浙江省数学高一下期末试卷
2015 ~ 2016学年第二学期浙江省联盟考试
高一数学试题卷
7.
定义式子运算为12
142334a a a a a a a a =-将函数sin 3()cos 1x
f x x =
的图像向左平移 (0)n n >个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则n 的最小值为
A.
6
π
B.
3
π
C.
56
π D.
23
π 8.
定义函数sin ,sin co co s ()s cos ,sin x x x
x f x x x ≥⎧=<⎨
⎩
，给出下列四个命题：
（1）该函数的值域为[-1，1]； （2）当且仅当22
x k π
π=+
（k ∈Z ）时，该函数取得最大值；
（3）该函数是以π为最小正周期的周期函数； （4）当且仅当2k ππ+＜x ＜232
k π
π+（k ∈Z ）时，()f x ＜0． 上述命题中正确的个数是 A. 1个 B. 2个
C. 3个
D.4个
9.
东方明珠广播电视塔是上海的标志性文化景观之一，是上海最为著名的地标性建筑。
要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄埔江西岸选择A 、B 两观测点，在A 、B 两点测得塔顶的仰角分别为45︒，30︒，在水平面上测得电视塔底与A 地连线及A 、B 两地连线所成的角为
120︒，A 、B 两地相距500 m ，则电视塔的高度是
（第9题图） A. 100 m B. 400 m
C. 200 m
D. 500 m
10.
在数列{}n a 中，若对任意的N n +
∈，都有
21
1n n n n
a a t a a +++-=（t 为常数），则称数列{}n a 为比等差数列，t 称为比公差。
现给出以下命题：
①等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；
②若数列{}n a 满足122n n a n -=，则数列{}n a 是比等差数列，且比公差1
2
t =；
③若数列{}n c 满足11c =，21c =，()123n n n c c c n --=+≥，则该数列不是比等差数列；
④若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b 是比等差数列． 其中所有真命题的序号是 A. ①②
B. ②③
C. ③④
D. ①③
12
33
OC OA OB =
+. AC
BA
的值；),cos x ，x ∈⎤
⎥⎦
，且函数223OA OC m AB ⎛
⎫⋅+-⋅ ⎪⎝
⎭的最小值为1210分）已知：函数()(sin f x A =的最小正周期是π，且当6
x π
=
时()f x 取得最大值
2015 ~ 2016学年第二学期浙江省联盟考试
高一数学 答题卷
学校_______________班级_________________ 姓名_______________ 学号_________________
………………………………密……………………………………封…………………………………线………………………………………
2015 ~ 2016学年第二学期浙江省联盟考试
高一数学 参考答案和评分标准
（本大题有4小题，共40分，请将答案写在答题卷上））∵1233OC OA OB =
+，∴13
BC BA = 又因为,BC BA 有公共点B ,∴A ,B ,C 三点共线∵2AC CB =，∴2
3
AC BA
=
（（2）∵()1,cos A x ，()1cos ,cos B x x +
∴()()12112
1,cos 1cos ,cos 1cos ,cos 33333OC OA OB x x x x x ⎛⎫
=+=++=+ ⎪⎝⎭
∴22
1cos cos 3
OA OC x x ⋅=+
+cos AB x = ∴()2
22cos 2cos 13f x OA OC m AB x m x ⎛⎫=⋅+-
⋅=++ ⎪⎝
⎭
（6分） 设cos x t =，[]0,1t ∈∴()2
2
2
211y t mt t m m =++=++-（7分）
当0m -<即0m >时,当0t =有min 1
12
y =≠
（8分）
当01m ≤-≤即10m -≤≤时,当t m =-有2
min 1y m =-==（9分）
当1m ->即1m <时,当t =1有min 1222y m =+=，∴3
4
m =-（舍去）（10分）
综上得m =. 22. 解:（1）由已知条件知道： 23,
A π
πω==∴2ω=∴ 3sin 2366f ππα⎛⎫⎛⎫
=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∴()2
26
2
k k Z π
π
απ+=+
∈又2
2
π
π
α-
<<
∴ 6
π
α=
∴()3sin 26f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
（2分） 由 ()2222
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈可得()3
6
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈
∴()f x 的单调增区间是 (),3
6k k k Z π
πππ⎡
⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
（3分）
（2）()003sin 26f x x π⎛
⎫
=+= ⎪⎝
⎭01262x π⎛⎫+= ⎪⎝
⎭
∴ 0226x k ππ+
=+
k π+
0x k π=或()3
k k Z π
π+∈（4分）
又[)00,2x π∈∴00,,3x ππ=（3）由条件可得：()()3sin 23sin 2266g x x m x m ππ⎛
⎫
⎛
⎫=-+
=-+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭（7分） ()g x 是偶函数，图象关于y 轴对称， ()()3sin 23sin 2266g x x m x m ππ⎛⎫⎛
⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
∴x =0时，()g x 取最大或最小值（8分） 即 3sin 236m π⎛
⎫
-+= ⎪⎝
⎭
， ∴()2m k k Z π
π
π-+
=+
∈()26
k m k Z ππ
=-
-∈（9分）
又m >
高一数学·参考答案和评分标准 第3页（共3页） 23. 解:（1）由123n n a S +=+,得()1232n n a S n -=+≥ 相减得()112n n n n a a S S +--=-,即12n n n a a a +-=
3=（2分） ∵当1n =时,2123
a a =+=3= ∴数列{}n a 是等比数列, ∴1333n n n a -=⋅=（4分）
（2）∵12315b b b ++=,1322b b b +=,∴25b =
根据题意2321213333a a a b b b ⎛
⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝321,3,933a a ===（5分） 设1235,5,5b d b b d =-==+,∴()()645159d d =-+++,（7分） ∴28200d d +-=,得2d =或10d =-（舍去）（8分） 故()()211132222
n n n n n T nb d n n n --=+=+⋅=+（10分） 24. 解：（1）由27126a a a ++=-得72a =-，所以14a =（1分） ∴5n a n =-， 从而 (9)2
n n n S -=（3分） （2）由题意知1234,2,1b b b ===（4分） 设等比数列{}n b 的公比为q ，则2112b q b ==，∴141()1281()1212
m m m T ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎣⎦==-⎢⎥⎣⎦- 1()2m 随m 递减，∴{}m T 为递增数列，得48m T ≤<（6分） 又22(9)11981(9)()22224n n n S n n n -⎡⎤==--=---⎢⎥⎣⎦， 故max 45()10n S S S ===，（8分）
若存在*
N m ∈, 使对任意n N *∈总有n m S T λ<+ 则108λ≤+，得2λ≥（10分）。
高中数学：2022-2023学年浙江省杭州市高一(下)期末数学试卷(含参考答案)
2022-2023学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩B＝（）A．{1}B．{1，2}C．{1，2，3}D．{1，2，3，4}2．（5分）若z•i＝2+3i（i是虚数单位），则|z|＝（）A．2B．3C．√13D．3√23．（5分）军事上角的度量常用密位制，密位制的单位是“密位”1密位就是圆周的16000所对的圆心角的大小，．若角α＝1000密位，则α＝（）A．π6B．π4C．π3D．5π124．（5分）已知平面α⊥平面β，直线l⊄α，则“l⊥β”是“l∥α”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）杭州亚运会火炬如图（1）所示，小红在数学建模活动时将其抽象为图（2）所示的几何体．假设火炬装满燃料，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为h，则h关于时间t的函数的大致图象可能是（）A．B．C．D．6．（5分）雷峰塔位于杭州市西湖景区，主体为平面八角形体仿唐宋楼阁式塔，总占地面积3133平方米，项目学习小组为了测量雷峰塔的高度，如图选取了与底部水平的直线BC，测得∠ABC、∠ADC的度数分别为α、β，以及D、B两点间的距离d，则塔高AC＝（）A．dsinαsinβsin(β−α)B．dsinαsinβcos(β−α)C．dtanαtanβtan(β−α)D．dsinαcosβsin(β−α)7．（5分）已知函数f(x)=ex+π，g(x)=(πe)x（e为自然对数的底数），则（）A．∀x∈（0，+∞），f（x）＞g（x）B．∃x0∈(eπ，eπ)，当x＝x0时，f（x）＝g（x）C．∀x∈(eπ，eπ)，f(x)＜g(x)D．∃x0∈(e2π，+∞)，当x＞x0时，f（x）＜g（x）8．（5分）设函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，f(−π8)=0，|f(3π8)|=1，且f（x）在区间(−π12，π24)上单调，则ω的最大值为（）A．1B．3C．5D．7二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）（多选）9．（5分）已知函数f(x)=2x−12x+1，则（）A．函数f（x）的图象关于原点对称B ．函数f （x ）的图象关于y 轴对称C ．函数f （x ）的值域为（﹣1，1）D ．函数f （x ）是减函数（多选）10．（5分）如图，O 是正六边形ABCDEF 的中心，则（ ）A ．AB →−AF →=AO →B ．AC →+AE →=3AD →C ．OA →⋅OC →=OB →⋅OD →D ．AD →在AB →上的投影向量为AB →（多选）11．（5分）如图，质点A 和B 在单位圆O 上逆时针做匀速圆周运动．若A 和B 同时出发，A 的角速度为1rad /s ，起点位置坐标为(12，√32)，B 的角速度为2rad /s ，起点位置坐标为（1，0），则（ ）A ．在1s 末，点B 的坐标为（sin2，cos2）B ．在1s 末，扇形AOB 的弧长为π3−1C ．在7π3s 末，点A ，B 在单位圆上第二次重合D ．△AOB 面积的最大值为12（多选）12．（5分）圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球．如图，圆锥PO 的内切球和外接球的球心重合，且圆锥PO 的底面直径为2a ，则（ ）A ．设内切球的半径为r 1，外接球的半径为r 2，则r 2＝2r 1B ．设内切球的表面积S 1，外接球的表面积为S 2，则S 1＝4S 2C ．设圆锥的体积为V 1，内切球的体积为V 2，则V 1V 2=94D ．设S ，T 是圆锥底面圆上的两点，且ST ＝a ，则平面PST 截内切球所得截面的面积为πa 215二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）设函数f(x)={x 12，x ＞0(12)x ，x ＜0，若f(a)=12，则a ＝ ．14．（5分）将曲线y ＝sin x 上所有点向左平移φ（φ＞0）个单位，得到函数y ＝﹣sin x 的图象，则φ的最小值为 ．15．（5分）已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的各条棱长都是2，则直线CB 1与平面AA 1B 1B 所成角的正切值为 ；直线CB 1与直线A 1B 所成角的余弦值为 ． 16．（5分）对于函数y ＝f （x ）（x ∈I ），若存在x 0∈I ，使得f （x 0）＝x 0，则称x 0为函数y ＝f （x ）的“不动点”．若存在x 0∈I ，使得f （f （x 0））＝x 0，则称x 0为函数y ＝f （x ）的“稳定点”．记函数y ＝f （x ）的“不动点”和“稳定点”的集合分别为A 和B ，即A ＝{x |f （x ）＝x }，B ＝{x |f （f （x ））＝x }．经研究发现：若函数f （x ）为增函数，则A ＝B ．设函数f(x)=√x −a(a ∈R)，若存在b ∈[0，1]使f （f （b ））＝b 成立，则a 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在平面直角坐标系中，已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P(35，−45)．（1）求sin α的值；（2）若角β满足sin(α+β)=√32，求cos β的值．18．（12分）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量Pmg /L 与时间th 间的关系为P =P 0e −kt （其中P 0，k 是正常数）．已知在前5个小时消除了10%的污染物． （1）求k 的值（精称到0.01）；（2）求污染物减少50%需要花的时间（精确到0.1h ）． 参考数据：ln 2＝0.693，ln 3＝1.099，ln 5＝1.609．19．（12分）我们把由平面内夹角成60°的两条数轴Ox ，Oy 构成的坐标系，称为“@未来坐标系”．如图所示，e →1，e →2两分别为Ox ，Oy 正方向上的单位向量．若向是OP →=xe →1+ye →2，则把实数对（x ，y ）叫做向量OP →的“@未来坐标”，记OP →={x ，y}．已知{x 1，y 1}，{x 2，y 2}分别为向是a →，b →的@未来坐标． （1）证明：{x 1，y 1}+{x 2，y 2}＝{x 1+x 2，y 1+y 2}．（2）若向量a →，b →的“@未来坐标”分别为{1，2}，{2，1}，求向量a →，b →的夹角的余弦值．20．（12分）在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD •sin ∠ADC ＝2CD •sin ∠ABC ． （1）求证：BC ＝2CD ．（2）若AB ＝3CD ＝3，且AD •sin ∠ADB ＝AB •sin60°，求四边形ABCD 的面积．21．（12分）生活中为了美观起见，售货员用彩绳对长方体礼品盆进行捆扎．有以下两种捆扎方案：方案（1）为十字捆扎（如图（1）），方案（2）为对角捆扎（如图（2））．设礼品盒的长AB ，宽BC ，高AA 1分别为30cm ，20cm ，10cm ．（1）在方案（2）中，若LA 1＝A 1E ＝IC 1＝C 1H ＝FB ＝BG ＝10cm ，设平面LEF 与平面GHI 的交线为l ，求证：l ∥平面ABCD ；（2）不考虑花结用绳，对于以上两种捆扎方式，你认为哪一种方式所用彩绳最少，最短绳长为多少cm？22．（12分）已知函数f(x)=x+1x(x＞0)，g(x)=x(x＞0)．（1）直接写出|f（x）﹣g（x）|＜|g（x）﹣f（x）+1|的解集；（2）若f（x1）＝f（x2）＝g（x3），其中x1＜x2，求f（x1+x2）+g（x3）的取值范围；（3）已知x为正整数，求h（x）＝（m+1）x2﹣2（m2+1）x（m∈N*）的最小值（用m表示）．附：参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩B＝（）A．{1}B．{1，2}C．{1，2，3}D．{1，2，3，4}【解答】解：集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x[x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}，A∩B＝{1，2，3}．故选：C．2．（5分）若z•i＝2+3i（i是虚数单位），则|z|＝（）A．2B．3C．√13D．3√2【解答】解：因为z=2+3ii=(2+3i)(−i)i(−i)=3−2i，所以|z|=√32+(−2)2=√13．故选：C．3．（5分）军事上角的度量常用密位制，密位制的单位是“密位”1密位就是圆周的16000所对的圆心角的大小，．若角α＝1000密位，则α＝（）A．π6B．π4C．π3D．5π12【解答】解：因为1密位等于圆周角的1 6000，所以角α＝1000密位时，α=10006000×2π=π3．故选：C．4．（5分）已知平面α⊥平面β，直线l⊄α，则“l⊥β”是“l∥α”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：设α∩β＝m，在平面α内作a⊥m，因为平面α⊥平面β，所以a⊥β，因为l⊥β，所以a∥l，因为l⊄α，a⊂α，所以l∥α，而当平面α⊥平面β，直线l⊄α，l∥α时，l与平面β可能垂直，可能平行，可能相交不垂直，所以“l⊥β”是“l∥α”的充分而不必要条件．故选：A．5．（5分）杭州亚运会火炬如图（1）所示，小红在数学建模活动时将其抽象为图（2）所示的几何体．假设火炬装满燃料，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为h，则h关于时间t的函数的大致图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由图可知，该火炬中间细，上下粗，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，燃料在燃烧时，燃料的高度一直在下降，刚开始时下降的速度越来越快，燃料液面到达火炬最细处后，燃料的高度下降得越来越慢，结合所得的函数图象，A选项较为合适．故选：A．6．（5分）雷峰塔位于杭州市西湖景区，主体为平面八角形体仿唐宋楼阁式塔，总占地面积3133平方米，项目学习小组为了测量雷峰塔的高度，如图选取了与底部水平的直线BC，测得∠ABC、∠ADC的度数分别为α、β，以及D、B两点间的距离d，则塔高AC＝（）A．dsinαsinβsin(β−α)B．dsinαsinβcos(β−α)C．dtanαtanβtan(β−α)D．dsinαcosβsin(β−α)【解答】解：在△ABD中，∠BAD＝∠ADC﹣∠ABC＝β﹣α，由正弦定理可得BDsin∠BAD=ADsin∠ABC，即dsin(β−α)=ADsinα，得AD=dsinαsin(β−α)，由题意可知，AC⊥BC，所以AC=ADsin∠ADC=dsinαsinβsin(β−α)．故选：A．7．（5分）已知函数f(x)=ex+π，g(x)=(πe)x（e为自然对数的底数），则（）A．∀x∈（0，+∞），f（x）＞g（x）B．∃x0∈(eπ，eπ)，当x＝x0时，f（x）＝g（x）C．∀x∈(eπ，eπ)，f(x)＜g(x)D．∃x0∈(e2π，+∞)，当x＞x0时，f（x）＜g（x）【解答】解：由指数函数的增长速度最快可知，当x＞x0时，f（x）＜g（x）恒成立，故A错误；画出两个函数图象：f（eπ）＝e2π+π＞25，g（eπ）＝（πe）eπ＜（√2）9＜25，所以f（x）＝g（x）的零点x0＞eπ，故BC错误；由指数函数的增长速度最快可知，当x＞x0时，f（x）＜g（x）恒成立，故D正确．故选：D．8．（5分）设函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，f(−π8)=0，|f(3π8)|=1，且f（x）在区间(−π12，π24)上单调，则ω的最大值为（）A．1B．3C．5D．7【解答】解：由f(−π8)=0，得−π8ω+φ=k1π(k1∈Z)，由|f(3π8)|=1，得3π8ω+φ=k2π+π2(k2∈Z)，两式作差，得ω＝2（k2﹣k1）+1（k1，k2∈Z），因为f（x）在区间(−π12，π24)上单调，所以π24+π12≤12⋅2πω，得ω≤8．当ω＝7时，−7π8+φ=k1π(k1∈Z)，因为|φ|＜π2，所以φ=−π8，所以f(x)=sin(7x−π8 )．x∈(−π12，π24)，7x−π8∈(−1724π，π6)，因为−1724π＜−π2，所以f（x）在区间(−π12，π24)上不单调，不符合题意；当ω＝5时，−5π8+φ=k1π(k1∈Z)，因为|φ|＜π2，所以φ=−3π8，所以f(x)=sin(5x−3π8)．x∈(−π12，π24)，5x−3π8∈(−1924π，−π6)，因为−1924π＜−π2，所以f（x）在区间(−π12，π24)上不单调，不符合题意；当ω＝3时，−3π8+φ=k1π(k1∈Z)，因为|φ|＜π2，所以φ=3π8，所以f(x)=sin(3x+3π8)．x∈(−π12，π24)，3x+3π8∈(π8，π2)，所以f（x）在区间(−π12，π24)上单调，符合题意，所以ω的最大值是3．故选：B．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）（多选）9．（5分）已知函数f(x)=2x−12x+1，则（）A．函数f（x）的图象关于原点对称B．函数f（x）的图象关于y轴对称C．函数f（x）的值域为（﹣1，1）D．函数f（x）是减函数【解答】解：f（x）的定义域为R，f(x)=2x−1 2x+1，则f(−x)=2−x−12−x+1=−2x−12x+1=−f(x)，所以f（x）为奇函数，f（x）的图象关于原点对称，A正确，B错误；f(x)=2x−12x+1=1−22x+1，因为2x+1＞1，所以0＜12x+1＜1，0＜22x+1＜2，所以−1＜1−22x+1＜1，故f（x）的值域为（﹣1，1），C正确；设x2＞x1，则f(x2)−f(x1)=(1−22x2+1)−(1−22x1+1)22x1+1−22x2+1=2(2x2−2x1)(2x1+1)(2x2+1)，因为x2＞x1，所以2x2−2x1＞0，2x1+1＞0，2x2+1＞0，所以f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），所以函数f（x）是增函数，故D错误，故选：AC．（多选）10．（5分）如图，O是正六边形ABCDEF的中心，则（）A ．AB →−AF →=AO →B ．AC →+AE →=3AD →C ．OA →⋅OC →=OB →⋅OD →D ．AD →在AB →上的投影向量为AB →【解答】解：对于A 中，由AB →−AF →=FB →≠AO →，所以A 不正确；对于B 中，由AC →+AE →=AO →+OC →+AO →+OE →=2AO →+OC →+OE →=2AO →+OD →=3AO →，所以B 不正确；对于C 中，设正六边形的边长为a ，可得OA →⋅OC →=1×1×cos120°=−12，OB →⋅OD →=1×1×cos120°=−12，所以OA →⋅OC →=OB →⋅OD →，所以C 正确； 对于D 中，如图所示，连接BD ，可得BD ⊥AB ，可得|AD →|cos∠DAB =|AB →|，所以AD →在向量AB →上的投影向量为|AB →|⋅AB →|AB →|=AB →，所以D 正确．故选：CD ．（多选）11．（5分）如图，质点A 和B 在单位圆O 上逆时针做匀速圆周运动．若A 和B 同时出发，A 的角速度为1rad /s ，起点位置坐标为(12，√32)，B 的角速度为2rad /s ，起点位置坐标为（1，0），则（ ）A ．在1s 末，点B 的坐标为（sin2，cos2）B ．在1s 末，扇形AOB 的弧长为π3−1C ．在7π3s 末，点A ，B 在单位圆上第二次重合D ．△AOB 面积的最大值为12【解答】解：在1s 末，点B 的坐标为（cos2，sin2），故A 错误；点A 的坐标为(cos(π3+1)，sin(π3+1))；∠AOB =π3−1，扇形AOB 的弧长为π3−1，故B 正确；设在ts 末，点A ，B 在单位圆上第二次重合， 则2t −t =t =2π+π3=7π3，故在7π3s 末，点A ，B 在单位圆上第二次重合，故C 正确； S △AOB =12sin∠AOB ，经过5π6s 后，可得∠AOB =π2，△AOB 面积的可取得最大值12，故D 正确．故选：BCD ．（多选）12．（5分）圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球．如图，圆锥PO 的内切球和外接球的球心重合，且圆锥PO 的底面直径为2a ，则（ ）A ．设内切球的半径为r 1，外接球的半径为r 2，则r 2＝2r 1B ．设内切球的表面积S 1，外接球的表面积为S 2，则S 1＝4S 2C ．设圆锥的体积为V 1，内切球的体积为V 2，则V 1V 2=94D ．设S ，T 是圆锥底面圆上的两点，且ST ＝a ，则平面PST 截内切球所得截面的面积为πa 215【解答】解：作出圆锥的轴截面如下：因为圆锥PO 的内切球和外接球的球心重合，所以△P AB 为等边三角形， 又PB ＝2a ，所以OP =√PB 2−OB 2=√3a ，设球心为G （即为△P AB 的重心），所以PG =23PO =2√33a ，OG =13PO =√33a ，即内切球的半径为r 1=OG =√33a ，外接球的半径为r 2=PG =2√33a ， 所以r 2＝2r 1，故A 正确；设内切球的表面积S 1，外接球的表面积为S 2，则S 2＝4S 1，故B 错误；设圆锥的体积为V 1，则V 1=13πa 2×√3a =√33πa 3，内切球的体积V 2，则V 2=43π（√33a ）3=4√327πa 3，所以V 1V 2=94，故C 正确；设S 、T 是圆锥底面圆上的两点，且ST ＝a ，则ST 所对的圆心角为π3（在圆O 上），设ST 的中点为D ，则OD ＝a sin π3=√32a ，不妨设D 为OB 上的点，连接PD ，则PD =√PO 2+OD 2=√15a2，过点G 作GE ⊥PD 交PD 于点E ，则△PEG ∽△POD ，所以GE OD=PGPD ，即√32a=2√33a √152a ，解得GE =2√1515a ， 所以平面PST 截内切球截面圆的半径r =√r 12−GE 2=√115a 2， 所以截面圆的面积为πr 2=πa 215，故D 正确．故选：ACD ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）设函数f(x)={x 12，x ＞0(12)x ，x ＜0，若f(a)=12，则a ＝ 14 ．【解答】解：当a ＞0时，a 12=12，∴a =14，当a ＜0时，(12)a =12，∴a ＝1（舍）．∴a =14．故答案为：14．14．（5分）将曲线y ＝sin x 上所有点向左平移φ（φ＞0）个单位，得到函数y ＝﹣sin x 的图象，则φ的最小值为 π ．【解答】解：将曲线y ＝sin x 上所有点向左平移φ（φ＞0）个单位，可得y ＝sin （x +φ）， 因为y ＝sin （x +φ）与y ＝﹣sin x 的图象相同， 所以φ＝π+2k π，k ∈Z ，因为φ＞0，所以φ的最小值为π． 故答案为：π．15．（5分）已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的各条棱长都是2，则直线CB 1与平面AA 1B 1B 所成角的正切值为 √155 ；直线CB 1与直线A 1B 所成角的余弦值为 14． 【解答】解：空1：取AB 的中点D ，连接CD ，B 1D ， 因为△ABC 为等边三角形，所以CD ⊥AB ， 因为BB 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以BB 1⊥CD ，因为BB 1∩AB ＝B ，BB 1，AB ⊂平面AA 1B 1B ， 所以CD ⊥平面AA 1B 1B ，所以∠CB 1D 为直线CB 1与平面AA 1B 1B 所成角， 因为正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的各条棱长都是2， 所以CD =√32×2=√3，DB 1=√22+12=√5，所以tan ∠CB 1D =CDDB 1=√35=√155， 所以直线CB 1与平面AA 1B 1B 所成角的正切值为√155，空2：分别取BC ，BB 1，A 1B 1的中点E ，F ，G ，连接EF ，FG ，EG ， 则EF ∥B 1C ，EF =12B 1C =12×2√2=√2，FG ∥A 1B ，FG =12A 1B =12×2√2=√2，所以∠EFG （或其补角）为直线CB 1与直线A 1B 所成角， 连接DG ，DE ，则EG =√DG 2+DE 2=√22+12=√5， 在△EFG 中，由余弦定理得：cos ∠EFG =EF 2+FG 2−EG 22EF⋅FG =2+2−52×√2×√2=−14，因为异面直线所成的角的范围为(0，π2]，所以直线CB 1与直线A 1B 所成角的余弦值为14．故答案为：√155；14．16．（5分）对于函数y ＝f （x ）（x ∈I ），若存在x 0∈I ，使得f （x 0）＝x 0，则称x 0为函数y ＝f （x ）的“不动点”．若存在x 0∈I ，使得f （f （x 0））＝x 0，则称x 0为函数y ＝f （x ）的“稳定点”．记函数y ＝f （x ）的“不动点”和“稳定点”的集合分别为A 和B ，即A ＝{x |f （x ）＝x }，B ＝{x |f （f （x ））＝x }．经研究发现：若函数f （x ）为增函数，则A ＝B ．设函数f(x)=√x −a(a ∈R)，若存在b ∈[0，1]使f （f （b ））＝b 成立，则a 的取值范围是 [0，14] ．【解答】解：因为f(x)=√x −a(a ∈R)是增函数， 所以f （f （b ））＝b 等价于f （b ）＝b ，即√b −a =b ， 所以a ＝b ﹣b 2，而a ＝b ﹣b 2在[0，12)上单调递增，在(12，1]上单调递减，所以a max =14，而当b ＝0时，a ＝0；当b ＝1时，a ＝0，即a min ＝0，所以a的取值范围为[0，14 ]．故答案为：[0，14 ]．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在平面直角坐标系中，已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(35，−45)．（1）求sinα的值；（2）若角β满足sin(α+β)=√32，求cosβ的值．【解答】解：（1）由角α的终边过点P(35，−45)，得sinα=yr=−45√(35)2+(−45)2=−45．（2）由角α的终边过点P(35，−45)，得cosα=xr=35，由sin(α+β)=√32，得cos(α+β)=√1−sin2(α+β)=±12，cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα，当cos(α+β)=12时，cosβ=12×35+√32×(−45)=3−4√310；当cos(α+β)=−12时，cosβ=−12×35+√32×(−45)=−3−4√310，综上所述，cosβ=3−4√310或−3−4√310．18．（12分）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量Pmg/L与时间th间的关系为P=P0e−kt（其中P0，k是正常数）．已知在前5个小时消除了10%的污染物．（1）求k的值（精称到0.01）；（2）求污染物减少50%需要花的时间（精确到0.1h）．参考数据：ln2＝0.693，ln3＝1.099，ln5＝1.609．【解答】解：（1）由P=P0e−kt知，当t＝0时，P＝P0；当t＝5时，P＝（1﹣10%）P0；即0.9P0=P0e−5k，所以k=−15ln0.9，即k=−15ln910=−15×(2ln3−ln10)=−15×(2ln3−ln2−ln5)≈0.02；（2）当P＝0.5P0时，0.5P0=P0e−0.02t，即0.5＝e﹣0.02t，则t ＝50ln 2≈34.7．故污染物减少50%需要花的时间约为34.7h ．19．（12分）我们把由平面内夹角成60°的两条数轴Ox ，Oy 构成的坐标系，称为“@未来坐标系”．如图所示，e →1，e →2两分别为Ox ，Oy 正方向上的单位向量．若向是OP →=xe →1+ye →2，则把实数对（x ，y ）叫做向量OP →的“@未来坐标”，记OP →={x ，y}．已知{x 1，y 1}，{x 2，y 2}分别为向是a →，b →的@未来坐标． （1）证明：{x 1，y 1}+{x 2，y 2}＝{x 1+x 2，y 1+y 2}．（2）若向量a →，b →的“@未来坐标”分别为{1，2}，{2，1}，求向量a →，b →的夹角的余弦值．【解答】（1）证明：因为a →=x 1e 1→+y 1e 2→={x 1，y 1}，b →=x 2e 1→+y 2e 2→={x 2，y 2}，所以a →+b →=（x 1e 1→+y 1e 2→）+（x 2e 1→+y 2e 2→）＝（x 1+x 2）e 1→+（y 1+y 2）e 2→={x 1+x 2，y 1+y 2}， 所以{x 1，y 1}+{x 2，y 2}＝{x 1+x 2，y 1+y 2}．（2）解：因为a →={1，2}=e 1→+2e 2→，b →={2，1}＝2e 1→+e 2→， 所以a →•b→=（e 1→+2e 2→）•（2e 1→+e 2→）＝2e 1→2+5e 1→•e 2→+2e 2→2=2+5×cos60°+2=132， |a →|＝|b →|=√1+4+2×2×1×cos60°=√7， 所以向量a →，b →夹角的余弦值为： cos ＜a →，b →＞=a →⋅b→|a →||b →|=1327×7=1314． 20．（12分）在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD •sin ∠ADC ＝2CD •sin ∠ABC ． （1）求证：BC ＝2CD ．（2）若AB ＝3CD ＝3，且AD •sin ∠ADB ＝AB •sin60°，求四边形ABCD 的面积．【解答】（1）证明：在△ACD中，由正弦定理得AD•sin∠ADC＝AC•sin∠ACD，∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB，∴AD•sin∠ADC＝AC•sin∠CAB，在△ABC中，由正弦定理得，即AC•sin∠CAB＝BC•sin∠ABC，∴AD•sin∠ADC＝BC•sin∠ABC．又AD•sin∠ADC＝2CD•sin∠ABC，∴BC•sin∠ABC＝2CD•sin∠ABC，∴BC＝2CD．（2）解：在△ABD中，由正弦定理得AD•sin∠ADB＝AB•sin∠ABD＝AB•sin60°，∴sin∠ABD＝sin60°，∴∠ABD＝60°或120°，①当∠ABD＝60°时，则∠BDC＝60°，在△BCD中，由余弦定理得，BD2﹣BD﹣3＝0，又BD＞0，解得BD=1+√132，此时四边形ABCD的面积S=12(AB+CD)×BD×sin60°=√39+√32，②当∠ABD＝120°时，则∠BDC＝120°，在△BCD中，由余弦定理得，BD2+BD﹣3＝0，解得BD=−1+√132，此时四边形ABCD的面积S=12(AB+CD)×BD×sin120°=√39−√32．21．（12分）生活中为了美观起见，售货员用彩绳对长方体礼品盆进行捆扎．有以下两种捆扎方案：方案（1）为十字捆扎（如图（1）），方案（2）为对角捆扎（如图（2））．设礼品盒的长AB，宽BC，高AA1分别为30cm，20cm，10cm．（1）在方案（2）中，若LA1＝A1E＝IC1＝C1H＝FB＝BG＝10cm，设平面LEF与平面GHI的交线为l，求证：l∥平面ABCD；（2）不考虑花结用绳，对于以上两种捆扎方式，你认为哪一种方式所用彩绳最少，最短绳长为多少cm？【解答】解：（1）证明：连接LI，EH，在长方体中，LA1＝A1E＝IC1＝C1H＝FB＝BG＝10cm，则B1H＝LD1＝10cm，B1E＝ID1＝20cm，所以LE=√102+102=10√2，IH=√102+102=10√2，LI=√202+102=10√5，EH=√202+102=10√5，所以LE＝IH，LI＝EH，所以四边形LEHI是平行四边形，∴LE∥IH，又∵LE⊄平面IHG，LE⊂平面LEF，∴LE∥平面IHG；又∵LE⊂平面LEF，平面LEF∩平面GHI＝1，∴LE∥l；又∵l⊄平面A1B1C1D1，LE⊂平面A1B1C1D1，∴l∥平面A1B1C1D1，又∵l⊄平面ABCD，∴l∥平面ABCD；（2）方案1中，绳长为（30+10）×2+（20+10）×2＝140cm；方案2中，将长方体盒子展开在一个平面上，在平面展开图中彩绳是一条由F到F′的折线，如图所示，在扎紧的情况下，彩绳长度的最小值为FF′长度，因为FB＝F′B″，所以FF′=BB″=√(60+20)2+(40+20)2=100cm，所以彩绳的最短长度为100cm．22．（12分）已知函数f(x)=x+1x(x＞0)，g(x)=x(x＞0)．（1）直接写出|f（x）﹣g（x）|＜|g（x）﹣f（x）+1|的解集；（2）若f（x1）＝f（x2）＝g（x3），其中x1＜x2，求f（x1+x2）+g（x3）的取值范围；（3）已知x为正整数，求h（x）＝（m+1）x2﹣2（m2+1）x（m∈N*）的最小值（用m表示）．【解答】解：（1）∵f(x)=x+1x(x＞0)，g(x)=x(x＞0)，∴|f（x）﹣g（x）|＜|g（x）﹣f（x）+1|，即为|1x|＜|1−1x|，又因为x＞0，所以有1x＜|1−1x|，当0＜x≤1时，1−1x≤0，故1x＜1x−1，显然不成立；当x＞1时，1−1x＞0，故1x＜1−1x，即2x＜1，解得x＞2，综上所述，|f（x）﹣g（x）|＜|g（x）﹣f（x）+1|的解集为（2，+∞）；（2）设f（x1）＝f（x2）＝g（x3）＝t，则x3＝t，令x+1x=t，整理得：x2﹣tx+1＝0，故x1+x2＝t，且Δ＝t2﹣4＞0，得t＞2，∴f（x1+x2）+g（x3）＝2t+1t在（2，+∞）上单调递增，所以2t+1t＞2×2+12=92，即f（x1+x2）+g（x3）∈（92，+∞）；（3）因为h（x）＝（m+1）x2﹣2（m2+1）x＝（m+1）（x−m2+1m+1）−(m2+1)2m+1，因为m2+1m+1=m﹣1+2m+1，m∈N*，m﹣1∈N*，2m+1≤1，①当m＝1时，m﹣1+2m+1=1，所以h（x）min＝h（1）＝﹣2；②当m＝2时，m﹣1+2m+1=53，所以h（x）min＝h（2）＝﹣8；③当m＝3时，m﹣1+2m+1=52，所以h（x）min＝h（2）＝h（3）＝﹣24；④当m＞3时，2m+1＜12，m﹣1＜m﹣1+2m+1＜m﹣1+12，所以h（x）min＝h（m﹣1）＝﹣m3+m2﹣3m+3；综上所述，h（x）min={−2，m=1−8，m=2−24，m=3−m3+m2−3m+3，m＞3．。
浙江省数学高一下期末试卷
浙江省数学高一下期末试卷~ xx学年第二学期浙江省联盟考试高一数学试题卷【考生须知】本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答在试题卷上无效。
考试时间为120分钟，满分为100分。
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分、请从A、B、C、D四个选项中，选出一个符合题意的正确选项，填入答题卷，不选、多选、错选均得零分、）1、已知等差数列的通项公式，设，当取得最小值时，n的取值是A、16B、14C、12D、102、函数的一个单调增区间是A、B、C、D、3、函数的最大值和最小值分别是A、最大值和最小值0B、最大值不存在和最小值C、最大值和最小值0D、最大值不存在和最小值4、若数列的前n项和满足，则等于A、180C、405、关于函数的叙述正确的是A、的最小正周期为2πB、在内单调递增C、的图象关于对称D、的图象关于对称6、已知函数满足，且在上是减函数，则θ的可能值是A、B、C、D、7、定义式子运算为将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值为A、B、C、D、8、定义函数，给出下列四个命题：（1）该函数的值域为[-1，1]；（2）当且仅当（k∈Z）时，该函数取得最大值；（3）该函数是以π为最小正周期的周期函数；（4）当且仅当＜x＜（k∈Z）时，＜0、上述命题中正确的个数是A、1个B、2个C、3个D、4个9、东方明珠广播电视塔是上海的标志性文化景观之一，是上海最为著名的地标性建筑。
要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄埔江西岸选择A、B两观测点，在A、B两点测得塔顶的仰角分别为，，在水平面上测得电视塔底与A地连线及A、B两地连线所成的角为，A、B两地相距500 m，则电视塔的高度是（第9题图）A、100 mB、400 mC、200 mD、500 m10、在数列中，若对任意的，都有（t为常数），则称数列为比等差数列，t称为比公差。
现给出以下命题：①等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；②若数列满足，则数列是比等差数列，且比公差；③若数列满足，，，则该数列不是比等差数列；④若是等差数列，是等比数列，则数列是比等差数列、其中所有真命题的序号是A、①②B、②③C、③④D、①③二、填空题（本大题有10小题，每小题3分，共30分，请将答案写在答题卷上）11、在等差数列中，是其前n项的和，且，，则数列的前n 项的和是▲ 、12、如图所示是函数的图象的一部分，函数图像的对称中心为▲ 、21-1-2xyO（第12题图）13、等差数列的前n项和，求数列的前n项和= ▲ 、14、函数的图像与直线有且仅有两个不同交点，则k的取值范围是▲ 、15、在中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知，，，若c 有两解，则x的取值范围是▲ 、16、在中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若，，且成等差数列，则= ▲ 、17、在锐角三角形ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若，则的取值范围是▲ 、18、若数列中的最大项是第k项，则▲ 、19、在中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若，且，则的面积最大值为▲ 、20、若数列满足，，，且，，，则= ▲ 、三、解答题（本大题有4小题，共40分，请将答案写在答题卷上）21、（本题10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足、（1）求证：A，B，C三点共线，并求的值；（2）已知A，B，x∈，且函数的最小值为，求实数m的值、22、（本题10分）已知：函数（A＞0，ω＞0，＜＜）的最小正周期是π，且当时取得最大值3、（1）求函数的解析式及单调增区间；（2）若x0∈[0，2π），且，求x0；（3）将函数的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后得到函数的图象，且是偶函数，求m的最小值、23、（本题10分）设数列的前n项和为，，且，数列为等差数列，且公差，、（1）求数列的通项公式；（2）若，，成等比数列，求数列的前n项和、24、（本题10分）已知等差数列c的公差为, 且,（1）求数列的通项公式与前项和；（2）将数列的前项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列的前3项,记的前项和为, 若存在, 使对任意总有恒成立, 求实数的取值范围、学校_______________班级_________________ 姓名_______________ 学号_________________………………………………密……………………………………封…………………………………线………………………………………xx ~ xx学年第二学期浙江省联盟考试高一数学答题卷一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分、请从A、B、C、D四个选项中，选出一个符合题意的正确选项，填入答题卷，不选、多选、错选均得零分、）题号12345678910答案二、填空题（本大题有10小题，每小题3分，共30分，请将答案写在答题卷上）11、12、13、14、16、17、18、19、20、三、解答题（本大题有4小题，共40分，请将答案写在答题卷上）21、（本题10分）22、（本题10分）23、（本题10分）24、（本题10分）xx ~ xx学年第二学期浙江省联盟考试高一数学参考答案和评分标准一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分、请从A、B、C、D四个选项中，选出一个符合题意的正确选项，填入答题卷，不选、多选、错选均得零分、）题号12345678910答案DAACDBCADD二、填空题（本大题有10小题，每小题3分，共30分，请将答案写在答题卷上）12、13、14、（1,3）15、16、17、18、419、20、2三、解答题（本大题有4小题，共40分，请将答案写在答题卷上）21、解:（1）∵，∴又因为有公共点B,∴A,B,C三点共线∵，∴（3分）（2）∵，∴∴，又∵∴（6分）设，∴（7分）当即时,当有（8分）当即时,当有∴（9分）当即时,当t=1有，∴（舍去）（10分）综上得、22、解:（1）由已知条件知道：∴∴∴又∴∴（2分）由可得∴的单调增区间是（3分）（2），∴或∴或（4分）又∴或（6分）（3）由条件可得：（7分）是偶函数，图象关于y轴对称，∴x=0时，取最大或最小值（8分）即，∴（9分）又∴m的最小值是（10分）23、解:（1）由,得相减得,即,则（2分）∵当时,,∴∴数列是等比数列, ∴（4分）（2）∵,,∴根据题意,而（5分）设,∴,（7分）∴,得或（舍去）（8分）故（10分）24、解：（1）由得，所以（1分）∴，从而（3分）（2）由题意知（4分）设等比数列的公比为，则，随递减，∴为递增数列，得（6分）又，故，（8分）若存在, 使对任意总有则，得（10分）。
2020-2021学年浙江省绍兴市高一(下)期末数学试卷(含答案)
2020-2021学年浙江省绍兴市高一(下)期末数学试卷一、单项选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.i 是虚数单位，复数z =1-i 在复平面上对应的点位于(D )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】复数z =1-i 在复平面上对应的点的坐标为(1,-1)，位于第四象限．故选：D ．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A =“第一枚出现奇数点”，事件B =“第二枚出现偶数点”，则A 与B 的关系是(C )A.互斥B.互为对立C.相互独立D.相等【解析】由题可知，抛掷两枚质地均匀的骰子，第一枚和第二枚出现点数的分类情况如下，①(奇数，奇数)，②(奇数，偶数)，③(偶数，奇数)，④(偶数，偶数)，事件A =“第一枚出现奇数点”={①，②}，事件B =“第二枚出现偶数点”={②，④}，两个事件不相等，排除D ，A ∩B ≠∅，所以不是互斥事件，排除A ，B ，C 选项，事件A =“第一枚出现奇数点”，P (A )=36=12，事件B =“第二枚出现偶数点”，P (B )=36=12，事件AB =“第一枚出现奇数点，第二枚出现偶数点”，P (AB )=3×336=14，满足P (AB )=P (A )⋅P (B )，所以事件A 和事件B 是相互独立事件，故选：C ．【点评】本题考查事件关系，判断两个事件是否相互独立，利用定义法，满足P (AB )=P (A )⋅P (B )即独立，本题属于基础题．3.已知向量a=(1,-2)，b =(2,-4)，则(A )A.a 与b 同向B.a 与b 反向C.(a +b )⊥aD.(a +b)⊥b【解析】∵向量a =(1,-2)，b =(2,-4)，∴b =2a，∴a 与b同向，故选：A ．【点评】本题主要考查两个向量同向的条件，属于基础题．4.袋中装有大小质地完全相同的5个球，其中2个红球，3个黄球，从中有放回地依次随机摸出2个球，则摸出的2个球颜色不同的概率是(D )A.35B.310C.625D.1225【解析】设摸出的2个球颜色不同为事件A ，∵基本事件总数n =5×5=25，事件A 包含的基本事件数为C 12C 12C 13=12，∴p (A )=1225，故选：D ．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，(C )A.若m ⎳n ，n ⊂α，则m ⎳αB.若n ⊥α，m ⊂β，n ⊥m ，则α⎳βC.若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=m ，则m ⊥γD.若m ⊂α，n ⊂α，m ⎳β，n ⎳β，则α⎳β【解析】m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，对于A ，若m ⎳n ，n ⊂α，则m ⎳α或m ⊂α，故A 错误；对于B ，若n ⊥α，m ⊂β，n ⊥m ，则α与β相交或平行，故B 错误；对于C ，若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=m ，则由面面垂直的性质、线面垂直的判断定理得m ⊥γ，故C 正确；对于D ，若m ⊂α，n ⊂α，m ⎳β，n ⎳β，则α与β相交或平行，故D 错误．故选：C ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力，是中档题．6.如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =AA 1，则异面直线AC 1与A 1B 所成角的余弦值是(B )A.0B.14C.64D.22【解析】由题意可知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，所有棱长相等，设棱长为1，则cos <AC 1 ，A 1B >=AC 1 ⋅A 1B |AC 1 ||A 1B |=(AA 1 +A 1C 1 )⋅(A 1A +AB )2×2=-1+0+0+122=-14．∴异面直线AC 1与A 1B 所成角的余弦值14．故选：B ．【点评】本题异面直线所成角算法，考查数学运算能力及抽象能力．7.若满足∠ACB =30°，BC =2的ΔABC 有且只有一个，则边AB 的取值范围是(B )A.[1，2)B.{1}∪[2，+∞)C.(2,+∞)D.[2，+∞)【解析】∵满足∠ACB =30°，BC =2的ΔABC 有且只有一个，如图，AB ⊥AC ，或AB ≥2，∴AB =1或AB ≥2，∴边AB 的取值范围是{1}∪[2，+∞)．故选：B ．【点评】本题考查了数形结合解题的方法，属于基础题．8.已知向量a ，b 满足|a |=1，|b |=2，|a +b |=2|a -b |，则a 在a -b上的投影向量的模长为(A )A.3060B.11210210C.16D.116【解析】因为|a +b |=2|a -b|，所以|a +b |2=(2|a -b |)2，所以a 2+2a ⋅b +b 2=2(a 2-2a ⋅b +b 2)，所以a 2-6a ⋅b +b2=0，所以1-6a ⋅b+22=0，所以a ⋅b =56，所以a ⋅(a -b )=a 2-a ⋅b =12-56=16，所以|a -b |2=a 2-2a ⋅b +b 2=1-2×56+22=103，所以a 在a -b 上的投影向量为a ⋅(a -b )|a -b |=16103=3060，故选：A ．【点评】本题考查向量数量积的运算，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分)9.已知i 是虚数单位，复数z =(1-i )i ，则(BD )A.z 的实部为-1B.z 的共轭复数是1-iC.|z |=2D.z 2=2i【解析】因为z =(1-i )i =1+i ，所以z 的实部为1，故A 错误，z 的共轭复数为1-i ，故B 正确，|z |=12+12=2，故C 错误，z 2=(1+i )2=2i ，故D 正确，故选：BD ．【点评】本题考查了复数的运算性质，涉及到复数的共轭复数以及模的求解，考查了学生的运算能力，属于基础题．10.如图是甲、乙两人在射击测试中6次命中环数的折线图，(CD )A.若甲、乙射击成绩的平均数分别为x 1，x 2，则x 1<x2B.若甲、乙射击成绩的方差分别为s 21，s 22，则s 21<s 22C.乙射击成绩的中位数小于甲射击成绩的中位数D.乙比甲的射击成绩稳定【解析】甲射击测试中6次命中环数为：6，7，8，9，9，10，乙射击测试中6次命中环数为：5，5，6，7，7，7，甲、乙射击成绩的平均数分别为x 1，x 2，甲、乙射击成绩的方差分别为s 21，s 22，则x 1 =16×(9+10+6+7+9+8)=8.17，x 2=16×(6+7+5+5+7+7)=6.17，所以x 1>x 2，故选项A 错误；由折线图可以看出，乙的射击成绩比甲的射击成绩波动较小，所以s 21>s 22，乙比甲的射击成绩稳定，故选项错误，选项D 正确；甲射击成绩的中位数为8+92=7.5，乙射击成绩的中位数为6+72=6.5，故选项C 正确．故选：CD ．【点评】本题考查了折线图的应用，平均数与方差计算公式的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．11.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 是线段B 1C 上动点，F 是BD 1的中点，则(ABC )A.AP ⎳平面A 1DC 1B.AP ⊥BD 1C.直线BB 1与平面BPD 1所成角可以是∠D 1BB 1D.二面角C 1-BD 1-C 的平面角是∠C 1FC【解析】以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设正方体棱长为1，则D (0，0，0)，A (1，0，0)，C (0，1，0)，B 1(1，1，1)，A 1(1，0，1)，C 1(0，1，1)，对于A ，设P (a ，1，a )，则AP =(a -1,1,a ),A 1D =(-1,0,-1)，DC 1 =(0,1,1)，设平面A 1DC 1的法向量为n=(x ,y ,z )，则n ⋅A 1D=0n ⋅DC 1 =0，即-x -z =0y +z =0 ，令x =1，则y =1，z =-1，故n=(1,1,-1)，则AP ⋅n=(a -1)×1+1×1-1×a =0，又AP ⊄平面A 1DC 1，所以AP ⎳平面A 1DC 1，故选项A 正确；对于B ，因为B (1，1，0)，D 1(0，0，1)，所以BD 1 =(-1-1,1),AP=(a -1,1,a )，所以AP ⋅BD 1=0，则AP ⊥BD 1，故选项B 正确；对于C ，当点P 为B 1C 的中点时，直线BB 1与平面BPD 1所成的角可以是∠D 1BB 1，故选项C 正确；对于D ，因为F 为BD 1的中点，所以C 1F ⊥BD 1，但CF 不垂直于BD 1，此时二面C 1-BD 1-C 的平面角不可以是∠C 1FC ，故选项D 错误．故选：ABC ．【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了空间中线线、线面、面面的位置关系，空间角的求解，考查了空间向量在立体几何中的应用，考查了逻辑推理能力、空间想象能力、化简运算能力，属于中档题．12.在ΔABC 中，D ，E 分别是BC ，AC 的中点，且BC =6，AD =2，则(BD )A.ΔABC 面积最大值是12B.cos B ≥53C.|AD +BE|不可能是5D.BE ⋅AC ∈112,352【解析】设ΔABC 三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，对于A ，S ΔABC =12⋅a ⋅h a =12⋅6⋅h a =3h a ≤3⋅AD =6，当AD ⊥BC 时不等式等号成立，所以ΔABC 面积最大值为6，故A 错误；对于B ，在ΔABD 中，cos B =32+AB 2-42⋅3⋅AB =AB 2+56AB =AB 6+56AB≥2AB 6⋅56AB =53，当AB =5时，不等式等号成立，故B 正确；对于C ，因为AD +BE =-DA +BD +DA +AE =BD +12AC =DC +12(DC -DA )=32DC -12DA ，所以|AD +BE |=|DC -DA |2=(3DC -DA )22=9|DC |2+|DA |2-6DC ⋅DA 2=85-6DC ⋅DA2=5，解得DC ⋅DA =-52，因为|DC |⋅|DA |=6，所以DC ⋅DA ∈(-6,6)，故|AD +BE|可能是5，故C 错误；对于D ,BE =(AD +BE )-AD =32DC -12DA+DA =32DC +12DA ，AC =DC -DA ，所以BE ⋅AC =32DC +12DA ⋅(DC -DA )=32DC 2-12DA 2-DC ⋅DA =232-DC ⋅DA ，又DC ⋅DA ∈(-6,6)，所以232-DC ⋅DA ∈112,352．故选：BD ．【点评】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查基本不等式在求最值中的应用，考查平面向量数量积和模的运算，考查数学运算和直观想象的核心素养，属于中档题．三、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)13.已知一组数据：15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，则该组数据的众数是17．【解析】该组数据从小到大排列为：10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，这组数据出现次数最多的是17，所以众数是17．故答案为：17．【点评】本题考查了求一组数据的众数问题，通常是先按从小到大排列，再找出现次数最多的数据，是基础题．14.已知向量a ，b 满足|a |=1，|b |=3，且(2a -b )⊥b ，则a 与b夹角的余弦值是32．【解析】∵向量a ，b 满足|a |=1，|b |=3，且(2a -b)⊥b ，∴(2a -b )⋅b =2a ⋅b -b 2=2×1×3×cos <a ,b>-3=0，∴cos <a ,b >=323=32．∴a 与b 夹角的余弦值为32．故答案为：32．【点评】本题考查向量夹角的余弦值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查推理论证能力，是基础题．15.已知某运动员每次投篮命中的概率为0.5，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：用计算机产生0~999之间的随机整数，以每个随机整数(不足三位的整数，其百位或十位用0补齐)为一组，代表三次投篮的结果，指定数字0，1，2，3，4表示命中，数字5，6，7，8，9表示未命中．如图，在R 软件的控制平台，输入“sample (0:999，20，replace =F )”，按回车键，得到0~999范围内的20个不重复的整数随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为310．【解析】在20个不重复的整数随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的随机数有：633，309，16，543，247，62，共6个，∴据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为：P =620=310．故答案为：310．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.已知四面体ABCD 的所有棱长均为4，点O 满足OA =OB =OC =OD ，则以O 为球心，2为半径的球与四面体ABCD 表面所得交线总长度为1633π．【解析】∵正四面体A -BCD 的中心与球心O 重合，正四面体的棱长为4，取CD 中点E ，连结BE ，AE ，过A 作AF ⊥底面BCD ，交BE 于F ，则BE =4sin60°=23，BF =23BE =433，∴AF =AB 2-BF 2=463，又(AF -OF )2=OF 2+BF 2，∴OF =63，由球的半径知球被平面截得小圆半径为r =(2)2-63 2=233．而ΔABC 的内切圆半径为233，故球被正四面体一个平面截曲线为圆弧，∴正四面体表面与球面的交线的总长度为：4×2π×233=1633π．故答案为：1633π．【点评】本题考查正四面体表面与球面的交线的总长度的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．四、解答题(本大题共6小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知向量a=(m -1,1)，b =(1,3)．(Ⅰ)若m =0，求a ⋅b；(Ⅱ)若|a +b|=5，求实数m 的值．【解析】(Ⅰ)因为m =0，所以a=(-1,1)，所以a ⋅b=-1×1+1×3=2．(Ⅱ)因为a +b =(m ,4)，|a +b|=5，所以|a +b|=m 2+16，所以m 2+16=25，所以m =±3．【点评】本题考查向量的数量积的求法与应用，向量的模的运算法则的应用，是基础题．18.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =AD =3，AC 1=34．(Ⅰ)求长方体的表面积；(Ⅱ)若E 是棱AA 1的中点，求四棱锥E -BB 1C 1C 的体积．【解析】(Ⅰ)因为AB=AD=3，AC1=34，又AC1=AB2+AD2+AA12=9+9+AA12=34，所以AA1=4，所以，长方体的表面积为S=2×(3×3+3×4+3×4)=66．(Ⅱ)因为AA1⎳平面BB1C1C，E是棱AA1的中点，所以点E到平面BB1C1C的距离等于A到平面BB1C1C的距离，所以四棱锥E-BB1C1C的体积为V=13S矩形BB1C1C⋅AB=13×3×4×3=12．【点评】本题考查了长方体的表面积和棱锥的体积计算问题，是基础题．19.甲、乙两位射手对同一目标各射击两次，且每人每次击中目标与否均互不影响．已知甲每次击中目标的概率为23，乙每次击中目标的概率为34．(Ⅰ)求甲两次都没有击中目标的概率；(Ⅱ)在四次射击中，求甲、乙恰好各击中一次目标的概率．【解析】(Ⅰ)设甲两次都没有击中目标为事件A，则p(A)=1-2 31-23=19．(Ⅱ)设甲、乙恰好各击中一次目标为事件B，∵甲恰好击中一次目标的概率为C12×23×1-23=49，乙恰好击中一次目标的概率为C12×34×1-34=38，∴甲、乙恰好各击中一次目标的概率为p(B)=49×38=16．【点评】本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，互斥事件概率加法公式，属于基础题．20.用分层随机抽样从某校高一年级学生的数学期末成绩(满分为100分，成绩都是整数)中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个，再将40个男生成绩样本数据分为6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，绘制得到如图所示的频率分布直方图．(Ⅰ)估计男生成绩样本数据的第80百分位数；(Ⅱ)在区间[40，50)和[90，100]内的两组男生成绩样本数据中，随机抽取两个进行调查，求调查对象来自不同分组的概率；(Ⅲ)已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，求总样本的平均数和方差．【解析】(Ⅰ)由频率分布直方图可知，在[40，80)内的成绩占比为70%，在[40，90)内的成绩占比为95%，因此第80百分位数一定位于[80，90)内．因为80+10×0.8-0.70.95-0.7=84，所以估计男生成绩样本数据的第80百分位数约是84．(Ⅱ)在区间[40，50)和[90，100]内的男生成绩样本数据分别有4个和2个，则在这6个数据中随机抽取两个的样本空间Ω包含的样本点个数为n (Ω)=5+4+3+2+1=15．记事件A =“调查对象来自不同分组”，则事件A 包含的样本点个数为n (A )=4×2=8，所以P (A )=n (A )n (Ω)=815．(Ⅲ)设男生成绩样本数据为x 1，x 2，⋯，x 40，其平均数为x =71，方差为s x 2=187.75；女生成绩样本数据为y 1，y 2，⋯，y 60，其平均数为y =73.5，方差为s y 2=119；总样本的平均数为z，方差为s 2．由按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，得z =40100x +60100y =72.5．因为s 2=110040i =1(x i -z ) 2+60j =1(y j -z ) 2 =110040i =1(x i -x +x -z ) 2+60j =1(y j -y +y -z ) 2 ，又40i =12 (x i -x )(x -z )=2(x -z )40i =1(x i -x )=2(x -z )40i =1x i -40x=0，同理60j =12 (y j -y )(y -z)=0，所以s 2=110040i =1(x i -x ) 2+40i =1(x -z ) 2+60j =1(y j -y ) 2+60j =1(y -z ) 2 =1100{40[s x 2+(x -z )2]+60[s y 2+(y -z )2]}=1100{40[187.75+(71-72.5)2]+60[119+(73.5-72.5)2]}=148．所以总样本的平均数和方差分别为72.5和148．【点评】本题主要考查频率分布直方图，概率的计算，百分位数、平均数、方差的计算，考查运算求解能力，属于中档题，21.在ΔABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c -a =2b cos A ，b =3．(Ⅰ)求B 的大小；(Ⅱ)若a =3，求ΔABC 的面积；(Ⅲ)求aca +c的最大值．【解析】(Ⅰ)因为2c-a=2b cos A，又asin A=bsin B=csin C，所以2sin C-sin A=2sin B cos A，所以2sin(A+B)-sin A=2sin B cos，所以2sin A cos B-sin A=0，因为A∈(0,π)，sin A≠0，所以cos B=1 2，可得B=π3．(Ⅱ)因为b2=a2+c2-ac，所以c2-3c-6=0，所以c=23，所以ΔABC的面积为S=12ac sin B=332．(Ⅲ)由a2+c2-ac=9，得(a+c)2=9+3ac，因为ac≤(a+c)24，所以(a+c)2≤9+34(a+c)2，所以3<a+c≤6(当且仅当a=c=3时取等号)．设t=a+c，则t∈(3，6]，所以aca+c=t2-93t，设f(t)=t2-93t=13t-9t，则f(t)在区间(3，6]上单调递增，所以f(t)的最大值为f(6)=3 2，所以，aca+c的最大值为3 2．【点评】本题考查余弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换，基本不等式以及二次函数的性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．22.如图，四棱台ABCD-EFGH的底面是矩形，EH=DH=1，AD=2，AB=4，AD⊥DH．(Ⅰ)证明：BC⊥平面DCG；(Ⅱ)设平面DBG与平面ADHE的交线为l，求直线l与平面BCG所成角的正弦值的取值范围．【解析】(Ⅰ)证明：∵底面ABCD是矩形，∴AD⊥DC又AD⊥DH，且DC∩DH=D，∴AD⊥平面DCG，又∵AD⎳BC，∴BC⊥平面DCG；(Ⅱ)在四棱台ABCD-EFGH中，延长AE，BF，CG，DH交于S．∵GH⎳AB，GH=12AB，∴直线BG，AH相交，设交点为P，连结DP，SP．∵P∈AH，AH⊂平面ADHE，又P∈BG，BG⊂平面DBG，且平面ADHE∩平面DBG=l，∴P∈l，又D∈l，∴平面ADHE∩平面DBG=DP．过点D作DM⊥SC，垂足为M，连结PM．∵BC⊥平面DCG，BC⊂平面BCG，∴平面BCG⊥平面DCG，又平面BCG∩平面DCG=SC，∴DM⊥平面BCG，则直线l与平面BCG所成的角为∠MPD．当M与S重合时，DM=SD=2；当M与S不重合时，在RtΔDMS中，0<DM<SD．∴0<DM≤2，又∵DP=SA=22，∴在RtΔMPD中，有sin∠MPD=DMPD=DM22∈0，22．∴直线l与平面BCG所成角的正弦值的取值范围是0，22．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间角的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．第11页共11页。
浙江省金华市十校2023-2024学年高一下学期6月期末调研考试数学试题含答案
金华十校2023-2024学年第二学期期末调研考试高一数学试题卷（答案在最后）本试卷分选择题和非选择题两部分.考试时间120分钟.试卷总分为150分.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.选择题部分（共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|02A x x =<<，{}|13B x x =<<，则A B = （）A.{}|12x x << B.{}|03x x << C.{}|23<<x x D.{}3|1x x <<【答案】A 【解析】【分析】直接求交集即可.【详解】集合{}|02A x x =<<，{}|13B x x =<<，则{}|12A B x x ⋂=<<.故选：A.2.“π6θ=”是“1sin 2θ=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据正弦函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由π6θ=，可得1sin 2θ=成立，即充分性成立；反正：若1sin 2θ=，可得π2π6k θ=+或5π2π,6k k Z θ=+∈，即必要性不成立，所以π6θ=是1sin 2θ=的充分不必要条件.故选：A.3.数据2，3，3，4，4，5，5，5，5，6的中位数为（）A.3.5B.4C.4.5D.5【解析】【分析】根据中位数的求解方法可得【详解】这组数据是按从小到大的顺序排列的，且共有10个数据，又最中间两个数的平均数为454.52+=，该组数据的中位数为4.5故选：C 4.复数13i1iz -=+，则z =（）A.5B.C. D.32【答案】B 【解析】【分析】根据复数的运算化简得出复数，再结合复数的模长公式计算即可.【详解】因为()()()()2213i 1i 13i 1i 3i 3i 24i12i 1i 1i 1i 1i 2z -----+--=====--++--,所以z ==故选：B.5.已知,OA a OB b == ，点P 关于点A 的对称点为M ，点M 关于点B 的对称点为Q ，则PQ =uu u r（）A.a b+ B.22a b + C.b a - D.22b a- 【答案】D 【解析】【分析】根据向量加、减法的法则可得【详解】因为点P 关于点A 的对称点为M ，点M 关于点B 的对称点为Q ，所以22,22OP OM OA a OQ OM OB b +==+==，两式相减可得所以PQ =uu u r OQ OP -= 22b a - ，故选：D6.某圆锥的底面半径为6，其内切球半径为3，则该圆锥的侧面积为（）A.20πB.30πC.60πD.90π【答案】C【分析】根据已知条件首先求出圆锥的母线长，再利用公式求侧面积即可.【详解】如图所示，设球O 与圆锥底面相切于点N ，与母线BS 相切于点M ，根据已知得6,3BN OM ==，设母线长BS l =，则在直角△SBN 中SN ==因为SNB SMO △∽△，所以OS BSOM BN=即36336l =，化简得24600l l --=，解得10l =，或6l =-(舍去)，所以圆锥的侧面积为：ππ610=60πBN l ⋅⋅=⨯⨯.故选：C.7.若函数()()22e e 4e e 2xx x x f x b --=+-++（b 是常数）有且只有一个零点，则b 的值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】B 【解析】【分析】由已知条件可判断()f x 为偶函数，函数图象关于y 轴对称，由函数有且只有一个零点，()f x 过坐标原点即可求解.【详解】函数的定义域为R ，因为()()()22ee 4e e 2xx x x f x b f x ---=+-++=，所以函数()f x 为偶函数，函数图象关于y 轴对称，因为函数有且只有一个零点，所以函数()f x 过坐标原点，()024220f b =-⨯+=，解得3b =.故选：B .8.已知ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足222224a b c ++=，则ABC 面积的最大值为（）A.8B.4C.2D.【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由余弦定理以及三角形的面积公式可得2222342162ABCb c a S ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再利用两次基本不等式得到2162ABC S ≤ ，从而得解.【详解】因为222224a b c ++=，则222122b c a +=-，24a <，即2222322b c a a +-=-，由余弦定理可得232cos 22bc A a =-，又2sin 4ABC bc A S = ，所以2222234cos 22b c A a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭①，22224sin 16ABC b c A S = ②，①+②可得22222342162ABCb c a S ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ，又()22222221422b c b ca ⎛⎫≤+=- ⎪⎝⎭，即2222231216222ABC a S a ⎛⎫⎛⎫-+≤- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ，则()22222221316222222ABCSa a a a ⎛⎫⎛⎫≤---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2222222a a ⎛⎫+-≤= ⎪⎝⎭，即2162ABC S ≤ ，即0ABC ABC S S ⎛+-≤ ⎝，解得04ABC S <≤=，当且仅当22222b c a a⎧=⎨=-⎩时，即21a =，2234b c ==时，等号成立，所以ABC 面积的最大值为24.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用余弦定理与三角形的面积公式得到2222342162ABCb c a S ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ，从而结合基本不等式即可得解.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.对于事件A 和事件B ，()0.4P A =，()0.5P B =，则下列说法正确的是（）A.若A 与B 互斥，则()0.4=P ABB.若A 与B 互斥，则()0.9P A B ⋃=C.若A B ⊂，则()0.1P AB =D.若A 与B 相互独立，则()0.2P AB =【答案】BD 【解析】【分析】由互斥事件的定义，代入计算即可判断AB ，由A B ⊂，则AB A =，即可判断C ，由相互独立事件的定义，即可判断D【详解】因为()0.4P A =，()0.5P B =，若A 与B 互斥，则()0P AB =，()()()0.9P A B P A P B ⋃=+=，故A 错误，B 正确；若A B ⊂，则AB A =，所以()()0.4P AB P A ==，故C 错误；若A 与B 相互独立，则()()()0.40.50.2P AB P A P B ==⨯=，故D 正确；故选：BD10.已知,O A 与,B C 分别是异面直线a 与b 上的不同点，E ，F ，G ，H 分别是线段OA ，OB ，BC ，CA 上的点.以下命题正确的是（）A.直线OB 与直线AC 可以相交，不可以平行B.直线EH 与直线BC 可以异面，不可以平行C.直线EG 与直线FH 可以垂直，可以相交D.直线EF 与直线GH 可以异面，可以相交【答案】BCD 【解析】【分析】A 可假设直线OB 与直线AC 相交，推出矛盾；B 先根据特殊位置得到两直线异面，再假设两直线平行，推出矛盾；C 根据特殊位置可以得到两直线垂直和相交；D 由特殊位置得到两直线可能异面，可能相交，也可以平行.【详解】A 选项，若直线OB 与直线AC 相交，则,,,O B A C 四点共面，则直线a 与b 共面，与题目条件直线a 与b 异面矛盾，故直线OB 与直线AC 不可以相交，A 错误；B 选项，当,E H 分别和,O A 重合时，直线EH 与直线BC 异面，直线EH 与直线BC 不可以平行，假如直线EH 与直线BC 平行，EH ⊂平面OAH ，BC ⊄平面OAH ，故//BC 平面OAH ，但BC 与平面OAH 有交点C ，显然这是不可能的，假设不成立，B 正确；C 选项，当,E F 均与O 重合，此时直线EG 与直线FH 相交，当调整,E G 的位置，可能有EG ⊥OA ，且令,F H 分别与,O A 重合，此时满足直线EG 与直线FH 垂直，故直线EG 与直线FH 可以垂直，可以相交，C 正确；D 选项，当,E H 均与A 重合，或,GF 均与B 重合时，直线EF 与直线GH 相交，当OE OF OA OB =时，EF 与AB 平行，当CG CHCB CA=时，GH 与AB 平行，此时EF 与GH 平行，其他情况，直线EF 与直线GH 异面，故直线EF 与直线GH 可以异面，可以相交，D 正确.故选：BCD11.小明在研究物理中某种粒子点(),P x y 的运动轨迹，想找到y 与x 的函数关系，从而解决物理问题，但百思不得其解，经过继续深入研究，他发现y 和x 都与某个变量()t t ∈R 有关联，且有sin 1cos x t ty t =-⎧⎨=-⎩.小明以此为依据去判断函数()y f x =的性质，得到了一些结论，有些正确的结论帮助小明顺利的解决了物理问题，同时也让小明深深感受到学好数学对物理学习帮助很大！我们来看看，小明的以下结论正确的是（）A.函数()y f x =的图象关于原点对称B.函数()y f x =是以2π为周期的函数C.函数()y f x =的图象存在多条对称轴D.函数()y f x =在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】BCD 【解析】【分析】根据y 的取值情况判断A 选项，根据正弦余弦函数周期性判断B 选项，根据圆的特性判断C 选项，应用复合函数单调性判断D 选项.【详解】对于A ：由题意知1cos 0y t =-≥，故()f x 不可能关于原点对称，A 选项错误；对于B:sin ,cos y x y x ==周期为2π，则()y f x =是以2π为周期的函数，B 选项正确；对于C ：当π,Z t k k =∈时，πsin ππ,Z x k k k k =-=∈,此时1cos y t =-有多条对称轴，C 选项正确；对于D:sin ,x t t =-设()()()sin ,1cos 0,h t t t h t t h t =-=-≥'单调递增，()11cos ,0,2g t t t ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭单调递增，根据复合函数的单调性可得()y f x =在10,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，D 选项正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：根据对称中心及对称轴定义判对称性即可.非选择题部分（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()()22log 1,22,2x x f x x x x ⎧+>=⎨+≤⎩，则()()1ff =_____________.【答案】2【解析】【分析】根据定义域代入相应的解析式可得答案.【详解】因为()()22log 1,22,2x x f x x x x ⎧+>=⎨+≤⎩，所以()211213f =+⨯=，()()()()2213log 31log42f f f ==+==.故答案为：2.13.甲船在B 岛的正南方向A 处，10AB =千米，甲船向正北方向航行，同时乙船自B 岛出发向北偏东60 的方向航行，两船航行速度相同，则甲、乙两船的最近距离为_____________千米.【答案】【解析】【分析】根据已知条件用余弦定理将甲、乙两船的距离表示出来，再求最小值即可求解.【详解】如图所示，设甲船航行到点C ，同时乙船航行到点D ，由已知得10AB =，120ABD ∠=︒，设BD AC x ==，则10BC x =-，在△BCD 中，由余弦定理得2222cos120CD BC BD BC BD =+-⋅⋅︒，代入得222221(10)2(10)(10100(5)752CD x x x x x x x =-+---=-+=-+，所以当5x =时，CD =千米.故答案为：.14.在ABC 中，3AB =，6AC =，60BAC ∠= ，D 在边BC 上，延长AD 到E ，使15AE =.若32EA tEB t EC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则BD =_____________.【答案】4【解析】【分析】建系标点，设()π15cos ,15sin ,0,3E θθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，根据向量的坐标运算解得3cos 5θ=，进而可得4tan 3θ=，结合图形即可得结果.【详解】如图，建立平面直角坐标系，则()()(0,0,3,0,3,33A B C ，可知AB BC ⊥，设()π15cos ,15sin ,0,3E θθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()()()15cos ,15sin ,315cos ,15sin ,315cos ,3315sin EA EB EC θθθθθθ=--=--=--，因为32EA tEB t EC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则()()3315cos 315cos 15cos 2t t θθθ⎛⎫-+--=-⎪⎝⎭，解得3cos 5θ=，且π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得4sin 5θ==，sin 4tan cos 3θθθ==，所以tan 4BD AB θ=⋅=.故答案为：4.【点睛】关键点点睛：建系，根据15AE =可设()π15cos ,15sin ,0,3E θθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，进而结合题意运算.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知21,e e 是夹角为60的两个单位向量，()12122,2a e e b e e λλ=-=-∈R .（1）若,a b可以作为一组基底，求实数λ的取值范围；（2）若,a b垂直，求实数λ的值；（3）求b的最小值.【答案】（1）()(),44,-∞⋃+∞（2）0λ=（3【解析】【分析】（1）根据向量不平行，21,e e 的系数比值不相等可解；（2）根据0a b ⋅=，结合数量积运算性质即可得解；（3）将向量模转化为数量积，根据二次函数性质可得.【小问1详解】因为,a b 可以作为一组基底，所以,a b不平行，又21,e e 不共线，所以212λ≠--，即4λ≠，所以，实数λ的取值范围为()(),44,∞∞-⋃+.【小问2详解】因为,a b 垂直，所以()()1212220a b e e e e λ⋅=-⋅-=，即()2211222420e e e e λλ-+⋅+= ，又22121211,11cos 602e e e e ==⋅=⨯⨯︒= ，所以()124202λλ-++=，解得0λ=.【小问3详解】因为()()22222221211222442413be e e e e e λλλλλλ=-=-⋅+=-+=-+ ，所以，当1λ=时，2b 取得最小值3，所以b.16.已知函数()cos f x x x =+.（1）求函数()f x 的值域和其图象的对称中心；（2）在ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足()f A =2a =，b =，求ABC 的面积S 的值.【答案】（1）值域为[]22-,，ππ,06k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，.（2【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简，根据正弦函数性质可得值域，利用整体代入法求解可得对称中心；（2）根据()f A =A ，利用余弦定理求出c ，然后由面积公式可得.【小问1详解】()πcos 2sin6f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以值域为[]22-,，令ππ6x k k +=∈Z ，，得ππ,6x k k =-+∈Z ，所以()f x 的对称中心坐标为ππ,06k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，.【小问2详解】由()π2sin 6f A A ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭得πsin 62A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0πA << ，ππ7π666A ∴<+<，所以ππ63A +=或2π3，即π6A =或π2A =，2a b =<=，π6A ∴=，由余弦定理得2π4122cos 6c =+-⨯，即2680c c -+=，解得2c =或4.当2c =时，11222S =⨯⨯=；当4c =时，11422S =⨯⨯=故所求ABC 的面积S 17.在五一假期中，某校组织全校学生开展了社会实践活动，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图.另外，根据参加社会实践活动的时间从长到短按4:4:2的比例分别被评为优秀、良好、合格.（1）求a 的值并估计该学校学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；（2）试估计至少参加多少小时的社会实践活动，方可被评为优秀.（结果保留两位小数）.（3）根据社会实践活动的成绩，按分层抽样的方式抽取5名学生.从这5名学生中，任选3人，求这3名学生成绩各不相同的概率.【答案】（1）0.07a =，20.32小时（2）21.73小时（3）25【解析】【分析】（1）利用频率之和为1得到方程，求出a ，利用平均数的定义进行计算；（2）即求60百分位数，先得到60百分位数位于18~22之间，设出60百分位数为y ，从而得到方程，求出答案；（3）按照分层抽样的概念得到优秀，良好，及格的人数，并列举出求解相应的概率.【小问1详解】由()0.020.060.0750.02541a ++++⨯=，解得0.07a =，因为()0.02120.06160.075200.07240.02528420.32⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=小时，所以该学校学生假期中参加社会实践活动的时间的平均数约为20.32小时.【小问2详解】时间从长到短按4:4:2的比例分别被评为优秀、良好、合格，由题意知，即求60百分位数，又()0.020.0640.32+⨯=，()0.020.060.07540.62++⨯=，所以60百分位数位于18~22之间，设60百分位数为y ，则180.60.3222180.3y --=-，解得561821.7315y =+≈小时.故至少参加21.73小时的社会实践活动，方可被评为优秀.【小问3详解】易知，5名学生中，优秀有452442⨯=++人，设为,A B ，良好有452442⨯=++人，设为,C D ，合格有251442⨯=++人，设为E .任选3人，总共有()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,A B C A B D A B E A C D A C E A D E ()()()(),,,,,,,,,,,B C D B C E B D E C D E ，10种情况，其中符合的有()()()(),,,,,,,,,,,A C E A D E B C E B D E ，共4种，故概率为42105p ==.18.在四棱台1111ABCD A B C D -中，BC AD ∥，平面11ABB A ⊥平面ABCD ，2AD =，CD =，1111AB BC AA A D ====，1120A AB ∠= .（1）求证：1//A B 平面11CDD C ；（2）求直线1AA 与直线CD 所成角的余弦值；（3）若Q 是1DD 的中点，求平面QAC 与平面ABCD 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）24（3）75555.【解析】【分析】（1）根据平行直线的传递性可得11A B CD ∥，然后根据线面平行的判定可得（2）方法一，取AD 中点E ，连1D E ，CE ，1BD ，则11AA D E ，BE CD ，所以1BED ∠就是直线1AA 与CD 所成的角，然后在直角三角形中求出余弦即可，方法二，如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x轴，AD 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系，然后求出平面的法向量，利用公式1cos cos AA CD θ=，求出即可（3）利用二面角的定义找出QMH ∠就是二面角Q AC D --的平面角，求出平面QAC 的法向量()m x y z = ，，和平面ABCD 的法向量()001n = ，，，利用cos cos ,n m θ= 求解即可.【小问1详解】连接1CD ，111BC A D == ，11BC AD A D ∥∥，11A BCD ∴是平行四边形，11AB CD ∴∥.又1⊄A B 面11CDD C ，1CD ⊂面11CDD C ，故1//A B 平面11CDD C 【小问2详解】法一：取AD 中点E ，连1D E ，CE ，1BD ，则11AA D E ，BE CD ，所以1BED ∠就是直线1AA 与CD 所成的角.在梯形ABCD 中，由已知可得AB AD ⊥，又平面11ABB A ⊥平面ABCD ，AB 是交线，AD ∴⊥平面11ABB A ，BC ∴⊥平面1CED ，1BC CD ∴⊥，12BD ∴=，1cos 4BED ∠∴==-，所以，直线1AA 与直线CD所成角的余弦值为4.法二：在梯形ABCD 中，由已知可得AB AD ⊥，平面11ABB A ⊥平面ABCD ，AB 是交线，AD ∴⊥面11ABB A ，如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系.则()000A ，，，()100B ，，，()110C ，，，()020D ，，，11022AA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，，，()110CD =-，，1cos cos 4AA CD θ∴==，.【小问3详解】法一：过1D 作CE 延长线的垂线于O ，连接OD ，取OD 中点H ，连接QH ，过H 作HM AC ⊥，连接QM .易证QH ⊥面ABCD ，则QMH ∠就是二面角Q AC D --的平面角.11324QH OD ==，728MH =，所以1108MQ =，故cos 55MH QMH MQ ∠==.法二：()11010A D BC == ，，，11122D ⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭，，，13424Q ⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭，，设()m x y z = ，，是平面QAC的法向量，则0130424x y x y z +=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，，令x =，得)m =-，又()001n =，，是平面ABCD 的法向量，所以cos cos ,55n m θ===.19.假设()G x 是定义在一个区间I 上的连续函数，且(){|}G x x I I ∈⊂.对0x I ∀∈，记()()1100x G x G x ==，()()()()22100x G x G G x G x ===，…，()()()100n n n x G G x G x -== .若某一个函数()G x 满足()()()21000n n n Gx pG x qG x ++=+，则有n n n x s t αβ=+（其中α，β为关于x 的方程2x px q =+的两个根，s ，t 是可以由0x ，1x 来确定的常数）.（1）若02x =，13x =且满足()()()212222n n n G G G ++=-+.（ⅰ）求2x ，3x 的值；（ⅱ）求n x 的表达式；（2）若函数()G x 的定义域为A ，值域为B ，且()0,A B ∞==+，且函数()G x 满足()()()216n n n G x G x G x ++=-+，求()G x 的解析式.【答案】（1）（ⅰ）21x =，35x =；（ⅱ）()71233n n x =-⋅-（2）()2G x x =【解析】【分析】（1）（ⅰ）由题意知212n n n x x x ++=-+，利用递推关系即可求解；（ⅱ）由题意知n nn x s t αβ=⋅+⋅，又α，β为22x x =-+的两个根可得()2nn x s t =+-，从而可得()01223x s t x s t =+=⎧⎨=+⨯-=⎩，求解即可；（2）由题意得()32nnn x s t =⋅-+⋅，又由值域为()0,B ∞=+可得0s =，从而可得0x t =，再由()10022x G x t x ===即可求解.【小问1详解】（ⅰ）由题意知212n n n x x x ++=-+，又02x =，13x =，所以2102341x x x =-+=-+=，32121235x x x =-+=-+⨯=.（ⅱ）由题意知，nnn x s t αβ=⋅+⋅，又α，β为22x x =-+的两个根1，2-，()2n n x s t ∴=+-.又()01223x s t x s t =+=⎧⎨=+⨯-=⎩，所以7313s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，()71233n n x ∴=-⋅-.【小问2详解】由题意知，α，β为关于x 的方程26x x =-+的两个根，所以3,2αβ=-=，则()32nnn x s t =⋅-+⋅，因为值域为()0,B ∞=+，易知0s =；2n n x t ∴=⋅，则002x t t =⋅=，()10022x G x t x ∴===，()2G x x ∴=.。
中职数学 2022-2023学年浙江省绍兴市中职学校高一(下)期末数学试卷
2022-2023学年浙江省绍兴市中职学校高一（下）期末数学试卷一．单项选择题（本大题共20小题，1-10小题每小题2分，11-20小题每小题2分，共50分）A ．y =3•2xB ．y =x -1C ．y =2-xD ．y =（-2）x1．（2分）下列函数中是指数函数的是（ ）A ．（=1B ．lg 1=0C ．3=D ．lo =-32．（2分）下列等式不成立的是（ ）M 2）0a -213a 2g218A ．B ．2C ．D ．53．（2分）已知A （4，6），B （6，2），求|AB |的长度为（ ）M 41M 592A ．0°B ．30°C ．60°D ．90°4．（2分）直线x =的倾斜角为（ ）M 3A ．（x +2）2+y 2=4B ．（x -2）2+y 2=4C ．（x +2）2+y 2=2D ．（x -2）2+y 2=25．（2分）已知圆C 以点（2，0）为圆心，且经过原点，则圆C 的标准方程为（ ）A ．（0，4），（0，-4）B ．（0，），（0，-）C ．（4，0），（-4，0）D ．（，0），（-，0）6．（2分）椭圆+=1的焦点坐标为（ ）x 29y 225M 34M 34M 34M 34A ．（0，1）B ．（1，0）C ．（0，-1）D ．（-1，0）7．（2分）抛物线y =的焦点坐标为（ ）14x 28．（2分）两条平行直线x -2y -3=0与x -2y +7=0之间的距离为（ ）A ．B ．2C ．D ．5M 5M 592A ．B ．-C ．-6D ．39．（2分）若直线l 1：x +3y -1=0与直线l 2：2x -my +5=0垂直，则m =（ ）2323A ．（0，3）B ．（1，4）C ．（-1，2.5）D ．（1，3）10．（2分）函数y =a x -1+2（a >0且a ≠1）过定点，则这个点为（ ）A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π11．（3分）已知球的半径是2，则该球的表面积是（ ）A ．B ．C ．D ．112．（3分）把一枚硬币任意的抛掷一次，则出现反面向上的概率为（ ）121314A ．B ．C ．D ．313．（3分）已知双曲线C ：-=1，其中y =2x 为其中一条渐近线，则此双曲线离心率为（ ）x 2a 2y 2b 2M 5M 2M 3A ．1B ．2C ．3D ．414．（3分）焦点在x 轴上的椭圆+=1的离心率为，则m =（ ）x 24y 2m 12A ．1B ．2C ．3D ．415．（3分）已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，P 为抛物线上一点，且|PF |=4，则点P 的横坐标为（ ）A ．（-，0）B ．（-，）16．（3分）若直线y =kx 与双曲线-=1相交，则k 的取值范围为（ ）x 29y 24232323二．填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）C ．（-∞，-）∪（，+∞）D ．（0，）232323A ．双曲线B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．圆17．（3分）若动点P 到点M （-2，0）与N （2，0）的距离之差为2，则点P 的轨迹为（ ）A ．B ．2C ．1D ．18．（3分）已知点P （x ,y ）是直线x -y +2=0上的动点，O 为坐标原点，则OP 的最小值为（ ）M 2M 2M 3A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条19．（3分）过点M （1，3）作直线l ,与抛物线y 2=4x 只有一个公共点，满足条件的直线有（ ）A ．[-，]B ．[-1，1]C ．[-1，]D ．[-，1]20．（3分）设直线y =x +m 与曲线y =（y ≥0）有公共点，则m 的取值范围为（ ）M 1-x 2M 2M 2M 2M 221．（4分）已知点（m ,n ）在直线3x +y -4=0上，则8m +2n 的最小值为．22．（4分）函数f （x ）=lg （2x -3）+的定义域为．1-42x 23．（4分）若函数f （x ）=，则f [f （3）]= ．{lo x ,x ≥2，x ＜2g 22x 24．（4分）在圆x 2+y 2+2x -4y =0内经过点（0，1）的最短弦的弦长为．25．（4分）抛掷一颗骰子，出现的点数不超过2的概率为 ．26．（4分）设P 为双曲线-=1上一点，F 1，F 2分别为双曲线两焦点，若|PF 1|=7，则|PF 2|= ．x 29y 216三．解答题（本大题共8小题，共72分）27．（4分）已知一个边长为2的正方体，有一个外接球，则此外接球的体积为 ．28．（7分）计算：（×+tan -lo 1+（sin +．12）-2813π3g 125π6）0M （-2）M 3229．（8分）从1，2，3，4，5，6这6个数字中随机抽取2个不同的数字，求：（1）这两个数字都是偶数的概率；（2）这两个数字之和是奇数的概率．30．（9分）对数函数f （x ）=log a x 经过点（8，3），则：（1）求函数解析式；（2）解不等式f （x +2）≥f （3-x ）．31．（9分）一个圆锥侧面展开图是半径为18cm ,圆心角为120°的扇形，求圆锥的侧面积和体积．32．（9分）已知△ABC 的坐标为A （3，2），B （5，-4），C （0，-1）．（1）求以AB 为直径的圆D 的标准方程；（2）直线AC 与圆D 相交，求相交弦的长．33．（10分）已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，且经过点P （0，），倾斜角为45°的直线l 过右焦点F 2与椭圆交于A ，B 两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）求△ABF 1的面积．x 2a 2y 2b212M 334．（10分）已知抛物线y 2=2px （p >0）的焦点为（1，0）．（1）求抛物线的标准方程；（2）求抛物线上的点到直线x +y +3=0的最小距离．35．（10分）已知双曲线与x 2-4y 2=1有相同的渐近线，且过点（4，）．（1）求双曲线的标准方程；（2）过点P （1，3）作直线l 与双曲线交于A ，B 两点，P 为AB 的中点，求直线l 的方程．M 2。
中职数学 2022-2023学年浙江省杭州市汽车技工学校高一(下)期末数学试卷(二)(A卷)
2022-2023学年浙江省杭州市汽车高级技工学校（升学班）高一（下）期末数学试卷（二）（A卷）一、选择题A ．{x |x >1或x <−16}B ．{x |−16<x <1}C ．{x |x >2或x <-3}D ．{x |-3<x <2}1．不等式1+5x -6x 2>0的解集为（ ）A ．（-∞，3]B ．（-∞，3）C ．[3，+∞）D ．（3，+∞）2．函数y =3x −27的定义域为（）√A ．{-2，-1，0，1}B ．{-1，0，1}C ．{-1，0}D ．{-2，-1，0}3．已知集合A ={x |-2<x ≤1}，B ={-2，-1，0，1}，则A ∩B =（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．“2a >2b ”是“log 2a >log 2b ”的（ ）A ．−45B ．−35C ．45D ．355．若sin (π+α)=−45，则cos (3π2−α)=（ ）A ．（4，5）B ．（5，-4）C ．{（5，-4）}D ．{（-4，5）}6．方程组V W X x +y =1x 2−y 2=−9的解集是（ ）A ．a +bB ．−(a +b )C ．a −bD ．b −a7．在△ABC 中，BC =a ，CA =b ，则AB 等于（ ）→→→→→→→→→→→→→A ．y =log a （2x ）B ．y =lg 10xC ．y =log a (x 2+x )D ．y =lnx8．下列函数是对数函数的是（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π29．直线x =3的倾斜角为（ ）√A ．∀实数x ,都有x >1B ．∃实数x ,使x <1C ．∀实数x ,都有x ≤1D ．∃实数x ,使x ≤110．命题“∃实数x ,使x >1”的否定是（ ）A ．1B ．2C ．i D ．2i11．设i 是虚数单位，则复数z =2i （1-i ）的虚部是（ ）A ．1：3B ．1：1C ．1：27D ．1：912．若两个球的半径之比为1：3，则这两球的体积之比为（ ）A ．8B ．12C ．16D ．2013．已知{a n }为等差数列，公差d =2，a 2+a 4+a 6=18，则a 5+a 7=（ ）A ．a =-1B ．a =2C ．a =-2或a =1D ．a =2或a =-114．若直线l 1：ax +2y -2=0与直线l 2：x +（a -1）y +（a 2+1）=0平行，则a 的值为（ ）A ．b >0>aB ．a >0>bC ．b >a >0D ．0>b >a15．下列四个选项中，能推出1a<1b的是（ ）16．已知函数f （x ）是定义在[-3，3]上的奇函数，当x >0时，f （x ）=-x （x +1），则f （-3）=（ ）二、填空题三、解答题A ．-12B ．12C ．9D ．-9A ．−12i B ．12i C ．−12D ．1217．复数z 满足（1-i ）•z =1，则复数z 的虚部为（ ）A ．y =±2xB ．y =±12xC ．y =±55xD ．y =±5x18．双曲线x 2-4y 2=4的渐近线方程为（ ）√√A ．3B ．32C ．32D ．119．已知向量|a |=1，|b |=3，若a 与b 的夹角为π6，则a •b 为（ ）→→√→→→→√√A ．−15B ．15C ．−75D ．7520．已知tan (π+α)=12，则sin 2α+cos 2α=（ ）21．实数a 满足4a −1<(12)a −4，则实数a 的取值范围为 .22．不等式x 2+2x -8≤0的解集是．23．已知函数f （x ）=x 2-2x +5，x ∈[-1，5]，则函数的最大值和最小值之积为．24．已知sin (α+π6)=33，则cos (2α+π3)=．√25．在等比数列{a n }中，已知a 2=4，a 4=8，则a 6=．。
浙江省丽水市2022-2023学年高一下学期6月期末教学质量监控数学试题及参考答案
丽水市2022学年第二学期普通高中教学质量监控高一数学试题卷本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共6页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至6页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
第Ⅰ卷 选择题部分（共60分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．已知i 为虚数单位，则i(12i)−=A. 2i +B.2i −C.2i −+D. 2i −−2．已知向量()1,2a = ，()cos ,sin b θθ= ，且向量a 与b平行，则tan θ的值为A. 12−B. 2−C.12D. 23．甲、乙两人进行射击比赛，甲的中靶概率为0.4，乙的中靶概率为0.5，则两人各射击一次，恰有一人中靶的概率是 A.0.2B.0.4C. 0.5D. 0.94．演讲比赛共有9位评委，分别给出某选手的原始评分9.2，9.5，9.6，9.1，9.3，9.0，8.8，9.3，9.7，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到7个有效评分．这7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A.极差B. 中位数C. 平均数D. 方差5．某中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛. 经统计，得到前200名学生分布的扇形图（如图）和前200名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误．．的是A. 成绩前200名的学生中，高一人数比高二人数多30人B. 成绩前100名的学生中，高一人数不超过50人C. 成绩前50名的学生中，高三人数不超过32人D. 成绩第51名到第100名的学生中，高二人数比高一人数多 6．如图，,,A B C 三点在半径为1的圆O 上运动，且AC BC ⊥，M 是圆O 外一点，2OM =，则2MA MB MC ++的最大值是A. 5B. 8C. 10D. 127．一个袋中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球和2个白球，从中一次性随机摸出2个球，则下列说法正确的是A. “恰好摸到1个红球”与“至少摸到1个白球”是互斥事件 B. “恰好没摸到红球”与“至多摸到1个白球”是对立事件 C. “至少摸到1个红球”的概率大于“至少摸到1个白球”的概率 D. “恰好摸到2个红球”与“恰好摸到2个白球”是相互独立事件 8．将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移3πω个单位得到函数()y g x =的图象，点,,A B C 是()y f x =与()y g x =图象的连续相邻的三个交点，若ABC ∆是锐角三角形，则ω的取值范围是 A. ) B. ) C. ,)+∞ D. ,)+∞(第6题图)前200名学生排名分布扇形图前200名学生中高一学生排名分布的频率条形图前200名学生分布的扇形图 前200名中高一学生排名分布的频率条形图二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，错选得0分．9．已知复数i (,R)z a b a b =+∈在复平面内对应的点为Z ，则下列结论中正确的是 A. 222||z a b =+ B. 222z a b =+C. 22z z a b⋅+D. 222||OZ a b =+10．已知,m n 是异面直线，αβ,是不同的平面，m α⊥，n β⊥，直线 l 满足l m ⊥，l n ⊥，则下列关系不可能．．．成立的是 A. //αβB. αβ⊥C. //l αD. l α⊥互相垂直，2BD =，1DE =，点P 是线段EF 上的动点，则下列命题中正确的是A. 不存在点P ，使得直线//DP 平面ACFB. 直线DP 与BC 所成角余弦值的取值范围是C. 直线DP 与平面ACF 所成角的取值范围是[0,]4πD. 三棱锥A CDE −的外接球被平面ACF 所截得的截面面积是9π8(第12题图)第Ⅱ卷 非选择题部分（共90分）注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
浙江省宁波市九校2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题(原卷版)
宁波市2022学年第二学期期末九校联考高一数学试题选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数13i12i z +=−，则z 的共轭复数的虚部为（ ）A. 1B. iC. i −D. 1−2. 在平面直角坐标系xOy 中，若角α以x 轴的非负半轴为始边，且终边过点()4,3−，则2πcos α −的值为（ ）A. 35B.35C. 45−D.453. 设l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若l α∥，l β ，则αβ∥ B. 若αβ⊥，l α∥，则l β⊥ C. 若l α⊥，l β⊥，则αβ∥D. 若αβ∥，l α∥，则l β4. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑A BCD −中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，且1ABBC CD ===，则其内切球表面积为（ ） A. 3πB.C. (3π−D.)1π−5. 已知等比数列{}n a 的前n 项积．为n T ，若798T T T >>，则（ ） A.0q <B. 10a <C. 15161T T <<D. 16171T T <<6. 如图，在棱长均为2的直三棱柱111ABC A B C 中，D 是11A B 的中点，过B 、C 、D 三点的平面将该三棱柱截成两部分，则顶点1B 所在部分的体积为（ ）A.B.C.D.7. 在ABC 中，0P 是边AB 的中点，且对于边AB 上任意一点P ，恒有00PB PC P B P C ⋅≥⋅，则ABC 一定是（ ） A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形8. 十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”.它的答案是：当三角形的三个角均小于120 时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120 ；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点，已知在ABC 中，已知2π3C =，1AC =，2BC =，且点M 在AB 线段上，且满足CM BM =，若点P 为AMC 的费马点，则PA PM PM PC PA PC ⋅+⋅+⋅=（ ） A. 1−B. 45−C. 35D. 25−二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列说法正确是（ ）A. 若//a b ，//b c，则//a c B. ()a b c a b c ⋅⋅≤C. 若()a cb ⊥− ，则a b ac ⋅=⋅D. ()()2a b b a b⋅⋅=⋅10. 下列说法正确的是（ ）A. 若()πsin 2cos 3f x x x ωω=++()0ω>的最小正周期为π，则2ω= B. 在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则“A B ＞”是“a b ＞”的充要条件 C. 三个不全相等的实数a ，b ，c 依次成等差数列，则2a ，2b ，2c 可能成等差数列 D. ABC 的斜二测直观图是边长为2的正三角形，则ABC的面积为11. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的数学著作，其中第十一卷称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，AB ，CD 是直角圆锥SO 底面圆的两条不同的直径，下列说法正确的是（ ）的A. 存在某条直径CD ，使得AD SD ⊥B. 若2AB =，则三棱锥S AOD −体积的最大值为16C. 对于任意直径CD ，直线AD 与直线SB 互为异面直线D. 若π6ABD ∠=，则异面直线SA 与CD12. 已知数列{}n a 中各项都小于2，221143n n n n a a a a ++−=−，记数列{}n a 前n 项和为n S ，则以下结论正确的是（ ）A. 任意1a 与正整数m ，使得10m m a a +≥B. 存在1a 与正整数m ，使得134m m a a +>C. 任意非零实数1a 与正整数m ，都有1m m a a +<D. 若11a =，则()2022 1.5,4S ∈非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 杭州第19届亚运会会徽“潮涌”主题图形融合了扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网及太阳六大元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蕴.在中国历史上，历代书画家都喜欢在扇面上绘画或书写以抒情达意.一幅扇面书法作品如图所示，经测量，上、下两条弧分别是半径为30和12的两个同心圆上的弧（长度单位为cm ），侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心，且圆心角为2π3.若某空间几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致，则该几何体的高为______.的的14. 已知等差数列{}n a ，88a =，9π83a =+，则576cos cos cos a a a +=______. 15. 如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，13BC CC ==，4AC =，AC BC ⊥，动点P 在111A B C △内（包括边界上），且始终满足1BP AB ⊥，则动点P 的轨迹长度是______.16. 已知向量a ，b 夹角为π3，且3a b ⋅= ，向量c 满足()()101c a b λλλ+−<< ，且a c b c ⋅=⋅ ，记c a x a ⋅=，c b y b ⋅= ，则22x x y y +−的最大值为______. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 定义一种运算：(),c a b ac bd d=+.（1）已知z 为复数，且()3,73i 4z z =−，求z ；（2）已知x 、y 为实数，()()2sin i sin 2,21,sin x y x x y+−也是实数，将y 表示为x 的函数并求该函数的单调递增区间.18. 今年9月，象山将承办第19届杭州亚运会帆船与沙滩排球项目比赛，届时大量游客来象打卡“北纬30度最美海岸线”.其中亚帆中心所在地——松兰山旅游度假区每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化.现假设该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数()()40cos 4f x A x k ω=++ 来刻画.其中正整数x 表示月份且[]1,12x ∈，例如1x =时表示1月份，A 和k 是正整数，0ω>.统计发现，该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：①各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同；②从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约160人； ③2月份从事旅游服务工作的人数约为40人，随后逐月递增直到8月份达到最多.的的（1）试根据已知信息，确定一个符合条件的()y f x =的表达式；（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过160人时，该地区就进入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由. 19. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且243n S n n =+−.（1）求{}n a 的通项公式； （2）记125n n n n b S S ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .20. 在ABC 中，内角A ，B 都是锐角.（1）若π3C ∠=，2c =，求ABC 周长的取值范围； （2）若222sin sin sin A B C +>，求证：22sin sin 1A B +>.21. 已知边长为6的菱形ABCD ，π3ABC ∠=，把ABC 沿着AC 翻折至1AB C 的位置，构成三棱锥1B ACD −，且112DE DB = ，13CF CD =，FE =（1）证明：1AC B D ⊥；（2）求二面角1B AC D −−的大小； （3）求EF 与平面1AB C 所成角的正弦值.22. 已知数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，其前n 项和n S 满足：()21n n n S a S =−，且0n S ≠，数列{}n b 满足：对任意*n ∈N 有()11212122n n nb b b n S S S ++++=−⋅+ . （1）求证：数列1n S是等差数列；（2）求数列{}n b 的通项公式；（3）设n T 是数列122n n n b b − −的前n 项和，求证：32n T <.。
浙江省杭州市2022-2023学年高一下学期期末数学试题(解析版)
2022学年第二学期杭州市高一年级教学质量检测数学试题卷考生须知：1.本试卷分试题卷和答题卡两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，必须在答题卡指定位置上用黑笔填写学校名､姓名､试场号､座位号､准考证号，并用2B 铅笔将准考证号所对应的数字涂黑.3.答案必须写在答题卡相应的位置上，写在其他地方无效.一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）1. 设集合{}{}21,2,3,4,230AB xx x ==−−≤∣，则A B = （ ）A. {}1,2,3,4B. {}1,2,3C. {}1,2D. {}1【答案】B 【解析】【分析】先求出集合B ，再求两集合的交集.【详解】由2230x x −−≤，得(1)(3)0x x +−≤，解得13x −≤≤， 所以{}13B x x =−≤≤，因为{}1,2,3,4A =，所以A B = {}1,2,3， 故选：B2. 若i 23i z ⋅=+（i 是虚数单位），则z =（ ）A. 2B. 3C.D. 【答案】C 【解析】【分析】先求得32i z =−，再根据模长公式即可求解. 【详解】因为()()()23i i 23i32i ii i z +−+===−−，所以z =.故选：C3. 军事上角的度量常用密位制，密位制的单位是“密位”1密位就是圆周的16000所对的圆心角的大小，.若角1000α=密位，则α=（ ） A.π6B.π4C.π3D.5π12【答案】C 【解析】【分析】由密位制与弧度的换算公式可得，10002π6000α=×，从而可得解． 【详解】因为1密位等于圆周角的16000， 所以角1000α=密位时，1000π2π60003α=×=， 故选：C ．4. 已知平面α⊥平面β，直线l α⊄，则“l β⊥”是“//l α”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的性质分析判断. 【详解】设m αβ= ，在平面α内作a m ⊥， 因为平面α⊥平面β，所以a β⊥， 因为l β⊥，所以a ∥l ， 因为l α⊄，a α⊂， 所以//l α，而当平面α⊥平面β，直线l α⊄，//l α时，l 与平面β可能垂直，可能平行，可能相交不垂直， 所以“l β⊥”是“//l α”的充分而不必要条件， 故选：A5. 杭州亚运会火炬如图（1）所示，小红在数学建模活动时将其抽象为图（2）所示的几何体.假设火炬装满燃料，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为h ，则h 关于时间t 的函数的大致图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据火炬的形状：中间细、上下粗来分析剩余燃料的高度h 随时间t 变化的下降速度. 【详解】由图可知，该火炬中间细，上下粗，燃烧时燃料以均匀的速度消耗， 燃料在燃烧时，燃料的高度一直在下降，刚开始时下降的速度越来越快， 燃料液面到达火炬最细处后，燃料的高度下降得越来越慢， 结合所得的函数图象，A 选项较为合适. 故选：A.6. 雷峰塔位于杭州市西湖景区，主体为平面八角形体仿唐宋楼阁式塔，总占地面积3133平方米，项目学习小组为了测量雷峰塔的高度，如图选取了与底部水平的直线BC ，测得ABC ∠、ADC ∠的度数分别为α、β，以及D 、B 两点间的距离d ，则塔高AC =（ ）A. ()sin sin sin d αββα−B. ()sin sin cos d αββα−C.()tan tan tan d αββα−D.()sin cos sin d αββα−【答案】A 【解析】【分析】利用正弦定理可求得AD ，进而可得出sin AC AD β=，即为所求. 【详解】在ABD △中，BAD ADC ABC βα∠=∠−∠=−，由正弦定理可得sin sin BD AD BAD ABC=∠∠，即()sin sin d AD βαα=−，得()sin sin d AD αβα=−， 由题意可知，AC BC ⊥，所以，()sin sin sin sin d AC AD ADC αββα=∠=−.故选：A.7. 已知函数()()πe π,e xf x xg x =+=（e 为自然对数的底数），则（ ） A. ()()()0,,x f x g x ∞∀∈+> B. 0e ,e ππx∃∈，当0x x =时，()()f x g x = C. ()()e ,e π,πx f x g x∀∈<D. ()2π0e ,x ∞∃∈+，当0x x >时，()()f x g x <【答案】D 【解析】【分析】观察到()(),f x g x 分别为一次函数和指数函数，则数形结合，依次判定即可.【详解】由题，假设当1x x =时，()()f x g x =，作出示意图如图所示：则1(0,)x x ∈时，()()f x g x >， 当1(,)x x ∈+∞时，()()f x g x <，则A 选项错误；因为e 1e π9π<<<，()()π1e π,1e f g =+=，()()11f g >，故C 选项错误，且()()()()()39393π99e π10e,9 1.299128,e .2f g f g=+>=<><<=，则结合图像可知，当ee ππx <<时，()()f x g x >恒成立，故B 选项错误； 对于D 选项，x →+∞时，由图可知()()f x g x <，则D 选项正确.故选：D.8. 设函数()()ππ3πsin 0,,0,1288f x x f f ωϕωϕ=+><−==，且()f x 在区间π,1224π− 上单调，则ω的最大值为（ ） A. 1 B. 3C. 5D. 7【答案】B 【解析】【分析】根据π08f−= 与3π18f =可得()()211221,k k k k ω=−+∈Z ，再根据单调性可得8ω≤，验证7ω=， 5ω=与3ω=即可.【详解】由π08f−=,得()11ππ8k k ωϕ−+=∈Z ， 由3π18f =，得()223πππ82k k ωϕ+=+∈Z ， 两式作差，得()()211221,k k k k ω=−+∈Z ，因为()f x 在区间π,1224π−上单调，所以π12π2412π2ω+≤⋅，得8ω≤.当7ω=时，()117ππ8k k ϕ−+=∈Z ,因为π2ϕ<,所以π8ϕ=−, 所以()πsin 78f x x=−. 24ππ,12x∈−，π17π7π,8246x −∈− ,因为17ππ242−<−，所以()f x 在区间π,1224π−上不单调，不符合题意； 当5ω=时，()115ππ8k k ϕ−+=∈Z ，因π2ϕ<,所以3π8ϕ=−， 所以()3πsin 58f x x=−. 24ππ,12x∈−，3π19π5π,8246x −∈−− ,因为19ππ242−<−，所以()f x 在区间π,1224π−上不单调，不符合题意； 当3ω=时，()113ππ8k k ϕ−+=∈Z ，因为π2ϕ<,所以3π8ϕ=,所以()3πsin 38f x x=+. 24ππ,12x∈−，3πππ3,882x +∈ ，所以()f x 在区间π,1224π−上单调，符合题意，所以ω的最大值是3.故选:B.二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.） 9. 已知函数()2121x x f x −=+，则（ ）为A. 函数()f x 的图象关于原点对称B. 函数()f x 的图象关于y 轴对称C. 函数()f x 的值域为()1,1−D. 函数()f x 是减函数【答案】AC 【解析】【分析】求函数()f x 的奇偶性可判断AB ；分离参数可得()2121x f x =−+，根据指数函数的值域可判断C ；根据单调性的定义可判断D.【详解】()f x 的定义域为R ，()2121x x f x −=+，则()()21212121x x x x f x f x −−−−−==−=−++，所以()f x 为奇函数，()f x 的图象关于原点对称,A 正确，B 错误；()21212121x x x f x −==−++，因为211x +>,所以10121x<<+,20221x <<+， 所以211121x −<−<+,故()f x 的值域为()1,1−,C 正确； 设21x x >,则()()212122112121x x f x f x−=−−− ++()()()2112122222221212121x x x x x x −−=++++, 因为21x x >，所以2112220,210,210x x x x −>+>+>， 所以()()210f x f x −>,即()()21f x f x >， 所以函数()f x 是增函数，故D 错误， 故选:AC.10. 如图，O 是正六边形ABCDEF 的中心，则（ ）A. AB AF AO −=B. 3AC AE AD +=C. OA OC OB OD ⋅=⋅D. AD 在AB上的投影向量为AB【答案】CD 【解析】【分析】根据向量的线性运算法则，可判定A 、B 不正确，结合向量的数量积的定义域运算，可判定C 正确，结合向量的投影的定义与运算，可判定D 正确. 【详解】根据题意，结合平面向量的线性运算法则，可得：对于A 中，由B F AO FB A A =−≠，所以A 不正确；对于B 中，由232AO OC AO OE A AC AE O OC OE AO O A D O =+++=+=+++，所以B 不正确；对于C 中，设正六边形的边长为a ，可得111cos1202OA OC ⋅=××=−，111cos1202OB OD ⋅=××=− ，所以OA OC OB OD ⋅=⋅ ，所以C 正确；对于D 中，如图所示，连接BD ，可得BD AB ⊥，可得cos AD DAB AB ∠=，所以AD 在向量AB 上的投影向量为AB AB AB AB⋅= ，所以D 正确. 故选：CD.11. 如图，质点A 和B 在单位圆O 上逆时针作匀速圆周运动.若A 和B 同时出发，A 的角速度为1rad /s ，起点位置坐标为12 ，B 的角速度为2rad /s ，起点位置坐标为()1,0，则（ ）A. 在1s 末，点B 的坐标为()sin2,cos2B. 在1s 末，扇形AOB 的弧长为π13− C. 在7πs 3末，点,A B 在单位圆上第二次重合 D. AOB 面积的最大值为12 【答案】BCD 【解析】【分析】求出1s 末点A 和B 的坐标可判断选项AB;求出7πs 3末点A 和B 的坐标，结合诱导公式可判断C ；根据三角形面积公式可判断D.【详解】在1s 末,点B 的坐标为()sin2,cos2，点A 的坐标为ππcos 1,sin 133 ++；π13AOB ∠=−，扇形AOB 的弧长为π13−；设在s t 末，点,A B 在单位圆上第二次重合， 则π7π22π33t t t −==+=，故在7πs 3末，点,A B 在单位圆上第二次重合； 1sin 2AOBS AOB =∠△,经过5π6s 后，可得π2AOB ∠=，AOB 面积的可取得最大值12. 故选:BCD.12. 圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球.如图，圆锥PO 的内切球和外接球的球心重合，且圆锥PO 的底面直径为2a ，则（ ）A. 设内切球的半径为1r ，外接球的半径为2r ，则212r r =B. 设内切球的表面积1S ，外接球的表面积为2S ，则124S S =C. 设圆锥的体积为1V ，内切球的体积为2V ，则1294V V =D. 设S 、T 是圆锥底面圆上的两点，且ST a =，则平面PST 截内切球所得截面的面积为2π15a【答案】ACD 【解析】【分析】作出圆锥的轴截面，依题意可得PAB 为等边三角形，设球心为G （即为PAB 的重心），即可求出PAB 的外接圆和内切圆的半径，即可为圆锥的外接球、内切球的半径，即可判断A 、B ，由圆锥及球的体积公式判断C ， ST所对的圆心角为π3（在圆O 上），设ST 的中点为D ，即可求出OD ，不妨设D 为OB 上的点，连接PD ，过点G 作GE PD ⊥交PD 于点E ，利用三角形相似求出GE ，即可求出截面圆的半径，从而判断D.【详解】作出圆锥的轴截面如下：因为圆锥PO 的内切球和外接球的球心重合，所以PAB 为等边三角形， 又2PB a =，所以OP ，设球心为G （即为PAB 的重心），所以23PGPO ==，13OG PO ==，即内切球的半径为1r OG ==，外接球的半径为2r PG ==，所以212r r =，故A 正确；设内切球表面积1S ，外接球的表面积为2S ，则214S S =，故B 错误； 设圆锥的体积为1V，则3121ππ3V a a ， 内切球的体积为2V，则3324π3V a ==，所以1249V V =，故C 正确； 设S 、T 是圆锥底面圆上的两点，且ST a =，则 ST所对的圆心角为π3（在圆O 上），的设ST的中点为D，则πsin3OD a==，不妨设D为OB上的点，连接PD，则PD过点G作GE PD⊥交PD于点E，则PEG POD∽，所以GE PGOD PD=，=，解得GE=，所以平面PST截内切球截面圆的半径r所以截面圆的面积为22π15πar=，故D正确；故选：ACD【点睛】关键点睛：本题解答的关键是由题意得到圆锥的轴截面三角形为等边三角形，从而确定外接球、内切球的半径.二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 设函数()12,01,02xx xf xx>=<，若()12f a=，则=a__________.【答案】14##0.25【解析】【分析】分段求解方程和指数方程，则问题得解.【详解】当0a>时，1212a=，14a∴=，当a<0时，1122a=，1a∴=(舍)．14a∴=．故答案为：14. 14. 将曲线sin y x =上所有点向左平移(0)ϕϕ>个单位，得到函数sin y x =−的图象，则ϕ的最小值为__________. 【答案】π 【解析】【分析】先利用三角函数图象变换规律求出平移后的解析，再由两函数图象相同列方程可求得结果.【详解】将曲线sin y x =上所有点向左平移(0)ϕϕ>个单位，可得sin()y x ϕ=+， 因为sin()y x ϕ=+与sin y x =−的图象相同， 所以π2π,k k ϕ=+∈Z ， 因为0ϕ>，所以ϕ的最小值为π， 故答案为：π15. 已知正三棱柱111ABC A B C 的各条棱长都是2，则直线1CB 与平面11AA B B 所成角的正切值为__________；直线1CB 与直线1A B 所成角的余弦值为__________. 【答案】 ①. ②. 14##0.25【解析】【分析】空1：取AB 中点D ，连接1,CD B D ，则可得1CB D ∠为直线1CB 与平面11AA B B 所成角，然后在1CB D 中求解即可；空2：分别取111,,BC BB A B 的中点,,E F G ，连接,,EF FG EG ，则可得EFG ∠（或其补角）为直线1CB 与直线1A B 所成角，然后在EFG 中求解即可. 【详解】空1：取AB 的中点D ，连接1,CD B D ， 因为ABC 为等边三角形，所以CD AB ⊥， 因为1BB ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以1BB CD ⊥，因为1BB AB B ∩=，1,BB AB ⊂平面11AA B B ， 所以CD ⊥平面11AA B B ，的所以1CB D ∠直线1CB 与平面11AA B B 所成角， 因为正三棱柱111ABC A B C 的各条棱长都是2，所以12CD DB ===所以11tan CD CB D DB ∠=所以直线1CB 与平面11AA B B空2：分别取111,,BC BB A B 的中点,,E F G ，连接,,EF FG EG ，则EF ∥1B C，11122EF B C ==×， FG ∥1A B，11122FG A B ==×，所以EFG ∠（或其补角）为直线1CB 与直线1A B 所成角， 连接,DG DE，则EG =，在EFG 中，由余弦定理得2221cos 24EF FG EG EFG EF FG +−∠==−⋅， 因为异面直线所成的角的范围为0,2π，所以直线1CB 与直线1A B 所成角的余弦值为14，14.为16. 对于函数()()yf x x I ∈，若存在0x I ∈，使得()00f x x =，则称0x 为函数()y f x =的“不动点”.若存在0x I ∈，使得()()0ff x x=，则称0x 为函数()y f x =的“稳定点”.记函数()y f x =的“不动点”和“稳定点”的集合分别为A 和B ，即(){}()(){}|,|A x f x x B x f f x x ====.经研究发现：若函数()f x 为增函数，则A B =.设函数())R f x a ∈，若存在[]0,1b ∈使()()f f b b =成立，则a 的取值范围是__________. 【答案】10,4【解析】【分析】先判断())R f x a ∈是增函数，再根据题意可得()f b b =，代入可得2a b b =−，再结合二次函数的性质即可求解a 的取值范围.【详解】因为())R f x a ∈是增函数，所以()()ff b b =等价于()f b b =b =，所以2a b b =−，而2a b b =−在10,2上单调递增，在1,12上单调递减， 所以max 14a =，而当0b =时，0a =；当1b =时，0a =，即min 0a =， 所以a 的取值范围为10,4.故答案为：10,4三､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17. 在平面直角坐标系中，已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34,55P−． （1）求sin α的值；（2）若角β满足()sin αβ+，求cos β的值．【答案】（1）45−（2【解析】【分析】（1）根据某个角正弦的定义，直接求解即可；（2）首先由同角的三角函数的平方关系求出()cos αβ+，根据()cos cos βαβα =+− 及两角差的余弦公式，代入计算即可． 【小问1详解】由角α的终边过点34,55P −，得4sin 5y r α===−．【小问2详解】由角α的终边过点34,55P − ，得3cos 5x r α==， 由()sin αβ+()1cos 2αβ+=±， ()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα =+−=+++ ，当()1cos 2αβ+=时，134cos 255β =×+−=当()1cos 2αβ+=−时，134cos 255β =−×+−综上所述，cos β=．18. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量mg /L P 与时间h t 间的关系为0e kt P P −=（其中0,P k 是正常数）.已知在前5个小时消除了10%的污染物.（1）求k 的值（精称到0.01）； （2）求污染物减少50%需要花的时间（精确到0.1h ）？参考数据：ln20.693,ln3 1.099,ln5 1.609===. 【答案】（1）0.02 （2）34.7【解析】【分析】（1）由题意可得5000.9e kP P −=，求解即可；（2）由题意可得0.02000.5e tP P −=，求解即可.【小问1详解】 由0ektP P −=知，当0=t 时，0P P =；当5t =时，()0110%PP =−；即5000.9ekP P −=，所以1ln0.95k =−，即()()1911ln 2ln3ln102ln3ln2ln50.0251055k =−=−×−=−×−−≈； 【小问2详解】当00.5P P =时，0.02000.5e tP P −=，即0.020.5e t −=，则50ln234.7t≈.故污染物减少50%需要花的时间约为34.7h .19. 我们把由平面内夹角成60°的两条数轴,Ox Oy 构成的坐标系，称为“@未来坐标系”.如图所示，21,e e分别为,Ox Oy 正方向上的单位向量.若向量12OP xe ye =+ ，则把实数对(),x y 叫做向量OP的“@未来坐标”，记{,}OP x y =.已知{}{}1122,,,x y x y 分别为向是,a b的@未来坐标.（1）证明：{}{}{}11221212,,,x y x y x x y y +=++；（2）若向量,a b 的“@未来坐标”分别为{}1,2，{}2,1，求向量,a b的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）1314【解析】【分析】（1）因为{}{}111122122122,,,x y a x y x y b e e e y e x ==+==+，则{}{}()()111221122221,,x y e y x x y e x y e e +=+++计算即可证明；（2）由题意可得12122,2b e a e e e =+=+，根据向量夹角公式即可求解.因为{}{}111122122122,,,x y a x y x y b e e e y e x ==+==+， 所以{}{}()()111221122221,,x y e y x x y e x y e e +=+++()()211122x x y y e e =+++{}1212,x x y y =++【小问2详解】12122,2b e a e e e =+=+ ，()()221212121213222252a b e e e e e e e e ⋅+⋅+++⋅ ，122a e e =+=== ，212b e e =+===，所以13cos ,14a b a ba b⋅==. 20. 在四边形ABCD 中，//,sin 2sin AB CD AD ADC CD ABC ∠∠⋅=⋅.（1）求证：2BC CD =.（2）若33AB CD ==，且sin sin60AD ADB AB ∠°⋅=⋅，求四边形ABCD 的面积. 【答案】（1）证明见解析（2）若60ABD ∠= ，则四边形ABCD， 若120ABD ∠= ，则四边形ABCD【解析】【分析】（1）由条件结合正弦定理证明sin sin AD ADC BC ABC ⋅∠=⋅∠，由此证明结论； （2）由条件结合正弦定理求ABD ∠，由余弦定理求BD ，结合三角形面积公式求结论.在ACD 中，由正弦定理得sin sin AD ADC AC ACD ∠⋅∠⋅，因为AB CD ，所以ACD CAB ∠=∠， 所以sin sin AD ADC AC CAB ∠⋅∠⋅， ABC 中，由正弦定理得，即sin sin AC CAB BC ABC ∠⋅=⋅∠， 所以sin sin AD ADC BC ABC ⋅∠=⋅∠. 又sin 2sin AD ADC CD ABC ⋅∠=⋅∠， 所以sin 2sin BC ABC CD ABC ⋅∠=⋅∠， 所以2BC CD =.【小问2详解】在ABD △中，由正弦定理得sin sin sin60AD ADB AB ABD AB ∠∠⋅=⋅=⋅ ， 所以sin sin60ABD ∠= ， 所以60ABD ∠= 或120 ，①当60ABD ∠= 时，则60BDC ∠= ，在BCD △中，由余弦定理得，230BD BD −−=，又0BD >，解得BD =此时四边形ABCD 的面积()1S sin602AB CD BD =+××= ②当120ABD ∠= 时，则120BDC ∠= ， 在BCD △中，由余弦定理得，230BD BD +−=，解得BD =，在此时四边形ABCD 的面积()1sin1202S AB CD BD =+××=21. 生活中为了美观起见，售货员用彩绳对长方体礼品盆进行捆扎.有以下两种捆扎方案：方案(1)为十字捆扎(如图(1))，方案(2)为对角捆扎(如图(2)).设礼品盒的长AB ，宽BC ，高1AA 分别为30cm,20cm,10cm .（1）在方案(2)中，若111110cm LA A E IC C H FB BG ======，设平面LEF 与平面GHI 的交线为l ，求证：//l 平面ABCD ；（2）不考虑花结用绳，对于以上两种捆扎方式，你认为哪一种方式所用彩绳最少，最短绳长为多少cm ？ 【答案】（1）证明见解析 （2）方案(2)，最短绳长为100cm 【解析】【分析】（1）先证明LE IH ∥，从而可证LE 平面IHG ，进而得LE l ∥，从而可证l 平面1111D C B A ，从而可证//l 平面ABCD ；（2）方案1中，绳长为()()3010220102140cm +×++×=；方案2中，将长方体盒子展开在一个平面上，在平面展开图中彩绳是一条由F 到F ′的折线，从而可计算最短绳长. 【小问1详解】连接,LI EH ，在长方体中，111110cm LA A E IC C H FB BG ======， 则111110cm,20cm B LD B E ID H ====，所以LE IHLI EH ==，所以LE IH =，LI EH =，所以四边形LEHI 是平行四边形，LE IH ∴∥，又LE ⊄ 平面,IHG LE ⊂平面LEF LE ∴ 平面IHG ； 又LE ⊂ 平面LEF ，平面LEF ∩平面,GHI l LE l =∴∥； 又l ⊄ 平面1111,A B C D LE ⊂平面1111,A B C D l ∴ 平面1111D C B A ， 又l ⊄ 平面,ABCD l ∴ 平面ABCD ； 【小问2详解】方案1中，绳长为()()3010220102140cm +×++×=； 方案2中，将长方体盒子展开在一个平面上，在平面展开图中彩绳是一条由F 到F ′的折线，如图所示，在扎紧的情况下，彩绳长度的最小值为FF ′长度，因为FB F B =′′′，所以100cm FF BB ′′′===，所以彩绳的最短长度为100cm .22. 已知函数()()1(0),(0)f x x x g x x x x=+>=>. （1）直接写出()()()()1f x g x g x f x −<−+的解集；（2）若()()()123f x f x g x ==，其中12x x <，求()()123f x x g x ++的取值范围；（3）已知x 为正整数，求()()()()22121h x m x m x m ∗=+−+∈N的最小值（用m 表示）.【答案】（1）()2,+∞； （2）()()12392f x xg x ++>；（3）()min 322,1,8,2,()24,333,3m m h x m m m m m m ∗−= −= ∈ −=−+−+> N . 【解析】【分析】（1）转化为求解()1110x x x<−>，分01x <≤与1x >讨论即可求解； （2）根据韦达定理得()122t x x t +=>，再根据对勾函数的性质即可求解； （3）根据二次函数的性质分类讨论即可求解.【小问1详解】∵()()1(0),(0)f x x x g x x x x=+>=>， ∴()()()()1f x g x g x f x −<−+即为()1110x x x <−>, 当01x <≤时，110x −≤，故()1110x x x<−>，显然不成立； 当1x >时，110x −>，故()1110x x x <−>，即()210x x<>,解得2x >. 综上所述，()()()()1f x g x g x f x −<−+的解集为()2,+∞.【小问2详解】设()()()123f x f x g x t ===，则3x t =， 令1x t x+=，整理得：210x tx −+=， 故12x x t +=，且2Δ40t =−>，得2t >. ∴()()12312f x x g x t t ++=+在2+)∞（， 上单调递增， 所以11922222t t +>×+=， 即()()12392f x xg x ++>. 【小问3详解】 ()()()()()222222111211,11m mh x m x m x m x m m + +=+−+=+−− ++2121,11m m m m +=−+++ ()2,111m m m ∗∗∈∴−∈≤+N N ，， ①1m =时，()min 211,()121m h x h m −+=∴==−+； ②2m =时，()min 251,()2813m h x h m −+=∴==−+； ③3m =时，()()min 251,()232412m h x h h m −+=∴===−+； ④3m >时，2121,1111212m m m m m <−<−+<−+++， ∴()32min ()133h x h m m m m =−=−+−+. 综上所述，()min 322,1,8,2,()24,333,3m m h x m m m m m m ∗−= −= =∈ −=−+−+> N。
浙江省金华市高一数学下学期期末考试试题(1)
2021-2021学年浙江省金华市一般高中高一（下）期末考试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每题5分，总分值50分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1．集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x＜2}，那么A∩B=（）A、 B、{0，1} C、{0，1，2} D、{x|x＜2}2．函数f（x）=log3（2﹣x）的概念域是（）A． [2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，2] D．（﹣∞，2）3．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，﹣4），那么2+3=（）A．（﹣4，﹣8）B．（﹣5，﹣10）C．（﹣3，﹣6）D．（﹣2，﹣4）4．直线x+y﹣1=0的倾斜角为（）A．B．C．D．5．以下函数中，图象如图的函数可能是（）A．y=x3B．y=2x C．y=D．y=log2x6．设x、y知足约束条件，那么z=2x﹣y的最大值为（）A．0B．2C．3D．7．在等差数列{a n}中，假设a3+a4+a5+a6+a7=450，那么a1+a9的值等于（）A．45B．75C．180D．3008．假设a，b，c∈R，且a＞b，那么以下不等式必然成立的是（）A．a+c≥b﹣c B．a c＞bc C．＞0D．（a﹣b）c2≥09．要取得函数y=2sin2x的图象，只需将函数y=2sin（2x﹣）的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位10．已知x，y均为正数且x+2y=xy，那么（）A．xy+有最小值4B．xy+有最小值3C．x+2y+有最小值11D．xy﹣7+有最小值11二、填空题：本大题共7小题，每题4分，总分值28分。
11．（4分）log212﹣log23= _________ ．12．（4分）假设直线mx+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，那么m= _________ ．13．（4分）假设向量、的夹角为，==1，那么= _________ ．14．（4分）已知cosα=﹣，α∈（，π），那么sin（α﹣）= _________ ．15．（4分），那么= _________ ．16．（4分）函数f（x）=cos2x+sinxcosx在[﹣，]的取值范围是_________ ．17．（4分）关于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[2]=2，[2.1]=2；[﹣2.2]=﹣3，那么[log31]+[log32]+[log33]+…+[log3243]的值为_________ ．三、解答题：本大题共5小题，总分值72分.解许诺写出文字说明，证明进程或演算步骤。