2018届北师大版 空间中的平行与垂直 单元测试

第25练 空间中的平行与垂直

1.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点N 在BD 上，点M 在B 1C 上，且CM ＝DN ，求证：MN ∥平面AA 1B 1B .

证明 如图所示，作ME ∥BC 交BB 1于点E ，作NF ∥AD 交AB 于点F ，连接EF ，则EF ?平面AA 1B 1B .

∵ME ∥BC ，NF ∥AD ，

∴ME BC ＝B 1M B 1C ，NF AD ＝BN BD

. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，

∵CM ＝DN ，

∴B 1M ＝NB .

又B 1C ＝BD ，

∴ME BC ＝BN BD ＝NF AD

，又BC ＝AD ，∴ME ＝NF . 又ME ∥BC ∥AD ∥NF ，

∴四边形MEFN 为平行四边形，

∴MN ∥EF .

又EF ?平面AA 1B 1B ，MN ?平面AA 1B 1B ，

∴MN ∥平面AA 1B 1B .

2.(2017·全国Ⅰ)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.

(1)证明：平面P AB ⊥平面P AD ；

(2)若P A ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥P －ABCD 的体积为83

，求该四棱锥的侧面积.

(1)证明 由已知∠BAP ＝∠CDP ＝90°，

得AB ⊥P A ，CD ⊥PD .

由于AB ∥CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面P AD .

又AB ?平面P AB ，

所以平面P AB ⊥平面P AD .

(2)解 如图，在平面P AD 内作PE ⊥AD ，垂足为E .

由(1)知，AB ⊥平面P AD ，

故AB ⊥PE ，AB ⊥AD ，

所以PE ⊥平面ABCD .

设AB ＝x ，则由已知可得AD ＝2x ，PE ＝22

x ， 故四棱锥P －ABCD 的体积V P －ABCD ＝13AB ·AD ·PE ＝13x 3.由题设得13x 3＝83

，故x ＝2. 从而结合已知可得P A ＝PD ＝AB ＝DC ＝2，

AD ＝BC ＝22，PB ＝PC ＝22，

可得四棱锥P －ABCD 的侧面积为12P A ·PD ＋12P A ·AB ＋12PD ·DC ＋12

BC 2sin60°＝6＋2 3. 3.(2017·龙岩市新罗区校级模拟)如图，O 是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面P AB 为等腰直角三角形，C 为底面圆周上一点.

(1)若弧BC 的中点为D ，求证：AC ∥平面POD ；

(2)如果△P AB 的面积是9，求此圆锥的表面积.

(1)证明 方法一 设BC ∩OD ＝E ，

∵D 是弧BC 的中点，

∴E 是BC 的中点.

又∵O是AB的中点，∴AC∥OE.

又∵AC?平面POD，OE?平面POD，

∴AC∥平面POD.

方法二∵AB是底面圆的直径，

∴AC⊥BC.

∵弧BC的中点为D，

∴OD⊥BC.

又AC，OD共面，∴AC∥OD.

又AC?平面POD，OD?平面POD，

∴AC∥平面POD.

(2)解设圆锥底面半径为r，高为h，母线长为l，∵圆锥的轴截面P AB为等腰直角三角形，

∴h＝r，l＝2r.

由S△P AB＝1

2×2r×h＝r

2＝9，得r＝3，

∴S表＝πrl＋πr2＝πr×2r＋πr2＝9(1＋2)π.

4.如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1？若存在，求点F的位置；若不存在？请说明理由.

解存在这样的点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1，此时点F为AB的中点，证明如下：

∵AB∥CD，AB＝2CD，

∴AF綊CD，

∴四边形AFCD是平行四边形，

∴AD∥CF.