固体物理五六章小测试试题与答案

一、填空题
1. 在边长为L 的立方金属中，自由电子的能量可以用一组量子数表示为。

2
22222()2x y z n n n m L π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
2. 在能量标度下，费米自由电子气系统的态密度N(E)=。

)(21
CE E g =3. 自由电子气系统的费米能级为0
F E ，k 空间费米半径，电子的平均能量。

2
2
F
mE
4. 金属自由电子气的摩尔比热为。

5. 两块不同的金属相接触时，电子从化学势的金属流向化学势的金属。

高 低
6. 电子在三维周期性晶格中波函数方程的解具有形式？式中在晶格平移下保持不变。

r
k i k k e r u r
⋅=)()(ψ，)(r u k
7. 禁带出现在上，这表示在该处势场对电子存在。

布里渊区边界，强烈散射
8. 在一维近自由电子近似中，根据非简并微扰理论，
电子的能量为，电子的波函数为， 它
表示电子波函数由和迭加而成。

平面波，散射波
9. 晶体的第n 个禁带宽度E g 为。

n g V E 2=
10. 在晶体中，能级越低的能带越，能级越高的能带越。

窄，宽
11. 将电子看作是经典粒子时，电子的运动速度，电子的有效质量。

12. 能带顶部电子的有效质量为（填写正，或者负）；能带底部电子的有效质量为（填写正，
或者负）。

负，正
13. 电子占据了一个能带中所有的状态，称该能带为，它对电导。

电子占据了一个能带中的
部分状态，称该能带为，它对电导。

满带，没有贡献；不满带，有贡献。

二、简述题
1. 画图简要说明：为什么温度较高时可以不考虑电子对固体热容量的贡献？为什么温度较
低时必须考虑电子对固体热容量的贡献？ 见课本P148
2. 简述近自由电子近似模型、方法和所得到的主要结论。

答：
考虑金属中电子受到离子（包括原子核和芯电子）周期性势场的作用，假定周期性势场的起伏较小。

作为零级近似，可以用势场的平均值代替离子产生的势场：()V V r =。

周期性势场的
起伏量()V r V V -=∆
作为微扰来处理。

当两个有相互自由的状态k 和'n k k G =+
的零级能量相等时，一级修正波函数和二级
能量修正趋于无穷大。

即：22n k k G =+ ，或者1()02
n n G k G ⋅+=
，在布里渊区边界处，
能量发生突变，形成一系列的能带。

3. 简述电子有效质量为负值的物理解释？ 答：
电子在受到外力场作用下，动量会发生变化，同时，电子又以Bragg 反射的形式与晶格交换动量。

如果，电子从外场获得的动量大于电子传递给晶格的动量，则表现的总的效应为：在外力场的作用下，电子的动量增加，从而体现为m*>0;如果电子从外场获得的动量小于它传递给晶格的动量，则表现的总的效应为：在外力场的作用下，电子的动量反而减小，从而体现为m*< 0。

4. 根据能带理论简述金属、半导体和绝缘体的导电性。

答：
对于金属：电子在能带中的填充可以形成不满带，即导带，因此它们一般时导体。

对于半导体：从能带结构来看与绝缘体相似，当半导体禁带宽度较绝缘体的窄，依靠热激发即可以将满带中的电子激发到导带中，因而具有导电能力。

对于绝缘体：价电子刚好填满了许可的能带，形成满带。

导带和价带之间存在一个很宽的禁带，所以在电场的作用下没有电流产生。

三、计算题：
1. 限制在边长为L 的正方形中的N 个电子，电子的能量为：)(22
22y x k k m
E += 1） 求能态密度。

2）求二维系统在绝对零度时的费米能量。

解：1）
将)(22
22y x k k m
E +=
改写为2222 mE k k y x =+，对于给定的能量，方程在波矢空间是一个圆。

在k 空间，单位面积内的状态数：2
2
)2(2πL ⋅
则半径22 mE k =的圆内的状态数：E mL k L Z 22
2
22)2(2
πππ=⋅⋅=
能量E 到E ＋dE 之间的状态数：dE mL dZ 2
2
π= 能态密度为：2
2)( πmL
E N =
2） 能量E 到E ＋dE 之间的电子数目：dE E f mL
dE E f E N dN )()()(2
2
π== 在绝对零度T ＝0时：⎰
==
00
222
2F
E F E mL dE mL N
ππ， 所以2
2
0m L
N E F
π= 2. 有一个一维单原子链，原子间距a ，总长度L ＝Na 。

用紧束缚近似方法求出与原子s 态能级相对应的能带函数)(k E s。

解：在计入最近邻格点原子的相互作用时，s 态原子能级相对应的能带)(k E s
可以表示为：
∑=⋅-
-=nearest
R R ik s
s s s s
e
R J J E k E )()(0
s 原子态波函数具有球对称性：∑=⋅--=nearest
R R ik s s s s
e
J J E k E 1
0)(
有两个最近邻的格点，其坐标为：a a -{
代入∑=⋅--=nearest
R R ik s s s s
e
J J E k E 1
0)(得到：)()(10ika ika s s e e J J E k E -+--=
所以，能带函数为：ka J J E k E s s cos 2)(10--=。