高中数列题型总结

∴当 时，
则
相减得
又 ∴
30已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55, a2+a7＝16.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式：
（Ⅱ）若数列{an}和数列{bn}满足等式：an＝＝ ，求数列{bn}的前n项和Sn
解（1）解：设等差数列 的公差为d，则依题设d>0
由a2+a7＝16.得 ①
19（2006，福建,文,22）已知数列 满足 求数列 的通项公式；
（I）解：
;由
20已知数列 中， , , ，求 。
。
类型8：周期数列
21已知 ,则 ( )
A B C D
22已知：数列{an}中a1=3,a2=6,an=an-1-an-2,(n≥3).则a2012=_______
23把正整数按下图所示的规律排序，则从2003到2005的箭头方向依次为（B）.
由 得 ②
由①得 将其代入②得 。即
（2）令
两式 相减得
于是
= -4=
31已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d>0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{bn}的第二项，第三项，第四项．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）设数列{cn}对任意自然数n，均有 ，求c1+c2+c3+……+c2011值．
A．670 B．671 C．1338 D．1339
解析：由已知 ，且 ，∴ ，根据周期数列的定义，当 为2时，有 ，得 ，但 不满足
；当 为3时，有 ，得 ，符合，∴最小周期为3，该数列为1，1，0，1，1，0，……，易选答案D。解这类题的策略是：仔细阅读分析材料，捕捉相关信息，紧扣定义，围绕定义与条件，结合所学的数学知识和方法，通过归纳、探索、推理、计算，发现解题方法，然后解决问题。
关于数列求和的方法
类型1分组求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
1已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3=5，S15=225。
（1）求数列{an}的通项an；
（2）设bn= +2n，求数列{bn}的前n项和Tn。
解：（I）当 时，不合题意；
当 时，当且仅当 时，符合题意；
当 时，不合题意。
因此
所以公式q=3，
故
（II）因为
所以
所以
当n为偶数时，
当n为奇数时，
综上所述，
类型3周期数列求和：对于有周期的数列可以先求出一个周期的和再算一下有多少个周期相乘即可。
5在数列 中，如果存在非零常数 ，使得 对于任意的非零自然数 均成立，那么就称数列 为周期数列，其中 叫数列 的周期。已知数列 满足 ，如果 ，当数列 的周期最小时，该数列前2008项的和是（）
6在数列 中， ， ， ，求 。
解析：在 两边减去 ，得
∴ 是以 为首项，以 为公比的等比数列，
∴ ，由累加法得
=
= … = =
=
7在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋ )，则an＝
()
A．2＋lnnB．2＋(n－1)lnn
C．2＋nlnnD．1＋n＋lnn
类型4：形如 （即：后项除以前项得一变量）
13已知数列 的各项均为正数， 为其前项和，对于任意的 ，满足关系式
（I）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 的通项公式是 ，前 项和为 ，求证：对于任意的正整数 ，总有
解：（I）由已知得
故
即
故数列 为等比数列，且
又当 时，
………………………………6分
而 亦适合上式
…………………………………8分
（Ⅱ）
16在数列 中， ， 求数列 的通项公式
情况4
解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为 ，再利用待定系数法求解。
17数列 中， ， ，则此数列的通项公式为 ________
18已知数列{an}满足a1=3且a n+1= （an－1）2+1，求an。
类型7：形如 （其中p，q均为常数）。
解法：把原递推公式转化为 ，令 ，解得 的值，借助数列 为等比数列，求得 通项。
(Ⅱ)记Sn= a1a2+a2a3+…+anan+1,求Sn
11已知点（1， ）是函数 且 ）的图象上一点，等比数列 的前 项和为 ,数列 的首项为 ，且前 项和 满足 － = + （ ）.
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）若数列{ 前 项和为 ，问 > 的最小正整数 是多少?
12已知数列 满足 （t>0，n≥2），且 ，n≥2时， >0．其中 是数列 的前n项和．
类型10：田氏算法（迭代法）
28数列{an}满足a1+ 3·a2+ 32·a3+…+ 3n-1·an= ，则an=
A B C D
答案：C.
29设数列 满足： ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
解：（1）∵ ①，∴ 时， ②
①—②得 ， ，在①中令 得 ，∴
（2）∵ 则当 时，
3已知数列{an}的前n项和为 则 的值为（）
A 13 B-76 C46 D 76
4等比数列 中， 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 中的任何两个数不在下表的同一列．
第一列
第二列
第三列
第一行
3
2
10
第二行
6
4
14
第三行
9
8
18
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 满足： ，求数列 的前n项和 ．
答案：D
4如图 是一个类似“杨辉三角”的图形，第n行共有n个数，且该行的第一个数和最后一个数都是n,中间任意一个数都等于第n－1行与之相邻的两个数的和， 分别表示第n行的第一个数，第二个数，…….第n个数。
求 的通项式。
5如图2所示，在杨辉三角中，斜线 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10， ，记这个数列的前n项的和为 ，则 等于（ ）．
【答案】B。每四个数作为一组即可
类型9：形如
方法：进退相减法（替换法）
24数列{an}中,a1=1, ,求an
25设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an＝5Sn＋1成立，求数列{an}的通项公式．
26设数列 的前 项和为 已知
（I）设 ，证明数列 是等比数列（II）求数列 的通项公式。
(1)求数列 , 的通项公式;
(2)记 = ,求数列 的前 项和 .
解：(1)由 .且 得 2分
, 4分
在 中,令 得 当 时,T = ,
两式相减得 , 6分
. 8分
(2) , 9分
, , 10分
=2
= , 13分
14分
类型6倒序相加法：这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个 .
关于数列求通项的方法
类型1：形如 （即：已知前n项和Sn求 ）
方法： （注意：不能忘记讨论 ！）
1已知数列 的前n项的和 满足 ,则 =.
2已知数列 前 项和 ，则 __________.
类型2：形如 （即：已知前n项积Tn求 ）
方法：一般可求Tn-1，则 。
3数列 中， ，则此数列的通项公式为 __________
4已知正项数列{an}的前n项的乘积等于Tn= (n∈N*)， ，则数列{bn}的前n项和Sn中最大值是（）
A．S6B．S5C．S4D．S3
答案：D
类型3：形如 (即：后项减去前项得一变量)
解法：把原递推公式转化为 ，利用累加法(逐差相加法)求解。
5已知数列 满足 则 的最小值为__________.【答案】
转化步骤：（1）等式两边同时除以 ： ；（2）令 ，则 ；
当 时， 是以1为公差的等差数列；当 时，转化为类型一构造等比数列；
15数列 中， ， ，则此数列的通项公式为 ______
情况3：用于 型已知条件。
转化步骤：设 ，由 求出： ，则 是以 为公比，
为首项的等比数列；通过求出 间接求出通项 .
（I）求数列 的通项公式；
（III）若对于n≥2，n∈N *，不等式 恒成立，求t的取值范围．
解：（I）依题意， ，（1）－（2）得 （ ）（n≥3），由已知 ，故 ＝ （n≥3），由 ， ，得 ， ，即数列 从第二项开始是首项为 ，公差为 的等差数列．
所以 ，又当 时， ，所以 。
（II）设 要使 ,对于 恒成立，只要 成立，所以
解法：把原递推公式转化为 ，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
8在数列 中， , ,则 通项公式 =
9设 的首项为1的正项数列，且 求它的通项公式。
类型5：形如 ,
方法：取倒数变成 的形式的方法叫倒数变换.
10、已知数列{an}满足a1=1且a n+1= ，求an。
11已知数列 的首项 ， ， …．求数列 的通项公式
12数列 中， =
类型6：待定系数法
情况1：用于 型已知条件。转化方法：设 ，由km-m=b求出m的值，则数列 是以 为公比的等比数列；通过求出 间接求出通项 .
13数列｛an｝中，若a1=1，an+1=2an+3（n≥1），则该数列的通项an=.
14已知数列{an}，a1=1,an+1=
情况2：用于 型已知条件。
（5）
(6)
7已知数列{an}的通项公式an＝ ，若它的前n项和为10，则项数n为________．