泰勒定律及其应用(数学考研)

第2章 预备知识

前面一章我们介绍了一下泰勒和他的成就，那他的主要杰作泰勒公式究竟在数学中有多大的用处呢？那么从这一章开始我们就要来学习一下所谓的泰勒公式，首先来了解一下它是在什么样的背景下产生的．

给定一个函数)(x f 在点0x 处可微，则有：

)()()()(000x x x f x f x x f ?+?'+=?+ο

这样当1<

x x f x f x x f ?'+≈?+)()()(000

或

))(()()(000x x x f x f x f -'+=，10<<-x x

即在0x 点附近，可以用一个x 的线形函数（一次多项式）去逼近函数f ，但这时有两个问题没有解决：

（1） 近似的程度不好，精确度不高．因为我们只是用一个简单的函数—一次多项式去替代可能是十分复杂的函数f ．

（2）近似所产生的误差不能具体估计，只知道舍掉的是一个高阶无穷小量

)(0x x -ο，如果要求误差不得超过410-，用))(()(000x x x f x f -'+去替代)(x f 行吗？因此就需要用新的逼近方法去替代函数．

在下面这一节我们就来设法解决这两个问题．

2.1 Taylor 公式

首先看第一个问题，为了提高近似的精确程度，我们可以设想用一个x 的n 次多项式在0x 附近去逼近f ，即令

n n x x a x x a a x f )(...)()(0010-++-+= （2.1）

从几何上看，这表示不满足在0x 附近用一条直线（曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 的切线）去替代)(x f y =，而是想用一条n 次抛物线n n x x a x x a a x f )(...)()(0010-++-+=去替代它．

我们猜想在点))(,(00x f x 附近这两条曲线可能会拟合的更好些．那么系数0a ，1a …

n a 如何确定呢？

假设f 本身就是一个n 次多项式，显然，要用一个n 次多项式去替代它，最好莫过它自身了，因此应当有

n n x x a x x a a x f )(...)()(0010-++-+=

于是得：)(00x f a =

求一次导数可得：)(01x f a '=

又求一次导数可得：!

2)

(02x f a ''=

这样进行下去可得：

!

3)

(03x f a '''=

，!4)(0)4(4x f a =，… ，!)(0)(n x f a n n = 因此当f 是一个n 次多项式时，它就可以表成：

k n k k n

n x x k x f x x n x f x x x f x f x f )(!)()(!)(...))(()()(00

0)(00)(000-=-++-'+=∑= （2.2）

即0x 附近的点x 处的函数值)(x f 可以通过0x 点的函数值和各级导数值去计算．通过这个特殊的情形，我们得到一个启示，对于一般的函数f ，只要它在0x 点存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式

n n n x x n x f x x x f x x x f x f x T )(!

)(...)(!2)())(()()(00)(2

00000-++-''+-'+=

称为函数)(x f 在点0x 处的泰勒多项式，)(x T n 的各项系数

!

)

(0)

(k x f

k ),...,3,2,1(n k = ，称为泰勒系数．因而n 次多项式的n 次泰勒多项式就是它本身．

2.2 Taylor 公式的各种余项

对于一般的函数，其n 次Taylor 多项式与函数本身又有什么关系呢？函数在某点0

x 附近能近似地用它在0x 点的n 次泰勒多项式去替代吗？如果可以，那怎样估计误差呢？下面的Taylor 定理就是回答这个问题的．

定理1]10[ (带拉格朗日型余项的Taylor 公式)

假设函数)(x f 在h x x ≤-||0上存在直至1+n 阶的连续导函数，则对任一

],[00h x h x x +-∈,泰勒公式的余项为

10)1()()!

1()

()(++-+=n n n x x n f x R ξ

其中)(00x x x -+=θξ为0x 与x 间的一个值.即有

10)1(00)

(000)()!

1()()(!)(...))(()()(++-++-+

+-'+=n n n

n x x n f x x n x f

x x x f x f x f ξ (2.3) 推论1]10[ 当0=n ，（2.3）式即为拉格朗日中值公式：

))(()()(00x x f x f x f -'=-ξ

所以，泰勒定理也可以看作是拉格朗日中值定理的推广． 推论2]10[ 在定理1中,若令

)0()()1(!

)

()(1

01)

1(>--?=

+-++p x x n p f

x R n p n n n θξ

则称)(x R n 为一般形式的余项公式, 其中0

x x x --=ξθ．在上式中，1+=n p 即为拉格朗日

型余项．若令1=p ，则得

)0()()1(!

)

()(1

0)1(>--=++p x x n f x R n n n n θξ,

此式称为柯西余项公式．

当00=x ，得到泰勒公式：

1

1)(2)!

1()(!)0(...!2)0()0()0()(++++++''+'+=n n n n x n x f x n f x f x f f x f θ）（，)10(<<θ （2.4）

则（2.4）式称为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式．

定理２]10[ （带皮亚诺型的余项的Taylor 公式） 若函数f 在点0x 处存在直至n 阶导数，则有

∑

=-=n

k k k n x x k x f

x P 000)

()(!

)

()(， )()()(x P x f x R n n -=．

则当0x x →时，))(()(0n n x x x R -=ο．即有

))(()(!

)

(...))(()()(000)(000n n n x x x x n x f x x x f x f x f -+-++-'+=ο （2.5）

定理3所证的（2.5）公式称为函数)(x f 在点0x 处的泰勒公式，)()()(x P x f x R n n -=， 称为泰勒公式的余项的，形如))((0n x x -ο的余项称为皮亚诺型余项，所以（2.5）式又称为带有皮亚诺型余项的泰勒公式

当（2.5）式中00=x 时，可得到

)(!

)0(...!2)0()0()0()()(2n n

n x x n f x f x f f x f ο+++''+'+= （2.6）

（2.6）式称为带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式，此展开式在一些求极限的题目中有重要应用．

由于))(()(0n n x x x R -=ο，函数的各阶泰勒公式事实上是函数无穷小的一种精细分析，也是在无穷小领域将超越运算转化为整幂运算的手段．这一手段使得我们可能将无理的或超越函数的极限，转化为有理式的极限，从而使得由超越函数所带来的极限式的奇性或不定性，得以有效的约除，这就极大的简化了极限的运算．这在后面的应用中给以介绍．

定理３ 设0>h ，函数)(x f 在);(0h x U 内具有2+n 阶连续导数，且0)(0)2(≠+x f n ，

)(x f 在);(0h x U 内的泰勒公式为

10,)!

1()(!

)(...)()()(1

0)

1(0)

(000<<++++

+'+=+++θθn n n n h n h x f

h n x f

h x f x f h x f （2.7）

则2

1

lim 0

+=

→n h θ． 证明：)(x f 在);(0h x U 内的带皮亚诺型余项的泰勒公式：

)()!

2()()!1()(!)(...)()()(22

0)2(10)1(0)

(000+++++++++++

+'+=+n n n n n n n h h n x f h n x f h n x f

h x f x f h x f ο 将上式与（2.7）式两边分别相减，可得出

)()!

2()()!

1()

(-)(220)2(1

0)

1(0)1(++++++++=++n n n n n n h h n x f h

n x f

h x f οθ， 从而

2

20)

2(0)

1(0)

1()

()!2()()

()()!

1(+++++++=-+?

+n n n n n h h n x f

h

x f

h x f

n οθθθ

， 令0→h ，得

)!

2()

()(lim )!1(1

0)

2(0)

2(0

+=

??+++→n x f

x f n n n h θ，

故2

1

lim 0

+=

→n h θ． 由上面的证明我们可以看得出，当n 趋近于无穷大时，泰勒公式的近似效果越好，拟合程度也越好．

第3章 泰勒公式的应用

由于泰勒公式涉及到的是某一定点0x 及0x 处函数)(0x f 及n 阶导数值：)(0x f '，

)(0x f ''，…，)(0)

(x f

n ，以及用这些值表示动点x 处的函数值)(x f ，本章研究泰勒公

式的具体应用，比如近似计算，证明中值公式，求极限等中的应用．

3.1 应用Taylor 公式证明等式

例3.1.1 设)(x f 在[]b a ,上三次可导，试证： ),(b a c ∈?，使得

3))((24

1

))(2(

)()(a b c f a b b a f a f b f -'''+-+'+= 证明： (利用待定系数法) 设k 为使下列式子成立的实数：

0)(24

1

))(2(

)()(3=---+'--a b k a b b a f a f b f （3.1） 这时，我们的问题归为证明：),(b a c ∈?，使得：

)(c f k '''=

令3)(24

1

))(2(

)()()(a x k a x x a f a f x f x g ---+'--=，则0)()(==b g a g ． 根据罗尔定理，),(b a ∈?ξ，使得0)(='ξg ，即：

0)(8

2)()2()2(

)(2=---+''-+'-'a k a a f a f f ξξξξξ 这是关于k 的方程，注意到)(ξf '在点

2

ξ

+a 处的泰勒公式： 2))((8

1

2)()2()2(

)(a c f a a f a f f -'''+-+''++'='ξξξξξ 其中),(b a c ∈?，比较可得原命题成立．

例3.1.2 设)(x f 在[]b a ,上有二阶导数，试证：),(b a c ∈?，使得

3))((24

1

)2(

)()(a b c f b a f a b dx x f b

a

-''++-=?

． （3.2） 证明：记2

0b

a x +=

，则)(x f 在0x 处泰勒公式展开式为：

20000)(2

)

())(()()(x x f x x x f x f x f -''+

-'+=ξ （3.3） 对（3.3）式两端同时取[]b a ,上的积分，注意右端第二项积分为0，对于第三项的积分，由于导数有介值性，第一积分中值定理成立：),(b a c ∈?，使得

32020))((12

1

)()())((a b c f dx x x c f dx x x f b

a

b

a

-''=

-''=-''??

ξ 因此原命题式成立．

因此可以从上述两个例子中得出泰勒公式可以用来证明一些恒等式，既可以证明微分中值等式，也可以证明积分中值等式．以后在遇到一些等式的证明时，不妨可以尝试用泰勒公式来证明．证明等式后我们在思考，它能否用来证明不等式呢？经研究是可以的，下面我们通过几个例子来说明一下．

3.2 应用Taylor 公式证明不等式

例3.4设)(x f 在[]b a ,上二次可微，0)(<''x f ，试证：b x x x a n ≤<<≤≤?...21，

0≥i k ，11

=∑=n

i i k ，∑∑==>n

i i i n

i i i x f k x k f 1

1

)()(．

证明：取∑==n

i i i x k x 1

0，将)(i x f 在0x x =处展开

))(()()(2

)

())(()()(00020000x x x f x f x x f x x x f x f x f i i i i i -'+<-''+

-'+=ξ 其中()n i ,...,3,2,1=．

以i k 乘此式两端，然后n 个不等式相加，注意11=∑=n

i i k

()001

1

0=-=-∑∑==x x k x x

k n

i i i n

i i

i

得：

)()()(1

01

∑∑===

i i i n

i i i

x k f x f x f k

．

例3.2.2 设)(x f 在[]1,0上有二阶导数，当10≤≤x 时，1)(≤x f ，2)(<''x f ．试证：当10≤≤x 时，3)(≤'x f ．

证明：)(t f 在x 处的泰勒展开式为：

2)(!

2)

())(()()(x t f x t a f x f t f -''+

-'+=ξ 其中将t 分别换为1=t ，0=t 可得：

2)1(!

2)

()1)(()()1(x f x x f x f f -''+

-'+=ξ （3.4） 2)(!

2)

())(()()0(x f x x f x f f -''+

-'+=η （3.5） 所以（3.4）式减（3.5）式得：

2

2!

2)()1(!2)()()0()1(x f x f x f f f ηξ''--''+

'=- 从而，

312)1(2)(2

1

)1()(21)0()1()(2222=+≤+-+≤''+-''+

+≤'x x x f x f f f x f ηξ 例3.2.3 设)(x f 在[]b a ,上二阶可导，0)()(='='b f a f ，证明：),(b a ∈?ξ，有

|)()(|)(4

|)(|2

a f

b f a b f --≥

''ξ．

证明：)(x f 在a x =，b x =处的泰勒展开式分别为：

21)(!

2)

())(()()(a x f a x a f a f x f -''+-'+=ξ，),(1x a ∈ξ 22)(!

2)

())(()()(b x f b x b f b f x f -''+

-'+=ξ，),(2b x ∈ξ 令2

b

a x +=

，则有 4)(!2)()()2(21a b f a f b a f -''+=+ξ，)2,(1b

a a +∈ξ （3.6）

4)(!2)()()2(22a b f b f b a f -''+=+ξ，),2

(2b b a +∈ξ （3.7） （3.7）－（3.6）得：

[]0)()(8

)()()(122

=''-''-+

-ξξf f a b a f b f 则有

[])()(8

)()()(8)()()(122

122ξξξξf f a b f f a b a f b f ''+''-≤

''-''-=- 令{})(,)(max )(21ξξξf f f ''''=''，即有

|)()(|)(4

|)(|2

a f

b f a b f --≥

''ξ．

例3.2.4 设)(x f 二次可微，0)1()0(==f f ，2)(max 1

0=≤≤x f x ，试证：

16)(min 1

0-≤''≤≤x f x ．

证明：因)(x f 在[]1,0上连续，故有最大值，最小值．又因2)(max 1

0=≤≤x f x ，

0)1()0(==f f ，故最大值在()1,0内部达到，所以()1,00∈?x 使得

)(max )(1

00x f x f x ≤≤=

于是)(0x f 为极大值，由费马定理有：0)(0='x f ，

在0x x =处按Taylor 公式展开：)1,0(,∈?ηξ使得：

2

002

)()()0(0x f x f f ξ''+==， （3.8） 200)1(2

)

()()1(0x f x f f -''+

==η． （3.9） 因此

{}??

?

???????---=''''≤''≤≤202010)1(4,4min )(),(min )(min x x f f x f x ηξ 而??

?

???∈1,210x 时，

16)

1(4)1(4,4min 2

02020-≤--=??????????---x x x ， ??

?

???∈21,00x 时，

164)1(4,4min 20

2020-≤-=??????????---x x x ． 所以，16)(min 1

0-≤''≤≤x f x ．

由上述几个例题可以看出泰勒公式还可以用来证明不等式，例3.2.1说明泰勒公式可以根据题目的条件来证明函数的凹凸性，例3.2.2说明可以对某些函数在一定范围内的界进行估计，例3.2.3是用泰勒公式证明中值不等式，例3.2.4与例3.2.2很相似，只不过前者是界的估计，后者是对导数的中值估计．证明不等式有很多种方

法，而学习了泰勒公式后，又增添了一种方法，在以后的学习中我们要会灵活应用．但前提是要满足应用的条件，那就是泰勒公式成立的条件．

3.3 应用Taylor 公式求极限

例3.3.1求4

2

2

cos lim

x

e

x x x -

→-．

解：在这里我们用泰勒公式求解，考虑到极限，用带皮亚诺型余项的麦克劳林公式展开，则有

)(2421cos 54

2x x x x ο++-=

)(8

2154

22

2x x x e

x ο++-=-

)(12

cos 542

2x x e

x x ο+-=--

所以，121

)

(12lim cos lim

45402

4

2-=+-=-→-→x

x x x

e

x x x x ο． 像这类函数用泰勒公式求极限就比较简单，因为使用洛毕达法则比较麻烦和复杂．

例3.3.2 设函数)(x ?在[)+∞,0上二次连续可微，如果)(lim x x ?+∞

→存在，且)(x ?''在[)

+∞,0上有界，试证：0)(lim

='+∞

→x x ?．

证明：要证明0)(lim ='+∞

→x x ?，即要证明：0>?ε，0>?δ．当M x >时()ε?<'x ． 利用Taylor 公式，0>?h ，

2)(2

1

)()()(h h x x h x ξ????''+'+=+ （3.10）

即

[]h x h x h x )(2

1)()(1

)(ξ????''--+=

' （3.11） 记)(lim x A x ?+∞

→=，因)(x ?''有界，所以0>?M ，使得

M x ≤'')(?， )0(≥?x

故由（3.11）知

[]h x A A h x h x |)(|2

1)()(1

)(ξ????''+-+-+≤

' （3.12） 0>?ε，

首先可取0>h 充分小，使得2

21ε

?δ，当δ>x 时

[]2

)()(1

ε??<-+-+x A A h x h 从而由（3.12）式即得：εε

ε

?=+

<

'2

2

)(x ．即

0)(lim ='+∞

→x x ?

例3.3.3 判断下列函数的曲线是否存在渐近线，若存在的话，求出渐近线方程． （1）32)1)(2(+-=x x y ；

（2）)1

(cos 2

21

5

x e x

x y --=．

解：（1）首先设所求的渐近线为 b ax y +=，并令 x

u 1

=

，则有： 0)(1lim )

()32

1)(321(lim )1()21(lim

])1)(2([lim 003

23

1

032=+--=+--+-=--+-=--+-→→→∞

→u

u bu a u u bu a u u u

bu a u u b ax x x u u u x οο

从中解出：1=a ，0=b ．所以有渐近线：x y =．

（2）设b ax y +=，x

u 1

=

，则有 0

)

()4221)(2421(lim cos lim ])1(cos [lim 554424205

542

021

5

22

=+--?+-+-=---=---→-→-∞→u u bu au u u u u u bu

au e u b ax e x x u u u x x ο

从中解出：12

1

-

=a ，0,1==b a ． 所以有渐近线：x y 12

1

-

=． 从上面的例子中我们可以看得出泰勒公式在判断函数渐近线时的作用，因而我们在判断函数形态时可以考虑这个方法，通过求极限来求函数的渐进线．

上述三个例子都是泰勒公式在求极限的题目上的应用，例3.3.1是在具体点或者是特殊点的极限，而第二个例子是求无穷远处的极限，第三个是利用极限来求函数的渐近线，学习了数学分析，我们知道求极限的方法多种多样，但对于有些复杂的题目我们用洛必达法则或其他方法是很难求出，或者是比较复杂的，我们不妨用泰勒公式来解决．

3.4 应用Taylor 公式求中值点的极限

例3.4.1]4[ 设

(1))(x f 在),(00δδ+-x x 内是n 阶连续可微函数，此处0>δ； (2)当)1(,...,3,2-=n k 时，有0)(0)

(=x f

k ，但是0)(0)

(≠x f

n ；

(3)当δ<≠h 0时有

))(()

()(000h h x f h

x f h x f θ+'=-+． （3.13）

其中1)(0<

1

1)(lim -→=n h n

h θ． 证明：要求出)(h θ的极限必须设法解出)(h θ，因此将（3.13）式左边的)(0h x f +及右端的))((0h h x f θ+'在0x 处展开，注意条件(2)，知)1,0(,21∈?θθ使得

()

)(!)()()(10000h x f n h x f h x f h x f n n θ++'+=+， （3.14）

))(()!

1())(()())((20)

(1

100h h x f

n h h x f h h x f n n n θθθθ+-+'=+'--， （3.15）

于是（3.13）式变为

=++'-)(!

)(10)

(10h x f n h x f n n θ))(()!1())(()(20)

(110h h x f n h h x f n n n θθθ+-+

'--

从而

120)(10)())

(()

()(-++=n n n h h x nf h x f h θθθθ．

因)1,0()(,,21∈h θθθ，利用)()(x f n 的连续性，由此可得

1

1)(lim -→=n h n

h θ． 这个例子可以作为定理来使用，但前提是要满足条件．以后只要遇到相关的题目就可以简单应用．

3.5 应用Taylor 公式近似计算

由于泰勒公式主要是用一个多项式去逼近函数，因而可用于求某些函数的近似值，或根据误差确定变量范围．特别是计算机编程上的计算．

例3.5.1 求：（1）计算e 的值，使其误差不超过610-；

（2）用泰勒多项式逼近正弦函数x sin ，要求误差不超过310-，以2=m 的情形讨论x 的取值范围．

解：(1) 由于x e 的麦克劳林的泰勒展开式为：

10,)!1(!...!2112

<<++++++=+θθn x n x

x n e n x x x e

当1=x 时，有

)!

1(!1...!2111++++++=n e n e θ

故)!

1(3

)!1()1(+<+=n n e R n θ． 当9=n 时，有

69103628800

3!103)1(-<<=

R 从而省略)1(9R 而求得e 的近似值为： 718285.2!

91

...!31!2111≈++++

+≈e

(2) 当2=m 时，

6

sin 3

x x x -≈，使其误差满足：

355

410!

5!5cos )(-<≤=x x x x R θ

只需6543.0

3.6 应用Taylor 公式求极值

定理3.1

]

12[ 设f 在0x 附近有1+n 阶连续导数，且

)(0x f ')(0x f ''=0)(...0)

(===x f

n ， 0)(0)

1(≠+x f

n

（1）如果n 为偶数，则0x 不是f 的极值点． （2）如果n 为奇数，则0x 是f 的严格极值点，且当0)(0)

1(>+x f n 时，0x 是f 的

严格极小值点；当0)(0)

1(<+x f

n 时，0x 是f 的严格极大值点．

证明：将f 在0x 点处作带皮亚诺型余项的Taylor 展开，即：

))(()()!

1()

()()(10100)1(0+++-+-++=n n n x x x x n x f x f x f ο

于是

1010100)1(0)()())(()!1()()()(++++-??

?

???--++=-n n n n x x x x x x n x f x f x f ο 由于

)!1()

()())(()!1()(lim 0)1(10100)1(0+=??

????--++++++→n x f x x x x n x f n n n n x x ο 故0>?δ，),(00δδ+-x x 中，1

0100)1()())(()!1()(+++--++n n n x x x x n x f ο与)!

1()

(0)1(++n x f n 同号． （1）如果n 为偶数，则由10)(+-n x x 在0x 附近变号知，)()(0x f x f -也变号，故

0x 不是f 的极值点．

（2）如果n 为奇数，则1+n 为偶数，于是，10)(+-n x x 在0x 附近不变号，故

)()(0x f x f -与)!

1()

(0)1(++n x f n 同号．

若0)(0)

1(>+x f

n ，则)()(0x f x f >，)(),(0,000δδ+-∈?x x x x x ，0x 为f 的严格

极小值点．

若0)(0)

1(<+x f

n ，则)()(0x f x f <，)(),(0,000δδ+-∈?x x x x x ，0x 为f 的严格

极大值点．

例3.6.1 试求函数34)1(-x x 的极值．

解：设34)1()(-=x x x f ，由于)47()1()(23--='x x x x f ，因此7

4

,1,0=x 是函数的

三个稳定点．f 的二阶导数为

)287)(1(6)(22+--=''x x x x x f ，

由此得，0)1()0(=''=''f f 及0)74(>''f ．所以)(x f 在7

4

=x 时取得极小值．

求三阶导数

)4306035(6)(23-+-='''x x x x x f ，

有0)0(='''f ，0)1(>'''f ．由于31=+n ，则2=n 为偶数，由定理3.1知f 在1=x 不取极值.

再求f 的四阶导数

)1154535(24)(23)4(-+-=x x x x f ，

有0)0()4(

综上所述，0)0(=f 为极大值，823543

6912

7374)74(34-

=-=）（）（f 为极小值． 由上面的例题我们可以了解到定理3.1也是判断极值的充分条件．

3.7 应用Taylor 公式研究函数图形的局部形态

定理3.2]12[ 设R X ∈为任一非空集合，X x ∈0，函数R X f →:在0x 处n 阶可导，且满足条件：)(0x f ''0)(...)(0)1(0==='''=-x f x f n ，0)(0)(≠x f n ．

（1）n 为偶数，如果)0(0)(0)(<>x f n ，则曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 的邻近位于曲线过此点的切线的上（下）方．

（2）n 为奇数，则曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 的邻近位于该点切线的两侧，

此时称曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处与该点的切线横截相交．

证明：因为f 在0x 处n 阶可导，并且)(0x f ''0)(...)(0)1(0==='''=-x f x f n ，

0)(0)

(≠x f

n ，所以f 在0x 的开邻域 ),(0δx B 内的n 阶Taylor 公式为

))(()(!

)

())(()()(000)(000n n n x x x x n x f x x x f x f x f -+-+-'+=ο )(0x x →

于是

[]???

???--+-=-'+-n

n n n

x x x x n x f x x x x x f x f x f )())((!

)()())(()()(000)(0000ο 由于

!)()())((!

)(lim 0)(000)(0n x f x x x x n x f n n n n x x =??????--+→ο 由此可见：0>?δ，),(0δx B X x ∈?，有：[]))(()()(000x x x f x f x f -'+-与

n n x x n x f

)(!

)

(00)

(-同号． （1）当n 为偶数， 如果0)(0)

(>x f

n ，则

[]0))(()()(000>-'+-x x x f x f x f ，),(0δx B X x ∈?

这就表明在点))(,(00x f x 邻近，曲线)(x f y =位于切线))(()(000x x x f x f y -'+=的上方；

如果0)(0)

(

n ，则有

[]0))(()()(000<-'+-x x x f x f x f ，),(0δx B X x ∈?

因此，在点))(,(00x f x 邻近，曲线)(x f y =位于切线))(()(000x x x f x f y -'+=的下方．

（2）当n 为奇数，这时若)0(0)(0)(<>x f n ，则

[])0(0))(()()(000<>-'+-x x x f x f x f ， ),(0δx B X x +∈? [])0(0))(()()(000><-'+-x x x f x f x f ， ),(0δx B X x -∈?

由此知，在0x 的右侧，曲线)(x f y =位于切线))(()(000x x x f x f y -'+=的上（下）方；而在0x 的左侧，曲线)(x f y =位于切线))(()(000x x x f x f y -'+=的下（上）方．因此，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处与该点的切线横截相交．

3.8 应用Taylor 公式研究线形插值

例3.8.1（线形插值的误差公式） 设R b a f →],[:为实一元函数，l 为两点

))(,(a f a 与))(,(b f b 所决定的线形函数，即)()()(b f a

b a

x a f a b x b x l --+--=

，l 称为f 在区间],[b a 上的线形插值．

如果f 在区间],[b a 上二阶可导，f 在],[b a 上连续，那么，我们可以对这种插值法带来的误差作出估计．

应用带Lagrange 型余项Taylor 公式：),(x a ∈?ξ，),(b x ∈?η，使得

[][])

(2

))(()()(2))(()()(21)()()()(21)()()()()()()()(2

2ζηξηξf a x x b f a b x b f a b a x a x x b f x b x f x b a b a x f x a x f x a a b x b x f b f a b a x x f a f a b x

b x f x l ''--=??

?

???''--+''----=??

????''-+'---+??????''-+'---=---+---=

-

其中，),(b a ∈ζ，最后一个式子是由于

0>--a b x b ，0>--a

b a

x ． )}

(),(max{)()())}(

(),(min{)}(),(min{ηξηξηξηξf f f a

b x

b f a b a x a

b x

b a b a x f f f f ''''≤''--+''--≤

--+--''''=''''

以及Darboux 定理推得．

如果M 为)(x f ''的上界（特别当)(x f ''在],[b a 上连续时，根据最值定理，取

)(max ]

,[x f M b a x ''=∈），则误差估计为

M a b f a x x b x f x l 2

)(|)(|2))(()()(2

-≤''--≤-ζ，],[b a x ∈?

这表明，M 愈小线性插值的逼近效果就会愈好，当M 很小时，曲线)(x f y =的切线改变得不剧烈，这也是符合几何直观的．

3.9 应用Taylor 公式研究函数表达式

例3.9.1]4[ 设在内有连续三阶导数，且满足方程：

)()()(h x f h x f h x f θ+'+=+，10<<θ．(θ与h 无关) （3.16）

试证：)(x f 是一次或二次函数．

证明：要证)(x f 是一次或二次函数，就是要证0)(≡''x f 或0)(≡'''x f ．因此要将（3.16）式对h 求导，注意θ与h 无关，我们有

)()()(h x f h h x f h x f θθθ+''++'=+' （3.17）

从而

)()

()()()(h x f h

h x f x f x f h x f θθθ+''=+'-'+'-+' （3.18）

令0→h ，对（3.17）式两边取极限得：)()()(x f x f x f ''=''-''θθ，即

)(2)(x f x f ''=''θ

若2

1

≠θ，由此知0)(≡''x f ，)(x f 为一次函数； 若21=

θ，则（3.17）式变成：)2

1

(21)21()(h x f h h x f h x f +''++'=+'．此式两端同时对h 求导，减去)(x f ''，除以h ，然后令0→h 取极限，即得0)(≡'''x f ，即)(x f 为二次函数．

实际上在一定条件下证明某函数0)(≡x f 的问题，我们称之为归零问题， 因此上例实际上也是)(x f ''，)(x f '''的归零