判断平面直角坐标系中的对称性
平面直角坐标系与图形的对称
对称中心
对于中心对称图形，存在一个固定点，使得图形关于这个点 对称。这个点被称为对称中心。
对称变换基本性质
对称变换不改变图形的形状和大小， 只改变图形的方向或位置。
对于轴对称图形，对称轴两侧的图形 完全重合；对于中心对称图形，关于 对称中心的任意两点连线都被对称中 心平分。
对称变换具有可逆性，即如果图形A 经过对称变换得到图形B，那么图形B 也可以经过相应的对称变换得到图形 A。
03
对于某些具有旋转对称性的图形，通过旋转坐标系可以使得对
称性的描述更加直观。
坐标系变换下图形对称性变化规律
平移变换
平移变换不改变图形的对称性，但会改变对称轴或对称中心的位 置。
旋转变换
旋转变换可以改变图形的对称性，如将轴对称图形转变为中心对称 图形或将非对称图形转变为对称图形。
缩放变换
缩放变换不改变图形的对称性类型，但会改变对称轴或对称中心的 位置以及对称点的坐标。
。
02
图形对称性质简介
对称图形定义及分类
定义
如果一个图形经过一次变换后，与另 一个图形重合，则称这两个图形关于 这次变换对称。
分类
根据对称变换的不同，对称图形可以 分为轴对称图形和中心对称图形。
对称轴和对称中心概念
对称轴
对于轴对称图形，存在一条直线，使得图形关于这条直线对 称。这条直线被称为对称轴。
定义
平面直角坐标系由两条互相垂直、原点重合的数轴组成，通常水平方向的数轴 称为x轴，竖直方向的数轴称为y轴。
性质
在平面直角坐标系中，任意一点都可以用一对有序实数来表示，即点的坐标。 坐标原点用(0,0)表示，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0。
坐标轴上点表示方法
函数的奇偶性、周期性与对称性-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)(原卷版)
考向08 函数的奇偶性、周期性与对称性【2022年新高考全国Ⅰ卷】（多选题）已知函数()f x 及其导函数()'f x 的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（ ） A ．(0)0f = B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=【答案】BC 【解析】 【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)(2)g x g x +=-，所以()()3f x f x -=，(4)()g x g x -=，则(1)(4)f f -=，故C 正确；函数()f x ，()g x 的图象分别关于直线3,22x x ==对称，又()()g x f x '=，且函数()f x 可导，所以()()30,32g g x g x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()(4)()3g x g x g x -==--，所以()(2)(1)g x g x g x +=-+=， 所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误.故选：BC. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函数图象间的关系，准确把握函数的性质（必要时结合图象）即可得解.【2022年新高考全国II 卷】已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（ ）A ．3-B ．2-C ．0D ．1【答案】A 【解析】 【分析】根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6，求出函数一个周期中的()()()1,2,,6f f f 的值，即可解出．【详解】因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--，故()()24f x f x +=-，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++=．由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．1.奇偶性技巧(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称. (2)奇偶函数的图象特征.函数()f x 是偶函数⇔函数()f x 的图象关于y 轴对称； 函数()f x 是奇函数⇔函数()f x 的图象关于原点中心对称. (3)若奇函数()y f x =在0x =处有意义，则有(0)0f =； 偶函数()y f x =必满足()(||)f x f x =.(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数()f x 的定义域关于原点对称，则函数()f x 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记1()[()()]2g x f x f x =+-，1()[()()]2h x f x f x =--，则()()()f x g x h x =+.(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如()(),()(),()(),()()f x g x f x g x f x g x f x g x +-⨯÷.对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶； 奇()⨯÷奇=偶；奇()⨯÷偶=奇；偶()⨯÷偶=偶.(7)复合函数[()]y f g x =的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. (8)常见奇偶性函数模型奇函数：①函数1()()01x x a f x m x a +=≠-()或函数1()()1x x a f x m a -=+．②函数()()x x f x a a -=±-． ③函数2()log log (1)aa x m m f x x m x m +==+--或函数2()log log (1)a a x m m f x x m x m-==-++ ④函数2()log (1)a f x x x =+或函数2()log (1)a f x x x =+． 注意：关于①式，可以写成函数2()(0)1x m f x m x a =+≠-或函数2()()1x mf x m m R a =-∈+．偶函数：①函数()()x x f x a a -=±+． ②函数()log (1)2mx a mxf x a =+-． ③函数(||)f x 类型的一切函数． ④常数函数 2.周期性技巧()()()()211();()2()()()()2()()4()()2()()()()()2()()()2()()()(x R f x T f x T f x T f x T f x T f x T T f x f x f x T f x T T f x T f x T T f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x af x f a x f a x b a f b x f b x f a ∈+=+=-+=+=-+=-+=--+=-⎧-⎨+=-⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧-⎨+=--⎩函数式满足关系（）周期为偶函数)()2()()()4()()()()()4()()()4()x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x af x +=--⎧⎨⎩+=-⎧-⎨+=--⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧⎨⎩为奇函数为奇函数为偶函数3.函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数()y f x =有两条对称轴x a =，()x b a b =<，则函数()f x 是周期函数，且2()T b a =-； （2）若函数()y f x =的图象有两个对称中心(,),(,)()a c b c a b <，则函数()y f x =是周期函数，且2()T b a =-；（3）若函数()y f x =有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)()b a b <，则函数()y f x =是周期函数，且4()T b a =-.4.对称性技巧（1）若函数()y f x =关于直线x a =对称，则()()f a x f a x +=-． （2）若函数()y f x =关于点()a b ，对称，则()()2f a x f a x b ++-=．（3）函数()y f a x =+与()y f a x =-关于y 轴对称，函数()y f a x =+与()y f a x =--关于原点对称．1.(1)如果一个奇函数()f x 在原点处有定义，即(0)f 有意义，那么一定有(0)0f =. (2)如果函数()f x 是偶函数，那么()(||)f x f x =.2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性3.函数周期性常用结论对()f x 定义域内任一自变量的值x : (1)若()()f x a f x +=-，则2(0)T a a =>. (2)若1()()f x a f x +=，则2(0)T a a =>. (3)若1()()f x a f x +=-，则2(0)T a a =>. 4.对称性的三个常用结论(1)若函数()y f x a =+是偶函数，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称.(2)若对于R 上的任意x 都有(2)()f a x f x -=或()(2)f x f a x -=+，则()y f x =的图象关于直线x a =对称.(3)若函数()y f x b =+是奇函数，则函数()y f x =的图象关于点(,0)b 中心对称. 5.两个奇偶函数四则运算的性质 （1）两个奇函数的和仍为奇函数； （2）两个偶函数的和仍为偶函数； （3）两个奇函数的积是偶函数； （4）两个偶函数的积是偶函数；（5）一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。
高考数学复习----《利用周期性和对称性解决函数问题》典型例题讲解
高考数学复习----《利用周期性和对称性解决函数问题》典型例题讲解【典型例题】例1、（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，()22f x +为偶函数，()1f x +为奇函数，且当[]0,1x ∈时，()f x ax b =+．若()41f =，则3112i f i =⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑（ ）A ．12B ．0C ．12−D ．1−【答案】C【解析】因为()22f x +为偶函数，所以()()2222f x f x −+=+， 用1122x +代替x 得：()()13f x f x −+=+， 因为()1f x +为奇函数，所以()()11f x f x −+=−+， 故()()31f x f x +=−+①，用2x +代替x 得：()()53f x f x +=−+②， 由①② 得：()()51f x f x +=+， 所以函数()f x 的周期4T =， 所以()()401f f ==，即1b =，因为()()11f x f x −+=−+，令0x =得：()()11f f =−，故()10f =，()10f a b =+=，解得：1a =−，所以[]0,1x ∈时，()1f x x =−+， 因为()()11f x f x −+=−+， 令12x =，得2123f f ⎛⎫⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 其中1111222f ⎛⎫=−+= ⎪⎝⎭，所以3122f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，因为()()2222f x f x −+=+，令14x =得：12214422f f ⎛⎫⎛⎫−⨯+=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即235212f f ⎛⎫⎛⎫==− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为4T =，所以7714222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−=− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为()()11f x f x −+=−+， 令32x =得：151222f f ⎛⎫⎛⎫−=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故2721f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，311111122235722222i f i f f f =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=−−+=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑．故选：C例2、（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x −为偶函数，()()20f x f x −+−=，当[]2,1x ∈−−时，()14xf x ax a =−−（0a >且1a ≠），且()24f −=．则()131k f k ==∑（ ）A ．16B ．20C ．24D ．28【答案】C【解析】因为()2f x −是偶函数，所以()2(2)f x f x −−=−，所以()(4)f x f x =−−， 所以函数()f x 关于直线2x =−对称，又因为()()20f x f x −+−=，所以()()2f x f x −−=−， 所以()(2)f x f x =−−−，所以()f x 关于点(1,0)−中心对称， 由()(4)f x f x =−−及()(2)f x f x =−−−得(4)(2)f x f x −−=−−− 所以(4)(2)()f x f x f x −−=−−−=− 所以函数()f x 的周期为4， 因为当[]2,1x ∈−−时，()14xf x ax a =−−（0a >且1a ≠），且()24f −=，所以21424a a −=+−，解得：2a =或4a =−，因为0a >且1a ≠，所以2a =． 所以当[]2,1x ∈−−时，()1()242xf x x =−−，所以(2)4,(1)0f f −=−=，(3)(1)0f f −=−=，(0)(2)4f f =−−=−， (1)(14)(3)0f f f =−=−=，(2)(2)4f f =−=，(3)(1)0f f =−=， (4)(0)4f f ==−，所以(1)(2)(3)(4)8f f f f +++=，所以()131(1)+3824k f k f ==⨯=∑，故选：C ．例3、（2023·山东济宁·高三嘉祥县第一中学校考阶段练习）已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x −=+，且当01x ≤≤时，()21f x x =−．若直线y x a =+与曲线()y f x =恰有三个公共点，那么实数a 的取值的集合为（ ）A ．51,4k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）B ．521,24k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）C ．52,214k k ⎛⎫−− ⎪⎝⎭（Z k ∈）D ．5,14k k ⎛⎫−− ⎪⎝⎭（Z k ∈）【答案】B【解析】定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x −=+， 所以()f x 的图像关于1x =对称，且()f x 为周期是2的偶函数，当11x −≤≤时，()21f x x =−，所以画出函数图像如下图所示：①当1a =±时，结合图像可知y x a =+与()21f x x =−（[)1,1x ∈−）有两个公共点； ②当y x a =+与()21f x x =−（[)1,1x ∈−）相切时，满足21x a x +=−，即210x x a ++−=，令()1410a ∆=−−=，解得54a =． 当54a =时，结合图像可知y x a =+与()y f x =（x R ∈）有两个公共点； 由图像可知， 51,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，直线y x a =+与()y f x =（x R ∈）有三个公共点；又因为()f x 周期2T =，可知521,24a k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）． 故选：B ．例4、（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[)1,1x ∈−时，()2f x x =，若函数()log 1a g x x =+图像与()f x 的图像恰有10个不同的公共点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()4,+∞B ．()6,+∞C ．()1,4D ．()4,6【答案】D【解析】因为函数()f x 满足()()2f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数， 又函数()log 1a g x x =+的图像可由函数log a y x =的图像向左平移一个单位可得，所以函数()log 1a g x x =+的图像的对称轴为=1x −，当[)1,1x ∈−时，()2f x x =，所以函数()f x 的图像也关于=1x −对称，在平面直角坐标系中作出函数()y f x =与()y g x =在=1x −右侧的图像，数形结合可得，若函数()log 1a g x x =+图像与()f x 的图像恰有10个不同的公共点， 则由函数图像的对称性可得两图像在=1x −右侧有5个交点， 则()()13log 415log 61a a a g g ⎧>⎪=<⎨⎪=>⎩，解得()4,6a ∈． 故选：D ．例5、（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，x ∀∈R ，恒有(4)()f x f x +=−，且当[2,0)x ∈−时，()f x x =−−1，则(0)(1)(2)(2020)(2021)f f f f f +++++=（ ）A ．1B ．-1C ．0D ．2【答案】B【解析】因为(4)(),(8)(4)()f x f x f x f x f x +=−+=−+=，所以()f x 的最小正周期是8， 因为(0)0,(2)(2)1,(3)(1)0f f f f f ==−−=−=−−=，(4)(0)0,(1)(3)f f f f =−==−−=(3)0f =，(5)(1)0f f =−=，(6)(2)1f f =−=， (7)(3)0,(8)(4)0f f f f =−==−=，又()f x 是周期为8的周期函数，所以(0)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)f f f f f f f f +++++++==(2008)(2009)(2010)(2011)(2012)(2013)(2014)(2015)0f f f f f f f f +++++++=，(2016)(2017)(2018)(2019)(2020)(2021)(0)(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f f f f f f f f +++++=+++++00(1)0001=++−+++=−，所以(0)(1)(2)(2020)(2021)1f f f f f +++++=−．故选：B例6、（2023·山东济宁·高三嘉祥县第一中学校考阶段练习）已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x −=+，且当01x ≤≤时，()21f x x =−．若直线y x a =+与曲线()y f x =恰有三个公共点，那么实数a 的取值的集合为（ ）A ．51,4k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）B ．521,24k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）C ．52,214k k ⎛⎫−− ⎪⎝⎭（Z k ∈）D ．5,14k k ⎛⎫−− ⎪⎝⎭（Z k ∈）【答案】B【解析】定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x −=+， 所以()f x 的图像关于1x =对称，且()f x 为周期是2的偶函数，当11x −≤≤时，()21f x x =−，所以画出函数图像如下图所示：①当1a =±时，结合图像可知y x a =+与()21f x x =−（[)1,1x ∈−）有两个公共点；②当y x a =+与()21f x x =−（[)1,1x ∈−）相切时，满足21x a x +=−，即210x x a ++−=，令()1410a ∆=−−=，解得54a =． 当54a =时，结合图像可知y x a =+与()y f x =（x R ∈）有两个公共点； 由图像可知， 51,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，直线y x a =+与()y f x =（x R ∈）有三个公共点；又因为()f x 周期2T =，可知521,24a k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）． 故选：B ．例7、（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[)1,1x ∈−时，()2f x x =，若函数()log 1a g x x =+图像与()f x 的图像恰有10个不同的公共点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()4,+∞B ．()6,+∞C ．()1,4D ．()4,6【答案】D【解析】因为函数()f x 满足()()2f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数， 又函数()log 1a g x x =+的图像可由函数log a y x =的图像向左平移一个单位可得， 所以函数()log 1a g x x =+的图像的对称轴为=1x −，当[)1,1x ∈−时，()2f x x =，所以函数()f x 的图像也关于=1x −对称，在平面直角坐标系中作出函数()y f x =与()y g x =在=1x −右侧的图像，数形结合可得，若函数()log 1a g x x =+图像与()f x 的图像恰有10个不同的公共点， 则由函数图像的对称性可得两图像在=1x −右侧有5个交点， 则()()13log 415log 61a a a g g ⎧>⎪=<⎨⎪=>⎩，解得()4,6a ∈． 故选：D ．例8、（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，x ∀∈R ，恒有(4)()f x f x +=−，且当[2,0)x ∈−时，()f x x =−−1，则(0)(1)(2)(2020)(2021)f f f f f +++++=（ ）A ．1B ．-1C ．0D ．2【答案】B【解析】因为(4)(),(8)(4)()f x f x f x f x f x +=−+=−+=，所以()f x 的最小正周期是8， 因为(0)0,(2)(2)1,(3)(1)0f f f f f ==−−=−=−−=，(4)(0)0,(1)(3)f f f f =−==−−=(3)0f =，(5)(1)0f f =−=，(6)(2)1f f =−=， (7)(3)0,(8)(4)0f f f f =−==−=，又()f x 是周期为8的周期函数，所以(0)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)f f f f f f f f +++++++==(2008)(2009)(2010)(2011)(2012)(2013)(2014)(2015)0f f f f f f f f +++++++=，(2016)(2017)(2018)(2019)(2020)(2021)(0)(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f f f f f f f f +++++=+++++00(1)0001=++−+++=−，所以(0)(1)(2)(2020)(2021)1f f f f f +++++=−．故选：B。
牡丹江市七年级数学下册第三单元《平面直角坐标系》测试(有答案解析)
一、选择题1．如图，将一颗小星星放置在平面直角坐标系中第二象限内的甲位置，先将它绕原点O 旋转180︒到乙位置，再将它向上平移2个单位长到丙位置，则小星星顶点A 在丙位置中的对应点A '的坐标为（ ）A ．()3,1-B ．()1,3C ．()3,1D ．()3,1- 2．在平面直角坐标系中，与点P 关于原点对称的点Q 为()1,3-，则点P 的坐标是（ ） A ．()1,3 B ．()1,3-- C ．()1,3- D ．()1,3- 3．点()1,3P --向右平移3个单位，再向上平移5个单位，则所得到的点的坐标为（ ） A ．()4,2- B ．()2,2 C ．()4,8-- D ．()2,8- 4．在平面直角坐标系中，点Q 的坐标是()35,1m m -+．若点Q 到x 轴的距离与到y 轴的距离相等，则m 的值为（ ）A ．3B ．1C ．1或3D ．2或3 5．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（21a +，3-），则点A 在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．已知点A 的坐标为(2,1)--，点B 的坐标为(0,2)-，若将线段AB 平移至A B ''的位置，点A '的坐标为(3,2)-，则点B '的坐标为（ ）A ．(3,2)--B ．(0,1)C ．(1,1)-D ．(1,1)- 7．如图,在平面直角坐标系中,、、A B C 三点的坐标分别是()()()1,2,4,2,2,1--,若以A B C D 、、、为顶点的四边形为平行四边形,则点D 的坐标不可能是（ ）A ．()7,1-B ．()3,1--C ．()1,5D ．()2,58．平面直角坐标系中，线段CD 是由线段AB 平移得到的，点A(-1，4)的对应点C(4，7)，点B(-4，-1)的对应点D 的坐标为（ ）A ．(-1，-4)B ．(1，-4)C ．(1，2)D ．(-1，2)9．如图是医院、公园和超市的平面示意图,超市B 在医院O 的南偏东25︒的方向上，且到医院的距离为300m ，公园A 到医院O 的距离为400m .若∠90AOB =︒，则公园A 在医院O 的（ ）A ．北偏东75︒方向上B ．北偏东65︒方向上C ．北偏东55︒方向上D ．北偏西65°方向上10．在平面直角坐标系中，将点A （﹣2，﹣2）先向右平移6个单位长度再向上平移5个单位长度得到点A '，则点A '的坐标是（ ）A ．（4，5）B ．（4，3）C ．（6，3）D ．（﹣8，﹣7） 11．如图所示，某战役缴获敌人防御工事坐标地图碎片，依稀可见，一号暗堡的坐标为(4,2)，四号暗堡的坐标为(2,4)-，原有情报得知：敌军指挥部的坐标为(0,0)，你认为敌军指挥部的位置大约是（ ）A ．A 处B ．B 处C ．C 处D ．D 处12．如图，将点A 0（-2，1）作如下变换：作A 0关于x 轴对称点，再往右平移1个单位得到点A 1，作A 1关于x 轴对称点，再往右平移2个单位得到点A 2，…，作A n －1关于x 轴对称点，再往右平移n 个单位得到点A n （n 为正整数），则点A 64的坐标为（ ）A ．（2078，-1）B ．（2014 ，-1）C ．（2078 ，1）D ．（2014 ，1）二、填空题13．平面直角坐标系中，已知点P 到x 轴的距离为2，到y 轴的距离为3，且点P 在第二象限，则点P 的坐标是__________．14．在平面直角坐标系中，点()3,2P -到y 轴的距离为__________．15．在平面直角坐标系中，若点(1, 2)M m m -+与点(23, 2)N m m ++之间的距离是5，则m =______．16．已知两点A(-2，m)，B(n ，-4)，若AB//y 轴，且AB=5，则m=_______；n=_______________．17．如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2）…按这样的运动规律经过第2021次运动后，动点P 的坐标是_____．18．对于平面坐标系中任意两点()11,A x y ，()22,B x y 定义一种新运算“*”为：()()()11221221,*,,x y x y x y x y =．若()11,A x y 在第二象限，()22,B x y 在第三象限，则*A B 在第_________象限．19．如果点P （a ﹣1，a +2）在x 轴上，则a 的值为_____．20．已知线段AB 的长度为3，且AB 平行于y 轴，A 点坐标为()32，，则B 点坐标为______．三、解答题21．已知在平面直角坐标系中，ABC 三个顶点的坐标分别为：(3,1)A --，(2,4)B --，(1,3)C -．（1）作出ABC ；（2）若将ABC 向上平移3个单位后再向右平移2个单位得到111A B C △，请作出111A B C △．22．已知点(24,1)P m m +-，请分别根据下列条件，求出点P 的坐标．（1）点P 在x 轴上；（2）点P 在过点(2,4)A -且与y 轴平行的直线上．23．在平面直角坐标系中，有点(),1A a -，点()2,B b ．（1）当A ，B 两点关于直线1x =-对称时，求AOB 的面积；（2）当线段//AB y 轴，且3AB =时，求-a b 的值．24．已知：△A 1B 1C 1三个顶点的坐标分别为A 1（﹣3，4），B 1（﹣1，3），C 1（1，6），把△A 1B 1C 1先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到△ABC ，且点A 1的对应点为A ，点B 1的对应点为B ，点C 1的对应点为C ．（1）在坐标系中画出△ABC ；（2）求△ABC 的面积；（3）设点P 在y 轴上，且△APB 与△ABC 的面积相等，求点P 的坐标．25．（1）请在网格中建立平面直角坐标系，使得A ，B 两点的坐标分别为()4,1，()1,2-；（2）在（1）的条件下，过点B 作x 轴的垂线，垂足为点M ，在BM 的延长线上取一点C ，使MC BM =．①写出点C 的坐标；②平移线段AB 使点A 移动到点C ，画出平移后的线段CD ，并写出点D 的坐标．26．如图，已知火车站的坐标为()2,1，文化宫的坐标为()1,2-．（1）请你根据题目条件，画出平面直角坐标系；（2）写出体育馆、市场、超市、宾馆的坐标；（3）请将原点O ，宾馆C 和文化宫B ，看作三点用线段连起来，将得OBC ，然后将此三角形向下平移3个单位长度，画出平移后的111O B C ，并求出其面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据图示可知A 点坐标为（-3，1），它绕原点O 旋转180°后得到的坐标为（3，-1），根据平移“上加下减”原则，向上平移2个单位得到的坐标为（3，1）．【详解】解：根据图示可知A 点坐标为（-3，1）根据绕原点O 旋转180°横纵坐标互为相反数∴旋转后得到的坐标为（3，-1）根据平移“上加下减”原则∴向下平移2个单位得到的坐标为（3，1）故选C．【点睛】本题考查平面直角坐标系中点的对称点的坐标，掌握与原点对称和平移原则是解题的关键．2．D解析：D【分析】在平面直角坐标系中，关于原点对称的两点的横坐标和纵坐标均互为相反数即可求得．【详解】1,3-，∵与点P关于原点对称的点Q为()-．∴点P的坐标是：()1,3故选D．【点睛】本题考查平面直角坐标系中点的对称性，掌握关于原点对称的两点的横坐标和纵坐标均互为相反数是解题关键．3．B解析：B【分析】根据向右平移，横坐标加，向上平移纵坐标加求出点P对应点的坐标即可得解．【详解】解：点P（-1，-3）向右平移3个单位，再向上平移5个单位，所得到的点的坐标为（-1+3，-3+5），即（2，2），故选：B．【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．4．C解析：C【分析】根据点A到x轴的距离与到y轴的距离相等可得3m-5=m+1或3m-5=-（m+1），解出m的值．【详解】解：∵点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，∴3m-5=m+1或3m-5=-（m+1），解得：m=3或1，故选：C．【点睛】本题考查了点的坐标，关键是掌握到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值．5．D解析：D【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．【详解】∵210a+>，a+，3-）在第四象限．点A（21故选：D．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．6．C解析：C【分析】根据平移的性质，以及点A，B的坐标，可知点A的横坐标加上了1，纵坐标加上了1，所以平移方法是：先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，根据点B的平移方法与A点相同，即可得到答案．【详解】∵A（-2，-1）平移后对应点A'的坐标为（-3，2），∴A点的平移方法是：先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，∴B点的平移方法与A点的平移方法是相同的，∴B（0，-2）平移后B'的坐标是：（0-1，-2+3）即（-1，1）．故选：C．【点睛】本题考查了坐标与图形的变化-平移，解决问题的关键是运用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．7．D解析：D【分析】根据平行四边形的性质可知：平行四边形的对边平行且相等，连接各个顶点，数形结合，可以做出D点可能的坐标，利用排除法即可求得答案．【详解】解：数形结合可得点D的坐标可能是（﹣3，﹣1），（7，﹣1），（1,5）；但不可能是（2,5）故选：D．【点睛】本题考查平行四边形的性质和直角坐标系，考查学生解题的综合能力，解题的关键是在直角坐标系中画出可能的平行四边形．8．C解析：C【分析】由于线段CD是由线段AB平移得到的，而点A（-1，4）的对应点为C（4，7），比较它们的坐标发现横坐标增加5，纵坐标增加3，利用此规律即可求出点B（-4，-1）的对应点D 的坐标．【详解】∵线段CD是由线段AB平移得到的，而点A（-1，4）的对应点为C（4，7），∴由A平移到C点的横坐标增加5，纵坐标增加3，则点B（-4，-1）的对应点D的坐标为（-4+5，-1+3），即（1，2）．故选：C．【点睛】本题考查了坐标与图形变化－平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．9．B解析：B【解析】分析：首先根据勾股定理得出公园A到超市B的距离为500m，再计算出∠AOC的度数，进而得到∠AOD的度数．本题∵∠AOB=90°，∴3002+4002=5002，∴公园A到超市B的距离为500m∵超市在医院的南偏东25°的方向，∴∠COB=90°−25°=65°，∴∠AOC=90°−65°=25°，∴∠AOD=90°−25°=65°，故选B.10．B解析：B【分析】利用“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减”的规律求解可得．【详解】解：将点A（﹣2，﹣2）先向右平移6个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到点A'，其坐标为（﹣2+6，﹣2+5），即（4，3），故选：B．【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）11．B解析：B【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案．【详解】解：如图所示：敌军指挥部的位置大约是B处．故选：B．【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确建立平面直角坐标系是解题关键．12．C解析：C【分析】观察不难发现，角码为奇数时点的纵坐标为-1，为偶数时点的纵坐标为1，然后再根据向右平移的规律列式求出点的横坐标即可．【详解】解：由题意得：()()()()()123451,1,1,1,4,1,8,1,13,1A A A A A ----……由此可得角码为奇数时点的纵坐标为-1，为偶数时点的纵坐标为1，故64A 的纵坐标为1，则点64A 的横坐标为()16464212345 (64220782)+⨯-+++++++=-+=，所以()642078,1A ． 故选C ．【点睛】 本题主要考查平面直角坐标系点的坐标规律，关键是根据题目所给的方式得到点的坐标规律，然后求解即可．二、填空题13．(-32)【分析】设点P 的坐标为（xy ）由点到轴的距离为2到轴的距离为3得出再根据点P 所在的象限得出答案【详解】设点P 的坐标为（xy ）∵点到轴的距离为2到轴的距离为3∴∴∵点在第二象限∴x=-3y=解析：(-3， 2)．【分析】设点P 的坐标为（x ，y ），由点P 到x 轴的距离为2，到y 轴的距离为3，得出3,2x y =±=±，再根据点P 所在的象限得出答案.【详解】设点P 的坐标为（x ，y ），∵点P 到x 轴的距离为2，到y 轴的距离为3， ∴3,2x y ==，∴3,2x y =±=±，∵点P 在第二象限，∴x=-3，y=2，∴点P 的坐标是（-3,2）故答案为：（-3,2）.【点睛】此题考查直角坐标系中点的坐标，点到坐标轴的距离，根据点所在的象限确定点的坐标，掌握点到坐标轴的距离与点的横纵坐标的关系是解题的关键.14．3【分析】根据点到y 轴的距离等于横坐标的绝对值解答【详解】到y 轴的距离是横坐标的绝对值即故答案为：3【点睛】本题考查了点的坐标熟记点到y 轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键解析：3【分析】根据点到y 轴的距离等于横坐标的绝对值解答．【详解】()3,2P -到y 轴的距离是横坐标的绝对值，即33-=．故答案为：3．【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到y 轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键． 15．1或【分析】根据纵坐标相同的点平行于x 轴再分点N 在点M 的左边和右边两种情况讨论求解【详解】∵∴M 与N 两点连线与x 轴平行∴即解得：【点睛】本题考查了坐标与图形性质是基础题难点在于要分情况讨论解析：1或73-【分析】根据纵坐标相同的点平行于x 轴，再分点N 在点M 的左边和右边两种情况讨论求解．【详解】∵2M N y m y =+=，∴M 与N 两点连线与x 轴平行，∴|23(1)|5MN m m =+--=，即|32|5m +=，325m +=±，解得：11m =，273m =-． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，是基础题，难点在于要分情况讨论． 16．或-2【分析】根据平行于y 轴的直线上点的横坐标相同求出n 的值然后根据直线的定义求出m 的值【详解】∵A （-2m ）B （n-4）AB ∥y 轴且AB=5∴∴或故答案为：或；【点睛】本题考查了坐标与图形性质以及解析：9-或1 -2【分析】根据平行于y 轴的直线上点的横坐标相同求出n 的值，然后根据直线的定义求出m 的值．【详解】∵A （-2，m ），B （n ，-4），AB ∥y 轴，且AB=5，∴2n =-，()45m --=，∴9m =-或1，故答案为：9-或1；2-．【点睛】本题考查了坐标与图形性质以及两点之间的距离公式，主要利用了平行于y 轴的直线上点的横坐标相同的性质．17．【分析】观察点的坐标变化发现每个点的横坐标与运动的次数相等纵坐标是1020…4个数一个循环按照此规律解答即可【详解】解：观察点的坐标变化可知：第1次从原点运动到点（11）第2次接着运动到点（20）第解析：()2021,1【分析】观察点的坐标变化发现每个点的横坐标与运动的次数相等，纵坐标是1，0，2，0，…4个数一个循环，按照此规律解答即可．【详解】解：观察点的坐标变化可知：第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），第4次接着运动到点（4，0），第5次接着运动到点（5，1），…按这样的运动规律，发现每个点的横坐标与运动的次数相等，纵坐标是1，0，2，0，4个数一个循环，由于2021÷4＝505…1，所以经过第2021次运动后，动点P 的坐标是（2021，1）．故答案为：（2021，1）．【点睛】本题考查了点的坐标规律探求，属于常考题型，由已知点的坐标变化找出规律是解题的关键．18．四【分析】根据直角坐标系象限坐标特征即可判断【详解】解：∵在第二象限在第三象限∴；；；=∴∴在第四象限故答案为：四【点睛】本题属于新定义提醒以及考察了直角坐标系点的特征关键在于坐标系的点的特征是关键 解析：四【分析】根据直角坐标系象限坐标特征即可判断．【详解】解：∵()11,A x y 在第二象限，()22,B x y 在第三象限∴10x <； 20x <； 10y >；20y <*A B =()()()11221221,*,,x y x y x y x y =∴1221,00x y x y ><∴*A B 在第四象限故答案为：四【点睛】本题属于新定义提醒，以及考察了直角坐标系点的特征，关键在于坐标系的点的特征是关键．19．﹣2【分析】根据x 轴上点的纵坐标为0列方程求出a 的值再求解即可【详解】解：∵点P （a ﹣1a+2）在x 轴上∴a+2＝0解得a ＝﹣2故答案为：﹣2【点睛】本题考查了点的坐标熟记x 轴上点的纵坐标为0是解题解析：﹣2．【分析】根据x 轴上点的纵坐标为0列方程求出a 的值，再求解即可．【详解】解：∵点P （a ﹣1，a +2）在x 轴上，∴a +2＝0，解得a ＝﹣2，故答案为：﹣2．【点睛】本题考查了点的坐标，熟记x 轴上点的纵坐标为0是解题的关键．20．或【分析】由AB ∥y 轴可得AB 两点的横坐标相同结合AB=3A （32）分B 点在A 点之上和之下两种情况可求解B 点的纵坐标进而可求解【详解】解：∵AB ∥y 轴∴AB 两点的横坐标相同∵A （32）∴B 点横坐标为解析：()3,1-或()3,5【分析】由AB ∥y 轴可得A ，B 两点的横坐标相同，结合AB=3，A （3，2），分B 点在A 点之上和之下两种情况可求解B 点的纵坐标，进而可求解．【详解】解：∵AB ∥y 轴，∴A ，B 两点的横坐标相同，∵A （3，2），∴B 点横坐标为3，∵AB=3，∴当B 点在A 点之上时，B 点纵坐标为2+3=5，∴B （3，5）；∴当B 点在A 点之下时，B 点纵坐标为2-3=-1，∴B （3，-1）．综上B 点坐标为（3，-1）或（3，5）．故答案为（3，-1）或（3，5）．【点睛】本题主要考查坐标与图形，运用平行于坐标轴的直线上点的特征解决问题是解题的关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）先在坐标系分别描出A 、B 、C 三点，再把A 、B 、C 三点首尾相接即可得到△ABC ；（2）先算出A 、B 、C 三点经过平移得到的点坐标，再用（1）的方法即可得到需画三角形．【详解】解：（1）如图，在平面直角坐标系分别描出A 、B 、C 三点，再把A 、B 、C 三点首尾相接即得到△ABC ；（2）如上图，由题意可得点的坐标平移公式为： 1123x x y y =+⎧⎨=+⎩， ∴A 、B 、C 经过平移得到的点分别为： ()()()1111,2,0,1,3,0A B C --，∴分别描出111,,A B C 三点再首尾相接即可得到需画三角形．【点睛】本题考查平移作图及三角形定义的综合应用，熟练掌握根据平移方式确定点坐标的方法及三角形的概念是解题关键．22．（1）(6,0)P ；（2）(2,2)P -．【分析】（1）让纵坐标为0求得m 的值，代入点P 的坐标即可求解；（2）让横坐标为2求得m 的值，代入点P 的坐标即可求解．【详解】（1）由题意得：10m -=，解得：1m =，∴24246m +=+=，∴(6,0)P ；（2）由题意得：242m +=，解得：1m =-，∴12m -=-，(2,2)P -．【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，正确分析各点坐标特点是解题关键．23．（1）3；（2）0或6【分析】（1）根据A ，B 两点关于直线1x =-对称求出a 、b 的值，再画出图象求出AOB 的面积；（2）根据//AB y 轴得到A 、B 两点横坐标相等，由3AB =得到13b --=，求出a 、b 的值，得到-a b 的值．【详解】解：（1）∵A ，B 两点关于直线1x =-对称，∴212a +=-，解得4a =-， ∴1b =-，则()4,1A --，()2,1B -，如图所示，16132AOB S=⨯⨯=； （2）∵//AB y 轴， ∴2a =，∵3AB =，∴13b --=，解得2b =或4-，∴220a b -=-=或246a b -=+=．【点睛】本题考查点坐标的求解，解题的关键是掌握平面直角坐标系中点坐标的对称关系，三角形的面积求解方法．24．（1）见解析；（2）4；（3）P （0，5）或（0，﹣3）．【分析】（1）分别作出A 1，B 1，C 1的对应点A ，B ，C 即可；（2）利用分割法求解即可；（3）设P （0，m ），利用三角形面积公式，构建方程求解即可．【详解】解：（1）如图，△ABC 即为所求．（2）S △ABC ＝3×4﹣12×2×4﹣12×1×2﹣12×2×3＝4． （3）设P （0，m ），由题意，12•|m ﹣1|•2＝4， 解得，m ＝5或﹣3，∴P （0，5）或（0，﹣3）．【点睛】本题考查作图-平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．25．（1）见解析；（2）①(1,2)C ；②图见解析，(2,1)D --【分析】（1）根据点A 、B 坐标即可建立坐标系；（2）①由（1）中所作图形即可得；②根据平移的定义作图可得．【详解】（1）建立平面直角坐标系如图所示：（2）①所画图形如图所示，点C的坐标为（1，2）；②如图所示，线段CD即为所求，点D的坐标为（-2，-1）．【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质及平移变换作图，解题关键是根据题意建立直角坐标系，然后根据平移规律找出平移后的对应点．26．（1）见详解；（2）体育场（-2，4），市场（6，4），超市（4，-2），宾馆（4，3）；（3）11 2．【分析】（1）以火车站向左2个单位，向下1个单位为坐标原点建立平面直角坐标系即可；（2）根据平面直角坐标系写出体育场、市场、超市的坐标即可，（3）利用S△O1B1C1=S△OBC=S梯形BAC1C-S△BAO-S△COC1求解即可．【详解】解：（1）建立平面直角坐标系如图所示；（2）体育场（-2，4），市场（6，4），超市（4，-2），宾馆（4，3）．（3）如图1，连接BB1交x轴于点A，连接CC1，S△O1B1C1=S△OBC=S梯形BAC1C-S△BAO-S△COC1=12（2+3）×512-×1×212-×4×3=112．【点睛】本题考查了坐标表确定位置，准确找出坐标原点的位置是解题的关键．。
认识平面直角坐标系小学六年级数学课件
反射变换
反射变换的定义： 将平面直角坐标 系中的点按照一 定的对称轴进行 反射，得到新的 点的坐标。
反射变换的分类： 根据对称轴的不 同，可以分为x 轴反射、y轴反 射和原点对称反 射等。
反射变换的性质： 反射变换具有对 称性，即原点对 称的点在反射后 仍然对称。
反射变换的应用： 在几何、代数和 物理学等领域中， 反射变换都有广 泛的应用。
坐标系的平移不变性
添加标题
定义：平移不变性是指平面直角坐标系中，图形或点在平移过程中，其坐标值保持不变的性质。
添加标题
性质：在平面直角坐标系中，任意一个点P(x,y)经过平移变换后，其新的坐标P'(x',y')与原坐标 P(x,y)之间的关系为x'=x+h, y'=y+k，其中h和k分别为x轴和y轴方向的平移距离。
汇报人：XX
原点
定义：原点是平面直角坐标系 中的基准点，用0表示
坐标：原点的坐标为(0，0)
性质：原点是所有点的对称中 心
作用：在平面直角坐标系中， 原点可以作为起点或终点，用 于表示任意点的位置
x轴与y轴
x轴的定义与性质
y轴的定义与性质
x轴与y轴的关系
特殊点在x轴与y 轴上的表示
第一象限： x>0, y>0
此处输入你的智能图
形项正文
象限与角平分线
第二象限： x<0, y>0
此处输入你的智能图
形项正文
第三象限： x<0, y<0
此处输入你的智能图
形项正文
第四象限： x>0, y<0 角平分线
角平分线
角平分线的 定义
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函数,平面直角坐标系
函数，平面直角坐标系函数是一个数学概念，是一个映射关系，指实数集合内的任一元素都有且仅有一个相关联的另一元素。
在平面直角坐标系中，我们可以以函数图像的方式表示函数的性质，包括其定义域、值域、单调性、对称性、奇偶性等。
本文将对函数在平面直角坐标系中的表示及其相关性质进行介绍。
一、坐标系及函数的定义平面直角坐标系是一个由横纵坐标轴和它们的正负半轴组成的二维平面，通常用X轴和Y轴表示。
在这个坐标系中，点的位置是由它在X轴与Y轴上的坐标决定的。
函数是一个映射，它是一个从一个集合到另一个集合的规则。
在数学中，函数通常被表示为一系列的输入与输出变量，即f(x) = y，其中f是函数符号、x是输入变量，y是输出变量。
函数可以用一张图像来表示。
二、函数的基本性质函数的图像可以表示出函数的一些基本性质，如函数的定义域、值域、单调性、对称性、奇偶性等。
定义域：定义域指函数有效的输入值范围，通常用集合的形式表示。
如果定义域中的某一个值会导致函数无意义或报错，那么该值就不在定义域内。
值域：值域指函数可输出的实际值的范围。
值域由图像框定，根据函数的单调性和对称性，可以很容易确定其值域。
单调性：单调性是指在函数定义域内函数值的增减关系。
如果函数在定义域内单调递增，那么它的图像就是从左到右逐渐升高的。
如果函数在定义域内单调递减，那么它的图像就是从左到右逐渐降低的。
对称性：对称性是指函数图像关于某条线或某点的对称性。
当函数关于X轴或Y轴对称时，称函数图象关于X轴或Y轴对称。
当函数关于原点对称时，称函数图象关于原点轴对称。
奇偶性：奇偶性是指函数的性质：当任意一个输入变量的相反数被输入到函数中时，函数的输出值是否保持不变。
如果函数在其定义域内关于原点对称，则称之为奇函数。
如果函数恒等于它的相反数，即f(-x) = -f(x)，则称之为偶函数。
三、常见函数的图像在平面直角坐标系中，有许多常见的函数，它们的图像则有着相应的特点。
直线函数：直线函数的图像是一条直线，其一般式为y = kx + b，其中k为斜率，b 为截距。
2022年中考数学二次函数(解析版)
热点05 二次函数在中考中，二次函数可以是以选择、填空题的形式考察，也可以以解答题的形式考察，题目的难度都在中上等，也常作为中考中难度较大的一类压轴题的问题背景，占的分值也较高。
而考察的内容主要有：二次函数图象与性质、解析式的求法、几何变化、以及函数与几何图形相关的综合应用等。
其中，二次函数与其他综合相关的实际问题，虽然不是压轴出题，但是一般计算量较大，需要考试特别注意自己的计算不要有失误。
1. 二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的解析式：根据已知条件，选择合适的表达式求解；一般情况下：①当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时，常用一般式y ＝ax 2+bx+c （a ≠0）求其表达式；②当已知抛物线的顶点坐标（或者是对称轴）时，常用顶点式y ＝a （x-m ）2+h （a ≠0）求其表达式；③若（x 1，0）(x 2，0)是抛物线与x 轴的两个交点坐标，故知道抛物线与x 轴两交点坐标时，常用交点式y ＝a （x-x 1）(x-x 2)（a ≠0）求其表达式；2.二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 图象及其性质：牢记顶点公式、注意识别图象与系数的关系、注意抛物线的对称性及其性质的应用；其中：二次函数符号判断类问题大致分为以下几种基本情形∶①a 、b 、c 单个字母的判断，a 由开口判断，b 由对称轴判断（左同右异），c 由图象与y 轴交点判断;②含有a 、b 两个字母时，考虑对称轴;③含有a 、b 、c 三个字母，且a 和b 系数是平方关系，给x 取值，结合图像判断， 另：含有 a 、b 、c 三个字母，a 和b 系数不是平方关系，想办法消掉一到两个字母再判断∶④含有b 2和 4ac ，考虑顶点坐标，或考虑△.⑤其他类型，可考虑给x 取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图像增减性进行判断。
3.二次函数的简单应用：认真审题、分清问题类型、注意计算；利润最大化问题与二次函数模型：两公式：①单位利润=售价-进价；②总利润=单位利润×销量；两转化：①销量转化为售价的一次函数；②总利润转化为售价的二次函数；函数性质：利用二次函数的性质求出在自变量取值范围内的函数最值；与现实生活结合类问题，常需要自己先建立合适的平面直角坐标系，之后再根据信息做题；二次函数在中考中单独出题和结合出题的形式都比较常见，和实际应用结合时，多考察现实生活中的“生意问题”或者“省钱问题”；数学模型考察热点有：一次函数与二次函数结合问题、二次函数图象与性质、二次函数与几何图形结合的面积最值问题、二次函数与其他几何图形结合的点在坐标特征问题等。
2025高考数学专项复习运用“对称变换”的思想方法解题含答案
运用“对称变换”的思想方法解题在中学数学中，对称的问题主要有以下4种形式:1.中心对称:①点关于点的对称；②曲线关于点的对称。
2.轴对称:①点关于直线的对称；②曲线关于直线的对称。
3.平面对称:①点关于平面的对称；②曲线关于平面的对称。
4.多项式对称:①一般轮换对称；②顺序轮换对称。
几何中的轴(面)对称和中心对称是最直观的对称，平面图形绕其内一定点旋转2πnn ∈N *的变换，也是常见的对称变换。
典型例题1定理一:函数y =f x 满足f a +x =f a -x 的充要条件是y =f x 的图像关于直线x =a 对称。
定理二:函数y =f x 满足f a +x -b =b -f a -x 的充要条件是y =f x 的图像关于点a ，b 成中心对称。
定理三:函数y =f x 满足F x =f x +a -f a 为奇函数的充要条件是y =f x 的图像关于点a ，f a 成中心对称(注:若a 不属于x 的定义域，则f a 不存在．依次解答如下问题:(1)设函数y =f x 的图像关于直线x =1对称，若x ≤1时，y =x 2+1，求x >1时y 的解析式；(2)若函数y =x 2+mx +1x的图像关于点0，1 中心对称，求m 的值；(3)已知函数f x 在-∞，0 ∪0，+∞ 上的图像关于点0，1 中心对称，且当x ∈0，+∞ 时f x =x 2+x +1.根据定理二求出f x 在-∞，0 上的解析式；(4)设函数y =f x ，y =g x 在定义域R 上的图像都是关于点a ，b 中心对称，则对于函数y =f x +g x ，y =f x -g x ，y =f x ⋅g x 及y =f xg x ，指出其中一个函数的图像一定关于点成中心对称，再指出其中一个函数的图像可以不关于点中心对称，并分别说明理由；(5)讨论函数f x =x -23 x +53 +x -3 -2x -83的图像的对称性。
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判断平面直角坐标系中的对称性在平面直角坐标系中，对称性是指图形在某个特定的变换下不变。
这些变换包括关于x轴、y轴或原点的对称变换，以及关于某一直线或点的对称变换。
通过判断图形是否具有对称性，我们可以更好地理解和描述图形的性质和特点。
下面将介绍如何判断平面直角坐标系中的对称性。
一、关于x轴对称：
当一个图形在关于x轴的对称变换下不变时，我们称其具有关于x 轴的对称性。
具体判断方法如下：
1. 对于一段直线，如果该直线与x轴垂直，那么它是关于x轴对称的。
例如：y = a（a为常数）。
2. 对于一个点(x, y)，如果这个点与另一个点(x, -y)关于x轴对称，那么这个点也具有关于x轴对称性。
3. 对于一个函数图像，如果该函数图像关于x轴对称（即对于任意点(x, y)在图像上，点(x, -y)也在图像上），那么该函数具有关于x轴的对称性。
例如：y = sin(x)。
二、关于y轴对称：
当一个图形在关于y轴的对称变换下不变时，我们称其具有关于y 轴的对称性。
具体判断方法如下：
1. 对于一段直线，如果该直线与y轴垂直，那么它是关于y轴对称的。
例如：x = a（a为常数）。
2. 对于一个点(x, y)，如果这个点与另一个点(-x, y)关于y轴对称，那么这个点也具有关于y轴对称性。
3. 对于一个函数图像，如果该函数图像关于y轴对称（即对于任意点(x, y)在图像上，点(-x, y)也在图像上），那么该函数具有关于y轴的对称性。
例如：y = x^2。
三、关于原点对称：
当一个图形在关于原点的对称变换下不变时，我们称其具有关于原点的对称性。
具体判断方法如下：
1. 对于一段直线，如果该直线通过原点且斜率不存在或为0，那么它是关于原点对称的。
2. 对于一个点(x, y)，如果这个点与另一个点(-x, -y)关于原点对称，那么这个点也具有关于原点的对称性。
3. 对于一个函数图像，如果该函数图像关于原点对称（即对于任意点(x, y)在图像上，点(-x, -y)也在图像上），那么该函数具有关于原点的对称性。
例如：y = |x|。
四、关于直线或点对称：
除了关于坐标轴和原点的对称性外，图形还可以具有关于任意直线或点的对称性。
具体判断方法如下：
1. 对于一个点(x, y)，如果这个点与关于直线L的对称点的连线垂直于直线L，那么这个点具有关于直线L的对称性。
2. 对于一个函数图像，在直线L所在的平面上选择若干点，如果这些点与它们关于直线L对称的点的连线垂直于直线L，那么该函数图像具有关于直线L的对称性。
综上所述，我们可以通过以上方法来判断平面直角坐标系中的对称性。
对称性是图形研究中的重要概念，通过判断图形的对称性，我们能够更好地理解和解释图形的性质，进一步推导和证明图形的相关结论，为问题的解决提供有力支持。
（以上为参考内容，仅供参考）。