运筹学06-运输问题
运筹学运输问题相关知识点
运筹学运输问题相关知识点运筹学，旨在通过数学模型和优化方法来解决各种决策问题，其中运输问题是运筹学中的一个重要分支。
运输问题旨在帮助我们确定如何在不同地点之间运输物品以达到最佳效益。
首先，运输问题基于以下几个基本假设：一是物流成本在运输过程中是线性的，二是物品在不同地点之间的运输是无差异的，三是供应和需求之间是平衡的。
在解决运输问题时，需要考虑以下几个关键要素：1.运输网络：此步骤涉及识别和描述供应地点、运输路径和需求地点。
通常使用图形表示来可视化运输网络，以便更好地理解和分析问题。
2.供应量和需求量：确定每个供应地点可提供的物品数量和每个需求地点所需的物品数量。
供应量和需求量之间必须达到平衡。
3.运输成本：每个运输路径的费用是决策的重要因素。
这可以涉及运输距离、运输方式、燃料成本等因素。
通常通过构建费用矩阵来表示各个路径的费用。
4.运输方案：确定如何分配物品以满足需求，并选择最佳的运输路径。
这通常通过使用线性规划模型来实现，以最小化总运输成本为目标。
解决运输问题的常见方法包括：1.西北角规则：该方法从供应和需求具有最大值的角度着手，逐步分配物品，直到达到平衡。
这种方法简单易行，但不一定能够找到全局最优解。
2.最小成本法：该方法根据运输路径的成本递增顺序，逐一分配物品，直到平衡为止。
这种方法能够找到最优解，但可能需要更多的计算量。
3.转运法：该方法通过寻找“供应地点里程+需求地点里程最小”的路径来决策，直至达到平衡。
这种方法在有多个供应地点和多个需求地点时非常实用。
除了基本的运输问题之外，还有其他一些相关的运筹学问题，如多品种运输问题、多目标运输问题和带有时间窗口的运输问题等。
这些问题在实际应用中都有广泛的应用，并且可以通过相应的数学模型和优化方法来解决。
综上所述，运筹学中的运输问题是一个重要的决策问题。
它涉及到寻找最佳的物品配送方案，以最小化总运输成本。
通过合适的数学模型和算法，我们可以有效地解决这类问题，为实际的物流管理提供有力的支持。
运筹学运输问题个人总结(一)
运筹学运输问题个人总结(一)运筹学运输问题个人总结前言运筹学是一门应用数学学科，旨在通过数学模型和优化算法解决现实生活中的决策问题。
其中，运筹学运输问题是运筹学的基础领域之一，涉及到在给定条件下最佳化资源利用、降低成本、提高效率等方面的问题。
正文在个人学习运筹学运输问题的过程中，我总结了以下几个重要要点：1.运输网络规划：运输问题的首要任务是确定运输网络的结构和连接方式。
这包括确定供应商、仓库、需求点之间的连接关系，以及各个节点的运输容量和成本等。
通过合理规划运输网络，可以实现资源的合理分配和供需的良好匹配。
2.运输成本优化：在确定了运输网络之后，需要通过优化算法求解最佳的运输方案。
这涉及到在满足各种限制条件下，如最小化运输成本、最大化资源利用率等指标的优化问题。
常用的算法包括线性规划、整数规划、动态规划等。
3.路线优化和物流调度：针对具体的运输任务，需要进行路线优化和物流调度。
通过合理的路径规划和物流调度，可以降低运输时间和成本，提高物流效率。
常用的算法包括最短路径算法、最优传送门问题等。
4.风险管理和决策支持：在运输过程中，会存在各种不确定性和风险因素。
因此，需要通过风险管理和决策支持技术来应对不确定情况。
常见的方法包括风险评估、灵敏度分析、决策树等。
结尾通过学习和研究运筹学运输问题，我深刻认识到其在现代物流和供应链管理中的重要性。
合理的运输规划和优化能够帮助企业降低成本、提高效率，实现可持续发展。
通过不断学习和实践，我将不断提升自己在这一领域的能力，并在实践中探索更多有创新性和实用性的解决方案。
运筹学运输问题个人总结（续）路线优化和物流调度在路线优化和物流调度方面，我学到了以下几个重要的观点：•路线优化：通过使用最短路径算法、最优传送门问题等优化算法，可以找到最佳路径来减少运输时间和成本。
另外，还可以考虑交通拥堵等因素，选择避开高峰期的最佳路径。
•物流调度：对于大规模的运输网络，物流调度成为一个重要的挑战。
运筹学运输问题
10
5
3
2
10
14
11
8
22
8
14
12
14
48
• 初始基可行解： x13=10,x14=6,x21=8,x23=2,x32=14,x34=8，Z=246
★★最大差额法（沃格尔法）
初看起来，最小元素法十分合理，但是，有时按 某一最小单位运价优先安排物品调运时，却可能 导致不得不采用运费很高的其它供销点对，从而 使整个运输费用增加。对每一个供应地或销售地， 均可由它到各销售地或到各供应地的单位运价中 找出最小单位运价次最小单位运价，并称这两个 单位运价之差为该供应地或销售地的罚数。当罚 数的值不大，当不能按最小单位运价安排运输时 造成的运费损失不大；反之，如果罚数的值很大， 不按最小运价组织运输就会造成很大的损失，故 应尽量按最小单位运价安排运输。
– 非负性约束
xij≥0
(i=1,2,3；j=1,2,3,4)
二、表式运输模型
销地 产地
B1
c11 c21 x21
B2
c12 c22 x22
…
… … c1n c2n
Bn x1n
x2n
产量
a1 a2
A1
x11
x12
A2
… Am 销地
…
cm1 xm1 b1 cm2
…
xm2 b2
…
… … cmn
…
xmn bn
1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 1 1 1 1 1 1 1 1 1
m 行
n 列
例题的系数矩阵
0 0 A 1 0 0 0
运筹学 运输问题 伏格尔法 两个差值一样
运筹学是指运用数学、统计学和计算机科学等方法来解决实际管理问题的学科，其目的是帮助组织和企业有效地利用资源，提高效率和降低成本。
其中，运输问题是运筹学中的一个重要问题，它关注如何有效地分配资源进行运输，以最大化效益和最小化成本。
1. 运输问题的定义运输问题是指在有限的供给和需求下，如何安排从供应地到需求地的产品运输问题。
通常情况下，运输问题可以用一个矩阵表示，其中行代表供应地，列代表需求地，矩阵元素表示从供应地到需求地的单位运输成本。
这个问题的目标是找到一种最佳分配方案，使得总运输成本最小。
2. 伏格尔法伏格尔法是一种解决运输问题的经典方法，它是基于线性规划理论的，并且被广泛应用于实际管理中。
在解决运输问题时，伏格尔法的基本思想是通过不断地调整供需地之间的运输量，使得每一次调整能够降低总成本，最终找到最优解。
3. 伏格尔法步骤伏格尔法的具体步骤如下：a. 初始化需要初始化一个基本可行解，通常取所有运输量为0。
b. 进入循环进入循环迭代的过程，每一次迭代都尝试改进当前解，直到找到最优解为止。
c. 选择进入变量在每一次迭代中，需要选择一个进入变量（即不在当前解中的基本变量），这个选择通常是通过计算单位成本的差值来确定的。
d. 计算离开变量需要计算离开变量，即在当前解中的基本变量中，哪一个会使得总成本减小最多。
e. 更新运输量根据进入变量和离开变量，更新对应的运输量，然后重新计算总成本。
f. 判断终止判断当前解是否为最优解，如果满足终止条件，则结束迭代，得到最优解；否则，继续下一轮迭代。
4. 两个差值一样在伏格尔法的迭代过程中，一个关键的问题是如何确定进入变量和离开变量。
如果存在多个单位成本的差值相同的情况，需要进行修正以确保每次迭代能够得到有意义的改进。
一般来说，可以通过一些规则来确定进入变量和离开变量，比如规定进入变量要求单位成本的差值最大，离开变量要求单位成本的差值次大。
这样可以避免出现多个差值相同而导致迭代过程混乱的情况。
运筹学运输问题-图文
销地 B1
B2
...
Bn
产量
产地
A1
X11 X12
...
X1n
a1
A2
X21 X22
...
X2n
a2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Am
Xm1 Xm2
...
Xmn
am
销量
b1
b2
...
bn
则运输问题的数学模型如下：
产销平衡表
销地 B1
B2
...
Bn
产量
产地
A1
a1
A2
a2
.
.
.
.
.
.
Am
am
销量
b1
b2
...
bn
单位运价表
销地
B1
B2
...
Bn
产地
A1
c11
c12
...
c1n
A2
c21
c22
...
c2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Am
cm1
cm2
...
cmn
❖ 若总产量等于总销量（产销平衡），试确定总运费最省 的调运方案。
Table14 检验数表
销地
B1
B2
B3
B4
产地
A1
(典型例题)《运筹学》运输问题
xj0，yij0，zij0，（i=1,┈,4；j=1,┈,5）
2008/11
--22--
--《Ⅵ 产量
新购 1 第一天 M 第二天 M 第三天 M
第四天 M
1 1 1 1 0 5200
0.2 0.1 0.1 0.1 0 1000
2008/11
--21--
建立模型：
--《运筹学》 运输问题--
设 xj—第j天使用新毛巾的数量；yij—第i天送第j天使用快洗 餐巾的数量；zij—第i天送第j天使用慢洗餐巾的数量；
Min z=∑xj+∑∑0.2yij+∑∑0.1zij
第一天：x1=1000
需 第二天：x2+y12=700
求 约
m1
xij b j (j 1,2,...,n)
i1
x 0 (i 1,...,m,m 1; j 1,...,n) ij
2008/11
--16--
--《运筹学》 运输问题--
销＞产问题单位运价表
产地销地 B1 B2 ┈
A1
C11 C12 ┈
A2
C21 C22 ┈
┊ ┆┊┈
Am Cm1 Cm2 ┈
2008/11
--8--
产销平衡表
--《运筹学》 运输问题--
单位运价表
B1 B2 B3 B4 产量
A1 (1) (2) 4 3 7 A2 3 (1) 1 (-1) 4 A3 (10) 6 (12) 3 9 销量 3 6 5 6
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
Ⅰ Ⅱ
示。又如果生产出来的柴
Ⅲ
运筹学运输问题.
b K bK aL ，划掉运价表的第L行；反之，
'
若 x LK bK ，则令a L
的第k列。
'
aL bK ，划掉运价表
（2）在运价表剩余元素中重复（1），直
至运价表元素全部被划掉。
例：某糖果公司下设三个工厂，每日产量分别为：A1 — 7吨、A2 —4吨、A3 —9吨。该公司将这些产品运往四个 门市部，各门市部每日销量为：B1 —3吨、B2 —6吨、 B3 —5吨、B4 —6吨。各工厂到各门市部的单位运价如 下表，试确定最优的运输方案。
运输问题求解思路图
下面通过例子介绍它的计算步骤。
一、初始方案的给定
1、最小元素法★ 2、Vogel法★
1、最小元素法
基本思路是：就近供应，即从运价表中 最小运价开始确定调运量，然后次小，一直 到给出初始调运方案为止。
（1）找出运价表中最小元素 CLK ，确 定 xLK minaL , bK ，若 x LK a L，则令
x11 x21 xm1 b1 x x x b 12 22 m2 2 x1n x2n xmn bn xij 0(i 1,2,m; j 1,2,n)
min
Z cij xij
若总产量等于总销量（产销平衡），试确定总运费最省
的调运方案。
建 模 ： 设 xij 为 从 产 地 Ai 运 往 销 地 Bj 的 物 资 数 量 （i=1，…m；j=1，…n。 销地 产地 A1 A2
. . .
B1 X11 X21
. . .
B2 X12 X22
. . .
... ... ...
. . .
运筹学运输问题建模例题
运筹学运输问题建模例题运筹学是一门研究如何最优地利用有限资源以满足特定目标的学科。
在运筹学中，运输问题是一个常见的问题，涉及到如何在限定条件下有效地分配物品从一个地点到另一个地点。
运输问题可以简单地描述为如何将一组物品从一组起点运送到一组终点，以最小化总的运输成本。
这个问题可以用线性规划的方法进行建模和求解。
以下是一个运输问题的具体例子，用来说明如何进行建模。
假设有一家电子制造公司，它有三个工厂（A、B和C）和三个销售点（X、Y和Z）。
公司需要将某种零件从工厂运送到销售点，但在每个工厂的生产能力和每个销售点的需求量有限。
公司希望以最小的成本满足销售点的需求。
首先，我们需要确定一些变量。
假设有三个工厂和三个销售点，我们可以建立一个3x3的矩阵来表示运输量。
令变量x(i,j)表示将产品从工厂i运送到销售点j的数量，其中i表示工厂的索引（i=1, 2, 3），j表示销售点的索引（j=1, 2, 3）。
因此，x(1,1)表示将产品从工厂A运送到销售点X的数量，x(2,3)表示将产品从工厂B运送到销售点Z的数量，以此类推。
接下来，我们需要确定目标函数和约束条件。
目标函数是希望最小化的总运输成本。
在这个例子中，假设每个单位的运输成本为c(i,j)，则目标函数可以表示为：Minimize Z = c(1,1)x(1,1) + c(1,2)x(1,2) + c(1,3)x(1,3) + c(2,1)x(2,1) + c(2,2)x(2,2) + c(2,3)x(2,3) + c(3,1)x(3,1) + c(3,2)x(3,2) + c(3,3)x(3,3)其中x(i,j)表示各运输路径的数量，c(i,j)表示每个单位的运输成本。
除了最小化总运输成本外，还有一些约束条件需要满足。
首先，每个工厂的生产能力要小于等于总需求量。
我们可以通过以下约束条件来表示：x(1,1) + x(1,2) + x(1,3) ≤生产能力Ax(2,1) + x(2,2) + x(2,3) ≤生产能力Bx(3,1) + x(3,2) + x(3,3) ≤生产能力C其次，每个销售点的需求量要满足。
Chapter06-运输问题和指派问题
The P&T Co. Transportation Problem
运输问题模型参数表(供应 量、需求量和单位成本)
Copyright 2007 © 深圳大学管理学院 运筹学 20
Spreadsheet Formulation
Copyright 2007 © 深圳大学管理学院 运筹学 21
Copyright 2007 © 深圳大学管理学院 运筹学 5
P&T Company Distribution Problem
CANNERY 1 Bellingham
罐头厂1-贝林翰
CANNERY 2 Eugene
罐头厂2-尤基尼
WAREHOUSE 3 Rapid City
仓库3-赖皮特城
CANNERY 3 Albert Lea
Copyright 2007 © 深圳大学管理学院 运筹学 2
Table of Contents (主要内容)
Variants of Transportation Problems: Nifty (Section 6.3)(运输问题的变形：耐芙 迪公司问题) Applications of Transportation Problems: Metro Water (Section 6.4)(运输问题的应 用：米德罗水管站问题) Applications of Transportation Problems: Northern Airplane (Section 6.4)(运输问题 的应用：北方飞机制造公司问题)
贝林翰先满足萨克拉门托， 剩余的运送到盐湖城 艾尔贝先满足奥尔巴古， 剩余的运送到赖皮特 尤基尼满足剩余需求
运筹学运输问题
须满足需求量区域的相应变量x31, x33, x34运费的取
值为M，可调整需求量区域的相应变量x32 , x35运费
的取值为0，作出产销平衡的运价表
运筹学运输问题
B1
B1’
B2
B3
B3’ Supply
A1
175 175 195 208 208 1500
A2
160 160 182 215 215 4000
•因此运输问题约
束条件系数矩阵
•第i个
的元素只能是0 或1，对应变量xij 列除了第i个与第
•第(m+j)个
(m+j)个分量为1 外，其它分量均
为零
此外产销平衡运输问题的数学模型还具有 特点：
• 所有约束条件都是等式
• 前m个约束条件的和等于后n个约束条件 的和（可以证明尽管有m+n个约束条件， 但独立的约束条件只有m+n-1个）
B62
2B3
8B4 Supply
9 •[1 3 (15)
0 •[3] 15
3 0•[]8] 4 •[5] 0 •[7] 18
2 (12) 6 (1) 0 (4)
17
12
16
4
运筹学运输问题
•思考题2：
•运
•已知某运输问题的产销需求及单位运价如下表所示
输
B1
B2
B3
Supply
问
A1
5
9
3
15
A2
1
40
15
30
30
100
A3
30
35
40
55
25
130
需要量 25
115
60
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j1
n aibj j1 Q
ai Q
n
bj
j1
ai
i 1,2,,m
所以
xij
aibj Q
i 1,2,,m j 1,2,,n 是运输问题的一个可行解。
又由于 cij 0 i 1,2,,m; j 1,2,,n
所以
mn
Z
cij xij 0
第六章 运输问题
6.1 运输问题的数学模型 6.2 初始基可行解的确定 6.3 最优性检验与基可行解的改进 6.4 其他运输问题
2020/1/23
1
6.1 运输问题的数学模型
若一家公司拥有多个工厂，这些工厂位于不同的地点， 并且生产同一种产品。这些产品要运输到不同的地点， 以满足用户的需求。
供应节点：这些工厂，它们是运输的起点；
i1
j1
xij
aibj Q
i 1,2,,m j 1,2,,n
2020/1/23
6
则有 xij 0 i 1,2,,m; j 1,2,,n
m
i1
xij
m i1
aibj Q
bj Q
m
ai
i1
bj
j 1,2,,n
n
运输问题是一类特殊的线性规划问题 对于平衡型运输问题：
约束方程数为m+n个，但有一个冗余方程，所以独 立方程数为m+n-1个，即秩r(A)=m+n-1。
存在最优解 当供应量和需求量均为整数时，存在整数最优解。 基可行解中基变量个数为m+n-1个 基可行解中基变量的重要特征：不含闭回路。 任何一个非基变量与基变量含且仅含一个闭回路。
5
(3) 运输问题的特征
定理：平衡运输问题必有可行解与最优解。
证：对于平衡运输问题
Min s.t .
mn
Z
cij xij
i1 j1
n
xij ai
j1
m
xij bj
i1
xij 0,
i 1,2,,m
j 1,2,,n 对所有的i和j
m
n
令： Q ai bj
mn
Min
Z
cij xij
i1 j1
n
xij ai
i 1,2, ,m
j1
s.t .
m
xij bj
i1
j 1,2, ,n
xij
0,
对所有的i和j
xij —— 供应节点i至需求节点j的运输量；
aij —— 供应节点i的可供应量，i=1,2, …,m；
需求节点：用户所在点，它们是运输的终点或目的地。
同时假定产品不能在供应节点之间运输，也不能在需求 节点之间运输。
公司面临的问题是：应如何组织运输，才能在满足供应 节点的供应量约束和需求节点的需求量约束的前提下， 使得运输成本最低。
这类问题就是运输问题。
2020/1/23
2
(1) 运输问题数学模型
bij —— 需求节点j的需求量，j=1,2,…,n；
cij —— 供应节点i至需求节点j的单位运输成本。
2020/1/23
3
(2) 运输问题的分类
根据运输问题中总供应量与总需求量的关系可将运输 问题分为两类：型运输问题：
m
n
ai bj
i1
而变量个数为m+n， 则其中有一个自 由变量
Max s.t .
m
n
W aiui bjv j
i 1
j 1
ui v j cij
ui
,
v
无
j
符
号
限
制
i 1，2，，m j 1,2, ,n
2020/1/23
11
例：海华设备厂下设三个位于不同地点的分厂A，B，C，该 三个分厂生产同一个设备，设每月的生产能力分别为14台、 27台和19台。海华设备厂有四个固定的用户，该四个用户下 月的设备需求量分别为22台、13台、12台和13台。设各分厂
形式的变量集合，用一条封闭折线将它们连接起来形成 的图形称之为一个闭回路。
构成回路的诸变量称为闭回路的顶点；
连接相邻两个顶点的线段称为闭回路的边。
几何 性质
每个顶点都是转角点； 每一条边都是水平线段或垂直线段； 每一行或列若有闭回路的顶点，则必有两个
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8
(1) x12,x13,x33,x32
j1
m
n
不平衡型运输问题： ai bj
i1
j1
对于不平衡型运输问题通常通过设立虚拟供应节点或 虚拟需求节点将其转化为平衡型运输问题求解。
2020/1/23
4
平衡型运输问题的数学模型
mn
Min Z
cij xij
i1 j1
模型包含
s.t .
n
xij ai
i 1,2,,m 变量：m×n个
i1 j1
且为极小化问题， 故一定存在最优解。
2020/1/23
7
定义：凡能排列成 或
xi1 j1 , xi1 j2 , xi3 j2 ,, xis js , xis j1 xi1 j1 , xi2 j1 , xi2 j3 ,, xis js , xi1 js
其中： i1 ,i2 ,i3 ,,is 互不相同 j1 , j2 , j3 ,, js
(2) x23,x13,x14 ,x34 ,x31 , x21
1
2
3
4
C11
C12
C13
C14
A
x11
x12
x13
x14
a1
C21
C22
C23
C24
B
x21
x22
x23
x24
a2
C31
C32
C33
C34
C
x31
x32
x33
x24
a3
转角点
b1
b2
b3
b4
转角点
2020/1/23
9
运输问题的基本性质
j1
m
xij bj
i1
xij 0,
约束方程：m+n个
j 1,2, ,n
秩：r(A)=m+n-1
对所有的i和j
1 1 1
1 1 1
A
1
1
1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
稀疏矩阵 m行
n行
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2020/1/23
10
(4) 平衡型运输问题的对偶问题
mn
Min Z
cij xij
i 1 j1
n
s.t .
xij ai
i 1,2, ,m
j 1
m
xij bj
j 1,2, ,n
i 1
xij 0,
对所有的i和j
由于r(A’)=m+n-1， 独立的约束方程 个数为m+n-1;