电位与静电场的环路定理
静电场的环路定理表达式及其物理意义
静电场的环路定理表达式及其物理意义
静电场的环路定理是利用有限定义的电流环路来描述静电场中电场强度的一个重要定理。
这个定理有两个版本，即古典环路定理和现代环路定理。
环路定理的实质是说明了在有限的环路中，电流的大小和方向可以由电位差来确定，这个电位差是环路中电、电阻器及其他元件所产生的。
对于古典环路定理，它定义了环路中电位差与电流之间的关系，它可以用来求解电流环路中的电流大小和方向。
现代环路定理是由普朗克提出的，主要是为了求解电流环路中的电动势，它可以表达为：在有限的电流环路中，环路中定义的每个电和电阻器之间的电势差的积分，加上环路中的电动势，等于零。
环路定理的物理意义是，在有限的电流环路中，电流的大小和方向可以由电位差来确定。
电位差是指电和电阻器之间的电势差，这个电势差是由于环路中定义的电和电阻器所产生的。
环路定理的物理意义是，在有限的电流环路中，电流的大小和方向可以由电位差来确定，而电位差是指电和电阻器之间的电势差，这个电势差是由于环路中定义的电和电阻器所产生的。
古典环路定理和现代环路定理可以用来求解电流环路中的电流大小和方向，古典环路定理定义了环路中电位差与电流之间的关系，而现代环路定理描述了在有限的电流环路中，环路中定义的每个电和电阻器之间的电势差的积分，加上环路中的电动势，等于零。
环路定理是电路理论的基础，它可以用来解决复杂的电路问题，也可以用来研究复杂的电路系统。
环路定理可以用来描述复杂的静电场，电路中的电势差和电流的关系，从而有助于理解电路的工作原理，并且可以用来求解复杂的电路问题。
环路定理可以用来描述复杂的静电场，使用它可以更好地理解电路工作原理，并且可以用来求解复杂的电路问题。
大学物理课件-静电场的环路定理电势
(
2 0
x2 R2 x)
根据电场与电势的微分关系：
V
x
Ex
x
[1
2 0
] x2 R2
教学基本要求
第六章热力学基础
一 掌握描述静电场的两个 物理量——电场强度 和电势的概念，理解电场强度E 是矢量点函数，而
③电势高低的判断：沿电力线电势降低。
正电荷产生的电场各点的电势为正，∞处最小为0。
负电荷产生的电场各点的电势为负，∞处最大为0。
④电势是标量，单位为伏特。
2、电势差（电压）
第六章热力学基础
电场中两点的电势差：
Vab Va Vb
E
a
dl
E
b
dl
b
E
a
dl
Aab q0
定义：
Vab Va Vb
dalb与nd0夹 n, a角c为 dl
考虑电势沿 dl方向的变化率（
方向导数）
dV dV dn dV cos dV
dl dn dl dn
dn
电势梯度：
dV dn
n0
方向等于电势升高第最六快章的热方力向学。基础
2 场强与电势梯度的关系：
令q0从a b, dAab F dl q0E dl q0Edn dAab q0 (Va Vb ) q0dV E dV (1) dn
Vp
dq
4 0r
①由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算。
dq
V p
4 0r
qi
i 4 0ri
连续带电体 点电荷系
前提条件为有 限大带电体且 选无限远处为 电势零点.
②根据已知的场强分布，按定义计算。 Vp
Edl
09-4静电场的环路定理和电势
r0
2 π 0r
dr
r
o VA 0 P r r0
2 π0
ln
r0 r
r
关于静电场的实验定律和定理的关系： 静电场 静止电荷
库仑定律
F12 q1q 2 4 π 0 r12
2
激发
高斯定理
e 12
1 E dS
S
0 （ S 内）
qi
平方反比律
-15
J C
1.6 10
-19
5 10 V
4
计算一个电子伏特（eV）的能量
一个电子在电场中经过电势差为1V的两点时，电 场力对它做的功
W qU
1.60 10
19
C 1V 1.60 10
19
J
一个电子伏特的能量
电子伏特是近代物理学中能量单位，虽然它也出现 “伏特”这个名称，但它并非电压的单位，而是能量 的单位
A B
A
AB两点之间的电势差等于场强由A点到B点的线积分
把电荷q从A点移动到B点，电场力做的功 B B WAB qE dl q E dl qU AB
A A
Wba 8 10
15
J
Wab qU ab q(Va Vb )
Vb 8 10
在负电荷形成的电场中，任 一点的电势均为负，且离点 电荷越远的点，电势越高
A A2 A3 1
点电荷系电场的电势 V A E dl
A
q1
q2 r2
r1
E3
场强的叠加原理
09-4静电场的环路定理和电势
19
19
J
一个电子伏特的能量
9.4 静电场的环路定理和电势
9.4.3 电势的计算
一、点电荷q的电场中任一场点的电势
无穷远处为电势零点
V ( P)
P
E dl E dr P Edr P
q q dr 2 r 4 πε r 4πε 0 r 0
电场指向电势降落方向
沿电场线方向移动正电荷，电场力做正功， 正电荷的电势能减少，故电势减小。
9.4 静电场的环路定理和电势
我们的心脏附近 的等电势线（类似于 电偶极子）
9.4 静电场的环路定理和电势
电势差
9.5.2 电场强度与电势梯度 E
U AB VA VB V
U AB E l El cos
9.4 静电场的环路定理和电势
电势是相对的，电势差是绝对的
电势差 U V V PQ P Q
单位：1V＝1J/C
P
Q
E dl
二、电势零点 1、电荷只分布在有限区域时，电势零点通常选在无 穷远处。 VP E dl 设Q点在无限远，VQ=0
P
2、 电荷分布延伸到无限远；可选取场中任一点， 合理选择电势零点可使问题简化。
y
P( x, y)
p cos V 4 π 0 r 2
在图示的Oxy坐标系中
q
r
O
r
r
q
r x y
2 2
2
l
x
cos
x x2 y 2
px V 2 2 3/ 2 4 π 0 ( x y )
9.4 静电场的环路定理和电势
静电场的环路定理
已知q的电场分布 E
根据定义, P点的电势为
4
q
0r
2
er
VP
P
E dl
r
q
40r
2Pdr4q04r2qe0rrP dl
q > 0时, VP为正, r V, r处V= 0 min q < 0时, VP为负, r V, r处V = 0 max
2.电场强度与电势梯度的关系
根据电势差的定义, 把单位正电荷从P1移到P2 电场力所作的功为：
dA E dn V (V dV )
r E
dn
n
P1
P2
V V dV
E dn dV
E
dV dn
grad V
E
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dV dn
n
r E grad V
r 即:电场中某点的场强 E 等于该点电势梯度的负值
无意义
VP
P
E
dr
rP
2 0r
dr
2 0
ln
rP
r
P
P'
令某处 r = r0（有限值） V=0，则
VP
P0
P
E
dl
P
P
E dl
P0
P
E dl
r0 P0
P
P
2
0r
dr
2 0
ln
r0 r
可见：当电荷分布到无穷远时，
22
归纳 电场强度与电势的关系
积分关系：
【大学物理】静电场的环路定理 电势 等势面 电势梯度
r r r r－ r l cos
r
r
r+
q l
q+
3. 连续分布电荷电场中的电势 利用电势叠加原理：
dV
dq
dq VP 4 π 0 r
r
P
使用此公式的前提条件为有限大带电体且选无限远 处为电势零点；积分是对整个带电体的积分。 E 利用电势定义式： dl “ 0 ” P
qr E1 3 4 π 0 R
r
q E2 2 4 π 0 r
V1 E1dr E 2 dr
r R
R
q R
R
r
qr q dr dr 3 2 R 4 π r 4 π 0 R 0
2
q q q (3 R r ) 2 2 (R r ) 3 8 π 0 R 4 π 0 R 8 π 0 R
与路径无关
a
dr
任意带电体系产生的电场
任意带电体系都可以看成电荷系 q1、q2、…，移动q0， 静电力所作功为: b b q E •b dr W F dr 0
ab
q0 a• q0 ( E1 E 2 E n ) dr a( L) n b q 0 E i d r ＝ qi q0 ( 1 1 ) a( L) i 1 rbi i 4 0 rai
注意：
• 电势能的零点可以任意选取，但是在习惯上， 当场源电荷为有限带电体时，通常把电势能的零 点选取在无穷远处。 这时，空间a点的电势能：
E pa
a
q0 E dl
• 电势能为电场和位于电场中的电荷这个系统所 共有。
2023-2024学年高二下学期物理竞赛课件：静电场的环路定理和电势
四、电势差
Q Aab qo
bv v a E dl Wa Wb
电势差：
b
E dl
Wa
Wb
a
qo b qvo v
Uab Va Vb
E dl
a
结论：静电场中a,b两点的电势差，在数值上等于 将单位正电荷从a点移至b点电场力所作的功。
Aab W Wa Wb qo (Va Vb )
二、电势能（W）
Wa q0
Wb
保守力作功等于势能的减少 a
b
b
Aab qo a E dl Wa Wb W
Wa,Wb的量值是相对的量；与零势能参考点的选取 有关，而势能的增量 W与零势能点选取无关是绝对
的量.
1、对有限的带电体选无限远处作为电势能零点，
Aa
qo
a
E dl
Wa W
1) rib
电场力是保守力
qi ria
qn a
qo
3、若q0在电场中沿L运动一周
A lqo E dl 0
q0
静电场的环路定理：
l
静电场中电场强度 E的环流为零。
l E dl 0
结论：一定量的电荷在静电场中移动时，电场力所作 的功只与电荷的起点和终点的位置有关，而与路径无 关。即电场力是保守力。静电场是保守场。
致冷系数：
Q2 Q2
A Q1 Q2
K‘系观察者测得相对他静止的棒的长度为：
l0 x2 ' x1 ' l0 称为固有长度
问：在K系中观察者（相对棒运动的观察者）测得
的棒的长度为多少？
他测得棒两端的坐标为x1和x2, t1=t2=t（同时测）
则棒长 l= x2-x1
静电场的环路定理
V
1 4πε0
dq r
4 静电场力的功计算
WAB EPA EPB q(VA VB )
例、如图所示，已知边长为a的正方形顶点 上有四个电量均为q的点电荷，求：
①正方形中心O点的电势Uo。
②将试验电荷q0从无穷远处移到正方形中
心O点时，电场力所作的功。 q
q
q
UO 4 4 0 ( 2a / 2)
解
dVP
1 4πε0
dq r
1
VP 4πε0r dq
dq
q
r
R
4πε0r q
xo x
Px
4πε0 x2 R2
例2 真空中有一电荷为Q、半径为R的
均匀带电球面. 试求 （1）球面外任意点A的电势； （2）球面内任意点B的电势.
oB
R
rB
A r
rA
0 r R
解
E
Q
4ε0r 2
rR
（1）r R
E dl
B
A E dl
B
EpB E
VB
电势零点的选取：
有限带电体以无穷远为电势零点，实际
问题中常选择地球电势为零.
VA
E dl
A
物理意义： 把单位正试验电 荷从点A移到无限远 处时静电场力作的功.
q0 A EVpAA
B
EVpBB
E
3. 电势差
B
U AB VA VB
E dl
a
O
q
q
A
q0
(U
UO
)
4
4
qq0 0 ( 2a
/
2)
课堂练习 求均匀带电细杆延长线上一点P的电势。已知 q ,L, a
静电场环路定理的数学表达式
静电场环路定理的数学表达式静电场环路定理是电磁学中的基本定理之一，用于描述静电场中的电场强度分布。
它的数学表达式为：∮E·dl = 0这个数学表达式中，∮表示沿闭合曲线的环路积分，E表示电场强度矢量，dl表示曲线微元矢量，0表示积分结果为零。
静电场环路定理表明，在静电场中，沿着任意闭合曲线的电场强度环路积分等于零。
这个定理是基于电场的无旋性推导出来的，旋度为零意味着环路积分为零。
根据静电场环路定理，可以得出一些重要结论。
首先，如果一个闭合曲线内没有电荷，那么沿着该闭合曲线的电场强度环路积分等于零。
这意味着在没有电荷的区域内，电场强度的环路积分为零，即电场强度的分布是无旋的。
如果一个闭合曲线内存在电荷，那么沿着该闭合曲线的电场强度环路积分不等于零。
这意味着在有电荷的区域内，电场强度的环路积分不为零，即电场强度的分布是有旋的。
静电场环路定理的数学表达式可以帮助我们分析电场的分布。
通过计算闭合曲线上的电场强度环路积分，可以判断电场是无旋的还是有旋的，从而推断出电荷的分布情况。
静电场环路定理在电磁学的研究中有着重要的应用。
在电路分析中，可以利用这个定理来计算电路中的电场强度分布。
通过对闭合回路上的电场强度环路积分进行计算，可以得到电路中电场的分布情况，从而进一步分析电路的性质和特点。
除了电路分析，静电场环路定理还可以应用于其他领域。
在静电场测量中，通过测量闭合曲线上的电场强度环路积分，可以得到电场的分布情况，从而进行电场的测量和分析。
静电场环路定理是电磁学中的重要定理，通过数学表达式可以描述电场强度分布的特点。
通过应用这个定理，可以进行电场分析和测量，从而推断出电荷的分布情况。
静电场环路定理在电路分析和静电场测量等领域有着广泛的应用。
通过深入理解和应用这个定理，可以更好地理解和研究电磁学现象。
静电场的环路定理
8-7 电势
一 电势
1 电势VA
定义：电场中A点的电势
VA
E pA q0
EpA q0 AB E dl EpB
A
B
E
VA AB E dl VB (VB为参考电势，值任选。)
令 VB=0，则有： VA AB E dl
VA
B
A
E
dl
(B点为电势参考点)
电势是标量，它的单位是伏特简称伏，符号为V。 电场中A点的电势在数值上等于把单位正电荷从 点A移到无穷远时，静电场力所作的功。 电势零点的选取可视问题性质而定。
与该路径的形状无关。
说明：静电场力是保守力，静电场是保守场。
二 静电场的环路定理
q0沿闭合路径l移动一周，电场力作功为：
W
l
q E dl 0
q 0
l
E dl
A
又由静电场力作功特点知：W=0
E
则：
q 0
l
E dl
0
q 0 0
l E dl 0 此即静电场的环路定理
式中 l E dl 称为电场强度矢量环流。
o
x
环心和无穷远处的电势
x0，V0
q
4 0
R
x
R，VP
q
4
0
x
均匀带电薄圆盘轴线上的电势
dq 2 rdr
dVP
1
4 0
2 rdr
x2 r2
r
Ro
VP
1
4 0
R
0
2 rdr
x2 r2
2 0
(
x R