高中数学双曲线课件
A.双曲线 B.双曲线的一支 C.一条射线 D.两条射线 (2)已知两圆C1:(x+4)2+y2=2 ,
C2:(x-4)2+y2=2,动圆M与两圆C1,C2都相切,
x y 则动圆圆心M的轨迹是____ 1或x 0 2 14
2 2
x y (3)双曲线 2 2 1( a 0,b 0), a b 过焦点F 1的直线交在双曲线的一 支 上的弦长AB为m, 另一焦点为F 2 ,
2 2
焦点是 (-c,0)和(c,0) 焦点是
M
M F2
y x 2 1 2 a b y
2
2
(0,-c)和(0,c)
y
F1
O
F2
x
O
x
F1
其中c2=a2+b2
标准方程
x y 2 1 2 a b
y
2
2
y2 x2 2 1 2 a b
y F1
图 形
F1
O
F2 x
O F2
x
焦点坐标 范 围 对称性 顶
2 2
x asecθ （为参数） y btanθ
重要结论
x y 双曲线 2 2 1 的焦点到相应的顶点 a b
2 2
之间的距离为: c a
x y 双曲线 2 2 1 的焦准距(焦点到相应 a b
2 2
a b 准线的距离)长为: c c c
2
2
重要结论
（1）求证 （ OP （ OP 0 : OA ） OB ）
（2）求 | AB |的最小值
B2
. .
A2
B2
2 2 2 2
图形
. .
F1
y
y
F2
F2(0,c)
B1
A1 A2
O
F2
x
F1(-c,0)
2 2
B1 F2(c,0)
A1 O F1
x F1(0,-c)
方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐进线
x y c 双曲线系 2 2 ( 0) 的离心率为:e a b a
2 2
b x y 双曲线系 2 2 ( 0) 的渐近线为: y x a b a
2 2
x y 双曲线系 2 2 2 1 的焦点为:(c,0) a a c
2
2
【基础练习一】求满足条件的双曲线的标准方程:
9 (3)已知M到P(5,0)的距离与它到直线 x 的距 5 5 ,求M的轨迹方程. 2 2 离之比为 x y
3
9
16
1
x y (4)如果方程 1表示双曲线， 2 m m 1 求m的取值范围.
2
2
方程mx2+ny2=1表示双曲线 mn<0
【题型1 】双曲线的定义及应用 例1.(1)动点P到定点F1(1,0)的距离比它到 F2(3,0)的距离小2,则点P的轨迹是( C )
1 1 (e1 e2 ) (e1 2e1e2 e2 )( 2 2 ) e1 e2
2
2
2
2e2 2e1 e1 e2 (1 1 2 2 ) 242 8 e1 e2 e2 e1
(e1 e2 ) min 2 2
2
2
例7、求渐进线方程为x 2 y 0，且直线x y 3 0 8 3 所截得的弦长为 的双曲线方程. 3
三、双曲线的第二定义:
到定点的距离和到定直线的距离之比是常数 e(e>1)的点的轨迹. 定点是焦点,定直线叫准线,且常数是离心率.
标准方程
2 2
准线方程
2
焦半径
x y a 2 1 x 2 a b c
2 2
| ex0 a |
2
y x a 2 1 y 2 a b c
| ey0 a |
C 则ΔABF 2的周长为______ ______
2
2
A. 4a C. 4a+2m
B. 4a-m D. 4a-2m
【题型2 】双曲线的标准方程
x y 例2、求与双曲线 1有共同 9 16 渐近线且过( 3,4 2 )的双曲线方程
x y 结论 :与 2 2 1有共同渐近线 a b 2 2 x y 的双曲线方程可写成 2 2 λ a b
mn 64
且F1 PF2
3
, 求S F1PF2 .
y
P.
F1
.
O
.
F2
x
x2 y 2 y2 x2 例6、双曲线 2 2 1与 2 2 1的离心率分别是e1 , e2 , a b b a 则e1 e2的最小值为？ 1 1 a 2 b2 b2 a 2 2 2 1 解：e1 , e2 e1 e2 a b
y2 例8、已知双曲线x 2 1，双曲线上存在关于直线 3 y l : y kx 4对称的两点，求k的范围.
A
解：当k 0时，不满足条件
设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),中点坐标( x0 , y0 )
x12 y12 1 1 3 y1 y2 3 x1 x2 2 x2 y2 2 相减 : x1 x2 1 y1 y2 1 1 3
c e a
b y x a
(e 1)
c e a
(e 1)
a y x b
双曲线的第二定义：
动点 M 与一个定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比 c 是常数 e (e 1)，则这个点的轨迹是双曲线 . a l' y
定点是双曲线的焦点， 定直线叫做双曲线的准线， 常数e是双曲线的离心率 .
x y 1 (a b 0) a b
2 2
y x 1 (a 0,b 0 ) a b
y a 或 y a，x R
x a 或 x a，y R
关于x轴、y轴、原点对称
A1（－ a，0），A2（a，0）
关于x轴、y轴、原点对称
A1（0，－a），A2（0，a）
(-c,0)和(c,0) x≥a或x≤-a
A1(-a,0)和A2(a,0)
(0,-c)和(0,c) y≥a或y≤-a
A1(0,-a)和A2(0,a)
坐标轴是对称轴; 原点是对称中心,叫双曲线的中心.
点 A A 叫实轴, B B 叫虚轴, 且|A A |=2a, |B B |=2b 1 2 1 2 1 2 1 2 b b y x x y 渐近线 a a c e= （e>1,且e决定双曲线的开口程度,越大开口越阔） 离心率 a
5 (1)顶点在y轴上,两顶点的距离为6, e ; 3 y2 x2
9 16 4 (2)焦点在x轴上,焦距为16, e ; 1
5 (3)过(-6,0), e ; 3 2 2 x y (4)以椭圆 1 的焦点为顶点,顶点为焦点; 2 2 4 9 y x
(5)过(2,3), e
32 2 x y 1 36 64
x y 1 36 28
2
2
2 ;y x 5
2 2
5
4
1
【基础练习二】
x2 y2 1 上一点P到一个焦 (1)已知双曲线 9 16 6 点的距离是10,则P到相应的准线的距离是____.
x2 y2 1 左支上点P到右焦点 (2)已知双曲线 9 16 3 的距离是11,则P到左准线的距离是____.
2 2
【题型5 】双曲线的综合应用
x y 例8 :双曲线 1的右焦点为F，M为 右支上 16 9 的点,定点A(5,2), 则5 MA 4 MF 的最小值是___.
2 2
例9:一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸声的 时间比在B处晚2s, (1)爆炸点应在什么样的曲线上? (2)已知A,B两地相距800m,并且此时声速 为340m/s,求曲线的方程.
F’ O
l d .M
.
.
F
x
x2 y 2 双曲线 2 2 1 中 : a b a2 右焦点F2 (c， ，对应的右准线方程是 x 0) ; c a2 左焦点F1 (c，)对应的左准线方程是 x . 0 c
x2 y 2 例1、已知双曲线方程为 1的右焦点为F2 , 9 16 3 M 是双曲线右支上一点，定点A(9, 2), 求 | MA | | MF2 | 5 的最小值，以及求 | MA | | MF2 | 的最小值.
四、等轴双曲线:
1.定义:实轴长与虚轴长相等的双曲线. 2.标准方程: (1) x2-y2=a2(焦点在x轴上)
(2) y2-x2=a2(焦点在y轴上)
结论:等轴双曲线的方程可写成: 3.离心率: e 4.渐进线方程:
x2-y2=m
2
y x
参数方程
x y 双曲线 2 2 1 的参数方程为: a b
y
M .
y
M .
F1
.
O
.
F2
A x
F1
.
O
.
F2
A x
x2 y 2 例2、过双曲线右焦点作直线交双曲线 2 2 1的右支 a b 于A，B两点，判断与AB为直径的圆与右准线的位置关系.
y
A .
F1
.
O
.M F .B
2
x
x2 y 2 例3、已知双曲线 2 2 1的左右焦点分别是F1 , F2 , 点P a b 是左支上一点，它到左准线的距离为d，双曲线的一条 渐近线为y 3x,问是否存在点P使，d ,| PF1 |,| PF2 | 成 等差数列，若存在，求出P的坐标.
C2:(x-4)2+y2=2,动圆M与两圆C1,C2都相切,
x y 则动圆圆心M的轨迹是____ 1或x 0 2 14
2 2
x y (3)双曲线 2 2 1( a 0,b 0), a b 过焦点F 1的直线交在双曲线的一 支 上的弦长AB为m, 另一焦点为F 2 ,
2 2
焦点是 (-c,0)和(c,0) 焦点是
M
M F2
y x 2 1 2 a b y
2
2
(0,-c)和(0,c)
y
F1
O
F2
x
O
x
F1
其中c2=a2+b2
标准方程
x y 2 1 2 a b
y
2
2
y2 x2 2 1 2 a b
y F1
图 形
F1
O
F2 x
O F2
x
焦点坐标 范 围 对称性 顶
2 2
x asecθ （为参数） y btanθ
重要结论
x y 双曲线 2 2 1 的焦点到相应的顶点 a b
2 2
之间的距离为: c a
x y 双曲线 2 2 1 的焦准距(焦点到相应 a b
2 2
a b 准线的距离)长为: c c c
2
2
重要结论
（1）求证 （ OP （ OP 0 : OA ） OB ）
（2）求 | AB |的最小值
B2
. .
A2
B2
2 2 2 2
图形
. .
F1
y
y
F2
F2(0,c)
B1
A1 A2
O
F2
x
F1(-c,0)
2 2
B1 F2(c,0)
A1 O F1
x F1(0,-c)
方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐进线
x y c 双曲线系 2 2 ( 0) 的离心率为:e a b a
2 2
b x y 双曲线系 2 2 ( 0) 的渐近线为: y x a b a
2 2
x y 双曲线系 2 2 2 1 的焦点为:(c,0) a a c
2
2
【基础练习一】求满足条件的双曲线的标准方程:
9 (3)已知M到P(5,0)的距离与它到直线 x 的距 5 5 ,求M的轨迹方程. 2 2 离之比为 x y
3
9
16
1
x y (4)如果方程 1表示双曲线， 2 m m 1 求m的取值范围.
2
2
方程mx2+ny2=1表示双曲线 mn<0
【题型1 】双曲线的定义及应用 例1.(1)动点P到定点F1(1,0)的距离比它到 F2(3,0)的距离小2,则点P的轨迹是( C )
1 1 (e1 e2 ) (e1 2e1e2 e2 )( 2 2 ) e1 e2
2
2
2
2e2 2e1 e1 e2 (1 1 2 2 ) 242 8 e1 e2 e2 e1
(e1 e2 ) min 2 2
2
2
例7、求渐进线方程为x 2 y 0，且直线x y 3 0 8 3 所截得的弦长为 的双曲线方程. 3
三、双曲线的第二定义:
到定点的距离和到定直线的距离之比是常数 e(e>1)的点的轨迹. 定点是焦点,定直线叫准线,且常数是离心率.
标准方程
2 2
准线方程
2
焦半径
x y a 2 1 x 2 a b c
2 2
| ex0 a |
2
y x a 2 1 y 2 a b c
| ey0 a |
C 则ΔABF 2的周长为______ ______
2
2
A. 4a C. 4a+2m
B. 4a-m D. 4a-2m
【题型2 】双曲线的标准方程
x y 例2、求与双曲线 1有共同 9 16 渐近线且过( 3,4 2 )的双曲线方程
x y 结论 :与 2 2 1有共同渐近线 a b 2 2 x y 的双曲线方程可写成 2 2 λ a b
mn 64
且F1 PF2
3
, 求S F1PF2 .
y
P.
F1
.
O
.
F2
x
x2 y 2 y2 x2 例6、双曲线 2 2 1与 2 2 1的离心率分别是e1 , e2 , a b b a 则e1 e2的最小值为？ 1 1 a 2 b2 b2 a 2 2 2 1 解：e1 , e2 e1 e2 a b
y2 例8、已知双曲线x 2 1，双曲线上存在关于直线 3 y l : y kx 4对称的两点，求k的范围.
A
解：当k 0时，不满足条件
设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),中点坐标( x0 , y0 )
x12 y12 1 1 3 y1 y2 3 x1 x2 2 x2 y2 2 相减 : x1 x2 1 y1 y2 1 1 3
c e a
b y x a
(e 1)
c e a
(e 1)
a y x b
双曲线的第二定义：
动点 M 与一个定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比 c 是常数 e (e 1)，则这个点的轨迹是双曲线 . a l' y
定点是双曲线的焦点， 定直线叫做双曲线的准线， 常数e是双曲线的离心率 .
x y 1 (a b 0) a b
2 2
y x 1 (a 0,b 0 ) a b
y a 或 y a，x R
x a 或 x a，y R
关于x轴、y轴、原点对称
A1（－ a，0），A2（a，0）
关于x轴、y轴、原点对称
A1（0，－a），A2（0，a）
(-c,0)和(c,0) x≥a或x≤-a
A1(-a,0)和A2(a,0)
(0,-c)和(0,c) y≥a或y≤-a
A1(0,-a)和A2(0,a)
坐标轴是对称轴; 原点是对称中心,叫双曲线的中心.
点 A A 叫实轴, B B 叫虚轴, 且|A A |=2a, |B B |=2b 1 2 1 2 1 2 1 2 b b y x x y 渐近线 a a c e= （e>1,且e决定双曲线的开口程度,越大开口越阔） 离心率 a
5 (1)顶点在y轴上,两顶点的距离为6, e ; 3 y2 x2
9 16 4 (2)焦点在x轴上,焦距为16, e ; 1
5 (3)过(-6,0), e ; 3 2 2 x y (4)以椭圆 1 的焦点为顶点,顶点为焦点; 2 2 4 9 y x
(5)过(2,3), e
32 2 x y 1 36 64
x y 1 36 28
2
2
2 ;y x 5
2 2
5
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1
【基础练习二】
x2 y2 1 上一点P到一个焦 (1)已知双曲线 9 16 6 点的距离是10,则P到相应的准线的距离是____.
x2 y2 1 左支上点P到右焦点 (2)已知双曲线 9 16 3 的距离是11,则P到左准线的距离是____.
2 2
【题型5 】双曲线的综合应用
x y 例8 :双曲线 1的右焦点为F，M为 右支上 16 9 的点,定点A(5,2), 则5 MA 4 MF 的最小值是___.
2 2
例9:一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸声的 时间比在B处晚2s, (1)爆炸点应在什么样的曲线上? (2)已知A,B两地相距800m,并且此时声速 为340m/s,求曲线的方程.
F’ O
l d .M
.
.
F
x
x2 y 2 双曲线 2 2 1 中 : a b a2 右焦点F2 (c， ，对应的右准线方程是 x 0) ; c a2 左焦点F1 (c，)对应的左准线方程是 x . 0 c
x2 y 2 例1、已知双曲线方程为 1的右焦点为F2 , 9 16 3 M 是双曲线右支上一点，定点A(9, 2), 求 | MA | | MF2 | 5 的最小值，以及求 | MA | | MF2 | 的最小值.
四、等轴双曲线:
1.定义:实轴长与虚轴长相等的双曲线. 2.标准方程: (1) x2-y2=a2(焦点在x轴上)
(2) y2-x2=a2(焦点在y轴上)
结论:等轴双曲线的方程可写成: 3.离心率: e 4.渐进线方程:
x2-y2=m
2
y x
参数方程
x y 双曲线 2 2 1 的参数方程为: a b
y
M .
y
M .
F1
.
O
.
F2
A x
F1
.
O
.
F2
A x
x2 y 2 例2、过双曲线右焦点作直线交双曲线 2 2 1的右支 a b 于A，B两点，判断与AB为直径的圆与右准线的位置关系.
y
A .
F1
.
O
.M F .B
2
x
x2 y 2 例3、已知双曲线 2 2 1的左右焦点分别是F1 , F2 , 点P a b 是左支上一点，它到左准线的距离为d，双曲线的一条 渐近线为y 3x,问是否存在点P使，d ,| PF1 |,| PF2 | 成 等差数列，若存在，求出P的坐标.
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高中数学选择性必修一(人教版)《3.2.1双曲线及其标准方程》课件
法二：(定义法) 由题意知双曲线的两个焦点分别为 F1(0，－3)，F2(0,3)，且 A(4，－5)在双曲线上， 则 2a＝||AF1|－|AF2||＝| 20－ 80|＝2 5， ∴a＝ 5，∴b2＝c2－a2＝9－5＝4. 即双曲线的标准方程为y52－x42＝1.
(2)法一：若焦点在 x 轴上， 设双曲线的标准方程为xa22－by22＝1(a>0，b>0)． 因为 M(1,1)，N(－2,5)在双曲线上，
[解] 以 AB 边所在的直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则 A(－2 2，0)，B(2 2， 0)．
由正弦定理，得 sin A＝2aR，sin B＝2bR， sin C＝2cR(R 为△ABC 的外接圆半径)． 因为 2sin A＋sin C＝2sin B， 所以 2a＋c＝2b，即 b－a＝2c， 从而有|CA|－|CB|＝12|AB|＝2 2<|AB|.
[提醒] (1)分清双曲线的焦点所在的坐标轴是哪个． (2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．
[对点练清]
已知圆 C1：(x＋3)2＋y2＝1 和圆 C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆 M 同
时与圆 C1 及圆 C2 相外切，求动圆圆心 M 的轨迹方程． 解：如图所示，设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于点 A 和 B， 根据两圆外切的条件，得 |MC1|＝|AC1|＋|MA|， |MC2|＝|BC2|＋|MB|. ∵|MA|＝|MB|， ∴|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2. 这表明动点 M 与两定点 C2，C1 的距离的差是常数 2，且 2<|C1C2|. 根据双曲线的定义，动点 M 的轨迹为双曲线的左支，则 2a＝2， a＝1，c＝3，∴b2＝c2－a2＝8. 因此所求动点 M 的轨迹方程为 x2－y82＝1(x≤－1)．
高中数学《双曲线的简单几何性质》课件
双曲线的虚半轴长
（3）实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线
b B2
A1 -a o a A2
x
x2 y2 m(m 0)
-b B1
4 渐近线
如图,经过 A1 , A2 作y轴的平 行线 x a,经过 B1 , B2 作 x 轴的平行线 y b,四条直
线围成一个矩形图2.2 7.
矩形的两条对角线所在的 直线的方程是 x y 0.
法二 由双曲线的渐近线方程为 y＝±12x， 可设双曲线方程为x222－y2＝λ(λ≠0)， ∵A(2，－3)在双曲线上， ∴2222－(－3)2＝λ，即 λ＝－8. ∴所求双曲线的标准方程为y82－3x22 ＝1.
5 离心率
与椭圆类似,双曲线的焦距与实轴长的比 c , a
叫做双曲线的离心率 .因为c a 0,所以双 曲线的离心率e c 1.
第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的简单几何性质
复习回顾：
定义 图象
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
F1 o F2 x
x
F1
方程
a.b.c 的 关系
x2 a2
y2 b2
1
y2 x2 a2 b2 1
c2 a2 b2
标准 方程
x2 y2 1
3
与双曲线方程联立得A、B的坐标为 (3,2
3),(9 , 2 3 ) 55
由两点间的距离公式得|AB|=
16 5
3
例4：如图所示，过双曲线
x2 3
y2 6
1的右焦点F2,倾斜角为
30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|
高中数学人教A版选修2-1第二章2.3.2双曲线的简单几何性质课件
（的1）各支的 双向渐 曲外近 线延线ax22为 伸y时by22 ， b1与(xa 直a02线, b
b
2
0)
y
b a
x
a
逐渐接近，我们把这两条直线
（2）等轴双曲线x2 y2 m
叫做双(m曲线0的)的渐渐近近线线 。 为
y
b B2
A1
o
y x
双曲线与渐近线无限接近，但永不相交。 B1
（3）利用渐近线可以较准确的 画出双曲线的草图
x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2
y
Y的范 围呢？
-a a
F1 O
F2 x
2、对称性
视察双曲线你能看出它具有怎样的 对称性吗？
x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2
(-x,y)
y （x,y）)
关于x轴、y轴和原点都是对称.
x轴、y轴是双曲线的对称轴，
(-x,-y)
原点是对称中心,又叫做双曲线的中心.
o
x
(x,-y)
3、顶点
视察双曲线你能发现哪些点比较特殊？
x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
y
顶点是 A1(a, 0)、A2(a, 0)
b B2
A1 -a o a A2
x
-b B1
(3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线。
4、渐近线
可以看出，双曲线 x2 y2 1
y
1.范围： y≥a或y≤-a
A2
2.对称性： 关于坐标轴和原点对称
3.顶点： A1(0，-a),A2(0,a)
A1A2为实轴，B1B2为虚轴
4.渐近线方程： y a x
高中数学课件第课一时双曲线的简单几何性质
Catalogue
目录
O1 理解教材新知
O3 应用创新演练
O5 考点一
O2 把握热点考向
O4 第二章
O6 考点二
2.3.2 双曲线的简单几何性 质
#O1
有一首歌，名字叫做《悲伤的双曲线》， 歌词如下：如果我是双曲线，你就是那 渐近线．如果我是反比例函数，你就是 那坐标轴．虽然我们有缘，能够生在同 一个平面．然而我们又无缘，漫漫长路 无交点……
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[精解详析] (1)设双曲线的标准方程为xa22－by22＝1 或ay22－ xb22＝1(a>0，b>0)．
由题意知 2b＝12，ac＝54且 c2＝a2＋b2， ∴b＝6，c＝10，a＝8， ∴标准方程为6x42－3y62 ＝1 或6y42 －3x62＝1.
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(2)法一：当焦点在 x 轴上时， ba＝32且 a＝3， ∴b＝92. ∴所求的方程为x92－48y12＝1. 当焦点在 y 轴上时， ab＝32且 a＝3， ∴b＝2. ∴所求的方程为y92－x42＝1.
对称性
x轴、y轴
坐标原点 对称轴
， 对称中心
xa22－by22＝1 标 准(－方 程a,0)，(a,0)
ay22－xb22＝1
(a＞0，b (a＞0，b
(0，＞ 0－) a)，(0＞，0a) )
性质
2a
2b
顶 点e＝ac(e＞1)
xa±by＝0轴长
实轴 ＝
长＝xb±ay＝，0虚轴长
y＝±bax离心率 渐近线
化为标准方程
xm2－yn2＝1(m>0，n>0)，
由此可知，半实轴长 a＝ m，
半虚轴长 b＝ n，c＝ m＋n，
焦点坐标为( m＋n，0)，(－ m＋n，0)，
目录
O1 理解教材新知
O3 应用创新演练
O5 考点一
O2 把握热点考向
O4 第二章
O6 考点二
2.3.2 双曲线的简单几何性 质
#O1
有一首歌，名字叫做《悲伤的双曲线》， 歌词如下：如果我是双曲线，你就是那 渐近线．如果我是反比例函数，你就是 那坐标轴．虽然我们有缘，能够生在同 一个平面．然而我们又无缘，漫漫长路 无交点……
返回
[精解详析] (1)设双曲线的标准方程为xa22－by22＝1 或ay22－ xb22＝1(a>0，b>0)．
由题意知 2b＝12，ac＝54且 c2＝a2＋b2， ∴b＝6，c＝10，a＝8， ∴标准方程为6x42－3y62 ＝1 或6y42 －3x62＝1.
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(2)法一：当焦点在 x 轴上时， ba＝32且 a＝3， ∴b＝92. ∴所求的方程为x92－48y12＝1. 当焦点在 y 轴上时， ab＝32且 a＝3， ∴b＝2. ∴所求的方程为y92－x42＝1.
对称性
x轴、y轴
坐标原点 对称轴
， 对称中心
xa22－by22＝1 标 准(－方 程a,0)，(a,0)
ay22－xb22＝1
(a＞0，b (a＞0，b
(0，＞ 0－) a)，(0＞，0a) )
性质
2a
2b
顶 点e＝ac(e＞1)
xa±by＝0轴长
实轴 ＝
长＝xb±ay＝，0虚轴长
y＝±bax离心率 渐近线
化为标准方程
xm2－yn2＝1(m>0，n>0)，
由此可知，半实轴长 a＝ m，
半虚轴长 b＝ n，c＝ m＋n，
焦点坐标为( m＋n，0)，(－ m＋n，0)，
2.6.2双曲线的几何性质教学课件高中数学人教B版选择性必修第一册
轴
y2
= 0 ，得 2 1 ，这
b
,0) ；令
轴没有交点.
与它的对称轴共有 2 个交点，即
双曲线的顶点，如图所示.
与
1 ， 2 ，这两个点都称为
线段
1
2
1 2
称为双曲线的实轴. 若记
1(0,
− )，
2 (0,
)，则称线段
为双曲线的虚轴. 显然，双曲线的两个焦点在它的实轴所在的直线上，
而且双曲线的实轴长为 2 ，虚轴长为 2 . 于是， ，
2
2
2
2
2
10
c
15
10
10
解得 c
或c
（舍）
，所以该双曲线的离心率 e 2
.
a
3
2
2
6
2
故选 B.
x2 y 2
x2 y 2
6.双曲线 2 2 1（ a 0 ，b 0 ）的离心率为 e1 ， 2 2 1（ a 0 ，b 0 ）
a
b
a b
的离心率为 e2 ，则
b
x但
a
根据双曲线的对称性可知，双曲线①向外无限延伸时，总是在由直线 y
b
x
a
b
与直线 y x 相交而分平面所成的、含双曲线焦点的两个区域内，并无限接近
a
于这两条直线，但永远不会与它们相交，如图所示.
直线 y
b
b
x 和 y x 都称为双曲线①的渐近线. 由此可知，作双曲线时，
解析：由双曲线的方程为
3 2
y
b
6
x
x .故选 D.
a
3
2025届高中数学一轮复习课件：第九章 第7讲双曲线(一)(共83张ppt)
ay22－bx22＝1 (a>0，b>0)
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
渐近线 性 质 离心率
y＝±bax
y＝±abx
e＝ac，e∈ (1，＋∞) ，其中 c＝ a2＋b2
实轴、 线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段 B1B2 虚轴 叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a 叫做双曲线的实半
高考一轮总复习•数学
第10页
2．若双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的
离心率为( )
A． 5
B．5
C． 2
D．2
解析：由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，即 b＝2a，又 a2＋b2＝c2，∴5a2 ＝c2，∴e2＝ac22＝5，∴e＝ 5.
解析 答案
高考一轮总复习•数学
第11页
3．与双曲线x22－y2＝1 有相同的渐近线，且与椭圆y82＋x22＝1 有共同的焦点的双曲线方
程是( )
A．x22－y42＝1来自B．y22－x42＝1
C．x42－y22＝1
D．y42－x22＝1
解析：可设双曲线方程为 y2－x22＝λ，故 2λ＋λ＝6，λ＝2，所以所求双曲线方程为y22－
2．集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a，c 为常数且 a>0，c>0： (1)当 a<c 时，点 P 的轨迹是双曲线； (2)当 a＝c 时，点 P 的轨迹是两条 射线 ； (3)当 a>c 时，点 P 不存在．
高中数学人教A版 选择性必修第一册 双曲线及其标准方程 课件
所以双曲线 C 的方程为 y2 x2 1 . 45
（2）由双曲线 C 的方程，知 a 2 ，b 5 ，c 3 .
设 PF1 m ， PF2 n ，则| m n | 2a 4 ，
两边平方得 m2 2mn n2 16 .③
在△F1PF2 中，由余弦定理得 (2c)2 m2 n2 2mn cos120 m2 n2 mn 36 .④ 由③④得 mn 20 .
解析：（1）椭圆 x2 y2 1 的焦点分别为 (0, 3) ，(0,3) ， 27 36
设双曲线
C
的方程为
y2 a2
x2 b2
1(a
0,b
0)
，
则 a2 b2 32 9 .①
又双曲线 C 经过点 (
15,
4)
，所以
16 a2
15 b2
1
.②
由①②得 a2 4 ， b2 5 或 a2 36 ，b2 27 （舍去），
设炮弹爆炸点 P 的坐标为 (x, y) ， 则| PA | | PB | 340 2 680 ，即 2a 680 ， a 340 . 又| AB | 800 ，所以 2c 800 ， c 400 ，b2 c2 a2 44400 . 因为| PA | | PB | 680 0 ， 所以点 P 的轨迹是双曲线的右支，因此 x 340 . 所以炮弹爆炸点的轨迹方程为 x2 y2 1(x 340) .
PF2
24
，故
C
正确，D
错误.故选
ABC.
6.若双曲线 x2 y2 1 的一个焦点到坐标原点的距离为 3，则 m 的值为 m m5
7或-2 ____________.
解析：依题意可知 c 3，当双曲线的焦点在 x 轴上时， m 5 ，c2 m m 5 9 ， 所以 m 7 ；当双曲线的焦点在 y 轴上时，m 0 ，c2 m 5 m 9 ，所以m 2 . 综上， m 7 或 m 2 .
高中数学人教A版选择性必修第一册3.2.2双曲线的简单几何性质(第一课时)课件
复习回顾：
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
图象
F1
o
F2
x
x
F1
2
方程
a.b.c 的关
系
2
2
x
y
2 1
2
a
b
c a b
2
2
2
y
x
2 1
2
a
b
2
两种标准方程的椭圆性质
方程
B2
图形
y2
x2
2 1
2
a
b
y
x2
y2
2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1
2
x y
直线 0逐渐接近, 我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线.
a b
由双曲线方程求渐近线方程 , 只需把1变成0.
x2 y2
x y
b
① 双曲线 2 2 1(a 0, b 0)的渐近线方程为 0, 即y x;
a
b
a b
a
y2 x2
y x
a
②双曲线 2 2 1(a 0, b 0)的渐近线方程为 0, 即y x .
4
4
2
2
C. − 2 = 1;
D. 2 − = 1;
4
4
P107
右边
预习自测
）
3
1.思维辨析（对的画"√"，错的画“×”）
2
2
2
2
（1）双曲线 2 − 2 =1与 2 − 2=1(a>0,b>0)的形状相同.(
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
图象
F1
o
F2
x
x
F1
2
方程
a.b.c 的关
系
2
2
x
y
2 1
2
a
b
c a b
2
2
2
y
x
2 1
2
a
b
2
两种标准方程的椭圆性质
方程
B2
图形
y2
x2
2 1
2
a
b
y
x2
y2
2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1
2
x y
直线 0逐渐接近, 我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线.
a b
由双曲线方程求渐近线方程 , 只需把1变成0.
x2 y2
x y
b
① 双曲线 2 2 1(a 0, b 0)的渐近线方程为 0, 即y x;
a
b
a b
a
y2 x2
y x
a
②双曲线 2 2 1(a 0, b 0)的渐近线方程为 0, 即y x .
4
4
2
2
C. − 2 = 1;
D. 2 − = 1;
4
4
P107
右边
预习自测
）
3
1.思维辨析（对的画"√"，错的画“×”）
2
2
2
2
（1）双曲线 2 − 2 =1与 2 − 2=1(a>0,b>0)的形状相同.(
《高中数学双曲线》课件
《高中数学双曲线》PPT 课件
欢迎来到《高中数学双曲线》PPT课件！今天我们将深入探讨双曲线的概念、 性质、应用以及解析常见问题。让我们一起展开这个引人入胜的数学世界吧！
双曲线概述
定义
双曲线是平面上一个特殊的曲线，具有独特的几何特征和数学性质。
图形特征
双曲线的形状呈现出两个分离的曲线臂，与其他曲线有明显的区别。
不等式
通过不等式关系描述双曲线所 在的区域，帮助理解其几何特 点。
常见问题解析
1
求双曲线方程
掌握不同双曲线类型的方程求解方法，解答常见问题。
2
判断图形类型
通过方程所表达的数学关系，辨别双曲线的种类和形状。
3
求焦距和离心率
计算焦距和离心率，把握双曲线的特性和重要参数。
双曲线应用
物理中的应用
双曲线在物理学中的多个 领域具有广泛应用，帮助 解释和描述自然现象。
定义
双曲线的焦点是离曲线两个 分离臂的距离相等的点。
焦距公式
通过数学公式计算出双曲线 焦点位置与曲线参数的关系。
证明
探索焦点与双曲线的数学证 明，了解焦点性质及其重要 性。
双曲线方程的分类
标式
标准式是表达双曲线的基本形 式，方便研究其特性。
一般式
一般式可表达更广泛的双曲线 方程，适用于各种变形。
了解双曲线背后的数学思想， 探索更广阔的应用领域。
方程
通过方程表达双曲线的数学关系，可以进一步研究它的特性。
双曲线的性质
1 对称性
双曲线具有关于两个相 互独立的对称轴的对称 性，这是其独特之处。
2 渐进行为
3 渐近线
在双曲线的两个分离臂 无限延伸时，它们逐渐 趋近于一组特定的直线。
欢迎来到《高中数学双曲线》PPT课件！今天我们将深入探讨双曲线的概念、 性质、应用以及解析常见问题。让我们一起展开这个引人入胜的数学世界吧！
双曲线概述
定义
双曲线是平面上一个特殊的曲线，具有独特的几何特征和数学性质。
图形特征
双曲线的形状呈现出两个分离的曲线臂，与其他曲线有明显的区别。
不等式
通过不等式关系描述双曲线所 在的区域，帮助理解其几何特 点。
常见问题解析
1
求双曲线方程
掌握不同双曲线类型的方程求解方法，解答常见问题。
2
判断图形类型
通过方程所表达的数学关系，辨别双曲线的种类和形状。
3
求焦距和离心率
计算焦距和离心率，把握双曲线的特性和重要参数。
双曲线应用
物理中的应用
双曲线在物理学中的多个 领域具有广泛应用，帮助 解释和描述自然现象。
定义
双曲线的焦点是离曲线两个 分离臂的距离相等的点。
焦距公式
通过数学公式计算出双曲线 焦点位置与曲线参数的关系。
证明
探索焦点与双曲线的数学证 明，了解焦点性质及其重要 性。
双曲线方程的分类
标式
标准式是表达双曲线的基本形 式，方便研究其特性。
一般式
一般式可表达更广泛的双曲线 方程，适用于各种变形。
了解双曲线背后的数学思想， 探索更广阔的应用领域。
方程
通过方程表达双曲线的数学关系，可以进一步研究它的特性。
双曲线的性质
1 对称性
双曲线具有关于两个相 互独立的对称轴的对称 性，这是其独特之处。
2 渐进行为
3 渐近线
在双曲线的两个分离臂 无限延伸时，它们逐渐 趋近于一组特定的直线。
高中数学新人教A版选择性必修第一册3.2.2双曲线的简单几何性质课件
A.m≥√2 或m≤-√2 B. 一2≤m≤√2且m≠0
C.m ∈R
D.-√2≤m≤√2
【答案】D [ 由
由题意知1—m²=0,
解得一 √2≤m≤√2.]
得(1—m²)x²—2mx—2=0,
4. 如图为一座高100米的双曲线冷却塔外壳的简化三视图(忽略
壁厚),其底面直径大于上底直径，已知其外壳主视图与左视图中 的曲线均为双曲线，高度为100m, 俯视图为三个同心圆，其半径
解：设点M(x,y), 由题知
即 整理得：
请你将例5与椭圆一节中的例6比较，你有什么发现?
例6、 过双曲线 求IABI.
的右焦点F₂, 倾斜角为30度的直线交双曲线于A,B两点，
分析：求弦长问题有两种方法： 法 一：如果交点坐标易求，可直接用两点间距离公 式代入求弦长；
法二：但有时为了简化计算，常设而不求，运用韦达 定理来处理.
A.y²—3x²=36 C.3y²—x²=36
B.x²—3y²=36 D.3x²-y²=36
பைடு நூலகம்
【答案】A [椭圆4
即
则双曲线的焦点在y 轴上，c=4√3,
线的方程为y²-3x²=36.]
焦点为(0,±4 √3),离心率为 从而a=6,b²=12, 故所求双曲
3 .直线y=mx+1 与双曲线x²—y²=1 有公共点，则m 的取值范围是( )
,
即 3x+4y-5=0.
课堂小结
1.掌握双曲线的简单几何性质. 2.双曲线方程的简单应用. 3.理解直线与双曲线的位置关系.
谢谢大家
人教A 版选择性必修第一册
对称性 对称轴：x轴、y轴；对称中心：坐标原点
顶点坐标
性轴 质
C.m ∈R
D.-√2≤m≤√2
【答案】D [ 由
由题意知1—m²=0,
解得一 √2≤m≤√2.]
得(1—m²)x²—2mx—2=0,
4. 如图为一座高100米的双曲线冷却塔外壳的简化三视图(忽略
壁厚),其底面直径大于上底直径，已知其外壳主视图与左视图中 的曲线均为双曲线，高度为100m, 俯视图为三个同心圆，其半径
解：设点M(x,y), 由题知
即 整理得：
请你将例5与椭圆一节中的例6比较，你有什么发现?
例6、 过双曲线 求IABI.
的右焦点F₂, 倾斜角为30度的直线交双曲线于A,B两点，
分析：求弦长问题有两种方法： 法 一：如果交点坐标易求，可直接用两点间距离公 式代入求弦长；
法二：但有时为了简化计算，常设而不求，运用韦达 定理来处理.
A.y²—3x²=36 C.3y²—x²=36
B.x²—3y²=36 D.3x²-y²=36
பைடு நூலகம்
【答案】A [椭圆4
即
则双曲线的焦点在y 轴上，c=4√3,
线的方程为y²-3x²=36.]
焦点为(0,±4 √3),离心率为 从而a=6,b²=12, 故所求双曲
3 .直线y=mx+1 与双曲线x²—y²=1 有公共点，则m 的取值范围是( )
,
即 3x+4y-5=0.
课堂小结
1.掌握双曲线的简单几何性质. 2.双曲线方程的简单应用. 3.理解直线与双曲线的位置关系.
谢谢大家
人教A 版选择性必修第一册
对称性 对称轴：x轴、y轴；对称中心：坐标原点
顶点坐标
性轴 质