非欧几何的产生与发展
非欧几何的发展史及其启示
学 院
学
欧几里得的 《 几何原本 》 ．其中公设五是欧几里得 自己提
出的， 的内容是 “ 它 若一 条直线 与两直线相交 ， 且若 同侧 所交两内角之和小于两直角 ， 则两直线无限延长后必相交 于该侧的一点” 、这一公设引起了广泛的讨论 ，因为它不 如其他公理 、 公设那样简 明， 欧几里得本人也不 满意这条 公设 ，他在证 完了所有不需 要平 行公设 的定理 后才使用
统 的理论 ，而著名 的数学家高斯 （ ａｓ ７ ７ １５ 、波 Ｇ ｕｓ１７ —８ ５）
约 （ ｏｙｉ１０ —８ ０） 罗 巴 切 夫 斯 基 （ ｏ ａ ｈｖｋ Ｂ ｌａ ８ ２１６ 、 Ｌ ｂ ｔ ｅｓｙ ｃ
１９ —８ ６） ７ ３１５ 就这样做 了，成为非欧几何 的创始人 ， 高斯 是最早指 出欧几里得第 五公 设独立 于其 他公设 的人 ，早在 １ ９ ７ ２年他就 已经有一种思想 ，去 建立一种逻 辑几何学 ，其 中欧几里得第五公设不成立 ．１ ９ ７ ４年高斯
它， 怀疑它可 能不是一个独立的公设 ， 或许 能用其它公设 或公理代替 ， 从古希腊时代开始到 １ ９世纪的 ２ ０ ０ ０多年来
数学家们始终对这条公设耿耿 于怀 ， 孜孜不倦 的试 图解决
可能存 在着一 种新 几何 ， １ ９世 纪初 ，德 国人萨外 卡特
（ ｃｗｅ ａ ７ ０１５ 使这 种思想更加 明朗化 ， ｓｈ ｉ ｒ １ ８—８ ９） ｋｔ 他通过
这个 问题 ， 数学家们主要沿 ２条研究 途径前进 ： 一条途径 是 寻找一条更为 自明的命题代替平行公设 ； 另一条途径是
几何学的发展简史 学习课件
本章的知识结构为：
点 轨迹
第一章 第二章
坐标 方程
曲曲 面线
普参 通数
第三章 平面与直线
方程与关系
一般曲面 第四章 常见曲面和二次曲面
一般曲线 第五章 二次曲线的一般理论
第一章 矢量与坐标
为了把代数的方法引入到几何中来，首 先必须把空间的几何结构代数化，这是解析
几何的基础. 本章的主要目的是系统地介绍矢 量代数的基本知识,这实质上就是一个使空间 结构代数化的过程. 矢量虽然不是数，但是可 以像数那样去运算,因此在几何中引进了矢量, 就把代数运算带到几何中来了，从而使我们 可以利用矢量代数的方法来研究几何问题。
空间直线之间位置关系的解析表达式，给出
距离、夹角等计算公式.
点位式
本章的知识结构为：平面的方程 一般式
点向式 →直线的方程 一般式
点法式 → 相关位置
射影式
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
本章介绍柱面、锥面、旋转曲面与二次曲
面，其中柱面、锥面、旋转曲面具有较为突
（黎曼：双曲几何，罗氏：椭圆几何）
五.几何学的尖端----拓扑学的产生（1900年～）
﹜ ﹛ 初等代数
解析几何
数学分析
初等数学
高等数学
初等几何
高等代数
﹛平面几何
初等几何 立体几何
﹛ 解析几何 平面解析几何 空间解析几何
几何学的发展简史
几何学的发展简史引言几何学是数学中的一个分支学科，研究空间与图形的形状、属性、关系以及变化规律。
几何学的发展可以追溯到古代文明时期，而随着人类知识和科技的进步，几何学不断演化和发展，推动了人类对于空间和形状的深入认识并为其他学科的发展奠定了基础。
本文将简要介绍几何学的发展历程，从古代几何学到现代几何学的演进过程。
古代几何学古代几何学的奠基人可以追溯到古埃及和古希腊时期。
埃及人在建筑、土地测量等方面的需要推动了他们对几何学的研究。
而古希腊的数学家毕达哥拉斯开创了几何学中的代数方法，将几何问题与代数问题相结合，为后来几何学的发展奠定了基础。
另外，古希腊的数学家欧几里得在公元前3世纪出版的《几何原本》一书中，系统地总结了当时的几何学知识，成为几何学发展的重要里程碑。
欧几里得几何学欧几里得几何学，也被称为传统几何学，在古代几何学中占据着重要的地位。
这种几何学以欧几里得《几何原本》为基础，通过一系列的公理、定义和推理定理，研究了平面和空间中的点、线、面以及它们的性质和关系。
欧几里得几何学的基本思想是使用逻辑推理和证明，从一些基本事实出发，逐步推导出更复杂的命题，形成完备的理论体系。
这种几何学体系在欧洲的教育中广泛应用，直到现代几何学的出现。
非欧几何学的出现19世纪，随着数学思想的发展和对几何学的深入研究，人们开始思考是否存在其他几何学体系。
1830年，俄国数学家罗巴切夫斯基提出了一种与欧几里得几何相悖的几何体系，被称为非欧几何学。
非欧几何学在这个体系中放宽了欧几里得几何学中的一些公理，并提出了一些与传统几何学相矛盾的概念和命题。
尽管这种几何学体系与直觉和日常经验相悖，但它引发了对几何学基础的深入思考，并推动了几何学的发展。
现代几何学的发展随着数学和科学的发展，几何学逐渐从传统的几何学中解放出来，形成了更加抽象和广义的几何学研究方向。
例如，19世纪末至20世纪初，德国数学家大卫·希尔伯特提出了公理化几何学的概念，通过精确的公理系统建立了几何学的基础。
(完整word版)欧几里得几何与非欧几何
欧几里得几何与非欧几何摘要：欧几里得的《几何原本》奠定了几何学发展的基础, 随着逻辑推理的理论发展, 非欧几何在艰难中产生发展起来；其中少不了欧几里得、罗巴切夫斯基与黎曼在几何学上的巨大贡献，且两者几何学之间存在着严密的辩证关系。
关键词：欧几里得几何、几何原本、非欧几何、辩证关系欧氏几何是人类创立的第一个完整的严密的（相对而言) 科学体系.它于公元前三世纪由古希腊数学家欧几里得完成,后来经历了两千多年的发展，对科学和哲学的影响是极其深远的。
十九世纪二十年代,几何学发展史上出现了新的转折点，德国数学家高斯、匈牙利数学家亚·鲍耶和俄国数学家罗巴切夫斯基分别在1824年、1825年1826年各自独立地创立了非欧几何，其中以罗巴切夫斯基所发表的内容最完善,因此取名为罗氏几何学.1854年，德国数学家黎曼创立了黎曼几何.十九世纪末，德国数学家阂可夫斯基发展了黎曼几何，创立了四维空时几何学。
1915年，爱因斯坦利用非欧几何——四维空间几何学作为工具创立了广义相对论，不久广义相对论连同非欧几何为天文观察等科学实践所证实.从此，人们确认非欧几何是人类发现的伟大的自然科学真理。
一、欧几里得几何的发展(一）古希腊前期几何学的发展为欧几里得几何的产生奠定了基础在欧几里得时代以前,数学家与学者们就已经获得许多几何方面的成果，但大多数是零星的，有的对部分内容也作过一些整理加工，但不系统。
面对前人留下的材料以及一些证明方法，欧几里得认真进行了总结、提练、筛选，以及分析、综合、归纳、演绎，集前人工作之大成,系统整理加工成巨著《几何原本》，所以说古希腊前期的几何学的发展为欧几里得几何的产生奠定了基础。
最早研究几何的一批人是爱奥尼亚学派，它的创始人是泰勒斯，据传他曾用一根已知长度的杆子，通过同时测量竿影和金字塔影之长，求出了金字塔的高度。
人也把数学之成为抽象理论和有些定理演绎证明归功于他，如圆被直径二等分, 等腰三角形两底角相等，两直线相交对顶角相等，两角及夹边对应相等的两个三角形全等，内接于半圆的角是直角等的论证。
欧氏几何发展过程
欧氏几何发展过程引言：欧氏几何，又称欧几里德几何，是几何学的一种分支，以古希腊数学家欧几里德为代表。
欧氏几何主要研究平面和空间中的点、线、面及其性质和关系。
本文将从欧几里德时代开始，逐步探讨欧氏几何的发展过程。
一、欧几里德时代公元前300年左右，欧几里德创立了几何学的基本原理和定理，成为欧氏几何的奠基人。
他在著作《几何原本》中，系统地阐述了平面几何的五大公理，即：一、任意两点可以用一条直线相连；二、任意直线段可以无限延长；三、以一点为中心，以一定长度为半径可以画出唯一的一个圆；四、所有直角相等；五、如果两条直线与第三条直线相交，使内角和小于两个直角的和。
这五条公理成为欧氏几何的基础。
二、尼古拉斯·康托尔时代17世纪的尼古拉斯·康托尔对欧氏几何进行了深入发展。
他在《元数学》中提出了无穷多个点的概念，并研究了点的集合和无限量的性质。
康托尔的工作为后来的数学发展奠定了基础。
三、非欧几何的出现19世纪初，高斯、黎曼等数学家开始研究非欧几何。
他们发现，如果放弃欧氏几何的第五条公理，即平行公理，可以得到一种完全不同的几何体系。
在非欧几何中，平行线可以相交或无限延长，这与欧氏几何的直觉相悖。
非欧几何的出现打破了欧氏几何的统治地位，推动了几何学的发展。
四、黎曼几何的提出19世纪中叶，德国数学家黎曼提出了黎曼几何，开创了曲面的研究。
黎曼几何将欧氏几何从平面推广到曲面，并研究了曲面上的测地线、曲率等概念。
黎曼几何的提出为后来的广义相对论等领域奠定了基础。
五、拓扑学的发展20世纪初，法国数学家庞加莱对欧氏几何进行了深入研究，并提出了拓扑学的概念。
拓扑学是研究空间形状和连通性的数学分支，与欧氏几何密切相关。
庞加莱的工作为拓扑学的发展奠定了基础，并在后来的数学研究和应用中起到了重要作用。
六、现代欧氏几何20世纪以后，随着数学的发展和应用的推动，现代欧氏几何得到了广泛的应用。
在计算机图形学、物理学等领域，欧氏几何的概念和方法被广泛运用。
关于非欧几何的产生与发展的感想与浅见 初中作文【550字】
关于非欧几何的产生与发展的感想与浅见初中作文
【550字】
了解了关于非欧几何的产生与发展的数学历史之后，对于以后数学的学习，产生一些新的想法和感知。
萌芽阶段和发展阶段的研究虽然是孤立的、片面的，但它确实地为非欧几何的成熟奠定了一定的基础。
成熟阶段主要由两部分构成，一是以俄国数学家罗巴切夫斯基为首的罗巴切夫斯基几何学派，一是以德国数学家黎曼为首的黎曼几何学派。
前面提到的一些数学家尤其是兰伯特，都是非欧几何的先驱，但是他们都没有正式提一种新几何并建立其系统的理论，而着名的数学家高斯、波约、罗巴切夫斯基提出来较系统的理论，成为非欧几何的创始人，高斯是最早指出欧几里得第五公设独立于其他公设的人，早在1792年他就已经有一种思想，去建立一种逻辑几何学，其中欧几里得第五公设不成立．1794年高斯发现在他的这种几何中，四边形的面积正比于2个平角与四边形内角和的差，并由此导出三角形的面积不超过一个常数，无论其顶点相距多远．后来他进一步发展了他的新几何，称之为非欧几何。
这就告诉我们应该辩证并带有批判、质疑的学习，不唯上不唯书只唯实。
学习是个反复探究不断升华并经时间反复检验的过程，我们不能浅尝辄止又或者含糊了事，必须知其然知其所以然。
在平时的学
习过程中要不断的学习新的知识，要勇于质疑自己已经掌握的知识；广开思路，重视发散思维；课余精选一些典型问题，标新立异、大胆猜想、探索，培养自己的创新求证意识。
什么是非欧几何它与欧几里得几何有何不同
什么是非欧几何它与欧几里得几何有何不同在我们探索数学的广袤世界时，欧几里得几何是我们最初接触的重要领域之一。
然而，随着数学的发展，非欧几何的出现打破了传统的认知，为我们打开了全新的视角。
那么，究竟什么是非欧几何？它与欧几里得几何又有着怎样显著的不同呢？要理解非欧几何，我们得先回顾一下欧几里得几何。
欧几里得几何，是以古希腊数学家欧几里得的《几何原本》为基础构建的几何体系。
在这个体系中，有着一系列我们熟悉的公理和定理。
比如，两点之间直线最短；三角形内角和等于 180 度；平行线永不相交等等。
欧几里得几何在很长一段时间里被认为是描述空间和形状的唯一正确方式。
它在我们日常生活中的建筑、工程、制图等方面都有着广泛的应用。
我们所熟悉的房屋结构、道路规划，都遵循着欧几里得几何的规则。
然而，非欧几何的出现挑战了这种传统观念。
非欧几何主要包括两种类型：罗巴切夫斯基几何（双曲几何）和黎曼几何（椭圆几何）。
罗巴切夫斯基几何中，最显著的特点是平行线不再是永不相交。
想象一下，在一个双曲平面上，过直线外一点可以画出多条与之平行的直线。
这与我们在欧几里得几何中的认知完全不同。
而且，在双曲几何中，三角形的内角和小于 180 度。
这种几何模型在一些特殊的物理学和天文学研究中具有重要意义。
黎曼几何则是另一种非欧几何。
在黎曼几何中，没有绝对的平行线概念。
并且，三角形的内角和大于 180 度。
这种几何在广义相对论中发挥了关键作用，帮助我们理解弯曲的时空。
那么，为什么会出现非欧几何呢？这其实是数学发展的必然结果。
当人们对空间和形状的认识不断深入，发现欧几里得几何在某些情况下无法很好地描述现实世界中的现象。
比如，在研究大尺度的宇宙空间或者微观世界时，欧几里得几何的局限性就逐渐显现出来。
从数学的本质来看，欧几里得几何是基于平坦的空间假设，而非欧几何则是对弯曲空间的描述。
这就好比我们在平地上走路和在山坡上走路的感觉是不同的。
欧几里得几何就像是在平地上行走的规则，而非欧几何则是在山坡或者更复杂地形上行走的规则。
几何学的发展简述
几何学的发展历程几何学是一门历史悠久、源远流长的学科。
因为它与人类的生活密切相关，所以在人类的早期文明里，它凭借丰富的直观形象和深奥的内在本质，成为当之无愧的老大哥。
在人类历史的长河中，无论在思想领域的突破上，还是在科学方法论的创建上，几何学总扮演着“开路先锋”的角色。
下面就来了解一下几何学的发展史。
一、欧几里得与《几何原本》欧几里得是古希腊数学的集大成者, 是古希腊亚历山大学派的创始人。
从公元前7 世纪到公元前4 世纪, 伴随着哲学的发展, 古希腊数学, 特别是几何学获得了充分的发展, 积累了丰富的材料。
要进一步促进数学的发展, 同时满足教学的需要, 如何把这些材料整理成/ 逻辑严密的系统知识就成了当时希腊数学家的非常重要且非常艰巨的一项任务。
欧几里得总结了前人的经验和教训, 巧妙地把亚里士多得的/ 逻辑学和数学结合起来, 精细地选择命题和公理, 合理地安排知识的顺序, 使之能从很少的几个原始命题( 或说公理) 开始逻辑地展开。
于是, 人类历史上的第一部( 我们可以这样认为) 数学理论著作---《几何原本》诞生了, 第一个公理化的逻辑体现出现了。
它共有十三卷, 包含了465 个命题, 所涉及到的知识包含平面几何、立体几何、比例论、初等数论、无理数等知识。
欧几里得几何从此成为经典几何的代名词。
二、非欧几何的诞生直到18世纪末，几何领域仍然是欧几里得一统天下.虽然解析几何实现了几何学研究方法的革命，但没有从本质上改变欧氏几何本身的内容。
然而，这个近乎科学“圣经”的欧几里得几何并非无懈可击。
到1800年时，平行线公理已经成了几何学瑕站的标志。
因此，从古希腊时代开始，数学家们就一直没有放弃消除对第五公设疑问的努力。
来自不同国家的三位数学家相继独立地发现了非欧几何学.他们是德国的高斯句牙利的J.波尔约和俄国的罗巴切夫斯基。
.从18世纪90年代起，高斯就一直对平行线理论和几何学的基础感兴趣.在1805年的一个笔记本里，高斯考虑到了已知直线距离一定的点的轨迹未必是一条直线.他还曾经证明:非欧假设隐含着绝对长度单位的存在性.但他在生前从未发表过他关于这个问题的观点。
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相等，它们就全等。
庞加莱罗氏几何模型
圆C是一个非欧平面
z1 C
圆内任一点 z1都是 非欧平面内的点
z2
圆上任一点 z2都是无穷远点
罗氏几何五条公设
过圆内任意两点可以作一条非欧直线段。
。
一非欧直线可以沿两个方向无限延长。
1913年，物理学家给出了罗氏几何在相对论里的应用
1947年，人们在心理学的研究中，发现视觉空间最好
用罗氏几何来描述。
18
“欧洲数学之王”高斯
高斯是当时数学界首屈一指的数 学巨匠，负有“欧洲数学之王”的 盛名。
早在1792年，即罗巴切夫斯基诞 生的那一年，他就已经产生了非 欧几何思想萌芽，到了1817年已 达成熟程度。
z3
。
z1
以非欧平面内任一点为中心，
以任意正数长为半径可以作
z4
z2
C
一个非欧圆。
凡直角都相等。
。
设l是圆内任一条非欧 直线，点z0不在l上，
B
l1 z0 l
l2
C
A
那么可以过z0作无穷多条 非欧直线不与l相交。
角非 之欧 和三 小角 于形 180 三 度内
3 4 180
z2
3
1
2
4
z3
z1
古代数学家
奥马·海亚姆 （古阿拉伯）
纳西尔·丁 （古阿拉伯）
萨凯里 （意大利）
近代数学家
克吕格尔 （德国）
兰伯特 （瑞士）
替换平行公设也 能展开新的无矛 盾的几何学道路
吗？
兰伯特
三角形的三内角之和小于 两个直角？ 过直线外一点，有无穷多 条直线不与该直线相交？ 怎么可能？？?
萨凯里，你没错 哦！只是结论似 乎与经验不符。 平行公设能证明 吗？
进取的J·鲍耶
J·鲍耶的父亲是数学教授，也是
高斯的朋友。当父亲知道儿子的
志趣时，坚决反对并写信责令其
停止研究，“它将剥夺你所有的
鲍耶·亚诺什 （匈牙利，1802－1860）
闲暇、健康、思维的平衡以及一生的快乐，这个无
底此不疲。
懦弱的J·鲍耶
1832年2月14日，父亲将小鲍耶的一篇有关非欧几 何的论文寄给高斯，请高斯对他儿子的论文发表意 见，然而高斯回信说：“称赞他就等于称赞我自己。 整篇文章的内容，你儿子所采取的 思路和获得的结果，与我在30至35 年前的思考不谋而合。”小鲍耶对 高斯的答复深感失望。又1840年俄 国数学家罗巴切夫斯基关于非欧几 何的德文著作出版后，更使小鲍耶 灰心丧气，他从此便完全放弃了研 究数学。
高斯（德，1777－1855）
保守的高斯
但是，高斯感到自己的发现与当时流行的康德空间 哲学相抵触，担心受到世俗的攻击并激起学术界的 不满和社会的反对，因此，他生前一直没敢把自己 的这一重大发现公之于世，只是谨慎地把部分成果 写在日记和与朋友的往来书信中。
他曾在给贝塞尔的一封信中说： 如果他公布自己的这些发现， “黄蜂就会围着耳朵飞”，并会 “引起波哀提亚人的叫嚣”。
10
C
p
(a) (a) q
a
A
B
P P P D
假设过直线外一点，至少可以 引两条直线与已知直线平行。
C
p (a) (a) q
a
A
B
A
D
a 0时
(a) 2
C
(a) (a)
p
q
a
B
D
a 时 (a) 0
罗氏几何推出的一些结论
（1）三角形内角之和小于两直角，并且 内角和是变化的；
创新的罗巴切夫斯基
罗巴切夫斯基是从1815年着手 研究平行线理论的。1826年2 月23日，罗巴切夫斯基于喀山 大学物理数学系学术会议上宣 读了他的第一篇关于非欧几何 的论文《几何学原理及平行线 定理严格证明的摘要》，这篇 首创性论文的问世，标志着非 欧几何的诞生。
罗巴切夫斯基 （俄国，1792—1856 ）
几何上的哥白尼——罗巴切夫斯基
在创立和发展非欧几何的艰难历程上，罗巴切夫 斯基始终没能遇到他的公开支持者，就连非欧几 何的另一位发现者德国的高斯也不肯公开支持他 的工作。1846年，他失去了在喀山大学的所有职 务，被迫离开终身热爱的大学工作。 但是，罗巴切夫斯基从来没有动摇过对新几何远 大前途的坚定信念。直到1855年，在身患重病， 卧床不起的困境下，这位双目已失明的老人也没 停止对非欧几何的研究，口述发表了他的最后一 部巨著《泛几何学》。
刚毅的罗巴切夫斯基
此后，罗巴切夫斯基就饱尝“黄蜂绕耳”的滋味： 不少权威人物称其学说是“荒唐透顶的伪科学”;有 人 写匿名信说他是“疯子”;有人用漫画进行讽刺挖苦; 德国大诗人歌德的讽刺诗：
有几何兮，名曰非欧，自己嘲笑，莫名奇妙！ 彼得堡科学院院士奥斯特罗格拉茨基：
看来，作者旨在写出一部使人不能理解的著 作，他达到了自己的目的……由此我得出结论，罗 马切夫斯基校长的这部著作谬误连篇，因而不值得 科学院的注意。
（1）是古希腊数学家所著的一部数 学著作；
（2）是世界上最著名、最完整且流 传最广的数学著作；
（3）是数学史上的第一座理论丰碑， 最大功绩是确立数学演绎范式。
（4）被誉为西方科学的“圣经”。
欧几里得《几何原本》的五条公设：
（1）由任意一点到另外任意一点可以画直线。 （2）一条有限直线可以继续延长。 （3）以任意点为心及任意的距离可以画圆。 （4）凡直角都彼此相等。
萨凯里
克吕格尔
非欧几何的产生 和发展
高斯
非欧几何 的诞生
罗巴切夫斯基
J·鲍耶
罗氏几何的五条公设：
（1）由任意一点到另外任意一点可以画直线。 （2）一条有限直线可以继续延长。 （3）以任意点为心及任意的距离可以画圆。 （4）凡直角都彼此相等。
（5）过直线外的一点至少可以引两条直线与已 知直线平行。
（5）同平面内一条直线和另外两条直线相交，若 在某一侧的两个内角的和小于二直角的和， 则这两条直线经无限延长后在这一侧相交。 ——几何学中的家丑 3
平行公设的一些等价命题
相似三角形存在。
2
三角形的内角和 是180度。
1
过直线外一点，只 能作一条直线与已 知直线平行。
4
一些平行公设研究者
托勒密 （古希腊）
1 3 2 4
1 2 180
非欧几何的意义：
（1）是人类认识史上一个富有创造性的伟大成果，它把人 从传统的思想束缚中解放出来，从此，数学认识从以 直观为基础的时代进入了以理性为基础的时代，数学 表现为人类思维的自由想象。
（2）不仅带来了近百年来数学的巨大进步，而且对现代物
理学、天文学和人类时空观念的变革都产生深远影响