第四章 频率特性分析1
xo (t ) = XiK 1 + T 2ω 2 sin(ωt − arctan Tω )
10
xo (t ) =
XiK 1+ T ω
2 2
sin(ωt − arctan Tω )
从上式可知，系统的稳态响应的幅值与系统的参数即 比例系数K、时间常数T以及输入谐波的幅值 X i 、频率 ω有关； XiK 幅值 1 + T 2ω 2 相位差
幅频特性与相频特性一起构成系统的频率特性。
17
（3）实部和虚部之和：
G ( jω ) = Re[G ( jω )] + Im[G ( jω )] = u (ω ) + jv (ω )
式中， u (ω ) 是频率特性的实部，称为实频特性， v (ω ) 是频率特性的虚部，称为虚频特性。 显然有：u (ω ) = A(ω ) cos ϕ (ω ),
4.1 频率特性概述 4.2 频率特性的图示方法 4.3 频率特性的特征量
6
4.1 频率特性概述
4.1.1 频率响应与频率特性 4.1.2 频率特性与传递函数的关系 4.1.3 频率特性的求法
7
4.1 频率特性概述
4.1.1 频率响应与频率特性
⑴ 频率响应 频率响应是指正弦输入情况下系统的稳态响应。
2
本 章 内 容
4.1 频率特性概述 4.2 频率特性的图示方法 4.3 频率特性的特征量
3
基本要求、重点和难点
一、基本要求
掌握频率特性的定义和代数表示法以及与传递函数、 单位脉冲响应函数和微分方程之间的相互关系；掌 握频率特性和频率响应的求法。 掌握频率特性的Nyquist图和Bode图的组成原理，熟 悉典型环节的Nyquist图和Bode图的特点及其绘制， 掌握一般系统的的Nyquist图和Bode图的特点和绘制。 了解闭环频率特性与开环频率特性之间的关系。 掌握频域中性能指标的定义和求法；了解频域性能 指标与系统性能的关系。 了解最小相位系统和非最小相位系统的概念。
29
表4.1 常用频率特性曲线及其坐标
序号 1 2 名称 幅相频率特性曲线 对数幅频特性、 对数相频特性曲线 3 对数幅相频率 特性曲线 图形常用法 极坐标图 /Nyquist图 对数坐标图 /Bode图 坐标系 极坐标
半对数坐标
v(ω ) = A(ω ) sin ϕ (ω ) v(ω ) u (ω ) A(ω ) = u 2 (ω ) + v 2 (ω ), ϕ (ω ) = arctan
系统的频率特性可根据定义，由实验方法求得。
对系统输入一频率可变的正弦信号，不断改变输入 频率，测得相应的幅值比、相位差，分别绘出幅值比、 相位差与频率的变化曲线，即得到系统的频率特性。
Xi 1+ T ω
2 2
1 Ts + 1
sin(ωt − arctan Tω )
分别对系统输出、输入正弦信号的幅值比 A(ω) ， 相位差φ(ω) 进行考查： 幅值比 相位差
A(ω ) = 1 X o (ω ) = Xi 1 + T 2ω 2
12
ϕ (ω ) = − arctan Tω
幅值比
A(ω ) =
R e 2 (ω ) + Im (ω ) = K 1 + T 2ω
2
A (ω ) = G ( jω ) =
2
ϕ (ω ) = ∠ G ( jω ) = tan − 1 Im (ω ) = − tan − 1 (T ω ) R e(ω )
可见，两种方法求解结果一致。
24
¾ 几点说明
频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面 虚轴上的传递函数，因此频率特性与系统的微分 方程、传递函数一样反映了系统的固有特性。 尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的频 率特性与传递函数一样包含了系统或元部件的全 部动态结构参数，因此，系统动态过程的规律性 也全寓于其中。
X o (s) = X i ( s ) G ( s ) =
X iω K ⋅ 2 2 s + ω Ts + 1
经拉氏逆变换得系统输出为：
xo (t ) = X i KTω 1+ T ω
2 2
⋅e
−
t T
+
XiK 1 + T 2ω 2
sin(ωt − arctan Tω )
因系统是稳定的，故随着时间的推移，瞬态响应项 衰减为零，输出只保留其稳态响应：
G ( jω ) 也称为谐波传递函数。
21
③用实验方法求取 在不知道系统的传 递函数或微分方程等数 学模型时，无法用上面 所述方法来求取系统的 频率特性，可通过实验 的方法，利用频率特性 的定义来求得。
图4.1.3
一个系统既可以用微分方程或传递函数来描述，也 可以用频率特性来描述，它们之间的关系如图4.1.3所示。 将微分方程中的微分算子 d dt 换成s后，得到系统的传 函，而将传函中的s再换成 jω，传递函数就变成了频率 特性；反之亦然。 22
G ( s ) s = jω s = jω ,可得： = G ( jω )
也是一个复数，可以写成：
G ( jω ) = G ( jω ) e j∠G ( jω ) = A(ω )e jϕ (ω )
因此，传递函数与频率特性的关系为：
G ( jω ) = G ( s ) s = jω
19
G ( jω ) = G ( s ) s = jω
¾稳态输出信号与输入信号的相位差φ(ω)也是ω的函 数，称其为系统的相频特性。 ¾描述了系统在稳态条件下，当系统输入不同频率的谐 波信号时，其相位产生的超前或滞后。 ¾规定φ(ω)按逆时针方向旋转为正值。对于物理系 统，相位一般是滞后的。
14
ϕ (ω ) = − arctan Tω 相频特性：
X o (ω ) 1 = 幅频特性：A(ω ) = Xi 1 + T 2ω 2
频率特性表示了在正弦输入作用下，系统输入量的 频率从0变化到∞，稳态输出量与输入量的幅值和 相位的变化规律。
15
¾当输入信号的频率较低时，输出信号的幅值与输 入信号的幅值、相位几乎相等（ω=0时相等）。 ¾随着ω的增高，输出信号的幅值迅速减小，相位 滞后则随之增加。 ¾当 ω=∞时，输出信号的幅值趋向于零，而相位 滞后接近900。
− arctan T ω
结论：系统的频率响应只是时间响应的一个特例，提 供了系统本身特性的重要信息，且随着输入谐波幅值、 频率的不同，系统稳态响应的幅值和相位也不相同。
11
⑵ 频率特性 频率特性：系统在不同频率的正弦信号输入时， 其稳态输出随频率而变化(ω由0变到∞)的特性。 设系统的传递函数中比例系数K为1，则 G ( s) = 输入信号为 xi (t ) = X i sin ωt 系统的稳态响应为： xo (t ) =
¾传递函数的复变量s用jω代替后，传递函数就 变为频率特性。它是传函的特例，是定义在复 平面虚轴上的传递函数。 ¾频率特性的量纲就是传递函数的量纲，也是输 出信号与输入信号的量纲之比。 ¾同前面介绍的微分方程、传递函数、脉冲响应 函数等一样，也是线性控制系统的数学模型。
20
4.1.3
频率特性的求法
A (ω ) = X
KA 1 + T
o
i 2
ω
2
e [
K
( tω )
]
则
ϕ (ω ) = ϕ o (ω ) − ϕ i (ω ) = − tan − 1 (T ω )
23
(ω ) = X i
1 + T 2ω
2
方法二 由传递函数直接令s=jω求取。 则
K K G( jω ) = = (1 − jTω ) 2 2 1 + jTω 1 + T ω
频域分析的目的
频域分析：以输入信号的频率为变量，在频率域， 研究系统的结构参数与性能的关系。
优点： 无需求解微分方程，图解(频率特性图)法； 间接揭示系统性能并指明改进性能的方向； 易于实验分析； 可推广应用于某些非线性系统（如含有延迟环节的系统）； 可方便设计出能有效抑制噪声的系统。
第四章 频率特性分析
时域分析：重点研究过渡过程，通过阶跃或脉 冲输入下系统的瞬态响应来研究系统的性能。 频域分析：通过系统在不同频率 ω 的谐波输入 作用下的稳态响应来研究系统的性能。 频率特性分析：将传递函数从复数域引到频域 来分析系统的特性。
1
时域分析的缺陷
高阶系统的分析难以进行； 难以研究系统参数和结构变化对系统性能的影响； 当系统某些元件的传递函数难以列写时，整个系统的分析 工作将无法进行。
¾输入正弦信号时，线性系统输出稳定后也是正弦信号。 ¾输出正弦信号的频率与输入正弦信号的频率相同。 ¾输出幅值和输出相位随着输入正弦信号频率的变化而有规 律的变化。
8
对于稳定的线性定常系统，其响应包含瞬 态响应和稳态响应。若对其输入一谐波信号： xi (t ) = X i sin ωt
其中 X i 为输入谐波的幅值系数。
①根据系统的频率特性来求取 已知系统的传函，据输入谐波信号求得系统的稳态 响应，然后按定义得到其频率特性。 ②将传递函数中的s用jω代替来求取 对系统传递函数而言,系统的频率特性就是其复变量 s = σ + jω 在 σ = 0 时的特例，将系统的传递函数 G(s)中的s用jω代替，就得到系统的频率特性 。
27
4.2 频率特性的图示方法
4.2.1 频率特性的极坐标图 4.2.2 频率特性的对数坐标图
28
4.2 频率特性的图示方法
指数表达式 频率特性的 数学描述方法 幅角表达式去描述 复数表达式(实数部分和虚数部分)
用频率分析法分析、设计控制系统时，通常不 仅仅是得出频率特性的函数表达式，而是将频率特 性绘制成一些曲线，再从这些曲线出发进行研究， 即控制工程中的图解分析法。 工程中常用的频率特性图示法有三种，如下表 4.1所示,本节主要介绍前面的两种。
10
xo (t ) =
XiK 1+ T ω
2 2
sin(ωt − arctan Tω )
从上式可知，系统的稳态响应的幅值与系统的参数即 比例系数K、时间常数T以及输入谐波的幅值 X i 、频率 ω有关； XiK 幅值 1 + T 2ω 2 相位差
幅频特性与相频特性一起构成系统的频率特性。
17
（3）实部和虚部之和：
G ( jω ) = Re[G ( jω )] + Im[G ( jω )] = u (ω ) + jv (ω )
式中， u (ω ) 是频率特性的实部，称为实频特性， v (ω ) 是频率特性的虚部，称为虚频特性。 显然有：u (ω ) = A(ω ) cos ϕ (ω ),
4.1 频率特性概述 4.2 频率特性的图示方法 4.3 频率特性的特征量
6
4.1 频率特性概述
4.1.1 频率响应与频率特性 4.1.2 频率特性与传递函数的关系 4.1.3 频率特性的求法
7
4.1 频率特性概述
4.1.1 频率响应与频率特性
⑴ 频率响应 频率响应是指正弦输入情况下系统的稳态响应。
2
本 章 内 容
4.1 频率特性概述 4.2 频率特性的图示方法 4.3 频率特性的特征量
3
基本要求、重点和难点
一、基本要求
掌握频率特性的定义和代数表示法以及与传递函数、 单位脉冲响应函数和微分方程之间的相互关系；掌 握频率特性和频率响应的求法。 掌握频率特性的Nyquist图和Bode图的组成原理，熟 悉典型环节的Nyquist图和Bode图的特点及其绘制， 掌握一般系统的的Nyquist图和Bode图的特点和绘制。 了解闭环频率特性与开环频率特性之间的关系。 掌握频域中性能指标的定义和求法；了解频域性能 指标与系统性能的关系。 了解最小相位系统和非最小相位系统的概念。
29
表4.1 常用频率特性曲线及其坐标
序号 1 2 名称 幅相频率特性曲线 对数幅频特性、 对数相频特性曲线 3 对数幅相频率 特性曲线 图形常用法 极坐标图 /Nyquist图 对数坐标图 /Bode图 坐标系 极坐标
半对数坐标
v(ω ) = A(ω ) sin ϕ (ω ) v(ω ) u (ω ) A(ω ) = u 2 (ω ) + v 2 (ω ), ϕ (ω ) = arctan
系统的频率特性可根据定义，由实验方法求得。
对系统输入一频率可变的正弦信号，不断改变输入 频率，测得相应的幅值比、相位差，分别绘出幅值比、 相位差与频率的变化曲线，即得到系统的频率特性。
Xi 1+ T ω
2 2
1 Ts + 1
sin(ωt − arctan Tω )
分别对系统输出、输入正弦信号的幅值比 A(ω) ， 相位差φ(ω) 进行考查： 幅值比 相位差
A(ω ) = 1 X o (ω ) = Xi 1 + T 2ω 2
12
ϕ (ω ) = − arctan Tω
幅值比
A(ω ) =
R e 2 (ω ) + Im (ω ) = K 1 + T 2ω
2
A (ω ) = G ( jω ) =
2
ϕ (ω ) = ∠ G ( jω ) = tan − 1 Im (ω ) = − tan − 1 (T ω ) R e(ω )
可见，两种方法求解结果一致。
24
¾ 几点说明
频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面 虚轴上的传递函数，因此频率特性与系统的微分 方程、传递函数一样反映了系统的固有特性。 尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的频 率特性与传递函数一样包含了系统或元部件的全 部动态结构参数，因此，系统动态过程的规律性 也全寓于其中。
X o (s) = X i ( s ) G ( s ) =
X iω K ⋅ 2 2 s + ω Ts + 1
经拉氏逆变换得系统输出为：
xo (t ) = X i KTω 1+ T ω
2 2
⋅e
−
t T
+
XiK 1 + T 2ω 2
sin(ωt − arctan Tω )
因系统是稳定的，故随着时间的推移，瞬态响应项 衰减为零，输出只保留其稳态响应：
G ( jω ) 也称为谐波传递函数。
21
③用实验方法求取 在不知道系统的传 递函数或微分方程等数 学模型时，无法用上面 所述方法来求取系统的 频率特性，可通过实验 的方法，利用频率特性 的定义来求得。
图4.1.3
一个系统既可以用微分方程或传递函数来描述，也 可以用频率特性来描述，它们之间的关系如图4.1.3所示。 将微分方程中的微分算子 d dt 换成s后，得到系统的传 函，而将传函中的s再换成 jω，传递函数就变成了频率 特性；反之亦然。 22
G ( s ) s = jω s = jω ,可得： = G ( jω )
也是一个复数，可以写成：
G ( jω ) = G ( jω ) e j∠G ( jω ) = A(ω )e jϕ (ω )
因此，传递函数与频率特性的关系为：
G ( jω ) = G ( s ) s = jω
19
G ( jω ) = G ( s ) s = jω
¾稳态输出信号与输入信号的相位差φ(ω)也是ω的函 数，称其为系统的相频特性。 ¾描述了系统在稳态条件下，当系统输入不同频率的谐 波信号时，其相位产生的超前或滞后。 ¾规定φ(ω)按逆时针方向旋转为正值。对于物理系 统，相位一般是滞后的。
14
ϕ (ω ) = − arctan Tω 相频特性：
X o (ω ) 1 = 幅频特性：A(ω ) = Xi 1 + T 2ω 2
频率特性表示了在正弦输入作用下，系统输入量的 频率从0变化到∞，稳态输出量与输入量的幅值和 相位的变化规律。
15
¾当输入信号的频率较低时，输出信号的幅值与输 入信号的幅值、相位几乎相等（ω=0时相等）。 ¾随着ω的增高，输出信号的幅值迅速减小，相位 滞后则随之增加。 ¾当 ω=∞时，输出信号的幅值趋向于零，而相位 滞后接近900。
− arctan T ω
结论：系统的频率响应只是时间响应的一个特例，提 供了系统本身特性的重要信息，且随着输入谐波幅值、 频率的不同，系统稳态响应的幅值和相位也不相同。
11
⑵ 频率特性 频率特性：系统在不同频率的正弦信号输入时， 其稳态输出随频率而变化(ω由0变到∞)的特性。 设系统的传递函数中比例系数K为1，则 G ( s) = 输入信号为 xi (t ) = X i sin ωt 系统的稳态响应为： xo (t ) =
¾传递函数的复变量s用jω代替后，传递函数就 变为频率特性。它是传函的特例，是定义在复 平面虚轴上的传递函数。 ¾频率特性的量纲就是传递函数的量纲，也是输 出信号与输入信号的量纲之比。 ¾同前面介绍的微分方程、传递函数、脉冲响应 函数等一样，也是线性控制系统的数学模型。
20
4.1.3
频率特性的求法
A (ω ) = X
KA 1 + T
o
i 2
ω
2
e [
K
( tω )
]
则
ϕ (ω ) = ϕ o (ω ) − ϕ i (ω ) = − tan − 1 (T ω )
23
(ω ) = X i
1 + T 2ω
2
方法二 由传递函数直接令s=jω求取。 则
K K G( jω ) = = (1 − jTω ) 2 2 1 + jTω 1 + T ω
频域分析的目的
频域分析：以输入信号的频率为变量，在频率域， 研究系统的结构参数与性能的关系。
优点： 无需求解微分方程，图解(频率特性图)法； 间接揭示系统性能并指明改进性能的方向； 易于实验分析； 可推广应用于某些非线性系统（如含有延迟环节的系统）； 可方便设计出能有效抑制噪声的系统。
第四章 频率特性分析
时域分析：重点研究过渡过程，通过阶跃或脉 冲输入下系统的瞬态响应来研究系统的性能。 频域分析：通过系统在不同频率 ω 的谐波输入 作用下的稳态响应来研究系统的性能。 频率特性分析：将传递函数从复数域引到频域 来分析系统的特性。
1
时域分析的缺陷
高阶系统的分析难以进行； 难以研究系统参数和结构变化对系统性能的影响； 当系统某些元件的传递函数难以列写时，整个系统的分析 工作将无法进行。
¾输入正弦信号时，线性系统输出稳定后也是正弦信号。 ¾输出正弦信号的频率与输入正弦信号的频率相同。 ¾输出幅值和输出相位随着输入正弦信号频率的变化而有规 律的变化。
8
对于稳定的线性定常系统，其响应包含瞬 态响应和稳态响应。若对其输入一谐波信号： xi (t ) = X i sin ωt
其中 X i 为输入谐波的幅值系数。
①根据系统的频率特性来求取 已知系统的传函，据输入谐波信号求得系统的稳态 响应，然后按定义得到其频率特性。 ②将传递函数中的s用jω代替来求取 对系统传递函数而言,系统的频率特性就是其复变量 s = σ + jω 在 σ = 0 时的特例，将系统的传递函数 G(s)中的s用jω代替，就得到系统的频率特性 。
27
4.2 频率特性的图示方法
4.2.1 频率特性的极坐标图 4.2.2 频率特性的对数坐标图
28
4.2 频率特性的图示方法
指数表达式 频率特性的 数学描述方法 幅角表达式去描述 复数表达式(实数部分和虚数部分)
用频率分析法分析、设计控制系统时，通常不 仅仅是得出频率特性的函数表达式，而是将频率特 性绘制成一些曲线，再从这些曲线出发进行研究， 即控制工程中的图解分析法。 工程中常用的频率特性图示法有三种，如下表 4.1所示,本节主要介绍前面的两种。
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自动控制原理与系统控制系统的频率特性
如图4-6所示。
12
四、惯性环节 传递函数 ： G(s) C(s) 1
R(s) Ts 1
频率特性 ： G( j) C( j) 1
R( j) jT 1
对数频率特性 ： L() 20lg
1
20lg
(T)2 1
(T)2 1
Bode图 ： arctanT
▪对数幅频特性L(ω)是一条曲线,逐点描绘很烦琐,通常采用近似的 绘制方法,用两条渐进线近似表示.
（极坐标表示法）
U () jV ()
（直角坐标表示法）
（A指(数表)e示j法 (）)
图4-2
A() G(j) U 2 () V 2 ()
() G( j) arctan 1 V () U ()
6
例4-1 写出惯性环节的幅频特性、相频特性和频率特性。
解：惯性环节的传递函数为
G(s) 1 Ts 1
2
• 系统（或环节）输出量与输入量幅值之比为幅值频率特性， 简称幅频特性，它随角频率ω变化，常用M(ω)表示。
A()
A c
A r
• 输出量与输入量的相位差为相位频率特性，简称相频特性，它 也随角频率ω变化，常用φ(ω)表示，
c r
幅频特性和相频特性统称为频率特性，用G( jω)表示
3
频率特性就是线性系统(或环节)在正弦输入信号 作用下稳态时输出相量与输入相量之比。
G (j) G(j) G(j)
A() G(j)
() G(j)
幅频特性是输出量与输入量幅值之比M(ω),描述系统 对不同频率正弦输入信号在稳态时的放大（或衰减） 特性。
相频特性是输出稳态相对于正弦输入信号的相位差 φ(ω),描述系统稳态输出时对不同频率正弦输入信号 在相位上产生的相角迟后（或超前）的特性。
《机械控制技术基础》精品课件-第四章- 系统的频率特性响应1(频率特性概述)
机械控制工程基础精品课件-第四章系统的频率特性响应
3
系统的频率特性响应
频率特性分析法是一种图解的分析方法。 不必直接求解系统输出的时域表达式，可以 间接地运用系统的开环频率特性去分析闭环系 统的响应性能，不需要求解系统的闭环特征根。 系统的频域指标和时域指标之间存在着对应 关系。频率特性分析中大量使用简洁的曲线、 图表及经验公式，使得控制系统的分析十分方 便、直观。
2
系统的频率特性响应
频率响应是时间响应的特例，是控制系 统对正弦输入信号的稳态响应。
频率特性是系统对不同频率正弦输入信 号的响应特性。
频率特性分析法(频域法) 是利用系统的 频率特性来分析系统性能的方法，研究的问 题仍然是系统的稳定性、快速性和准确性等， 是工程上广为采用的控制系统分析和综合的 方法。
12
4.1 频率特性概述
上述定义的幅频特性 A() G(j)
和相频特性 () G( j) 统称为系统的频率
特性，它描述了系统对正弦输入的稳态响应。
机械控制工程基础精品课件-第四章系统的频率特性响应
13
4.1 频率特性概述
当输入为非正弦的周期信号时，其输入可利 用傅立叶级数展开成正弦波的叠加，其输出为 相应的正弦波输出的叠加，如下图所示。
机械控制工程基础精品课件-第四章系统的频率特性响应
11
4.1 频率特性概述
定义系统输出信号的稳态响应相对其
正弦输入信号的相移 () G(j) 为
系统的相频特性。
相频特性描述系统在稳态下响应不Fra bibliotek频 率的正弦输入时在相位上产生的滞后
（ 0）或超前（ 0 ）特性。
机械控制工程基础精品课件-第四章系统的频率特性响应
响应特性称为频率特性。
第四章系统的频率特性分析
第四章 频率特性分析4.1 什么是频率特性？解 对于线性定常系统，若输入为谐波函数，则其稳态输出一定是同频率的谐波函数，将输出的幅值与输入的幅值之比定义为系统的幅频特性；将输出的相位于输入的相位之差定义为系统的相频特性。
将系统的幅频特性和相频特性统称为系统的频率特性。
4.2 什么叫机械系统的动柔度，动刚度和静刚度？解 若机械系统的输入为力，输出为位移（变形），则机械系统的频率特性就是机械系统的动柔度；机械系统的频率特性的倒数就是机械系统的动刚度；当0=w 时，系统频率特性的倒数为系统的静刚度。
4.3已知机械系统在输入力作用下变形的传递函数为 12+s (mm/kg)，求系统的动刚度，动柔度和静刚度。
解 根据动刚度和动柔度的定义有 动柔度()()()12+====jw jw s s G jw G jw λ mm/kg 动刚度 )(jw K =)(1jw G =21+jw kg/mm 静刚度 ()()5.0021010==+====K w jw w jw G w jw kg/mm4.4若系统输入为不同频率w 的正弦函数Asinwt,其稳态输出相应为Bsin(wt+ϕ).求该系统的频率特性。
解：由频率特性的定义有 G （jw ）=AB e jw。
4.5已知系统的单位阶跃响应为）（。
t x =1-1.8te 4-+0.8te9-，试求系统的幅辐频特性与相频特性。
解：先求系统的传递函数，由已知条件有）（。
t x =1-1.8te 4-+0.8te9-（t 0≥））（S X i =s 1）（。
S X =s 1-1.841+s +0.891+s ）（S G =）（）（。
S X S X =()()9436++s s ）（jw G =jw s s G =）（=()()jw jw ++9436）（w A =）（jw G =22811636ww +•+）（w ϕ=0-arctan 4w -arctan 9w =-arctan 4w -arctan 9w4.6 由质量、弹簧、阻尼器组成的机械系统如图所示。
机械工程控制基础(第4章 系统的频率特性分析)
（4.1.10）
根据频率特性的定义可知，系统的幅频特性和相频特性分别为：
G ( j ) Xi ( ) G ( j ) A ( ) X o ( )
（4.1.11）
故 G ( j ) G ( j ) e
j G ( j )
就是系统的频率特性，它是将 G ( s )
d dt
微分方程
dt
s 传递函数 s
系统
j
频率特性
j
图4.1.2 系统的微分方程、传递 函数和频率特性相互转换关系图
中原工学院
机电学院
4.1.4 频率特性的特点和作用
第1
系统的频率特性就是单位脉冲响应函数的Fourier变换，即频谱。 所以，对频率特性的分析就是对单位脉冲响应函数的频谱分析。
第2
K
所以
A
X o Xi
1 T
2
2
arctan T
或
K 1 T
2 2
e
j arctan T
中原工学院
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2. 将传递函数中的s换为 j (s=j )来求取
由上可知，系统的频率特性就是其传递函数G(s)中复变量s j 的特殊情况。由此得到一个极为重要的结论与方法，即将系统的传递
G
j 端点的轨迹即为频率特性的极坐标图, 或称为Nyquist 图, 如
中原工学院
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图4.2.1所示。它不仅表示幅频特性和相频特性, 而且也表示实频特性和
虚频特性。图中的箭头方向为从小到大的方向。
正如4.1节所述, 系统的幅频特性和相频特
性分别为
A ( ) X o ( ) Xi G
机械工程控制基础-频率特性分析
Nyquist图（极坐标图，幅相频率特性图） 图 极坐标图，幅相频率特性图） 3、 、
机械工程控制基础 作业： 作业：
第四章系统的频率特性分析
1、解释频率响应、频率特性，并写出频率特性 、解释频率响应、频率特性， 的解析式。 的解析式。 2、解释Nyquist图 并画出典型环节的Nyquist图 2、解释Nyquist图，并画出典型环节的Nyquist图。
机械工程控制基础
第四章系统的频率特性分析
机械工程控制基础
第四章系统的频率特性分析
解：
时间响应为
机械工程控制基础
第四章系统的频率特性分析
图4.1.1 系统及稳态的 输入输出波形
同频率 幅值比A(ω) 幅值比 相位差φ 相位差 (ω)
ω的非线性函数 的非线性函数 揭示了系统的频率响应特性） （揭示了系统的频率响应特性）
e j[ wt + ∠G(jω ) ] − e − j[ wt + ∠G(jω ) ] xos (t ) = lim xo (t ) = G(jω ) X i ⋅ t →∞ 2j
机械工程控制基础
第四章系统的频率特性分析
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第四章系统的频率特性分析
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第四章系统的频率特性分析
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第四章系统的频率特性分析
1、时域描述：信号瞬时值随时间变化。 、时域描述：信号瞬时值随时间变化。
2、频域描述：反映信号频率组成及其幅值、相角大小。 2、频域描述：反映信号频率组成及其幅值、相角大小。 例：寻找振源 3、两者描述的是同一信号，只是变换域不同， 、两者描述的是同一信号，只是变换域不同， 研究的方面不同。 研究的方面不同。
机械工程控制基础
第四章 系统的频率特性分析
61
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Bode图)
62
4.3 频率特性的特征量
如图4.31所示，在频域分析时要用到的一些有关频率的特征量 或频域性能指标有 A(0)、wm、wr（Mr）、wb。
1．零频幅值 A(0 ) 零频幅值A(0 )表示当频率ω 接近于零时，闭环系统稳态输出 的幅值与输入幅值之比。
解：根据回路电压定律有
系统的传递函数为：
系统的频率特性为 ：
系统的幅频特性为：
17
4.1 频率特性概述
系统的相频特性为：
根据系统频率特性的定义有 ，系统稳态输出为：
18
4.1 频率特性概述
例4.4 系统结构图如图所示。当系统的输入 时，测得 系统的输出 ，试确定该系统的参数nω,ξ。 解：系统的闭环传递函数为:
因为，如果不知道系统的传递函数或微分方程等数学模型就无法
用上面两种方法求取频率特性。在这样的情况下，只有通过实验 求得频率特性后才能求出传递函数。这正是频率特性的一个极为 重要的作用。
12
4.1 频率特性概述
三、 根据定义来求，此方法麻烦。
13
4.1 频率特性概述
四、
14
4.1 频率特性概述
五、
27
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)
所以，微分环节频率特性的nyquist图是：
28
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)
29
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)
30
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)
31
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)
第四章频率特性分析1
K , Ts 1
Xi ( s )
Xi s2 2
2
2
稳态输出（频率响应） 所以系统的频率特性为
xo( t )
XiK 1T
2 2
sin(t arctgT )
Xo( ) K A( ) Xi 1 T 2 2 ( ) arctgT
(2)对于那些无法用分析法求得传递函数或微分方程的系统或 环节，往往可以先通过试验求出系统或环节的频率特性，进 而求出该系统或环节的传递函数。即使对于那些能用分析法 求出传递函数的系统或环节，往往也要通过试验求出频率特 性来对传递函数加以检验和修正。
频率特性与频率响应
频率特性在有些书中又称为频率响应。本书
中，频率响应指系统对谐波输入的稳态响应。
4.1 频率特性概述
一、频率响应与频率特性
1.频率响应：线性定常系统对谐波输入的稳态响应
例 设系统的传递函数为
若输入信号为 xi(t)=Xisint 则 即
K G( s) Ts 1
Xi Xi ( s ) 2 s 2
K Xi Xo( s ) G( s ) Xi ( s ) 2 Ts 1 s 2
5.频率特性的特点
(1) 频率特性是频域中描述 系统动态特性的数学模型 频率特性是系统单位脉冲响应函 数(t)的Fourier变换 由 Xo(s)=G(s)Xi(s) 有 而当 xi(t)=(t) 时， 且 Xi(j ω)=F[(t)]=1 故 即 Xo(j ω)=G(j)Xi(j ω) xo(t)=ω(t), Xo(j ω)=G(j ω)
若系统稳定, 则有 x (t ) Be jt B*e jt 同理
s j
系统的频率特性分析
例4.3 一典型质量－弹簧－阻尼系统如图所示，系统输入 力f(t)为矩形波。f(t)=f(t-2T)，试求系统的输出位移x(t)。 解：系统的传递函数为
X (s) 1 2 F ( s ) ms Bs k
幅频特性
C( )= j 1
2 ( - m 2 ) + B 2 2 k
相频特性
B G( ) - arctan j = = ( ) 2 k - m
K （ 如图所示系统，传递函数为G s）＝ Ts＋1，求系统的
解：令 s＝j 则系统的频率特性为
K G j）＝ （ jT＋1
系统的幅频特性为
K K G j） （ ＝ ＝ jT＋ 1 1＋T 2 2
系统的相频特性为：
＝G j）＝－arctanT （
系统的稳态响应为：
（t）＝ c AK 1＋T 2 2 sin t－arctanT） （
jt
* jt
t e
k s jt
xi xi jG j xi s j s j G j G j e B Gs s j s j 2j 2j
xi xi jG j B G j G j e 2j 2j
1
4 单位负反馈系统的开环传递函数为 Gs ss 2
若输入信号为
xi t 2 sin 2t
试求系统的稳态输出和稳态误差。
4 G B s 2 s 2s 4
G j
G j
4 4 2 j 2
4
4
2 2
F j） （ X1 j）＝ （ K j） （
由频率响应可知，当系统输入为正弦信号时，系统 （ 输出为同频率正弦信号。显然要使 X1 j） 0 ,则应使 K j） （ k2 2 k2－m2 ＝0 = 2 m2 即当选择吸振器参数满足上式时，可使质量 m1 的振 幅为零，施加于 m1 的干扰被 m2 和 k2 吸收了，这就 是振动控制中的吸振器。
第四章 频率特性分析1
− arctan T ω
结论：系统的频率响应只是时间响应的一个特例，提 供了系统本身特性的重要信息，且随着输入谐波幅值、 频率的不同，系统稳态响应的幅值和相位也不相同。
11
⑵ 频率特性 频率特性：系统在不同频率的正弦信号输入时， 其稳态输出随频率而变化(ω由0变到∞)的特性。 设系统的传递函数中比例系数K为1，则 G ( s) = 输入信号为 xi (t ) = X i sin ωt 系统的稳态响应为： xo (t ) =
R e 2 (ω ) + Im (ω ) = K 1 + T 2ω
2
A (ω ) = G ( jω ) =
2
ϕ (ω ) = ∠ G ( jω ) = tan − 1 Im (ω ) = − tan − 1 (T ω ) R e(ω )
可见，两种方法求解结果一致。
24
¾ 几点说明
频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面 虚轴上的传递函数，因此频率特性与系统的微分 方程、传递函数一样反映了系统的固有特性。 尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的频 率特性与传递函数一样包含了系统或元部件的全 部动态结构参数，因此，系统动态过程的规律性 也全寓于其中。
线性定常系统对谐波输入的响应为：
xo (t ) = A(ω ) sin[ωt + ϕ (ω )]
系统方框图及其稳态响应的输入输出波形如图4.1.1所示：
图4.1.1系统及其稳态响应的输入输出波形
9
例1
设系统的传递函数为G ( s) =
K Ts + 1
输入信号为 xi (t ) = X i sin ωt 得
xo (t ) = XiK 1 + T 2ω 2 sin(ωt − arctan Tω )
第四章 频率特性分析解析
以R-C电路为例，说明频率特性的物理
R
意义。如右图所示电路的传递函数为：
Uo (s) G(s) 1
ui
Ui (s)
1 RCs
C uo
设输入电压 ui (t) Asin t
U o ( j) G( j) 1 1
U i ( j)
1 RCj 1 Tj
图5-3 R-C电路
式中 T=RC G(jω) 称为电 路的频率特性。
— 稳态输出信号的相位
频率特性
线性定常系统在谐波输入信号作用下的频率 响应与输入信号频率的关系称为频率特性，它包 括幅频特性和相频特性。
系统的频率响应幅值与谐波输入信号幅值之 比随输入信号频率变化的关系称为幅频特性，即
A X o G j
Xi
G j
系统的频率响应相位与谐波输入信号相位之 差 (ω)随输入信号频率变化的关系称为相频特性。
❖ 频率响应与输入谐波信号之间存在相位差 (ω)，其相 位差 (ω)随输入信号的频率ω的变化而改变。
❖ 即输出信号与输入信号的幅值比和相位差都是频率ω的 非线性函数。
频率响应演示
6 4 2 幅值 0 -2 -4 -6 -8
0
红 —输 入 ， 蓝 —全 响 应 ， 黑 —稳 态 响 应 yss(t)
频率特性记作 A(ω)·∠ (ω)
频率特性的求法
1. 根据系统的频率响应来求取；
2. 将系统传递函数G(s)中的s换为jω来求取； 3. 用试验方法求取。
当输入信号xi t
Xi
sin
t时，X i s
X i s2 2
则输出为：xos t
AX i
sin t
，X o s
AX i s sin cos