集合论与图论答案 第四章习题
第四章 无穷集合及其基数习题
136P 1.设A 为由序列
12,,,,n a a a
的所有项组成的集合，则是否市可数的？为什么？
解：因为序列是可以重复的，故
若A 是由有限个数组成的集合，则A 是有限的集合；
若A 是由无限个数组成的集合，则A 是可数的。
故本题A 是至多可数的。
2.证明：直线上互不相交的开区间的全体所构成的集合至多可数。
证：在每个开区间中取一个有理数，则这些有理数构成的集合是整个有理数集合Q 的子集，因此是至多可数的。
3.证明：单调函数的不连续点的集合至多可数。
证：设A 是所有不连续点的集合，f 是一个单调函数，则00,x A x ∀∈对应着一个区间0((0),(0))f x f x -+，于是由上题便得到证明。
4.任一可数集A 的所有有限子集构成的集族是可数集合。
证：设1212{,,,,},{,,,},n i i ik A a a a B a a a ==则B A ⊆且B k =<∞。
令{,}B B A B B =⊆<∞，
设:{0,1}A ϕ→，则ϕ是Ａ的子集的特征函数。
,()B B ϕ∀∈B =｛0，1的有穷序列｝
，即i a A ∀∈， 若i a B ∈，则对应1；若i a B ∉则对应0。
于是
,()B B ϕ∀∈B 就对应着一个由0，1组成的有限序列0，1，1，0，…，0，1。
此序列对应着一个二进制小数，而此小数是有理数。
于是，可数集A 的所有有限子集B 对应着有理数的一个子集。
又121212,,,,B B B B B B ∀∈B ≠对应的小数也不同，故ϕ是单射。
而可数集Ａ的所有有限子集B 是无穷的，故B 是可数的。
5．判断下列命题之真伪：
(1)若:f X Y →且f 是满射，则只要X 是可数的，那么Y 是至多可数的；
(2)若:f X Y →且f 是单射，那么只要Y 是可数的，则X 也是可数的；
(3)可数集在任一映射下的像也是可数的； 答案：对，错，错。
7．设Ａ是有限集，Ｂ是可数集，证明：{|:}A B f f A B =→是可数的。
证：由第四题可得。
8. 设∑为一个有限字母表，∑上所有字（包括空字）之集记为*∑。
证明*∑是可数集
证１：设有限字母∑上所有字（包括空字ε）所形成的集*∑，则*∑是可数的。
Ａ1＝{长度为1的字符串}
Ａ2＝{长度为2的字符串}
Ａn ＝{长度为n 的字符串}
因为Ａi 中每个长度都是有限的，而*∑＝
1i Ai ∞=，故*∑是至多可数的。
又*
∑显然是无穷的，故*∑是可数的。
证2：不妨假设{,,}a b c ∑=（令∑＝{0,1}也是可以），则可按字典序排序为： ,,,,,,,,,,,,,a b c aa ab ac ba bb bc aaa aab ε。
由于*∑的全部元素可以排成无重
复项的无穷序列，故*∑是可数的。
2.4习题
142P 2.找一个初等可数()f x ，使得它是(0,1)到实数R 的一一对应。
解：Ctgx ,或tgx ，或()2
tg x π
- 3.试给出一个具体的函数，使得它是从(0,1)到[0,1]的一一对应。
证：(0,1)中包含一个可数子集23111{,,,}222
A =可数。
123111{0,1}{0,1,,,,}222
A A ==——可数的，故1A A 。
令:(0,1)[0,1],(0,1)x ϕ→∀∈
2012()11411,322i i
x x A x x x x i ϕ-∈⎧⎪⎪=⎪⎪=⎨=⎪⎪⎪=≥⎪⎩当当当当 ()x ϕ即为所求。
4.证明：若A 可数，则2A 不可数。
（用对角线方法）。
证：A 可数，则令{1,2,3,}A =。
假设2A 可数，则A 的子集（即2A 的元素）是可数的，故2A 中元素可排成一个无重复项的无穷序列：
12,,,n A A A
而2~(){:{0,1}}A Ch A f f A =→，于是特征函()Ch A 可数，即()Ch A 可写成下列无穷序列形式：
12,,
,n f f f 1111213
2212223
3313233
123
:::
:
n n n n
f a a a f a a a f a a a f a a a
其中0ij a =或1,1,2,3,j =。
造一个特征函数β。
令1{}i b β∞=
11111222221 00 11 00 1
1 00 1 nn n nn a b a a b a a b a =⎧=⎨=⎩=⎧=⎨=⎩=⎧=⎨=
⎩若；若若；
若若若 则123,,,,,n f f f f β≠,但β确实是A 到{0,1}的一个映射，即
β是A 的子集的特征函数，矛盾。
故2A 不可数。
图论课后习题答案
图论课后习题答案图论是数学中的一个分支，主要研究图的结构和性质。
图论的课后习题通常包括证明题、计算题和应用题。
下面给出一些典型的图论课后习题答案：1. 证明题：证明一个图是连通的当且仅当它的任意两个顶点都存在一条路径相连。
答案：首先定义连通图的概念：一个图是连通的，如果对于任意两个顶点，都存在一条路径将它们连接起来。
接下来，我们证明两个方向：- 如果一个图是连通的，那么对于任意两个顶点\( u \)和\( v \)，根据定义，必然存在一条路径\( P \)将它们连接起来。
- 反之，如果对于任意两个顶点\( u \)和\( v \)，都存在一条路径将它们连接起来，那么我们可以构造一个从任意顶点\( u \)出发，访问图中所有顶点的路径，这表明图是连通的。
2. 计算题：给定一个有\( n \)个顶点的完全图，计算它的边数。
答案：在完全图中，每个顶点都与其他所有顶点相连。
因此，对于一个顶点，它将与\( n-1 \)个其他顶点相连。
但是，每条边被计算了两次（因为它连接了两个顶点），所以边数应该是\( \frac{n(n-1)}{2} \)。
3. 应用题：在一个社交网络中，每个用户可以与其他人建立联系。
如果一个用户与至少一半的用户建立了联系，那么这个社交网络是连通的吗？答案：是的，这个社交网络是连通的。
假设社交网络中有\( n \)个用户，如果一个用户与至少\( \lceil \frac{n}{2} \rceil \)个用户建立了联系，那么我们可以构造一条从任意用户\( u \)到这个中心用户的路径。
由于中心用户与至少一半的用户建立了联系，我们可以继续通过这些联系到达其他用户，从而证明社交网络是连通的。
4. 证明题：证明在任何图中，边数至少是顶点数减一。
答案：考虑一个图的生成树，它是一个最小的连通子图，包含图中的所有顶点，并且没有环。
在生成树中，边数等于顶点数减一。
由于任何图都至少包含一个生成树，因此原图的边数至少与生成树的边数相同，即至少是顶点数减一。
习题参考解答(图论部分)
习题十1. 设G 是一个(n ，m)简单图。
证明：，等号成立当且仅当G 是完全图。
证明：（1）先证结论：因为G 是简单图，所以G 的结点度上限 max(d(v)) ≤ n-1, G 图的总点度上限为 max(Σ(d(v)) ≤ n ﹒max(d(v)) ≤ n(n-1) 。
根据握手定理，G 图边的上限为 max(m) ≤ n(n-1)/2,所以。
（2） =〉G 是完全图 因为G 具有上限边数，假设有结点的点度小于n-1,那么G 的总度数就小于上限值，边数就小于上限值，与条件矛盾。
所以，G 的每个结点的点度都为n-1，G 为完全图。
G 是完全图 =〉 因为G 是完全图，所以每个结点的点度为n-1, 总度数为n(n-1)，根据握手定理，图G 的边数 。
■2. 设G 是一个（n ，n +1）的无向图，证明G 中存在顶点u ，d （u ）≥3。
证明：反证法，假设,则G 的总点度上限为max(Σ(d(u)) ≤2 n ，根据握手定理，图边的上限为max(m) ≤ 2n/2=n 。
与题设m = n+1，矛盾。
因此，G 中存在顶点u ，d （u ）≥3。
■3．确定下面的序列中哪些是图的序列，若是图的序列，画出一个对应的图来: （1）（3，2，0，1，5）； （2）（6，3，3，2，2） （3）（4，4，2，2，4）； （4）（7，6，8，3，9，5）解：除序列（1）不是图序列外，其余的都是图序列。
因为在（1）中，总和为奇数，不满足图总度数为偶数的握手定理。
可以按如下方法构造满足要求的图：序列中每个数字ai 对应一个点，如果序列数字是偶数，那么就在对应的点上画ai/2个环，如果序列是奇数，那么在对应的点上画(ai-1)/2个环。
最后，将奇数序列对应的点两两一组，添加连线即可。
下面以（2）为例说明：(6 , 3, 3, 2, 2 ) 对应图G 的点集合V= { v 1,v 2,v 3,v 4,v 5}每个结点对应的环数(6/2, (3-1)/2, (3-1)/2, 2/2,2/2) = (3,1,1,1,1)将奇数3，3 对应的结点v 2,v 3一组，画一条连线其他序列可以类式作图，当然大家也可以画图其它不同的图形。
北工大-集合与图论习题整理版
习题集（一） 一、填空1．设}7|{)},5()(|{<∈=<∈=+x E x x B x N x x A 且且（N ：自然数集，E + 正偶数） 则 =⋃B A 。
2．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 。
6．设A={1，2，3，4}，A 上关系图为则 R 2 = 。
7．设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图为则 R= 。
8．图的补图为 。
二、选择2、下列集合中相等的有（ ）A ．{4，3}Φ⋃；B ．{Φ，3，4}；C ．{4，Φ，3，3}；D ． {3，4}。
3、设A={1，2，3}，则A上的二元关系有（）个。
A．23 ；B．32 ；C．332⨯；D．223⨯。
4、设R，S是集合A上的关系，则下列说法正确的是（）R 是自反的；A．若R，S 是自反的，则SR 是反自反的；B．若R，S 是反自反的，则SR 是对称的；C．若R，S 是对称的，则SR 是传递的。
D．若R，S 是传递的，则S5、设A={1，2，3，4}，P（A）（A的幂集）上规定二元系如下t st spR=∈=则P（A）/ R=（）<>A∧s(||||})(,{t|,A．A ；B．P(A) ；C．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}}；D．{{Φ}，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}}6、设A={Φ，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A上包含关系“⊆”的哈斯图为（）7、下列函数是双射的为（）A．f : I→E , f (x) = 2x ；B．f : N→N⨯N, f (n) = <n , n+1> ；C．f : R→I , f (x) = [x] ；D．f :I→N, f (x) = | x | 。
（注：I—整数集，E—偶数集，N—自然数集，R—实数集）8、图中从v1到v3长度为3 的通路有（）条。
A．0；B．1；C．2；D．3。
集合论与图论课件 第四章 无限集
3 集合递归（归纳）定义的实例
例1：设整数集I是全集,非负偶整数集 E+={x|x≧0,且x=2y, yZ}, 它可以递归定 义如下: (1)(基础)0E+。 (2)(归纳)如果nE+, 则n+2E+。 (3)(闭合)除有限次应用(1)和(2)产生的整 数外,再没有其它的整数在E+ 中。
引言实例的递归定义 (1)(基础)3S。 (2)(归纳)如果x,yS, 则x+yS。 (3)(闭合)除有限次应用(1)和(2)产生的整 数外, 再没有其它的整数在S中。
例如,若Σ={0,1}, 则 Σ*={,0,1,00,01,10,11,000,001…},是有 限二进制序列的集合, 其中包含空序列。
5
用归纳定义的方法来描述算术表达式集合
例4.4 算术表达式集合是包含整数, 一元运算符+,-, 以 及二元运算符+,-,* ,/的符号序列所组成的集合, 其中包 含如“((3+5)/4)”,“(((-5)+6)*3)”等算术表达式。 算术表达式集合的递归定义如下: (1)(基础)如果D={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}和xD+ ,则x是算 术表达式。其中D+是D上所有非空数字串的集合。 (2)(归纳)如果x和y都是算术表达式, 则 (+x)是算术表达式; (-x)是算术表达式; (x+y)是算术表达式; (x-y)是算术表达式; (x*y)是算术表达式; (x/y)是算术表达式。 (3)(闭合)一个符号序列是一个算术表达式当且仅当它 能通过有限次应用(1)和(2)而得到。
例4.7 证明所有大于或等于2的整数能表 示为若干质数之积。
/*第二数学归纳法证明*/
图论第四章答案
推论 4.1
解： (1.)对于K 2 n , 用归纳法 : n 1时完美匹配数为 1, n 2时不同完美匹配数为 3, 满足(2n 1)!! 设当n k时, 不同的完美匹配数为 (2k 1)!!, 则当n k 1时, 即向K 2 n中加入两点u , v, 则多出4k 1条边( K 2 n中有u1 , u 2 , , u 2 k 个点， u , v间有边uv, 而u , v和u1 , u 2 , , u 2 k 都存在边). a. 取K 2 n的一个完美匹配 M 1 , 则只加入边uv有M 1' 为K 2 k 2的一个完美匹配，无妨 设u1u 2 , u 3 u 4 , , u 2 k 1u 2 k 为M 1中的边; b. 则去掉u1u 2 边添加u1u , u 2 v有另一个K 2 k 2 完美匹配M 1'' 或添加u1v, u 2 u有完美匹配M 1''' ; c. 对u 3 u 4 , , u 2 k 1u 2 k同样的操作...(去掉u 3 u 4 , 添加u 3 u和 u 4 v; 去掉u 3 u 4 , 添加u 3 v和u 4 u )则共有2k种设法, 算上M 1' (将原来M中的匹配组合顺次与 uv进行变换重组)共有2k 1种; d . K 2 n的不同完美匹配有 (2k 1)!!每一种(指u1u 2 , u 3 u 4 , 做上述变换)均可增加为2k 1，所以K的不同的完美匹配共有 (2k 1)(2k 1)!! (2k 1)!! 种，得证. (2.)对于K n ,n , 记G ( X , Y , E )中x1 , x 2 , , x n X , y1 , y 2 , , y n Y 对x1 , 选取Y中点共有n种选法使x1与y1的边为完美匹配的一边 ，选定之后，去掉选 中的点和x1 ; 对x 2 有n 1种选法...,一直到x n只有一种，故而不同的 完美匹配有n!种.
组合数学讲义及答案 4章 容斥原理
6/49
《组合数学》
语言的人。
第四章 容斥原理
（3）符号 设 S 为一个集合，A i 是 S 上具有性质 P i 的元素集，令 q0 ＝ S
n
q1 ＝ Ai ＝ A1 ＋ A2 ＋…＋ An
i 1
q2＝
Ai Aj ＝( A1 A2 ＋ A1 A3 ＋…＋ A1 An )＋( A2 A3 ＋…
n1
n1
n1
An Ai Ai An ＝ Ai An
i 1
i 1
i 1
n1
＝ Ai An
Ai Aj An
Ai Aj Ak An
i 1
1i jn1
1i jkn1
1 n2 A1 A2 An1 An
会 0 种语言（即不具有任何性质）的人数为： A1 A2 ＝ S －( A1 ＋ A2 )＋ A1 A2 ＝11－(7＋5)＋2＝1（人）
恰好会两种语言（即具有两种性质）的人数 A1 A2 ＝2
问：恰好会一种语言的人有多少？ 从集合的角度，可以分别计算： （1）会英语而不会德语的人数为
A1 A2 ＝ A1 A1 A2 ＝ A1 － A1 A2 ＝7－2＝5
＝6
个，即
B＝{
3,
6,
9,
12,
15,
18 }；
③ 二者相加为 10＋6＝16 个。
④ 实际为 13 个：即 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20；
⑤ 原因：把既是 2 的倍数，又是 3 的倍数的数重复算了一
次，这样的数恰好有
离散数学答案
2015春课件作业第一部分集合论第一章集合的基本概念和运算1-1 设集合 A ={{2，3,4}，5，1}，下面命题为真是 A （选择题） [ A ] A．1 ∈A； B．2 ∈ A； C．3 ∈A； D．{3，2,1} ⊆ A。
1-2 A,B,C 为任意集合，则他们的共同子集是 D （选择题） [ D ] A．C； B．A； C．B； D．Ø。
1-3 设 S = {N，Z，Q，R}，判断下列命题是否正确（是非题）（1） N ⊆ Q，Q ∈S，则 N ⊆ S，否［错］（2）-1 ∈Z，Z ∈S，则 -1 ∈S 。
否［错］1-4 设集合 B = {4，3} ∩Ø， C = {4，3} ∩{ Ø }，D ={ 3，4，Ø }，E = {x│x ∈R 并且 x2 - 7x + 12 = 0}，F = { 4，Ø，3，3}，试问：集合 B 与那个集合之间可用等号表示 A （选择题） [A ]A. C;B. D;C. E;D. F.1-5 用列元法表示下列集合：A = { x│x ∈N 且 3－x 〈 3 }（选择题） [D ]A. N;B. Z;C. Q;D. Z+1-6 为何说集合的确定具有任意性 ? (简答题)按照所研究的问题来确定集合的元素。
而我们所要研究的问题当然是随意的。
所以，集合的定义（就是集合成分的确定）就带有任意性。
第二章二元关系2-1 给定 X =（3, 2，1），R 是 X 上的二元关系，其表达式如下：R = {〈x，y〉x，y ∈X 且 x > y } （综合题）求：(1)domR =?; (2)ranR =?; (3)R 的性质。
所谓谓词表达法，即是将集合中所有元素的共同性质用一个谓词概括起来，如本题几例所示。
有的书上称其为抽象原则。
反过来，列元法则是遵照元素的性质和要求，逐一将他们列出来，以备下用,结果如下：R = {<1,1>,<2,2>,<3,3>}；(1)DomR={R中所有有序对的x}={3,2,1};(2)RanR={R中所有有序对的y}={3,2,1}；(3)R 的性质:自反,对称,传递性质.2-2 设 R 是正整数集合上的关系，由方程 x + 3y = 12 决定，即R = {〈x，y〉│x，y ∈Z+ 且 x + 3y = 12}，试给出 dom（R 。
集合论与图论参考答案
℘({∅, {∅}}) = {∅, {∅}, {∅, {∅}} }
这是错误的，记住对任意的集合A，℘(A)中的元素个数总是2的幂，所以不可能是3个元素。注意下面 几个集合的差别：
∅
{∅}
{{∅}}
{{{∅}}}
对于(3)，有些同学没有想到上面的说明方法，对于计算℘℘℘({∅})又没有耐心，所以要么计算错，要 么直接写上了答案（我怀疑是参考别人的答案）。对于(4)，很多同学忘记了 ℘(A) = A这个等式， 而在计算时也有不少同学出错，最多错的答案是：
(1) A ∪ B ∪ C ∪ D = {−7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 16, 18, 21, 24, 27, 30, 32, 64}
(2) A ∩ B ∩ C ∩ D = ∅ (3) B − (A ∪ C) = {−7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 4, 5, }
若 且 ，则 。 (5) A∈B B∈C A∈C
解答：
(1) 该命题为真。因为B ⊆ C意味着对任意的x，若x∈B，则x∈C，因此若A∈B，则A∈C。
该命题为假。例如 ，则 及 ，但 。 的子 (2)
A = {1}, B = {{1}}, C = {{1}, 2} A∈B B ⊆ C A ⊆ C C
由 ， 就得到 。 A∪ ∼ A = E B ∩ E = B, C ∩ E = C
B=C
点评：这一比较简单，类似课堂上举的例子：A ∩ B = A ∩ 且C A ∪ B = A ∪ C蕴含B = C，但有
些同学没有认真听课，而没有想到这一点。
作业1.8 化简下列各式
图论与组合数学期末复习试题含答案
组合数学部分第1章 排列与组合例1：1)、求小于10000的含1的正整数的个数；2、)求小于10000的含0的正整数的个数；解：1)、小于10000的不含1的正整数可看做4位数,但0000除外.故有9×9×9×9－1＝6560个.含1的有：9999－6560=3439个2)、“含0”和“含1”不可直接套用。
0019含1但不含0。
在组合的习题中有许多类似的隐含的规定，要特别留神。
不含0的1位数有19个，2位数有29个，3位数有39个，4位数有49个不含0小于10000的正整数有()()73801919999954321=--=+++个含0小于10000的正整数9999－7380=2619个。
例2：从[1,300]中取3个不同的数，使这3个数的和能被3整除，有多少种方案？解：将[1,300]分成3类：A={i|i ≡1(mod 3)}={1,4,7,…,298},B={i|i ≡2(mod 3)}={2,5,8,…,299},C={i|i ≡0(mo d 3)}={3,6,9,…,300}.要满足条件，有四种解法：1)、3个数同属于A;2)、3个数同属于B ；3)、3个数同属于C;4)、A,B,C 各取一数；故共有3C(100,3)+1003=485100+1000000=1485100。
例3：（Cayley 定理：过n 个有标志顶点的数的数目等于2-n n ）1）、写出右图所对应的序列；2）、写出序列22314所对应的序列；解：1）、按照叶子节点从小到大的顺序依次去掉节点（包含与此叶子节点相连接的线），而与这个去掉的叶子节点相邻的另外一个点值则记入序列。
如上图所示，先去掉最小的叶子节点②，与其相邻的点为⑤，然后去掉叶子节点③，与其相邻的点为①，直到只剩下两个节点相邻为止，则最终序列为51155.。
2）、首先依据给定序列写出（序列长度+2）个递增序列，即1234567，再将给出序列按从小到大顺序依次排列并插入递增序列得到：7。
第四部分图论练习题答案
《离散数学》第四部分---图论练习题答案一、选择或填空1、设G是一个哈密尔顿图，则G一定是( )。
(1) 欧拉图(2) 树(3) 平面图(4) 连通图答：(4)2、下面给出的集合中，哪一个是前缀码？( )(1) {0，10，110，101111} (2) {01，001，000，1}(3) {b，c，aa，ab，aba} (4) {1，11，101，001，0011}答：（2）3、一个图的哈密尔顿路是一条通过图中( )的路。
答：所有结点一次且恰好一次4、在有向图中，结点v的出度deg+(v)表示( )，入度deg-(v)表示( )。
答：以v为起点的边的条数，以v为终点的边的条数5、设G是一棵树，则G 的生成树有( )棵。
(1) 0 (2) 1 (3) 2 (4) 不能确定答：16、n阶无向完全图K n 的边数是( )，每个结点的度数是( )。
答：2)1(nn, n-17、一棵无向树的顶点数n与边数m关系是( )。
8、一个图的欧拉回路是一条通过图中( )的回路。
答：所有边一次且恰好一次9、有n个结点的树，其结点度数之和是( )。
答：2n-210、下面给出的集合中，哪一个不是前缀码( )。
(1) {a，ab，110，a1b11} (2) {01，001，000，1}(3) {1，2，00，01，0210} (4) {12，11，101，002，0011}答：(1)11、n个结点的有向完全图边数是( )，每个结点的度数是( )。
答：n(n-1),2n-212、一个无向图有生成树的充分必要条件是( )。
答：它是连通图13、设G是一棵树，n,m分别表示顶点数和边数，则(1) n=m (2) m=n+1 (3) n=m+1 (4) 不能确定。
答：（3）14、设T=〈V,E〉是一棵树，若|V|>1，则T中至少存在( )片树叶。
答：215、任何连通无向图G至少有( )棵生成树，当且仅当G 是( )，G的生成树只有一棵。