非条件极值与条件极值求法
求解两个方程组
1 设点（x，y，z）
2求驻点，方程组==0，得驻点
3 求第二个方程组ACB
4 表！! ! !
=========================================================================== 条件极值：
1 构造拉格朗函数////条件为0式
2 解方程组
====================================================================================================
第四章 非线性规划1-约束极值问题
第四章 非线性规划 ???? ???? 无约束最优化问题线性规划约束最优化问题非线性规划 ?? ?凸规划约束最优化问题非凸规划 ?? ?直接解法约束最优化问题求解方法间接解法 间接解法是将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题来解的一种方法。由于这类方法可以选用有效的无约束优化方法，且易于处理同时具有不等式约束和等式约束的问题，因而在工程优化中得到了广泛的应用。 直接解法是在满足不等式约束的可行设汁区域内直接按索问题的约束最优解。 第一节 目标函数的约束极值问题 所谓约束优化设计问题的最优性条件．就是指在满足等式和不等式约束条件下，其目标函数值最小的点必须满足的条件，须注意的是，这只是对约束的局部最优解而言。 对于带有约束条件的目标函数，其求最优解的过程可归结为： 一、约束与方向的定义 一）起作用约束与松弛约束 对于一个不等式约束()0g X ≤来说，如果所讨论的设计点() k X 使该约束()0g X =(或 者说() k X 当时正处在该约束的边界上)时，则称这个约束是() k X 点的一个起作用约束或紧约 束，而其他满足()0g X <的约束称为松弛约束。
冗余约束 40g ≤ 当一个设计点同时有几个约束起作用时，即可定义起作用约束集合为 {}()()()|()0,1,2, ,k k u I X u g X u m === 其意义是对() k X 点此时所有起作用约束下标的集合。 二）冗余约束 如果一个不等式约束条件的约束面(即()0g X =)对可行域的大小不发生影 响，或是约束面不与可行域D 相交，即此约束称为冗余约束。 三）可行方向 可行方向：一个设计点()k X 在可行域内，沿某一个方向S 移动，仍可得到一个属于可行域的新点，则称该方向为可行方向。 1）设计点为自由点 设计点() k X 在可行域内是一个自由点，在各个方 向上都可以作出移动得到新点仍属于可行域，如图所示。 2）设计点为约束边界点 当设计点()k X 处于起作用约束i g 上时，它的移动就会受到可行性的限制。此时，()k X 点的可行方向S 必满足条件： ()0T k i S g X ?≤ （解释：()()cos ,()T k k T k i i i S g X S g X S g X ?=??，,()90T k i S g X ?≥?）） 当,()90T k i S g X ?=?时，方向S 是约束函数i g 在()k X 点处的切线方向，即()0T k i S g X ?=。 当某个设计点x 同时有几个约束起作用时(如
拉格朗日条件极值
拉格朗日乘子法的简单证明(不知道对不对) 应用例题：已知有一个体积为a 的铁块。把这个铁块打造成一个长方体，求其表面积s 的极小值。 解:依据题意有如下关系式 )1(a xyz = )2()(2222z y x s ++= 构造函数M 如下： )3()()(2),,,(222a xyz c z y x c z y x M -+++= 只要求M 函数的极值，即为s 的极值。 )4(04=+=??cyz x x M )5(04=+=??cxz y y M )6(04=+=??cxy z z M )7(0=-=??a xyz c M 以上四个方程可解出四个未知数x ，y ，z ，c 。将(7)带入(4)，(5)，(6)后得： )8(4442 22z y x ac ===- 可得: )9(431 a z y x ac ====- )01(431 -a c -= 此时，面积s 为： )9(632a s = 证明过程：拉格朗日乘子法，拉格朗日条件极值。 已知，自变量x 和y 符合关系式(1)，求表达式(2)的极值。 )1(0),(==y x F z )2(),(y x f )3(?)(y =x 解:若可以从(1)式中求出y 的表达式(3)，则可以把(3)式带入(2)式。此时，就变成求单个自变量的函数极值问题，即为(4)式。 )4(0))(,())(,(=+=dx dy x y x f x y x f dx dz y x 对(1)进行全微分，可得(5)式,进而得到(6)式。 )6()5(0 ),(Y x y x F F dx dy dy F dx F y x dF -==+= 将(6)式带入(4)式可得(7)式。 )7(0))(,())(,())(,())(,(=-=-=x y y x y x y x F F x y x f x y x f F F x y x f x y x f dx dz )8(),() ,(y x F y x f y y -=λ
约束优化问题的极值条件
等式约束优化问题的极值条件 求解等式约束优化问题 )(m i n x f ..t s ()0=x h k ()m k ,,2,1???= 需要导出极值存在的条件，对这一问题有两种处理方法：消元法和拉格朗日乘子法（升维法） 一、消元法（降维法） 1.对于二元函数 ),(min 21x x f ..t s ()0,21=x x h ， 根据等式约束条件，将一个变量1x 表示成另一个变量2x 的函数关系()21x x ?=，然后将这一函数关系代入到目标函数()21,x x f 中消去1x 变成一元函数()2x F 2.对于n 维情况 ()n x x x f ,,,min 21???..t s ()0,,,21=???n k x x x h ),,2,1(l k ???= 由l 个约束方程将n 个变量中的前l 个变量用其余的l n -个变量表示： ()n l l x x x x ,,,2111???=++? ()n l l x x x x ,,,2122???=++? ... ()n l l l l x x x x ,,,21???=++? 将这些函数关系代入到目标函数中，得到()n l l x x x F ,,,21???++ 二、拉格朗日乘子法（升维法） 设T n x x x x ),,,(21???=，目标函数是()x f ，约束条件()0=x h k ),,2,1(l k ???=的l 个等式约束方程。为了求出()x f 的可能极值点T n x x x x ),,,(**2*1*???=，引入拉格朗日乘子k λ),,2,1(l k ???=，并构成一个新的目标函数 ()()x h x f x F l k k k ∑=+=1),(λλ 把()λ,x F 作为新的无约束条件的目标函数来求解它的极值点，满足约束条件 ()0=x h k ),,2,1(l k ???=的原目标函数()x f 的极值点。 ()λ,x F 具有极值的必要条件 ),,2,1(0n i x F i ???==?? ，),,2,1(0l k F k ???==??λ可得n l +
求极值与最值的方法
求极值与最值的方法 1 引言 在当前的数学教育中，求初等函数的极值与最值占有比较重要的位置，由于其解法灵活，综合性强，能力要求高，故而解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法。下面我们将要介绍多种求初等函数的极值和最值的方法。 2 求函数极值的方法 极值定义：设函数()f x 在0x 的某邻域内有定义，且对此邻域内任一点 x 0()x x ≠，均有0()()f x f x <，则称0()f x 是函数错误！未找到引用源。的一个极大值；同样如果对此邻域内任一点x 0()x x ≠，均有错误！未找到引用源。，则称0()f x 是函数错误！未找到引用源。的一个极小值。函数的极大值与极小值统称为函数的极值。使函数取得极值的点0x ，称为极值点。 2.1 求导法 判别方法一： 设()f x 在点0x 连续，在点错误！未找到引用源。的某一空心邻域内可导。当 x 由小增大经过错误！未找到引用源。时，如果： (1)'()f x 由正变负，那么0x 是极大值点； (2)错误！未找到引用源。由负变正，那么0x 是极小值点； (3)错误！未找到引用源。不变号，那么0x 不是极值点。 判别方法二： 设()f x 在点0x 处具有二阶导数,且'()0f x =,''()0f x =。 (1)如果''()0f x <，则()f x 在点0x 取得极大值； (2)如果''()0f x >，则()f x 在点0x 取得极小值。
判别方法三： 设()f x 在点0x 有n 阶导数，且0)()()(0)1(00===''='-x f x f x f n 0)(0)(≠x f n ，则： （1）当为偶数时，)(x f 在0x 取极值，有0)(0)(
第四章 非线性规划约束极值问题
第四章 非线性规划 ?? ?? ???? 无约束最优化问题线性规划约束最优化问题非线性规划 ?? ?凸规划约束最优化问题非凸规划 ?? ?直接解法约束最优化问题求解方法间接解法 间接解法是将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题来解的一种方法。由于这类方法可以选用有效的无约束优化方法，且易于处理同时具有不等式约束和等式约束的问题，因而在工程优化中得到了广泛的应用。 直接解法是在满足不等式约束的可行设汁区域内直接按索问题的约束最优解。 第一节 目标函数的约束极值问题 所谓约束优化设计问题的最优性条件．就是指在满足等式和不等式约束条件下，其目标函数值最小的点必须满足的条件，须注意的是，这只是对约束的局部最优解而言。 对于带有约束条件的目标函数，其求最优解的过程可归结为： 一、约束与方向的定义 一）起作用约束与松弛约束 对于一个不等式约束()0g X ≤来说，如果所讨论的设计点() k X 使该约束()0g X =(或 者说() k X 当时正处在该约束的边界上)时，则称这个约束是() k X 点的一个起作用约束或紧约 束，而其他满足()0g X <的约束称为松弛约束。
冗余约束 4 0g ≤ 当一个设计点同时有几个约束起作用时，即可定义起作用约束集合为 {}()()()|()0,1,2, ,k k u I X u g X u m === 其意义是对() k X 点此时所有起作用约束下标的集合。 二）冗余约束 如果一个不等式约束条件的约束面(即()0g X =)对可行域的大小不发生影 响，或是约束面不与可行域D 相交，即此约束称为冗余约束。 三）可行方向 可行方向：一个设计点()k X 在可行域内，沿某一个方向S 移动，仍可得到一个属于可行域的新点，则称该方向为可行方向。 1）设计点为自由点 设计点() k X 在可行域内是一个自由点，在各个方 向上都可以作出移动得到新点仍属于可行域，如图所示。 2）设计点为约束边界点 当设计点()k X 处于起作用约束i g 上时，它的移动就会受到可行性的限制。此时，()k X 点的可行方向S 必满足条件： ()0T k i S g X ?≤ （解释：()()cos ,()T k k T k i i i S g X S g X S g X ?=??，,()90T k i S g X ?≥?）） 当,()90T k i S g X ?=?时，方向S 是约束函数i g 在()k X 点处的切线方向，即()0T k i S g X ?=。 当某个设计点x 同时有几个约束起作用时(如
单纯形法解决无约束优化问题
分数: ___________任课教师签字：___________ 课程作业 学年学期：2017——2018学年第二学期 课程名称：优化理论 作业名称：作业三 学生姓名： 学号： 提交时间：
一、问题重述 形如的min (x),x R n f ∈问题称为无约束优化问题，常用下降算法来解决这类问题。下降算法的关键在于步长和搜索方向的选取。步长的求取可以借助前面作业中提到的一维搜索等方法求取，而搜索方向算法可以分为两大类，解析法和直接法。 解析法借助了目标函数的导数进行搜索，这类算法搜索速度快、效率高，但是对目标函数的要求更为严格。常用的方法有最速下降法、Newton 法、共轭梯度法、拟Newton 法等。 直接法不使用导数，也不需要得到目标函数的明确解析式，只需要能够得到某些函数上的点即可。因此直接法的适用范围更广，但相应的收敛速度会较慢，计算量也会随着问题维数的增加而迅速增大。常用的方法有单纯形法、Powell 方向加速法以及Powell 改进算法。 本作业以直接法的Powell 法为例，解决具体的无约束优化问题，并对将Powell 方向加速法和Powell 改进算法解决结果进行对比。 二、算法原理 对于n 维正定二次函数(x)0.5T T f x Gx b x c =++，设011,,...(k n)k p p p -<关于G 共轭，0x 与1x 为任意不同点。分别从0x 与1x 出发，依次沿011,,...k p p p -作一维搜索。如果最后找到两个互不相同的极小点x a 与x b ，则x b a x -与011,,...k p p p -关于G 共轭。 Powell 方向加速法正是基于这一原理，每次迭代过程作n+1次一维搜索。第一次沿给定的n 个线性无关的方向011,,...n p p p -依次作一维搜索，之后沿由这一阶段的起点到第n 次搜索所得到的点的方向P 再做一次一维搜索，并把这次所得点作为下一阶段的起点，下一阶段的n 个搜索方向为011,,...,n p p p p -。以此直到找到最优解。 此算法是在迭代中逐次生成共轭方向，而共轭方向又是较好的搜索方向，所以称之为方向加速法。但是，此算法产生的n 个向量可能线性或近似线性相关，这时张不成n 维空间，可能得不到真正的极小点。因此，Powell 原始算法存在一定的缺陷。 Powell 改进算法虽然不再具有二次终止性，但克服了搜索方向的线性相关的不利情形，是解决无约束优化问题较有效的直接法之一。 本次作业一维搜索的过程是利用函数求导，求得最小值。经过试验发现，α是允许为负数的。否则最终寻优得到的极值点与实际结果存在很大的偏差，
第十五章 值和条件极值
第十五章 极值和条件极值 §1. 极值和最小二乘法 一 极值 定义1 设(),f x y 在()000,M x y 的邻域内成立不等式 ()()00,,f x y f x y ≤ 则称函数(,)f x y 在点0M 取到极大值，点()000,M x y 称为函数的极大点，若在()000,M x y 的邻域内成立不等式 ()()00,,f x y f x y ≥ 则称函数(,)f x y 在点0M 取到极小值，点()000,M x y 称为函数的极小点。极大值和极小值统称为极值，极大点和极小点统称为极值点。 定义 2 设D 是2R 内的一个区域，()00,x y 是D 的一个内点，如果()00,0f x y x ?=?，()00,0f x y y ?=?，则称()00,x y 是f 的一个驻点。 根据费玛定理，可知 定理1 二元函数的极值点必为0f f x y ??==??的点或至少有一个偏导数不存在的点。 注：定理1的条件是必要条件，而不是充分条件。 例：z xy =在()0,0点。 例：z x =在()0,0点。 怎样进一步判断是否有极值？ 定理2 设f 在点),(00y x 的某个邻域内有各个二阶连续偏导数，并且点),(00y x 是f 的一个驻点， ),(0022y x x f A ??=，),(0022y x y f C ??=，),(002y x y x f B ???=，2A B H AC B BC ==-，则：（1）若0,0H A >>，则f 在点),(00y x 有极小值；（2）若0,0H A ><，则f 在点),(00y x 有极大值；（3）若0H <，则f 在点),(00y x 没有极值；（4）若0H =，则须进一步判断。 例：求)1(b y a x xy z --= )0,0(>>b a 的极值。 例：求333z axy x y =--的极值。 多元函数的最大（小）值问题 设函数),(y x f 在某一有界闭区域D 中连续且可导，必在D 上达到最大（小）值。若这样的点0M 位于
条件极值答案
习题8-3答案 （A ） 1、求下列函数的极值： （1）极小值点（0,1）；极小值z=0; (2)求函数333z x y xy =+- 的极值. 解：解方程组得22330330z x y x z y x y ??=-=??????=-=???，解得驻点(0,0),(1,1) 由于222226,3,6z z z x y x x y y ???==-=????，故在(0,0)处290AC B -=-<，函数z 不取得 极值；在(1,1)处有2 270AC B -=>，且60A =>，函数z 在点(1,1)处取得极值，且极小值为1z =-。 (3)极大值点（0,0），极大值1；且（0,0）点为不可导点 (4)极小值点（5,2），极小值30 2 要设计一个容积为a 的长方体形无盖水池 . 确定长、宽和高 , 使水池的表面积最小 . 分别以x 、y 和z 表示水池的长、宽和高 , 该例可表述为 : 在约束条件 xyz a =之下求函数xy yz xz z y x S ++=)(2),,(的最小值 . (,,,)2()()F x y z xz yz xy xyz a λλ=+++- 对F 求偏导数, 并令它们都等于0: 20,20,2()0,0.x y z F z y yz F z x xz F x y xy F xyz a λλλλ=++=? ?=++=? ?=++=? ?=-=? 求上述方程组的解, 得3 3 4 22,2x y z a a λ=== =- . 依题意, 所求水箱的表面积在所给条件下确实存在最小值. 由上可知, 当高为3 4 a , 长与
宽为高的2倍时, 表面积最小. 最小值233(2)S a =. 3.提示：分别以x 、y 表示矩形的长、宽，则 222x y p +=（约束条件）,所求圆柱体体积为2 V x y π= 构造辅助函数2(,,)(222)F x y x y x y p λπλ=++-，则 2220, 20,2220.x y F xy F x F x y p λπλπλ=+=?? =+=?? =+-=? 解得2x y =，代入约束条件得： 23x p = 13y p =；为唯一的驻点，有实际意义知为最值点。 4.求函数u xyz =在条件22 2124 x y z ++=之下的极值。 解：构造辅助函数22 2(,,,)(1)24 x y F x y z xyz z λλ=++ +-，则 222 0, 0, 220,10.24x y z F yz x y F xz F xy z x y F z λλλλ=+=? ??=+=??=+=??=++-=? ? 前三个式子联立去掉λ，得22 224x y z ==，结合第四个式子得到结果为2221 243 x y z ===。所以驻点有八个（+，+，+）（+，+，-） （+，-，+）（+，-，-）（-，+，+）（-，+，-）（-，-，+）（-，-，-）。其中1、4、6、7点为极大值点，2、3、5、8为极小值点。 (其中在三个式子联立去掉λ的过程中不需要考虑λ=0，或者x =0，y =0及z=0,因为此 时它们的函数值为0，不是极值点。 5、在半径为R 的半球内求一体积为最大的内接长方体。 解：设此半球的方程为2 2 2 2 ,0x y z R z ++=≥，内接长方体在第一象限的一个顶点坐标为(),,x y z ，则内接长方体体积22224,V xyz x y z R =++=。考虑函数
第十五章极值和条件极值
第十五章 极值和条件极值 (一) 教学目的： 1）理解极值与条件极值的概念； 2）掌握最小二乘法。 (二) 教学重点： 1）条件极值的必要条件； 2）条件极值的求法. （三）教学难点 1）最小二乘法； 2）多元函数的最大（小）值问题。 §15. 1极值和最小二乘法 一 极值 定义1： 设(),f x y 在()000,M x y 的邻域内成立不等式 ()()00,,f x y f x y ≤ 则称函数(,)f x y 在点0M 取到极大值，点()000,M x y 称为函数的极大点，若在()000,M x y 的邻域内成立不等式 ()()00,,f x y f x y ≥ 则称函数(,)f x y 在点0M 取到极小值，点()000,M x y 称为函数的极小点。极大值和极小值统称为极值，极大点和极小点统称为极值点。 定义2： 设D 是2 R 内的一个区域，()00,x y 是D 的一个内点，如果 () 00,0f x y x ?=?， ()00,0f x y y ?=?， 则称()00,x y 是f 的一个驻点。 根据费玛定理，可知 定理1：二元函数的极值点必为 0f f x y ??==??的点或至少有一个偏导数不存在的点。
注：定理1的条件是必要条件，而不是充分条件。 例1：z xy =在()0,0点。 例2：z x =在()0,0点。 怎样进一步判断是否有极值？ 定理2： 设f 在点),(00y x 的某个邻域内有各个二阶连续偏导数，并且点),(00y x 是f 的一个驻点， ),(0022y x x f A ??=，),(0022y x y f C ??=，),(002y x y x f B ???=，2A B H AC B BC ==-，则：（1）若0,0H A >>，则f 在点),(00y x 有极小值； （2）若0,0H A ><，则f 在点),(00y x 有极大值； （3）若0H <，则f 在点),(00y x 没有极值； （4）若0H =，则须进一步判断。 例3：求)1(b y a x xy z -- = )0,0(>>b a 的极值。 例4：求3 3 3z axy x y =--的极值。 多元函数的最大（小）值问题 设函数),(y x f 在某一有界闭区域D 中连续且可导，必在D 上达到最大（小）值。若这样的点0M 位于区域内部，则在这点显然函数有极大（小）值。因此，在这种情形函数取到最大（小）值的点必是极值点之一。然而函数),(y x f 的最大（小）值最可能在区域的边界上达到。因此，为找出函数),(y x f z =在区域D 上的最大（小）值，必须找出一切有极值的内点，算出这些点的函数值，再与区域边界上的函数值相比较，这些数值中最大数（或最小数）就是函数在闭区域D 上的最大（小）值。通常可根据问题的实际意义来判断。 例5：有一块宽24cm 的矩形薄铁皮，把两边折起来，做成一个梯形水槽，问x 和θ各自为何值时，水槽的流量是最大？ 例6：试在x 轴，y 轴与直线2x y π+=围成的三角形区域上求函数 ()sin sin sin u x y x y =+-+的最大值。
第三章 无约束最优化方法
第三章无约束最优化方法 本章内容及教学安排 第一节概述 第二节迭代终止原则 第三节常用的一维搜索方法 第四节梯度法 第五节牛顿法 第六节共轭方向法 第七节变尺度法 第八节坐标轮换法 第九节鲍威尔方法 第一节概述 优化问题可分为 无约束优化问题 有约束优化问题 无约束最优化问题求解基于古典极值理论的一种数值迭代方法，主要用来求解非线性规划问题 迭代法的基本思想：
所以迭代法要解决三个问题 1、如何选择搜索方向 2、如何确定步长
3、如何确定最优点（终止迭代） 第二节 迭代终止准则 1）1K K X X ε+-≤ 111/2 21K K K K n i i i X X X X ε++=??-=-≤???? ∑（） 2） 11()()()() () K K K K K f X f X f X f X or f X ε ε ++-≤-≤ 3）(1)()K f X ε+?≤ 第三节 常用的一维搜索方法 本节主要解决的是如何确定最优步长的问题。 从初始点(0)X 出发，以一定的步长沿某一个方向，可以找到一个新的迭代点，其公式如下： (1)(0)00(2)(1)11(1)() K K k k X X S X X S X X S ααα+=+=+= + 现在假设K S 已经确定，需要确定的是步长k α，就把求多维目标函数的极小值这个多维算过程中，当起步点和方向问题，变成求一个变量即步长的最优值的一维问题了。即 (1)()min ()min ()min ()K K K k k f X f X S f αα+=+= 由此可见，最佳步长*K α由一维搜索方法来确定 求*k α，使得()()()()()()min K K K K f f X S αα=+→ 一、一维搜索区间的确定 区间[,]a b 应满足 ()(*)()f a f f b α><
单纯形法解决无约束优化问题
分数: ___________ 任课教师签字：___________ 课程作业 学年学期：2017——2018学年第二学期 课程名称：优化理论 作业名称：作业三 学生姓名： 学号： 提交时间：
一、问题重述 形如的min (x),x R n f ∈问题称为无约束优化问题，常用下降算法来解决这类问题。下降算法的关键在于步长和搜索方向的选取。步长的求取可以借助前面作业中提到的一维搜索等方法求取，而搜索方向算法可以分为两大类，解析法和直接法。 解析法借助了目标函数的导数进行搜索，这类算法搜索速度快、效率高，但是对目标函数的要求更为严格。常用的方法有最速下降法、Newton 法、共轭梯度法、拟Newton 法等。 直接法不使用导数，也不需要得到目标函数的明确解析式，只需要能够得到某些函数上的点即可。因此直接法的适用范围更广，但相应的收敛速度会较慢，计算量也会随着问题维数的增加而迅速增大。常用的方法有单纯形法、Powell 方向加速法以及Powell 改进算法。 本作业以直接法的Powell 法为例，解决具体的无约束优化问题，并对将Powell 方向加速法和Powell 改进算法解决结果进行对比。 二、算法原理 对于n 维正定二次函数(x)0.5T T f x Gx b x c =++，设011,,...(k n)k p p p -<关于G 共轭，0x 与1x 为任意不同点。分别从0x 与1x 出发，依次沿011,,...k p p p -作一维搜索。如果最后找到两个互不相同的极小点x a 与x b ，则x b a x -与011,,...k p p p -关于G 共轭。 Powell 方向加速法正是基于这一原理，每次迭代过程作n+1次一维搜索。第一次沿给定的n 个线性无关的方向011,,...n p p p -依次作一维搜索，之后沿由这一阶段的起点到第n 次搜索所得到的点的方向P 再做一次一维搜索，并把这次所得点作为下一阶段的起点，下一阶段的n 个搜索方向为011,,...,n p p p p -。以此直到找到最优解。 此算法是在迭代中逐次生成共轭方向，而共轭方向又是较好的搜索方向，所以称之为方向加速法。但是，此算法产生的n 个向量可能线性或近似线性相关，这时张不成n 维空间，可能得不到真正的极小点。因此，Powell 原始算法存在一定的缺陷。 Powell 改进算法虽然不再具有二次终止性，但克服了搜索方向的线性相关的不利情形，是解决无约束优化问题较有效的直接法之一。 本次作业一维搜索的过程是利用函数求导，求得最小值。经过试验发现，α是允许为负数的。否则最终寻优得到的极值点与实际结果存在很大的偏差，
条件极值及拉格朗日乘数法
§4条件极值 一、何谓条件极值 在讨论极值问题时，往往会遇到这样一种情形，就是函数的自变量要受到某些条件的限制。决定一给定点),,(000z y x 到一曲面0),,(=z y x G 的最短距离问题，就是这种情形。我们 知 道 点 ) ,,(z y x 到点 ) ,,(000z y x 的距离为 202020)()()(),,(z z y y x x z y x F -+-+-=.现在的问题是要求出曲面0 ),,(=z y x G 上的点),,(z y x 使F 为最小.即问题归化为求函数),,(z y x F 在条件0),,(=z y x G 下的最小值问题. 又如，在总和为C 的几个正数n x x x ,,21的数组中，求一数组，使函数值 2 2221n x x x f +++= 为最小，这是在条件C x x x n =+++ 21)0(>i x 的限制下，求 函数f 的极小值问题。这类问题叫做限制极值问题（条件极值问题）. 例1 要设计一个容积为V 的长方体形开口水箱 . 确定长、宽和高 , 使水箱的表面积最小 . 分别以x 、y 和z 表示水箱的长、宽和高 , 该例可表述为 : 在约束条件 V xyz =之下求函数xy yz xz z y x S ++=)(2),,(的最小值 . 条件极值问题的一般形式是在条件组)(,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ? 限制下， 求目标函数),,,(21n x x x f y =的极值. 对这种问题的解法有: 化为无条件极值. 例 1 由V xyz =解出 xy V z = , 并代入函数),,(z y x S 中, 得到xy x y V y x F ++=)1 1(2),(, 然后按)0,0(),(=y x F F , 求出稳定点32V y x ==, 并有 3 22 1V z = , 最后判定在此稳定点上取的最小面积3243V S =.
条件极值
§4条件极值 教学目的与要求： 了解拉格朗日乘数法的证明，掌握用拉格朗日乘数法求条件极值的方法，用条件极值的方法证明或构造不等式 教学重点，难点： 重点：用拉格朗日乘数法求条件极值 难点：多个条件的条件极值问题 教学内容： 一、何谓条件极值 在讨论极值问题时，往往会遇到这样一种情形，就是函数的自变量要受到某些条件的限制。决定一给定点),,(000z y x 到一曲面0),,(=z y x G 的最短距离问题，就是这种情形。我们 知 道 点 ) ,,(z y x 到点 ) ,,(000z y x 的距离为 2 02 02 0)()()(),,(z z y y x x z y x F -+-+-= .现在的问题是要求出曲面0 ),,(=z y x G 上的点),,(z y x 使F 为最小.即问题归化为求函数),,(z y x F 在条件0),,(=z y x G 下的最小值问题. 又如，在总和为C 的几个正数n x x x ,,21的数组中，求一数组，使函数值2 2 22 1n x x x f +++= 为最小，这是在条件C x x x n =+++ 21 )0(>i x 的限制下， 求函数f 的极小值问题。这类问题叫做限制极值问题（条件极值问题）. 例1 要设计一个容积为V 的长方体形开口水箱 . 确定长、宽和高 , 使水箱的表面积最小 . 分别以x 、y 和z 表示水箱的长、宽和高 , 该例可表述为 : 在约束条件 V xyz =之下求函数xy yz xz z y x S ++=)(2),,(的最小值 . 条件极值问题的一般形式是在条件组 )(,,2,1, 0),,,(21n m m k x x x n k <== ? 限制下， 求目标函数 ),,,(21n x x x f y =
§6.3 泛函的条件极值
§6.3 泛函的条件极值 一、泛函条件极值问题的提出（等周问题） 求在连接A 、B 长度为L 的所有曲线中与直线AB 所围成面积最大的曲线？ AB 弧长：dx y L b a ∫+=2'1 （1） 曲线AB 与直线AB 所围成面积：()∫=b a dx x y S （2） 边界条件：()()0,0== b y a y （3） 在满足约束条件（1）和边界条件（3）的情况下，寻找满足由方程（2）的构成泛函问题的极小曲线函数。 二、一般泛函条件极值的E-L 方程 泛函[]()∫=b a dx y y x F y J ',,，约束条件()L dx y y x G b a =∫',,， 其中[][]()(){} 2120,,,y b y y a y b a C y y y D ==∈=。 设()x y 是所求泛函的极值函数，取任意光滑函数()[]b a C x ,2 0∈η ()()()x x y x y εη+=1，()()0,0==b a ηη 从而构成一元函数 ()[]()∫++=+=b a dx y y x F y J '',,εηεηεηε? ()L dx y y x G b a =++∫'',,εηεη 利用拉格朗日乘子法，定义新的泛函 ()()()[]∫+++++=Φb a dx y y x G y y x F '',,'',,,εηεηλεηεηλε （4） 其中，λ为常数。 泛函()λε,Φ取极值，即需() 0,0=Φ=εελεd d ()()0'''',''''''''''0=???????+?=??++??+=+++=+++=Φ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫=b a y y y y b a y b a y b a y b a y b a y b a y b a y b a y b a y b a y b a y y y y dx G dx d G F dx d F dx G dx d G dx G dx F dx d F dx F dx G dx G dx F dx F dx G G F F d d ηλληληληληηηηληληηηληληηε λεε
浅谈一类有约束条件的最值题的解法
活用数形结合求解一类有约束条件的最值题 西安市第一中学 张莲生 简单线性规划是现行高中数学教材必修5的一部分必修内容，是解决一些在线性约束条件下的线性目标函数的最值（最大值或最小值）的问题。它是运筹学的一个重要内容，对于形成最优化思想有着重要的作用，并且在实际生产活动中也有着广泛的应用，可以实现对资源的最佳利用。简单线性规划只能解决一些二元线性约束下条件下的二元函数的最值问题，但它的思想可以延伸到其他的数学最值问题的求解过程中。 简单线性规划的基本思想即在一定的约束条件下，通过数形结合求函数的最值。解决问题时主要是借助平面图形，运用这一思想能够比较有效地解决一些二元函数的最值问题。 本文将从规划的思想出发来探讨高中数学中一类有约束条件的最值问题的解法。 一、线性约束条件下的二元函数最值问题 在这类问题中, 它的线性约束条件是一个二元一次不等式组，可行域就是线性约束条件中不等式所对应的方程所表示的直线所围成的区域，区域内各点的坐标即为可行解。当目标函数是一个二元一次函数时，在可行解中使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标即简单线性规划的最优解；当目标函数不是二元一次函数时，可以利用目标函数所具有的几何意义转化求解. （一）利用直线的截距求线性规划的最优解 例1 已知x 、y 满足条件24250x x y x y ≥??+≤??-++≥? ，求3z x y =+的最值。 解：约束条件所表示的可行域如图1 所示. 其中直线2x =与直线250x y -++=为(2,1)P -，直线4x y +=与直线25x y -++=交点为(3,1)Q . 3z x y =+可变形为3y x z =-+,此时z 可理解 为直线3y x z =-+的截距. 现作直线:3l y x =-， 再作一组与l ∵x 、y 是上面不等式组所表示的区域内的点的横纵坐标， ∴当直线3y x z =-+通过点(2,1)P -时， z 取最小值即min 3215z =?-=，
最优化课程论文——无约束极值问题的PDF求解方法
无约束极值问题的PDF 求解方法 摘要:非线性规是研究约束非线性规划问题条件下，某一非线性目标函数达到最优的问题；目前非线性规划还没有适于各种问题的一般算法，通常不能用解析方法求出它的精确解。本文在学习最优化方法课程的基础上，运用改进牛顿法，近似求解无约束极值问题； 关键字:牛顿法；迭代法；二阶收敛。 0．引言 牛顿法最初由艾萨克-牛顿于1736年在 Method of Fluxions 中公开提出，这是18世纪数学界最重大的成果之一；由于这一方法收敛速度很快，而且可求复根，对于二次函数只需迭代一次便达到最优点，对非二次函数也能较快迭代到最优点，几十年来几乎在所有的领域中都得到广泛的应用。 但牛顿法对初始点要求较高、计算二阶偏导数矩阵及其逆阵工作量大，且要求迭代点处Hesse 矩阵正定，很多学者在这些方面都做了改进，如修正牛顿法、PDF 变尺度法、PSB 拟牛顿修正矩阵[1]、修正梯度法[2]、改进拉格朗日法[3]等。 1．牛顿法 1.1牛顿法的基本原理 假定无约束问题的目标函数f(x)二阶连续偏导，'x 为极小点的某一近似。目标函数f(x)在这个点附近的逼近二阶泰勒多项式为： ''''2'''1 f(x)f(x )f(x )(x x )(x x )f(x )(x x )(||x x ||)2 T T O =+?-+-?-+- 设目标函数 ()min f x , x n R ∈ 若(k)x n R ∈是f(x)极小点第K 轮迭代点，(x)q 是f(x)在()x k 点处的二阶泰勒多项式 (k)(k)(k)(k)2(k)(k)1 (x)f(x )f(x )(x x )(x x )f(x )(x x )2 T T q =+?-+-?-，
第14-1章 极值和条件极值隐函数
第十四章 极值和条件极值 在工程技术领域，经常会遇到诸如用料最省、收益最大、效率最高等问题，尽管这些问题具体背景不同，但其实质是函数的极值问题，在单变元微积分学中，我们已经建立了一元函数的极值理论。本章我们采用类似的思想，以二元函数为例，建立多元函数的极值理论。 §1 无条件极值 一、基本概念： 设),(y x f u =定义在区域D 上，D y x M ∈),(000。 定义1：若在0M 的某领域)(0M U 内成立：≤),(y x f ),(00y x f ，对任意(,)x y ∈)(0M U ，称),(y x f 在0M 点达到极大值),(00y x f ，点),(000y x M 称为),(y x f 的极大值点。 注：类似可定义极小值（点）。 注：极值是一个局部概念，且只有区域的内点才有可能成为极值点。 类似一元函数的极值理论，我们先建立极值点的必要条件。设),(000y x M 为),(y x f 的极值点且设),(y x f 在),(000y x M 点的偏导数存在。考虑一元函数),(0y x f ，则),(0y x f 在0x 点取得极值，因而： 00(,)|x df x y dx =0， 由多元函数偏导数的定义，则0(,)|0M f x y x ?=?。 类似：0(,)|0M f x y y ?=?。 故，若0M 是极值点，则必有 0(,)|M f x y x ?=?0， 0(,)|0M f x y y ?=?。
定义2：若),(y x f 在),(000y x M 点的偏导数存在，且满足 0(,)|M f x y x ?=?0，0(,)|0M f x y y ?=?，称0M 为函数),(y x f 的驻点。 定理1：设),(y x f 在),(000y x M 点的偏导数存在，则点0M 是)(M f 的极值点的必要条件是0M 是)(M f 的驻点。 上述定理1给出了偏导数存在的条件下点),(000y x M 成为极值点的必要条件。有例子表明：上述的条件是不充分的。如xy y x f u ==),(，则0M (0,0)点为其驻点，但0M 不是极值点。 也有例子表明：偏导数不存在的点，也有可能是极值点，如：x y x f =),(，y 轴上的任一点0M ),0(y 都是其极小值点。事实上， ∈?),(y x M )(0M U ，)(0)(0M f x M f =≥=， 但可验证：偏导数)(0M f x 不存在；事实上 ???<->=-=-→→0 ,10,10lim ),0(),(lim 00x x x x x y f y x f x x ， 故)(0M f x 不存在。 综上，极值点要么属于驻点，要么属于偏导数不存在的点，也就是说，我们必须在这两类点中寻找极值点，因此，如果我们在极值理论中，把可能成为极值点的点称为可疑点，则可疑点由驻点和偏导数不存在的点组成，至于具体的可疑点中哪个点是极值点，必须进一步验证。对可疑的偏导数不存在的点，需要用定义验证此点的极值性质，对可疑的驻点，可以通过定义或更高级的方法――二阶导数法去验证， 就是驻点成为极值点的二阶导数判别法： 设0M 为驻点，记),(),(0000y x f y y x x f u -?+?+=?，则0≥?u 时，0M 应为极小值点；0≤?u 时，0M 应为极大值点。