山东高考七年真题分类汇编圆锥曲线(Word有答案)
圆锥曲线
（一）选择题
1.（07山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为
13
5
，焦点在X 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为
（A ）1342222=-y x (B)15132222=-y x (C)1432222=-y x (D)112
1322
22=-y x
答案：A
2.(2009山东卷理)设双曲线12222=-b
y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2
+1 只有一个公共点，
则双曲线的离心率为( ). A.
45 B. 5 C. 2
5
D.5 【解析】:双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线为x a b y =,由方程组21b y x
a y x ?
=???=+?,消去y,得
210b x x a -
+=有唯一解,所以△=2()40b
a
-=, 所以2b
a =
,2c e a a ====故选D.
答案:D.
【命题立意】:本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能.
3. (2009山东卷文)设斜率为2的直线l 过抛物线2
(0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).
A.24y x =±
B.28y x =±
C. 2
4y x = D. 2
8y x =
【解析】: 抛物线2
(0)y ax a =≠的焦点F 坐标为(,0)4a ,则直线l 的方程为2()4
a y x =-,
它与y 轴的交点为A (0,)2a -,所以△OAF 的面积为1||||4242
a a
?=,解得8a =±.所以抛物线
方程为2
8y x =±,故选B. 答案:B.
【命题立意】:本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算.考查数形结合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数a 的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做到合二为一.
4、（2010山东文数）（9）已知抛物线2
2(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 （A ）1x = (B)1x =- (C)2x = (D)2x =- 答案：B
5、（2010山东理数）(7)由曲线y=2
x ,y=3
x 围成的封闭图形面积为 （A ）
1
12
(B)
14
(C)
13
(D)
712
【答案】A
【解析】由题意得:所求封闭图形的面积为123
0x -x )dx=
?（111
1-1=3412
??,故选A 。 【命题意图】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积。
6、（2011山东理数8）已知双曲线22
221(0b 0)x y a a b
-=＞，＞的两条渐近线均和圆
C:2
2
650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为
A ．22
154
x y -= B ．22
145x y -= C ．22136x y -= D ．22
163
x y -= 答案：A
7、（2011山东文数9）9．设M （0x ，0y ）为抛物线C ：2
8x y =上一点，F 为抛物线C 的
焦点，以F 为圆心、FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则0y 的取值范围是
A ．（0，2）
B ．[0，2]
C ．（2，+∞）
D ．[2，+∞）
答案：C
8、(2012山东卷文(11))已知双曲线1C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的离心率为 2.若抛物线
22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为D
(A) 2x y = (B) 2x y (C)28x y = (D)216x y =
9、（2013数学理）11．已知抛物线1C ：212y x p =
(0)p >的焦点与双曲线2C ：2213
x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M 。若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则p =
（A ）
16 （B ）8
（C ）3 （D ）3
答案：11．D
10、（2013山东理）12．设正实数,,x y z 满足22
340x xy y z -+-=，则当
xy
z
取得最大值时，
212
x y z
+-的最大值为 （A ）0 （B ）1 （C ）9
4
（D ）3 答案：12．B
11、（2013山东数学文）(11)、抛物线)0(21:2
1>=p x p y C 的焦点与双曲线222:13
x C y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M ，若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则p =
(A)
163 (B)8
3
(C)332 (D) 334
答案：D
12(2013山东数学文)(12)、设正实数z y x ,,满足0432
2
=-+-z y xy x ，则当
z
xy
取得最大值时，2x y z +-的最大值为
(A)0 (B)98 (C)2 (D)94
答案：C
（二）填空题
1、（07山东理）（13）设O 是坐标原点，F 是抛物线2
2(0)y px p =>的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60，则OA 为 ．
答案：
2
p
2、（2011山东文数15）已知双曲线22
221(0b 0)x y a a b
-=＞，＞和椭圆
22x y =1169+有相同的 焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程
为 ．
答案：22
143
x y -= （三）解答题
1、（07山东理）（21）（本小题满分12分）
已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，
最小值为1．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．
【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为22
221(0)x y a b a b +=>>
3,1a c a c +=-=，22,1,3a c b ===
22
1.43
x y ∴+= (II)设1122(,),(,)A x y B x y ，由22143y kx m
x y =+??
?+=??得
222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，
22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +->.
2121222
84(3)
,.3434mk m x x x x k k
-+=-?=++ 222
2
121212122
3(4)
()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+
以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 1AD BD k k ?=-，
1212122
y y
x x ∴
?=---，1212122()40y y x x x x +-++=，
2222223(4)4(3)1640343434m k m mk
k k k --+++=+++，
2271640m mk k ++=，解得
1222,7
k
m k m =-=-
，且满足22340k m +->. 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；
当27k m =-
时，2
:()7
l y k x =-，直线过定点2(,0).7
综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2
(,0).7
2、（08山东文）22．（本小题满分14分） 已知曲线11(0)x
y
C a b a b
+
=>>：
所围成的封闭图形的面积为1C 的内切圆半
径为
3
2C 为以曲线1C 与坐标轴的交点为顶点的椭圆． （Ⅰ）求椭圆2C 的标准方程；
（Ⅱ）设AB 是过椭圆2C 中心的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线．M 是l 上异于椭圆中心的点．
（1）若MO OA λ=（O 为坐标原点），当点A 在椭圆2C 上运动时，求点M 的轨迹方程； （2）若M 是l 与椭圆2C 的交点，求AMB △的面积的最小值．
解：
（Ⅰ）由题意得23ab ?=?
?=
又0a b >>，
解得25a =，2
4b =．
因此所求椭圆的标准方程为22
154
x y +=． （Ⅱ）（1）假设AB 所在的直线斜率存在且不为零，设AB 所在直线方程为(0)y kx k =≠，
()A A A x y ，．
解方程组22
154x y y kx ?+=???=?，，
得22
2045A x k =+，22
22045A k y k =+， 所以222
2
2222
202020(1)
454545A
A
k k OA x y k k k
+=+=+=+++． 设()M x y ，，由题意知(0)MO OA λλ=≠，
所以2
2
2
MO OA λ=，即2222
2
20(1)
45k x y k λ++=+，
因为l 是AB 的垂直平分线， 所以直线l 的方程为1
y x k
=-， 即x k y
=-
， 因此2222
2222222
2
20120()4545x y x y x y x y x y
λλ??+ ?+??+==++， 又2
2
0x y +≠， 所以2
2
2
5420x y λ+=，
故22
245
x y λ+=． 又当0k =或不存在时，上式仍然成立．
综上所述，M 的轨迹方程为22
2(0)45
x y λλ+=≠． （2）当k 存在且0k ≠时，由（1）得2
2
2045A
x k =+，22
22045A k y k =+，
由22
1541x y y x k ?+=????=-??
，，
解得2222054M k x k =+，2
2
2054M y k =+， 所以22
2
2220(1)45A
A
k OA x y k +=+=+，2222
80(1)445k AB OA k +==+，22220(1)54k OM k +=+．
解法一：由于22
2
14
AMB S AB OM =
△ 2222
180(1)20(1)44554k k k k ++=??++ 22
22
400(1)(45)(54)
k k k +=++ 222
2
2
400(1)45542k k k +??+++ ?
??
≥
2
2222
1600(1)4081(1)9k k +??
== ?+??
， 当且仅当224554k k +=+时等号成立，即1k =±时等号成立，此时AMB △面积的最小值是40
9
AMB S =
△．
当0k =
，140
229
AMB S =?=>
△
． 当k
不存在时，140
429
AMB S ==>△．
综上所述，AMB △的面积的最小值为40
9
．
解法二：因为
2
2
2222
1111
20(1)20(1)4554k k OA
OM
k k +
=+++++222
4554920(1)20k k k +++==+， 又
2
2
112
OA OM
OA
OM
+
≥，409OA OM ≥，
当且仅当224554k k +=+时等号成立，即1k =±时等号成立，
此时AMB △面积的最小值是409
AMB S =
△．
当0k =
，140
229
AMB S =?=>△
．
当k
不存在时，140
429
AMB S ==>△．
综上所述，AMB △的面积的最小值为40
9
．
3.（08山东卷22) (本小题满分14分)
如图，设抛物线方程为x 2=2py (p ＞0),M 为 直线y =-2p 上任意一点，过M 引抛物线的切线，
切点分别为A ，B .
（Ⅰ）求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列；
（Ⅱ）已知当M 点的坐标为（2，-2p ）时，410AB =，求此时抛物线的方程；
（Ⅲ）是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线
22(0)x py p =＞上，其中，点C 满足OC OA OB =+（O 为坐标
原点）.若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由.
（Ⅰ）证明：由题意设22
12
12120(,),(,),,(,2).22x x A x B x x x M x p p p
-＜
由2
2x py =得2
2x y p
=，则,x y p '=
所以12,.MA MB x x
k k p p
=
=
因此直线MA 的方程为1
02(),x y p x x p +=
- 直线MB 的方程为2
02().x y p x x p
+=
-
所以211102(),2x x p x x p p
+=-
①
222202().2x x
p x x p p
+=- ②
由①、②得
2
12
120,2x x x x x +=+- 因此 2
12
02
x x x +=，即0122.x x x =+
所以A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x 0=2时， 将其代入①、②并整理得： 2
211440,x x p --=
2222440,x x p --=
所以 x 1、x 2是方程22440x x p --=的两根，
因此2
12124,4,x x x x p +==-
又22
210122122,2AB
x x x x x p p k x x p p
-
+===-
所以2.AB k p
=
由弦长公式得
AB ==
又AB = 所以p =1或p =2，
因此所求抛物线方程为2
2x y =或2
4.x y =
（Ⅲ）解：设D (x 3,y 3)，由题意得C (x 1+ x 2, y 1+ y 2),
则CD 的中点坐标为123123
(
,),22
x x x y y y Q ++++
设直线AB 的方程为0
11(),x y y x x p
-=
-
由点Q 在直线AB 上，并注意到点1212
(,)22
x x y y ++也在直线AB 上，
代入得0
33.x y x p
=
若D （x 3,y 3）在抛物线上，则2
330322,x py x x ==
因此 x 3=0或x 3=2x 0.
即D (0，0)或2
02(2,).x D x p
（1）当x 0=0时，则12020x x x +==，此时，点M (0,-2p )适合题意.
（2）当00x ≠，对于D (0，0)，此时22
12
22
22
12
12000
2(2,),,224CD
x x x x x x p
C x k p
x px +++==
又0
,AB x k p
=
AB ⊥CD ， 所以2222
012122
01,44AB CD
x x x x x k k p px p
++===- 即22
2124,x x p +=-矛盾.
对于2002(2,),x D x p 因为22
12
0(2,),2x x C x p
+此时直线CD 平行于y 轴，
又0
0,AB x k p
=
≠ 所以 直线AB 与直线CD 不垂直，与题设矛盾， 所以00x ≠时，不存在符合题意的M 点.
综上所述，仅存在一点M (0，-2p )适合题意.
4.(2009山东卷理)（本小题满分
14分）
设椭圆E: 22
22
1x y a b
+=（a,b>0）过M （2 ，,1)两点，O 为坐标原点，
（I ）求椭圆E 的方程；
（II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且
OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
解
:（1）因为椭圆E: 22
22
1x y a b
+=（a,b>0）过M （2 ，两点,
所以2222421611a b a b +=+=???????解得2211
8
114
a b ?=????=
??所以2284a b ?=?=?椭圆E 的方程为22184x y += （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,
且OA OB ⊥,设该圆的切线方程为y kx m =+解方程组22184x y y kx m
+==+??
???得
222()8x kx m ++=,即222(12)4280k x kmx m +++-=,
则△=222222
164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即22
840k m -+>
1222
12241228
12km x x k m x x k ?
+=-??+?-?=?+?
,
2222222
2
21212121222
2(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++要使OA OB ⊥,需使12120x x y y +=,即
22222
28801212m m k k k --+=++,所以2
2
3880m k --=,所以22
3808m k -=≥又22
840k m -+>,所以22238
m m ?>?≥?,所以28
3
m ≥
,
即m ≥
m ≤,因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切
线,
所以圆的半径为r =,222
228
381318
m m r m k ===-++
,3r =,所求的圆为228
3
x y +=
,此时圆的切线y kx m =+
都满足3m ≥
或3m ≤-,而当切线的斜
率不存在时切线为x =与椭圆
22184x y +=
的两个交点为
或(满足OA OB ⊥,综上, 存在圆心在原点的圆228
3
x y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥.
因为122
2
12241228
12km x x k m x x k ?+=-??+?-?=?+?
, 所以2222
2
21212122222
4288(84)
()()4()41212(12)km m k m x x x x x x k k k --+-=+-=--?=+++,
||AB ===
==, ①当0k ≠
时||AB =
因为221448k k +
+≥所以2
211
01844
k k
<≤
++, 所以2232321[1]1213344k k
<+≤++,
||AB <≤
2k =±时取”=”. ② 当0k =时
,||3
AB =
. ③ 当AB 的斜率不存在时,
两个交点为
或(,
所以此时||AB =
, 综上, |AB |
||AB ≤≤
: ||AB ∈ 【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆
的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系. 5. (2009山东卷文)（本小题满分14分）
设m R ∈,在平面直角坐标系中,已知向量(,1)a mx y =+,向量(,1)b x y =-,a b ⊥,动点(,)M x y 的轨迹为E.
（1）求轨迹E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; （2）已知4
1
=
m ,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥(O 为坐标原点),并求出该圆的方程; (3)已知4
1=
m ,设直线l 与圆C:222
x y R +=(1 解:（1）因为a b ⊥,(,1)a mx y =+,(,1)b x y =-, 所以2210a b mx y ?=+-=, 即2 2 1mx y +=. 当m=0时,方程表示两直线,方程为1±=y ; 当1m =时, 方程表示的是圆 当0>m 且1≠m 时,方程表示的是椭圆; 当0 (2).当4 1 =m 时, 轨迹E 的方程为2214x y +=,设圆心在原点的圆的一条切线为y kx t =+,解方程组22 14 y kx t x y ++==?????得224()4x kx t ++=,即222 (14)8440k x ktx t +++-=, 要使切线与轨迹E 恒有两个交点A,B, 则使△=22 2 2 2 2 6416(14)(1)16(41)0k t k t k t -+-=-+>, 即22410k t -+>,即22 41t k <+, 且1222 1228144414kt x x k t x x k ? +=-??+?-?=?+? 2222222 2 2 12121212222 (44)84()()()141414k t k t t k y y kx t kx t k x x kt x x t t k k k --=++=+++=-+= +++, 要使OA OB ⊥, 需使12120x x y y +=,即 22222222 4445440141414t t k t k k k k ----+==+++, 所以225440t k --=, 即22544t k =+且2241t k <+, 即2244205k k +<+恒成立. 所以又因为直线y kx t =+为圆心在原点的圆的一条切线, 所以圆的半径为r =2 2 2224(1)45115k t r k k +===++, 所求的圆为2245x y +=. 当切线的斜率不存在时,切线为552±=x ,与2214x y +=交于点)552 ,552(±或)55 2 ,552(±- 也满足OA OB ⊥. 综上, 存在圆心在原点的圆224 5 x y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥. (3)当4 1 =m 时,轨迹E 的方程为2214x y +=,设直线l 的方程为y kx t =+,因为直线l 与圆C:2 2 2 x y R +=(1 ）知R =, 即222 (1)t R k =+ ①, 因为l 与轨迹E 只有一个公共点B 1, 由（2）知22 14 y kx t x y ++==?????得22 4()4x kx t ++=, 即2 2 2 (14)8440k x ktx t +++-=有唯一解 则△=22 2 2 2 2 6416(14)(1)16(41)0k t k t k t -+-=-+=, 即22410k t -+=, ② 由①②得222 2 22 3414R t R R k R ?=??-?-?=??-, 此时A,B 重合为B 1(x 1,y 1)点, 由1222 12 28144414kt x x k t x x k ?+=-??+?-?= ?+? 中21x x =,所以,222 122441616143t R x k R --==+, B 1(x 1,y 1)点在椭圆上,所以22 211214143R y x R -=-=,所以222111 2 4||5OB x y R =+=-, 在直角三角形OA 1B 1中,2222 211112244||||||55()A B OB OA R R R R =-=- -=-+因为2 244R R +≥ 当且仅当(1,2)R =时取等号,所以211||541A B ≤-=,即 当(1,2)R =时|A 1B 1|取得最大值,最大值为1. 【命题立意】:本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可以通过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题. 6、（2010山东文数）（22）（本小题满分14分） 如图，已知椭圆 22 22 1 (0) x y a b a b +=>>过点. 2 (1,) 2 ，离心率为 2 2 ，左、右焦点分别为 1 F、 2 F.点P为直线:2 l x y +=上且不在x轴上的任意 一点，直线 1 PF和 2 PF与椭圆的交点分别为A、B 和C、D，O为坐标原点. （I）求椭圆的标准方程； （II）设直线 1 PF、 2 PF的斜线分别为 1 k、 2 k. （i）证明： 12 13 2 k k -=； （ii）问直线l上是否存在点P，使得直线OA、OB、OC、OD的斜率OA k、 OB k、OC k、 OD k满足0 OA OB OC OD k k k k +++=？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由. 7、（2010山东理数）（21）（本小题满分12分） 如图，已知椭圆 22221(0)x y a b a b +=＞＞的离心率为2 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为4(21)+.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、. （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程； （Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12· 1k k =； （Ⅲ）是否存在常数λ，使得·AB CD AB CD λ+=恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为 c a = 2 2 ，得2a c =，又22a c +=4(21)+，所以可解得22a =，2c =，所以2 2 2 4b a c =-=，所以椭圆的标准方程为22 184 x y +=；所以椭圆的焦点坐标为（2±，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为 22 144 x y -=。 【命题意图】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力。其中问题（3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力， 8、（2011山东理数22）已知动直线l 与椭圆C: 22 132 x y +=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不 同点，且△OPQ 的面积OPQ S ?= 2 其中O 为坐标原点. （Ⅰ）证明2212x x +和2212y y +均为定值; （Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ?的最大值； （Ⅲ）椭圆C 上是否存在点D,E,G ，使得2 ODE ODG OEG S S S ???===?若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由. 答案：（I ）解：（1）当直线l 的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称， 所以2121,.x x y y ==- 因为11(,)P x y 在椭圆上， 因此22 11132 x y += ① 又因为OPQ S ?= 所以11||||x y ?= ② 由①、②得11||| 1.2 x y = = 此时2222 12123,2,x x y y +=+= （2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为,y kx m =+ 由题意知m 0≠，将其代入22 132x y +=，得 222(23)63(2)0k x kmx m +++-=， 其中2222 3612(23)(2)0,k m k m ?=-+-> 即2232k m +> …………（*） 又2121222 63(2) ,,2323km m x x x x k k -+=-=++ 所以2 ||23PQ k ==+ 因为点O 到直线l 的距离为 d = 所以1 ||2 OPQ S PQ d ?= ? = = 又2 OPQ S ?= 整理得2 2 322,k m +=且符合（*）式， 此时22 22 21 2 121222 63(2) ()2()23,2323km m x x x x x x k k -+=+-=--?=++ 222222 121212222(3)(3)4() 2.333 y y x x x x +=-+-=-+= 综上所述，2222 12123;2,x x y y +=+=结论成立。 （II ）解法一： （1）当直线l 的斜率存在时， 由（I ）知11|||||2||2,OM x PQ y == == 因此||||22 OM PQ ?= ?= （2）当直线l 的斜率存在时，由（I ）知 123,22x x k m += 圆锥曲线 1.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ =??=? 离心率c e a == 准线到中心的距离为2a c ，焦点到对应准线的距离（焦准距）2b p c =. 通径的一半(焦参数)：2 b a . 2.椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积: 21()a PF e x a ex c =+=+，22()a PF e x a ex c =-=-；1221tan 2 F PF F PF S b ?∠=. 3.椭圆的的内外部: （1）点00(,)P x y 在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ?+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y b ?+>. 4.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率c e a ==2a c ，焦点到对应准线 的距离（焦准距）2p c = 通径的一半(焦参数)：2 b a 焦半径公式21|()|||a PF e x a ex c =+=+，2 2|()|||a PF e x a ex c =-=-， 两焦半径与焦距构成三角形的面积122 1cot 2 F PF F PF S b ?∠=. 5.双曲线的内外部: (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-<. 6.双曲线的方程与渐近线方程的关系: (1）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a b y ±=. (2)若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x . (3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线,可设为λ=-22 22b y a x （0>λ,焦点在x 轴上;0<λ,焦点在y 轴上）. (4) 焦点到渐近线的距离总是b 7.抛物线px y 22 =的焦半径公式: 抛物线2 2(0)y px p =>焦半径02p CF x =+. 过焦点弦长p x x p x p x CD ++=+++=212122. 8.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2 y p y 或2 (2,2)P pt pt P (,)x y ，其中 22y px =. 9.二次函数22 24()24b ac b y ax bx c a x a a -=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+-；（3）准线方程是2414ac b y a --=. 10.以抛物线上的点为圆心，焦半径为半径的圆必与准线相切；以抛物线焦点弦为直径的圆，必与准线相切；以抛物线的焦半径为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切. 11.直线与圆锥曲线相交的弦长公式: AB = 1212||||AB x x y y ==-=- （Ⅱ）因为AB 过点(1,0)D 且垂直于x 轴，所以可设1(1,)A y ，1(1,)B y -. 直线AE 的方程为11(1)(2)y y x -=--.令3x =，得1(3,2)M y -. 所以直线BM 的斜率11 2131 BM y y k -+= =-. 17.（2015年文）设椭圆E 的方程为22 221(0),x y a b a b +=>>点O 为坐标原点，点A 的坐标为(,0)a ,点B 的坐标为（0，b ）,点M 在线段AB 上，满足2,BM MA =直线OM 的斜率为5 10 。[学优高考网] （1）求E 的离心率e; (2)设点C 的坐标为（0，-b ）,N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB 。 ∴a b 3 231＝5525451511052222222=?=?=-?=?e a c a c a a b （Ⅱ）由题意可知N 点的坐标为（2 ,2b a -）∴a b a b a a b b K MN 56 652 32213 1==-+= a b K AB -=∴1522-=-=?a b K K AB MN ∴MN ⊥AB 18.（2015年文）已知椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线 :340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于 4 5 ，则椭圆E 的离心率的取值围是（ A ） A ． 3(0, ]2 B ．3(0,]4 C ．3[,1)2 D ．3[,1)4 1 19.（2015年新课标2文）已知双曲线过点() 4,3,且渐近线方程为1 2 y x =± ,则该双曲线的标准方程为 ．2 214 x y -= 20.（2015年文）已知抛物线2 2(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（ B ） A ．(1,0)- B ．(1,0) C ．(0,1)- D ．(0,1) 【解析】试题分析：由抛物线22(0)y px p =>得准线2 p x =-，因为准线经过点(1,1)-，所以2p =， 所以抛物线焦点坐标为(1,0)，故答案选B 考点：抛物线方程. 21.（2015年文科）如图，椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>经过点(0,1)A -，且离心率为22. (I)求椭圆E 的方程；2 212x y += 22.（2015年文）已知双曲线2 22 2 1(0,0)x y a b a b 的一个焦点为(2,0)F ,且双曲线的渐近线与圆 2 2 2 y 3x 相切,则双曲线的方程为（ D ） (A) 2 21913x y (B) 2 2113 9 x y (C) 2 2 13 x y (D) 2 2 13 y x 高考圆锥曲线的常见题型 典型例题 题型一：定义的应用 例1、动圆M 与圆C 1:(x+1)2+y 2=36内切,与圆C 2:(x-1)2+y 2 =4外切,求圆心M 的轨迹方程。 例2、方程 表示的曲线是 题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 1、椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 2、双曲线：由, 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐 标轴上； 3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 典型例题 例1、已知方程 1212 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的 取值范围是 例2、k 为何值时,方程 1592 2=---k y k x 的曲线：(1)是椭圆;(2)是双曲线. 题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题 1、椭圆焦点三角形面积2 tan 2α b S = ；双曲线焦点三角形面积 2 cot 2α b S = 2、常利用第一定义和正弦、余弦定理求解 3、22,,,n m mn n m n m +-+四者的关系在圆锥曲线中的应用； 典型例题 例1、 椭圆x a y b a b 222210+=>>()上一点P 与两个焦点F F 12，的张角∠F P F 12= α， 求证：△F 1PF 2的面积为b 22 tan α 。 例2、已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且， ．求该双曲线的标准方程 题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法 1、a,b,c 三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值； 2、a,b,c 三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的范围； (2019全国1)10.已知椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点.若||2||22B F AF =， ||||1BF AB =，则C 的方程为（ ） A.1222=+y x B. 12322=+y x C.13422=+y x D.14 522=+y x 答案： B 解答： 由椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F 可知1=c ，又Θ||2||22B F AF =，||||1BF AB =，可设m BF =||2，则 m AF 2||2=，m AB BF 3||||1==，根据椭圆的定义可知a m m BF BF 23||||21=+=+，得a m 2 1 = ，所以a BF 21||2=，a AF =||2，可知),0(b A -，根据相似可得)21,23(b B 代入椭圆的标准方程122 22=+b y a x ，得32=a ， 22 22=-=c a b ，∴椭圆C 的方程为12 32 2=+ y x . (2019全国1)16.已知双曲线C:22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 的 两条渐近线分别交于,A B 两点.若112,0F A AB F B F B =?=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则C 的离心率为 . 答案： 2 解答： 由112,0F A AB F B F B =?=u u u r u u u r u u u r u u u r 知A 是1BF 的中点，12F B F B ⊥uuu r uuu r ，又O 是12,F F 的中点，所以OA 为中位线且1OA BF ⊥，所以1OB OF =，因此1FOA BOA ∠=∠，又根据两渐近线对称，12FOA F OB ∠=∠，所以260F OB ∠=?，221()1tan 602b e a =+=+?=. 椭圆的定义、性质及标准方程 1. 椭圆的定义： ⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 ⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(< 高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22221x y a b -=（ａ＞0，b>０）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切,则该双曲线的离心率等于 （ Ｃ ） （A)3 (B)2 (Ｃ)5 （D ）6 ２.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ，右准线为l ，点A l ∈,线段AF 交C 于点B ,若3FA FB =,则||AF = (A). 2 (B). 2 (C).3 （D ）. 3 3．过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线,该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C .若1 2 AB BC =,则双曲线的离心率是 （ ） A.2 B.3 C.5 D ．10 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴, 直线 AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ) A ． 3 B ．22 Ｃ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上,若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点,且 |||PA AB =,则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ) A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” Ｄ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点)是“ 点” ６.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线ｙ=x 2 +1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为 （ ）． Ａ. 4 5 B. ５ C. 2 5 D.5 2 圆锥曲线大题归类 一．定点问题 例1.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆M ： (x －3)2＋(y －1)2＝3相切． (1)求椭圆C 的方程； (2)若不过点A 的动直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且AP →·AQ → ＝0，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标． [解析](1)圆M 的圆心为(3,1)，半径r ＝ 3. 由题意知A (0,1)，F (c,0)， 直线AF 的方程为x c ＋y ＝1，即x ＋cy －c ＝0， 由直线AF 与圆M 相切，得|3＋c －c |c 2＋1 ＝3， 解得c 2＝2，a 2＝c 2＋1＝3， 故椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1. (2)方法一：由·＝0知AP ⊥AQ ，从而直线AP 与坐标轴不垂直， 故可设直线AP 的方程为y ＝kx ＋1，直线AQ 的方程为y ＝－1k x ＋1. 联立??? y ＝kx ＋1， x 23＋y 2＝1，整理得(1＋3k 2)x 2＋6kx ＝0， 解得x ＝0或x ＝－6k 1＋3k 2 ， 故点P 的坐标为(－6k 1＋3k 2，1－3k 2 1＋3k 2 )， 同理，点Q 的坐标为(6k k 2＋3，k 2－3k 2＋3 ) ∴直线l 的斜率为k 2－3k 2＋3－1－3k 2 1＋3k 26k k 2＋3－－6k 1＋3k 2 ＝k 2－14k ， ∴直线l 的方程为y ＝k 2－14k (x －6k k 2＋3)＋k 2－3k 2＋3 ， 即y ＝k 2－14k x －12. ∴直线l 过定点(0，－12)． 方法二：由·＝0知AP ⊥AQ ，从而直线PQ 与x 轴不垂直，故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋t (t ≠1)， 联立????? y ＝kx ＋t ，x 23＋y 2＝1， 整理得(1＋3k 2)x 2＋6ktx ＋3(t 2－1)＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)则????? x 1＋x 2＝－6kt 1＋3k 2， x 1x 2＝3(t 2－1)1＋3k 2， (*) 由Δ＝(6kt )2－4(1＋3k 2)×3(t 2－1)>0，得 3k 2>t 2－1.由·＝0， 2013年全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线 一、选择题 1 ．引直线l 与曲线y =A,B 两点,O 为坐标原点,当?AOB 的面积取最大值时,直线l 的斜率等于（ ） A ． 3 B ．3 - C ．3 ± D ．2 ．双曲线2 214 x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ） A ． 25 B ． 45 C D 3 ．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于3 2 ,在双曲线C 的方程是（ ） A ．22 14x = B ．22145x y - = C ． 22 125 x y -= D ．22 12x -= 4 ．已知双曲线C :22221x y a b -=(0,0a b >>) ,则C 的渐近线方程为（ ） A ．14 y x =± B ．13 y x =± C ．12 y x =± D ．y x =± 5 ．已知04π θ<<,则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与22 2222 :1sin sin tan y x C θθθ -=的 （ ） A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等 D ．离心率相等 6 ．抛物线2 4y x =的焦点到双曲线2 2 13 y x -=的渐近线的距离是（ ） A ．12 B C ．1 D 7 ．如图,21,F F 是椭圆14 :22 1=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是（ ） A ．2 B ．3 C ． 2 3 D ． 2 6 8 ．已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 则p =（ ） A ．1 B ． 3 2 C ．2 D ．3 9 ．椭圆22 :143 x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ） A ．1324 ?????? ， B ．3384 ?????? ， C ．112?? ???? ， D ．314?? ???? ， 10．已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点,若 0MA MB =uuu r uuu r g ,则k =（ ） A ． 12 B C D ．2 11．若双曲线22 221x y a b -= 则其渐近线方程为（ ） A ．y =±2x B ．y = C ．12 y x =± D ．2 y x =± 高二数学圆锥曲线知识整理 解析几何的基本问题之一：如何求曲线（点的轨迹）方程。它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。 在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。 1、三种圆锥曲线的研究 （1）统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：? ?????>=0e ,e d |PF ||P ，其中 F 为定点，d 为P 到定直线的距离，如图。 因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。 当0 第八章 圆锥曲线方程 ●考点阐释 圆锥曲线是解析几何的重点内容，这部分内容的特点是： （1）曲线与方程的基础知识要求很高，要求熟练掌握并能灵活应用. （2）综合性强．在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角及直线等内容，体现了对各种能力的综合要求． （3）计算量大．要求学生有较高的计算水平和较强的计算能力． ●试题类编 一、选择题 1.（2003京春文9，理5）在同一坐标系中，方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +b y 2=0（a ＞b ＞0）的曲线大致是（ ） 2.（2003京春理，7）椭圆?? ?=+=? ? sin 3cos 54y x （?为参数）的焦点坐标为（ ） A.（0，0），（0，－8） B.（0，0），（－8，0） C.（0，0），（0，8） D.（0，0），（8，0） 3.（2002京皖春，3）已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点．如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是（ ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 4.（2002全国文，7）椭圆5x 2＋ky 2 ＝5的一个焦点是（0，2），那么k 等于（ ） A.－1 B.1 C. 5 D. － 5 5.（2002全国文，11）设θ∈（0，4 π），则二次曲线x 2cot θ－y 2tan θ＝1的离心率的取值范围为 （ ） A.（0，2 1） B.（ 2 2 ,21） C.（ 2,2 2 ） D.（ 2，＋∞） 6.（2002北京文，10）已知椭圆222253n y m x +和双曲线22 2 232n y m x -＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ） A.x ＝± y 215 B.y ＝± x 215 C.x ＝±y 4 3 D.y ＝±x 4 3 7.（2002天津理，1）曲线???==θ θ sin cos y x （θ为参数）上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（ ） A.21 B.22 C.1 D.2 圆锥曲线知识考点 一、直线与方程 1、倾斜角与斜率：1 21 2180＜α≤0(tan x x y y --==） α 2、直线方程： ⑴点斜式：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k ： ()00x x k y y -=- ⑵斜截式：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b ：b kx y += ⑶两点式：已知两点) ,(),,(222211y x P x x P 其中),(2121 y y x x ≠≠： 121 121 y y y y x x x x --=-- ⑷截距式：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ： 1x y a b += ⑸一般式：0=++C By Ax （A 、B 不同时为0， 斜率B A k -=，y 轴截距为B C -） (6)k 不存在?a x b a x o =??=）的直线方程为过（轴垂直,90α 3、直线之间的关系： 222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ⑴ 平行：{ ? ?≠=2121212 1//b b k k k k l l 且都不存在 ， 2 1 2121C C B B A A ≠= ⑵ 垂直：{ ?? ⊥-=?-==2 121211 1.0 21k k k k k k l l 不存在，02121=+B B A A ⑶平行系方程：与直线0=++C By Ax 平行的方程设为：0=++m By Ax ⑷垂直系方程：与直线0=++C By Ax 垂直的方程设为： 0=++n Ay Bx ⑸定点(交点)系方程：过两条直线 :,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 的交点的方程设为： 0)(2 2 2 1 1 1 =+++++C y B x A C y B x A λ 反之直线0)(2 2 2 1 1 1 =+++++C y B x A C y B x A λ中，λ取任何一切实 椭圆经典例题分类汇总 1. 椭圆第一定义的应用 例1 椭圆的一个顶点为()02， A ,其长轴长是短轴长的２倍,求椭圆的标准方程. 例2 已知椭圆19822=++y k x 的离心率2 1=e ，求k 的值． 例3 已知方程1352 2-=-+-k y k x 表示椭圆,求k 的取值范围. 例4 已知1cos sin 2 2=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范 围． 例5 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322 =+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程． 2.焦半径及焦三角的应用 例1 已知椭圆13422=+y x ,1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在,则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 例2 已知椭圆方程()0122 22>>=+b a b y a x ,长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点,θ=∠21PA A ,α=∠21PF F ．求:21PF F ?的面积(用a 、b 、α表示)． ３.第二定义应用 例1 椭圆112162 2=+y x 的右焦点为F ,过点() 31，A ,点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时,求点M 的坐标． 例2 已知椭圆1422=+b b 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距离． 例３ 已知椭圆15 92 2=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点． (１) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标; (２) 求22 3PF PA + 的最小值及对应的点P 的坐标. 4.参数方程应用 例1 求椭圆13 22 =+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值． 第八章 圆锥曲线方程 ●考点阐释 圆锥曲线是解析几何的重点容，这部分容的特点是： （1）曲线与方程的基础知识要求很高，要求熟练掌握并能灵活应用. （2）综合性强．在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角及直线等容，体现了对各种能力的综合要求． （3）计算量大．要求学生有较高的计算水平和较强的计算能力． ●试题类编 一、选择题 1.（2003京春文9，理5）在同一坐标系中，方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +b y 2=0（a ＞b ＞0）的曲线大致是（ ） 2.（2003京春理，7）椭圆?? ?=+=? ? sin 3cos 54y x （?为参数）的焦点坐标为（ ） A.（0，0），（0，－8） B.（0，0），（－8，0） C.（0，0），（0，8） D.（0，0），（8，0） 3.（2002京皖春，3）已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点．如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是（ ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 4.（2002全国文，7）椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是（0，2），那么k 等于（ ） A.－1 B.1 C.5 D. － 5 5.（2002全国文，11）设θ∈（0， 4 π ），则二次曲线x 2cot θ－y 2tan θ＝1的离心率的取值围为（ ） A.（0， 2 1 ） B.（ 22 ,21） C.（ 2,2 2 ） D.（ 2，＋∞） 6.（2002文，10）已知椭圆222253n y m x +和双曲线22 2 232n y m x -＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ） A.x ＝± y 2 15 B.y ＝± x 2 15 §8.圆锥曲线方程 知识要点 一、椭圆方程. 1. 椭圆方程的第一定义：为端点的线段 以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2, 2, 2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+ ⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12 222 b a b y a x =+ . ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12 22 2 b a b x a y =+ . ②一般方程：)0,0(122 B A By Ax =+. ③椭圆的标准方程：12 22 2=+ b y a x 的参数方程为?? ?==θ θsin cos b y a x （一象限θ应是属于20π θ ）. ⑵①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±. ②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2. ③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -. ④焦距：2221,2b a c c F F -==. ⑤准线：c a x 2±=或c a y 2 ±=. ⑥离心率：)10( e a c e =. ⑦焦点半径： i. 设),(00y x P 为椭圆)0(12 22 2 b a b y a x =+上的一点，21,F F 为左、右焦点，则 ii.设),(00y x P 为椭圆 )0(12 22 2 b a a y b x =+ 上的一点，21,F F 为上、下焦点，则 由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002 2002 01 x a ex x c a e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+=归结起来为“左加右减”. 注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：),(222 2a b c a b d -=和),(2a b c ⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆 )0(12 22 2 b a b y a x =+的离心率是)(22b a c a c e -== ，方程t t b y a x (2 22 2=+是大于0的参数，)0 b a 的离心率也是a c e = 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. ⑸若P 是椭圆：12 22 2=+ b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ?的面积为2 tan 2θ b （用 余弦定理与a PF PF 221=+可得）. 若是双曲线，则面积为2 cot 2θ ?b . ?-=+=0201,ex a PF ex a PF ? -=+=0201,ey a PF ey a PF 椭圆经典例题分类汇总 1.椭圆第一定义的应用 例1 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11 42 2=+y x ； （2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为： 116 42 2=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 例2 已知椭圆 19 82 2=++y k x 的离心率21=e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论． 解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82 +=k a ，92 =b ，得12 -=k c ．由2 1 =e ，得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92 =a ，82 +=k b ，得k c -=12 ． 由21= e ，得 4191=-k ，即4 5 -=k ． ∴满足条件的4=k 或4 5 -=k ． 说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论． 例3 已知方程 1352 2-=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 解：由?? ? ??-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53< 圆锥曲线基本题型总结：提纲： 一、定义的应用： 1、定义法求标准方程： 2、涉及到曲线上的点到焦点距离的问题： 3、焦点三角形问题： 二、圆锥曲线的标准方程： 1、对方程的理解 2、求圆锥曲线方程（已经性质求方程） 3、各种圆锥曲线系的应用： 三、圆锥曲线的性质： 1、已知方程求性质： 2、求离心率的取值或取值范围 3、涉及性质的问题： 四、直线与圆锥曲线的关系： 1、位置关系的判定： 2、弦长公式的应用： 3、弦的中点问题： 4、韦达定理的应用： 一、定义的应用： 1. 定义法求标准方程： (1)由题目条件判断是什么形状，再由该形状的特征求方程：(注意细节的处 理) 1.设F1, F2 为定点，|F1F2| =6,动点M满足|MF1| + |MF2| = 6,则动点M的轨 迹是() A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段【注：2a>|F1 F2| 是椭圆，2a=|F1 F2|是线段】 2. 设 B - 4,0) , C4,0),且厶ABC的周长等于18,则动点A的轨迹方程为) x2 y2 y2 x2 A.25+ -9 = i y z0) B.25^9 = 1 徉0) x2 y2 y2 x2 C.^+16= 1 y z 0) D￡+_9 = 1 y z 0) 【注：检验去点】 3. 已知A0, - 5)、B0,5) ,|PA| - |PB| = 2a,当a= 3 或 5 时，P点的轨迹为) A. 双曲线或一条直线 B. 双曲线或两条直线 C. 双曲线一支或一条直线 D. 双曲线一支或一条射线【注：2av|F1 F2|是双曲线，2a=|F1 F2|是射线，注意一支与两支的判断】 2010年高考数学试题分类汇编——圆锥曲线 一、选择题 1、（2010湖南文数）5. 设抛物线28y x =上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是 A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 解析：抛物线的准线为：x=－2，点P 到准线距离为4＋2＝6，所以它到焦点的距离为6。. 2、（2010全国卷2理数）（12）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞的离心率为2，过右焦点F 且斜率为 (0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k = （A ）1 （B （C （D ）2 【答案】B 【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义. 【解析】设直线l 为椭圆的有准线，e 为离心率，过A ，B 分别作AA 1，BB 1垂直于l ，A 1，B 为垂足，过 B 作BE 垂直于AA 1与E ，由第二定义得， ，由，得， ∴ 即k= ，故选B. 3、（2010陕西文数）9.已知抛物线y 2 ＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2 ＋y 2 ＝16相切，则p 的值为 [C] （A ） 1 2 （B ）1 （C ）2 （D ）4 解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系 法一：抛物线y 2 ＝2px （p >0）的准线方程为2 p x -=，因为抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2 ＋y 2 ＝16相切，所以2,42 3==+ p p 法二：作图可知，抛物线y 2 ＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2 ＋y 2 ＝16相切与点（-1,0） 所以2,12 =-=- p p 4、（2010辽宁文数）（9）设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一 条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 圆锥曲线 1．已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，直线l ：y ＝－1，动圆P 与圆M 相外切，且与直线l 相切．设动圆圆心P 的轨迹为E . (1)求E 的方程； (2)若点A ，B 是E 上的两个动点，O 为坐标原点，且O A →·O B → ＝－16，求证：直线AB 恒过定点． (1)解 设P (x ，y )，则x 2＋(y －2)2＝(y ＋1)＋1，∴x 2＝8y .∴E 的方程为x 2＝8y . (2)证明 设直线AB ：y ＝kx ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 将直线AB 的方程代入x 2＝8y 中得x 2－8kx －8b ＝0，所以x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－8b . O A →·O B → ＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋x 21x 2264＝－8b ＋b 2＝－16，∴b ＝4，所以直线AB 恒过定点(0,4)． 2．如图，已知点A (1，2)是离心率为22的椭圆C ：y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，斜率为2的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点互不重合． (1)求椭圆C 的方程； (2)求证：直线AB 、AD 的斜率之和为定值． (1)解 由题意，可得e ＝c a ＝22，将(1，2)代入y 2a 2＋x 2b 2＝1，得2a 2＋1b 2＝1，又 a 2＝ b 2＋ c 2， 解得a ＝2，b ＝2，c ＝2， 所以椭圆C 的方程为y 24＋x 2 2＝1. (2)证明 设直线BD 的方程为y ＝2x ＋m ，又A 、B 、D 三点不重合，所以m ≠0. 圆锥曲线的方程与性质 1．椭圆 （1）椭圆概念 平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=。 椭圆的标准方程为：22221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或122 22=+b x a y （0a b >>）（焦点在y 轴 上）。 注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中2 2 2 b a c =-； ②在22221x y a b +=和22221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2 x 和2y 的分 母的大小。例如椭圆 22 1x y m n +=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。 （2）椭圆的性质 ①范围：由标准方程22 221x y a b +=知||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里； ②对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称。 所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心； ③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令 0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -， 2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点。 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时，线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 2018（新课标全国卷2 理科） 5．双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>> A ．y = B ．y = C ．y = D ．y = 12．已知1F ，2F 是椭圆22 221(0)x y C a b a b +=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在 过A 的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=?，则C 的离心率为 A ． 2 3 B ． 12 C ．13 D ． 14 19．（12分） 设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程； （2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 2018（新课标全国卷2 文科） 6．双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>> A ．y = B ．y = C ．y = D ．y = 11．已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=?， 则C 的离心率为 A ．1- B ．2 C D 1 20．（12分）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ， B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程； （2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 2018（新课标全国卷1 理科） 8．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为 2 3 的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?u u u u r u u u r = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8圆锥曲线全部公式及概念
2012-2017年高考文科数学真题总汇编：圆锥曲线老师版
圆锥曲线题型归类大全 17
2019年高考试题汇编理科数学--圆锥曲线
圆锥曲线的定义方程和性质知识点总结
历年高考数学圆锥曲线试题汇总
圆锥曲线大题归类
2013高考试题分类汇编(理科)：圆锥曲线
圆锥曲线知识点整理
圆锥曲线高考题汇编(带详细解析)
圆锥曲线公式大全
椭圆各类题型分类汇总
圆锥曲线高考题汇编[带详细解析]
圆锥曲线方程知识点总结
椭圆经典例题分类汇总
圆锥曲线基本题型总结
高考数学试题分类汇编——圆锥曲线选择doc
高考数学全国卷分类汇总及分析
圆锥曲线知识点总结(供参考)
(完整版)20182010圆锥曲线高考题全国卷真题汇总