经验模态分解EMD

经验模态分解EMD
经验模态分解是一种基于信号局部特征的信号分解方法。

是一种自适应的信号分解方法
任何复杂的信号都是由简单的固有模态函数(intrinsic mode function，IMF)组成，且每一个IMF 都是相互独立的。

该方法可以将风速数据时间序列中真实存在的不同尺度或趋势分量逐级分解出来，产生一系列具有相同特征尺度的数据序列，分解后的序列与风速原始数据序列相比具有更强的规律性。

ＥＭＤ的基本思想认为任何复杂的信号都是由一些相互不同的、简单非正弦函数的分量信号组成。

EMD将非平稳序列分解为数目不多的IMF 分量c和一个趋势项r（残余函数），r是原序列经过逐级分离出IMF 分量后，最终剩下来的“分量”，是单调的和光滑的。

信号的EMD 分解本质上是通过求包络线对信号不断进行移动平均的迭代过程，包络线的不准确将导致信号分解的不完全。

传统算法在求包络线时在信号端点处易产生飞翼现象, 即在端点处会产生过大或过小振幅, 若不先对信号进行端点延拓, EMD 分解将无法继续。

确定信号决定了交通流变化的总体趋势，不确定性干扰信号使实际交通流变化在趋势线附近呈现大小不一的波动。

信号从高到低不同频段的成分，具有不等带宽的特点，并且EMD 方法是根据信号本身固有特征的自适应分解。

EMD分解的目的是根据信号的局部时间特征尺度，按频率由高到低把复杂的非线性、非平稳信号分解为有限经验模态函数（IMF）之和
r(t)为残余函数，一般为信号的平均趋势。

是非平稳函数的单调趋势项。

风速时间序列的EMD 分解步骤如下：
1）识别出信号中所有极大值点并拟合其包络线eup(t)。

2 ）提取信号中的极小值点和拟合包络线elow(t)，计算上下包络线的平均值m1(t)。

up low
1
( ) ( )
( )
2
e t e t
m t
+
= (1)
3）将x(t)减去m1(t)得到h1(t)，将h1(t)视为新的信号x(t)，重复第1）步，经过k 次筛选，直到h1(t)=x(t)−m1(t)满足IMF 条件，记c1(t)=h1(t)，则c1(t)为风速序列的第1 个IMF 分量，它包含原始序列中最短的周期分量。

从原始信号中分离出IMF 分量c1(t)，得
到剩余分量：
r1(t) = x(t) − c1(t) (2)
将剩余分量r1(t)作为新的原始数据，重复上述步骤可得到其余IMF 分量和1 个余量，结果如下：
1 2 2
2 3 3
1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
N ( ) N ( ) N ( )
r t c t r t
r t c t r t
r − t c t r t
− = ⎧⎧
− = ⎧⎧⎧⎧
⎧− =
M
(3)
原始风速序列x(t)可被分解为
1
( ) ( ) ( )
N
i N
i
xt ct r t
=
=Σ +
(4)本文使用Rilling 等提出的终止条件[21]，它是对Huang 等人提出的限定标准差(standard deviation，SD)准则的改进。

若emax、emin 分别为上、下包络线，设
max min
max min
( )
e e
t
e e
δ
+
=
−
(5)设定3 个门限值θ
1 、θ
2 和α，相应的终止条件
有2 个：条件①是满足δ (t)< θ
1 的时刻个数与全部持
续时间之比不小于1−α，即
1 { ( ) }
1
{ }
S t D t
S t D
δθ
α
∈ <
≥−
∈
(6)式中：D 为信号持续范围；S(A)为集合A 中元素个数；θ1=0.05；α=0.05。

条件②是对每个时刻t 有δ (t) <θ2 ,θ2 =10θ1 (7)为了减少提取IMF 的筛选步骤，定义SD 参数，当SD 小于某一常数时停止筛选，一般SD 的值在0． 2 至0. 3 之间。

另外在筛选过程中，由于该算法采用的是三次样条插值，所以当信号的极大值或极小值的个数小于2 时，停止筛选。

由于无法判断信号的端点处是不是极值，所以在进行三次样条插值时会将误差向数据内部扩散，影响数据的低频部分，也就是所谓的端点问题。

关于EMD 的端点问题，本文应用径向基函数神经网络，以及在波形匹配基础上的最相关匹配方法对此进行处理，效果较好。

为了确定端点处极值, 先判断端点处可能为极大值还是极小值点。

将端点值与近断点第一个极值点之间的值进行比较, 比其大, 则端点处可能为极大值点, 反之则为极小值点。

然后根据判断的结果取相应的极值点序列在近端点处的三个极值点(如果所取极值点列中极值点个数小于三个则取序列所有元素) , 对所取的极值点采用上述算法求得拟合多项式, 计算出多项式对应数据序列端点处的函数值,把此函数值作为极值点序列在该端点处的近似取值。

经验模态分解方法从本质上讲是对一个信号( 或其导数,视所需的分解精度而定) 进行平稳化处理, 其结果是将信号中不同尺度的波动或趋势逐级分解开来, 产生一系列具有不同特征尺度的数据序列, 每一个序列称为一个本征模函数( Intrinsic Mode Function, IMF) 。

最低频率的IMF 分量通常情况下代表原始信号的趋势或均值。

作为一种应用, EMD 分解方法可以有效地提取一个数据序列的趋势或去掉该数据序列的均值。

测试结果表明, EMD 方法是目前提取数据序列趋势或均值的最好方法[3], EMD 方法的另一目的是为了进一步对各IMF 分量进行Hilbert 变换, 获得信号的瞬时特征然后将每个IMF进行Hilbert -Huang变换,得到时频平面上的能量分布谱图对称,任何两个模态之间是相互独立的;
EMD的分解过程其实是一个“筛分”过程,在“筛分”的过程中,不仅消除了模态波形的叠加,而且使波形轮廓更加对称。

EMD方法从
特征时间尺度出发,首先把信号中特征时间尺度最小的模态分离出来,然后分离特征时间尺度较大的模态函数,最后分离特征时间尺度最大的分量,可以把EMD方法看成是一组高通滤波器。

因此EMD方法可以认为是原始信号信息的分解、分配过程。

可以任意选取若干IMF分量(或它们的组合)来分析信号所体现的物理现象。

如果从这个角度来理解EMD方法，它就是一种自适应滤波方法。

EMD方法能够自适应的把非平稳信号分解成一系列零均值的AMFM信号(调频调幅) 的总和
EMD的出发点是把信号内的震荡看作是局部的、
实际上，如果我们要看评估信号x(t)的2个相邻极值点之间的变化（2个极小值，分别在t-和t+处），我们需要定义一个（局部）高频成分{d(t),t-<=t<=t+}(局部细节),这个高频成分与震荡相对应，震荡在2个极小值之间并且通过了极大值（肯定出现在2极小值之间）。

为了完整这个图形，我们还需要定义一个（局部）低频成分m(t)（局部趋势），这样x(t)=m(t)+d(t),(t-<=t<=t+)。

对于整个信号的所有震动成分，如果我们能够找到合适的方法进行此类分解，这个过程可以应用于所有的局部趋势的残余成分，因此一个信号的构成成分能够通过迭代的方式被抽离出来。