高考数学考点归纳之 双曲线

高考数学考点归纳之双曲线

一、基础知识

1．双曲线的定义

平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a?(2a＜|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线?.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．?当|PF1|－|PF2|＝2a(2a＜|F1F2|)时，点P的轨迹为靠近F2的双曲线的一支.

当|PF1|－|PF2|＝－2a(2a＜|F1F2|)时，点P的轨迹为靠近F1的双曲线的一支.

?若2a＝2c，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a＞2c，则轨迹不存在；若2a ＝0，则轨迹是线段F1F2的垂直平分线.

2.双曲线的标准方程

(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的

标准方程为x2

a2－y2

b2＝1(a＞0，b＞0)．

(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的

标准方程为y2

a2－x2

b2＝1(a＞0，b＞0)．3．双曲线的几何性质

二、常用结论

(1)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2

a

，也叫通径．

(2)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2

b 2＝t (t ≠0)．

(3)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .

(4)若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min

＝c －a .

考点一 双曲线的标准方程

[典例] (1)(2018·石家庄摸底)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是( )

A.7x 216－y 2

12＝1 B.y 23－x 2

2＝1 C ．x 2－

y 2

3

＝1 D.3y 223－x 2

23

＝1 (2)(2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于

x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )

A.x 24－y 2

12＝1 B.x 212－y 2

4＝1 C.x 23－y 2

9

＝1 D.x 29－y 2

3

＝1 [解析] (1)法一：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线的标准方程是x 2a 2－y 2

b

2＝1(a ＞0，

b ＞0)，由题意得???

4a 2－9

b 2

＝1，b

a ＝

3，

解得???

a ＝1，

b ＝3，

所以该双曲线的标准方程为x 2

－y 2

3＝1；当

双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的标准方程是y 2a 2－x 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得

??? 9a 2－4

b 2

＝1，a b ＝

3，

无解．故该双曲线的标准方程为x 2－

y 2

3

＝1，选C. 法二：当其中的一条渐近线方程y ＝3x 中的x ＝2时，y ＝23＞3，又点(2,3)在第一象限，所以双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线的标准方程是x 2a 2－y 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得

???

4a 2－9

b 2

＝1，b a ＝

3，

解得???

a ＝1，

b ＝3，

所以该双曲线的标准方程为x 2

－y 2

3＝1，故选C.

法三：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，即

y

3

＝±x ，所以可设双曲线的方程是x 2－y 23＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x 2

－y 2

3

＝1，故选C. (2)法一：如图，不妨设A 在B 的上方，则A ????c ，b 2

a ，B ????c ，－b

2

a . 又双曲线的一条渐近线为bx －ay ＝0， 则d 1＋d 2＝bc －

b 2＋b

c ＋b 2a 2＋b 2＝2bc

c ＝2b

＝6，所以b ＝3.

又由e ＝c

a ＝2，知a 2＋

b 2＝4a 2，所以a ＝ 3.

所以双曲线的方程为x 23－y 2

9

＝1.

法二：由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以c

a ＝2，所以a 2＋

b 2a 2＝4，所以a 2＋9a 2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 2

9

＝1，故选C.

[答案] (1)C (2)C [题组训练]

1．已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右

支上，若|PF 1|－|PF 2|＝4b ，且双曲线的焦距为25，则该双曲线的标准方程为( )

A.x 24－y 2

＝1 B.x 23－y 2

2＝1 C ．x 2－

y 2

4

＝1 D.x 22－y 2

3

＝1

解析：选A 由题意可得?????

|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝4b ，c 2＝a 2＋b 2

，

2c ＝25，

解得?

????

a 2＝4，

b 2＝1，则该双曲线的标准方程为x 24－y 2

＝1.

2．已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为4，离心率为 5，则双曲线的标准方

程为( )

A.x 24－y 2

16＝1 B ．x 2－

y 2

4＝1 C.x 22－y 2

3

＝1 D ．x 2－

y 2

6

＝1 解析：选A 因为双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为4，所以a ＝2，由离心率为

5，可得c a ＝5，c ＝25，所以b ＝c 2－a 2＝20－4＝4，则双曲线的标准方程为x 24－y 2

16＝

1.

3．经过点P (3,27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为____________． 解析：设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)， 因为所求双曲线经过点P (3,27)，Q (－62，7)，

所以?

????

9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得

???

m ＝－175

，

n ＝125.

故所求双曲线方程为y 225－x 2

75＝1.

答案：y 225－x 2

75＝1

考点二 双曲线定义的应用

考法(一) 利用双曲线的定义求双曲线方程

[典例] 已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )

A.x 22－y 2

14＝1(x ≥ 2) B.x 22－y 2

14＝1(x ≤－2) C.x 22＋y 2

14

＝1(x ≥ 2) D.x 22＋y 2

14

＝1(x ≤－2) [解析] 设动圆的半径为r ，由题意可得|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r －2，所以|MC 1|－|MC 2|

＝22＝2a ，故由双曲线的定义可知动点M 在以C 1(－4,0)，C 2(4,0)为焦点，实轴长为2a ＝22的双曲线的右支上，即a ＝2，c ＝4?b 2

＝16－2＝14，故动圆圆心M 的轨迹方程为x 2

2

－

y 2

14

＝1(x ≥ 2)． [答案] A

[解题技法]

利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．

考法(二) 焦点三角形问题

[典例] 已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

[解析] 由双曲线的方程得a ＝1，c ＝2， 由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2. 在△PF 1F 2中，由余弦定理得

|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°， 即(22)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2| ＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2| ＝22＋|PF 1|·|PF 2|， 解得|PF 1|·|PF 2|＝4. [答案] B [解题技法]

在双曲线中，有关焦点三角形的问题常用双曲线定义和解三角形的知识来解决，尤其是涉及|PF 1|，|PF 2|的问题，一般会用到双曲线定义．涉及焦点三角形的面积问题，若顶角θ已知，则用S △PF 1F 2＝1

2|PF 1||PF 2|sin θ，|||PF 1|－|PF 2|＝2a 及余弦定理等知识；若顶角θ未知，

则用S △PF 1F 2＝1

2

·2c ·|y 0|来解决．

[题组训练]

1．已知点F 1(－3,0)和F 2(3,0)，动点P 到F 1，F 2的距离之差为4，则点P 的轨迹方程为

( )

A.x 24－y 2

5＝1(y >0) B.x 24－y 2

5＝1(x >0) C.y 24－x 2

5

＝1(y >0) D.y 24－x 2

5

＝1(x >0) 解析：选B 由题设知点P 的轨迹方程是焦点在x 轴上的双曲线的右支，设其方程为x 2

a 2

－y 2b 2＝1(x >0，a >0，b >0)，由题设知c ＝3，a ＝2，b 2

＝9－4＝5，所以点P 的轨迹方程为x 2

4－y 2

5

＝1(x >0)． 2．已知双曲线

x 2－

y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝4

3

|PF 2|，则△F 1PF 2的面积为( )

A ．48

B ．24

C ．12

D ．6

解析：选B 由双曲线的定义可得 |PF 1|－|PF 2|＝1

3

|PF 2|＝2a ＝2，

解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10， 由勾股定理可知三角形PF 1F 2为直角三角形， 因此S △F 1PF 2＝1

2|PF 1|·|PF 2|＝24.

考点三 双曲线的几何性质

考法(一) 求双曲线的离心率(或范围)

[典例] (2018·长春二测)已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，

点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围是( )

A.????53，2

B.????1，5

3 C ．(1,2]

D.???

?5

3，＋∞ [解析] 由双曲线的定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝4|PF 2|，所以|PF 2|＝

2a

3

，由双曲线上的点到焦点的最短距离为c －a ，可得2a 3≥c －a ，解得c a ≤53， 即e ≤5

3，又双曲线的离心

率e ＞1，故该双曲线离心率的取值范围为???

?1，5

3，故选B. [答案] B [解题技法]

1．求双曲线的离心率或其范围的方法

(1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2

a

2直接求e .

(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．

2．求离心率的口诀归纳

离心率，不用愁，寻找等式消b 求； 几何图形寻迹踪，等式藏在图形中．

考法(二) 求双曲线的渐近线方程

[典例] (2019·武汉部分学校调研)已知双曲线C ：x 2m 2－y 2

n 2＝1(m ＞0，n ＞0)的离心率与椭

圆x 225＋y 2

16

＝1的离心率互为倒数，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A ．4x ±3y ＝0 B ．3x ±4y ＝0

C ．4x ±3y ＝0或3x ±4y ＝0

D ．4x ±5y ＝0或5x ±4y ＝0

[解析] 由题意知，椭圆中a ＝5，b ＝4，∴椭圆的离心率e ＝ 1－b 2a 2＝3

5

，∴双曲线的离心率为 1＋n 2m 2＝53，∴n m ＝43，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±n m x ＝±4

3

x ，即4x ±3y ＝0.故选A.

[答案] A

[解题技法] 求双曲线的渐近线方程的方法

求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)或y 2a 2－x 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程的方法是令右边

的常数等于0，即令x 2a 2－y 2b 2＝0，得y ＝±b a x ；或令y 2a 2－x 2b 2＝0，得y ＝±a

b x .反之，已知渐近线方

程为y ＝±b a x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2

b

2＝λ(a ＞0，b ＞0，λ≠0)．

[题组训练]

1．(2019·潍坊统一考试)已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点到渐近线的距离为3，

且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为( )

A ．1

B.3

C ．2

D ．23

解析：选C 由题意知双曲线的焦点(c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为bc

a 2＋

b 2

＝b ＝3，即c 2－a 2＝3，又e ＝c

a

＝2，所以a ＝1，该双曲线的实轴的长为2a ＝2.

2．已知直线l 是双曲线C ：x 22－y 2

4＝1的一条渐近线，P 是直线l 上一点，F 1，F 2是双

曲线C 的左、右焦点，若PF 1―→·PF 2―→

＝0，则点P 到x 轴的距离为( )

A.233

B.2 C ．2

D.263

解析：选C 由题意知，双曲线的左、右焦点分别为F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设直线l 的方程为y ＝2x ，设P (x 0，2x 0)．由PF 1―→·PF 2―→

＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故点P 到x 轴的距离为|2x 0|＝2，故选C.

3．(2019·成都一诊)如图，已知双曲线E ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，

长方形ABCD 的顶点A ，B 分别为双曲线E 的左、右焦点，且点C ，D 在双曲线E 上，若|AB |＝6，|BC |＝5

2

，则双曲线E 的离心率为( )

A. 2

B.32

C.52

D.5

解析：选B 根据|AB |＝6可知c ＝3，又|BC |＝52，所以b 2a ＝52，b 2＝52a ，所以c 2＝a 2＋5

2a

＝9，解得a ＝2(舍负)，所以e ＝c a ＝3

2

.

4．(2018·郴州二模)已知双曲线y 2m －x 2

9＝1(m ＞0)的一个焦点在直线x ＋y ＝5上，则双曲

线的渐近线方程为( )

A ．y ＝±3

4x

B ．y ＝±4

3x

C ．y ＝±22

3

x

D ．y ＝±32

4

x

解析：选B 由双曲线y 2m －x 2

9＝1(m ＞0)的焦点在y 轴上，且在直线x ＋y ＝5上，直线x

＋y ＝5与y 轴的交点为(0,5)，

有c ＝5，则m ＋9＝25，得m ＝16，

所以双曲线的方程为y 216－x 2

9＝1，

故双曲线的渐近线方程为y ＝±4

3

x .故选B.

[课时跟踪检测]

A 级

1．(2019·襄阳联考)直线l ：4x －5y ＝20经过双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦

点和虚轴的一个端点，则双曲线C 的离心率为( )

A.5

3 B.35 C.54

D.45

解析：选A 由题意知直线l 与两坐标轴分别交于点(5,0)，(0，－4)，从而c ＝5，b ＝4，∴a ＝3，双曲线C 的离心率e ＝c a ＝53

.

2．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－

y 2

9

＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且|PF 1|＝6，则|PF 2|＝( )

A ．6

B ．4

C ．8

D ．4或8

解析：选D 由双曲线的标准方程可得a ＝1，则||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2，即|6－|PF 2||＝2，解得|PF 2|＝4或8.

3．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4,0)到C

的渐近线的距离为( )

A. 2 B ．2 C.322

D ．22

解析：选D ∵e ＝c

a

＝

1＋b 2a 2＝2，∴b a

＝1. ∴双曲线的渐近线方程为x ±y ＝0. ∴点(4,0)到C 的渐近线的距离d ＝

4

2

＝2 2. 4．若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 2

9＝1的( )

A ．离心率相等

B ．虚半轴长相等

C ．实半轴长相等

D ．焦距相等

解析：选D 由0

5．(2018·陕西部分学校摸底)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1，过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行直线，则该直线与另一条渐近线及x 轴所围成的三角形的面积为( )

A.2

4 B.22 C.28

D.216

解析：选C 设双曲线C 1的左顶点为A ，则A ?

??

?

－

22，0，

双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，不妨设题中过点A 的直线与渐近线y ＝2x 平行，则该直线的方程为y ＝2?

??

?

x ＋

22，即y ＝2x ＋1.联立??

?

y ＝－2x ，

y ＝2x ＋1，

解得???

x ＝－24，y ＝1

2.

所以该直线与另一条渐近线及x 轴所围

成的三角形的面积S ＝12·|OA |·12＝12×22×12＝2

8

，故选C.

6．(2019·辽宁五校协作体模考)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a

＞0，b ＞0)的离心率为5，从双曲线C 的右焦点F 引渐近线的垂线，垂足为A ，若△AFO 的面积为1，则双曲线C 的方程为( )

A.x 22－y 2

8＝1 B.x 24－y 2

＝1 C.x 24－y 2

16

＝1 D ．x 2－

y 2

4

＝1 解析：选D 因为双曲线C 的右焦点F 到渐近线的距离|F A |＝b ，|OA |＝a ，所以ab ＝2，又双曲线C 的离心率为5，所以 1＋b 2

a

2＝5，即b 2＝4a 2，解得a 2＝1，b 2＝4，所以双曲线C 的方程为

x 2－

y 2

4

＝1，故选D. 7．(2018·北京高考)若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a >0)的离心率为5

2，则a ＝________.

解析：由e ＝c

a ＝

a 2＋

b 2a 2，得a 2＋4a 2＝5

4

， ∴a 2＝16. ∵a >0，∴a ＝4.

答案：4 8．过双曲线

x 2－

y 2

3

＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝________.

解析：双曲线的右焦点为F (2,0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为x 2

－

y 2

3

＝0，将x ＝2代入

x 2－

y 2

3

＝0，得y 2＝12，y ＝±23，故|AB |＝4 3. 答案：43

9．(2018·海淀期末)双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，

OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.

解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b

a x ，由已知可得两条渐近线互相垂直，由

双曲线的对称性可得b

a ＝1.又正方形OABC 的边长为2，所以c ＝22，所以a 2＋

b 2＝

c 2＝(22)2，

解得a ＝2.

答案：2

10．(2018·南昌摸底调研)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过点F

作圆(x －a )2＋y 2＝c 2

16

的切线，若该切线恰好与C 的一条渐近线垂直，则双曲线C 的离心率为________．

解析：不妨取与切线垂直的渐近线方程为y ＝b a x ，由题意可知该切线方程为y ＝－a

b (x －

c )，即

ax ＋by －ac ＝0.圆(x －a )2＋y 2＝

c 216的圆心为(a,0)，半径为c

4

，则圆心到切线的距离d ＝|a 2－ac |

a 2＋

b 2＝a

c －a 2c ＝c 4，又e ＝c a ，则e 2－4e ＋4＝0，解得e ＝2，所以双曲线C 的离心率e ＝2. 答案：2

11．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，

－10)，点M (3，m )在双曲线上．

(1)求双曲线的方程； (2)求证：MF 1―→·MF 2―→

＝0； (3)求△F 1MF 2的面积． 解：(1)∵e ＝2，

∴双曲线的实轴、虚轴相等． 则可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ.

∵双曲线过点(4，－10)， ∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 26－y 2

6

＝1.

(2)证明：不妨设F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点， 则MF 1―→＝(－23－3，－m )，MF 2―→

＝(23－3，－m )． ∴MF 1―→·MF 2―→

＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵M 点在双曲线上， ∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1―→·MF 2―→＝0.

(3)△F 1MF 2的底边长|F 1F 2|＝4 3. 由(2)知m ＝± 3.

∴△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3， ∴S △F 1MF 2＝1

2

×43×3＝6.

12．中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.

(1)求椭圆和双曲线的方程；

(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．

解：(1)由题知c ＝13，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线方程为x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，

n >0)，

则????

?

a －m ＝4，7·13a

＝3·13

m ， 解得a ＝7，m ＝3.则b ＝6，n ＝2.

故椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 2

4

＝1.

(2)不妨设F 1，F 2分别为椭圆与双曲线的左、右焦点，P 是第一象限的交点， 则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6， 所以|PF 1|＝10，|PF 2|＝4. 又|F 1F 2|＝213，

所以cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝102＋42－(213)22×10×4＝4

5.

B 级

1．已知圆(x －1)2＋y 2＝

34的一条切线y ＝kx 与双曲线C ：x 2a 2－y 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )

A ．(1，3)

B ．(1,2)

C ．(3，＋∞)

D ．(2，＋∞)

解析：选D 由题意，知圆心(1,0)到直线kx －y ＝0的距离d ＝|k |k 2＋1＝3

2

，∴k ＝±3， 由题意知b a ＞3，∴1＋b 2

a 2＞4，即a 2＋

b 2a 2＝

c 2a

2＞4，∴e ＞2.

2．(2019·吉林百校联盟联考)如图，双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分

别为F 1，F 2，直线l 过点F 1且与双曲线C 的一条渐近线垂直，与两条渐近线分别交于M ，N 两点，若|NF 1|＝2|MF 1|，则双曲线C 的渐近线方程为( )

A ．y ＝±33x

B ．y ＝±3x

C ．y ＝±

22

x D ．y ＝±2x

解析：选B ∵|NF 1|＝2|MF 1|，∴M 为NF 1的中点， 又OM ⊥F 1N ，∴∠F 1OM ＝∠NOM ， 又∠F 1OM ＝∠F 2ON ，∴∠F 2ON ＝60°， ∴双曲线C 的渐近线的斜率k ＝±tan 60°＝±3， 即双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x .故选B.

3．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b

2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，

焦点到渐近线的距离为 3.

(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝

3

3

x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM ―→＋ON ―→＝t OD ―→

，求t 的值及点D 的坐标．

解：(1)由题意知a ＝23，

∵一条渐近线为y ＝b

a x ，∴bx －ay ＝0.

由焦点到渐近线的距离为3，得

|bc |

b 2＋a 2

＝ 3. 又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 2

3

＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.

将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 212－y 2

3＝1得

x 2－163x ＋84＝0， 则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝3

3(x 1＋x 2

)－4＝12. ∴???

x 0y 0＝43

3，x 20

12－y

20

3＝1.

解得???

x 0＝43，y 0＝3.

∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．