(完整版)高中数学向量的加减与数乘知识总结+题库

向量要求层次重难点平面向量的相关概念B①理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．②理解向量的几何表示．向量的线 性运算向量加法与减法C ① 掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．② 掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含．③ 了解向量线性运算的性质及其几何意义．向量的数乘 C 两个向量共线B（一） 知识内容⑴ 向量的概念：在高中阶段，我们把具有大小和方向的量称为向量．有些向量不仅有大小和方向，而且还有作用点．例如，力就是既有大小和方向，又有作用点的向量．有些量只有大小和方向，而无特定的位置．例如，位移、速度等，通常把后一类向量叫做自由向量．高中阶段学习的主要是自由向量，以后我们说到向量，如无特别说明，指的都是自由向量．是可以任意平行移动的．向量不同于数量，数量之间可以进行各种代数运算，可以比较大小，两个向量不能比较大小．⑵ 向量的表示：①几何表示法：用有向线段表示向量，有向线段的方向表示向量.的方向，线段的长度表示向量的长度．②字母表示法：AB ，注意起点在前，终点在后．⑶ 相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等向量．可根据右图的正六边形，或根据下题平行四边形讲解相等向量．POE DCBA例题精讲高考要求板块一：向量的基本概念向量的概念、加减、数乘B已知E、F、G、H分别是平行四边形ABCD边AB、DC、BC、AD的中点，O为对角线AC与BD的交点，分别写图中与DF，BH，AO相等的向量．解：DF FC GO OH AE EB========BH HC AG GD=AO OC⑷向量共线或平行：通过有向线段AB的直线，叫做向量AB的基线．如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行．向量a平行于向量b，记作a∥b．说明：共线向量的方向相同或相反，注意：这里说向量平行，包含向量基线重合的情形，与两条直线平行的概念有点不同．事实上，在高等数学中，重合直线是平行直线的特殊情形．⑸零向量：长度等于零的向量，叫做零向量．记作：0．零向量的方向不确定，零向量与任意向量平行．⑹用向量表示点的位置：任给一定点O和向量a，过点O作有向线段OA a=，则点A相对于点O 位置被向量a所唯一确定，这时向量OA又常叫做点A相对于点O的位置向量．⋅=．AB AC3（二）典例分析：【例1】给出命题⑴零向量的长度为零，方向是任意的.⑵若a，b都是单位向量，则a＝b.⑶向量AB与向量BA相等.⑷若非零向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点共线.以上命题中，正确命题序号是（）A．⑴ B．⑵ C．⑴⑶ D．⑴⑷【例2】下列命题中正确的有：( )⑴四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB DC=；⑵向量AB与BA是两平行向量；⑶向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上；⑷单位向量不一定都相等；⑸a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线； ⑹平行向量的方向一定相同；【变式】 平面向量a ，b 共线的充要条件是（ ）A ．a ，b 方向相同B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量C ．λ∃∈R ，b a λ=D ．存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+=【例3】 ⑴设0a 为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则0a a a =⋅；②若a 与0a 平行，则0a a a =⋅；③若a 与0a 平行且1a =，则0a a =．上述命题中，假命题个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3⑵若非零向量a ，b 满足a b b -=，则（ ）A ．22b a b >-B ．22b a b <-C ．22a a b >-D ．22a a b <-【变式】 给出下列命题：①若a b =，则a b =；②若A B C D ，，，是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a b =，b c =，则a c =； ④a b =的充要条件是a b =且a b ∥； ⑤若a b ∥，b c ∥，则a c ∥；其中正确的序号是 ．【例4】 如图所示，1A ，2A ，3A ，…，8A 是O 的8个等分点，以1A ，2A ，…，8A 及O 这9个点中任意两个为起始点和终点的向量中，模等于半倍的向量有多少个？【变式】 （海淀区2008-2009学年度第一学期期末试卷）如图，在正方形ABCD 中，下列描述中正确的是（ ）A ．AB BC =B ．AB CD =C ．2AC AB = D．AB BC AB BC +=-A 35A D CBA（一） 知识内容1. 向量的加法：a+babbabb aba a+b CCOBa+b b+ccbaa+b+c⑴ 向量加法的三角形法则：已知向量,a b ，在平面上任取一点A ，作AB a =，BC b =，再作向量AC ，则向量AC 叫做a 和b 的和（或和向量），记作a b +，即a b AB BC AC +=+=． ⑵ 向量求和的平行四边形法则：① 已知两个不共线的向量a ，b ，作AB a =，AD b =，则A ，B ，D 三点不共线，以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则对角线上的向量AC a b =+，这个法则叫做向量求和的平行四边形法则． ② 向量的运算性质：向量加法的交换律：a b b a +=+ 向量加法的结合律：()()a b c a b c ++=++关于0：00a a a +=+= ⑶ 向量求和的多边形法则：已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n 个向量的终点为终点的向量叫做这n 个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．2. 向量的减法：dcbaa+b+c+dbacda-b baO⑴ 相反向量：与向量a 方向相反且等长的向量叫做a 的相反向量，记作a -． 零向量的相反向量仍是零向量．⑵ 差向量定义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量．推论：一个向量BA 等于它的终点相对于点O 的位置向量OA 减去它的始点相对于点O 的位置向量OB ，或简记“终点向量减始点向量”．⑶ 一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量板块二：向量的加减运算（三）典例分析：【例5】 设P 是ABC △所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（ ）A ．0PA PB += B ．0PC PA += C ．0PB PC +=D ．0PA PB PC ++=【变式】 如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（ ）A ．AB DC = B ．AD AB AC += C ．AB AD BD -= D ．0AD CB +=【例6】 D 是ABC ∆的边AB 上的中点，则向量CD =（ ）A ．12BC BA -B ．12BC BA -- C ．12BC BA -+D ．12BC BA +.【例7】 设D ，E ，F ，分别是ABC ∆的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,DC BD =2,CE EA =2,AF FB =则AD BE CF ++与BC ( ) A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直【例8】 根据图示填空：⑴ a b += ；⑵ e b d ++= ．【例9】 化简下列各式：⑴ 7()8()a b a b +--； ⑵ 12(2)(432)6a b c a b c +---+【例10】 如图，D ，E ，F 分别是ABC ∆的边AB ，BC ，CA 的中点，则（ ）A ．0AD BE CF ++=B ．0BD CF DF -+=C ．0AD CE CF +-= D ．0BD BE FC --=DCBAFE DCBA【例11】 已知O A B ，，是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=，则OC =( )A ．2OA OB - B ．2OA OB -+C ．2133OA OB -D ．1233OA OB -+【例12】 如图所示，E F 、是四边形ABCD 的对角线AC BD 、的中点，已知,AB a CD c ==，求向量EF ．【例13】 已知O A B ，，是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=，则OC =（ ）A ．2OA OB - B ．2OA OB -+C ．2133OA OB -D ．1233OA OB -+【例14】 已知任意四边形ABCD 中，,E F 分别是,AD BC 的中点，求证：1()2EF AB DC =+．【例15】 ⑴ 已知ABCD □的两条对角线交于点O ，设AB a =，AD b =，用向量a 和b 表示向量BD ，AO ．⑵ 已知ABCD □的两条对角线交于点O ，设对角线AC =a ，BD =b ，用a ，b 表示BC ，AB ．CAAC【例16】 设P 是正六边形OABCDE 的中心，若OA a =，OE b =，试用向量a ，b 表示OB 、OC 、ODOE ．【例17】 在ABC △中，AB c =，AC b =．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ）A ．2133b c +B ．5233c b -C ．2133b c -D ．1233b c +⑵在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC AE AF λμ=+，其中λ，μ∈R ，则λμ+= ．【变式】 证明：若向量,,OA OB OC 的终点A B C 、、共线，当且仅当存在实数,λμ满足等式1λμ+=，使得OC OB OA λμ=+．OCA【变式】 如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为．ONM CBA【变式】 在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的点．且1BF a FC a =-，1DE bEC b=-， 若AC AE AF λμ=+，其中λ，μ∈R ，则λμ+= ．FB【变式】 设正六边形ABCDEF 的对角线,AC CE 分别被内点,M N 分成为AM CNr AC CE==，如果,,B M N 共线，求r 的值．【变式】 证明：若向量,,OA OB OC 的终点A B C 、、共线，当且仅当存在实数,λμ满足等式1λμ+=，使得OC OB OA λμ=+．（一） 知识内容3. 数乘向量：定义：实数λ和向量a 的乘积是一个向量，记作a λ，且a λ的长a a λλ=<教师备案> 判断正误：已知λμ∈R ，．①()a b a b λλλ+=+；（√） ②()a a a λμλμ+=+；（√） ③()()a a λμλμ=；（√） ④()()a b a b λμλμ+=++．（×）4. 向量共线的条件⑴ 平行向量基本定理：如果a b λ=，则a ∥b ；反之，如果a ∥b ，且0b ≠，则一定存在唯一的一个实数λ，使a b λ=．⑵ 单位向量：给定一个非零向量a ，与a 同方向且长度等于1的向量，叫做向量a 的单位向量．如果a 的单位向量记作0a ，由数乘向量的定义可知0a a a =或0a a a=．（三）典例分析：【例18】 设12,e e 是不共线的向量，已知向量1212122,3,2AB e ke CB e e CD e e =+=+=-，若A B D 、、三点共线，求k 的值．OCBA板块三：向量的数乘与共线【变式】 设a ，b ，c 为非零向量，其中任意两个向量不共线，已知a b +与c 共线，且b c +与a 共线，则b a c ++= ．【变式】 已知,a b 是不共线的向量，25AB a b =+，8BC a b =-+，3()CD a b =-，则A B D 、、C 、四点中共线的三点是___________【变式】 设,a b 是不共线的两个向量，已知22(2)AB ka k b =+-，BC a b =+，2CD a b =-，若A B D、、三点共线，求k 的值．【变式】 证明对角线互相平分的四边形是平行四边形．ODCBA【例19】 如图，平行四边形ABCD 中，E F 、分别是BC DC 、的中点，G 为DE BF 、的交点,若AB =a ，AD =b ，试以a ，b 为基底表示DE 、BF 、CG ．F CBA【变式】 如图，在∆ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点G ，则下列各等式中不正确的是（ ） A ．23BG BE = B ．2CG GF =C ．12DG AG =D ．121332DA FC BC +=【变式】 已知五边形ABCDE ，M 、N 、P 、Q 分别是边AB 、CD 、BC 、DE 的中点，K 、H 分别是MN 和PQ 的中点，求证：KH 平行且等于14AE .ED CBA MNP Q K HGFEDC BA【变式】 如图，E 、F 分别是平行四边形ABCD 的边AD 、CD 的中点，BE 、BF 与对角线AC 分别交于点R 和点T ．求证AR RT TC ==．(向量法)TRF E D CB A【变式】 四边形ABCD 中，E ，F ，M ，N 分别为BC ，AD ，BD ，AC 的中点，O 为MN 的中点，试用向量的方法证明：O 也是EF 的中点．FEO MNDCB A【变式】 ⑴在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC a =，BD b =，则AF =( )A ．1142a b +B ．2133a b +C ．1124a b +D ．1233a b +⑵如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若AD xAB y AC =+， 则x = ，y = ．OF E DCBA【变式】 若等边ABC ∆的边长为23，平面内一点M 满足1263CM CB CA =+，则MA = ，MB = ．（用CB ，CA 向量表示） FECBA M三角形有五心：内心、外心、垂心、重心和旁心，这里我们用向量这个工具来研究三角形的前四心，有些地方涉及到数量积，老师可以根据情况先补充数量积的知识，或将这些地方跳过去以后再讲．板块四：三角形有五心相关证明60︒45︒EDBCA⑴内心：过点A ，方向平行于向量()(0)||||AB ACAB AC λλ+≠的直线过ABC ∆的内心(BAC ∠的角分线所在直线)；||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔为ABC ∆的内心；⑵外心：PA PB PC ==⇔P 为ABC ∆的外心；⑶垂心：PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为ABC ∆的垂心（先补充数量积的相关知识） ⑷重心：0PA PB PC P ++=⇔为ABC ∆的重心．另外：在ABC ∆中，G 为平面上任意一点，有1()3GO GA GB GC =++⇔O 为ABC ∆的重心1()()()()03GO GA GB GC GA GO GB GO GC GO =++⇒-+-+-=，即0OA OB OC ++=，知O 为ABC ∆的重心；若O 为ABC ∆的重心，则11()(3)33GA GB GC GO OA OB OC ++=+++20OA OB OC OA OE ++=+=，故1()3GA GB GC GO ++=.【例20】 在OAB ∆中，M 为OB 的中点，N 为AB 的中点，P 为,ON AM 交点，利用向量证明23AP AM =，即重心为中线的一个三等分点．【变式】 ⑴已知3()2(2)4()0m a m a m a b -++-+-=，则m =⑵已知a ，b 方向相同，且3a =，7b =，则2a b -=【变式】 若O 是ABC ∆内一点，0OA OB OC ++=，则O 是ABC ∆的（ ）Ａ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心【变式】 （2003年天津）O 是平面内一定点，A ,B ,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，[0,)λ∈+∞，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心【变式】 若点O 是ABC △的外心，且0OA OB CO ++=，则内角C 的大小为____OEDC BA【变式】 已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且设AM xAB =，AN y AC =，则113x y+=．NMGCBA【变式】 非正ABC △的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，()OH m OA OB OC =++，求实数m 的值．【变式】 如图，设G 为OAB ∆的重心，过G 的直线与,OA OB 分别交于P 和Q ，已OP hOA =，OQ kOB =，OAB ∆与OPQ ∆的面积分别为S 和T ．求证：⑴113h k+=；⑵4192S T S ≤≤．【例21】 已知任意四边形ABCD 中，,E F 分别是,AD BC 的中点，求证：1()2EF AB DC =+．E BBAMG QP O【例22】 如图所示，E F 、是四边形ABCD 的对角线AC BD 、的中 点，已知,AB a CD c ==，求向量EF ．A【变式】 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC a =，BD b =，则AF =（ ）A ． 1142a b +B ． 2133a b +C ． 1124a b +D ． 1233a b +【变式】 已知点M 是ABC ∆的重心，,MA a MB b ==，用,a b 表示,,AB AC BC ．FEDCBAM【变式】 M 、N 分别是ABC ∆的边AB 、AC 的靠近A 的三等分点．求证：13MN BC =，且MN ∥BC ．【变式】 已知矩形ABCD 中，宽为2，长为AB a =，BC b =，AC c =，试作出向量a b c ++，并求其长度．OFE DCBA【变式】 如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为 ．ONMCBA。