数理统计(中山大学邓集贤)
2n
10 9
2.解：
η( y) = eα −β y ,α > 0, β > 0, y ≥ 0
震级ξ < m的概率
m
η( y)dy
m eα −β ydy
∫ ∫ P{ξ < m} = F (m) =
0 ∞
=
η( y)dy
0
∞ eα −β ydy
=1− e−βm,m
>
0
∫ ∫ 0
0
即ξ E(β )
3.解： ξ N (a,1), P{ξ < 0} = 14 = 0.7(用频率估计概率)
服从正态分布 i=1
i =1
.
证明：应用特征函数。 ϕξi
(t)
=
eiait
−
1 σ
2
i
2t
2
,
i
=
1,
2,L n.
n
I I ϕ t Ee Ee Ee e η ( ) =
iηt =
∑i ckξkt
n
k =1
=
n
= ick ξ k t
ick
ak
t
−
1 2
ck
2σ
k
2t
2
k =1
k =1
= e ∑ ∑ ⇒ η i
解： 记这两个样本均值分别为：
ξ1 ξ2
N (a, σ 2 n1 σ2
N (a, n2
) )
= =
N
(20,
3 )
10
⎫ ⎪ ⎪
⎬
N
(20,
3 15
)⎪⎪⎭
⇒
ξ1
−
ξ2
N (0, 1) 2
P{ξ1 − ξ2
> 0.3} = P{| ξ1−ξ2 |> 1
0.3 1
= 0.3
2} = 2*(1−φ(0.3
(1) 至 800 小时时没有一个元件失效的概率是多少？
(2) 到 3000 小时时所有元件都失效的概率是多少？
解：（1） ξi E(0.0015), i = 1, 2,L, 6 ,且相互独立，则
6
∏ P{min(ξ1,ξ2,L,ξ6 ) > 800} = P{ξi > 800}
i=1
( ) = e−0.0015*800 6 = e−7.2.
η1,η2 ,L,ηn 的变换为正交变换，试证：η1,η2 ,L,ηn 是 n 个相互独立的且都服正态 N (0,1)
分布的随机变量。
证明：
因为
fξ
( x1 ,
x2 ,L,
xn )
=
−n
(2π ) 2
exp{−
1 2
x'
x}, 其中x
=
( x1 ,
x2 ,L,
xn ) '.
设正交变换
为： x = Ty ，则其雅可比行列式 || T ||= 1, 且 xx ' = y 'T 'Ty = y ' y ，由随机向量函数的密度
⎪
⎪
⎬
N (0,1)⎪ ⎪
⎪⎭
2
⎛
⎞
⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝
ξ1
− ξ2 σ
2
⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠
2
⎛
⎞
⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝
ξ3
+ ξ4 σ
2
⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠
⎫
⎪
χ 2 (1) ⎪ ⎪
⎪⎪ ⎬ ⎪
⇒
(ξ1 (ξ3
−ξ2 )2 + ξ4 )2
⎪ χ 2 (1)⎪
⎪
⎪⎭
F (1,1)
4
∑ 4.设总体 ξ
N (1, 2)
n k =1
ck
ak
t
−
1 2
n k =1
ck
2σ
k
2t
2
n
n
∑ ∑ N ( ck ak , ck 2σ k 2 )
k =1
k =1
11
16.设总体在
(θ
−
2
,θ
+
) 2
上服从均匀分布， ξ1,ξ2 ,L,ξn
为其样本， ξ(1) ,ξ(2) ,L,ξ(n)
为顺
序统计量，试求
ξ(1)
,
ξ(n
)及(ξ(1)
=2
1
e−
1 2
⎛ ⎜⎝
v−a σ
2
⎞ ⎟ ⎠
−2
f
(v) F (v)
2π σ
=
2 2π σ
e−
1 2
⎛ ⎜⎝
v−a σ
2
⎞ ⎟ ⎠
−
f2 (v)(由(2))
12.设总体 ξ 服从参数为 λ 的指数分布， ξ1,ξ2 为其样本，试求样本的极大值、极小值与极
差的分布。
解：参见 P13 页例 6.2.5 当 n=2 的情形：
⎧2λe−λu (1− e−λu ), 0 < u < ∞
f2
(u)
=
⎨ ⎩0,
其他
⎧2λe−2λv , 0 < v < ∞
f1
(v)
=
⎨ ⎩0,
其他
⎧λe−λy , 0 < y < ∞
f D2*
(
y)
=
⎨ ⎩0,
其他
13.设 ξ1,ξ2 ,L,ξn 是相互独立的且都是服从正态 N (0,1) 分布的随机变量， ξ1,ξ2 ,L,ξn 到
f
.ϕ2
(t)
=
(1 −
2it ) − nα
∴η Γ(nα , 2) = χ 2 (2nα )(χ 2 (n) = Γ(n , 2)) 2
⇒ P{ξ > M } = P{η > 2nM } = 0.01 β
2nM β
=
χ
2 2nα
(0.001)
=
χ
2 30
(0.01)
=
50.89
⇒ M = 50.89 ⋅ β = 50.89 ⋅ 1 ⋅ 1 = 0.56544
η |< 2σ
x }
2σ
= P{| φ |< x } = 2φ( x ) −1
2σ
2σ
∴ f|η| (x) = 2 ⋅
1 ϕ( 2σ
x )=
2 ⋅
2σ σ
1 x2
1 e− 2 2σ 2 2π
=
1
x2 −
e 4σ 2
σπ
由公式（6.2.16）有
∞
∫ fD ( y) =
f (v + y) f (v)dv
it
)−n
ϕ (t) = (1− 2nλ 1 it)−n = (1− 2it)−n
2 nλ ξ
nλ
⇒ 2nλξ G(1 , 2n) = Γ(2, 2n) = χ 2 (2n)
22
2
p{η > 6} = 1− p{η ≤ 6} = 0.950212932
8.设总体 ξ N (12, 2) ，今抽取容量为 5 的样本 ξ1,ξ2 ,L,ξ5 ，试问：
⎪⎪ ⎬
⇒
⎪
⎪
⎪⎭
ξn+1 − ξ
n +1σ n
= ξn+1 − ξ
n −1
t(n −1)
nSn2
Sn n +1
σ2
n −1
n
∑ 15.设 ξ1,ξ2 ,L,ξn 相互独立且服从正态分布
N (ai ,σ i2 ), i
= 1, 2,L, n
η
，试证明：
=
i =1
ciξi
n
n
∑ ∑ N ( ciai , ci2ai2 )
,
ξ(n
)
)
的分布。
解：
f1(v) = nf (v)[1− F (v)]n−1(公式6.2.13)
= n[1− (v − (θ − 1 ))]n−1 = n(1 +θ − v)
2
2
fn (u) = nf (u)[F (u)]n−1(公式6.2.12)
= n(u + 1 −θ )n−1 2
F (u , v ) = P {ξ (1) ≤ u , ξ (n ) ≤ v} = 1 − P {ξ (n ) > u } − P{ξ (1) > v , ξ (n ) < u} = 1 − P {ξ (n ) > u } − P ( v < ξ (1) ≤ ξ (n ) < u ) = 1 − P{ξ (n ) > u } − [ F (u ) − F (v )]n = 1 − P{ξ (n ) > u } − (u − v ) n ⇒ f (u , v ) = ∂ 2 F (u , v ) = n (n − 1)(u − v ) n−2
2 ))
2
2
= 0.6714 11.设总体 ξ 服从正态分成 N (a,σ 2 ) ， ξ1,ξ2 为其样本，试求样本极差的分布，极大值与
极小值的分布。
解：（1）.当样本容量 n = 2 时，极差的分布即为 | ξ1 − ξ2 | 的分布，Qη = ξ1 − ξ2 N (0, 2σ 2 )
F|η|(x) = P{|η |< x} = P{|
2
2
2
⇒ φ( n ) ≥ 0.95 ⇒ n ≥ 25 2
7．设总体 ξ E(λ ) ， ξ1,ξ2 ,L,ξn 为其样本， ξ 为样本均值：
1）试求η = 2nξ 的分布。 2）若 n=1,试问 p{η > 6} 是何值？
解：
ϕξ
双截尾Cauchy分布参数估计的若干问题
双截尾Cauchy分布参数估计的若干问题熊雄;庹恒【摘要】设{X k,1≤k≤n}独立且均服从参数为μ,λ,A,B的双截尾Cauchy分布,得到了矩估计的性质并给出了当参数μ,λ已知时,参数A,B矩估计的数值解法,得出了参数A,B的极大似然估计并证明了其他参数极大似然估计的存在性和强相合性,最后利用极端顺序统计量的渐近分布得到了参数A,B的近似区间估计.【期刊名称】《吉首大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(039)001【总页数】6页(P19-24)【关键词】双截尾Cauchy分布;参数估计;顺序统计量【作者】熊雄;庹恒【作者单位】湘潭大学数学与计算科学学院,湖南湘潭411105;中南大学数学与统计学院,湖南长沙411000【正文语种】中文【中图分类】O21Cauchy分布[1]是概率统计问题中常用的分布，其密度为f(x)=λ/π(λ2+(x-μ)2)，其中μ，λ为参数，μ∈(-∞,+∞),λ>0.Cauchy分布在许多领域有广泛的应用.如在背景图像中，像素点观测的时序波动来源于白噪声，2帧图像中对应像素间的灰度比值的分布服从Cauchy分布.[2]但是因为Cauchy的各阶原点矩均不存在，所以难以深入研究与数字特征有关的问题.双截尾Cauchy分布的密度为其中常数当参数λ=1,μ=0时,也称之为标准双截尾Cauchy分布.双截尾Cauchy分布的应用也很广泛.如在统筹方法中，任务的完成时间应服从双截尾Cauchy分布[3].直观来说，双截尾Cauchy分布的各阶原点矩均存在，这让数字特征的研究得以继续.因此，对双截尾Cauchy分布的参数估计进行讨论是很有必要的.匡能晖等[4]研究了标准双截尾Cauchy分布顺序统计量的若干性质，笔者从参数估计的基本原理出发，结合极端顺序统计量的概率性质，拟研究非标准双截尾Cauchy分布的矩估计性质及其数值解法.1 准备工作引入如下记号：记随机变量X有分布函数F(x)，并记α(F)=inf{x:F(x)>0},ω(F)=sup{x:F(x)<1}.引理1[5] 设X1,n,X2,n,…,Xn,n为任意在[A,B]取值的连续型随机变量的顺序统计量，则对于∀ε>0，有引理2[6] 若向量函数Ψ(X)存在m(m>2)阶连续偏导数，X是方程Ψ(X)=0的单根，当初值X0充分接近精确解X时，Newton迭代法收敛且至少为二阶收敛.引理 3[7] 设随机序列{Xk,1≤k≤n}独立同分布，其公共分布函数为F(x)，又设X1,n,X2,n,…,Xn,n为其顺序统计量，则存在实序列{an},{bn}(an,bn>0)，对于一切x，当存在时，成立.引理4[8] 设随机序列{Xk,1≤k≤n}独立同分布，其公共分布函数为F(x)，又设X1,n,X2,n,…,Xn,n为其顺序统计量，若ω(F)<+∞，假定存在常数γ>0，对于一切x>0，有则存在序列{bn}(bn>0)，使得其中：序列{bn}取为bn=inf{x:1-F(x)≤1/n}.引理5[8] 设随机序列{Xk,1≤k≤n}独立同分布，其公共分布函数为F(x)，又设X1,n,X2,n,…,Xn,n为其顺序统计量，假定α(F)有限，并记分布函数F*(x)=F(α(F)-1/x)(x<0)，若存在常数γ>0，对于一切x>0，有则必有实序列{cn},{dn}(cn,dn>0)，使得其中，{cn}，{dn}分别取为cn=α(F),dn=sup{x:F(x)≤1/n}-α(F)；引理6[9] 设h(x;θ)为分布族，X1，X2，…,Xn为idd样本，参数θ是一维的且参数空间Θ是开集，若对于∀x∈X(X为样本空间)，有h(x;θ)>0且存在，又若∀θ∈Θ，则当样本容量n充分大时，以概率1似然方程至少存在1个解引理7[10] 设h(x;θ)为分布族，X1，X2，…，Xn为idd样本，参数θ是一维的且参数空间Θ是开集，若ln h(x;θ)关于参数θ是可微的且分布族是可识别的(即对于∀θ1,θ2∈Θ，{x:h(x;θ1)=h(x;θ2)}不是零测集)，则以概率1似然方程在n→∞时有解，且此解关于θ是相合的.2 主要结果假设参数μ，λ已知，考虑A,B的矩估计，就是考虑如下方程组的解：(1)其中：设由方程组(1)得到A,B的矩估计分别为AM,BM.首先，对于矩估计的可靠程度，由大数定律容易得到如下结论:定理1 矩法估计量AM,BM分别是参数A,B的弱相合估计，即(2)要得到方程组(1)的公式解，其难度异乎寻常，因此笔者研究其数值解.下面以标准双截尾Cauchy分布为例，说明其矩估计的算法步骤.(ⅰ)待解方程组为其中(ⅱ)寻找初值点.由引理2和引理2，可以取(X1,n,Xn,n)作为计算(A,B)的初值点. (ⅲ)利用Newton迭代法计算.将fj在初值点(X1,n,Xn,n)进行一阶Taylor展开，得(3)忽略方程组(3)中的余项，得(4)易知方程组(4)的解即为方程组(1)的近似解.现考虑线性方程组(4)的解，其系数矩阵就是函数对于未知参数的Jacobi矩阵：令f=(f1,f2)T,X=(A*,B*)T,X0=(X1,n,Xn,n)T，那么(2)式可以写成f(X0)+J(X0)(X-X0)=0,其解为X1=X0-J-1(X0)f(X0).重复这个步骤，便得到如下Newton迭代法的公式：Xk+1=Xk-J-1(Xk)f(Xk) k=0,1,2,….Newton迭代法的优势在于平方范数收敛性，即‖Xk+1-X‖≤C‖Xk-X‖ .鉴于Newton迭代法的特性，剩余量范数不一定递减.为了保证剩余量范数递减，即‖f(Xk+1)‖≤‖f(Xk)‖(k=0,1,2,…)，考虑加入一个修正因子ωk，ωk>0，将解改写为Xk+1=Xk-J-1ωk(Xk)f(Xk) k=0,1,2,….选择合适的ωk使得范数递减，这个办法被称为阻尼Newton迭代法.(ⅳ)确定算法的终止条件.由于阻尼Newton迭代法保证了剩余量范数递减，因此只要找到某一步的运算结果Xk并使得其满足一定的条件即可.给定允许误差值δ>0，若存在k∈N,s.t.‖Xk-X0‖≤δ，则有‖Xn-X0‖≤δ(∀n≥k).这里的矩估计算法只针对参数μ，λ已知的情形作出讨论.事实上，若A,B已知，要求解参数μ，λ的矩估计时，算法完全一致，只是初值点需要重新选择.定理2 设Xk～C(μ,λ;A,B)，X1,n,X2,n,…,Xn,n是其顺序统计量，若λ,μ已知，则参数A,B分别有极大似然估计X1,n,Xn,n.证明考虑对数似然函数由X1,n≥A,Xn,n≤B，可得ln L(A,B)≤ln L(X1,n,Xn,n).再由ln x的单调性即得参数A,B的极大似然估计分别为X1,n,Xn,n.定理3 设{Xk,1≤k≤n}～C(μ,λ;A,B)，参数A,B,μ已知，且关于λ的极大似然方程有解，则必存在一个解使得是未知参数λ的强相合估计.证明由引理6，只要证明考虑积分变换则以上积分就是其中Y=[A-μ，B-μ].由Abel判别法，该积分存在.再根据引理5，以概率1似然方程存在1个解定理4 设{Xk,1≤k≤n}～C(μ,λ;A,B)，参数A,B，μ,λ的其中3个为已知，记未知参数为θ，则存在θ的强相合估计使得当样本容量n充分大时，它以概率1是似然方程的解.证明根据引理6和定理3可知，当样本容量n充分大时，以概率1似然方程存在1个解先证明强相合估计的存在性.由于泛函f(x;θ)在参数空间Θ上连续，因此，当θ→θ′时，对于一切x∈X，有f(x;θ)→f(x;θ′).由Scheffe定理[5]，当θ→θ′时，即C(x;θ)和C(x;θ′)的Kolmogorov距离为无穷小，从而存在参数θ的强相合估计，记为下面来证明关于参数θ的似然方程有解且与强相合估计几乎处处相等.现只要证明当n→∞时，以概率1似然方程有解.显然双截尾柯西分布的密度函数满足引理7的条件，因其密度函数f(x)在定义域上连续，故以概率1似然方程有解. 此外，设为似然方程的一个解，由三角不等式，得这说明是参数θ的强相合估计.最后，先给出非标准双截尾Cauchy分布极端顺序统计量的渐近分布，再导出参数A,B的近似区间估计.定理5 设{Xk,1≤k≤n}独立同分布且Xk～C(μ,λ;A,B)，X1,n,…,Xn,n为其顺序统计量，则存在序列{bn}(bn>0)，使得其中：bn=inf{x:1-F(x)≤1/n}.证明对于Xk的分布函数F(x)，有ω(F)<∞，则对于∀x>0，由L'Hospital法则有故取γ=2.由引理4，取an=0,bn=t，则又因为bn=inf{x:1-F(x)≤1/n}，所以1-F(t+0)≤1/n≤1-F(t).即故1-F(t+0)≥1-F(tx)(x>1).从而下面令ε→0，对于∀x>1，有再由引理4可得定理5成立.定理6 设{Xk,1≤k≤n}独立同分布且Xk～C(μ,λ;A,B)，X1,n,…,Xn,n为其顺序统计量，则有序列{cn},{dn}(cn,dn>0)，使得其中：cn,dn分别取为cn=μ,dn=sup{x:F(x)≤1/n}-μ.证明对于双截尾Cauchy分布的分布函数F(x)，有α(F)=A,则分布函数F*(x)(F*(x)=F(A-1/x),x<0)满足：对于∀x>0，由L'Hospital法则有故取γ=1.根据引理3，结合定理5的证明方法可得定理6成立.定理7 设{Xk,1≤k≤n}～C(μ,λ;A,B)，参数λ,μ已知，X1,n,X2,n,…,Xn,n为其顺序统计量，则当样本量n充分大时，参数A,B分别有近似区间估计其中0<α<1为显著性水平.证明先考虑参数A的区间估计.由定理又根据序列{cn},{dn}的选择可知，对于任何固定的x>0，cn+dnx→Ax+μ(1-x)(n→∞).于是当样本容量n充分大时，P{X1,n≤Ax+μ(1-x)}≈L2,1(x) n→∞.(5)特别地，取L2,1(x)=1-α，得x=-ln α.经过整理，(5)式变成另一方面，显然A≤X1,n，那么再考虑参数B的区间估计.根据定理又根据序列{bn}的选择可知，bn→ω(F)=B(n→∞).仿照前面的证明，取一个固定的ε=1，于是当n充分大时，以概率1 1+B≥Xn,n成立，从而参考文献：[1] 邓集贤，杨维权，司徒荣，等.概率论及数理统计[M].4版.北京：高等教育出版社，2009:295-300.[2] 明英，蒋晶珏.视觉监视中基于柯西分布的统计变化检测[J].中国图象图形学报，2008,13(2)：328-334.[3] 何永济.统筹方法中一任务的完成时间X应服从截尾Cauchy分布[J].武汉水利电力学院学报，1984(1)：85-92.[4] 匡能晖，陈勇.双截尾的Cauchy分布顺序统计量的渐进分布[J].北京大学学报(自然科学版)，2011,47(3):385-388.[5] 林元烈，梁宗霞.随机数学引论[M].北京：清华大学出版社，2003：123-136.[6] 黄云清,舒适.数值计算方法[M].北京:科学出版社,2004:158-168.[7] NADARAJAH S.Explicit Expressions for Momentsof OrderStatistic[J].Statistics & Probability Letters,2008,78(2):196-205.[8] THOMAS P YAGEEN,SAMUEL PHILIP.Recurrence Relations for the Moments of Order Statistics from a BetaDdistribution[J].Statistical Papers,2008,49(1):139-146.[9] 茆诗松.高等数理统计[M].北京：北京大学出版社，2003：123-136.[10] 熊雄，匡能晖.三参数的Pareto分布顺序统计量的渐进分布[J].四川大学学报(自然科学版),2012,49(5):975-978.。
硕士研究生入学考试、复试、同等学力加试参考书目
《现代管理理论与方法》周三多，复旦大学出版社，1995年
817工程经济
《工程经济》黄愈祥，同济大学出版社，1994年
818机械设计
《机械设计》濮良贵,高等教育出版社，2001年,第7版
819机械控制工程基础
《控制工程基础》左建民,机械工业出版社2001年
820汽车理论基础
《汽车理论》余志生,机械工业出版社，2000年,第3版
502专业综合
《工程测量学》张正禄，武汉大学出版社，2005年
《GPS测量原理及应用》徐绍铨等，武汉大学出版社，2004年
503路基路面工程
《路基路面工程》邓学钧，人民交通出版社，2005年
《公路沥青路面设计规范》(JTG D50-2006)，人民交通出版社
《公路水泥混凝土路面设计规范》(JTG D40-2002)，人民交通出版社
复试科目
主要参考书目
529产业经济学
《产业经济学》苏东水，高等教育出版社，2000年
530统计学
《统计学原理》黄良文，中国统计出版社，2000年
531专业综合
《管理信息系统》薛华成,清华大学出版社,2003年
《物流管理》刘刚,中国人民大学出版社,2005年
532专业综合
《中级财务管理》宋献中,东北财经大学出版社,2002年
《计算机控制技术》于海生，机械工业出版社
522专业综合
《计算机控制技术》于海生，机械工业出版社
《模拟电子技术基础》童诗白，高等教育出版社，第3版
《数字电子技术基础》阎石，高等教育出版社，第5版
523锅炉原理
《锅炉原理》叶江明，中国电力出版社，2004年，第1版
524换热器原理
《换热器原理与设计》余建祖，北京航空航天大学出版社，2006年，第1版
浅谈概率中的研究性学习——以分解法为例
㊀㊀㊀㊀㊀㊀浅谈概率中的研究性学习浅谈概率中的研究性学习㊀㊀㊀ 以分解法为例Һ董㊀华㊀赵翔华㊀（曲阜师范大学统计学院，山东㊀曲阜㊀２７３１６５）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文通过对几道例题的分析，展示了分解法在求期望和方差中的作用，并引导学生进行研究性学习从而培养学生的探索精神和创新能力．ʌ关键词ɔ分解；数学期望；方差ʌ基金项目ɔ曲阜师范大学教改项目大学的课堂与中学的课堂有着本质的差别，中学学习主要是学生从教师已梳理好的㊁系统的知识体系中去汲取，而大学学习不仅是为了掌握知识点，更是为了培养学生的学习能力．研究性的学习能够充分调动学生学习的积极性并使其主动参与课堂教学，有助于培养学生独立思考的能力，提高学生分析问题㊁解决问题的能力．培养具有探索创新精神的大学生正是新时代大学的使命．因此，大学课堂开展研究性学习非常必要．数学期望和方差是随机变量的两个重要的数字特征．数学期望是消除随机性的主要手段，方差则刻画了随机变量的取值在数学期望周围的 波动 程度．数学期望与方差在金融㊁保险㊁医学㊁工农业生产中都有广泛的应用，因此如何求数学期望和方差就是一个重要的问题了．通常情况下，我们求随机变量的数学期望和方差主要是利用定义和性质．有些问题中随机变量的分布很难求，有些问题中虽然随机变量的分布不难求但是用定义法求期望和方差需要大量的㊁繁杂的数学计算．因此，仅靠定义法求数学期望和方差不是一个高效的办法．在一些比较复杂的问题中，如果能够结合数学期望的线性性质并合理利用一些分解变量的小技巧就能够使求数学期望的问题变得简单，方差问题也是如此．对于一些初学者来说，学会一个事半功倍的方法有助于他们快速解决一类问题，更有助于他们在日后的学习中增强信心，发散思维继而解决更多的难题．本着研究性学习的初衷，本文我们通过几个求数学期望和方差的例子展示概率中研究性学习的教学过程，带领学生探索求数学期望和方差的方法，希望学生能够学会举一反三，培养学生勇于探索的精神．巧妙利用随机变量的分解法求数学期望和方差在文献［１］中已有探索．下面首先回顾一下这道例题：例１［２］㊀设随机变量Ｘ ｂ（ｎ，ｐ），试求Ｘ的数学期望和方差．解㊀设Ｘ１，Ｘ２， ，Ｘｎ为相互独立的随机变量，且Ｘｉ都服从０－１分布ｂ（１，ｐ），则Ｅ（Ｘｉ）＝ｐ，Ｖａｒ（Ｘｉ）＝ｐ（１－ｐ）且Ｘ＝ðｎｉ＝１Ｘｉｂ（ｎ，ｐ）．由数学期望和方差的性质得Ｅ（Ｘ）＝ðｎｉ＝１Ｅ（Ｘｉ）＝ｎｐ，Ｖａｒ（Ｘ）＝ðｎｉ＝１Ｖａｒ（Ｘｉ）＝ｎｐ（１－ｐ）．例１将随机变量Ｘ ｂ（ｎ，ｐ）分解为ｎ个独立同分布的０－１分布的随机变量的和，然后再利用数学期望的线性性就可以方便地求得随机变量Ｘ的期望．通过观察我们发现，例１在利用分解的方式求数学期望和方差的过程中并不需要 同分布 这一性质，所以我们可以把例１中的分解方法运用到一些可以分解为相互独立的０－１分布随机变量和的问题．例２［２］㊀设进行ｎ次独立随机试验，事件Ａ在第ｋ次试验中发生的概率记为ｐｋ，求事件Ａ在ｎ次试验中出现的总次数Ｘ的数学期望与方差．解㊀令Ｘｋ＝１，第ｋ次试验中事件Ａ发生，０，第ｋ次试验中事件Ａ不发生，{则Ｘ１，Ｘ２， ，Ｘｎ相互独立且Ｘ＝ðｎｋ＝１Ｘｋ．令ｐｋ＝Ｐ（Ｘｋ＝１），则Ｅ（Ｘｋ）＝ｐｋ，Ｖａｒ（Ｘｋ）＝ｐｋ（１－ｐｋ）．所以Ｅ（Ｘ）＝ðｎｋ＝１Ｅ（Ｘｋ）＝ðｎｋ＝１ｐｋ，Ｖａｒ（Ｘ）＝ðｎｋ＝１Ｖａｒ（Ｘｋ）＝ðｎｋ＝１ｐｋ（１－ｐｋ）．显然，当ｐｋ＝ｐ时，例题２就是例题１．那是不是只有在随机变量Ｘ能分解为ｎ个独立的０－１分布随机变量Ｘ１，Ｘ２， ，Ｘｎ的和时我们才能用前面的分解法求数学期望和方差呢？答案当然是否定的，我们看下面的例子：例３㊀把ｍ个球随机地放进ｎ个盒子，Ｘ表示空盒子数．求Ｘ的数学期望和方差．解㊀令Ａｋ表示第ｋ（ｋ＝１，２， ，ｎ）个盒子是空的，则Ｘ＝ðｎｋ＝１ＩＡｋ且Ｐ（Ａｋ）＝ｎ－１ｎ()ｍ，Ｐ（ＡｋＡｊ）＝ｎ－２ｎ()ｍ．由期望的线性性可得Ｘ的数学期望为Ｅ（Ｘ）＝㊀㊀㊀㊀㊀ðｎｋ＝１Ｅ（ＩＡｋ）＝ｎ１－１ｎ()ｍ．而Ｅ（Ｘ２）＝Ｅ（ðｎｋ＝１ＩＡｋ）２＝Ｅðｎｋ＝１ðｎｊ＝１Ｅ（ＩＡｋＡｊ）()＝ðｋʂｊＥ（ＩＡｋＡｊ）＋ðｎｋ＝１Ｅ（ＩＡｋ）＝ｎ（ｎ－１）１－２ｎ()ｍ＋ｎ１－１ｎ()ｍ，因此，Ｘ的方差为Ｖａｒ（Ｘ）＝Ｅ（Ｘ２）－（Ｅ（Ｘ））２＝ｎ（ｎ－１）１－２ｎ()ｍ＋ｎ(１－１ｎ)ｍ－ｎ２１－１ｎ()２ｍ．这里的空盒子数就可以理解为空盒子出现的 次数 ，每个盒子或 是空盒子 或 不是空盒子 ，所以对每个盒子而言， 空盒子 出现次数或是 ０ 或是 １ ，并且各个盒子之间是不是空盒子不是独立的．因此，分解法对于随机变量能分解为不独立的随机变量和的问题也是适用的．在教学过程中，用例１作为引子，引导学生放宽题设条件，依次引入例２（独立不同分布）和例３（不独立但可以同分布）．让学生在分析中自己去发现㊁去总结．不难看出，例１ ３都是把一个表示 总次数 的随机变量分解成几个０－１分布随机变量和的方式求数学期望和方差的．那么是不是只有表示 总次数 的随机变量能分解为０－１分布随机变量和的形式才能用分解法来求期望和方差呢？当然不是！我们看下面的例４．例４［３］㊀流水作业线上生产的每个产品为不合格品的概率为ｐ，当生产出ｋ个不合格品时即停工检修一次．求在两次检修之间产品总数的数学期望．解㊀设Ｘ表示两次检修之间的产品总数，生产到第Ｘ１件产品出现第一件不合格品，从第ｉ－１件不合格品出现后再生产Ｘｉ件产品出现第ｉ件不合格品．因此，Ｘ＝Ｘ１＋ ＋Ｘｎ，且Ｘｉ Ｇｅｏ（ｐ）．由题意可知Ｘｉ（ｉ＝１，２， ，ｎ）相互独立，因此，由期望和方差的性质分别可得Ｅ（Ｘ）＝ðｎｉ＝１Ｅ（Ｘｉ）＝ｎｐ，Ｖａｒ（Ｘ）＝ðｎｉ＝１Ｖａｒ（Ｘｉ）＝ｎ（１－ｐ）ｐ２．例４中通过将随机变量分解为许多独立同分布的几何随机变量的和来求随机变量的期望，说明分解法对分解出来的随机变量的类型是没有要求的．实际上，许多具有可加性的分布都是可以反过来通过分解法求期望的，比如负二项分布㊁卡方分布㊁伽马分布等．例１ ４都是通过将随机变量经过一次分解来解题的，实际上分解是可以多次进行的．下面的游程数问题是个比较综合的问题，需要经过多次分解．例５［４］㊀设ｎ个１和ｍ个０随机地排成一个序列，一共有（ｍ＋ｎ）！ｍ！ｎ！种可能的排列法，每种排列法都是等可能的．在一个序列中，连在一起的１构成 １ 的游程．例如，ｎ＝６，ｍ＝４，６个１和４个０构成如下的一个排列：１，１，１，０，１，１，０，０，１，０，其中第一组３个１构成一个 １ 的游程，在这个序列中一共有３个 １ 的游程．求ｎ个１和ｍ个０随机地排成一个序列时游程个数的期望．解㊀令Ａｉ表示一个１的游程开始于第ｉ个位置，排列中１ 的游程个数记为Ｒ（１）， ０ 的游程个数记为Ｒ（０）．由题意可知，Ｒ（１）＝ðｍ＋ｎｉ＝１ＩＡｉ．经计算可知：Ｐ（Ａ１）＝ｎｍ＋ｎ，对于１＜ｉɤｍ＋ｎ，考虑到Ａｉ是 １ 的游程从第ｉ个位置开始，第ｉ－１个位置一定是０，所以，Ｅ（ＩＡｉ）＝Ｐ（Ａｉ）＝ｍｍ＋ｎ㊃ｎｍ＋ｎ－１．因此，Ｅ（Ｒ（１））＝ðｍ＋ｎｉ＝１Ｅ（ＩＡｉ）＝ｎｍ＋ｎ＋（ｍ＋ｎ－１）ｍｎ（ｍ＋ｎ）（ｍ＋ｎ－１）＝ｎｍ＋ｎ＋ｍｎｍ＋ｎ．类似地，Ｅ（Ｒ（０））＝ðｍ＋ｎｉ＝１Ｅ（ＩＡｉ）＝ｍｍ＋ｎ＋ｍｎｍ＋ｎ．所以，游程个数的数学期望为Ｅ［Ｒ（１）＋Ｒ（０）］＝１＋２ｍｎｍ＋ｎ．例５先按照游程是由 ０ 还是由 １ 形成的进行了第一次分解，然后再按照每个游程开始的具体位置进行了第二次分解．在例１的基础上，引导学生不断提出问题，然后逐步放宽限制，最终把例１的分解思想推广到一些更一般的情况，这个过程也体现了分解法在不同模型中的应用．引导学生对比这几道例题的共同之处，做出总结，从而掌握一类解决问题的方法．这个学习过程调动了学生学习的积极性，激发了学生的求知欲，培养了学生的创新能力．ʌ参考文献ɔ［１］茆诗松，程依明，濮晓龙．概率论与数理统计［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１９．［２］邓集贤，杨维权，司徒荣，等．概率论及数理统计（上册）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００９．［３］魏宗舒．概率论与数理统计教程［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００８．［４］ＳｈｅｌｄｏｎＭ．Ｒｏｓｓ．概率论基础教程（原书第９版）［Ｍ］．童行伟，梁宝生，译．北京：机械工业出版社，２０１４．。
概率论与数理统计1.1随机事件
若观察出现正面的次数 , 则样本空间为 { 0 , 1, 2 , 3 } .
说明
3. 建立样本空间,事实上就是建立随机现
象的数学模型. 因此 , 一个样本空间可以 概括许多内容大不相同的实际问题.
例如
只包含两个样本点的样本空间
{H , T }
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的
统计推断、预测或者决策。
2.《概率论与数理统计》的地位
《概率论与数理统计》是高校理、工、农、 医科、经济类、管理类等本科专业必修的一门 重要的基础课，也是这些硕士研究生入学考试
的一门必考科目。
3.《概率论与数理统计》与其它学科 的联系及其应用
●《概率与数理统计》是一门应用性很强又 颇具特色的数学学科，它在工程技术、科学研 究、经济管理、企业管理、经济预测等众多领 域都有广泛的应用；
0 1 100 n 答案：（ 1） { , , , } n n n ( 2 ) { 3 , 4 , ,10 }, ( 3 ) { 3 , 4 , } ( 4 ) {10 ,11 , }, ( 5 ) { AB , AC , AD , AE , BA , BC , BD , BE , CA , CB , CD , CE , DA , DB , DC , DE , EA , EB , EC , ED }, ( 6 ) {甲胜乙负，甲负乙胜， 平局 }
例如 可设 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. A = “点数不大于4”, B = “点数为奇数” 等 等.
随机事件与样本空间的关系
1. 随机事件 —— 某些样本点组成的集合, Ω的子集，常用A、B、C…表示. 2. 基本事件 —— Ω的单点集. 3. 必然事件 (Ω) 4. 不可能事件 (φ) —— 空集.
分布函数列的一致收敛性
分布函数列的一致收敛性邢家省;杨义川【摘要】研究了函数列的一致收敛性问题.对狄尼定理的另一种形式的结果给出了证明,并将此结果应用于随机变量序列的分布函数列的一致收敛性研究,指出了中心极限定理的深刻结果,时t-分布的随机变量序列的极限分布给出了2种直接的证明方法.【期刊名称】《吉首大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(039)002【总页数】4页(P1-4)【关键词】一致收敛性;狄尼定理;t-分布;极限分布【作者】邢家省;杨义川【作者单位】北京航空航天大学数学与系统科学学院,北京100191;北京航空航天大学数学、信息与行为教育部重点实验室,北京100191;北京航空航天大学数学与系统科学学院,北京100191;北京航空航天大学数学、信息与行为教育部重点实验室,北京100191【正文语种】中文【中图分类】O211.3判断函数列的一致收敛性是经典数学分析中的重要课题.奥斯古德定理和狄尼定理是判断函数列一致收敛的一个充分条件，在数学分析中是常用定理.狄尼定理的另一种形式在数学分析中一般不作为定理，人们在使用它时不得不重复证明.笔者将对狄尼定理的另一种形式的结果给出证明，并将此结果应用于分布函数列的一致收敛性研究.对于随机变量序列的分布函数列的收敛性，以往仅着重于弱收敛性，而对于一致收敛性的重视不够.在实际应用中，分布函数列的一致收敛性是需要的，特别是要为近似计算提供理论依据.1 狄尼定理的另一种形式定理1[1-7] 设函数序列{fn(x)}在[a,b]上逐点收敛于函数f(x),若f(x)在[a,b]上连续，且对于每个n,fn(x)都是[a,b]上的单调函数,则 {fn(x)}在[a,b]上一致收敛于f(x).证明因为f(x)在[a,b]上连续，所以f(x)在[a,b]上一致连续.对于∀ε>0，存在δ(δ>0)，当x,y∈[a,b]，|x-y|<δ时，|f(x)-f(y)|<ε.取正整数J充分大，使得记xi=a+i(i=0,1,…,J).因为所以对于上述ε，存在正整数N，当n>N时，|fn(xi)-f(xi)|<ε(i=0,1,…,J).又因为对于每个n，fn(x)都是[a,b]上的单调函数,所以|fn(x)-fn(xi)|≤|fn(xi+1)-fn(xi)|(x∈[xi,xi+1]，i=0,1,…,J).对于∀x∈[a,b]，存在i，使得x∈[xi,xi+1]，|fn(x)-f(x)|≤ |fn(x)-fn(xi)|+|fn(xi)-f(xi)|+|f(xi)-f(x)|≤|fn(xi+1)-fn(xi)|+2ε≤|fn(xi+1)-f(xi+1)|+|f(xi+1)-f(xi)|+|f(xi)-fn(xi)|+2ε<5ε，即{fn(x)}在[a,b]上一致收敛于f(x).2 随机变量序列的分布函数列的一致收敛性定理2[8-12] 设随机变量Xn的分布函数为Fn(x)，随机变量X的分布函数为F(x)，若在(-∞,+∞)上连续，则{Fn(x)}在(-∞,+∞)上一致收敛于F(x).证明已知Fn(x)是单调递增函数，且0≤Fn(x)≤1.因为F(x)是单调递增函数，且所以对于∀ε>0，可找到M(M>0)，使得当x≥M时1-F(x)<ε，当x≤-M时F(x)<ε.又因为所以存在正整数N1，使得当n>N1时，|Fn(-M)-F(-M)|<ε，|Fn(M)-F(M)|<ε，于是Fn(-M)≤|Fn(-M)-F(-M)|+F(-M)<2ε，1-Fn(M)=1-F(M)+F(M)-Fn(M)<2ε.因此，对于x<-M，若n≥N1，则|Fn(x)-F(x)|≤|Fn(x)|+F(x)≤Fn(-M)+F(-M)<3ε.同样地，对于x>M，若n>N1，则|Fn(x)-F(x)|=|(1-Fn(x))-(1-F(x))|≤|1-Fn(x)|+|1-F(x)|≤1-Fn(M)+1-F(M)<3ε.已知F(x)在[-M,M]上连续，由于Fn(x)都是[-M,M]上的单调递增函数，因此由定理1可知{Fn(x)}在[-M,M]上一致收敛于F(x).对于上述ε，存在正整数N(N>N1)，当n>N时，对于∀x∈[-M,M]，|Fn(x)-F(x)|<ε.综上所述，{Fn(x)}在(-∞,+∞)上一致收敛于F(x).3 中心极限定理结果的进一步表述中心极限定理是概率论中的重要结果，但往往仅表述为“分布函数列的点点收敛”，这对于近似计算理论是不够用的，应表述为“分布函数列的一致收敛”这样的深刻结果，才能为近似计算提供严密的理论依据.定理3[8-12] 设随机变量X1,X2,…,Xn,…独立同分布,且存在有限的数学期望和方差分别为E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2≠0(i=1,2,…).记为Yn的标准化，又记则对于任意实数且在(-∞,+∞)上一致收敛于Φ(x).由定理3可知对于∀故4 t-分布的随机变量序列的极限分布直接证明方法t-分布的随机变量序列的极限分布是正态分布，这个结果是熟知的且有多种证明方法，但某些证明方法利用的知识较多，过于复杂.现给出2种直接证明方法.定理4[8-17] 设随机变量Xn的概率密度为为常数，又设Xn的分布函数为Fn(x)(n=1,2,…),则证明记易知，对于∀A>0，{gn(x)}在[-A,A]上一致收敛于于是显然收敛.由广义积分控制收敛定且关于x∈(-∞,+∞)是一致的.由于 1= fn(x)dx=Cngn(x)dx=Cn gn(x)dx,因此于是关于x∈(-∞,+∞)是一致的.定理5 设随机变量X～N(0,1)，Yn～χ2(n)，记则{Tn}以概率收敛于X，{Tn}的分布函数列{Fn(x)} 在(-∞,+∞)上一致收敛于Φ(x).证明由Yn～χ2(n)可知E(Yn)=n,D(Yn)=2n.对于∀以概率收敛于1.利用不等式可得⊂由此可得以概率收敛于1，进而可得以概率收敛于1，于是以概率收敛于X.由以概率收敛必以分布收敛定理[8-12]，{Tn}的分布函数列{Fn(x)} 在(-∞,+∞)上一致收敛于Φ(x).5 随机变量序列收敛实例例1 设随机变量Xn的概率密度为则证明记则又收敛，显然对于∀A>0，{gn(t)}在[-A,A]上一致收敛于0.由广义积分控制收敛定于是例2 设随机变量X的概率密度为常数k,α>0，则证明于是即由f(x)的表达式及f(x)dx=1可知例3 设随机变量Xn的概率密度为常数kn>0,分布函数为Fn(x)，求解由fn(x)的表达式及fn(x)dx=1可知于是且在(-∞,0)和(0,+∞)上是内闭一致收敛的.又收敛，由广义积分控制收敛定理，且{Fn(x)}在(-∞,+∞)上一致收敛于参考文献：[1] 黄玉民,李成章.数学分析(下册)[M].2版.北京:科学出版社,2007:518-556.[2] 华罗庚.高等数学引论(第二册)[M].王元,校.北京:科学出版社,2009:129-133.[3] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,2002:819-831.[4] 常庚哲,史济怀.数学分析教程(下册) [M].北京:高等教育出版社,2003:344-359.[5] 陈纪修,於崇华,金路.数学分析(下册)[M].2版.北京:高等教育出版社,2003:379-405.[6] 菲赫金哥尔茨.微积分学教程(第二卷)[M].8版.北京:高等教育出版社,2006:578-617.[7] 卓里奇.数学分析(第二卷)[M].4版.北京:高等教育出版社,2006:373-380.[8] 梁之舜,邓集贤,杨维权,等.概率论及数理统计(上册)[M].北京:高等教育出版社,2002:282-315.[9] 魏宗舒.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社,1983:193-219.[10] 李贤平.概率论基础[M].北京:高等教育出版社,1987:251-323.[11] 茆诗松,程依明,濮哓龙.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社,2004:218-239.[12] 邢家省,马健.概率统计教程[M].北京:机械工业出版社,2015:197-189.[13] 李录书.t-分布以标准正态分布为极限的一个证明[J].零陵师专学报(自然科学版),1985(1):4-6.[14] 杨洁,李兆庚.关于t分布的极限分布为标准正态分布的证明[J].石油化工高等学校学报,1994,7(3):78-80.[15] 斯日古楞.t—分布收敛于标准正态分布的几种证明方法[J].内蒙古师大学报(自然科学(汉文)版),2001,30(4):303-306.[16] 王娟.t分布密度函数之性质[J].淮阴工学院学报,2007,16(5):15-21.[17] 曾珍,张宇.χ2分布、t分布、F分布与正态分布间的关系[J].湖北师范学院学报(自然科学版),2015,35(3):62-66.[18] 邢家省,杨义川,王拥军.函数列的广义积分的极限定理及其应用[J].吉首大学学报(自然科学版),2016,37(6):1-9.[19] 邢家省,杨义川,王拥军.函数列的黎曼积分的极限定理及其应用[J].四川理工学院学报(自然科学版),2017,30(3):73-78.[20] 高建全,邢家省,杨义川.两无穷区间上广义积分交换次序定理[J].河南科学,2017,35(6):845-851.。
中学语文数学等课程成绩之间的方差分析
分类号：O212.1学校代码：11460学号：07408106南京晓庄学院本科生毕业论文中学语文数学等课程成绩之间的方差分析The variance analysis between the Chinese and mathematics course grade of middle school所在院(系)：数学与信息技术学院学生姓名：梁贵指导教师：张翼研究起止日期：二○一○年十二月至二○一一年五月二○一一年五月学位论文独创性声明本人郑重声明：1.坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。
2.本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。
3.本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。
4.本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的研究成果。
5.其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意。
作者签名：2011年月日摘要用单因素方差分析和相关分析方法分析了南京市竹山中学三年级两次考试成绩,通过抽样并分析结果表明60名同学两次数学考试成绩有显著差异,两次语文和英语考试成绩无太大差异。
数学与语文、英语考试成绩之间是正相关的,其相关程度几乎相同,说明数学成绩的好坏与语文和英语学习的好坏程度有关联,进而对初中学生提出建议,学习数学的同时,对于语文和英语也应重视。
关键词：方差分析；学生成绩AbstractThis paper makes an analysis of the students’ results in two-time-examination from zhushan middle school in Jiangning Nanjing based on variance analysis and correlation analysis. It reveals that there are 60 students who are different in Math, Chinese and English examinations, and a little different Chinese subject .Moreover, there is a positive correlation among Math, Chinese, and English examinations, the degree of which is almost the same. This proves that math result is relative to Chinese and English result. Therefore, we put forward some advice on the emphasis on Chinese and English subject when concentrating on math subjects.Keywords:variance analysis; students’ results目录1．绪论 (1)2．方差分析简介 (1)3.数据的方差分析 (1)3.1.对数学成绩分析 (2)3.2．对语文成绩分析 (2)3.3对英语成绩分析 (3)4.各学科之间的相关性分析 (4)4.1（积差）相关系数r (4)4.2数据的相关分析 (4)5.结论和建议 (6)6.参考文献： (6)7.致谢： (6)8.附表： (7)中学语文数学等课程成绩之间的方差分析作者：梁贵指导老师：张翼1．绪论对于初中生来说，语文、数学、英语是三门很重要的学科，这三门学科的成绩直接决定着学生中考的结果好坏。
1.1随机试验与随机事件
(De· Morgan)律： A B A B; A B A B
对差事件运算： A - B AB A - AB
例 掷一颗骰子。设事件 A1 为掷出是奇数点，A2 为掷出 是偶数点，A3 为掷出是小于 4 的偶数点，则有
A1 A2 {1, 2, 3, 4, 5, 6} ;
A1 A2 A2 Ai 发生。
i 1 n
对任一事件Ａ件 A B { A, B}称为事件 A 与 B 的差事件。
当事件 A 发生而事件 B 不发生时，A - B 发生。
5、对于事件 A、B，若 AB = ，则称事件 A 与 B 是互不相 容事件，或互斥事件。
如上例中，如某天的营业额为 500 元，则事件 A 发生。
特别地，由一个样本点组成的单点集称为基本事件 (basic event)。
例如试验 E1 中有 6 个基本事件{1},{2},{3},{4},{5},{6}.
样本空间 包含所有的样本点，在每次试验中它总发生， 称为必然事件(certain event)。
n 个事件 A1 , A2, … , An 被称为互不相容的，是指其中任意 两个事件都是互不相容的，即 Ai Aj , (i j, i , j 1,2,, n) 。
6.事件 A、B，若 A∪B = ,且 A B ， 就是说，无论
试验的结果如何，事件 A 与 B 中必有且仅有一个发生,
概率论与数理统计
在现实世界中发生的现象千姿百态， 概括起来无非 是两类现象：
一类是在一定条件下必然出现（或恒不出现）的现象，
例如，在标准大气压下，水加热到 100 时 必定沸腾，三角形内角和为 180 等等．
0 0
随机相位误差对相控阵天线的性能影响
随机相位误差对相控阵天线的性能影响熊哲;刘正权【摘要】The effects of random signal phase errors on the beam pointing accuracy and sidelobe levels of phased array an⁃tenna are analyzed. Based on the model of one⁃dimensional uniform linear array,The theories of probability and statistics were used to deduce the mathematical expectation,variance and peak sidelobe level of beam pointing error. The deduced result was verified and compared by computer simulation. The simulation result shows that the conclusion of the theretical formula deriva⁃tion is in agreement with that of simulation experiment.% 为了对随机相位误差对于相控阵天线波束指向精度和副瓣电平的影响进行分析，以一维均匀直线阵为模型，采用概率统计的手段对波束指向误差的数学期望、方差和峰值副瓣电平进行了推导，并对此结果进行了计算机仿真验证和比较。
仿真结果表明，理论公式推导得到的结论与仿真实验的各项结果吻合良好。
【期刊名称】《现代电子技术》【年(卷),期】2013(000)009【总页数】3页(P61-63)【关键词】随机相位误差;相控阵天线;波束指向精度;副瓣电平【作者】熊哲;刘正权【作者单位】武汉船舶通信研究所，湖北武汉 430079;武汉船舶通信研究所，湖北武汉 430079【正文语种】中文【中图分类】TN821-340 引言相控阵天线是21世纪60年代开始发展起来的一种新型电扫描天线，它通过控制各天线单元通道中的衰减器和移相器来改变天线馈电的幅度和相位，达到波束扫描的目的，具有波束指向和形状变化迅速，定向增益高等优点，且可以利用同一个天线孔径形成多个波束，实现多波束同时在空间的扫描。
自回归模型在杭州公共自行车使用量预测中的应用
自回归模型在杭州公共自行车使用量预测中的应用中图分类号：j528 文献标识：a 文章编号：1009-4202（2013）09-000-02摘要自回归是基于数据的统计性质建立模型。
它把系统中每一个内生变量作为系统中所有内生变量的滞后值的函数来构造模型，从而将单变量自回归模型推广到由多元时间序列变量组成的向量自回归模型。
本文通过一些数据对向量自回归模型进行拟合，从而获得预测精度较高的预测模型。
关键词人流量向量自回归公共自行车使用量预测一、引言公共自行车系统是规模效益产品，其使用量受多重因素影响，主要包括：公路旅客量，自行车站点密集度，人口密集度，还有租用押金，租用资费等。
向量自回归模型（var模型）是让数据本身来确定模型的动态结构。
在var模型的每一方程中，内生变量对模型的全部内生变量的滞后值进行回归，从而估计出全部内生变量的动态关系。
在var模型中，当某一变量在某一时期的扰动项发生变动时，就会通过变量之间的动态联系，对这一时期以后的各变量产生一连串的连锁作用。
本文主要通过var模型对某一自行车站点的自行车的日使用量和人口日流动量进行预测。
二、数据的选取与描述统计任何事都是相互的，都会有双方相互的作用，自行车站点的人口流动量影响着自行车的使用量，自行车站点自行车的提供量也在一定程度上影响着人口量。
在对某一站点的考察中，我们能直接观察到的量就是自行车的使用量和路过的人口流量，因此，我们选取该站点自行车的使用量和人口流动量作为统计的实际数据。
本文选取某学校附近的某一自行车站点在2013年4月1日～4月30日期间的自行车的日使用量数据和人口的日流动量数据为样本，该样本是通过人为调查得来的。
三、数据处理的无量纲化通过观察数据，我们发现数据与数据间的差别很大，特别是人口流动量远远大于自行车的使用量，这样的数据若不处理，必定会出现大数吃小数的局面，故而，我们进行合理的处理。
1）人口的流动量的处理分析后我们知道，该自行车站点的人口流动量的数据都比较大，从而我们想到能不能用一个比例来形象的表示它。
“一带一路”背景下高校财务会计人才培养创新
“一带一路”背景下高校财务会计人才培养创新堃王一摘要：“一带一路”发展战略的提出，既推动了我国经济进一步全面开放和发展，也为我国财务会计人才培养的发展方式提供新的思路。
本文通过对“一带一路”背景下我国财务会计人才培养要求的分析，结合我国高校财务会计人才培养的现状和存在问题，提出了具有针对性的创新改革方式。
关键词：“一带一路”；财务会计人才培养；创新方式一、引言习近平总书记提出的建设“丝绸之路经济带”和“海上丝绸之路”的宏伟战略，一方面与日益深入发展的全球经济一体化相呼应，与此同时也点明了我国未来经济发展的新方向。
在这种经济不断发展变化的时代背景下，必然也会对财务会计人才培养方式产生出新的要求。
财务会计作为企业会计中的重要组成，在向企业外部财务信息使用者提供财务信息上有十分重要的作用，因此为培养出能适应时代发展变化的财务信息制作者和报告者，就需要各方尤其是高校，对财务会计人才培养做出相应创新和调整。
为了在“一带一路”发展战略的带领下实现财务会计人才培养大发展，需要各高校加强财务会计专业的核心建设，创新和完善符合时代发展需求的财务会计人才培养模式和方法，创造出适合“一带一路”战略的新型财务会计人才。
因此，本文从时代背景入手，分析了在新的经济发展方向下对财务会计人才培养的新要求，并指出现阶段我国高校在财务会计人才培养上存在的问题，最后针对存在问题提出创新发展的建议，对财务会计专业学生和学校教育都具有现实意义。
二、“一带一路”战略下财务会计人才培养新要求“一带一路”战略的实施促进了我国与“丝绸之路经济带”沿线国家的交流合作，同时也使得我国经济进入了新的全面开放的新时代。
对我国企业来说，抓住新时代经济发展机遇，实现企业发展目标，就要加强企业从业人员，尤其是财务会计工作者的综合素质，提高财务会计工作者的核心竞争力，加大对财务会计人才的培养力度，了解沿线各个国家的财务会计准则、账务处理方法以及财务会计报告内容等重要财务信息处理方式，使得企业能站在国际化的角度进行经济决策，在新机遇中谋求新发展。