高二数学上学期期末考试基础试题 文含解析 试题
2022-2023学年高二上学期期末考试数学(文)试题
2022-2023学年度上学期期末考试高二数学试卷（文科）第Ⅰ卷（选择题，满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设a ∈R ，则“1a >”是“21a >”的（ ）． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件2．直线1:30l x ay ++=和直线()2:230l a x y a -++=互相平行，则a 的值为（ ）． A ．1-或3B ．3-或1C ．1-D ．3-3、设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）． A ．若m α∥，n α∥，则m n ∥B ．若αβ∥，m α⊂，n β⊂，则m n ∥C ．若m αβ⋂=，n α⊂，n m ⊥，则n β⊥D ．若m α⊥，m n ∥，n β⊂，则αβ⊥4．已知圆的方程为2260x y x +-=，则过点()1,2的该圆的所有弦中，最短弦长为（ ）．A ．12B ．1C ．2D ．45．函数()1sin f x x =+，其导函数为()f x '，则π3f ⎛⎫'=⎪⎝⎭（ ）． A ．12B ．12-C ．32 D 36．已知抛物线24x y =上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到x 轴的距离为（ ）． A ．12B ．1C ．2D ．47．已知命题:p x ∀∈R ，210ax ax ++>；命题:q x ∃∈R ，20x x a -+=．若p q ∧是真命题，则a 的取值范围是（ ）．A ．(),4-∞B ．[]0,4C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．若函数()219ln 2f x x x =-在区间[]1,1a a -+上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．12a <≤B ．4a ≥C ．2a ≤D ．03a <≤9．已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，12CC =，则直线1BC 和平面1DBBD 所成角的正弦值等于（ ）． A ．32B ．52C ．105D ．101010．已知三棱锥P ABC -的三条侧棱两两互相垂直，且5AB =，7BC =，2AC =．则此三棱锥的外接球的体积为（ ）． A ．8π3B ．82π3C ．16π3D ．32π311．已知函数()21,12,1ax x f x xx x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-12．已知1F ，2F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2122e e +的最小值为（ ）． A ．6B ．3C ．6D ．3第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上） 13．曲线21y x x=+在点()1,2处的切线方程为__________． 14．当直线()24y k x =-+和曲线24y x =-有公点时，实数k 的取值范围是__________． 15．点P 是椭圆221169x y +=上一点，1F ，2F 分别是椭圆的左，右焦点，若1212PF PF ⋅=．则12F PF ∠的大小为__________．16．若方程22112x y m m+=+-所表示曲线为C ，则有以下几个命题： ①当()1,2m ∈-时，曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆； ②当()2,m ∈+∞时，曲线C 表示双曲线； ③当12m =时，曲线C 表示圆； ④存在m ∈R ，使得曲线C 为等轴双曲线． 以上命题中正确的命题的序号是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题10分）已知2:280p x x --+≥，()22:2100q x x m m -+=≤>．（1）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．（2）若“p ⌝”是“q ⌝”的充分条件，求实数m 的取值范围． 18．（本小题12分）求下列函数的导数：（1）sin xy e x =； （2）2311y x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭； （3）（3）sin cos 22x xy x =-． 19．（本小题12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=︒．（1）证明：直线BC ∥平面PAD ；（2）若PCD △的面积为7P ABCD -的体积． 20．（本小题12分）已知抛物线()21:20C y px p =>过点()1,1A ． （1）求抛物线C 的方程；（2）过点()3,1P -的直线与抛物线C 交于M ，N 两个不同的点（均与点A 不重合），设直线AM ，AN 的斜率分别为12k k ，求证：12k k 为定值． 21．（本小题12分）已知若函数()34f x ax bx =-+，当2x =时，函数()f x 有极值43-． （1）求函数解析式； （2）求函数的极值；（3）若关于x 的方程()f x k =有三个零点，求实数k 的取值范围． 22．（本小题12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>3． （1）求椭圆C 的离心率；（2）点33,M ⎭在椭圆C 上，不过原点O 与直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，与直线OM 相交于点N ，且N 是线段AB 的中点，求OAB △的最大值．四平市第一高级中学2019-2020学年度上学期期末考试高二数学试卷（文科）参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACDCACDACBCC13．10x y -+= 14．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭15．π316．②③ 三、解答题17．解：（1）因为2:280p x x --+≥，()22:2100q x x m m -+-≤>．故:42p x -≤≤，:11q m x m -≤≤+．若p 是q 的充分条件，则[][]4,21,1m m --⊆-+， 故4121mm-≥-⎧⎨≤+⎩，解得5m ≥．（2）若“p ⌝”是“q ⌝”的充分条件，即q 是p 的充分条件，则[][]1,14,2m m -+⊆-，即14120m m m -≥-⎧⎪+≤⎨⎪>⎩，解得01m <≤．即实数m 的取值范围为(]0,1．18．解：（1）()()sin sin sin cos xxxx y ex e x ex e x '''=+=+．（2）因为3211y x x =++，所以2323y x x '=-． （3）因为1sin 2y x x =-，所以11cos 2y x '=-． 19．解：（1）四棱锥P ABCD -中，因为90BAD ABC ∠=∠=︒，所以BC AD ∥． 因为AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ， 所以直线BC ∥平面PAD ． （2）由12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=︒． 设2AD x =，则AB BC x ==，2CD x =．设O 是AD 的中点，连接PO ，OC ． 设CD 的中点为E ，连接OE ，则22OE x =．由侧面PAD 为等边三角形，则3PO x =，且PO AD ⊥．平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ⋂底面ABCD ，且PO ⊂平面PAD ． 故PO ⊥底面ABCD ．又OE ⊂底面ABCD ，故PO OE ⊥，则2272x PE PO OE =+=， 又由题意可知PC PD =，故PE CD ⊥．PCD △面积为271272PE CD ⋅=，即：1722722x x =， 解得2x =，则3PO = 则()()111124223433232P ABCD V BC AD AB PO -=⨯+⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯=． 20．解：（1）由题意抛物线22y px =过点()1,1A ，所以12p =． 所以抛物线的方程为2y x =．（2）设过点()3,1P -的直线l 的方程为()31x m y -=+， 即3x my m =++，代入2y x =得230y my m ---=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则12y y m +=，123y y m =-， 所以()()1212122212121211111111111y y y y k k x x y y y y ----⋅=⋅=⋅=----++ ()()12121111312y y y y m m ===-++++--+．所以12k k ⋅为定值．21．解：（1）()23f x ax b '=-．由题意知()()2120428243f a b f a b '=-=⎧⎪⎨=-+=-⎪⎩，解得134a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩． 所以所求的解析式为()31443f x x x =-+． （2）由（1）可得()()()2422f x x x x '=-=+-． 令()0f x '=得2x =或2x =-．当x 变化时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：x(),2-∞-2-()2,2-2 ()2,+∞()f x ' ＋ 0 － 0 ＋ ()f x↑极大值↓极小值↑所以当2x =-时，函数()f x 有极大值()23f -=； 当2x =时，函数()f x 有极小值()423f =-． （3）由（2）知，可得当2x <-或2x >时，函数()f x 为增函数； 当22x -<<时，函数()f x 为减函数． 所以函数()31443f x x x =-+的图象大致如图，由图可知当42833k -<<时，()f x 与y k =有三个交点，所以实数k 的取值范围为428,33⎛⎫-⎪⎝⎭． 22．解：（1）由题意，得3a c -=，则()2213a cb -=． 结合222b ac =-，得()()22213a c a c -=-，即22230c ac a -+=． 亦即22310e e -+=，结合01e <<，解得12e =． 所以椭圆C 的离心率为12． （2）由（1）得2a c =，则223b c =．将33,2M ⎭代入椭圆方程2222143x y c c +=，解得1c =． 所以椭圆方程为22143x y +=． 易得直线OM 的方程为12y x =． 当直线l 的斜率不存在时，AB 的中点不在直线12y x =上， 故直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠，与22143x y +=联立， 消y 得()2223484120k x kmx m +++-=， 所以()()()2222226443441248340k m k mk m ∆=-+-=+->．设()11,A x y ，()22,B x y ，则122834kmx x k +=-+，212241234m x x k -=+．由()121226234m y y k x x m k +=++=+，得AB 的中点2243,3434km m N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 因为N 在直线12y x =上，所以224323434km m k k -=⨯++，解得32k =． 所以()248120m ∆=->，得1212m -<<，且0m ≠．则()222212121313412394122236m AB x x x x m m -=+-=-=-又原点O 到直线l 的距离213m d =所以()2222221393312121232666213AOBm m m S m m m -+=-=-⋅=△． 当且仅当2212m m -=，即6m =时等号成立，符合1212m -<<0m ≠．所以AOB △3。
安徽省黄山市2018-2019学年高二上学期期末考试数学(文)试题 Word版含解析
黄山市2018～2019学年度第一学期期末质量检测高二（文科）数学试题第Ⅰ卷（选择题满分60分）一，选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地．）1.若直线a平行于平面α,则下面结论错误地是( )A. 直线a上地点到平面α地距离相等B. 直线a平行于平面α内地所有直线C. 平面α内有无数款直线与直线a平行D. 平面α内存在无数款直线与直线a成90°角【结果】B【思路】【思路】由题意,依据两直线地位置关系地判定,以及直线与平面地位置关系,逐一判定,即可得到结果.【详解】由题意,直线a平行于平面α,则对于A中,直线a上地点到平面α地距离相等是正确地。
对于B中,直线a与平面α内地直线可能平行或异面,所以错误。
对于C中,平面α内有无数款直线与直线a平行是正确地。
对于D中,平面α内存在无数款直线与直线a成90°角是正确地,故选D.【点睛】本题主要考查了空间中两直线地位置关系地判定,其中解答中熟记空间中两款直线地三种位置关系是解答地关键,着重考查了推理与论证能力,属于基础题.2.在空间直角坐标系中,点有关平面地对称点是( )A. B. C. D.【结果】D【思路】【思路】空间直角坐标系中任一点有关坐标平面地对称点为,即可求得结果【详解】依据空间直角坐标系中点地位置关系可得点有关平面地对称点是故选【点睛】本题考查了对称点地坐标地求法,解决此类问题地关键是熟练掌握空间直角坐标系,以及坐标系中点之间地位置关系,属于基础题。
3.已知,则“”是“直线与直线垂直”地( )A. 充分不必要款件B. 必要不充分款件C. 充要款件D. 既不充分也不必要款件【结果】A【思路】【思路】当时,判断两直线是否垂直,由此判断充分性,当两直线垂直时,依据两直线垂直地性质求出地值,由此判断必要性,从而得到结果【详解】充分性：当时,两款直线分别为：与此时两款直线垂直必要性：若两款直线垂直,则,解得故“”是“直线与直线垂直”地充分不必要款件故选【点睛】本题是一道相关充分款件和必要款件地题目,需要分别从充分性和必要性两方面思路,属于基础题。
东北师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题(解析版)
注意事项：1．答题前，考生须将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项东北师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题是符合题目要求的．1. 直线1:10l ax y ++=与直线()2:2320l x a y +−+=平行，则a 的值为（ ）A. 2−B. 1−C. 1D. 2【答案】D 【解析】【分析】先根据12l l //求解出a 的值，然后再进行检验是否重合，由此求解出a 的值.【详解】因为12l l //，所以()3120a a ×−−×=，解得1a =或2a =， 当1a =时，1:10l x y ++=，2:2220l x y ++=，此时12,l l 重合，舍去； 当2a =时，1:210l x y ++=，2:220l x y ++=，此时12l l //满足， 故选：D.2. 据典籍《周礼·春官》记载，“宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音．如果把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音节，“羽”不为首音节，可以排成不同音序的种数是（ ） A. 36 B. 60C. 72D. 78【答案】D 【解析】【分析】将“宫”看为特殊元素，分类讨论：“宫”为首音节、“宫”不为首音节，由此求解出总的排法数. 【详解】①若“宫”为首音节，可排成的音序有44A 24=种，②若“宫”不为首音节，从“宫”“羽”之外的三个音阶中选一个作为首音节有13C 种选法， 再安排“宫”音阶有13C 种排法，剩余三个音阶可以全排列有33A 种排法，所以②一共有113333C C A 54××=种排法， 由分类加法计数原理可知，一共有245478+=种排法， 故选：D.3. 已知点()5,0A ，点B 在圆22(1)4x y −+=上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程是（ ） A. 22680x y x +−+= B. 22650x y x +−+= C. 22680x y x +++= D. 22650x y x +++=【答案】A 【解析】【分析】设出,B M 的坐标，利用相关点法求解出M 的轨迹方程. 【详解】设()()00,,,B x y M x y ，由题意可知005202x x y y+ =+ = ，所以00252x x y y =− = ， 又因为()220014x y −+=， 所以()()2225124x y −−+=， 化简可得22680x y x +−+=，所以M 的轨迹方程为22680x y x +−+=， 故选：A.4. 已知直线0ax y +=是双曲线2221(0)4x y a a −=>的一条渐近线，则该双曲线的半焦距为（ ）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的标准方程和渐近线方程求出a 值，求出半焦距，判断选项.【详解】由0ax y +=是双曲线22214x y a −=()0a >的一条渐近线，则2a a=，解得a =故222246c a b =+=+=,则c =故选：A5. 将4名志愿者分别安排到,,A B C 三个社区进行社会实践活动，要求每个社区至少安排一名志愿者，每名志愿者只能去一个社区，若志愿者甲必须安排到A 社区，不同的安排方法有（ ）种 A. 6 B. 9C. 12D. 36【答案】C 【解析】【分析】根据A 社区的志愿者人数进行分类讨论，然后由分类加法计数原理求解出结果. 【详解】①若A 社区仅有志愿者甲，则剩余3名志愿者需要分成2组并分配到,B C 社区，此时安排的方法数为：1232C A 6×=种； ②若A 社区还有另外一名志愿者，则先选出这名志愿者有13C 种方法， 再将剩余2名志愿者分配到,B C 社区有22A 种方法，根据分步乘法计数原理可知②的安排方法数为：1232C A 6×=种， 所以一共有6612+=种安排方法， 故选：C.6. 已知B 是椭圆2213x y +=的上顶点，点M 是椭圆上的任意一点，则MB 的最大值为（ ）A. 2B.C.D.92【答案】C 【解析】【分析】设出M 点坐标，利用坐标表示出MB 并进行化简，再根据椭圆的有界性结合二次函数的性质求解出MB 的最大值.【详解】设()00,M x y ，()0,1B ，且220013x y +=，所以MB =，又因为[]01,1y ∈−，所以当012y =−时取最大值，所以max MB = 故选：C.7. 一枚硬币掷三次，已知一次正面朝上，那么另外两次都是反面朝上的概率为（ ） A.17B.37C.18D.38【答案】B 【解析】【分析】先分析试验的基本事件总数，然后考虑“有一次正面朝上”的基本事件数，再分析“另外两次都是反面朝上”的基本事件数，根据基本事件数的比值可求结果.（正正正），（正正反），（正反正），（正反反），（反正正），（反正反），（反反正），（反反反），共8个， 有正面朝上的基本事件有：（正正正），（正正反），（正反正），（正反反），（反正正），（反正反），（反反正），共7个， 其中有两次都是反面朝上的基本事件有： （正反反），（反正反），（反反正），共3个， 故所求概率为37， 故选：B.8. 已知抛物线2:8E x y =，直线:360l ax y a +−−=，过抛物线的焦点F 作直线l 的垂线，垂足为P ，若点Q 是拋物线E 上的动点，则FQ PQ +的最小值为（ ）A. 3B. 4C.72D.172【答案】C 【解析】【分析】通过直线l 过定点A ()3,6，得到P 在以AF 为直径的圆上，将Q 到P 的距离转化为到圆心的距离，再结合抛物线的定义即可求出FQ PQ +的最小值.【详解】因为直线:360l ax y a +−−=，即()-360a x y +−=，过定点()3,6，记作点A ， 因为FP l ⊥，垂足为P ，所以90FPA ∠=°，又()0,2F ， 故点P 的轨迹为以FA 为直径的圆，半径1522rFA =，圆心为3,42，记作点B ， 又因为Q 在抛物线2:8E x y =上，其准线为=2y −， 所以FQ 等于Q 到准线的距离，过点Q 做准线的垂线，垂足为R ，要使FQ PQ +取到最小，即RQ PQ +最小， 此时，,,P Q R 三点共线，且三点连线后直线PR 过圆心B ，如图所示，此时()min574222FQ PQBR r +=−=+−=. .二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 3名男生和3名女生站成一排，则下列结论中正确的有（ ） A. 3名男生必须相邻的排法有144种 B. 3名男生互不相邻的排法有72种 C. 甲在乙的左边的排法有360种 D. 甲、乙中间恰好有2人的排法有144种【答案】ACD 【解析】【分析】A ：利用捆绑法分析；B ：利用插空法分析；C ：先考虑6人全排列，然后甲在乙的左边的排法数占一半，由此求解出结果；D ：先选2人与甲乙捆绑在一起，然后再看成3个元素全排列. 【详解】对于A ：将3名男生捆绑在一起看成一个元素，所以排法有3434A A 144×=种，故A 正确；对于B ：将3名男生放入到3名女生形成的4个空位中，所以排法有3334A A 144×=种，故B 错误； 对于C ：3名男生和3名女生全排列，排法有66A 720=种， 其中甲在乙的左边的排法占总数的12，所以有17203602×=种排法，故C 正确； 对于D ：先选2人与甲乙一起看成一个元素，再将此一个元素与剩余2人全排列，所以有排法223423A A A 144××=种，故D 正确； 故选：ACD.10. 二项式61)x−的展开式中（ ） A. 前三项的系数之和为22 B. 二项式系数最大的项是第4项 C. 常数项为15D. 所有项的系数之和为64 【答案】BC 【解析】【分析】首先写出二项式展开式的通项，选项A 中根据通项求前三项系数之和即可；选项B 中二项式系数6C k(0,1,2,,6)k =…中最大的是36C ；选项C ，常数项满足通项中x 的指数为0，可得2k =；选项D 中将1x =代入即可.【详解】二项式61)x−展开式的通项为：()()36321661C 1C 0,1,2,,6kk kk kkk T x k x −−+ =⋅−=−=…； 对于选项A ，前三项的系数之和为：()()()0120126661C 1C 1C 10−+−+−=，A 错误；对于选项B ，二项式系数6C k (0,1,2,,6)k =…中最大的是36C ，恰好是第4项，B 正确；对于选项C ，常数项时，通项公式中满足3302k −=，得2k =，即3T =()22061C 15x −=，C 正确； 对于选项D ，将1x =代入，可得所有项的系数之和，结果为0，D 错误； 故选：BC.11. 盒子中有12个乒乓球，其中8个白球4个黄球，白球中有6个正品2个次品，黄球中有3个正品1个次品．依次不放回取出两个球，记事件=i A “第i 次取球，取到白球”，事件i B =“第i 次取球，取到正品”，1,2i =．则下列结论正确的是（ ）A. ()1123P A B =B. ()212P B =C. ()2113P A B = D. ()2134P B A =【答案】AD 【解析】【分析】利用古典概型的概率公式及排列组合数，求出()1P B ，()11P A B ，()2P B ，()21P A B ，()1P A ，()12P A B ，再利用条件概率公式即可判断各个选项.【详解】对A ，()193==124P B ，()1161==122P A B ，所以()()()111112==3P A B P A B P B ,故A 正确； 对B ，事件2B =“第2次取球，取到正品”，()2119392212A A A 3A 4P B +==，故B 错误； 对C ，事件21A B =“第1次取球，取到正品且第2次取球，取到白球”，包括（正白，正白），（正白，次白），（正黄，正白），（正黄，次白），共有65+62+36+32=66××××种情况，()21212661=A 2P A B =，故C 错误； 对D ，事件12A B =“第1次取球，取到白球且第2次取球，取到正品”，包括（白正，白正），（白正，黄正），（白次，白正），（白次，黄正），共有65+63+26+23=66××××种情况，()12212661=A 2P A B =，又因为()182==123P A ，()()()122113==4P A B P B A P A ,故D 正确； 故选：AD.12. 设12,F F 分别是双曲线22214x y b−=的左右焦点，过2F 的直线与双曲线的右支交于,A B 两点，12AF F △的内心为I ，则下列结论正确的是（ ） A. 若1ABFB. 若直线OA 交双曲线的左支于点D ，则1//F D ABC. 若1,F H AI H ⊥为垂足，则2OH =D. 12AF F △的内心I 一定在直线4x =上 【答案】ABC 【解析】【分析】A ：利用等边三角形性质以及双曲线定义得到,a c 关系式，则离心率可知；B ：利用双曲线的对称性以及三角形的全等关系进行证明；C ：根据角平分线的性质结合双曲线的定义求解出OH ；D ：利用切线性质以及双曲线的定义进行求解.【详解】对于A ：若1ABF 为正三角形，则AB x ⊥轴，由22221x c x y ab = −= 得2x cb y a = =± ，所以222b AF BF a ==， 由等边三角形性质可知：21222b AF AF a==，所以2122b AF AF a a −==， 所以22222a b c a ==−，所以2223c e a==，所以e =A 正确； 对于B ：由双曲线的对称性可知OA OD =，如下图，又因为1212,OF OF DOF AOF =∠=∠，所以1DOF 与2AOF △全等， 所以12ODF OAF ∠=∠，所以1//F D AB ，故B 正确； 对于C ：延长1F H 交AB 延长线于G ，如下图所示，由角平分线的性质可知1F AH GAH ∠=∠，且190,AHF AHG AH AH °∠===，所以1AHF 与AHG H GH =，所以H 为1F G 中点， 又因为O 为12F F 中点，所以212212222AG AF AF AF OH GF a −−=====，故C 正确； 对于D ：设三个切点为,,M N P ，连接,,MI NI PI ，如下图，由切线性质可知：1122,,AM AN F M F P F PF N ===， 设OP x =，因为12121224AF AF F M AM AN F N F P F P a −=+−−=−==，所以()4c x c x +−−=，所以2x =， 所以12AF F △的内心I 一定在直线2x =上，故D 错误； 故选：ABC.【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线性质的综合运用，涉及离心率、双曲线的对称性、焦点三角形的内切圆相关问题，对学生的分析与计算能力要求较高，难度较大.其中CD 选项在分析时，不仅要考虑内切圆的性质，同时需要考虑双曲线的定义，二者结合解决问题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 某人忘记了他在一个网络平台的账户密码，而平台只允许试错三次，如果三次都试错，则账户就会锁定，无法继续试验．假设该用户每次能试中的概率为0.1，记试验的次数为X ，则()3P X ==______．【答案】0.81##81100【解析】【分析】试验次数为3X =，表示该用户前两次均试错，再利用相互独立事件的概率公式进行求解即可.【详解】试验的次数为3X =，表示该用户前两次均试错，所以()30.90.9=0.81P X ==×.故答案为：0.81.14. 已知抛物线2:8E y x =，焦点为,F A 在抛物线上，B 在y 轴上，且2=FA AB ，则AF =______． 【答案】83【解析】【分析】根据抛物线方程可知焦点坐标，根据向量共线可求A x ，结合焦半径公式可求AF . 【详解】因为2:8E y x =，所以()2,0F ，因为2=FA AB ，所以()22A B A x x x −=−， 因为B 在y 轴上，所以0B x =，所以23A x =， 所以282233A p AF x =+=+=， 故答案为：83. 的15. 某商店成箱出售玻璃杯，每箱装有10只．假设在各箱中有0，1，2只残次品的概率依次为0.6，0.25，0.15，顾客随机取出一箱，并从中取出4只查看，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回．则顾客买下该箱玻璃杯的概率为______． 【答案】45##0.8 【解析】【分析】顾客买下这箱玻璃杯有3种情况：该箱中无残次品、该箱中有1只残次品、该箱中有2只残次品，然后由互斥事件的概率公式和全概率公式求解出结果.【详解】记事件B 为顾客买下该箱玻璃杯，事件i A 为取出的该箱中有i 只残次品，0,1,2i =，所以()()()0123130.6,0.25,0.155420P A P A P A ======， 且()()()4498012441010C C 311,,C 5C 3P B A P B A P B A =====， 由全概率公式可得：()()()()()()()001122P B P A P B A P A P B A P A P B A =++31331415452035=×+×+×=， 故答案为：45.16. 已知12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点，B 为椭圆C 的下顶点，直线1BF 交椭圆C 于另一点P ，且260PF B °∠=，则椭圆C 的离心率为______．##【解析】【分析】利用余弦定理先求解出1PF ，然后再利用相似关系求解出P 点坐标，将坐标代入椭圆方程可求结果.【详解】设()10PF x x =>，由题意可知12BF BF a ==， 所以2,2PB a x PF a x =+=−， 在2PBF 中由余弦定理可知：22222222cos 60PB PF BF PF BF °+−××，化简可得252ax a =，所以25x a =， 过P 作PQ x ⊥轴交于Q 点，如下图，易知1PQF △∽1BOF ，所以111125PQ QF PF OBOF BF ===， 所以122,55PQ b QF c ==，所以72,55P c b−， 将P 代入椭圆方程可得222249412525c b a b +=， 所以22237c e a ==，所以e =，. 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．17. 已知(2)n x +展开式中的第三项和第四项的二项式系数相等，且2012(2)+=++++ n n n x a a x a x a x ．（1）求01a a +的值；（2）求0123(1)1112482n n na a a a a −−+−++ 的值． 【答案】（1）112 （2）24332【解析】【分析】（1）先根据二项式系数的性质求出n ，进而可求出答案； （2）令12x =−，即可得解 【小问1详解】因为(2)n x +展开式中的第三项和第四项的二项式系数相等， 所以23C C n n =，所以5n =， 则5(2)(2)n x x +=+，所以05145501C 2C 2112a a =⋅+⋅=+； 【小问2详解】 令12x =−， 则()501235522(1)11124324823n a a a a a x −−+−+++== ， 即0123(1)111243248232n n na a a a a −−+−++= . 18. ABC 的顶点()()1,0,2,0,A B ABC −△的垂心（三条高交点）为()1,1H ． （1）求顶点C 的坐标； （2）求ABC 的外接圆方程． 【答案】（1）()1,2（2）22115222x y −+−=【解析】【分析】（1）设(),C m n ，根据,BC AH AC BH ⊥⊥，结合斜率公式即可得解；.（2）设ABC 的外接圆方程为()()()2220x a y b r r −+−=>，利用待定系数法求出2,,a b r 即可. 【小问1详解】 设(),C m n ，由题意得,BC AH AC BH ⊥⊥，1,12AH BH k k ==−， 所以112211BC AH AC BHn k k m n k k m=⋅=− − =−=− +，解得12m n = = ，所以顶点C 的坐标为()1,2； 【小问2详解】设ABC 的外接圆方程为()()()2220x a y b r r −+−=>，则()()()()()()2222222221212a b r a b r a b r −−+−=−+−=−+−=，解得2121252a b r= = =， 所以ABC 的外接圆方程为22115222x y −+−=. 19. 如图，在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，1,2AB AP AD ==E ，F 分别是,AP BC 的中点．（1）求证：//EF 平面PCD ；（2）求平面CDE 与平面FDE 夹角的余弦值．【答案】（1）证明过程见详解； （2【解析】【分析】（1）取PB 的中点G ，由面面平行的判定定理证明平面//EFG 平面PCD ，再由面面平行的性质定理可得//EF 平面PCD ；（2）由,,AB AD AP 两两垂直建立空间直角坐标系，分别求出平面CDE 与平面FDE 的法向量,m n，设平面CDE 与平面FDE 夹角为θ，由公式cos cos ,m nm n m nθ⋅==⋅即可得出结果. 【小问1详解】取PB 的中点G ，连结,EG FG ，因为E ，F 分别是,AP BC 的中点，所以//EG AB ，//FG PC ， 又因为//AB CD ，所以//EG CD ，又因为EG ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以//EG 平面PCD ； 同理可得//FG 平面PCD ，又因为平,,EG FG G EG FG ∩=面EFG ，所以平面//EFG 平面PCD ， 又因为EF ⊂平面EFG ，所以//EF 平面PCD .，【小问2详解】因为PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，所以,,AB AD AP 两两垂直， 以,,AB AD AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设4=AD ，()2,4,0C ，()0,4,0D ，()0,0,1E ，()2,2,0F ， ()2,0,0CD =− ，()0,4,1DE=− ，()2,2,0DF=−设平面CDE 的法向量(),,m x y z = ，所以2040CD m x DE m y z ⋅=−= ⋅=−+=， 取0,1,4x y z ===，所以()0,1,4m =； 设平面FDE 的法向量(),,n a b c = ，所以22040DF n a b DE n b c ⋅− ⋅=−+=， 取1,1,4a b c ===，所以()1,1,4n =， 设平面CDE 与平面FDE 夹角为θ，cos cos ,m n m n m nθ⋅∴===⋅， 故平面CDE 与平面FDE20. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>，点()1,1M −到焦点F直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，设直线,MA MB 斜率分别为12,k k ． （1）求p ；（2）若121k k +=−，证明直线l 过定点，并求出满足条件的定点坐标． 【答案】（1）2p =（2）证明见解析，定点坐标()1,0 【解析】【分析】（1）根据两点间距离公式表示出MF ，由此可求p 的值；（2）根据直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，斜率存在时，通过联立直线与抛物线得到横坐标的韦达定理形式，然后化简条件等式，得到,k m 的关系式即可求解出所过定点坐标，斜率不存在时直接分析即可. 【小问1详解】 因为,02p F，()1,1M −，所以MF =，解得2p =；【小问2详解】当直线l 的斜率存在时，由题意可知直线l 的斜率不为0，设:l y kx m =+，()()1122,,,A x y B x y ， 联立24y kx m y x =+ =可得()222240k x km x m +−+=， 且()2222440km k m ∆=−−>，即1km <，所以212122242,km m x x x x k k−+==， 所以1212121212111111111y y kx m kx m k k x x x x −−+−+−+=+=+=−++++， 所以1212121111211111kx k m k kx k m k m k m kk x x x x ++−−++−−−−−−+=++=−++++，所以()()()()()12122111120k x x m k x x ++++−−++=， 所以()()()()121212211120k x x x x m k x x +++++−−++=， 代入韦达定理化简可得：()()40m k m k −++=， 当0m k +=时，:l y kx k =−，即():1l y k x =−过定点()1,0， 当40m k −+=时，():14l y k x =+−过定点()1,4−−； 当直线l 的斜率不存在时，设:l x n =，由24x n y x == 得x n y = =±，所以121k k +=−，解得1n =，所以:1l x =，此时l 过点()1,0；综上，由l 的斜率存在和斜率不存在的两种情况可知，l 过定点()1,0.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中过定点问题的两种求解方法：（1）若设直线方程为y kx m =+或x ky m =+，则只需要将已知条件通过坐标运算转化为,m k 之间的线性关系，再用m 替换k 或用k 替换m 代入直线方程，则定点坐标可求；（2）若不假设直线的方程，则需要将直线所对应线段的两个端点的坐标表示出来，然后选择合适的直线方程形式表示出直线方程，由此确定出定点坐标.21. 某商场为了促销规定顾客购买满500元商品即可抽奖，最多有3次抽奖机会，每次抽中，可依次获得10元，30元，50元奖金，若没有抽中，则停止抽奖．顾客每次轴中后，可以选择带走所有奖金，结束抽奖；也可选择继续抽奖，若没有抽中，结束抽奖．小李购买了500元商品并参与了抽奖活动，己知他每次抽中的概率依次为211,,323，如果第一次抽中选择继续抽奖的概率为23，第二次抽中选择继续抽奖的概率为14，且每次是否抽中互不影响． （1）求小李第一次抽中且所得奖金归零的概率；（2）设小李所得奖金总数为随机变量X ，求X 的分布列． 【答案】（1）727（2）答案见解析 【解析】【分析】（1）设出事件，分两种情况讨论：第一次抽中但第二次没抽中，前两次抽中但第三次没抽中，结合独立事件和互斥事件的概率计算公式求解出结果；（2）先分析X 的可能取值，然后计算出对应概率，由此可求X 的分布列. 【小问1详解】记小李第i 次抽中为事件()1,2,3i A i =，则有()()()123211,,323P A P A P A ===，且123,,A A A 两两互相独立，记小李第一次抽中但奖金归零为事件A ， 则()()()12123221221117113323324327P A P A A P A A A =+=××−+××××−= ； 【小问2详解】由题意可知X 的可能取值为：0,10,40,90，()()21601327P X P A ==+−= ，()222101339P X ==×−= ，()2211140133246P X ==×××−= ， ()221111903324354P X ==××××=， 所以X 的分布列为：22.已知O 为坐标原点，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b −=>>()2,2．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）圆224x y +=的切线l 与双曲线C 相交于,A B 两点． （ⅰ）证明：OA OB ⊥； （ⅱ）求OAB 面积的最小值．【答案】（1）22124x y −=（2）（ⅰ）证明过程见解析；（ⅱ）4 【解析】【分析】（1）待定系数法求解双曲线方程；（2）（ⅰ）考虑切线l 斜率为0和不为0两种情况，设出切线方程x my t =+，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，求出0OA OB ⋅=得到垂直关系；（ⅱ）在（ⅰ）的基础上，求出当切线l 的斜率为0时的三角形面积，再得到切线l 的斜率不为0时OAB 面积表达式，求出其取值范围，得到面积的最小值. 【小问1详解】由题意得ca =()2,2代入双曲线中得22441a b−=， 又222c a b =+，解得222,4a b ==， 故双曲线C 的标准方程为22124x y −=；【小问2详解】（ⅰ）当切线l 的斜率为0时，方程为2y =±，不妨设2y =，此时222124x −=，解得2x =±，不妨设()()2,2,2,2A B −，则()()2,22,2440OA OB ⋅=−⋅=−+= ，所以OA OB ⊥；当切线斜率不为0时，设为x t =，2=，故2244t m =+，联立x my t =+与22124x y −=得，()222214240m y mty t −++−=， 则()()22222210Δ16424210m m t t m −≠=−−−> ，又2244t m =+，解得m ≠ 设()()1122,,,A x y B x y ，则2121222424,2121mt t y y y y m m −−+==−−， 故()()()2212121212x x my t my t m y y mt y y t =++=+++，故()()22121212121x x y y y O O m y m B t t A y y ⋅=+=++++的()222222222222222222442424421212121t m t t m t m m t m t t m t m m m −−+−−+−=+−+=−−− 22244021t m m −−=−， 故OA OB ⊥；（ⅱ）当切线l 斜率为0时，OAB的面积为11422OA OB =×=， 当切线斜率不为0时，AB=， 因为2244t m =+，点O 到切线AB 的距离为2，故122OAB S AB =×= 当2210m −>时，令2210m t −=>，则212t m +=，故OAB S = ， 因为0t >，所以4OAB S => ， 同理，当0t >时，4OAB S >，综上，OAB 面积的最小值为4. 的【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．。
湖南省衡阳市2023-2024学年高二上学期期末考试 数学含答案
衡阳市2022级高二期末试题数学（答案在最后）请注意：时量120分钟满分150分一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）2.已知i 为虚数单位，且32i1i z =+，则z =（）A.1i - B.1i-+ C.1i+ D.1i--3.在等差数列{}n a 中，若36202336a a a a +++=，则13a =（）A ．12B ．18C ．6D ．9【答案】D【解析】因为等差数列{}n a 中，所以()()36202332362013436a a a a a a a a a +++=+++==，所以139a =.故选：D.4.在()512x +的展开式中，3x 的系数为（）A ．8B ．10C ．80D ．160【答案】CA．10B．5【答案】D【分析】根据双曲线的定义和性质分析可得8．函数()f x 是定义在(0,()()ln ln ln ax f ax f x xxax⋅⋅≥在A ．10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．【答案】B二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9.给出如下四个命题正确的是（）A.方程22210x y x +-+=表示的图形是圆B.椭圆22132x y +=的离心率3e =C.抛物线21=2y x 的准线方程是18x =-D.双曲线2212549x y -=的渐近线方程是57y x=±n n n 1423法正确的是()A.q ＝2B.数列{S n ＋2}是等比数列C.S 8＝510D.数列{lg a n }是公差为2的等差数列答案ABC解析因为{a n }为等比数列，且a 1·a 4＝32，所以a 2·a 3＝32.又a 2＋a 3＝12，2＝4，3＝8，＝22＝8，3＝4，＝12.又公比q 为整数，2＝4，3＝8，＝2，即a n ＝2n，S n ＝2×（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2.对于A ，由上可得q ＝2，故A 正确；对于B ，因为S n ＋2＝2n ＋1，所以S n ＋1＋2S n ＋2＝2n ＋22n ＋1＝2，则数列{S n ＋2}是等比数列，故B 正确；对于C ，S 8＝29－2＝510，故C 正确；对于D ，lg a n ＋1－lg a n ＝lg 2，即数列{lg a n }是公差为lg 2的等差数列，故D 错误.故选ABC.11.如图所示，棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（）A.11D P AB ⊥B.当12A P PB =时，点1C 到平面1D AP 的距离为1C.1AP DC ⋅是定值D.1D P 与AC 所成的角可能是6π设()3,,3P a a -，(03a <<所以11303D AB a P ⋅=⨯+⨯+因为()3,3,0AC =- ，(1D P =所以111cos ,D P AC D P AC D P CA ⋅=同学作答，每人答对的概率均为0．7，两人都答对的概率为0．5，则甲答对的前提下乙也答对的概率是________．(用分数表示)16.在梯形ABCD 中，AB CD ∥，2AB =，1BC CD DA ===，将ACD 沿AC 折起，连接BD ，得到三棱锥D ABC -，当三棱锥D ABC -的体积取得最大值时，该三棱锥的外接球的表面积为______.因为ABCD为等腰梯形，AB1B==B=cos BE此时，BC⊥平面ACD，易知，记O为外接球球心，半径为由于BC⊥平面ACD，OBr=四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余各小题为12分，共70分。
2022-2023学年四川省内江市高二上学期期末考试数学(文)试题(解析版)
2022-2023学年四川省内江市高二上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．某个年级有男生180人，女生160人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为68的样本，则此样本中女生人数为（ ） A ．40 B ．36 C ．34 D ．32【答案】D【分析】根据分层抽样的性质计算即可. 【详解】由题意得：样本中女生人数为1606832180160⨯=+.故选：D2．已知向量()3,2,4m =-，()1,3,2n =--，则m n +=（ ） A ．22 B ．8 C ．3 D ．9【答案】C【分析】由向量的运算结合模长公式计算即可. 【详解】()()()3,2,41,3,22,1,2m n +=-+--=-- ()()2222123m n +=-+-+=故选：C3．如图所示的算法流程图中，第3个输出的数是（ ）A ．2B ．32C ．1D ．52【答案】A【分析】模拟执行程序即得.【详解】模拟执行程序，1,1A N ==，输出1，2N =；满足条件，131+=22A =，输出32，3N =；满足条件，31+=222A =，输出2，4N =；所以第3个输出的数是2. 故选：A.4．一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8B ．83C ．43D ．323【答案】B【分析】把三视图转换为几何体，根据锥体体积公式即可求出几何体的体积. 【详解】根据几何体的三视图可知几何体为四棱锥P ABCD -, 如图所示：PD ⊥平面ABCD ,且底面为正方形，2PD AD == 所以该几何体的体积为：1822233V =⨯⨯⨯=故选：B5．经过两点(4,21)A y +，(2,3)B -的直线的倾斜角为3π4，则y =（ ） A ．1- B ．3-C ．0D ．2【答案】B【分析】先由直线的倾斜角求得直线的斜率，再运用两点的斜率进行求解.【详解】由于直线AB 的倾斜角为3π4， 则该直线的斜率为3πtan14k ==-， 又因为(4,21)A y +，(2,3)B -， 所以()213142y k ++==--，解得=3y -.故选：B.6．为促进学生对航天科普知识的了解，进一步感受航天精神的深厚内涵，并从中汲取不畏艰难、奋发图强、勇于攀登的精神动力，某校特举办以《发扬航天精神，筑梦星辰大海》为题的航天科普知识讲座.现随机抽取10名学生，让他们在讲座前和讲座后各回答一份航天科普知识问卷，这10名学生在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图，下列叙述正确的是（ ）A ．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B ．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C ．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D ．讲座前问卷答题的正确率的极差小于讲座后正确率的极差 【答案】B【分析】根据题意以及表格，可分别计算中位数、平均数、极差等判断、排除选项是否正确，从而得出答案.【详解】讲座前问卷答题的正确率分别为：60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%，中位数为70%75%72.5%70%2+=> ，故A 错误； 讲座后问卷答题的正确率的平均数为0.80.8540.920.951289.5%85%10+⨯+⨯++⨯=> ，故B 正确；由图知讲座前问卷答题的正确率的波动性大于讲座后正确率的波动性，即讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，故C 错误；讲座后问卷答题的正确率的极差为100%-80%=20%，讲座前正确率的极差为95%-60%=35%，20%<35%,故D 错误. 故选：B.7．两条平行直线230x y -+=和340ax y -+=间的距离为d ，则a ，d 分别为（ ）A ．6a =，d =B ．6a =-，d =C ．6a =-，d =D ．6a =，d =【答案】D【分析】根据两直线平行的性质可得参数a ，再利用平行线间距离公式可得d . 【详解】由直线230x y -+=与直线340ax y -+=平行， 得()()2310a ⨯---⨯=，解得6a =，所以两直线分别为230x y -+=和6340x y -+=，即6390x y -+=和6340x y -+=，所以两直线间距离d = 故选：D.8．从1,2,3,4,5这五个数字中随机选择两个不同的数字，则它们之和为偶数的概率为A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】B【分析】先求出基本事件总数n 25C 10==，再求出这两个数字的和为偶数包含的基本事件个数m 2223C C =+，由此能求出这两个数字的和为偶数的概率【详解】从1、2、3、4、5、这五个数字中，随机抽取两个不同的数字，基本事件总数n 25C 10==，这两个数字的和为偶数包含的基本事件个数m 2223C C =+=4，∴这两个数字的和为偶数的概率为p m 40.4n 10===． 故选B ．【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．9．已知三条不同的直线l ，m ，n 和两个不同的平面α，β，则下列四个命题中错误的是（ ） A ．若m ⊥α，n ⊥α，则m //nB ．若α⊥β，l ⊂α，则l ⊥βC ．若l ⊥α，m α⊂，则l ⊥mD ．若l //α，l ⊥β，则α⊥β【答案】B【分析】根据线面垂直的性质定理可知A 正确；根据面面垂直的性质定理可知B 不正确； 根据线面垂直的定义可知C 正确；根据面面垂直的判定可知D 正确．【详解】对A ，根据线面垂直的性质，垂直于同一平面的两条直线互相平行可知A 正确； 对B ，根据面面垂直的性质定理可知，若α⊥β，l ⊂α，且l 垂直于两平面的交线，则l ⊥β，所以B 错误；对C ，根据线面垂直的定义可知，C 正确；对D ，因为l //α，由线面平行的性质可知在平面α内存在直线//m l ，又l ⊥β，所以m β⊥，而m α⊂，所以α⊥β，D 正确． 故选：B ．10．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知ABC ∆的顶点(0,0),(0,2),( 6.0)A B C -，则其欧拉线的一般式方程为（ ） A ．31x y += B ．31x y -= C ．30x y += D ．30x y -=【答案】C【分析】根据题意得出ABC 为直角三角形，利用给定题意得出欧拉线，最后点斜式求出方程即可. 【详解】显然ABC 为直角三角形，且BC 为斜边， 所以其欧拉线方程为斜边上的中线， 设BC 的中点为D ，由(0,2),( 6.0)B C -， 所以()3,1D -，由101303AD k -==--- 所以AD 的方程为13y x =-，所以欧拉线的一般式方程为30x y +=. 故选：C.11．已知P 是直线:70l x y +-=上任意一点，过点P 作两条直线与圆22:(1)4C x y ++=相切，切点分别为A 、B ．则四边形PACB 面积最小值为（ ）A ．BC ．D ．28【答案】A【分析】当PC l ⊥时，||PC 取得最小值，根据切线长的表达式可知，||PA 最小，此时四边形PACB面积2S PA AC PA ==最小，求解即可．【详解】圆22:(1)4C x y ++=的圆心(1,0)C -，半径为2，当PC l ⊥时，||PC 取得最小值，即||PC 的最小值为点C 到直线l 的距离|8|422d -==， ∵2224PA PC AC PC =-=-，∴||PA 的最小值为27，∵四边形PACB 面积2S PA AC PA ==， ∴四边形PACB 面积S 的最小值为47． 故选：A ．12．已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，下列数学命题不正确的是A ．平面1//ACB 平面11ACD 3B ．点P 在线段AB 上运动，则四面体111PA BC 的体积不变 C ．与所有122D ．M 是正方体的内切球的球面上任意一点，N 是1AB C 外接圆的圆周上任意一点，则||MN 的最32-【答案】D【解析】根据面面平行的判定定理以及平行平面的距离进行证明，即可判断选项A ； 研究四面体的底面面积和高的变化判断选项B ；与所有12棱都相切的球的直径等于面的对角线1B C 的长度，求出球半径进行计算，即可判断选项C ； 根据正方体内切球和三角形外接圆的关系可判断选项D .【详解】对于选项A ，111//,AB DC AB ⊄平面111,AC D DC ⊂平面11AC D ，1//AB ∴平面11AC D ，同理可证//AC 平面11AC D ，11,,AB AC A AB AC =⊂平面1ACB ，∴平面1//ACB 平面11AC D ，正方体的对角线13BD =B 到平面1ACB 的距离为h ， 则11221311,(2)11332B ACBC ABB V V h --=⨯=⨯⨯⨯，3h ，则平面1ACB 与平面11AC D 的距离为332d h == 故A 正确；对于选项B ，点P 在线段AB 上运动，点P 到底面111A B C 的距离不变， 底面积不变，则体积不变，故B 正确；对于选项C ，与所有12条棱都相切的球直径等于面的对角线12BC 23422(3V ππ=⨯⨯=C 正确；对于选项D ，设正方体的内切球的球心和外接球的球心为O ， 则1ACB 的外接圆是正方体外接球的一个小圆，M 是正方体的内切球的球面上任意一点，N 是1AB C 外接圆的圆周上任意一点，∴线段MN 的最小值为正方体的外接球的半径减去正方体内切球的半径，正方体1111ABCD A B C D -棱长为1， ∴线段MN 312，故D 错误.故选:D.【点睛】本题考查命题的真假判断，涉及到空间几何体的结构，面面平行的判断，球的内切问题，涉及的知识点较多，综合性较强，属于较难题.二、填空题13．已知x 、y 满足约束条件202020x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩则2z x y =+的最大值是________.【答案】6【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】解：由约束条件作出可行域如图：将目标函数2z x y =+转化为2y x z =-+表示为斜率为2-，纵截距为z 的直线， 当直线2y x z =-+过点B 时，z 取得最大值， 显然点()2,2B ，则max 2226z =⨯+=. 故答案为：6.14．直线l 与圆22(1)(1)1x y ++-=相交于,A B 两点，且()0,1A ．若2AB l 的斜率为_________． 【答案】1±【分析】设直线方程，结合弦长求得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式列出等式，即可求得答案.【详解】根据题意，直线l 与圆 22(1)(1)1x y ++-= 相交于,A B 两点，且()0,1A ， 当直线斜率不存在时，直线0x = 即y 轴，显然与圆相切，不符合题意; 故直线斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =+ ，即10kx y -+= ， 因为圆22(1)(1)1x y ++-=的圆心为(1,1) ，半径为1r = ，又弦长||2AB =,所以圆心到直线的距离为22||12()1222AB d r =-=-=, 所以2||221k k =+，解得1k =±， 故答案为：1±.15．如图，111ABC A B C ﹣是直三棱柱，90BCA ∠=︒，点E F 、分别是1111A B AC 、的中点，若1BC CA AA ==，则BE 与AF 所成角的余弦值为__．【答案】3010【分析】取BC 的中点M ，连接MF ，则MF //BE ，所以MFA ∠就是异面直线BE 与AF 所成的角，再解三角形即可.【详解】取BC 的中点M ，连接MF ，则MF //BE ，所以MFA ∠就是异面直线BE 与AF 所成的角，设222655,(),,2222BC a MF a a a AM a AF a ==+===， 222655()()()30222cos 1065222a a a MFA a a+-∠==⨯⨯3016．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB ⋅的最大值是______． 【答案】5【详解】试题分析：易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||10PA PB AB +==，2||52AB PA PB ⨯≤=. 法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.【考点定位】1、直线与圆；2、重要不等式.三、解答题17．一汽车销售公司对开业4年来某种型号的汽车“五-”优惠金额与销售量之间的关系进行分析研究并做了记录,得到如下资料.(1)求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆyb x a =+； (2)若第5年优惠金额8.5千元,估计第5年的销售量y(辆)的值.参考公式：()()()11211ˆˆˆ,()n ei i i i i i pz nzlii i x x y y x y nxybay bx xx xn x ====---===---∑∑∑∑ 【答案】（1）ˆ38.5y x =-；（2）第5年优惠金额为8．5千元时，销售量估计为17辆【分析】（1）先由题中数据求出x y ，，再根据()()()()1122211,ˆˆˆˆn niii ii i nn ii i i x x y y x y nxyb ay bx x x x n x ====---===---∑∑∑∑求出ˆb和ˆa ，即可得出回归方程； （2）将8.5x =代入回归方程，即可求出预测值.【详解】（1）由题中数据可得11.5,26x y ==，442111211,534i i i i i x y x ====∑∑∴()414222141211411.526153534411.554ˆi i i i i x y xybx x ==--⨯⨯====-⨯-∑∑,故26311ˆ.58.5ˆay bx =-=-⨯=-，∴38.5ˆy x =-（2）由（1）得，当8.5x =时，ˆ17y=，∴第5年优惠金额为8．5千元时，销售量估计为17辆. 【点睛】本题主要考查线性回归分析，熟记最小二乘法求ˆb和ˆa 即可，属于常考题型. 18．已知圆C 经过()6,1A 、()3,2B -两点，且圆心C 在直线230x y +-=上．(1)求经过点A ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程；(2)求圆C 的标准方程；(3)斜率为43-的直线l 过点B 且与圆C 相交于E F 、两点，求EF ． 【答案】(1)60x y -=或70x y +-=(2)22(5)(1)5x y -++= (3)45【分析】（1）根据给定条件，利用直线方程的截距式，分类求解作答；（2）设圆心(32,)C b b -，由||||r AC BC ==解得1b，即得圆C 的标准方程；（3）求出直线l 的方程，利用弦长公式计算即可.【详解】（1）当直线过原点时，直线的方程为60x y -=， 当直线不过原点时，设直线的方程为1x y a a+=，将点(6,1)A 代入解得7a =，即直线的方程为70x y +-=， 故所求直线的方程为60x y -=或70x y +-=．（2）因圆心C 在直线230x y +-=上，则设圆心(32,)C b b -，又圆C 经过(6,1),(3,2)A B -两点，于是得圆C 的半径r AC BC ==，=1b，则圆心(5,1)C -，圆C 的半径r =所以圆C 的标准方程为22(5)(1)5x y -++=． （3）依题意，直线l 的方程为42(3)3y x +=--，即4360x y +-=， 圆心(5,1)C -到直线的距离为115d ==，所以45EF ===． 19．直四棱柱1111ABCD A B C D -，底面ABCD 是平行四边形，60ACB ∠=︒，13,1,27,,AB BC AC E F ===分别是棱1,A C AB 的中点.(1)求证：EF 平面1A AD ：(2)求三棱锥1F ACA -的体积.【答案】(1)见解析(2)22【分析】（1）取1A D 的中点M ，连结,ME MA ，证明四边形AFEM 为平行四边形，则AM EF ∥，再根据线面平行的判定定理即可得证；（2）利用余弦定理求出AC ，再利用勾股定理求出1AA ，再根据11F ACA A AFC V V --=结合棱锥的体积公式即可得出答案.【详解】（1）证明：取1A D 的中点M ，连结,ME MA ，在1A DC 中，,M E 分别为11,A D AC 的中点， 所以ME DC ∥且12ME DC =， 底面ABCD 是平行四边形，F 是棱AB 的中点，所以AF DC 且12AF DC =， 所以ME AF ∥且ME AF =，所以四边形AFEM 为平行四边形， 所以,EF AM EF ⊄∥平面1,A AD AM⊂平面1A AD ，所以EF 平面1A AD ；（2）在ABC 中，60,3,1ACB AB BC ∠===， 由余弦定理有2222cos AB AC BC AC BC ACB ∠=+-⨯⨯，解得2AC =，则1312sin6022ABC S =⨯⨯⨯=， 因为F 为AB 的中点，所以1324ACF ABC S S ==， 由已知直四棱柱1111ABCD A B C D -，可得1190,2,27A AC AC AC ∠===， 可得128426A A =-=，1111132263342F ACA A AFC AFC V V S AA --==⋅=⨯⨯=. 20．某校从参加高一年级期中考试的学生中抽出40名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[)40,50，[)50,60，，[]90,100后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)根据频率分布直方图估计这次数学考试成绩的平均分；(3)若将分数从高分到低分排列，取前15%的同学评定为“优秀”档次，用样本估计总体的方法，估计本次期中数学考试“优秀”档次的分数线．【答案】(1)答案见解析(2)71(3)86【分析】（1）根据所有频率和为1求第四小组的频率，计算第四小组的对应的矩形的高，补全频率分布直方图；（2）根据在频率分布直方图中，由每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和，求出平均分；（3）由频率分布直方图可知：成绩在区间[]90,100占5%，区间[)80,90占25%，由此即可估计“优秀”档次的分数线．【详解】（1）由频率分布直方图可知，第1，2，3，5，6小组的频率分别为：0.1，0.15，0.15，0.25，0.05，所以第四小组的频率为：10.10.150.150.250.050.3-----=，∴在频率分布直方图中第四小组对应的矩形的高为0.03，补全频率分布直方图对应图形如图所示：（2）由频率分布直方图可得平均分为：0.1450.15550.15650.3750.25850.059571⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（3）由频率分布直方图可知：成绩在区间[]90,100占5%，区间[)80,90占25%，则估计本次期中数学考试“优秀”档次的分数线为：0.158010860.25+⨯=． 21．如图，正方形ABCD 和直角梯形ACEF 所在的平面互相垂直，FA AC ⊥，2AB =1EF FA ==．(1)求证：BE ⊥平面DEF ；(2)求直线BD 与平面BEF 所成角的大小．【答案】(1)证明见解析 (2)π4【分析】（1）设正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于O ，连接FO 、EO ，利用勾股定理逆定理推导出BE DE ⊥，BE EF ⊥，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）分析可知直线BD 与平面BEF 所成角为BDE ∠，求出BDE ∠的正弦值，即可求得BDE ∠的大小.【详解】（1）证明：设正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于O ，连接FO 、EO ，因为平面ABCD ⊥平面ACEF ，平面ABCD ⋂平面ACEF AC =，AF AC ⊥，AF ⊂平面ACEF ， AF ∴⊥平面ABCD ，因为四边形ABCD 222AC AB =， 在直角梯形ACEF 中，//EF AC ，O 为AC 的中点，则AO EF =且//AO EF ，又因为AF EF =，AF AC ⊥，故四边形AFEO 是边长为1的正方形，所以，//AF EO ，所以，EO ⊥平面ABCD ，且1EO AF ==，BD ⊂平面ABCD ，EO BD ∴⊥，则222BE DE EO OB =+=所以，222DE B D E B +=，BE DE ∴⊥，AF ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AF AB ∴⊥，223BF AB AF =+=，222EF BE BF ∴+=，BE EF ∴⊥，DE EF E ⋂=，DE 、EF ⊂平面DEF ，BE ∴⊥平面DEF .（2）解：由（1）可知，BE ⊥平面DEF ，所以，直线BD 与平面BEF 所成角为BDE ∠，BE DE ⊥，2sin 2BE BDE BD ∠==， 又因为π02BDE <∠≤，故π4BDE ∠=，因此，直线BD 与平面BEF 所成角为π4. 22．已知圆22:(3)9M x y -+=，设()2,0D ，过点D 作斜率非0的直线1l ，交圆M 于,P Q 两点．(1)过点D 作与直线1l 垂直的直线2l ，交圆M 于,E F 两点，记四边形EPFQ 的面积为S ，求S 的最大值；(2)设()6,0B ，过原点O 的直线OP 与BQ 相交于点N ．证明：点N 在定直线6x =-上．【答案】(1)S 的最大值为17.(2)证明见详解【分析】（1）由题意设出直线1l ，2l 方程，利用点到直线的距离公式，弦长公式以及基本不等式即可解决问题；（2）利用圆与直线的方程，写出韦达定理，求出直线OP 与直线BQ 的方程，且交于点N ，联立方程求解点N 即可证明结论.【详解】（1）由圆22:(3)9M x y -+=知，圆心为()3,0M ，半径3r =，因为直线1l 过点()2,0D 且斜率非0，所以设直线1l 方程为：()02y k x -=-，即20kx y k --=，则点M 到直线1l 的距离为：1223211k kk d k k -=++所以222222122289223292111k k k PQ r d k k k ⎛⎫+=--=- ⎪+++⎝⎭由12l l ⊥，且直线2l 过点D ，所以设直线2l 方程为：()102y x k -=--，即20x ky +-=， 则点M 到直线2l的距离为：2d =所以EF ====故1122S EF PQ =⋅⋅=⋅2=()2217122171k k +=⨯=+，当且仅当2289981k k k +=+⇒=±时取等号， 所以四边形EPFQ 的面积S 的最大值为17. （2）证明：设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 过点D ， 则设直线PQ 方程为：2x my =+，联立()22239x my x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，消去x 整理得： ()221280m y my +--=，12122228,11m y y y y m m -+==++， 所以()1212121244y y m my y y y y y +=-⇒=-+， 由111100OP y y k x x -==-， 所以直线OP 的方程为：11y y x x =， 2222066BQ y y k x x -==--， 所以直线BQ 的方程为：()2266y y x x =--， 因为直线OP 与直线BQ 交于点N ，所以联立()112266y y x x y y x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩， 所以()12121266N x y x x y y x =-- ()()()12121262226my y my y y my +=+-+-⎡⎤⎣⎦ 12212212161224my y y my y y my y y +=+-+ 12221362my y y y y +=+ ()()122213462y y y y y ⨯-⨯++=+ 12212212112126126622y y y y y y y y y --+--===-++， 所以6N x =-，所以点N 在定直线6x =-上.。
湖北省荆州中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(文)试题 Word版含解析
荆州中学高二圆月期末考数学（文科）试题一，选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1.设,则地一个必要不充分款件是（）A. B. C. D.【结果】A【思路】【思路】当时,是成立,当成立时,不一定成立,依据必要不充分款件地判定方式,即可求解.【详解】由题意,当时,是成立,当成立时,不一定成立,所以是地必要不充分款件,故选A.【点睛】本题主要考查了必要不充分款件地判定问题,其中解答中熟记必要不充分款件地判定方式是解答本题地关键,着重考查了推理与论证能力,属于基础题.2.已知椭圆长轴在轴上,若焦距为4,则等于（）A. 4B. 5C. 7D. 8【结果】8【思路】由椭圆地长轴在y轴上,则a2=m﹣2,b2=8﹣m,c2=a2﹣b2=2m﹣10．由焦距为4,即2c=4,即有c=2．即有2m﹣10=4,解得m=7．故结果为：7.3.已知直线和平面,若,,则过点且平行于地直线（）A. 只有一款,不在平面内B. 只有一款,且在平面内C. 有无数款,一定在平面内D. 有无数款,不一定在平面内【结果】B【思路】【思路】假设m是过点P且平行于l地直线,n也是过点P且平行于l地直线,则与平行公理得出地结论矛盾,进而得出结果.【详解】假设过点P且平行于l地直线有两款m与n,则m∥l且n∥l由平行公理得m∥n,这与两款直线m与n相交与点P相矛盾,故过点且平行于地直线只有一款,又因为点P在平面内,所以过点P且平行于l地直线只有一款且在平面内．故选：B【点睛】本题主要考查了空间中直线与直线之间地位置关系,空间中直线与平面地位置关系．过一点有且只有一款直线与已知直线平行．4.已知数列是等差数列,且,则公差（）A. B. 4 C. 8 D. 16【结果】B【思路】试题思路：等差数列中考点：等差数列地性质5.“更相减损术”是《九章算术》中记录地一种求最大公约数地算法,按其算理流程有如下程序框图,若输入地,分别为165，66,则输出地为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【结果】B【思路】【思路】由题中程序框图知,该程序地功能是利用循环结构计算并输出变量地值,模拟程序地运行过程,思路循环中各变量地变化情况,即可得到结果.【详解】由程序框图可知：输入时,满足,则,满足,则,满足,则,不满足,此时输出,故选B.【点睛】本题主要考查了循环结构地程序框图地计算与输出问题,其中利用循环结构表示算法,一定要先确定是用当型循环结构,还是用直到型循环结构。
安徽省黄山市2014-2021学年高二上学期期末考试数学(文)试卷 Word版含解析
2022-2021学年安徽省黄山市高二（上）期末数学试卷（文科）一．选择题1．直线x+y+3=0的倾斜角是（）A．π B．π C． D．2．以下说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若命题p：∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则﹁p：∀x∈R，则x2+x+1≥0D．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题3．直线x+ay+1=0与直线（a+1）x﹣2y+3=0相互垂直，则a的值为（） A．﹣2 B．﹣1 C． 1 D．﹣2或14．已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（） A． m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β B．α∥β，m⊂α，n⊂α，⇒m∥nC． m⊥α，m⊥n⇒n∥α D． n∥m，n⊥α⇒m⊥α5．如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A． BD∥平面CB1D1B． AC1⊥BDC． AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AC1与CB所成的角为60°6．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（） A． y=±2x B． y=±x C． y=±x D． y=±x7．直线y=kx+2与抛物线y2=8x只有一个公共点，则k的值为（）A． 1 B． 0 C． 1或0 D． 1或38．已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣89．底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形的四棱锥，其5个顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A． B． 16π C． 9π D．10．已知直线交于P，Q两点，若点F 为该椭圆的左焦点，则取最小值的t值为（）A．﹣ B．﹣ C． D．二．填空题11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．12．过点P（1，2）的直线l与圆C：（x+3）2+（y﹣4）2=36交于A 、B两点，当|AB|最小时，直线l的方程是．13．已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是抛物线上一点，|AF|=x0，则x0= ．14．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的标准方程为．15．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是A1B1，CC1的中点，过D1，E，F作平面D1EGF 交BB1于G．给出以下五个结论：①EG∥D1F；②BG=3GB1；③平面D1EGF⊥平面CDD1C1；④直线D1E与FG的交点在直线B1C1上；⑤几何体ABGEA1﹣DCFD1的体积为．其中正确的结论有（填上全部正确结论的序号）三．解答题（共6小题，共75分）16．已知命题p：“∀x＞1，x+≥a”，命题q：“方程x2﹣ax+2a=0有两个不等实根”，p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数a的取值范围．17．已知圆C 的圆心为坐标原点O，且与直线l1：x﹣y﹣2=0相切．（1）求圆C的方程；（2）若与直线l1垂直的直线l2与圆C交于不同的两点P、Q，且以PQ为直径的圆过原点，求直线l2的方程．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E、F分别为A1C1、BC的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）求证：C1F∥平面ABE ；（3）求三棱锥E﹣ABC的体积．19．一个几何体是由圆柱ADD1A1和三棱锥E﹣ABC组合而成，点A、B、C在圆O的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图2所示，其中EA⊥平面ABC ，AB⊥AC，AB=AC，AE=2．（1）求证：AC⊥BD；（2）求三棱锥E﹣BCD的体积．20．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y2=2x相交于P、Q两点，假如•=3，O为坐标原点．证明：直线l过定点．21．已知椭圆的左焦点F为圆x2+y2+2x=0的圆心，且椭圆上的点到点F的距离最小值为．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）已知经过点F的动直线l与椭圆交于不同的两点A、B，点M（），证明：为定值．2022-2021学年安徽省黄山市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题1．直线x+y+3=0的倾斜角是（）A．π B．π C． D．考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角．解答：解：∵直线x+y+3=0的斜率k=﹣，∴直线x+y+3=0的倾斜角α=．故选：A．点评：本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题，解题时要留意直线的性质的合理运用．2．以下说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若命题p：∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则﹁p：∀x∈R，则x2+x+1≥0D．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题考点：命题的真假推断与应用．专题：简易规律．分析：直接写出命题的逆否命题推断A正确；由充分条件、必要条件的概念推断B正确；直接写出特称命题的否定推断C正确；由复合命题的真假推断说明D错误．解答：解：对于A，命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．命题A正确；对于B，由x=1，能够得到x2﹣3x+2=0．求解x2﹣3x+2=0得到x=1或x=2．∴“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件．命题B正确；对于C，命题p：∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0的否定为﹁p：∀x∈R，则x2+x+1≥0．命题C为真命题；对于D，∵若p，q中只要有一个为真命题，则p∨q为真命题．∴p∨q为真命题，则p，q均为真命题错误．命题D为假命题．故选：D．点评：本题考查了命题的真假推断与应用，解答的关键是熟记教材有关基础学问，属中档题．3．直线x+ay+1=0与直线（a+1）x﹣2y+3=0相互垂直，则a的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C． 1 D．﹣2或1考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：由题意求出两条直线的斜率，利用两条直线的垂直条件，求出a的值．解答：解：由于直线方程：x+ay+1=0，直线方程：（a+1）x﹣2y+3=0，所以两条直线的斜率是：和，由于直线x+ay+1=0与直线（a+1）x﹣2y+3=0相互垂直，所以（）×=﹣1，则a=1，故选：C．点评：本题考查两直线垂直的条件：斜率之积等于﹣1，留意斜率不存在时对应的特殊状况．4．已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（） A． m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β B．α∥β，m⊂α，n⊂α，⇒m∥nC． m⊥α，m⊥n⇒n∥α D． n∥m，n⊥α⇒m⊥α考点：空间中直线与平面之间的位置关系．分析：结合题意，由面面平行的判定定理推断A，面面平行的定义推断B，线面垂直的定义推断C，利用平行和垂直的结论推断．解答：解：A不正确，m、n少相交条件；B不正确，分别在两个平行平面的两条直线不肯定平行；C不正确，n可以在α内；故选D点评：本题主要考查了面面平行的判定定理及定义，线面垂直的定义及一些结论来推断空间线面的位置关系，培育规律思维力量．5．如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A． BD∥平面CB1D1B． AC1⊥BDC． AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AC1与CB所成的角为60°考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：借助于正方体图形，利用空间中线线、线面、面面间的位置关系判定A、B、C、D选项正确与否，从而确定答案．解答：解：∵BD∥B1D1，BD不包含于平面CB1D1，B1D1⊂平面CB1D1，∴BD∥平面CB1D1，故A正确；∵BD⊥CC1，BD⊥AC，CC1∩AC=C，∴BD⊥平面ACC1，又AC1⊂平面ACC1，∴AC1⊥BD，故B正确；∵由三垂线定理知AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，∴AC1⊥平面CB1D1，故C正确；由CB∥C1B1，得∠AC1B1，其正切值为，故D错误．故选：D．点评：本题考查命题真假的推断，是中档题，解题时要认真审题，留意空间思维力量的培育．6．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（） A． y=±2x B． y=±x C． y=±x D． y=±x考点：双曲线的简洁性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用离心率公式，再由双曲线的a，b，c的关系，可得a，b的关系，再由渐近线方程即可得到．解答：解：由双曲线的离心率为，则e==，即c=a，b===a，由双曲线的渐近线方程为y=x，即有y=x．故选D．点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率公式和渐近线方程的求法，属于基础题．7．直线y=kx+2与抛物线y2=8x只有一个公共点，则k的值为（）A． 1 B． 0 C． 1或0 D． 1或3考点：抛物线的简洁性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由，得（kx+2）2=8x，再由直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点，知△=（4k﹣8）2﹣16k2=0，或k2=0，由此能求出k的值．解答：解：由，得（kx+2）2=8x，∴k2x2+4kx+4=8x，整理，得k2x2+（4k﹣8）x+4=0，∵直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点，∴△=（4k﹣8）2﹣16k2=0，或k2=0，解得k=1，或k=0．故选C．点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，解题时要认真审题，认真解答，留意合理地进行等价转化．8．已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（） A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由条件依据弦长公式求得a的值．解答：解：圆x2+y2+2x﹣2y+a=0 即（x+1）2+（y﹣1）2=2﹣a，故弦心距d==．再由弦长公式可得 2﹣a=2+4，∴a=﹣4，故选：B．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．9．底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形的四棱锥，其5个顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A． B． 16π C． 9π D．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：利用射影定理，求出球的半径，即可求出球的表面积．解答：解：设球的半径为R ，则（）2=4•（2R﹣4），∴R=，∴球的表面积为4πR2=4=．故选：A．点评：本题考查球的表面积，考查同学的计算力量，确定球的半径是关键．10．已知直线交于P，Q两点，若点F 为该椭圆的左焦点，则取最小值的t值为（）A．﹣ B．﹣ C． D．考点：椭圆的简洁性质；平面对量数量积的运算．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定F的坐标，设出P，Q 的坐标，表示出，即可求得结论．解答：解：由题意，F（﹣4，0）由椭圆的对称性，可设P（t，s），Q（t，﹣s），则=（t+4，s）•（t+4，﹣s）=（t+4）2﹣s2=∴t=﹣时，取最小值故选B．点评：本题考查椭圆的性质，考查向量学问的运用，考查同学的计算力量，属于基础题．二．填空题11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为8 ．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该几何体为三棱锥，PA⊥底面ABC，PA=4，OB=OC=2，OA=3．解答：解：由三视图可知：该几何体为三棱锥，PA⊥底面ABC，PA=4，OB=OC=2，OA=3．体积V==8．故答案为：8．点评：本题考查了三棱锥的三视图及其体积计算公式，属于基础题．12．过点P（1，2）的直线l与圆C：（x+3）2+（y﹣4）2=36交于A、B两点，当|AB|最小时，直线l的方程是y=2x ．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：要使|AB|最小时，则圆心到直线的距离最大，即CP⊥AB，求出直线的斜率即可．解答：解：圆心C坐标为（﹣3，4），半径R=6，要使|AB|最小时，则圆心到直线的距离最大，即CP⊥AB，此时CP的斜率k=，则AB的斜率k=2，则l的方程为y﹣2=2（x﹣1），即y=2x，故答案为：y=2x．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，依据弦长最小，确定直线的位置关系是解决本题的关键．13．已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是抛物线上一点，|AF|=x0，则x0= 1 ．考点：抛物线的简洁性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：抛物线C：y2=x的准线方程为x=﹣，由抛物线的定义可得，A到焦点的距离即为A到准线的距离，可得x0+=，解方程即可得到所求值．解答：解：抛物线C：y2=x的准线方程为x=﹣，由抛物线的定义可得，A到焦点的距离即为A到准线的距离，即有|AF|=x0+=，解得x0=1．故答案为：1．点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查准线方程的运用，留意定义法解题，属于基础题．14．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的标准方程为．考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由已知得，由此能求出椭圆方程．解答：解：由已知得，解得a=，b=，c=1，∴．故答案为：．点评：本题考查椭圆方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，留意椭圆性质的合理运用．15．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是A1B1，CC1的中点，过D1，E，F作平面D1EGF 交BB1于G．给出以下五个结论：①EG∥D1F；②BG=3GB1；③平面D1EGF⊥平面CDD1C1；④直线D1E与FG的交点在直线B1C1上；⑤几何体ABGEA1﹣DCFD1的体积为．其中正确的结论有①②④⑤（填上全部正确结论的序号）考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：①利用面面平行的性质定理即可推断出正误；②如图所示，取BB1的中点M，连接A1M，FM．则四边形A1D1FM是平行四边形，再利用三角形的中位线定理可得G是B1M的中点，即可推断出正误；③由A1D1⊥平面CDD1C1，可得平面A1D1FM⊥平面CDD1C1，即可推断出正误；④直线D1E与FG的交点既在平面A1B1C1D1上，又在平面BCC1B1上，因此在平面A1B1C1D1与平面BCC1B1的交线上，即可推断出正误；⑤先计算三棱台B1EG﹣C1D1F的体积V1．利用几何体ABGEA1﹣DCFD1的体积为=﹣V1，即可推断出正误解答：解：对于①，∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，平面D1EGF∩平面ABB1A1=EG，平面D1EGF∩平面DCC1D1=D1F，∴EG∥D1F；对于②，如图所示，取BB1的中点M，连接A1M，FM．则四边形A1D1FM是平行四边形，∴A1M∥D1F，∴A1M∥EG，又点E是A1B1的中点，∴G是B1M的中点，∴BG=3GB1；对于③，∵A1D1⊥平面CDD1C1，∴平面A1D1FM⊥平面CDD1C1，可得平面D1EGF与平面CDD1C1不行能垂直，因此不正确；对于④，直线D1E与FG的交点既在平面A1B1C1D1上，又在平面BCC1B1上，因此在平面A1B1C1D1与平面BCC1B1的交线B 1C1上，正确；对于⑤，∵==1，==，高B1C1=2，∴三棱台B1EG﹣C1D 1F的体积V1==．∴几何体ABGEA1﹣DCFD1的体积为=﹣V1=23﹣=，因此正确．故答案为：①②④⑤．点评：本题考查了空间线面面面位置关系及其判定方法、三棱台的体积计算公式，考查了空间想象力量、推理力量，属于中档题．三．解答题（共6小题，共75分）16．已知命题p：“∀x＞1，x+≥a”，命题q：“方程x2﹣ax+2a=0有两个不等实根”，p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用；简易规律．分析：别求出命题p，q为真命题时的取值范围，然后利用若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．解答：解：命题p为真命题时：∀x＞1，x﹣1＞0，依据基本不等式，a ≤x﹣1++1≤2+1=2+1=3（当且仅当x﹣1=即x=0时取相等），此时a≤3；命题q为真命题时，方程x2﹣ax+2a=0有两个不等实根，则△＞0，即a2﹣8a＞0，解得a＜0或a＞8；∵p∧q为假命题，p∨q为真命题，∴命题p 和q一真一假，p真q假时，有，则0≤a ≤3，p假q真时，有，则a＞8，∴实数a的取值范围：[0，3]∪（8，+∞）．点评：本题主要考查复合命题的真假与简洁命题真假之间的关系，比较基础．17．已知圆C的圆心为坐标原点O，且与直线l1：x﹣y﹣2=0相切．（1）求圆C的方程；（2）若与直线l1垂直的直线l2与圆C交于不同的两点P、Q，且以PQ为直径的圆过原点，求直线l2的方程．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（1）依据点到直线的距离确定圆的半径，则圆的方程可得．（2）设出直线l2的方程，推断出△OPQ为等腰直角三角形，求得圆心到直线l2的距离进而利用点到直线的距离求得c．则直线方程可得．解答：解：（1）由已知圆心到直线的距离为半径，求得半径r==2，∴圆的方程为x2+y2=4．（2）设直线l2的方程为x+y+c=0，由已知△OPQ为等腰直角三角形，则圆心到直线l2的距离为1，利用点到直线的距离公式得=，求得c=±2．所以直线l2的方程为x+y+2=0或x+y﹣2=0．点评：本题主要考查了直线与圆的方程问题的应用．点到直线的距离公式是解决此类问题的常用公式，应机敏运用．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E、F分别为A1C1、BC的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）求证：C1F∥平面ABE；（3）求三棱锥E﹣ABC的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）证明AB⊥B1BCC1，可得平面ABE⊥B1BCC1；（2）证明C1F∥平面ABE，只需证明四边形FGEC1为平行四边形，可得C1F∥EG；（3）利用V E﹣ABC =S△ABC•AA1，可求三棱锥E﹣ABC的体积．解答：解：（1）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∴BB1⊥AB，∵AB⊥BC，BB1∩BC=B，BB1，BC⊂平面B1BCC1，∴AB⊥平面B1BCC1，∵AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）证明：取AB中点G，连接EG，FG，则∵F是BC的中点，∴FG∥AC，FG=AC，∵E是A1C1的中点，∴FG∥EC1，FG=EC1，∴四边形FGEC1为平行四边形，∴C1F∥EG，∵C1F⊄平面ABE，EG⊂平面ABE，∴C1F∥平面ABE；（3）解：∵AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，∴AB=，∴V E﹣ABC =S△ABC•AA1=×（××1）×2=．点评：本题考查线面平行、垂直的证明，考查三棱锥E﹣ABC的体积的计算，正确运用线面平行、垂直的判定定理是关键．19．一个几何体是由圆柱ADD1A1和三棱锥E﹣ABC组合而成，点A、B、C在圆O的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图2所示，其中EA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC，AE=2．（1）求证：AC⊥BD；（2）求三棱锥E﹣BCD的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；简洁空间图形的三视图；直线与平面垂直的性质．专题：计算题．分析：（1）由已知中EA⊥平面ABC，AB⊥AC，结合线面垂直的定义及线面垂直的判定定理，我们易求出AC ⊥平面EBD，进而得到答案．（2）要求三棱锥E﹣BCD的体积，我们有两种方法，方法一是利用转化思想，将三棱锥E﹣BCD的体积转化为三棱锥C﹣EBD的体积，求出棱锥的高和底面面积后，代入棱锥体积公式，进行求解；方法二是依据V E﹣BCD=V E﹣ABC+V D﹣ABC，将棱锥的体积两个棱次的体积之差，求出两个帮助棱锥的体积后，得到结论．解答：（1）证明：由于EA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以EA⊥AC，即ED⊥AC．又由于AC⊥AB，AB∩ED=A，所以AC⊥平面EBD．由于BD⊂平面EBD，所以AC⊥BD．（4分）（2）解：由于点A、B、C在圆O的圆周上，且AB⊥AC，所以BC为圆O的直径．设圆O的半径为r，圆柱高为h，依据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，（6分）解得所以BC=4，．以下给出求三棱锥E﹣BCD体积的两种方法：方法1：由（1）知，AC⊥平面EBD，所以．（10分）由于EA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EA⊥AB，即ED⊥AB．其中ED=EA+DA=2+2=4，由于AB⊥AC ，，所以．（13分）所以．（14分）方法2：由于EA⊥平面ABC，所以．（10分）其中ED=EA+DA=2+2=4，由于AB⊥AC ，，所以．（13分）所以．（14分）点评：本题考查的学问点是棱锥的体积公式，简洁空间图形的三视图，直线与平面垂直的性质，其中依据已知中三视图的体积，推断出几何体中相关几何量的大小，结合已知中其中量，进而推断出线面关系是解答本题的关键．20．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=2x相交于P、Q 两点，假如•=3，O为坐标原点．证明：直线l过定点．考点：平面对量数量积的运算．专题：平面对量及应用．分析：设出直线的方程，同抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，依据根与系数的关系表示出数量积，依据数量积等于3，做出数量积表示式中的b的值，即得到定点的坐标．解答：证：由题意，直线的斜率不为0，所以设l：ky=x+b，代入抛物线y2=2x，消去x得y2﹣2ky+2b=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2）则y1+y2=2k，y1y2=2b，∵•=3，∴x1x2+y1y2=3，即（k2+1）y1y2﹣kb（y1+y2）+b2=3代入得2（k2+1）b﹣2k2b+b2=3，解得b=﹣3或者b=1，∴直线方程为ky=x﹣3或者ky=x+1，故直线l过定点（3，0）或者（﹣1，0）．点评：本题主要考查向量的数量积的运算，以及直线与抛物线的位置关系．21．已知椭圆的左焦点F为圆x2+y2+2x=0的圆心，且椭圆上的点到点F的距离最小值为．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）已知经过点F的动直线l与椭圆交于不同的两点A、B，点M （），证明：为定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；平面对量的坐标运算；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）先求出圆心坐标，再依据题意求出a、b，得椭圆的标准方程．（II）依据直线的斜率是否存在，分状况设直线方程，再与椭圆方程联立方程组，设出交点坐标，结合韦达定理根与系数的关系，利用向量坐标运算验证．解答：解：（I）∵圆x2+y2+2x=0的圆心为（﹣1，0），依据题意c=1，a﹣c=﹣1，∴a=．∴椭圆的标准方程是：+y2=1；（II）①当直线L与x轴垂直时，L的方程是：x=﹣1，得A（﹣1，），B（﹣1，﹣），•=（，）•（，﹣）=﹣．②当直线L与x轴不垂直时，设直线L的方程为 y=k（x+1）⇒（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2=，x1+x2=﹣，=（x1+，y1）•（x2+，y2）=x1x2+（x1+x2）++k2（x1x2+x1+x2+1）=（1+k2）x1x2+（k2+）（x1+x2）+k2+=（1+k2）（）+（k2+）（﹣）+k2+=+=﹣2+=﹣综上•为定值﹣．点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题及向量坐标运算．依据韦达定理，奇妙利用根与系数的关系设而不求，是解决本类问题的关键．。
上海市高二上学期期末考试数学试卷含答案(共3套)
高二第一学期期末考试试卷数学试题注意：1．答卷前，将姓名、班级、层次、学号填写清楚．答题时，书写规范、表达准确．2．本试卷共有21道试题，满分100分．考试时间90分钟．一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求将最终结果直接填写在答题纸相应的横线上，每个空格填对得3分，否则一律零分．1．若矩阵110A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，()121B =，则AB =__________．2．求行列式的值：111111124-=__________．3．经过点()2,1P -且与直线0l ：20x y -=平行的直线l 的点法向式方程为__________．4．椭圆2214y x +=的焦距为__________．5．双曲线221916y x -=的渐近线方程是__________．6．平面上的动点P 到定点1F 、2F 距离之和等于12F F ，则点P 的轨迹是__________．7．已知圆()224x a y -+=被直线1x y +=截得的弦长为a 的值为_________．8．将参数方程222sin sin x y θθ⎧=+⎨=⎩（θ为参数）化为普通方程为__________． 9．若,x y 满足条件32x y y x+≤⎧⎨≤⎩，则34z x y =+的最大值为__________．10．设P 是抛物线22y x =上的一点，(),0A a （01a <<），则PA 的最小值是__________．11．过直线y x =上的一点作圆()()22512x y -+-=的两条切线1l ，2l ，当1l 与2l 关于直线y x =对称时，它们之间的夹角为__________．12．已知点(),P x y 是线段220x y +-=（,0x y ≥）上的点，则1x yx ++的取值范围是______． 二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应的正确代号用2B 铅笔涂黑，选对得3分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律零分． 13．直线3450x y ++=的倾斜角是（ ）（A ）3arctan 4- （B ）3arctan4π+ （C ）3arctan 4π⎛⎫+-⎪⎝⎭（D ）3arctan 24π+14．若点M 在曲线sin 2cos sin x y θθθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）上，则点M 的坐标可能是 （ ）（A ）1,2⎛ ⎝（B ）31,42⎛⎫- ⎪⎝⎭（C ）(（D ）(15．若直线2y kx =+与双曲线226x y -=的右支交于不同的两点，则实数k 的取值范围是 （ ）（A ）,33⎛-⎝⎭ （B ）0,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ （C ）3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭（D ）13⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭16．关于曲线C ：441x y +=，则下列四个命题中，假命题．．．是（ ）（A ）曲线C 关于原点对称（B ）曲线C 关于直线y x =-对称（C ）曲线C 围成的面积小于π （D ）在第一象限中y 随x 的增大而减小三、解答题（本大题共5题，满分52分）每题均需写出详细的解答过程．17．（本题8分）已知两条直线1l ：5560x my ++=，2l ：()21520m x y m -++=． （1）当m 为何值时，1l 与2l 相交； （2）当m 为何值时，1l 与2l 平行．18．（本题8分）已知动点(),A x y 到点()2,0F 和直线2x =-的距离相等. （1）求动点A 的轨迹方程；（2）记点()2,0K -，若AK AF =，求AFK △的面积．19．（本题10分）已知点()2,2P ，()0,4Q ，动点M 满足0PM QM ⋅=，O 为坐标原点． （1）求M 的轨迹方程；（2）当OP OM =时，求POM △的面积．20．（本题12分）设椭圆221925x y +=的两焦点为1F 、2F ．（1）若点P 在椭圆上，且123F PF π∠=，求12F PF △的面积；（2）若AB 是经过椭圆中心的一条弦，求1F AB △面积的最大值．21．（本题14分）抛物线22y x =的准线与x 轴交于点M ，过点M 作直线l 交抛物线于A 、B 两点． （1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于()0,0N x ，求证：032x >； （3）若直线l 的斜率依次为1111,,,,,2482n ，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点依次为123,,,,,n N N N N ，求12231111n nN N N N N N -+++．参考答案一、填空题1．121121000⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭2．6-3．()()2210x y --+=4．5．34y x =± 6．线段12F F 7．3或1- 8．2y x =-，[]2,3x ∈9．11 10．a 11．3π 12．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、选择题 13．C14．B15．D16．C三、解答题 17．【解】()()55553215mD m m m ==--+-，()()651033215x mD m m m -==+--，()564322y D m m m-==-+--．当5m =时，两直线平行；当5m ≠且3m ≠-时，两直线相交．18．【解】（1）点A 的轨迹是以点F 为焦点，直线2x =-为准线的抛物线，所以28y x =．（2）过点A 作直线2x =-的垂线，垂足为H ，则AH AF =，所以AK =，所以三角形AHK是等腰直角三角形，所以AF KF ⊥，所以三角形AFK 的面积8S =． 19．【解】（1）M 的轨迹是以线段PQ 为直径的圆，所以点M 的轨迹方程为()()()2420x x y y -+--=，即()()22132x y -+-=．（2）设圆心为C ．因为OP OM =，所以()1,3OC =垂直于直线MP ，所以直线MP 的方程为()()2320x y -+-=，即380x y +-=．圆心到直线MP的距离5d =，故弦长5MP =，点O 到直线MP的距离5h =，所以三角形POM的面积1162555S =⋅⋅=．20．【解】（1）设1P F m =，2PF n =，在三角形12PF F 中，由余弦定理，()()2221212122cos 21cos F F m n mn F PF m n mn F PF =+-∠=+-+∠，解得12mn =，所以三角形12F PF的面积121sin 2S mn F PF =∠= （2）因为直线AB 斜率存在，所以设其方程为y kx =，则点1F 到直线AB的距离d =．设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与椭圆的方程：221925y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩x ⇒=．则21AB x x ==-=所以三角形1F AB的面积12S AB d =⋅⋅=，当且仅当0k =时，取得最大值12． 21．【解】（1）1,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设l ：12y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，联立直线与抛物线的方程：2122y k x y x⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩()2222204k k x k x ⇒+-+=（*）．因为l 交抛物线于两点，所以0k ≠且二次方程（*）根的判别式0∆>，解得()()1,00,1k ∈-⋃．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由韦达定理，21222k x x k-+=-，()121221y y k x x k +=++=，所以AB 中点的坐标为2221,2k kk ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以AB 中垂线方程为221122k y x k k k ⎛⎫--=-+ ⎪⎝⎭，所以0211322x k =+>． （3）设(),0m m N x ，则142m m x =+，所以1114434m m m m m N N ---=-=⋅，所以11223111111194n n n N N N N N N --⎡⎤⎛⎫+++=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．高二年级第一学期数学期末考试卷（考试时间：120分钟 满分：150分 ）一.填空题（1--6每小题4分，7--12每小题5分，共54分） 1．已知复数ii z +=2(i 为虚数单位)，则=||z ．2．若)1,2(=是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）． 3．抛物线24y x =的焦点坐标为 ．4．62x ⎛- ⎝的展开式中的常数项的值是 ．5．已知实数x 、y 满足不等式组52600x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则34z x y =+的最大值是 ．6．已知虚数ααsin cos i z += 是方程0232=+-a x x 的一个根,则实数=a ．7．已知21,F F 为双曲线C ：122=-y x 的左右焦点，点P 在双曲线C 上，1260F PF ∠=︒,则=⋅||||21PF PF ．8．某校高二年级共有六个班,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名,则不同的安排方案种数为 ．9． 设曲线C 的参数方程为23cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），直线l 的方程为320x y -+=，则曲线C 上到直线l的点的个数为____________． 10．已知抛物线y x 32=上的两点A 、B 的横坐标恰是关于x 的方程02=++q px x （,p q 是常数）的两个实根，则直线AB 的方程是 ．11．在ABC ∆中，AB 边上的中线2CO =，若动点P 满足221sin cos 2AP AB AC θθ=⋅+⋅()R θ∈，则()PA PB PC +⋅的最小值是 ．12．已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆C 上任一点，M=||||||||2121PF PF PF PF ⋅+-。
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吴起高级中学2021—2021学年第一学期期末考试创作单位：*ＸＸＸ创作时间：2022年4月12日创作编者：聂明景高二文科数学根底卷说明：本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部。
满分是150分，考试时间是是120分钟。
第一卷〔选择题一共60分〕一、选择题：(一共12小题，每一小题5分，一共计60分)1.以下命题为真命题的是〔〕A. 假设，那么B. 假设，那么C. 假设，那么D. 假设，那么【答案】B【解析】【分析】根据不等式的性质来判断四个选项命题的真假【详解】对于A，假设，，，故错误对于B，假设，那么正确对于C，假设，当，时错误对于D，假设，当，时错误综上选【点睛】此题是一道有关不等式的题目，纯熟掌握不等式的根本性质是解题的关键，较为简单2.“〞是“〞的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：由可得成立，反之不成立，所以“〞是“〞的充分不必要条件考点：充分条件与必要条件3.命题“，使得〞的否认是〔〕A. ，使得B. ，都有C. ，使得D. ，都有【答案】B【解析】【分析】根据特称命题的否认是全称命题，写出该命题的否认即可【详解】根据特称命题的否认是全称命题，可得命题“，使得〞的否认是，都有应选【点睛】此题主要考察了特称命题否认的定义，纯熟掌握定义是解题的关键，属于根底题。
4.某数列的前项和那么〔〕A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】由条件将代入即可得到的值【详解】，当时，那么应选C【点睛】此题考察了求数列某项的值，只需代入条件即可，较为简单5.假设，那么〔〕A. 1B. 2C.D. 4【答案】A【解析】【分析】由条件结合导数的定义求出结果【详解】由可得应选【点睛】此题考察了导数的定义，理解导数的定义即可求出结果，较为根底。
6.椭圆的离心率是〔〕A. 2B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意由椭圆的HY方程可得,由计算可得的值，由离心率计算公式即可求得答案【详解】根据题意，椭圆其中那么，解得,应选D【点睛】此题主要考察了椭圆的简单性质，纯熟掌握离心率的计算公式是解题的关键，属于根底题。
7.抛物线的焦点坐标为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把抛物线化为HY形式，即可得到答案【详解】抛物线，，那么焦点坐标为【点睛】此题主要考察了抛物线的简单性质，属于根底题。
8.三角形中，那么三角形一定是〔〕A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 都有可能【答案】A【解析】【分析】直接利用余弦定理判断最大角即可判断出三角形的形状。
【详解】三角形中，,那么是钝角应选【点睛】此题主要考察了三角形的形状判断，运用余弦定理即可断定出三角形形状，较为简单9.如图，表示图中阴影局部所示平面区域(包括边界)的不等式组是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用特殊点定区域，判断选项即可得到答案【详解】图中阴影局部所示平面区域在直线方程上方，故，同理可得，，应选A【点睛】此题主要考察了二元一次不等式与区域，纯熟掌握区域与直线的位置关系与相应不等式的对应关系是解此题的关键，较为根底10.公比为2的等比数列的各项都是正数，且，那么〔〕A. 2B. 16C. 31D. 32【答案】C【解析】【分析】由条件计算出的值，然后运用公式求出的值【详解】由题意等比数列的各项都是正数，且公比为2，那么，那么，，应选【点睛】此题考察了求等比数列的前项和的运算，只要运用公式即可求出结果，较为简单11.的最小值是〔〕A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】利用根本不等式的性质进展求解即可【详解】，，那么由根本不等式可得：，，当且仅当时，时取到最小值【点睛】此题主要考察了运用根本不等式求最值，需要满足“一正二定三相等〞，较为简单12.等差数列中，为其前项和，假设那么〔〕A. 32B. 18C. 14D. 10【答案】B【解析】【分析】由等差数列的性质可得，，仍成等差数列，由此可得的值【详解】等差数列中，为其前项和，那么根据等差数列的性质可得，，仍成等差数列，即成等差数列那么有，解得应选B【点睛】此题主要考察了等差数列的前项和，考察了等差数列的性质，灵敏运用等差数列的性质是解决此题的关键，需要掌握解题方法。
第二卷〔非选择题一共90分〕二、填空题：(一共4小题，每一小题5分，一共计20分)13.中，，那么______.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理即可得出结果【详解】中，，根据余弦定理可得：故故答案为【点睛】此题主要考察了余弦定理的应用，纯熟掌握定理解决此题的关键，属于根底题。
14.函数在点处的切线方程是__________.【答案】【解析】【分析】求出导函数，确定切线的斜率，求出切点坐标，利用点斜式，可得切线方程【详解】由题意可得,,那么函数在点处的切线方程是即故答案为【点睛】此题主要考察了导数知识的运用，考察了直线的斜率和导数的几何意义以及学生的运算求解才能，属于根底题。
15.数列中，那么这个数列的______.【答案】19【解析】【分析】由判断出数列是以为首项，以为公差的等差数列，求出通项公式后即可求得【详解】，且数列是以为首项，以为公差的等差数列，通项公式为,故答案为19【点睛】此题主要考察了求等差数列项的计算，首先应该判断出数列是以为首项，以为公差的等差数列，便于求解，属于根底题。
16.设的左焦点为,为椭圆上一点，那么的最大值为_____.【答案】8【解析】【分析】由两点之间的间隔公式求出的最大值【详解】椭圆方程为，那么，左焦点为坐标为，那么又，故当时，即当为椭圆右顶点时的最大值为，故的最大值为【点睛】此题考察了运用两点之间的间隔公式计算椭圆上一点到焦点间隔最值问题，较为根底三、解答题：〔一共6大题,一共计70分〕17.求以下函数的导数.(1)(2)【答案】〔1〕;〔2〕【解析】【分析】⑴运用求导法那么即可得到函数的导数⑵运用求导法那么即可得到函数的导数【详解】⑴，那么⑵，那么【点睛】此题考察了求导法那么，利用函数的导数法那么即可得出结果，较为根底18.解以下不等式.(1)(2)【答案】〔1〕;〔2〕或者【解析】【分析】⑴运用一元二次不等式求出结果⑵将分式不等式转化为一元二次不等式，然后求出结果【详解】〔1〕即解得所以不等式的解集为(2)等价于解得或者所以不等式的解集为或者【点睛】此题考察理解不等式，尤其是分式不等式可以将其转化为一元二次不等式来求解，需要掌握解题方法，较为根底.19.求双曲线方程，它与椭圆有一样的焦点，且双曲线上的点到两焦点间隔之差的绝对值为4.【答案】【解析】【分析】由题意先求出焦点，结合题意求出双曲线的方程【详解】解：由椭圆方程得，双曲线上的点到两焦点间隔之差的绝对值为4，即，故所以双曲线方程为：【点睛】此题考察了求双曲线方程，结合题意分别求出的值即可，较为根底20.新年要到了，高二某生为我吴起高级中学制作了一件目前面上最电的灯饰，如下图〔小圆圈代表发光灯本图只显示出了前三排灯总排数不超过15〕。
设计方案如下：第一排1个灯，从第二排起，每一排比上一排多1个灯。
〔1〕写出第n排灯数关于的表达式；〔2〕前10排一共需多少个灯.【答案】〔1〕;〔2〕【解析】【分析】⑴由递推关系求出关于的表达式⑵运用等差数列前项和求出结果【详解】⑴由题意第一排1个灯，从第二排起，每一排比上一排多1个灯，故第二排2个灯，第三排3个灯，依次递推可得第排个灯，又总排数不超过15，故⑵由⑴得数列是以1为首项，1为公差的等差数列，即，有所以前10排一共需灯个数为：【点睛】此题考察了等差数列的通项公式和前项和，运用公式即可求出结果，较为根底21.设三角形的内角的对边分别为且.〔1〕求的值；〔2〕求此三角形的面积．【答案】〔1〕;〔2〕【解析】【分析】⑴由正弦定理边角互化求出之间的数量关系，即可求出的值⑵由余弦定理求出角的余弦值，然后求出正弦值，运用三角形面积公式求出结果【详解】⑴因为，由正弦定理得，又，所以⑵结合⑴可得，由余弦定理得，故，故【点睛】此题考察了运用正弦定理、余弦定理解三角形，运用三角形面积公式求出三角形面积，纯熟运用公式是解题关键，较为根底，需要掌握解题方法22.设函数在及处取极值.〔1〕求的值；〔2〕假设对于任意的，都有成立，求的取值范围．【答案】(1) ;(2) 或者【解析】【分析】⑴由题意在及处取极值代入求出的值⑵由题意成立，求出，得到关于的不等式，求出的取值范围【详解】解：(1)由题意函数在及处取极值，故有和两个根，由根与系数之间的关系得,所以(2)由题意对于任意的，都有恒成立，即，由⑴知，当时，单调递减，当时，单调递增，，，那么故即有解得或者【点睛】此题考察了由导数极值求参量及解答关于恒成立的不等式问题，在求解恒成立问题时将其转化为最值问题，然后求出不等式的结果即可，需要掌握解题方法。