微积分3课件ch8_1多元函数极限连续偏导数

2 1 cos( x y ) x y ( x y) 1 lim 0 3) lim lim x 0 x 0 2 x 0 2 x y x y y 0 y 0 y 0
例6
求极限：
x y xy x y
x y 1 4) lim (1 ) lim [(1 1 ) ] x 3 xy x 3 xy y
§1 多元函数的极限与连续
§1.1 多元函数的概念 §1.2 平面点集 §1.3 二元函数的极限与连续
§1.1 多元函数的概念
引例:
圆柱体的体积
r
r 2h ,
( r, h )
r 0, h 0
h
三角形面积的海伦公式
S
p ( p a )( p b)( p c)
n 维空间两点间的距离
与 P2 ( y1 , y2 , , yn ) 距离 R n 中点 P 1 ( x1 , x2 , , xn )
( P1 , P2 ) ( x1 y1) 2 ( x2 y2) 2 ( xn yn ) 2
R n 中的点 P( x1 , x2 , , xn ) 与零元 O 的距离为
(2)开集、闭集、有界（无界）集
设有点集 E R2 : 开集 闭集 点集 E 的点都是 E的内点 . 点集 E 连同其边界点 (E的边界点属于E) . 若存在一个邻域 U(O, r), 使 E U(O, r). 否则，E为无界集
有界集 (无界)集
区域
若点集 E 中任意两点都可用一完全属 于 E的折线连接 ,则称 点集E 是连通的. 开域 闭域 连通的开集. 开区域连同其边界点 . E
2 2 x12 x2 xn
R 2 : 二维空间， 平面直角坐标系
空间直角坐标系 R 3 : 三维空间，
邻域
P0 R , 点 P0 的 邻域 U ( P0 , δ ) P PP0 δ
n
2
( 0)
2
U ( P0 )
R : U ( P0 , δ ) ( x, y ) ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 δ
故由夹逼准则， lim f ( x, y ) 0
x 0 y 0
例6
求极限：
2 2
1 1 0 1) lim( x y ) sin 2 2 lim 2 sin 2 0 x 0 x y y 0
sin( x y ) sin( xy ) sin( x y ) lim y 3 2) lim lim y lim x y 0 y 3 x 0 x 0 x y x x y y 3 y 3
( P, P0 ) ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2
二元函数的极限
P P0
lim f ( P) A lim f ( x, y ) A lim f ( x, y ) A
0
x x0 y y0
P ( x, y ) P0 ( x0 , y0 ) 的路径 有无穷多种.
( a , b, c )
a 0, b 0, c 0, a b c abc (p ) 2
b
a c
n 维空间
n 元有序数组 ( x1 , x2 ,, xn ) 的全体称为 n 维空间, n R ,即 记作
R ( x1 , x2 , , xn ) xk R , k 1, 2 , , n
多元函数
n 定义1. 设非空点集 D R , 映射 f : D R 称为 定义在 D 上的 n 元函数 , 记作 u f ( x1 , x2 ,, xn ) 或 u f ( P ) , P D
点集 D 称为函数的定义域 ; 数集
u
u f ( P ) , P D 称为函数的值域 .
n
n 维空间中的每一个元素 ( x1 , x2 ,, xn ) 称为空间中的 一个点, 数 xk 称为该点的第 k 个坐标 .
点 P( x1 , x2 , , xn ) R
O( 0, 0, , 0) R n
n
当所有坐标 xk 0 时, 称该元素为 R n 中的零元, 记作O .
图形为旋转抛物面.
2 2 2 1 u arcsin( x y z 1) 例3 2
y
x
两球面围成 定义域: {( x, y, z ) 1 x 2 y 2 z 2 5} 的空间区域
u ln(1 2 x 2 y 2 z 2 )
定义域: {( x, y, z ) 2 x 2 y 2 z 2 1} 旋转椭球体 三元函数的图形为 R 4 空间中的超曲面.
e
2
x3 y
lim
x y xy
e
1 3
y
x y x2 5) lim 2 2 0 x x y y
2 | x y | x y
2
2 x 1 lim ( ) 0 x 2
x y x 2 1 x2 0 x2 y 2 (2)
y
1 2x 有界域
无界域
o
x
o
o
1 2x
整个平面R2 是最大的开域 , 也是最大的闭域； 点集 ( x, y ) x 1 是开集，
但非区域 .
y 例5 二元函数 z 4 x y arcsin x
2 2
y
1 o 1
x
y o
2 x
定义域:
D {( x , y ) | x 2 y 2 4, | y || x |, x 0}
1 1 x sin y sin , x y 0 lim f ( x, y ) 0 . x 0 y x f ( x, y ) y 0 0 , x y 0 由例5 知它在(0,0)点二重极限存在:
lim f ( x, y ), lim lim f ( x, y ) 不存在! 但显然 lim y 0 x 0 x 0 y 0
。
。
开域，闭域或开域连同部分边界点 组成的点集统称为区域.
例4
平面上
( x, y ) x y 0 {( x, y ) 1 x y 4}
2 2
y
开区域 无界域
( x, y ) x y 0
2 2
o
闭区域
x
{( x, y ) 1 x y 4} y y
则称 A为函数 f (x, y) 当P (x, y) P0 (x0, y0 ) 时的极限,记 lim f ( P) A 或 lim f ( x, y ) A 或 lim f ( x, y) A
P P0
或 f ( x, y ) A ( x x0, y y0 )
0
x x0 y y0
2 2
o
y
x
P ( x, y)
D
定义域: ( x , y ) x y 1 点P ( x, y, z ) R 3 的轨迹 为中心在
2 2
z
原点的上半球面, 称为函数的图形.
o
x
1 y
例2
二元函数
z
z sin( x y ) , ( x, y ) R 2 2 2 2 ( x , y ) R z 2 x y ,
x sin 1 y sin 1 , x y 0 y x 设 f ( x, y ) 0 , xy 0
1 1 f ( x , y ) 0 x sin y sin 证： y x
x y
2
2
x y 2 x 2 y 2 0 ( 0)
定义域: 平面点集 D 函数值: f ( P0 ), f ( x0 , y0 ), z x x0 , z P0
y y0
z
z f ( x, y)
图形: 空间曲面 {( x , y , z ) | z f ( x, y ), ( x, y ) D} 例1 二元函数 z 1 x y
因 k 值不同极限不同 !
故 f ( x, y )在 (0,0) 点极限不存在 .
累次极限
二重极限 lim f ( x, y ) A
x x0 y y0
累次极限
x x0 y y 0
lim lim f ( x, y ) 及 lim lim f ( x, y )
y y 0 x x0
§1.2 平面点集
(1)内点、外点、边界点 设有点集 E R2 及一点 P 内点 存在点 P 的邻域 U(P) E . 外点 存在点 P 的邻域 U(P)∩ E = . 界点 对点 P 的任意一个邻域 U(P), 既含有 属于 E中的点也含有不属于E中的点 .
E
显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的 边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
一切多元初等函数在定义区域内连续.
xy
例8 证明 f ( x, y )
在全平面连续. x 2 y 2 0 , ( x, y ) (0,0) (P70.7(1))
, (x, y) (0,0)
证: 在 ( x, y ) (0,0) 处 , f ( x, y ) 为初等函数, 故连续. 又 0
特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数 z f ( x, y ), ( x, y ) D R 2
当 n = 3 时, 有三元函数 u f ( x, y, z ), ( x, y, z ) D R 3
2 z f ( x , y ), ( x , y ) D R 二元函数
二元函数极限的性质. (如夹逼准则,归结准则等) 由归结准则, 若 P 按不同的两个路径趋于P0时,