人教版数学高二下册期中测试精选(含答案)3
【来源】北京市通州区 2017-2018 学年高三上期中数学试题 【答案】-1 29．函数 y 2 cos 2 x sin 2 x 的值域是______. 【来源】青海省西宁市第十四中学 2019-2020 学年高二上学期期中数学（文)试题
【答案】[1 2,1 2]
30．设 a1 、 a2
R
，且
2
x
3
D．
y
2
sin
x 2
3
【来源】山东省邹城市 2018-2019 学年高一下学期期中考试数学试题
【答案】A
2．已知 ABCD 是复平面内的平行四边形， A ， B ， C 三点对应的复数分别是 2 i ，
1 i ， 2 2i ，则点 D 对应的复数为（ ）
A． 4 i
B． 3 2i
12 4
小值无最大值，则
.
【来源】2015-2016 学年湖南长郡中学高一上第三次检测数学试卷（带解析)
17
【答案】
2
32．已知向量 a, b 的夹角为
2 3
，且 a
(3, 4) ，| b | 2 ，则 |
2a
b
| _____________.
【来源】河南省郑州市外国语中学 2017-2018 学年高一下学期期中数学试题
f (x1) f (x2 ) 4 ，则 x1 x2 的最小值为( )
A． 3
B．0
C．
3
D． 2 3
【来源】黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学 2020 届高三 9 月月考数学（理)试题
【答案】D
试卷第 2页，总 11页
10．函数
f
x
sin
x
3
0
，当
x
0,
时函数
f
x
的值域为
3 2
,1
18．已知函数
f
x
sin
x
0,
π 2 部分图象如图所示，则
y
f
x
6 取
得最小值时的集合为（ ）
A．
x
x
k
,k
Z
6
C．
x
x
2k
6
,k
Z
B．
x
x
k
,k
Z
3
D．
x
x
2k
3
,
k
Z
试卷第 4页，总 11页
【来源】河南省郑州市中原区第一中学 2018-2019 学年高一下学期期中数学试题
，
则函数 f x 的最小正周期的取值范围是（ ）
A． ,3
B． ,6
C．3 ,6
D．6 ,12
【来源】湖北省重点高中联考协作体 2019-2020 学年高三期中数学（理)试题
【答案】D
11．在 ABC 中，已知 AB 2 ， AC 4 ，若点 G 、W 分别为 ABC 的重心和外心，
人教版高二下册期中测试精选（含答案)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人 得分
一、单选题
1．下列函数中最小正周期为 且图像关于直线 x 对称的是（
）
3
A．
y
2
sin
2
x
6
B．
y
2
sin
2
x
3
C．
y
2
sin
4
B． ( , )
42
C． (
2
,
3 4
)
D． (3 , ) 4
【来源】2014 届新疆乌鲁木齐地区高三第三次诊断性测验理科数学试卷（带解析)
【答案】D
22．若向量 a ， b
满足
r a
r b
2
，a与b
的夹角为 60
，则
ab
等于（
）
A． 2 2 3
B． 2 3
C．4
D．12
【来源】山西省朔州市怀仁县第一中学 2018-2019 学年高二下学期期末数学试题
【答案】B
4．函数
y
2
cos2
x
4
1
是（
）
A．最小正周期为 的奇函数 C．最小正周期为 的偶函数
B．最小正周期为 的奇函数
2
D．最小正周期为 的偶函数
2
【来源】2013-2014 学年四川省金阳中学高一 3 月月考数学试卷（带解析)
【答案】A
5．已知 O，N，P 在 ABC 所在平面内，且 OA OB OC , NA NB NC 0 ，
【答案】C
13．已知两个单位向量
a
和
b
夹角为
60
，则向量
a
b
在向量
a
方向上的投影为（
）
A． 1
B．1
C． 1 2
1
D．
2
【来源】安徽省江淮六校 2019 届高三上学期开学联考理科数学试题
【答案】D
14．函数 f (x) sin 2x 2 3 cos2 x 3 ，g(x) m cos(2x ) 2m 3 (m 0) ， 6
【来源】2015 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（安徽卷带解析)
【答案】A
17．已知向量
a
1,
2
,
b
1,
0
,
c
3,
4.
若
为实数，
a
b
/ /c 则 ＝（
）
A．2
B．1
1
C．
4
1
D．
2
【来源】内蒙古自治区鄂尔多斯市第一中学 2018-2019 学年高一下学期期中考试数学
（文)试题
【答案】D
①该函数的解析式为；
y
2sin
2
x
6
；
②该函数图象关于点
3
,
0
对称；
③该函数在
0,
6
[，上是增函数；
④函数
y
f
x
a
在
0,
2
上的最小值为
3 ，则 a 2
3．
其中，正确判断的序号是______． 【来源】河南省郑州市中原区第一中学 2018-2019 学年高一下学期期中数学试题 【答案】②④
中
n
N*
，设
n
为
i
和
an
的夹角，则（
）
A．n 随着 n 的增大而增大
B．n 随着 n 的增大而减小
C．随着 n 的增大，n 先增大后减小
D．随着 n 的增大，n 先减小后增大
【来源】上海市闵行七校 2019-2020 学年高二上学期期中数学试题
【答案】B
9．已知函数 f (x) a sin x 3 cos x 的图像的一条对称轴为直线 x 5 ，且 6
a
2b
0 ，且关于 x 的方程 x2
a
x
a
b
0
有实根，则
a
与
b
的夹角
的取值范围是( )
A．
0,
6
B．
3
,
C．
3
,
2 3
D．
6
,
【来源】步步高高一数学暑假作业：作业 25 平面向量的数量积
【答案】B
r uur
r uur
8．已知向量 i 和 j 是互相垂直的单位向量，向量 an 满足 i an n ， j an 2n 1 ，其
且 PA• PB PB • PC PC • PA ，则点 O，N，P 依次是 ABC 的( )
试卷第 1页，总 11页
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）
A．重心外心垂心
B．重心外心内心
C．外心重心垂心
D．外心重心内心
【来源】吉林省延边第二中学 2018-2019 学年高一下学期第二次月考数学试题
15．(2016·哈尔滨三模)已知 O 为正三角形 ABC 内一点，且满足
OA OB (1 )OC 0 ，若△OAB 的面积与△OAC 的面积比值为 3，则λ的值为
()
试卷第 3页，总 11页
1
A．
2
C．2
B．1 D．3
【来源】2017-2018 高三数学二轮同步训练：平面向量的线性运算
【答案】 2 21
33．已知 为第二象限角，则 cos
1 tan 2 sin
1
1 tan 2
______．
【来源】2013 届北京市北师特学校高三上学期第二次月考理科数学试题（带解析)
【答案】0
34．把函数
y
sin2x
的图象沿
x
轴向左平移
6
个单位，纵坐标伸长到原来的
2
倍（横
坐标不变）后得到函数 y f x 的图象，对于函数 y f x 有以下四个判断：
【答案】60°
27．若 sin 1 ，则 cos 2 __________． 3
【来源】江西省九江第一中学 2016-2017 学年高一下学期期中考试数学（文)试题
7
【答案】
9
28．已知向量 a (
3,1)
，b
(0,
1)
，c
(
r r 3, k) ，若 a 2b 与 c 垂直，则 k __________．
【答案】A
16．已知函数 f x sin x （ ， ， 均为正的常数）的最小正周期为 ， 当 x 2 时，函数 f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）
3
A． f 2 f 2 f 0
B． f 0 f 2 f 2
高二下期中考试数学参考答案
高二下期中考试数学参考答案及评分标准（理科）二、填空题（每题5分）13、33 14、－6 15、4216、2019三、解答题17、（1）茎叶图如下：所以甲的中位数为：=33，乙的中位数为：=33.5．.......................5分（2）甲的平均数为：=33，乙的平均数为：（28+29+33+34+36+38）=33，甲的方差为：，乙的方差为：，甲、乙的平均数相等，乙的方差更小，则乙的发挥更稳定，故乙参加比赛更合适．...10分18.（1）........................................................4分（2）故线性回归方程为...........................................................8分（3）当x＝10时，＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，即估计使用年限为10年时，维修费用约为12.38万元．...............12分19、（1）依题意，所求频率.....................4分（2）由（1）可知各组的中间值及对应的频率如下表：∴，即问卷调查的平均得分的估计值为70.5分.................................................................8分（3）依题意，.因为，故有的把握认为居民的学习态度与年龄相关..................................................12分20.（1），，，，，所以切线方程为................................................4分（2），当时，，在上单调递减，所以，；当时，，在上单调递增，所以，，舍去；当时，在上单调递增，在上单调递减，所以，.综上或..............................................................................................12分21.(1)分数在的频率为，由茎叶图知：分数在之间的频数为2，全班人数为．.........................................................................................4分(2)分数在之间的频数为；频率分布直方图中间的矩形的高为．.................................8分(3)将之间的3个分数编号为，，，之间的2个分数编号为，，在之间的试卷中任取两份的基本事件为：，，，，，，，，，共10个，其中，至少有一个在之间的基本事件有7个，故至少有一份分数在之间的概率是．.............................................12分22（1）因为，，所以，令可知，当或时，当时，所以在，上单调递减，在上单调递增；...........................................................................................................................4分（2）由题可知下面对a的范围进行讨论：当时，设函数，则，因此在上单调递减，又因为，所以，所以；当时，设函数，则，所以在上单调递增，又，所以．因为当时，所以，取，则，所以，矛盾；当时，取，则，矛盾；综上所述，a的取值范围是．...............................12分(其他解法也相应给分)。
2019学年高二数学下学期期中理试题(含解析)人教版
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……2019学年第二学期期中考试高二数学(理科)试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1.1.若随机变量ξ的分布列如下表所示，则p1＝( )A. 0B.C.D. 1【答案】B【解析】【分析】由分布列的性质：所有随机变量对应概率的和为列方程求解即可.【详解】因为所有随机变量对应概率的和为，所以，，解得，故选B.【点睛】本题主要考查分布列的性质，意在考查对基本性质的掌握情况，属于简单题.2. 若随机变量X～B（n，0.6），且E（X）=3，则P（X=1）的值是（）A. 2×0.44B. 2×0.45C. 3×0.44D. 3×0.64【答案】C【解析】试题分析：根据随机变量符合二项分布，根据期望值求出n的值，写出对应的自变量的概率的计算公式，代入自变量等于1时的值．解：∵随机变量X服从，∵E（X）=3，∴0.6n=3，∴n=5∴P（X=1）=C51（0.6）1（0.4）4=3×0.44故选C．考点：二项分布与n次独立重复试验的模型．3.3.下列说法正确的是( )A. 相关关系是一种不确定的关系，回归分析是对相关关系的分析，因此没有实际意义B. 独立性检验对分类变量关系的研究没有100%的把握，所以独立性检验研究的结果在实际中也没有多大的实际意义C. 相关关系可以对变量的发展趋势进行预报，这种预报可能是错误的D. 独立性检验如果得出的结论有99%的可信度就意味着这个结论一定是正确的【答案】C【解析】相关关系虽然是一种不确定关系，但是回归分析可以在某种程度上对变量的发展趋势进行预报，这种预报在尽量减小误差的条件下可以对生产与生活起到一定的指导作用；独立性检验对分类变量的检验也是不确定的，但是其结果也有一定的实际意义，故正确答案为C.4.4.已知回归直线方程，其中且样本点中心为，则回归直线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据回归直线方程，将样本点的中心坐标代入，即可求得回归直线方程.【详解】回归直线方程为，样本点的中心为，，，回归直线方程，故选C.【点睛】本题主要考查回归方程的性质以及求回归方程的方法，属于简单题. 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.5.5.已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，且P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.6826.若μ＝4，σ＝1，则P(5<X<6)＝( )A. 0.135 9B. 0.135 8C. 0.271 8D. 0.271 6【答案】A【解析】【分析】根据变量符合正态分布和所给的和的值，结合原则，得到，两个式子相减，根据对称性得到结果.【详解】随机变量符合正态分布，，，，，，故选A.【点睛】本题主要考查正态分布的性质，属于中档题.有关正态分布应用的题考查知识点较为清晰，只要熟练掌握正态分布的性质，特别是状态曲线的对称性以及各个区间概率之间的关系，问题就能迎刃而解.6.6.如图所示，表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，那么此系统的可靠性为（）A. 0.504B. 0.994C. 0.496D. 0.06【答案】B【解析】试题分析：系统正常工作的概率为，即可靠性为0.994．故选B．考点：相互独立事件同时发生的概率．【名师点睛】1．对于事件A，B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A，B相互独立；2．若A与B相互独立，则P(B|A)＝P（B），P(AB)＝P(B|A)×P(A)＝P（A）×P（B）3．若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．4．若P(AB)＝P(A)P(B)，则称A，B相互独立．7.7.如图所示的5个数据，去掉后，下列说法错误的是（）A. 相关系数变大B. 残差平和变大C. 变大D. 解释变量与预报变量的相关性变强【答案】B【解析】分析：由散点图知，去掉后，与的线性相关加强，由相关系数，相关指数及残差平方和与相关性的关系得出选项．详解：由散点图知，去掉后，与的线性相关加强，且为正相关，所以r变大，变大，残差平方和变小．故选B．点睛：本题考查刻画两个变量相关性强弱的量：相关系数r，相关指数R2及残差平方和，属基础题.8. 已知随机变量X～B(6,0.4)，则当η＝－2X＋1时，D(η)＝( )A. －1.88B. －2.88C. 5. 76D. 6.76【答案】C【解析】试题分析：因为随机变量X～B(6,0.4)，所以，.故选C.考点：1、离散型随机变量的分布列（二项分布）；2、离散型随机变量函数的方差.9.9.一名篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为( ) A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由题意，投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a、b、c∈（0，1）），∴3a+2b=2，∴2≥2，∴ab≤（当且仅当a=，b=时取等号）∴ab 的最大值为．故答案：D．考点：离散型随机变量的期望与方差．10.10.下列说法：①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；②用相关指数可以刻画回归的效果，值越小说明模型的拟合效果越好；③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和大小，残差平方和越小的模型拟合效果越好．其中说法正确的是( )A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③【答案】C【解析】①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，正确．②相关指数来刻画回归的效果，值越大，说明模型的拟合效果越好，因此②不正确．③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，正确．综上可知：其中正确命题的是①③．故答案为C11.11.将三颗骰子各掷一次，设事件“三个点数都不相同”，“至少出现一个6点”，则概率等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：∵P（A|B）=P（AB）÷P（B），P（AB）=P（B）=1-P（.B）=1-∴P（A/B）=P（AB）÷P（B）=考点：条件概率与独立事件12.12.同时抛掷5枚质地均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X，则X的均值是( )A. 20B. 25C. 30D. 40【答案】B【解析】抛掷一次正好出现3枚反面向上，2枚正面向上的概率为，所以X～B.故E(X)＝80×＝25.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分).13.13.打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射一个目标，则他们都中靶的概率是 .【答案】【解析】试题分析：依题意可知甲中靶与乙中靶是相互独立事件，且他们中靶的概率分布为0.8，0.7。
高二下期中考试数学试题(有答案)-(新课标人教版)
C 1D 1B 1A 1CDABPMC1D1CA1ABDB1高二下期中考试数学试题(有答案)-(新课标人教版)一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）1. 抛物线28y x 的焦点坐标是( ▲ )A （—2，0）B （0，—2）C （2，0） D（0，2）2、已知点(3,1,4)A ，则点A 关于原点对称的点的坐标为( ▲ )A ．)4,1,3(B ．)4,1,3(C ．)4,1,3(D ．(3,1,4)3、椭圆22221124xymm的焦距是( ▲)A ．4B ．2 2C ．8D ．与m 有关4、下列有关命题的说法正确的是(▲ )A ．命题“若1,12xx 则”的否命题为：“若1,12xx则”；B ．“1x”是“0652x x ”的必要不充分条件；C ．命题“若y x，则y x sin sin ”的逆否命题为假命题；D ．命题“若022yx，则y x 、不全为零”的否命题为真命题.5、设双曲线22221(0,0)x y abab的左、右焦点分别是1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于不同的两点M 、N ．若△1MNF为正三角形，则该双曲线的离心率为( ▲ )A ．6B ．3C ．2D ．336、不等式|25|7x成立的一个必要而不充分条件是( ▲ )A ．0xB ．6xC ．61x x或D ．1x 7、正方体1111A B C D A B C D 中，E 是棱11A B 的中点，则1A B 与1D E 所成角的余弦值( ▲ )A ．510B ．1010C ．55D ．1058、如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( ▲ )A.63B.265 C.155D.105（第8题）（第9题）9、如图，正方体1111A B C DA B C D 的棱长为2，点P是平面A B C D上的动点，点M 在棱A B上，且13A M，且动点P到直线11A D 的距离与点P到点M的距离的平方差为4，则动点P的轨迹是( ▲ )A ．圆B ．抛物线C ．双曲线D ．直线10、过M(－2,0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为( ▲ )A ．－12B ．－2 C.12D ．2二、填空题（本题共7小题，每小题4分，共28分）11、命题“存在实数x ，使1x”的否定是 .12、已知点P 到点(3,0)F 的距离比它到直线2x的距离大1，则点P 满足的方程为.13、M 是椭圆221259x y 上的点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，1260F M F ，则12F M F 的面积等于．14、已知椭圆C ：2213xy，斜率为1的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且322A B，则直线l 的方程为.15、在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2，A A 1=1，则点A 到平面A 1BC 的距离为.16、已知向量(0,1,1)a ，(4,1,0)b，||29a b 且0，则=.17、抛物线22x y上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线m xy 对称，且2121x x ，则m 等于三、解答题（本题共5小题，共52分）18、(本题满分8分)已知双曲线与椭圆1244922yx共焦点，且以x y34为渐近线，求双曲线方程．19、(本题满分10分)设命题:p “对任意的2,2x x xa R ”，命题:q “存在x R ，使2220xax a”。
新人教版高二(下)期中数学试卷(理科)含解析
新人教版高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项只有一项符合题目要求的）1．（5分）已知复数z =11+i ，则z ﹣i 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（5分）有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三条长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数（ ） A ．7B ．64C ．12D ．813．（5分）用反证法证明“已知x ，y ∈R ，x 2+y 2＝0，求证：x ＝y ＝0．”时，应假设（ ） A ．x ≠y ≠0B ．x ＝y ≠0C ．x ≠0且y ≠0D ．x ≠0或 y ≠04．（5分）f （x ）＝e x lnx ，f ′（x ）为f （x ）的导函数，则f ′（1）的值为（ ） A ．1B ．eC ．2eD ．05．（5分）设函数f （x ）可导，则lim △x→0f(1)−f(1+△x)3△x 等于（ ）A ．﹣f '（1）B ．3f '（1）C ．−13f ′(1)D ．13f ′(1)6．（5分）曲线y ＝e x 在点（2，e 2）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A ．e 2B ．2e 2C ．4e 2D ．e 227．（5分）已知函数f （x ）的导函数为f ′（x ），且满足f （x ）＝2xf ′（1）+lnx ，则f ′（2）＝（ ） A ．32B ．1C ．﹣1D ．−328．（5分）设函数f(x)=x 3−12x 2−2x +5，若对于任意x ∈[﹣1，2]都有f （x ）＜m 成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．（7，+∞）B ．（8，+∞）C ．[7，+∞）D ．（9，+∞）9．（5分）中华文化博大精深．我国古代对年龄的表述可谓是名目繁多，比如“二八年华”指女子16岁．乾隆曾出上联“花甲重逢，外加三七岁月”，纪晓岚对下联“古稀双庆，更多一度春秋”，暗指一位老人的年龄．根据类比思想和文化常识，这位老人的年龄为（ ）A ．71岁B ．81岁C ．131岁D ．141岁10．（5分）函数f(x)=12x −sinx 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11．（5分）在（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8的展开式中，含x 3的项的系数是（ ） A ．74B ．121C ．﹣74D ．﹣12112．（5分）对于定义域为R 的函数f （x ），若满足①f （0）＝0；②当x ∈R ，且x ≠0时，都有xf ′（x ）＞0；③当x 1＜0＜x 2，且|x 1|＝|x 2|时，都有f （x 1）＜f （x 2），则称f （x ）为“偏对称函数”．现给出四个函数：f 1（x ）＝﹣x 3+32x 2；f 2（x ）＝e x ﹣x ﹣1；f 3（x ）={ln(−x +1)，x ≤02x ，x ＞0，f 4（x ）={x(12x −1+12)，x ≠00，x =0，则其中是“偏对称函数”的函数个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）曲线y ＝（ax +1）e x 在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a ＝ ． 14．（5分）函数f （x ）={x +1，−1≤x ＜0e x，0≤x ≤1的图象与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为 ．15．（5分）（√2−x ）10＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 10x 10，则（a 0+a 2+…+a 10）2﹣（a 1+a 3+…+a 9）2的值为 ．16．（5分）设f （x ）是定义在R 上的可导函数，且满足f （x ）+xf ′（x ）＞0．则不等式f （√x +1）＞√x −1f （√x 2−1）的解集为 ．三、解答题：（本题共6小题，共70分，各题解答过程应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17．（10分）已知复数z 满足|z |＝3+3i ﹣z ，求(1+3i)⋅(3+4i)z的值．18．（12分）有3名男生4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数（用数字作答）．（1）全体排成一行，其中男生甲不在最左边； （2）全体排成一行，其中4名女生必须排在一起； （3）全体排成一行，3名男生两两不相邻． 19．（12分）已知a ＞0，用分析法证明：√a 2+1a 2−√2≥a +1a −2． 20．（12分）若函数f （x ）＝ax 3﹣bx +4，当x ＝2时，函数f （x ）有极值−43． （1）求函数的解析式； （2）求函数的极值；（3）若关于x 的方程f （x ）＝k 有三个零点，求实数k 的取值范围．21．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝2，a n +1=an 1+a n．（1）计算a 2，a 3，a 4；（2）猜测a n 的表达式，并用数学归纳法证明．22．（12分）设函数f （x ）＝lnx ﹣ax （a ∈R ）（e ＝2.71828…是自然对数的底数）． （1）判断f （x ）的单调性；（2）当f （x ）＜0在（0，+∞）上恒成立时，求a 的取值范围．答案一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项只有一项符合题目要求的） 1．解：∵z =11+i =1−i (1+i)(1−i)=12−12i ， ∴z ﹣i =12−32i ．∴z ﹣i 在复平面内对应的点为（12，−32），在复平面内对应的点位于第四象限． 故选：D ．2．解：∵选定一件上衣时，有不同颜色的裤子3条， ∴有3种不同的穿衣方案，∴共有3×4＝12种不同的搭配方法， 故选：C ．3．解：用反证法证明“已知x ，y ∈R ，x 2+y 2＝0，求证：x ＝y ＝0．”时，应先假设x ≠0或 y ≠0． 故选：D ．4．解：∵f （x ）＝e x lnx ， ∴f ′(x)=e x lnx +e xx ， ∴f ′（1）＝e ． 故选：B ． 5．解：由lim △x→0f(1)−f(1+△x)3△x =−13lim △x→0f(1+△x)−f(1)△x =−13f ′（1）， ∴lim△x→0f(1)−f(1+△x)3△x =−13f ′（1）， 故选：C ．6．解：依题意得y ′＝e x ，因此曲线y ＝e x 在点A （2，e 2）处的切线的斜率等于e 2， 相应的切线方程是y ﹣e 2＝e 2（x ﹣2）， 当x ＝0时，y ＝﹣e 2，即y ＝0时，x ＝1，∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：S =12×e 2×1=e 22． 故选：D ．7．解：∵函数f （x ）的导函数为f ′（x ），且满足f （x ）＝2xf ′（1）+lnx ，（x ＞0） ∴f ′（x ）＝2f ′（1）+1x，把x ＝1代入f ′（x ）可得f ′（1）＝2f ′（1）+1， 解得f ′（1）＝﹣1，∴f ′（2）＝2f ′（1）+12=−2+12=−32． 故选：D ．8．解：∵f （x ）＜m 恒成立，即f （x ）的最大值＜m 恒成立， ∴f ′（x ）＝3x 2﹣x ﹣2，当x ∈[﹣1，−23]时，f （x ）为增函数， 当x ∈[−23，1]时，f （x ）为减函数， 当x ∈[1，2]时，f （x ）为增函数， ∴f （x ）的极大值为f （−23）＝52227，又f （2）＝7，且f （2）＞f （−23）， 所以f （x ）的最大值为7． 所以m 的取值范围为（7，+∞）． 故选：A ．9．解：由花甲指60岁，外加三七岁月指60+21＝81岁， “古稀双庆，更多一度春秋”，“古稀”指70岁， 即这位老人的年龄为70×2+1＝141岁， 故选：D ．10．解：∵函数f(x)=12x −sinx ，∴f （﹣x ）＝﹣f （x ），为奇函数，图象关于原点对称，∴排除A ．f '（x ）=12−cosx ，由f '（x ）=12−cosx =0，得cos x =12，∴函数的极值点由无穷多个，排除B ，D ， 故选：C ．11．解：（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8的展开式中，含x 3的项的系数C 53(−1)3+C 63(−1)3+C 73(−1)3+C 83(−1)3＝﹣10+（﹣20）+（﹣35）+（﹣56） ＝﹣121 故选：D ．12．解：经验证，f 1（x ），f 2（x ），f 3（x ），f 4（x ）都满足条件①；xf ′（x ）＞0⇔{x ＞0f ′(x)＞0，或{x ＜0f ′(x)＜0，即条件②等价于函数f （x ）在区间（﹣∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增．f 1′（x ）＝﹣3x 2+3x ，xf 1′（x ）＝﹣3x 3+3x 2＝﹣3x 2（x ﹣1），当x ＞1时，xf 1′（x ）＜0，故f 1（x ）不满足条件②，不是“偏对称函数”；f 2′（x ）＝e x ﹣1，xf 2′（x ）＝x （e x ﹣1），满足条件②．由f 2（x ）的单调性知当x 1≠x 2，设x 1＜0＜x 2．﹣x 2＜0，f 2（x 1）﹣f 2（x 2）＝f 2（﹣x 2）﹣f 2（x 2）＝﹣e x 2+e ﹣x 2+2x 2．令F （x ）＝﹣e x +e ﹣x +2x ，x ＞0，F ′（x ）＝﹣e x ﹣e ﹣x +2≤﹣2√e x ⋅e −x +2＝0， 当且仅当e x ＝e ﹣x 即x ＝0时，“＝”成立，所以F （x ）在[0，+∞）上是减函数，所以F （x 2）＜F （0）＝0，所以f 2（x ）是“偏对称函数”． 由函数f 3（x ）={ln(−x +1)，x ≤02x ，x ＞0，满足条件①②，当x 1＜0＜x 2，且|x 1|＝|x 2|时， 设F （x ）＝ln （x +1）﹣2x ，x ＞0．则F ′（x ）=1x+1−2＜0，F （x ）在（0，+∞）上是减函数， 可得F （x ）＜F （0）＝0，故f 3（x ）也满足条件③，所以f 3（x ）是“偏对称函数”； 而容易验证f 4（x ）是偶函数，可知f 4（x ）在区间（﹣∞，0）递减和（0，+∞）递增， 故f 4（x ）满足条件①②，但|x 1|＝|x 2|时，都有f 4（x 1）＝f 4（x 2），不满足条件③，则f 4（x ）不是“偏对称函数”． 故选：C ．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．解：曲线y ＝（ax +1）e x ，可得y ′＝ae x +（ax +1）e x ， 曲线y ＝（ax +1）e x 在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2， 可得：a +1＝﹣2，解得a ＝﹣3． 故答案为：﹣3．14．解：由题意，﹣1≤x ＜0时，图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为12，0≤x ≤1时，f （x ）={x +1，−1≤x ＜0e x，0≤x ≤1的图象与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为∫ 10e x dx =e x |01=e ﹣1，∴函数f （x ）={x +1，−1≤x ＜0e x ，0≤x ≤1的图象与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为12+e ﹣1＝e −12，故答案为：e −12．15．解：∵（a 0+a 2+a 4+…+a 10）2﹣（a 1+a 3+a 5+…+a 9）2＝（a 0+a 2+a 4+…+a 10+a 1+a 3+a 5+…+a 9）[（a 0+a 2+a 4+…+a 10）﹣（a 1+a 3+a 5+…+a 9）]，∴令x ＝1，则a 0+a 1+a 2+…+a 10＝[（a 0+a 2+a 4+…+a 10）+（a 1+a 3+a 5+…+a 9）]＝（√2−1）10，令x ＝﹣1，则a 0﹣a 1+a 2﹣…+a 10＝[（a 0+a 2+a 4+…+a 10）﹣（a 1+a 3+a 5+…+a 9）]＝（√2+1）10，∴两式相乘得：[（a 0+a 2+a 4+…+a 10）2﹣（a 1+a 3+a 5+…+a 9）2]＝（√2+1）10•（√2−1）10＝[（√2）2﹣1]10＝110＝1．∴（a 0+a 2+…+a 10）2﹣（a 1+a 3+…+a 9）2＝1． 故答案为：1．16．解：∵f （x ）+xf ′（x ）＞0，∴（ x •f （x ））′＞0，故函数y ＝x •f （x ）在R 上是增函数． ∴由不等式f （√x +1）＞√x −1f （√x 2−1），可得 √x +1•f （√x +1）＞√x +1•√x −1•f （√x 2−1 ），即 √x +1•f （√x +1）＞√x 2−1•f （√x 2−1 ），∴√x +1＞√x 2−1，即{x +1≥0x ≥1，或x ≤−1x +1＞x 2−1，解得 1≤x ＜2，故答案为：{x |1≤x ＜2}．三、解答题：（本题共6小题，共70分，各题解答过程应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17．解：设z ＝x +yi ， ∵|z |＝3+3i ﹣z ，∴√x 2+y 2=3−x +(3−y)i ， ∴{√x 2+y 2=3−x3−y =0⇒{x =0y =3∴z =3i ，∴(1+3i)⋅(3+4i)z=(1+3i)⋅(3+4i)3i=133+3i ．18．解：（1）根据题意，先排最左边，除甲外有A 61种排法，剩下的6人全排列A 66，则符合条件的排法一共有A 61⋅A 66=4320种；（2）根据题意，将4名女生看成一个整体，有A 44种顺序， 再把4名女生作为一个整体和其他人全排列，有A 44种顺序，则有A 44⋅A 44=576种排法；（3）根据题意，先排好女生，有A 44种顺序，排好后，有5个空位，将3名男生安排在3个空位中，有A 53种排法，则有A 44⋅A 53=1440种排法．19．证明：要证√a 2+1a 2−√2≥a +1a −2． 只要证√a 2+1a2+2≥a +1a +√2 ∵a ＞0，∴两边均大于零，因此只需证（√a 2+12+2）2≥（a +1a +√2）2， 只需证√a 2+1a 2≥√22（a +1a ）， 只需证a 2+1a 2≥12（a 2+1a2+2） 即证a 2+12≥2，它显然成立． ∴原不等式成立．20．解：（1）f ′（x ）＝3ax 2﹣b由题意知{f ′(2)=12a −b =0f(2)=8a −2b +4=−43，解得{a =13b =4，∴所求的解析式为f （x ）=13x 3﹣4x +4；（2）由（1）可得f ′（x ）＝x 2﹣4＝（x ﹣2）（x +2） 令f ′（x ）＝0，得x ＝2或x ＝﹣2， ∴因此，当x ＝﹣2时，f （x ）有极大值283，当x ＝2时，f （x ）有极小值−43；（3）由（2）知，得到当x ＜﹣2或x ＞2时，f （x ）为增函数；当﹣2＜x ＜2时，f （x ）为减函数，∴函数f （x ）=13x 3﹣4x +4的图象大致如图． 由图可知：−43＜k ＜283．21．（1）解：由a n+1=a n1+a n 及a1＝1，得a2=a11+a1=12，进而a3=a21+a2=13，a4=a31+a3=14．﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）证明：猜想a n=1n，再用数学归纳法证明之．当n＝1时，a1=11=1，而已知a1＝1，所以n＝1时，猜想正确．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）假设当n＝k时，猜想正确，即a k=1k，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）则n＝k+1时，a k+1=a k1+a k =1k1+1k=1k+1．所以当n＝k+1时，猜想也成立．综上所述可知，对一切n∈N，猜想a n=1n都正确．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）22．解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′(x)=1x−a=1−axx，当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＞0时，令f'（x）＝0，得到x=1a，当x∈(0，1a)时，f'（x）＞0，f（x）在(0，1a)上单调递增，当x∈(1a，+∞)时，f'（x）＜0，f（x）在(1a，+∞)上单调递减，综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，f（x）在(0，1a)上单调递增，在(1a，+∞)上单调递减．（2）由f（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，即lnx﹣ax＜0在（0，+∞）上恒成立，常规法分离参数得到a＞lnx x在（0，+∞）上恒成立，令g(x)=lnx x，则g′(x)=1−lnxx2，当x∈（0，e）时，g'（x）＞0，g（x）在（0，e）上单调递增，当x∈（e，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）在（e，+∞）上单调递减，故x＝e时，g(x)max=g(e)=1e，故a＞1e。
2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题含答案
数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知i 为虚数单位，复数21iz =-，则复数z 的模为 A B ．1 C ．2 D ．122．一辆汽车做直线运动，位移s 与时间t 的关系为21s at =+，若汽车在t ＝2时的瞬时速度为12，则a ＝ A ．12B ．13C ．2D ．33．已知复数z 满足：21z -=，则1i z -+的最大值为 A ．2 B 1C 1D ．34．3只猫把4只老鼠捉光，不同的捉法种数有 A ．34B ．43C ．34C D ．34A5．函数()sin cos 1f x x x =⋅+在点(0，(0)f )处的切线方程为 A ．10x y +-=B ．10x y -+=C ．220x y -+=D ．220x y +-= 6．若函数32()f x x ax bx =++在2x =-和4x =处取得极值，则常数a ﹣b 的值为A ．21B ．﹣21C ．27D ．﹣277．100件产品中有6件次品，现从中不放回的任取3件产品，在前两次抽到正品的条件下第三次抽到次品的概率为A ．349B ．198C ．197D ．3508．设随机变量Y 满足Y~B(4，12)，则函数2()44Y f x x x =-+无零点的概率是 A ．1116B ．516C ．3132D ．12 9．从不同品牌的4部手机和不同品牌的5台电脑中任意选取3部，其中手机和电脑都有的不同选法共有 A ．140种B ．84种C ．35种D ．70种10．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象可能是A B C D 第10题11．设5540145(1)(1)(1)x a x a x a x a =+++++++，则024a a a ++＝A ．﹣32B ．0C ．16D ．﹣1612．对于定义在(1，+∞)上的可导函数()f x ，当x ∈(1，+∞)时，(1)()()0x f x f x '-->恒成立，已知(2)a f =，1(3)2b f =，1)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b二、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13．61)3x的展开式中常数项是． 14．若随机变量X~N(μ，2σ)，且P(X ＞6)＝P(X ＜﹣2)＝0.3，则P(2＜X ≤6)＝．15．有5本不同的书，全部借给3人，每人至少1本，共有种不同的借法．16．函数1, 0()ln , 0x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若函数()()g x f x tx =-恰有两个不同的零点，则实数t 的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知复数22(43)()i z m m m m =-++-，其中i 为虚数单位． （1）若复数z 是纯虚数，求实数m 的值；（2）复数z 在复平面内对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知函数()ln=-(a∈R)．f x x ax（1）当a＝2时，求函数()f x的极值；（2）讨论函数()f x的单调性；（3）若对x∀∈(0，+∞)，()0f x<恒成立，求a的取值范围．19．（本小题满分10分）在湖北新冠疫情严重期间，我市响应国家号召，召集医务志愿者组成医疗队驰援湖北．某医院有2名女医生，3名男医生，3名女护士，1名男护士报名参加，医院计划从医生和护士中各选2名参加医疗队．（1）求选出的4名志愿全是女性的选派方法数；（2）记X为选出的4名选手中男性的人数，求X的概率分布和数学期望．20．（本小题满分12分）物联网兴起、发展、完善极大的方便了市民生活需求．某市统计局随机地调查了该市某社区的100名市民网上购菜状况，其数据如下：（1）把每周网上买菜次数超过3次的用户称为“网上买菜热爱者”，能否在犯错误概率不超过0.005的前提下，认为是否为“网上买菜热爱者”与性别有关？（2）把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“网上买菜达人”，视频率为概率，在我市所有“网上买菜达人”中，随机抽取4名用户求既有男“网上买菜达人”又有女”网上买菜达人”的概率．附公式及表如下：22()=()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-++++21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项为1，记01122123(, )(1)(1)(1n n n n n F x n a C x a C x x a C x -=-+-+-21111)(1)n n n n nn n n n x a C x x a C x ---+++-+．（1）若数列{}n a 是公比为3的等比数列，求(1, 2020)F -的值； （2）若数列{}n a 是公差为2的等差数列，求证：(, 2020)F x 是关于x 的一次多项式．22．（本小题满分14分）已知函数2()2x a f x e x ax =--，其中a ＞0．（1）当a ＝1时，求不等式2()4f x e >-在(0，+∞)上的解； （2）设()()g x f x '=，()y g x =关于直线x ＝lna 对称的函数为()y h x =，求证：当x ＜lna 时，()()g x h x <；（3）若函数()y f x =恰好在1x x =和2x x =两处取得极值，求证：12ln 2x x a +<．参考答案1．A2．D3．B4．B5．B 6．A7．A8．A9．D10．D11．C12．D13．5314．0.2 15．150 16．(1e，1){0} 17．解：（1）∵复数z 是纯虚数，∴224300m m m m ⎧-+=⎪⎨-≠⎪⎩，解得130, 1m m m =⎧⎨≠≠⎩或，故m ＝3， （2）∵复数z 在复平面内对应的点在第一象限∴224300m m m m ⎧-+>⎪⎨->⎪⎩，解得1301m m m m <>⎧⎨<>⎩或或，故m ＞3或m ＜0，∴实数m 的取值范围为(-∞，0)(3，+∞)．18．解：（1）。
高二下学期期中考试数学试题(解析版)
莆田华侨中学2022-2023学年下学期期中考试高二数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 下列导数运算正确的是（）A.B.()121x x-'=11ln 222x x '⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦C. D. ()cos sin x x '=()1ln 1x x x'+=+【答案】D 【解析】【分析】利用求导公式和法则逐个分析判断即可【详解】因为，，，， ()121x x -'=-11ln 222x x'⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()cos sin x x '=-()1ln 1x x x '+=+所以选项A ，B ，C 均不正确，选项D 正确， 故选：D.2. 如图，在四面体中，是的中点，设，，，则（ ）OABC G BC OA a = OB b = OC c == AGA.B.C.D.1122a b c -- 1122a b c -++12a b c -++12a b c -- 【答案】B 【解析】【分析】根据三角形法则先求得向量、，进而求得． AB ACAG 【详解】解：，AC OC OA c a =-=-， AB OB OA b a =-=- ．()()111122222AG AC AB a b c a b c ∴=+=-++=-++ 故选：B ．3. 函数的单调递增区间是（ ）()2ln f x x x =-A. 和B.C. D.(),0∞-()0,2()2,+∞(),2-∞()0,2【答案】B 【解析】【分析】求出导函数，由确定增区间．()f x '()0f x '>【详解】，的定义域为， 22()1x f x x x'-=-=()f x (0,)+∞由，得， ()0f x '>2x >∴的单调递增区间为． ()f x ()2,+∞故选：B ．4. 如图，用、、三类不同的元件连接成一个系统．当正常工作且、至少有一个正常工作K 1A 2A K 1A 2A 时，系统正常工作．已知、、正常工作的概率依次为、、，则系统不能正常工作的K 1A 2A 0.90.70.7概率为（ ）A. B. C. D.0.8640.1560.1810.819【答案】C 【解析】【分析】利用独立事件的概率乘法公式计算出该系统正常工作的概率，再利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，该系统正常工作的概率为，()20.9110.70.819⎡⎤⨯--=⎣⎦因此，该系统不能正常工作的概率为.10.8190.181-=故选：C.5. 向量，，，，1，，，0，，若，，共面，则等于（ ） (1a = x 2)(0b = 2)(1c = 0)a b cx A. B. 1C. 2D. 01-【答案】B 【解析】【分析】根据向量共面关系，建立等式即可得解.a mb nc =+ 【详解】向量，，，，1，，，0，，，，共面，(1a = x 2)(0b = 2)(1c = 0)a b c ，，，，，，，，∴a mb nc =+0m ≠0n ≠(1∴x 2)(n =m 2)m ，解得，． ∴122nx m m =⎧⎪=⎨⎪=⎩1x m ==1x ∴=故选：B ．6. “”是“函数在区间（1，2）上单调递减”的（ ）5a >()3f x x ax =-A. 充分不必要条件 B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据函数的单调性与导数的关系和必要不充分条件的判断即可求解. 【详解】若在区间（1，2）上单调递减，()3f x x ax =-所以在区间（1，2）上恒成立， 2()30f x x a '=-≤所以在区间（1，2）上恒成立， 23x a ≤所以，()2max3xa ≤所以，23212a ≥⨯=所以“”是“”的必要不充分条件，5a >12a ≥所以“”是函数在区间（1，2）上单调递减”的必要不充分条件，5a >()3f x x ax =-故选：C .7. 如图，圆柱的轴截面为矩形，点，分别在上、下底面圆上，，ABCD M N 2NB AN = 2CMMD =，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）2AB =3BC =AM CNA.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】利用圆柱的性质、异面直线所成的角即可求解.【详解】方法一 如图（1），在上取点，使，连接，，，，． AB E 2AE EB=NE AN NB BE EA 易知四边形为矩形，则，且． ANBE NB AE ∥NB AE =连接，．因为，且，MN CM MN BC ∥MN BC =所以四边形为平行四边形，所以，且． MNBC CM NB ∥CM NB =连接，则，且，CE AE CM ∥AECM =所以四边形为平行四边形，则， AECM AM CE ∥所以或其补角是异面直线与所成的角． NCE ∠AM CN 在中，，，所以．Rt BNC △3CB=BN =CN ==在中，，，所以，Rt BCE 3CB =1BE =CE==2NE AB==所以．cos NCE ∠==故选：D ．方法二 如图（2），在上取点，使，连接，，，． AB E 2AE EB=AN NB BE EA 易知四边形为矩形，，．ANBE 1AN =NB =MN 由已知条件，得为圆柱的一条母线．MN 以为坐标原点，分别以直线，，为轴、轴、轴建立如图（2）的空间直角坐标系N NB NA NM x y z ，Nxyz则，，，，()0,0,0N ()0,1,0A ()0,0,3M)C所以，，则， ()0,1,3AM =-)NC =cos ,AM NC ==所以异面直线与． AM CN 故选：D ．8. 已知定义在上的函数的导函数为，且对于任意的，都有0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x ()f x '0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）()()sin cosf x x f x x '<A.B. 43ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()13f f π⎛⎫> ⎪⎝⎭C.D.64f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】构造函数，利用导数判断函数的单调性，再利用函数的单调性处理即可. 【详解】设则，因为对于任意的，都有()(),sin f x g x x=()()()2sin cos sin f x x f x x g x x'-'=0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，所以在上单调递减，所以()()sin cos f x x f x x '<()0g x '<()g x 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，即，所以，所以643g g g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭643sin sin sin643f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭>>64312f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎝⎭>>又故无法比,64f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,43f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()sin 1sin1,33f fππ⎛⎫> ⎪⎝⎭较与，故B ，C ，D 错误. 3f π⎛⎫⎪⎝⎭()1f 故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件 “第一次出现2点”，“第二次A =B =的点数小于5点”，“两次点数之和为奇数”，“两次点数之和为9”，则下列说法正确的有（ ） C =D =A. 与不互斥且相互独立 B. 与互斥且不相互独立 A B A D C. 与互斥且不相互独立 D. 与不互斥且相互独立B D AC 【答案】ABD 【解析】【分析】根据事件的互斥与独立的定义对选项一一验证即可.【详解】对于A ：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次与第二次的结果互不影响，即与相互A B 独立；第一次出现2点，第二次的点数小于5点可以同时发生，与不互斥；故A 正确；A B 对于B ：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次的结果会影响两次点数之和，即与不相互独A D 立；第一次出现2点，则两次点数之和最大为8，即与不能同时发生，即与互斥，故B 正确； A D A D 对于C ：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第二次的结果会影响两次点数之和，即与不相互独立； B D 若第一次的点数为5，第二次的点数4点，则两次点数之和为9，即与可以同时发生，即与不互B D B D 斥，故C 错误；对于D ：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次的结果不会影响两次点数之和的奇偶，即与相A C 互独立；若第一次的点数为2，第二次的点数3点，则两次点数之和为5是奇数，即与可以同时发生，即A C A 与不互斥，故D 正确. C 故选：ABD.10. 以下命题正确的是（ ）．A. 直线l 的方向向量，直线m 的方向向量，则 ()112a ,,=-()1,2,1b = l m ⊥B. 直线l 的方向向量，平面的法向量，则或()0,1,1a =- α()1,1,1n =--l α∥l ⊂αC. 两个不同平面，的法向量分别为，，则αβ()12,1,0n =- ()24,2,0n =-αβ⊥D. 平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则α()1,0,1A -()0,1,0B ()1,2,0C -()1,,n u t =α，1u =0=t 【答案】BD 【解析】【分析】对于A ，利用直线的方向向量是否垂直即可求解；对于B ，利用直线的方向向量与平面的法向量是否垂直即可求解；对于C ，利用平面的法向量是否平行即可求解；对于D ，根据法向量得到方程组，求出和的关系即可求解.u t 【详解】对于A ，因为直线的方向向量，直线的方向向量，l ()1,1,2a =- m ()1,2,1b =所以，所以与不垂直，故直线与直线不垂直，故A 错误；()11122110a b ⋅=⨯+-⨯+⨯=≠ a bl m 对于B ，因为直线的方向向量，平面的法向量，l ()0,1,1a =- α()1,1,1n =--所以，所以，故或，故B 正确；()()()0111110a n =⨯+⨯-+-+-=⋅ a n ⊥//l αl ⊂α对于C ，因为两个不同平面的法向量分别为，,αβ()()122,1,0,4,2,0n n =-=-所以，即，所以，故C 错误；212n n =- 12//n n//αβ对于D ，因为，所以, ()()()1,0,1,0,1,0,1,2,0A B C --()()1,1,1,1,1,0AB BC =-=-又向量是平面的法向量，则,即，解得，故D 正确. ()1,,=r n u t α00n AB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩1010u t u -++=⎧⎨-+=⎩1,0u t ==故选：BD.11. 如图所示几何体，是由正方形沿直线旋转得到，是圆弧的中点，是圆弧ABCD AB 90︒G CEH 上的动点，则（ ） DFA. 存在点，使得 H //EH BDB. 存在点，使得 H EH BG ⊥C. 存在点，使得平面H //EH BDG D. 存在点，使得直线与平面的夹角为 H EH BDG 45︒【答案】BC 【解析】【分析】先将图形补全为一个正方体，对四个选项一一验证： ADMF BCNE -对于A 、B ：利用正方体的性质直接判断；对于C 、D ：以A 为原点，为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求解. ,,AD AF AB【详解】由题意可将图形补全为一个正方体，如图示： ADMF BCNE -对于A ：因为面，而是圆弧上的动点，所以不成立.故A 错误； //BD EFMN H DF//EH BD 对于B ：因为正方体中， 面，ADMF BCNE -EF ⊥BCNE 所以.EF BG ⊥所以当重合时，有.故B 正确；,F H EH BG ⊥对于C ：以A 为原点，为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系.设，,,AD AF AB2BC =则()0,0,0,A ()2,0,0,D ()0,2,2,E ()0,2,0,F ()0,0,2,B ()2,0,2,C )2,G，()()22,,0,4,0,0H m n m n m n +=>>所以.())2,0,2,,BD BG =-=(),2,2EH m n =--设为平面的一个法向量，则， (),,e x y z =BDG 202000BD e x z BG e z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩不妨设，则.1x =()1,1,1e =-假设平面，则，所以.//EH BDG 220e EH m n ⋅=-+-=m n =因为，所以是圆弧的中点，符合题意.故C 正确； 224,0,0m n m n +=>>m n ==H DF对于D ：由B 的分析可知：当重合时，直线与平面的夹角最大.,F H EH BDG 此时.()0,0,2EH =-所以与平面所成的角的正弦值为EH BDG cos ,e EH e EH e EH⋅==<⨯ 所以与平面所成的角的最大值小于45°.故D 错误. EH BDG 故选： BC12. 若两曲线与存在公切线，则正实数a 的取值可以是（ ） 21y x =-ln 1y a x =-A. 1 B. e C. e 2 D. 3e【答案】AB 【解析】【分析】设两个切点分别为，，可得两函数的切线方程，从而可得()11,A x y ()22,B x y ，令，利用导数求出，可得的取值范围，从()2224ln 1a x x =-⋅-22()44ln (0)g x x x x x =->max ()g x a 而得答案.【详解】解：设两曲线与的两个切点分别为，， 21y x =-ln 1y a x =-()11,A x y ()22,B x y 由可得；由可得， 21y x =-2y x '=ln 1y a x =-a y x'=则过两切点的切线方程分别为，， 2111(1)2()y x x x x --=-()()222ln 1ay a x x x x --=-化简得，． 21121y x x x =--22ln 1ay x a x a x =+--因为两条切线为同一条，所以，122212ln a x x a x a x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩解得．()2224ln 1a x x =-⋅-令，，22()44ln (0)g x x x x x =->()4(12ln )g x x x =-'令，得，()0g x '=x =当时，；当；0x <<()0g x '>x >()0g x '<所以在上单调递增，在上单调递减， ()gx )+∞则， max ()2e g x g ==所以． (0,2]a ∈e 故选：AB.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 函数在处有极值，则常数a ＝______． ()ln f x x ax =-1x =【答案】1 【解析】【分析】根据极值定义可得，求导并将代入计算即可求得 ()10f '=1x =1a =【详解】由可得， ()ln f x x ax =-()1f x a x'=-又在处有极值，所以可得， ()f x 1x =()10f '=即，所以.经检验满足题意， ()1011f a ='-=1a =故答案为：114. 一个数学兴趣小组共有2名男生3名女生，从中随机选出2名参加交流会，在已知选出的2名中有1名是男生的条件下，另1名是女生的概率为______． 【答案】67【解析】【分析】首先求出男女生各1名的概率，再应用对立事件概率求法求至少有1名男生的概率，最后应用条件概率公式求概率.【详解】若A 表示“2名中至少有1名男生”，B 表示“2名中有1名女生”， 所以2名中有1名是男生的条件下，另1名是女生的概率为， ()(|)()P AB P B A P A =而，，故. 112325C C 3()C 5P AB ==2325C 7()1C 10P A =-=6(|)7P B A =故答案为：6715. 在如图所示的三棱锥中，平面，，，，为-P ABC PA ⊥ABC 90ACB ∠=︒8CA =6PA =D AB 中点，为内的动点（含边界），且.当在上时，________；点的轨迹E PAC △PC DE ⊥E AC AE =E 的长度为________.【答案】 ①. ②.4125【解析】【分析】由题意建立空间直角坐标系可得当在上时，满足，求得的长；当为E AC PC DE ⊥AE E 内的动点（含边界）时，再取中点，，再过作，可证平面，得到PAC △AC F F FG PC ⊥PC ⊥DFG 的轨迹，求解三角形可得点的轨迹的长度．E E 【详解】因为平面，平面，所以，又，所PA ⊥ABC ,AC BC ⊂ABC ,PA AC PA BC ⊥⊥90ACB ∠=︒以，ACBC ⊥又平面，所以平面，过，如图建立空间直角坐标,,PA AC A PA AC ⋂=⊂PAC BC ⊥PAC //Ax BC 系，则，设，所以，则()()()0,0,0,0,8,0,0,0,6A C P BC a =(),8,0B a ,4,02a D ⎛⎫⎪⎝⎭①当在上时，设，因为，所以E AC ()0,,0E c PC DE ⊥，故，则()0,8,6,4,00832002a PC DE c c ⎛⎫⋅=-⋅--=+-+= ⎪⎝⎭ 4c =()0,4,0E 所以；4AE=②为内的动点（含边界）时，如图，取中点，过作，垂足为E PAC △ACF F FG PC ⊥G由①可得，又，平面，所以平面，因为PC DF ⊥FG PC ⊥,,DF FG F DF FG ⋂=⊂DFG PC ⊥DFG 平面，所以FG ⊂PAC PC FG ⊥即在线段上运动时，， E FG PC DE ⊥点的轨迹为线段．∴E FG 则． 12sin 425PA FG FC PCA PC =⋅∠=⨯==故答案为：；. 412516. 已知函数，若恰有两个零点，则的取值范围为__________.2ln ,0()1,0x kx x f x kx x x ->⎧=⎨-+≤⎩()f x k 【答案】 ()1,00,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】利用分离参数法得，，，，从而转化为直线与函数图象交ln x k x =0x >21x k x-=0x <y k =点个数问题，利用数形结合的思想即可得到答案. 【详解】当时，令，则， 0x >()ln 0f x x kx =-=ln xk x=令，，， ()ln x h x x=0x >()221ln 1ln x xx x h x x x ⋅--'==令，即，解得，此时单调递增， ()0h x '>1ln 0x ->0e x <<()h x 令，即，解得，此时单调递减， ()0h x '<1ln 0x -<e x >()h x 故在时，取得最大值，且当趋近于0时，趋近于负无穷， ()h x e x =()1e eh =x ()h x 当趋近于正无穷时，趋近于0，且大于0，x ()h x 当时，，当时，，故此时不是零点，所以，0x ≤()21f x kx x =-+0x =()01f =0x ≠令，，()201f x kx x =-+=22211111124x k x x x x -⎛⎫==-=--- ⎪⎝⎭令，， ()211x x xϕ=-0x <根据符合函数单调性可知，此时函数单调递减，当趋近于负无穷时，趋近于0，且小于0， x ()x ϕ当趋近于0时，趋近于负无穷， x ()x ϕ在同一坐标系中作出与如下图所示，()h x ()x ϕ题目转化为与函数与在图像上有两交点，y k =()h x ()x ϕ故由图得.()1,00,e k ⎛⎫∈-∞⋃ ⎪⎝⎭故答案为：.()1,00,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知，，．()1,3,4A ()1,5,4B -()1,2,1C -（1）求；,AB BC（2）求在上的投影向量．AC BC【答案】（1）2π3（2） ()0,2,2--【解析】【分析】（1）由向量夹角余弦公式,分别计算向量数量积和向量的模,再根据夹角范围,确定夹角的值. （2）根据投影向量定义分别计算两个向量的数量积和模,再求出向量的同方向单位向量,计算即可得到BC投影向量. 【小问1详解】解：因为，，()2,2,0AB =- ()0,3,3BC =--所以，，，6AB BC⋅=-AB =BC = 所以． 1cos ,2AB BC AB BC AB BC ⋅===-⋅因为，0,πAB BC ≤≤所以．2π,3AB BC = 【小问2详解】因为，， ()2,1,3AC =--- ()0,3,3BC =--所以．cos ,AC BC ==因为， 0,BC BC ⎛= ⎝所以在上的投影向量为AC BC．()cos ,0=0,2,2BC AC AC BC BC ⎛= ⎝⋅--18. 如图，四棱锥的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，，，M 为BC P ABCD -2PD DC ==AD =的中点.（1）求D 到平面APM 的距离；（2）求平面ABCD 与平面APM 所成角的余弦值. 【答案】（1 （2 【解析】【分析】（1）根据点面距离的法向量求法即可求解；（2）根据面面夹角的法向量求法即可求解. 【小问1详解】因为四棱锥的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，P ABCD -所以可以建立以D 为坐标原点，DA 方向为x 轴，DC 方向为y 轴，DP 方向为z 轴，如图所示的空间直角坐标系，又，，M 为BC 的中点， 2PD DC ==AD =所以，，，，(0,0,0)DA 2,0)M (0,0,2)P 所以，，2)PA =-2,2)PM =-DA = 设平面的法向量为，PAM (,,)n x y z =所以， ()()()),,220,,2,2220nPA x y z z n PM x y z y z ⎧⋅=⋅-=-=⎪⎨⋅=⋅-=+-=⎪⎩取，解得，， 1x=z=y =所以，n =所以D 到平面APM.==【小问2详解】易知，平面ABCD 的一个法向量为，(0,0,2)DP =. ()0,0,2·cos ,m n ⎛===平面ABCD 与平面APM . 19. 已知函数，.()sin cos f x x x x =+()0,2πx ∈（1）求函数在处的切线方程； ()f x πx =（2）求函数的极值. ()f x 【答案】（1）2ππ10x y +-+=（2）的极大值为;的极小值为. ()f x π2()f x 3π2-【解析】【分析】(1)根据导数的几何意义即可求解;(2)根据导数与极值的关系即可求解. 【小问1详解】因为，()sin cos f x x x x =+所以， ()sin cos (sin )f x x x x x =+-'+所以， ()cos f x x x '=所以， (π)πcos ππf '==-而，()ππsin πcos π1f =+=-所以函数f （x ）在处的切线方程为：， πx =(1)π(π)y x --=--即， 2ππ10x y +-+=【小问2详解】因为，()sin cos f x x x x =+所以， ()sin cos (sin )f x x x x x =+-'+所以， ()cos f x x x '=令， ()cos 0f x x x '==解得或， 0x =ππ,2x k k =+∈Z 又因为， ()0,2πx ∈所以或，1π2x =3π2x =x 10,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 12π 13π,π22⎛⎫ ⎪⎝⎭3π23π,2π2⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x '+-+()f x ↗极大值 ↘极小值↗函数的极大值为;()f x 1πππππsin cos 22222f ⎛⎫=+=⎪⎝⎭函数的极小值为.()f x 33π3π3π3ππsin cos 22222f ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭20. 某同学买了7个盲盒，每个盲盒中都有一个礼物，有4个装小兔和3个装小狗． （1）依次不放回地从中取出2个盲盒，求第1次、第2次取到的都是小兔盲盒的概率； （2）依次不放回地从中取出2个盲盒，求第2次取到的是小狗盲盒的概率．【答案】（1）27（2）37【解析】【分析】（1）设事件“第次取到的是小兔盲盒”，，求出，，再根据条件概=i A i 1,2i =()1P A ()21P A A 率的概率公式计算可得；（2）设事件“第次取到的是小狗盲盒”，，求出，，，再根据全i B =i 1,2i =()1P B ()21P B B ()21P B A 概率的概率公式计算可得. 【小问1详解】设事件“第次取到的是小兔盲盒”，．=i A i 1,2i =∵，，()14117C 4C 7P A ==()132116C 1C 2P A A ==∴， ()()()12121412727P A A P A P A A ==⨯=即第次、第次取到的都是小兔盲盒的概率为．1227【小问2详解】设事件“第次取到的是小狗盲盒”，．i B =i 1,2i =∵，，，()13117C 3C 7P B ==()122116C 1C 3P B B ==()132116C 1C 2P B A ==∴由全概率公式，可知第次取到的是小狗盲盒的概率为2()()()()()2121121P B P B P B B P A P B A =⨯+⨯ 31417372=⨯+⨯． 37=21. 在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，，111ABC A B C -11A B BA ⊥ABC 11A B BA 1π3ABB ∠=，，E 是的中点.1A B AC ⊥2AB AC ==AC（1）求证：平面；1A B ⊥1AB C （2）点P 在线段上（异于点，），与平面所成角为，求的值.1A E 1A E AP 1A BE π41EP EA 【答案】（1）证明见解析（2）125EP EA =【解析】【分析】(1)根据线面垂直的判定定理证明； (2)利用空间向量的坐标运算表示线面夹角即可求解. 【小问1详解】因为四边形为菱形，所以，11A B BA 11A B AB ⊥又因为，，平面，， 1A B AC ⊥1AB AC ⊂1AB C 1AB AC A = 所以平面. 1A B ⊥1AB C 【小问2详解】取的中点O ，连接，四边形为菱形，且， AB 1B O 11A B BA 1π3ABB ∠=所以.1B O AB ⊥因为平面平面，平面平面，11A B BA ⊥ABC 11A B BA ⋂ABC AB =平面，1B O ⊂11A B BA 所以平面，所以，又因为，与相交， 1B O ⊥ABC 1B O AC ⊥1A B AC ⊥1B O 1A B 所以平面.取中点D ，连结， AC ⊥11A B BA BC OD 以O 为原点，，，为空间基底建立直角坐标系.OB OD 1OB则，，，，()1,0,0B ()1,0,0A-(1A -()1,1,0E -所以，.(1BA =-()2,1,0BE =- 设平面的一个法向量为，1A BE (),,n x y z =所以，令，则，，13020n BA x n BE x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩1x=z =2y =所以.(1,n =设，可得点，. 1EP EA λ=()1,1P λλ---(),1AP λλ=-- 由题意πsin cos ,4AP n AP n AP n ⋅===解得或（舍），即. 2=5λ0λ=125EP EA =22. 已知函数，.()ln 1f x x mx =-+()()e 2xg x x =-（1）若的最大值是1，求的值；()f x m （2）若对其定义域内任意，恒成立，求的取值范围. x ()()f x g x ≤m 【答案】（1） 1em =（2） [)1,+∞【解析】【分析】（1）先求定义域，再求导，分与两种情况，分类讨论得到当，时，0m ≤0m >0m >1x m=取得最大值，列出方程，求出的值；()f x m （2）转化为在上恒成立问题，构造，二次求导，利用1ln 2e x x m x +-≥-()0,∞+()1ln e xx x xϕ+=-隐零点求出，取对数后，利用同构得到，求出在处取得最大值，0020e n 0l x x x +=01e x x =()x ϕ0x x =列出不等式，求出的取值范围. m 【小问1详解】的定义域为，. ()f x ()0,∞+()11mx f x m x x-'=-=若，，在定义域内单调递增，无最大值；0m ≤()0f x ¢>()f x若，令,解得：，令，解得：， 0m >()0f x ¢>10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭故时，单调递增，时，单调递减. 10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x 1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()f x 时，取得极大值，也是最大值，故，1x m∴=()f x 11ln 1f m m ⎛⎫== ⎪⎝⎭；1em ∴=【小问2详解】原式恒成立，即在上恒成立，()ln 1e 2xx mx x -+≤-()0,∞+即在上恒成立. 1ln 2e xx m x+-≥-()0,∞+设，则. ()1ln e x x x x ϕ+=-()22e ln x x xx xϕ+'=-设，则， ()2e ln xh x x x =+()()212e 0xh x x x x'=++>在上单调递增，且，.()h x ∴()0,∞+112e e 211e 1e 10e eh -⎛⎫=⋅-=-< ⎪⎝⎭()1e 0h =>有唯一零点，且，()h x ∴01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭020e n 0l xx x +=即. 000ln ex x x x -=两边同时取对数，得，易知是增函数，()()0000ln ln ln ln x x x x +=-+-ln y x x =+，即. 00ln x x ∴=-01ex x =因为，所以当时，， ()()2h x x x ϕ'=-()00,x x ∈()()20h x x xϕ'=->当时，， ()0,x x ∈+∞()()20h x x xϕ'=-<故在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，也是最大值，()x ϕ()00,x ()0,x +∞()x ϕ0x x =， ()()0000000e 11ln 11x x x x x x x x ϕϕ+-∴≤=-=-=-， 21m ∴-≥-，1m ∴≥故的取值范围是.m [)1,+∞【点睛】隐零点的处理思路：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；第二步：虚设零点并确定取值范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.。
人教版高二数学下学期期中试题解析版
所以 ，即 ，即
所以 .
故答案为：
【点睛】本题考查函数奇偶性的判断和利用函数的奇偶性、单调性解不等式,属于中档题.
15. 如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有 个．
【答案】12
【解析】
当相同的数字不是1时，有 个；当相同的数字是1时，共有 个，由分类加法计数原理知共有“好数” ＋ ＝12个．
【详解】∵函数 ， ，
∴ ，
要使 在定义域 内为单调递增函数，只需 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
∴ 在 上恒成立，
∵ ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
∴ ，
∴实数p的最小值为1，
由题意可知，不等式 在 上有解，
设 ，
∴ ，
∴函数 在 上单调递增，
∴ ，
解得： ，
∴实数p的取值范围为： ，
故答案为：1， .
4.下列函数中与函数 的奇偶性相同，且在 上单调性也相同的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
为偶函数且在 上单调递减，根据偶函数排除 和 ；根据单调性排除 .
【详解】由 可知函数为偶函数，且当 时， ，函数单调递减
选项： ，为偶函数；当 时， ，此时函数单调递增，根据偶函数对称性可知，函数在 上单调递减，符合题意；
【详解】解：由不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图，知：
在 中，城镇户籍倾向选择生育二胎的比例为 ，农村户籍倾向选择生育二胎的比例为 ，
是否倾向选择生育二胎与户籍有关，故 正确；
在 中，男性倾向选择生育二胎的比例为 ，女性倾向选择生育二胎的比例为 ，
2022-2023学年人教A版(2019)高二下数学期中试卷(含解析)
2022-2023学年高中高二下数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I（选择题）一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1. 将甲、乙等名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有A.种B.种C.种D.种2. 设随机变量服从正态分布，且，则 ( )A.B.C.D.3. 中国书法历史悠久、源远流长．书法作为一种艺术，以文字为载体，不断地反映和丰富着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观．谈到书法艺术，就离不开汉字．汉字是书法艺术的精髓．汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术．我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图：以“国”字为例，现有甲乙两名书法爱好者分别从五种书体中任意选两种进行研习，且甲乙选书体互相独立，则甲不选隶书体，乙不选草书体的概率为．A.B.5()18243672ξN(1,4)P(ξ>2)=0.3P(0<ξ<1)=0.150.20.40.7()4258259C.D.4. 函数的导数，则( )A.B.C.D.5. 函数的导函数的图象大致是( )A.B.C.D.6. ，则（ ）A.B.9251625f (x)=+x ln x x 2(x)f ′(1)=f ′−1−213f(x)=+cos x 14x 2++=+x +++(1+3x)2(1+2x)3(1+x)4a 0a 1a 2x 2a 3x 3a 4x 4++++=a 0a 1a 2a 3a 44956C.D.7. 从不超过的正整数中任取个数，且无两个连续的数，则不同的取法种数是（ ）A.B.C.D.8. 已知，且，恒成立，则的取值范围是( )A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ） 9. 已知随机变量的分布列如下，且，则下列说法正确的是（ ）A.，B.，C.D. 10. 的展开式中第项和第项的二项式系数相等，则以下判断正确的是（ ）596420213C 3201912C 3202113C 32021−C 32021C 22020f(x)=，x ∈[1,2]ae x x ∀，∈[1,2]x 1x 2≠，<1x 1x 2f()−f()x 1x 2−x 1x 2a [,+∞)2e(−∞,]9e −22(,+∞)e 13(−∞,]4e 2X E (X)=2X 123P m n 13m =12n =16m =13n =13D (X)=23D (x)=12=+x ++⋯+(1−2x)n a 0a 1a 2x 2a n x n311A.第项的二项式系数最大B.所有奇数项二项式系数的和为C.D.11. 一袋中有大小相同的个红球和个白球，给出下列结论：①从中任取球，恰有一个白球的概率是；②从中有放回的取球次，每次任取一球，恰好有两次白球的概率为；③现从中不放回的取球次，每次任取球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为；④从中有放回的取球次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为．则其中正确命题的序号是( )A.①B.②C.③D.④12. 已知函数的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是 A.是函数的极小值点B.是函数的极小值点C.函数在区间上单调递增D.函数在处切线的斜率小于零卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知袋中装有只白球与只红球，这些小球除颜色外完全相同，现从袋中取球，每次取一个且取后不放回，直到取到红球为止，设事件为“第次抽到的是白球”，事件为“第次抽到的是红球”，7213++a 12a 222...+=−1a n 2n+2+⋯+n =−12a 1a 2a n 42335680243212532627y =f (x)()−1f (x)−3f (x)f (x)(−3,1)f (x)x =037A 1B 2P (B/A)=则________．14. 已知，若展开式中各项的系数和为，则________，展开式中常数项为________． 15. 已知函数，若对于任意的，均有成立，则实数的取值范围为________.16. （甘肃二诊）某中学读书社、汉服社、魔方社、动漫社四个社团由于活动需要组织纳新，每个社团仅需要一名新成员，而由于时间关系，每位同学也只能参加一个社团．现有甲、乙、丙、丁四位同学成功参加了这四个社团．已知如下个命题：①甲不在读书社，也不在动漫社；②乙不在魔方社，也不在动漫社；③“丙在动漫社”是“甲在魔方社”的必要条件；④丁不在读书社，也不在魔方社；⑤丙不在魔方社，也不在读书社均为真命题，那么丁参加的是________（填“读书社”“汉服社”“魔方社”或“动漫社”）．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.在的展开式中，的系数等于，求该展开式的各项的系数中的最大值；在的展开式中，求含项的系数． 18. （本小题满分分）已知函数讨论的单调性；设，当时，，求的最大整数值． 19. 第届冬奥会将于 年在中国北京和张家口举行为宣传冬奥会，让更多的人了解、喜爱冰雪项目，某大学举办了冬奥会知识竞赛，并从中随机抽取了名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图.试根据频率分布直方图估计这名学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）；若采用分层抽样的方法从 ， 这两个分数段中抽取人，求从这两个分数段中应分别抽取多少人？从中抽取的人中随机抽取人到某社区开展冬奥会宣传活动，求抽取的人成绩均在P (B/A)=(ax +)(2x +1(a ≠0)1x )581a =f (x)=(x +1)sin x +cos x ，∈[0,](≠)x 1x 2π2x 1x 2|f()−f()|<a|−|x 1x 2e x 1e x 2a 5(1)(x −)a x 5x 3−5(2)(x +−1)1x 6x 512f(x)={m −2)x −y ln |x|1}(1)f (x)(2)m ∈N ast x >1f (x)<m n 242022.100(1)100(2)[80,90)[90,100]3(3)(2)322[80，90)中的概率. 20. 已知函数.若函数在定义域上是增函数，求实数的取值范围；若，令，试讨论函数的零点个数，并说明理由． 21. 设袋子中装有个红球，个黄球，个蓝球，且规定：取出一个红球得分，取出一个黄球分，取出一个蓝球得分．当，，时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）个球，记随机变量为取出此球所得分数之和．求分布列；从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）个球，记随机变量为取出此球所得分数．若，，求． 22. 已知函数.若，讨论函数的单调性；若，证明：[80，90)f (x)=−mln x 12x 2(1)f (x)m (2)m ≥1F (x)=f (x)−+(m +1)x x 2F (x)a b c 123(1)a =3b =2c =12ξ2ξ(2)1ηEη=53Dη=59a :b :c f(x)=ln x +ax +a +1x(1)a <0f(x)(2)a ≥0≥f(x)−2a x 1ex−1参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二下数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】C【考点】分步乘法计数原理【解析】把甲、乙两名员工看做一个整体，再把这个人分成部分，每部分至少一人，共有 种方法，再把这部分人分到个为车间，有种方法，根据分步计数原理，求得不同分法的种数．【解答】解：把甲、乙两名员工看做一个整体，个人变成了个，再把这个人分成部分，每部分至少一人，共有 种方法，再把这部分人分到个路口，有种方法，根据分步计数原理，不同分法的种数为.故选.2.【答案】B【考点】正态分布的密度曲线【解析】根据随机变量服从正态分布，知正态曲线的对称轴是是，且，欲求，只须依据正态分布对称性，即可求得答案．【解答】解： 随机变量服从正态分布，正态曲线的对称轴是：，又 ，，43C 2433A 335443C 2433A 33⋅=36C 24A 33C ξx =1P(ξ>2)=0.3P(0<ξ<1)∵ξN(1,4)∴x =1∵P(ξ>2)=0.3∴P(ξ≤0)=0.3(0<ξ<1)=[1−(0.3+0.3)]=0.21．故选．3.【答案】C【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】甲选两种书体共有种方法，乙选两种书体共有种方法，所以一共有种方法，然后求出甲不选隶书体，乙不选草书体的方法数，再利用古典概型的概率公式求解即可.【解答】解：甲选两种书体共有种方法，乙选两种书体共有种方法，所以一共有种方法，而甲不选隶书体有种方法，乙不选草书体有种方法，所以共有种方法，所以甲乙两名书法爱好者分别从五种书体中任意选两种进行研习，且甲不选隶书体，乙不选草书体的概率为.故选.4.【答案】D【考点】导数的运算【解析】本题主要考查导数的运算，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力.【解答】解：，，．故选．5.【答案】A∴P(0<ξ<1)=[1−(0.3+0.3)]=0.212B 5×4=205×4=204005×4=205×4=2020×20=4004×3=124×3=1212×12=144=144400925C ∵f(x)=+x ln x x 2∴(x)=2x +ln x +1f ′∴(1)=2+ln 1+1=3f ′D【考点】简单复合函数的导数函数的图象【解析】求函数的导数，根据函数的性质即可判断函数的图象．【解答】解：∵，∴，为奇函数，关于原点对称，排除，；设，则，得，由图象可知方程有三个根，排除，故正确.故选．6.【答案】C【考点】二项式系数的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：令．故选．7.【答案】f(x)=+cos x 14x 2f'(x)=x −sin x 12B D g(x)=f'(x)=x −sin x 12g(x)=0x =sin x 12C A A x =1,++++a 0a 1a 2a 3a 4=++=59(1+3)2(1+2)3(1+1)4CA【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】不超过的正整数共有个，从个数中任取三个数的方法总数为；若取出的三个数均相邻，情况数；若取出的三个数只有两个数相邻，情况数；则所求方法总数．【解答】解：不超过的正整数共有个，从个数中任取三个数的方法总数为；若取出的三个数均相邻，情况数；若取出的三个数只有两个数相邻，情况数；综上：所求方法总数，.故选．8.【答案】D【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究不等式恒成立问题【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题.构造新函数在上单调递减，根据导数和函数的单调性关系分离变量即可求出答案.【解答】解：因为，则，令，则在上单调递减，即，即恒成立，①当时，显然成立，；②当时，，令，则，202120212021C 32021=2019=2018+2018×2017+2018=2018×2019=−2019−2018×2019C 32021202120212021C 32021=2019=2018+2018×2017+2018=2018×2019=−2019−2018×2019C 32021=−=2021×2020×2019620192C 32019A g(x)=f(x)−x =−x ae x x [1，2]∀，∈[1，2]x 1x 2−1=<0f()−f()x 1x 2−x 1x 2f()−−[f()−]x 1x 1x 2x 2−x 1x 2g(x)=f(x)−x =−x ae x x g(x)[1，2](x)=−1≤0g ′a (x −1)e x x 2≤1a (x −1)e x x 2x =1a ∈R x ∈(1，2]a ≤x 2(x −1)e x t(x)=x 2(x −1)e x (x)=t ′−x (−2x +2)e x x 2(x −1e 2x )2(x =t(2)=4当时，，，所以，即的取值范围为.故选.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】B,C【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】利用概率之和为，结合，求出，，再利用方差公式求即可.【解答】解：由题意可得，且，解得，故正确；，故正确.故选.10.【答案】A,C【考点】二项展开式的特定项与特定系数二项式系数的性质【解析】无【解答】解：由，得，所以展开式共有项，x ∈[1，2](x)<0t ′t(x =t(2)=)min 4e 2a ≤4e 2a (−∞，]4e 2D 1E (X)=2m n D (X)m +n +=113E (X)=1×m +2×n +3×=213m =n =13B D (X)=++=13(1−2)213(2−2)213(3−2)223C BC =C 2n C 10n n =1213+1)n二项式系数最大的项为第项，故正确；又所有奇数项的二项式系数和为，故不正确．令，得；令，得，所以，故正确；，即．令，可得，故不正确．故选．11.【答案】A,B,D【考点】相互独立事件的概率乘法公式古典概型及其概率计算公式【解析】①利用超几何分布求概率；②利用二项分布求概率；③考查条件概率；④利用相互独立时间求概率.【解答】解：①从中任取3球，恰有一个白球的概率是，故正确；②从中有放回的取球次，每次任取一球，取到白球次数服从二项分布，故恰有两次的概率为，故正确；③从中不放回的取球次，每次任取球，则在第一次取到红球后，此时袋中还有个红球个白球，则第二次再次取到红球的概率为；故错误;④从中有放回的取球次，每次任取一球，每次取到红球的概率，至少有一次取到红球的概率为，故正确．故选12.【答案】B,C【考点】利用导数研究函数的极值(+1)n 2A 211B x =12+++⋯+=0a 0a 12a 222a n 2nx =0=1a 0++⋯+=−1a 12a 222a n 2n C =(+x ++⋯+[(1−2x ])12′a 0a 1a 2x 2a 12x 12)′−24=+2x +3+⋯+12(1−2x)11a 1a 2a 3x 2a 12x 11x =1+2+⋯+12=−24×=24a 1a 2a 12(−1)11D AC ==C 12C 24C 361220356X ∼B (6,)13P (X =2)==C 26()132()234802432132353P =23∴1−=(1−)2332627ABD.利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：∵由函数的导函数的图象可知，当时，，当时，,∴函数在上单调递减，在上单调递增，∴是函数的极小值点，函数在区间上单调递增，故选项错误，选项，正确；∵函数在处的导数大于零，∴函数在处切线的斜率大于零，故选项错误.故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】条件概率与独立事件古典概型及其概率计算公式【解析】把本题转化为古典概率来解，他第次抽到时，袋子中还有只白球与只红球，根据古典概率计算公式求得他第次抽到的是红球的概率．【解答】解：表示事件在事件已经发生的条件下的发生概率，在他第次抽到的是白球的条件下，这时袋子中还有只白球与只红球，且第次抽到的是白球的概率，此时，第次抽到的是白球且第次抽到的是红球的概率，所以.故答案为：.14.y =f (x)x <−3(x)<0f ′x >−3(x)≥0f ′f(x)(−∞,−3)(−3,+∞)−3f (x)f (x)(−3,1)A B C y =f(x)x =0y =f(x)x =0D BC 792272P(B/A)B A 1271P(A)=31012P(AB)==3×710×9730P(B/A)===P(AB)P(A)7303107979【答案】,【考点】二项式系数的性质【解析】根据展开式中各项系数的和求得的值，再把二项式展开，求得该展开式中常数项．【解答】解：∵的展开式中各项系数的和与无关，由 得各项式系数和为，∴ ，∴，原式为 ，，常数项分以下几种情况：① 项与中的次项，而中不存在次项，所以舍去，② 项与中的次项，有 .故答案为：；．15.【答案】【考点】利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可知，，则，故在上单调递增，−23102a (ax +)(2x +11x )5x x =181(a +1)(2+1=81)5a =−23(−x +)(2x +1231x )5A =(−x +)，B =(2x +1231x )5−x 23B −1B −11x B 12=10C 15−2310a ≥1f(x)=(x +1)sin x +cos x =x sin x +sin x +cos x (x)=sin x +x cos x −sin x +cos x =(x +1)cos x >0f ′f(x)[0,]π2f()>f()不妨设，则，，∴由，可得成立，即.令，则，令，分离参数得，∴，∴在上单调递减，故，即的取值范围为.故答案为：.16.【答案】汉服社【考点】进行简单的合情推理【解析】此题暂无解析【解答】因为个命题均为真命题，又由题意知乙、丙、丁都不在魔方社，所以甲一定在魔方社．因为“丙在动漫社”是“甲在魔方社”的必要条件，所以丙在动漫社；又丁不在读书社，也不在魔方社，所以丁在汉服社，乙在读书社，所以丁参加的是汉服社．根据条件确定出甲、丙参加的社团是解答本题的关键．本题考查合情推理．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：∵，展开式的系数为，∴解得∴各项的系数中最大值为.的展开式的通项为，的展开式的通项为.由，得.∵，，>x 1x 2>e x 1e x 2f()>f()x 1x 2|f()−f()|<a|−|x 1x 2e x 1e x 2f()−f()<a −a x 1x 2e x 1e x 2f()−a <f()−a x 1e x 1x 2e x 2g(x)=x sin x +sin x +cos x −ae x (x)=cos x +x cos x −a ≤0g ′e x h(x)=cos x +x cos x a ≥h(x)=F(x)e −x (x)=(−sin x −x sin x −x cos x)≤0F ′e −x F(x)[0,]π2a ≥F(x =F(0)=1)max a a ≥1a ≥15(1)=T r+1C r 5(−a)r x5−2r (x −)a x 5x 3−5{5−2r =3,×=−5,C r 5(−a)r {r =1,a =1.=10C 25(2)(x +−1)1x 6=⋅⋅T r+1C r 6(x +)1x 6−r (−1)r (x +)1x 6−r =⋅⋅T s+1C s 6−r x 6−r−s ()1xs =⋅C s 6−r x 6−r−2s 6−r −2s =5r +2s =1r s ∈N∴必然有，.∴展开式中含有项的系数为.【考点】二项展开式的特定项与特定系数【解析】(1)首先写出二项展开式的通式，令的幂指数等于，求得的值，进而求得的系数，再根据的系数等于，求得的值，进而求得各项的系数中最大值.(2)首先写出展开式的通项，因为求解项的系数，所以需要二次展开求解.【解答】解：∵，展开式的系数为，∴解得∴各项的系数中最大值为.的展开式的通项为，的展开式的通项为.由，得.∵，，∴必然有，.∴展开式中含有项的系数为.18.【答案】【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】19.【答案】r =1s =0x 5−⋅=−6C 16C 05x 3r x 3x 3−5a x 5(1)=T r+1C r 5(−a)r x5−2r (x −)a x 5x 3−5{5−2r =3,×=−5,C r 5(−a)r {r =1,a =1.=10C 25(2)(x +−1)1x 6=⋅⋅T r+1C r 6(x +)1x 6−r (−1)r (x +)1x 6−r =⋅⋅T s+1C s 6−r x 6−r−s ()1xs =⋅C s 6−r x 6−r−2s 6−r −2s =5r +2s =1r s ∈N r =1s =0x 5−⋅=−6C 16C 05(1)解：这名学生的平均成绩为（分）.从成绩在 的学生中抽取 （人），从成绩在 的学生中抽取 （人）.设成绩在 的人为，，成绩在 的人为，从中抽取人，共有种情况，分别是 ，其中抽取的人在同一分数段，有种情况，抽取的人成绩均在 中的概率 .【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率众数、中位数、平均数、百分位数分层抽样方法【解析】此题暂无解析【解答】解：这名学生的平均成绩为（分）.从成绩在 的学生中抽取 （人），从成绩在 的学生中抽取 （人）.设成绩在 的人为，，成绩在 的人为，从中抽取人，共有种情况，分别是 ，其中抽取的人在同一分数段，有种情况，抽取的人成绩均在 中的概率 .20.【答案】解：依题意得， ，，当时， ，故函数在上单调递增，符合题意；当时， ，(1)100=0.02×45+0.16×55+0.22×65+0.30×75+0.20×85+0.10×95x ¯¯¯=73(2)[80,90)3×=20.20.2+0.1[90,100]3×=10.10.2+0.1(3)[80,90)2a b [90,100]1c 23(a,b)，(a,c)，(b,c)21(a,b)∴2[80,90)P =13(1)100=0.02×45+0.16×55+0.22×65+0.30×75+0.20×85+0.10×95x ¯¯¯=73(2)[80,90)3×=20.20.2+0.1[90,100]3×=10.10.2+0.1(3)[80,90)2a b [90,100]1c 23(a,b)，(a,c)，(b,c)21(a,b)∴2[80,90)P =13(1)(x)=x −=f ′m x −m x 2xx ∈(0,+∞)m ≤0(x)>0f ′f (x)(0,+∞)m >0(x)=f ′(x −)(x +)m −−√m −−√x (x)>0f ′0<x <−−√f (x)令，得，函数单调递减，令，得，函数单调递增，故函数在上单调递减，在上单调递增，不合题意．综上所述，实数的取值范围为. ，易得，①若，则，函数为减函数，注意到 ，，所以有唯一零点；②若，则当或时， ，当时， ，所以函数在和上单调递减，在上单调递增，注意到 ，，所以有唯一零点．综上，当时，函数有唯一零点．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究与函数零点有关的问题【解析】(Ⅰ)函数在某区间上为增函数就是要求函数的导数在某区间上非负，求出函数的导数，由于含参，所以对参数分类两种情况讨论，当时，导数非负恒成立，当，导数值有正有负有零，不合题意舍；(Ⅱ)写出函数并求导，分和两种情况研究，当时，函数单调减，一个零点，当时，写出函数的单调区间，图象先减后增再减，由于极小值为正，只能当极大值小于零时，才会有一个零点，解出的范围．【解答】解：依题意得， ，，当时， ，故函数在上单调递增，符合题意；当时， ，令，得，函数单调递减，令，得，函数单调递增，故函数在上单调递减，在上单调递增，不合题意．综上所述，实数的取值范围为. ，易得，①若，则，函数为减函数，注意到 ，，所以有唯一零点；②若，则当或时， ，当时， ，所以函数在和上单调递减，在上单调递增，x (x)>0f ′0<x <m −−√f (x)(x)>0f ′x >m −−√f (x)f (x)(0,)m −−√(+∞)m−−√m (−∞,0](2)F (x)=f (x)−+(m +1)x x 2=−+(m +1)x −mln x (x >0)12x 2(x)=−x +m +1−F ′m x =−(x −1)(x −m)x m =1(x)≤0F ′F (x)F (1)=>032F (4)=−ln 4<0F (x)m >10<x <1x >m (x)<0F ′1<x <m (x)>0F ′F (x)(0,1)(m,+∞)(1,m)F (1)=m +>012F (2m +2)=−mln(2m +2)<0F (x)m ≥1F (x)m ≤0m >0F (x)m =1m >1m =1m >1m (1)(x)=x −=f ′m x −m x 2x x ∈(0,+∞)m ≤0(x)>0f ′f (x)(0,+∞)m >0(x)=f ′(x −)(x +)m −−√m −−√x (x)>0f ′0<x <m −−√f (x)(x)>0f ′x >m −−√f (x)f (x)(0,)m −−√(+∞)m−−√m (−∞,0](2)F (x)=f (x)−+(m +1)x x 2=−+(m +1)x −mln x (x >0)12x 2(x)=−x +m +1−F ′m x =−(x −1)(x −m)x m =1(x)≤0F ′F (x)F (1)=>032F (4)=−ln 4<0F (x)m >10<x <1x >m (x)<0F ′1<x <m (x)>0F ′F (x)(0,1)(m,+∞)(1,m)(1)=m +>01注意到 ，，所以有唯一零点．综上，当时，函数有唯一零点．21.【答案】解：由题意，得，，，，，；；；；．故所求的分布列为，，，由题意可知，的分布列为，，得解得，，故．【考点】离散型随机变量的分布列及性质离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）的可能取值有：，，，，，求出相应的概率可得所求的分布列；（2）先列出的分布列，再利用的数学期望和方差公式，即可得到结论．【解答】解：由题意，得，，，，，；；；F (1)=m +>012F (2m +2)=−mln(2m +2)<0F (x)m ≥1F (x)(1)ξ=23456P(ξ=2)==3×36×614P(ξ=3)==2×3×26×613P(ξ=4)==2×3×1+2×26×6518P(ξ=5)==2×2×16×619P(ξ=6)==1×16×6136ξξ23456P 141351819136(2)P (η=1)=a a +b +c P (η=2)=b a +b +c P (η=3)=c a +b +c ηη123P a a +b +c b a +b +c c a +b +c Eη=++=a a +b +c 2b a +b +c 3c a +b +c 53Dη=(1−×+(2−×+53)2a a +b +c 53)2b a +b +c (3−×=53)2c a +b +c 59{ 2a −b −4c =0,a +4b −11c =0,a =3cb =2c a :b :c =3:2:1ξ23456ξηη(1)ξ=23456P(ξ=2)==3×36×614P(ξ=3)==2×3×26×613P(ξ=4)==2×3×1+2×26×65185)==2×2×116)==1×11；．故所求的分布列为，，，由题意可知，的分布列为，，得解得，，故．22.【答案】解：依题意，.令，则或.当时，，由得，由得当时，；当且，即时，由得，由得或；当，即时，由得，由得或，综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，P(ξ=5)==2×2×16×619P(ξ=6)==1×16×6136ξξ23456P 141351819136(2)P (η=1)=a a +b +c P (η=2)=b a +b +c P (η=3)=c a +b +c ηη123P a a +b +c b a +b +c c a +b +c Eη=++=a a +b +c 2b a +b +c 3c a +b +c 53Dη=(1−×+(2−×+53)2a a +b +c 53)2b a +b +c (3−×=53)2c a +b +c 59{ 2a −b −4c =0,a +4b −11c =0,a =3cb =2c a :b :c =3:2:1(1)x ∈(0,+∞),(x)=+a −f ′1x a +1x 2==a +x −(a +1)x 2x 2(x −1)[ax +(a +1)]x 2(x)=0f ′x =1x =−a +1a a ≤−1ax +(a +1)<0(x)>0f ′x ∈(0,1)(x)<0f ′x ∈(1,+∞)a =−12(x)=−⋅ 0f ′12(x −1)2x 2a >−1−<1a +1a −1<a <−12(x)>0f ′x ∈(−,1)a +1a (x)<0f ′x ∈(0,−)a +1a x ∈(1,+∞)−>1a +1a −<a <012(x)>0f ′x ∈(1,−)a +1a (x)<0f ′x ∈(0,1)x ∈(−,+∞)a +1aa ≤−1f(x)(0，1)(1，+∞)a =−12f(x)(0，+∞)函数在上单调递减；当，函数在和上单调递减，在上单调递增；当时，函数在和上单调递减，在上单调递增.证明：要证：.即证：，即证：.即证：令..因为，所以当时，单调递减，当时，单调递增.所以，即.故当时，.【考点】利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：依题意，.令，则或.当时，，由得，由得f(x)(0，+∞)−1<a <−12f(x)(0,−)a +1a (1，+∞)(−,1)a +1a −<a <012f(x)(0,1)(−，﹢∞)a +1a (1,−)a +1a(2)≥f(x)−2a x 1e x−1≥ln x +ax +−2a a +1x x 1e x−1ln x +ax +−2a ≥a +1x x e x−1ln x +ax +−2a −≥0a +1x x e x−1F(x)=ln x +ax +−2a −a +1x x e x−1(x)=+a −−F ′1x a +1x 21−x e x−1=−a +x −(a +1)x 2x 21−x e x−1=(x −1)(+)ax +a +1x 21e x−1a ≥0x ∈(0，1)(x)<0,F(x)F ′x ∈(1,+∞)(x)>0,F(x)F ′F(x =F(1)=0)min F(x)≥0a ≥0≥f(x)−2a x 1e x−1(1)x ∈(0,+∞),(x)=+a −f ′1x a +1x 2==a +x −(a +1)x 2x 2(x −1)[ax +(a +1)]x 2(x)=0f ′x =1x =−a +1a a ≤−1ax +(a +1)<0(x)>0f ′x ∈(0,1)(x)<0f ′x ∈(1,+∞)x)=−⋅ 0(x −1)2当时，；当且，即时，由得，由得或；当，即时，由得，由得或，综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递减；当，函数在和上单调递减，在上单调递增；当时，函数在和上单调递减，在上单调递增.证明：要证：.即证：，即证：.即证：令..因为，所以当时，单调递减，当时，单调递增.所以，即.故当时，.a =−12(x)=−⋅ 0f ′12(x −1)2x 2a >−1−<1a +1a −1<a <−12(x)>0f ′x ∈(−,1)a +1a (x)<0f ′x ∈(0,−)a +1a x ∈(1,+∞)−>1a +1a −<a <012(x)>0f ′x ∈(1,−)a +1a (x)<0f ′x ∈(0,1)x ∈(−,+∞)a +1aa ≤−1f(x)(0，1)(1，+∞)a =−12f(x)(0，+∞)−1<a <−12f(x)(0,−)a +1a (1，+∞)(−,1)a +1a −<a <012f(x)(0,1)(−，﹢∞)a +1a (1,−)a +1a(2)≥f(x)−2a x 1e x−1≥ln x +ax +−2a a +1x x 1e x−1ln x +ax +−2a ≥a +1x x e x−1ln x +ax +−2a −≥0a +1x x e x−1F(x)=ln x +ax +−2a −a +1x x e x−1(x)=+a −−F ′1x a +1x 21−x e x−1=−a +x −(a +1)x 2x 21−x e x−1=(x −1)(+)ax +a +1x 21e x−1a ≥0x ∈(0，1)(x)<0,F(x)F ′x ∈(1,+∞)(x)>0,F(x)F ′F(x =F(1)=0)min F(x)≥0a ≥0≥f(x)−2a x 1e x−1。
2020年高二下册期中数学(文)试题及答案(人教版)
第二学期高二年级期中质量调查数学试题（文科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.要描述一个学校的组成情况，应选用A.工序流程图B. 组织结构图C. 知识结构图D.程序框图2.在线性回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数2R 依次为0.36,0.95,0.74,0.81，其中回归效果最好的模型的相关指数2R 为A. 0.95B. 0.81C. 0.74D.0.36 3.若i 为虚数单位，则33i+等于 A.334i - B. 332i - C. 334i + D. 332i + 4.下面是一个22⨯列联表则表中,a b 处的值分别为A. 14,16B. 4,26C. 4,24D. 26,4 5.若0,10a b <-<<，则下列不等关系成立的是A.2ab ab a <<B. 2a ab ab <<C. 2ab a ab <<D. 2a ab ab << 6.设67,58,5a bc ===，则,,c a b 的大小关系为A. c b a <<B. b c a <<C. c a b <<D. a b c <<7.已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3, 3.5x y ==，则由该数据算得的线性回归方程只可能是下列选项中的A. ˆ29.5y x =-+B. ˆ2 2.4y x =-C. ˆ0.4 2.3yx =+ D. ˆ0.3 4.4y x =-+ 8.阅读右边的程序框图，当该程序运行后，输出的S 的值是 A. 35 B. 63 C. 84 D. 1659.已知()1f x x x =--，设()()5,,16u f v f u s f v ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则s 的值为A.38 B. 12 C. 14D. 0 10.设()111,1,23n N f n n *∈=++++L 计算得()()()()352,42,8,163,22f f f f =>>>L ，观察上述结果，可推测一般结论为A. ()()2log 22n f n n N *+≥∈ B. ()()222n f n n N *+≥∈ C. ()()222nn f n N *+>∈ D. ()()222n n f n N *+≥∈第Ⅱ卷（非选择题 共60分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分.11.已知i 为虚数单位，(),2a R ai i ∈-的实部与虚部互为相反数，则a 的值为 .12.用反证法证明命题“如果a b >>”时，假设的内容是 .13.在0H 成立的条件下，若(2 2.0720.15P K ≥=，则表示把结论“0H 成立”错判成“0H 不成立”的概率不会超过 .14.若12342358,,,,,35813a a a a ====L 则8a = . 15.已知函数()()21f x x k x k =+--的恰有一个零点在()2,3内，则实数k 的取值范围是 .三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分6分)已知0a b >>，求证：2222 1.a b b a b a b-+<++17.(本小题满分8分) 计算下列各题：（1）1122i ⎛⎫⎫- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭g（2）()()21212i i i+-+18.(本小题满分8分)求证：()()sin 22cos sin sin .αβαβαβ+=++19.(本小题满分8分)（1（2）求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+并在（1）的坐标系中画出回归直线.20.(本小题满分10分) D为如图，在三棱锥S ABC -中，SD ⊥平面ABC ，AB 的中点，E 为BC 的中点，.AC BC = （1）求证：//AC 平面;SDE （2）求证：.AB SC ⊥。
高二数学下学期期中检测卷(解析版)
高二数学下学期期中检测卷(解析版)高二数学下学期期中检测卷(解析版)注意：本试卷共120分，考试时间120分钟。
第一部分：选择题（共70分）本部分共10小题，每小题7分。
从每小题所给的四个选项中，选出一个最佳答案，并将其标号填入答题卡相应的位置。
1. 已知直线L1的斜率为k1，点A(x1, y1)在直线L1上，若直线L1与直线L2垂直，则直线L2的斜率为（）。
A. -1/k1B. 1/k1C. k1D. -k12. 已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点为（1,3），则a+b+c的值为（）。
A. 3B. -3C. 1D. -13. 设f(x) = (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)，其中a，b，c，d都是正数，且a+b+c+d=16，abc+abd+acd+bcd=60，则abcd的值为（）。
A. 70B. 80C. 90D. 1004. 函数f(x)=x³+3x²+3x+1的单调递减区间为（）。
A. (-∞, -1)B. (-1, 0)C. (0, 1)D. (1, +∞)5. 已知集合A={x|x²-2x-8<0}，则A的解集为（）。
A. x∈(-∞,-2)U(4, +∞)B. x∈(-∞,-2)U(2, +∞)C. x∈(-∞,-4)U(2, +∞)D. x∈(-∞,-4)U(4, +∞)6. 在直角三角形ABC中，∠C = 90°，AC=3，BC=4，则三角形ABC中斜边AB的长度为（）。
A. 5B. 6C. 7D. 87. 已知函数y=ln(x+1)+a是函数y=f(x)=ln(x)的图像上任意一点(x, y)的图像，若f(x)在点(1,0)处的切线方程为y=2x-1，则a的值为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 48. 设集合A={x|log₂(x+1)≥0}，则A的解集为（）。
A. x≥-1B. x>-1C. x>-2D. x≥-29. 已知向量a=(2,3)和b=(4,5)，则向量a与向量b的数量积为（）。