离散数学

——帕斯卡（法、17世纪）
数学家名言
Ø 数学==逻辑
——罗素
Ø 逻辑是数学的少年时代, 数学是逻辑的成年时代,
数学是研究结构的科学
——布尔巴基学派（30年代）
Ø 宇宙是一个由数学和逻辑原则所统率的和谐的整 体 ——莱布尼茨
Ø 一门科学，只有当它成功地运用数学时，才能达 到真正完善的地步 ——马克思
1、否定 (negation)
设p为任一命题，复合命题 “¬p”(p的否定)称为p的 否定式，记作 ¬p
常见否定词：“并非”、“不是” 、“没有”等 运算特性：单目运算
¬p 为真 当且仅当 p为假
p
¬p
0
1
1
0
例：
•¬p：地球不是圆的。 (真值为F)
•¬q：雪不是黑色的。 (真值为T)
2、合取 (conjunction)
6. 3能被2整除。
(是。真值为“假”)
7. 2＋3＝5。
(是。真值为“真”)
8. 地球外的星球上也有人。 (是。真值唯一，但待定)
9. x + y > 5。
(否。命题真值不确定，命题变项)
Ø 注. 真值是否唯一与是否知道它的真值是两回事
二、命题的分类： Ø 简单命题：(原子命题)
l 不能分解成更简单的命题(即具有确定真值的 简单陈述句)
p∨q 为真 当且仅当 p与q中至少一个为真. p∨q 为假 当且仅当 p、q同时为假.
p
q
p∨q
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
例：
•地球是圆的或者雪是黑色的。 p∨q
•地球不是圆的或者雪是黑色的。 ¬p∨q
注. 关于析取,”或”的二义性： Ø 相容性或：指p与q可同时为真。
例. 1).张晓静爱唱歌或爱听音乐。 l 令p:张爱唱歌，q:张爱听音乐。 l 则1)中“或”为相容或，即p与q可以同时为真， l 符号化为p∨q。
第一部分 数理逻辑
Ø 逻辑是不可战胜的，因为要反对逻辑还得使用 逻辑。 ——P.boutroux
Ø 数学在过去几乎完全与科学相连接，而逻辑则 与希腊哲学相联系。但二者都随时代发展了。 逻辑变得更数学了，而数学变得更逻辑了。无 法在二者之间划分界限。 ——D.Vira
Ø 逻辑推理题是大公司招聘中最为常见的一类试 题——看重应聘者的逻辑思维能力，并相信这 种能力是漂亮地完成工作的基础。
第一章 命题逻辑
Ø 1.1 命题符号化及联结词 Ø 1.2 命题公式及分类 Ø 1.3 等值演算 Ø 1.4 联结词全功能集 Ø 1.5 对偶与范式 Ø 1.6 推理理论 Ø 1.7 题例分析
1.1 命题符号化及联结词
一、命题
Ø 数理逻辑研究的中心是推理，
l 推理的前提和结论都是表达判断的陈述句
4、蕴涵词 (implication)
设p,q为两命题,复合命题”如果p,则q”称作p与q的 蕴涵式，记作p→q。
常见蕴涵词：“如果……那么”、“只要……就”、“仅 当”。
p→q 为假 当且仅当 p为真且q为假.
p
q
p→q
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
例：
•p→q：如果地球是圆的那么雪是黑色的。
•¬p→q：如果地球不是圆的那么雪是黑色的。
Discrete Math. 离散数学
Ø MSC @ DUT (CAGD) Ø 邮件：
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Ø 试卷80% ＋ 作业、出勤率20%
数学是什么
Ø 上世纪40年代伟大的数学家R.科朗曾经用一本书 来讲述数学是什么。专业的数学对一般人来讲似 乎过于艰深和抽象……
l 对于简单命题，真值是确定的。
命题变项(proposition variable)
l 真值可以变化的简单陈述句 。
l 也采用的符号是p,q,r… pi,qi,ri…等小写字母形式来 表示
l如x+y>5 注. 命题变项不是命题，因为真值不确定。
真值符号化：(运算结果符号化)
l 真 (T)：1 l 假 (F)：0
Ø 不相容性或(排斥或)：指p与q不可同时为真。
Ø 不相容性或(排斥或)：指p与q不可同时为真。
例. 2).张晓静是江西人或安徽人。
l 令r:张是江西人，s:张是安徽人。
l 则2)中“或”应为排斥或，但r与s不能同时为 真，因而也可以符号化为r∨s
例. 3).张晓静只能挑选202或203房间之一。
l 如果理发师由他自己理发, 按规定他只给那些不给 自己理发的人理发, 那么理发师不能由他自己理发, 即理发师应该由别人来理发.
n A false hypothesis implies any conclusion
l 在数学或其它自然科学中，“如果p，则q”往往表达的是 前件p为真，后件q也为真的推理关系。
5、等价
设p,q为两命题,复合命题”p当且仅当q”称作p与q的 等价式，记作p«q。
p«q 为真 当且仅当 p,q真值相同.
注：关于蕴涵(p→q)：
Ø p与q不一定有内在的联系，仅是形式结构的推理
Ø p与q表示的基本逻辑关系是：
l p是q的充分条件；q是p的必要条件。
l 复合命题“如果p则q”、“因为p所以q”、“只要p就 q”、“p仅当q”、“只有q才p”、“除非q才p”、“除非q 否则非p”等均可符号化为p→q。
n¬p→q：只要不下雨，我就骑自行车上班。 nq→¬p：只有不下雨，我才骑自行车上班。 l 当p为假时，p→q为真，即“善意的推定”
l 如何达到只能挑一个房间的要求呢？可以使用 多个联结词，符号化为(t∧¬u)∨(¬t∧u)
n 此命题为真当且仅当t，u中一个为真，一个为 假，准确地表达了3)的要求。当t真u假时，张 得到202房间，t假u真时，张得到203房间， 其它情况下，她得不到任何房间。
l 相斥或可由相容或表示。问：相容或能否由相 斥或表示呢？
l 通常采用符号p,q,r… pi,qi,ri…等小写字母形式 来表示某个命题。
l 例：p：地球是圆的。 q：雪是黑色的。
Ø 复合命题：(compound statement)
l 由简单命题通过联结词来构成的新命题。 l 在命题逻辑中，主要研究的是复合命题。
Ø 一般的，简单命题中不应该含有联结词
命题常项(proposition constants)
注. 不能见到”和”、”与”就用合取词‛∧‛。
l 1).李文和李武是学生。 l 2).李文和李武是兄弟。
n1). p∧q n2). P
l 注. 2)中的“和”表示的是李文、李武之间的关
系，而不是两命题的联结。
3、析取词 (disjunction)
设p,q为两命题,复合命题”p或q”称作p与q的析取 式，记作p∨q。
l 数论(Number Theory)
原理部分:
应用部分:
l图(Graphs) l树(Trees)
l 数学推理(Reasoning) l 计数原理(Counting) l 关系(Relations)
l代数系统：
n布尔代数(Boolean Algbra) n 群（Group）
第1、2、3、4、7、8、9章
Ø 在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我 们怎么知道什么 ——毕达哥拉斯
数学家名言
Ø 数学是无穷的科学. ——赫尔曼外尔
Ø 数是一种离散的数量、线是一种连续的数量。 研究数及其属性的学科叫做算术 研究量及其属性的学科叫做几何 研究数和量的学科叫做数学 ——亚里士多得
Ø 本身已如此一目了然，以致于没有任何词汇能够 把他解说得更清楚的事物，绝不要试图给他下定 义，以免被所使用的含混不清的词汇所欺骗
l 令t:张挑选202房间，u:张挑选203房间。 则3)中“或”应为排斥或。
l t,u有4种取值：同真，同假，一真一假(两种情 况)。如果也符号化为t∨u，张就可能同时得到 两个房间，违背题意。
Ø 不相容性或(排斥或)：指p与q不可同时为真。
例. 3).张晓静只能挑选202或203房间之一。
l 令t:张挑选202房间，u:张挑选203房间。
三次数学危机
Ø 第一次数学危机
l 无理数的发现，引起了第一次数学危机。
Ø 第二次数学危机
l ……关键问题就是无穷小量究竞是不是零？无穷小及其 分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一 个半世纪的争论……
Ø 第三次数学危机
l ……这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现 悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分 支，并且实际上集合论已经成了数学的基础，因此集合 论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的 有效性的怀疑。
p
q
p «q
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
逻辑上”等值”
Ø 复合命题符号化的基本步骤：
l分析出各简单命题，将其符号化 l使用合适的联结词，“联结”各简单命题 注：符号化要按逻辑关系进行，而不能仅凭字面翻译。
Ø 联结词的优先级
l命题公式外层的括号可以省略； l联结词的优先级（由高到低）:
¬ 、∧、∨、→、«。 l规定：各个命题联结符的优先级别为
Ø大于Ù，Ù大于Ú，Ú大于®，®大于«
l利用加括号的方法可以提高优先级。 Ø 例：如 P∨Q∧R
110
练习.将下列命题符号化
1. 我今天进城，除非下雨。 2. 仅当你走，我将留下。 3. 如果你来了，那么他唱不唱歌将看你是否伴奏
而定。
例.选小王或小李中的一人当班长。
p:选小王一人当班长，q:选小李一人当班长。 符号化为 p∨q ???
离散数学的由来与发展
一、古老
Ø 历史:
l 计数: 自然数
Ø 发展:
l 图论: Konigsberg七桥问题 (1736,Euler)
二、年青 Ø 新生:
l 计算机: 二进制运算(0、1)
基础部分:
Discrete Math. 离散数学
l 逻辑(Logic) l 集合(Sets) l 算法(Algorithms)
离散数学
Ø 研究离散对象及其相互间关系的一门数学学科
Ø 研究离散结构的数学分支。 ——辞海
Ø 离散数学是数学的几个分支的总称，以研究离 散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研 究对象一般地是有限个或可数无穷个元素;因此 它充分描述了计算机科学离散性的特点。内容 包含：数理逻辑、集合论、代数结构、图论、 组合学、数论等。 ——维基百科-Wikipedia
Ø 称能判断真假的陈述句为命题
l propositions or statements
Ø 真值：真假的结果 Ø 命题：具有唯一真值的陈述句
Ø 注： l 1).”唯一的、确定的”指判断的结果唯一，不可以 有似是而非的情况发生。 l 2).真值仅有两种： n 即“结果为真(true)”和“结果为假(false)”
正确的符号化：
p:选小王当班长，q:选小李当班长。 (p∧¬q)∨(¬p∧q)
理发师的头由谁来理?
Ø 在一个小镇上, 有一个理发师公开宣布; 他给而且 只给小镇上所有不给自己理发的人理发, 现在要问: 这位理发师的头由谁来理?
l 如果理发师由别人给他理发, 即理发师自己不给自 己理发, 那么按规定这位理发师应该自己理发.
设p,q为两命题,复合命题”p并且q”(p和q)称作p与q 的合取式，记作p∧q
常见合取词：”和”、”与”、“且”、“既…又”、“不
是…而是”、 “虽然…但是”、“不但…而且”等
p∧q 为真 当且仅当 p、q同时为真.
真值表
p
q
p∧q
0
0
0
0
1
0
Leabharlann Baidu
1
0
0
例：
1
1
1
•p∧q：地球是圆的并且雪是黑色的。
•p∧¬q：地球是圆的并且雪不是黑色的。
数学家名言
Ø 数学中的一些美丽定理具有这样的特性: 它们极易从 事实中归纳出来, 但证明却隐藏的极深. 数学是科学之 王 ——高斯
Ø 在数学的领域中, 提出问题的艺术比解答问题的艺术 更为重要 ——康扥尔
Ø 只要一门科学分支能提出大量的问题, 它就充满着生 命力, 而问题缺乏则预示独立发展的终止或衰亡 ——希尔伯特
例. 判断下列语句是否是命题 判断一个句子是否为命题
1. 请你回答一个问题。 2. 明天会下雨吗？
(否。祈使句1)).是否为陈述句。 (否。疑问句2)).真值是否唯一。
3. 地球是圆的。
(是。真值为“真”)
4. 雪是黑色的。 5. 明年10月1日是晴天。
(是。真值为“假”) (是。真值唯一，但待定)
Ø 数学大概可以按连续数学和离散数学来分类。连 续数学以微积分思想为基础的连续分析为中心， 离散数学以发展代数学工具为中心。
Ø 代数学是一切数学的基础和工具。代数学以古典 的方程理论发展起来，形成现代数学的基础群 论、模形式理论、范畴论、代数结构等……
Ø 数论研究数的本质。数论研究自然数，可以说是 最自然的数学，某数学家说上帝创造了自然数， 其他的数才是人类发明的……