平面向量的坐标表示及其运算

一. 情境引入

上海市莘庄中学的健美操队四名队员A 、B 、C 、D 在一个长10米，宽8米的矩形表演区域EFGH 内进行健美操表演.

（1）若在某时刻1t ，四名队员A 、B 、C 、D 保持如图1所示的平行四边形队形.队员A 位于点F 处，队员B 在边FG 上距F 点3米处，队员D 位于距EF 边2米距FG 边5米处.你能确定此时队员C 的位置吗？

[说明] 此时队员C 在位于距EF 边5米距FG 边5米处.这个图形比较特殊，学生很快就会得到答案，这时教师引入第二个问题.

（2）若在某时刻2t ，四名队员A 、B 、C 、D 保持如图2所示的平行四边形队形.队员A 位于距EF 边2米距FG 边1米处，队员B 在距EF 边6米距FG 边3米处，队员D 位于距EF 边4米距FG 边5米处.你能确定此时队员C 的位置吗？

二．学习新课 1. 向量的正交分解

我们称在平面直角坐标系中，方向与x 轴和y 轴正方向分别相同的的两个单位向量叫

做基本单位向量，分别记为,i j r r

，如图，称以原点O 为起点的向量为位置向量，如下图左，OA uu u r

即为一个位置向量.

G

H

G

思考1：对于任一位置向量OA uu u r ，我们能用基本单位向量,i j r r

来表示它吗？

如上图右，设如果点A 的坐标为

(),x y ，它在小x 轴，y 轴上的投影分别为M ，N ，那

么向量OA uu u r 能用向量OM u u u u r 与ON u u u r

来表示吗？（依向量加法的平行四边形法则可得OA OM ON =+u u u r u u u u r u u u r ），OM u u u u r 与ON u u u r 能用基本单位向量,i j r r 来表示吗？（依向量与实数相乘

的几何意义可得,OM xi ON y j ==u u u u r r u u u r r

），于是可得：

OA OM ON xi y j =+=+u u u r u u u u r u u u r r r

由上面这个式子，我们可以看到：平面直角坐标系内的任一位置向量OA uu u r

都能表示成

两个相互垂直的基本单位向量,i j r r

的线性组合，这种向量的表示方法我们称为向量的正交分

解.

2.向量的坐标表示

思考2：对于平面直角坐标系内的任意一个向量a r

，我们都能将它正交分解为基本单位向量,i j r r

的线性组合吗？如下图左.

显然，如上图右，我们一定能够以原点O 为起点作一位置向量OA uu u r ，使OA a =uu u r r

.于是，

可知：在平面直角坐标系内，任意一个向量a r 都存在一个与它相等的位置向量OA uu u r

.由于这

一点，我们研究向量的性质就可以通过研究其相应的位置向量来实现.由于任意一个位置向

量都可以正交分解为基本单位向量,i j r r

的线性组合，所以平面内任意的一个向量a r 都可以

正交分解为基本单位向量,i j r r

的线性组合.即：

a r =OA uu u r =xi y j +r r

上式中基本单位向量,i j r r

前面的系数x,y 是与向量a r 相等的位置向量OA uu u r 的终点A 的

坐标.由于基本单位向量,i j r r

是固定不可变的，为了简便，通常我们将系数x,y 抽取出来，

得到有序实数对（x,y ）.可知有序实数对（x,y ）与向量a r 的位置向量OA uu u r

是一一对应的.因

而可用有序实数对（x,y ）表示向量a r ，并称（x,y ）为向量a r

的坐标，记作：

a r

=（x,y ）

[说明]（x,y ）不仅是向量a r 的坐标，而且也是与a r 相等的位置向量OA uu u r

的终点A 的坐

标！当将向量a r 的起点置于坐标原点时，其终点A 的坐标是唯一的，所以向量a r

的坐标也是

唯一的.这样，我们就将点与向量、向量与坐标统一起来，使复杂问题简单化.

显然，依上面的表示法，我们有：(1,0),(0,1),0(0,0)i j ===r r r

.

例1. 如图，写出向量,,a b c r r r

的坐标.

解：由图知()1,2a =r

与向量b r 相等的位置向量为OA uu u r ，

可知()1,2b OA ==r u u u r

与向量c r 相等的位置向量为OB uuu r ，

可知()1,2c OB ==-r u u u r

[说明]对于位置向量a r

，它的终点的坐标就是向量的坐标；对于起点不在原点的向量,b c r r

，我们是通过先找到与它相等的位置向量，再利用位置向量的坐标得到它们的坐标.那

么，有没有不通过位置向量，直接就写出任意向量的坐标的方法呢？答案是肯定的，而且很简便，但我们需几分钟后再来解决这个问题.让我们先学习向量坐标表示的运算：

3.向量的坐标表示的运算

我们学过向量的运算，知道向量有加法、减法、实数与向量的乘法等运算，那么，在学习了向量的坐标表示以后，我们怎么用向量的坐标形式来表示这些运算呢？

设λ是一个实数，1122(,),(,).a x y b x y ==r r

由于1111(,),a x y x i y j ==+r r r 2222(,)b x y x i y j ==+r r r

所以1122(,)(,)a b x y x y ±=±r r

()()1122x i y j x i y j =+±+r r r r

()()

()()()

121212121212,x i x i y j y j

x x i y y j x x y y =±+±=±+±=±±r r r r r r

()

()11111111(,),a x y x i y j x i y j x y λλλλλλλ==+=+=r r r r r

于是有：1122(,)(,)

x y x y ±()1212,x x y y =±±

()1111(,),x y x y λλλ=

[说明]上面第一个式子用语言可表述为：两个向量的和(差)的横坐标等于它们对应的横坐标的和(差)，两个向量的和(差)的纵坐标也等于它们对应的纵坐标的和(差)，可笼统地简称为：两个向量和(差)的坐标等于对应坐标的和(差)；

同样，第二个式子用语言可表述为：数与向量的积的横坐标等于数与向量的横坐标的积，数与向量的积的纵坐标等于数与向量的纵坐标的积，也可笼统地简称为：数与向量积的坐标等于数与向量对应坐标的积.

4.应用与深化

下面我们来研究刚才提出的不通过位置向量，如何直接写出任意向量的坐标的问题： 例2.如下图左，设()11,P

x y 、()22,Q x y 是平面直角坐标系内的任意两点，如何用

P 、Q 的坐标来表示向量PQ u u u r ？