中山概率2-1(1)

P ( t + t ) P ( t ) = aP ( t ) o(1) t dP ( t ) 令t → 0, 得 = aP ( t ) dt 解得 P ( t ) = e at + C1 = Ce at
由 P (0) = 1 C = 1,
从而 P ( t ) = e at .
第二章 随机变数及其分布函数
2 解 设 B i ( i = 1,)表示 : 第 i 次抽到的是女生表 ;
Ai ( i = 1,,3)表示 : 抽到的报名表来自第 i 个地区 . 2
(1)由全概率公式
P ( B1 ) = P ( A1 ) P ( B1 | A1 ) + P ( A2 ) P ( B1 | A2 )
+ P ( A3 ) P ( B1 | A3 ) =
1 3 7 5 29 ×( + + )= 3 10 15 25 90
(1)由全概率公式
P ( B 2 ) = P ( A1 ) P ( B 2 | A1 ) + P ( A2 ) P ( B 2 | A2 )
1 7 8 20 61 )= + + + P ( A3 ) P ( B 2 | A3 ) = ( 3 10 15 25 90
1 3 b = C n pq n1 + C n p 3 q n 3 + ,
a b = (q p ) n [= (1 2 p ) n ] 因为 a + b = ( p + q ) = 1, 1 1 1 1 n 解得 a = + (1 2 p ) , b = (1 2 p) n . 2 2 2 2
1 1 1 1 k = + (1 2 p) pn = + (1 2 p ) n . 2 2 2 2
解法2 事件A出现奇数次的概率记为 出现奇数次的概率记为b, 解法 事件 出现奇数次的概率记为 出现偶数次的概 率记为a, 率记为 ,则
0 2 a = C n p 0 q n + C n p 2 q n 2 + ,
2
1 9
{ω : ξ (ω ) < x } = {ξ < x }.
(3)在定义的条件下,如下形式的集合都是事件 在定义的条件下,
{ξ = x }, {ξ ≤ x }, {ξ > x }, {a ≤ ξ < b }等等 . ∞ 1 事实上,有 事实上 有 {ξ = x } = ∩ {ξ < x + } {ξ < x } ∈ F k =1 k {ξ ≤ x } = {ξ < x } ∪ {ξ = x } ∈ F .
§2.1 随机变数的直观意义与定义 概率函数是一个事件(集合)函数, 概率函数是一个事件(集合)函数,这在使用起来往往不 太方便.为了利用已有的数学工具来研究随机现象, 太方便.为了利用已有的数学工具来研究随机现象,我们 设法把样本空间中的样本点与数联系起来, 设法把样本空间中的样本点与数联系起来,建立起样本空 间与实数(或复数)空间或其一部分的对应关系. 间与实数(或复数)空间或其一部分的对应关系.这种关 系就是所讲的随机变数. 系就是所讲的随机变数. 引例1. 掷一枚硬币试验. 引例 掷一枚硬币试验.样本空间 = {H ,T },
这里 = {ω } = {( i , j ) i , j = 1 , 2 , 3 }
表示"所取两球的号码之和" 令 X 表示"所取两球的号码之和" 则 X 的取值范围为 ,3,4,5,6. 的取值范围为2, , , , .
对每个样本点 ω ∈ , X 都有一个确定的值与 其对应 , 如图所示 .
P ( B1 B2 ) 20 P ( B1 | B2 ) = = 61 P ( B2 )
□
9 (P72第36题) 在每一次试验中,事件 出现的概率为 p, 第 题 在每一次试验中,事件A , 试问n 出现偶数次概率是多少? 试问 次独立试验中 A 出现偶数次概率是多少? 解法1 次独立试验中A出现偶数次的概 解法 设 pk 表示在前 k 次独立试验中 出现偶数次的概 由全概率公式, 率,由全概率公式,有
(续前例 在一袋中装有编号分别为 ,2,3的三只球,在袋 续前例) 在一袋中装有编号分别为1, , 的三只球 的三只球, 续前例 中有放回地接连取两只球,记录它们的编号, 中有放回地接连取两只球,记录它们的编号,以X表示两 表示两 只球的号码之和, 取每个值的概率. 只球的号码之和,求X取每个值的概率. 取每个值的概率 3 6 4 5 表示"所取两球的号码之和" 解 X 表示"所取两球的号码之和" 2 3 4 5 1 X 可能取值为 ,3,4,5,6. 可能取值为2, , , , . 2 3 4
pk = pk 1 P ( A) + (1 pk 1 ) P ( A)
= pk 1 (1 p) + (1 pk 1 ) p pk = p + (1 2 p ) pk 1 = p[1 + (1 2 p ) + (1 2 p ) 2 + + (1 2 p ) k 3 ] + (1 2 p ) k 2 p2
3 2 1பைடு நூலகம்
4 3 2
1
5 4 3
2
6 5 4
3
由于X的取值依随机试验的结果而定,故称 为随机变数. 由于 的取值依随机试验的结果而定,故称X为随机变数. 的取值依随机试验的结果而定
定义2.1.1 设( ,F,P )是一个概率空间,对于 ∈ ,ξ(ω) 是一个概率空间, 定义 是一个概率空间 对于ω∈ 是一个取实数的单值函数;若对于任一实数 若对于任一实数x, 是一个取实数的单值函数 若对于任一实数 {ξ(ω)<x}是 是 一随机事件,亦即{ξ(ω)<x} ∈F ,则称 为随机变数. 则称ξ为随机变数. 一随机事件,亦即 注: 随机变数的自变量为ω∈ 函数值为实数. (1)随机变数的自变量为 ∈ , 函数值为实数. (2)随机事件可以通过随机变数来描述.以后简记 随机事件可以通过随机变数来描述.
A a ( A a)( A a 1) ( A a) 3 2 1 A 1+ + + + = . A 1 ( A1)( A 2) ( A1) (a + 1)a a
只正品硬币, 次品硬币( 7 袋中装有 m 只正品硬币,n 只次品硬币(次品硬币的 两面均印有国徽),在袋中任取一只, ),在袋中任取一只 两面均印有国徽),在袋中任取一只,将它投掷 r 次, 已知每次都得到国徽,问这只硬币是正品的概率是多少? 已知每次都得到国徽,问这只硬币是正品的概率是多少? 分别表示正品,次品, 解:设 B1,B2,分别表示正品,次品, 表示"投掷r次全是国徽" 由贝叶斯公式 A 表示"投掷r次全是国徽".
P ( t + t ) = P ( t ) P ( t ) = P ( t )[1 at o( t )]
10 (P72第38题) 已知自动织布机在 这段时间内因故障 第 题 已知自动织布机在t 而停机的概率为α 是常数), 而停机的概率为 t +o(t ) (α是常数 并设机器在不 是常数 重叠时间内停机的各个事件是彼此独立的,假定在时刻 重叠时间内停机的各个事件是彼此独立的 假定在时刻 t0 机器在工作着, 机器在工作着 试求此机器在由时刻 t0 到 t0 + t 这段时间 内不停止工作的概率P(t) (设 P(t) 与初始时刻 t0 无关 无关). 内不停止工作的概率 设 由此得
1 P { X = 2} = P {第一次取到 1号球且第二次取到 1号球 } = , 9
P { X = 3 } = P {第一次取到 1号球且第二次取到 2号球 } 1 1 2 + P {第一次取到 2号球且第二次取到 1号球 } = + = 9 9 9
1
2
3
类似计算其它, 类似计算其它,得:
X
pi
6 利用概率论的想法证明恒等式
r 0 r 1 0 r r 1)(P68第4(1)题)CnmCm + Cn1 Cm + + CnmCm = Cn ) 第 题 m
只球,其中m只红球 只红球, 只黑球, 证 设一袋中共有 n 只球,其中 只红球,n-m 只黑球, 只球, 现从袋中任取 r 只球,以Ak表示所取 r 只球中有 k 只 红球, 红球,则
注意 p2 = (1 p ) 2 + p 2 = 1 2 p + 2 p 2 代入
pk = p[1 + (1 2 p ) + + (1 2 p )k 3 ] + (1 2 p ) k 1 + 2 p 2 (1 2 p ) k 2
9 (P72第36题) 在每一次试验中,事件 出现的概率为 p, 第 题 在每一次试验中,事件A , 试问n 出现偶数次概率是多少? 试问 次独立试验中 A 出现偶数次概率是多少?
P ( B1 A) = P ( B1 ) P ( A B1 ) P ( B1 ) P ( A B1 ) + P ( B2 ) P ( A B2 )
m 1 r ( ) m m+n 2 = = m 1 r n m + 2r n ( ) + m+n 2 m+n
□
设有来自三个地区的各10 10名 15名和25名考生的报名 名和25 8 设有来自三个地区的各10名,15名和25名考生的报名 其中女生的报名表分别为3 表,其中女生的报名表分别为3份,7份,5份.随机取一 个地区的报名表,从中先后抽出两份. 个地区的报名表,从中先后抽出两份. (1) 求先抽到的一份是女生表的概率 p ; 已知后抽到的一份是男生表, (2) 已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生 (1998年数学 年数学3) 表的概率 q . (1998年数学3)