予存储，而认为隐藏
在小数点的左边。
64位的浮点数中符号位1位，阶码域11位，尾数域52位，指数偏
移值是1023。因此规格化的64位浮点数x的真值为：
x=(－1)s ×(1.M) × 2E－1023 e=E－1023
[X]反=1.x1x2...xn 对于0，有[+0]反=[-0]反之分：
[+0]反=0.00...0
[-0]反=1.11...1
我们比较反码与补码的公式
[X]反=2-2-n+X
[X]补=2+X
可得到 [X]补=[X]反+2-n
8
若要一个负数变补码，其方法是符号位置1，其余各位0变1，1变 0，然后在最末位（2-n）上加1。
10100.10011=1.010010011*24 e=4 于是得到：S=0,E=4+127=131=10000011, M=010010011 最后得到32位浮点数的二进制存储格式为： 0100 0001 1010 0100 1100 0000 0000 0000=（41A4C000）164
第二章：运算方法和运算器
2．1 数据与文字的表示方法 2．2 定点加法、减法运算 2．3 定点乘法运算 2．4 定点除法运算 2．5 定点运算器的组成 2．6 浮点运算方法和浮点运算器
其中尾数域所表示的值是1.M。因为规格化的浮点数的尾数域最
左位（最高有效位）总是1。故这一位经常不予存储，而认为隐藏
在小数点的左边。
64位的浮点数中符号位1位，阶码域11位，尾数域52位，指数偏
移值是1023。因此规格化的64位浮点数x的真值为：
x=(－1)s ×(1.M) × 2E－1023 e=E－1023
[X]反=1.x1x2...xn 对于0，有[+0]反=[-0]反之分：
[+0]反=0.00...0
[-0]反=1.11...1
我们比较反码与补码的公式
[X]反=2-2-n+X
[X]补=2+X
可得到 [X]补=[X]反+2-n
8
若要一个负数变补码，其方法是符号位置1，其余各位0变1，1变 0，然后在最末位（2-n）上加1。
10100.10011=1.010010011*24 e=4 于是得到：S=0,E=4+127=131=10000011, M=010010011 最后得到32位浮点数的二进制存储格式为： 0100 0001 1010 0100 1100 0000 0000 0000=（41A4C000）164
计算机组成原理第11-浮点数的运算1
ｘ±ｙ＝(Mｘ2Eｘ－Eｙ±Mｙ)2Eｙ， Eｘ<＝Eｙ
12/31/2023
信 息 科 学 与 工 程 学 院1
两数首先均为规格化数，进行规格化浮点数的加减运 算需经过5步完成： （1）对阶操作：低阶向高阶补齐，使阶码相等。 （2）尾数运算：阶码对齐后直接对尾数运算。 （3）结果规格化：对运算结果进行规格化处理（使补码尾 数的最高位和尾数符号相反）。如溢出则需右规；如不是 规格化时应左规。 （4）舍入操作：丢失位进行0舍1入或恒置1处理。 （5）判断溢出：判断阶码是否溢出，下溢则将运算结果置 0（机器0），上溢则中断。
14 12/31/2023
信 息 科 学 与 工 程 学 1院4
第二章 运算方法和运算器
２、乘、除法运算步骤 浮点数的乘除运算大体分为以下几个步骤：
１＞ 0 操作数检查。 ２＞ 阶码加/减操作。 ３＞ 尾数乘/除操作。 ４＞ 结果规格化 ５＞ 舍入处理。
15 12/31/2023
信 息 科 学 与 工 程 学 1院5
18 12/31/2023
信 息 科 学 与 工 程 学 1院8
第二章 运算方法和运算器
当尾数用原码表示时,舍入规则比较简单。最简便的方法,是只要尾数的最低位 为1,或移出的几位中有为1的数值位,就是最低位的值为1。 另一种是0舍1入法,即当丢失的最高位的值为1时,把这个1加到最低数值位上进 行修正,否则舍去丢失的的各位的值。 当尾数是用补码表示时,所用的舍入规则,应该与用原码表示时产生相同的处理 效果。 具体规则是：
(4) 右规
当 尾数溢出（ >1）时，需 右规 即尾数出现 01. ×× …×或 10. ×× …×时
尾数 1，阶码加 1
12/31/2023
第二章 运算方法和运算器2
+ [-Y]补=0 1 1 0
1 01 0
一个正数减去一个负数，结果为正数，但计算 结果为负数，表明有溢出发生，出错 数据向前有进位，符号位向前无进位 溢出逻辑表达式为：V=Cf⊕ C0
（其中Cf为符号位产生的进位， C0为最高有效位产生的进位）
2016年11月14日3时46分 11
• 溢出的原因：
例: X＝1001 Y＝0101，求 X+Y＝？
解: [X]补=01001 [Y]补=00101 [X+Y]补=[X]补+[Y]补=01001+00101 =01110 x+y=1110
例: X＝1001 Y＝-0101，求 X+Y＝？
解: [X]补=01001 [Y]补=11011 [X+Y]补=[X]补+[Y]补=01001+11011 =00100 x+y=
单符号位判溢出 正溢出 0.1001 + 0.1100 1.0101 负溢出 1.0111 + 1.0011 10.1010
2016年11月14日3时46分
双符号 00.1001 00.1100 01.0101 11.0111 + 11.0011 10.1010
22
定点运算器——定点乘法
•定点原码一位乘法
2016年11月14日3时46分 23
定点运算器——定点乘法
• 手工算法
×
1101 1011 1101 1101 0000 1101 10001111
l 两个n位数相乘，其积为2n位， 则需要2n位长的加法器，这不适 用于定点机的形式。 l 机器一次只能进行两个数的相 加，不能进行多个数据的加法。 l 手工计算中，乘数的每一位是0 还是1都可直接看见，而在计算机 中，采用放乘数的寄存器的每一 位直接决定本次相加数是被乘数 还是0是很不方便的，若采用该寄 存器的最低一位来执行这种判断 就简便了。
1 01 0
一个正数减去一个负数，结果为正数，但计算 结果为负数，表明有溢出发生，出错 数据向前有进位，符号位向前无进位 溢出逻辑表达式为：V=Cf⊕ C0
（其中Cf为符号位产生的进位， C0为最高有效位产生的进位）
2016年11月14日3时46分 11
• 溢出的原因：
例: X＝1001 Y＝0101，求 X+Y＝？
解: [X]补=01001 [Y]补=00101 [X+Y]补=[X]补+[Y]补=01001+00101 =01110 x+y=1110
例: X＝1001 Y＝-0101，求 X+Y＝？
解: [X]补=01001 [Y]补=11011 [X+Y]补=[X]补+[Y]补=01001+11011 =00100 x+y=
单符号位判溢出 正溢出 0.1001 + 0.1100 1.0101 负溢出 1.0111 + 1.0011 10.1010
2016年11月14日3时46分
双符号 00.1001 00.1100 01.0101 11.0111 + 11.0011 10.1010
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定点运算器——定点乘法
•定点原码一位乘法
2016年11月14日3时46分 23
定点运算器——定点乘法
• 手工算法
×
1101 1011 1101 1101 0000 1101 10001111
l 两个n位数相乘，其积为2n位， 则需要2n位长的加法器，这不适 用于定点机的形式。 l 机器一次只能进行两个数的相 加，不能进行多个数据的加法。 l 手工计算中，乘数的每一位是0 还是1都可直接看见，而在计算机 中，采用放乘数的寄存器的每一 位直接决定本次相加数是被乘数 还是0是很不方便的，若采用该寄 存器的最低一位来执行这种判断 就简便了。