东北三省三校(哈尔滨师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学)2020届高三第三次联合模拟考试理科数学
东北三省三校第三次模拟考试（内）
数学试卷（理科）
考生注意：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，
超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
3．做选考题时，考生须按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
4．本卷命题范围：高考范围。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集U=R ，集合{}
⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧>
=≥--=41)2
1(,0)3)(1(x x B x x x A ，则集合B A C U I )(等于（ ） A.)2,1( B.]3,2( C.)3,1( D.)3,2(
2．设复数z 满足
i z i
i
z 2-=-（i 为虚数单位）
，则z=（ ） A.
i 2321- B.i 2321+ C.i 2321-- D.i 2
321+- 3．用电脑每次可以从区间（0，3）内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的．若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都小于1的概率为（ ）
A.
274 B.31 C.271 D.9
1 4．如图所示是某年第一季度五省GDP 情况图，则下列说法中不正确的是（ ）
A ．该年第一季度GDP 增速由高到低排位第3的是山东省
B ．与去年同期相比，该年第一季度的GDP 总量实现了增长
C ．该年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个
D ．去年同期浙江省的GDP 总量超过了4500亿元
5．已知α为锐角，且ααsin 22sin 3=，则α2cos 等于（ ）
A.
32 B.92 C.31- D.9
4- 6已知△ABC 中内角C B A 、、所对应的边依次为c b a 、、，若3
,7,12π
==+=C c b a ，则△ABC
的面积为（ ）
A.
2
3
3 B.3 C.33 D.32 7．设f （x ）为定义在R 上的奇函数，当x≥0时，1)1(log )(2
3+-++=a ax x x f （a 为常数），则不等式
5)43(->+x f 的解集为（ ）
A ．)1,(--∞
B ．),1(+∞-
C ．)2,(--∞
D ．),2(+∞-
8．如图，在△ABC 中，点Q 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 为线段BQ 上靠近点B 的三等分点，则+=( )
A ．
3231+ B ．9795+ C.91091+ D.9
7
92+ 9．已知曲线)2
)(2cos(π
ϕϕ<
+=x y C ：的一条对称轴方程为3
π
=
x ，曲线C 向左平移θ（θ>0）个
单位长度，得到曲线E 的一个对称中心的坐标别)0,4
(
π，则θ的最小值是（ ）
A.
6π B.4π C.3π D.12
π 10．半径为2的球O 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（ ） A.39 B.312 C.316 D.318
11．已知焦点为F 的抛物线C ：x y 42
=的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当MF
MA 取得最
大值时，直线MA 的方程为（ ）
A.11--=+=x y x y 或
B.2
1
212121--=+=
x y x y 或 C.2222--=+=x y x y 或 D.22+-=x y
12．已知函数f （x ）满足当x≤0时，)()2(2x f x f =-，且当x ∈（-2，0]时，11)(-+=x x f ；当x>0时，x x f a log )(=（a>0，且a≠1）．若函数f （x ）的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a 的取值范围是（ ）
A ．（625，+∞）
B ．（4，64）
C ．（9，625）
D ．（9，64） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．如图是某几何体的三视图，俯视图中圆的两条半径长为2且互相垂直，则该几何体的体积为 .
14.3
52)2(x
x -的展开式中x 的系数为 . 15．已知2.0log ,2.0log 23.0==b a ，则a+b ab （填“>”或“=”或“<”).
16．已知点F 为双曲线E ：122
2
=-b
y x （b>0）的右焦点，M ，N 两点在双曲线上，且M 、N 关于原点对称，
若MF ⊥NF ，设∠MNF=θ，且]6
,12[
π
πθ∈，则该双曲线E 的焦距的取值范围是 . 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分 17．（12分）
如图，在直棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，AB=BD=2，BB 1=2，BD 与AC 相交于点E ，A 1D 与AD 1相交于点O ．
（1）求证：AC ⊥平面BB 1D 1D ；
（2）求直线OB 与平面OB 1D 1所成的角的正弦值．
18．（12分）
2019年9月26日，携程网发布《2019国庆假期旅游出行趋势预测报告》，2018年国庆假日期间，西安共接待游客1692.56万人次，今年国庆有望超过2000万人次，成为西部省份中接待游客量最多的城市．旅游公司规定：若公司某位导游接待旅客，旅游年总收入不低于40（单位：万元），则称该导游为优秀导游．经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高．已知甲、乙两家旅游公司各有导游40名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：
（1）求a，b的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高?
（2）从甲、乙两家公司旅游总收入在[10，20）（单位：万元）的导游中，随机抽取3人进行业务培训，设来自甲公司的人数为X，求X的分布列及数学期望．
19．（12分）
已知数列{a n}，{b n}满足a1=3，b1=1，a n+1-2n n=2b n-b n+1，a n+1-a n=b n+1-b n+1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（2）分别求数列{a n}，（b n）的前n项和S n，T n
20．（12分）
已知椭圆C：
2
21
2
x
y
+=的右焦点为F，直线l：x=2被称作为椭圆C的一条准线。
点P在椭圆C上（异
于椭圆左、右顶点），过点P作直线m：y=kx+t与椭圆C相切，且与直线l相交于点Q．（1）求证：PF⊥QF
（2）若点P在x轴的上方，当△PQF的面积最小时，求直线m的斜率k．
附：多项式因式分解公式：t6-3t4-5t2-1=（t2+1）（t4-4t2-1）
21．（12分）
已知函数f （x ）=e 2x +（1-ax 2）e x -ax 2（a ∈R ） （1）证明：当x≥e 2时，e x >x 3；
（2）若函数f （x ）有三个零点，求实数a 的取值范围．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩
⎨
⎧=+=αα
sin cos 1y x （α为参数，πα20<≤），以坐
标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为)(3
R ∈=ρπ
θ，曲线C 与直线l
其中的一个交点为A ，且点A 极径00≠ρ，极角2
00π
θ<≤.
（1）求曲线C 的极坐标方程与点A 的极坐标；
（2）已知直线m 的直角坐标方程为03=-y x ，直线m 与曲线C 相交于点B （异于原点O ），求△AOB 的面积.
23．[选修4-5不等式选讲]（10分） 已知函数42)(-+-=x x x f ．
（1）解关于x 的不等式f （x ）≤4；
（2）若函数f （x ）的图象恒在直线1-=m y 的上方，求实数m 的取值范围。
东北三省三校(哈师大附中 东北师大附中 辽宁省实验)2020届高三第三次联合模拟考试理综 含详细答案
东北三省三校2020届高三第三次联合模拟考试理科综合试卷考生注意：1．本试卷满分300分，考试时间150分钟。
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
3．做选考题时，考生须按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
可能用到的相对原子质量：H1C12N14O16Na23S32K39Zn65一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．细胞代谢的过程需要酶的催化，下列叙述正确的是A．激素都是通过影响细胞内酶活性来调节细胞的代谢活动B．探究pH对酶活性的影响时，酶与底物混合前要调节pHC．在线粒体的基质中存在着大量的分解葡萄糖的酶D．在真核细胞中，核外没有DNA合成酶与RNA合成酶2．研究发现，来自胎盘的称为Cdk2细胞的干细胞能够在心脏病发作后再生健康的心脏细胞，Cdk2细胞除了具有胚胎干细胞的所有蛋白，还具有其他的蛋白，这使得它们能够直接迁移到损伤部位。
下列叙述错误的是A．Cdk2细胞仍然保留有分裂和分化的能力B．Cdk2细胞中蛋白质的合成需多种核酸—蛋白质复合物参与C．Cdk2细胞的迁移过程可能与细胞骨架有关系D．肌细胞能代替Cdk2细胞培养出健康的心脏细胞3．下列关于正常人体生命活动调节与内环境及稳态关系的叙述，正确的是A．如果内环境中的血浆、淋巴、组织液等成分稳定，则机体一定处于稳态B．寒冷环境中机体通过多种途径减少散热、增加产热来维持体温相对恒定C．人体免疫系统中的吞噬细胞只参与特异性免疫，不参与非特异性免疫D．注射等渗透压的5%葡萄糖溶液，血浆中胰岛索/胰高血糖素的比值将减小4．取某动物(XY型，2n=8)的一个精原细胞，在含3H标记的胸腺嘧啶的培养基中完成一个有丝分裂周期后形成两个相同的精原细胞，将所得子细胞全部转移至普通培养基中完成减数分裂(不考虑染色体片段交换、实验误差和质DNA)。
东北三省三校哈尔滨师大附中东北师大附中辽宁省实验中学2020届高三数学第二次联合模拟试题文含解析
其次 不恒等于2，所以A错误；
对于B选项，∵ ，
∴ ，
令 ，有 或 。
当 时，有 ，
当 时，两边平方可得 ， ，
此时 ,
所以 的极小值不可能为 ，所以B错误；
对于C选项， ,
所以π不是 的最小正周期，所以C错误；
【答案】700
【解析】
【分析】
设从高三年级抽取的学生人数为2x人，由题意利用分层抽样的定义和方法，求出x的值，可得高三年级的学生人数。
【详解】设从高三年级抽取的学生人数为2x人，则从高二、高一年级抽取的人数分别为2x﹣2，2x﹣4。
由题意可得 ,∴ .
设我校高三年级的学生人数为N,再根据 ，求得N＝700
故答案为：700.
【点睛】本题主要考查分层抽样，属于基础题.
14。已知实数a、c满足 ,关于x的不等式 的解集为_____。
【答案】 或 。
【解析】
【分析】
由已知可转化为二次不等式即可求解。
【详解】由题意可得 且 ，
因 ，
所以 或 ，
故不等式的解集为 或 。
故答案为： 或 .
【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解，体现了转化思想的应用.
∵ ,故 ，
∴
故选：D。
【点睛】本题主要考查等比数列的性质应用，以及数列与向量的综合问题.考查了转化与化归思想,平行向量的运算,对数的计算,逻辑思维能力和数学运算能力。本题属中档题.
7.我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中,积累了丰富的经验，总结出了一套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国古代数学名著《九章算术》中.《九章算术》将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，如图所示的阳马三视图，则它的体积为( ）
东北三省三校哈师大附中～北师大附中 辽宁省实验中学2020届高三数学三模考试试题理含解析
【点睛】本题考查复数的乘法、除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
3. 用电脑每次可以从区间 内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都小于 的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由几何概型的概率计算，知每次生成一个实数小于1的概率为 ，结合独立事件发生的概率计算即可.
【解析】
分析】
（1）根据小矩形面积之和等于1计算 ，根据频数总和等于40计算 ，计算两个旅游公司的优秀导游率即得哪家的影响度高；
（2）由题得 的可能取值为1，2，3．再根据超几何分布计算 的各种取值对应的概率，再计算数学期望．
【详解】（1）由频率分布直方图可知： ，
解得 ．
根据频数分布表可得： ，解得 ．
【详解】因为 或 .所以 ，又因为 .
所以 .
故选：A
【点睛】本题考查集合间的基本运算，涉及到解一元二次不等式、指数不等式，是一道容易题.
2. 设复数 满足 为虚数单位)，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
易得 ，分子分母同乘以分母的共轭复数即可.
【详解】由已知， ，所以 .
C. 该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个
D. 去年同期某某省的GDP总量超过了4500亿元
【答案】D
【解析】
【分析】
根据折线图、柱形图的性质，对选项逐一判断即可.
【详解】由折线图可知A、B项均正确，该年第一季度 总量和增速由高到低排位均居同一位的
省份有某某均第一.某某均第四.共2个.故C项正确； .
东北三省三校(哈师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学)2020届高三第三次联合模拟考试数学(理)含答案
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2020年三省三校(辽宁实验、东北师大附中、哈师大附中)一模考试文科数学试卷(含答案解析)
在 1, x0 内，关于 x 的方程 f (x) ln x e=g(x) a 有一个实数解 1.
又 x (x0, ) 时， F (x) 0 ， F (x) 单调递增，
且 F (a) ea ln a a 2 a e ea a 2 1 ，令 k(x) ex x2 1(x 1) ，
∵ PG ⊥平面 ABCD ， PG 平面 PBG ∴平面 PBG ⊥平面 ABCD ∵平面 PBG 平面 ABCD BG
在平面 ABCD 内，过 D 作 DK ⊥ BG ，交 BG 延长线于 K ，
则 DK ⊥平面 PBG
∴ DK 的长就是点 D 到平面 PBG 的距离
…………………4 分
2a PF1 PF2 2 2.
解得 a 2, c 1, b 1 ，所以椭圆 E 的标准方程为 x2 y2 1. 2
…………............4 分
（Ⅱ）由已知，可设直线 l 方程为 x ty 1， A(x1, y1), B(x2, y2 ).
x ty 1
联立
x
2
y2
3
得 (t2 1) y2 2ty 2 0,
解:（Ⅰ）（方法一）：由已知 VP BCG
1 3
SBCG
PG
1 1 BG GC PG 32
8 3
∴ PG 4
…………………2 分
∵ PG ⊥平面 ABCD ， BG 平面 ABCD ，∴ PG BG
∴ SPBG
1 2
BG PG
1 2
24
4
∵ AG 1 GD 3
∴ SBDG
3 4
SBCG
32 4
3 2
设点 D 到平面 PBG 的距离为 h ,
∵VDPBG VPBDG
东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2020年高三第一次联合模拟考试理科数学试题
理科数学试卷 第4页（共4页）
卢）
l-lx-21,xE[l,3) ＝ ｛2( 1 x-2 1),xE[3,十=) ，则函数f(x)的图象与函数g (x) =
{
llnn(x2,-x?x:)l,x<l的图象
在区间[-5,7]上所有交点的横坐标之和为
A. 5
B. 6
C. 7
D． 9
11. 已知数列{a,,}的通项公式为a,, = 2n+2,将这个数列中的项摆 al a2 a3
a n
放成如图所示的数阵．记b,, 为数阵从左至右的n列，从上到下
a 3 a4
的n行共忙个数的和，则数列归｝的前2020项和为
a2
a4
G3
a5
a+ n
1
an ＋ 2
A.
1011 2020
.
2020 2021
B. 2019
����
..-. � �D. 2021
an an+I an+2 … a2n-1
12.
B. c<b<a
C. b<c<a
D. a<b<c
J5 . �
6. 已知在边长为 3的等边LABC中，ED = 』2配，则飞
及仁
A6 .
B. 9
C1 . 2
D. -6
理科数学试卷 第1页（共4页）
2020年东北三省三校高三第一次联合模拟考试理数试卷
7. 如图，四边形 ABCD是边长为2的正方形，EDJ_平面ABCD,
参考公式： Kz=
东北三省三校哈尔滨师大附中～北师大附中 辽宁省实验中学2020届高三物理第二次联合考试试题含解析
B. 在滑片P滑动的过程中，导体棒所受的安培力一直减小
C. 滑片P应由C点向D点滑动
D. 在滑片P滑动的过程中，滑动变阻器消耗的电功率先增大后减小
【答案】ABD
【解析】
【详解】AB．根据图示可知，电流从a流向b，根据左手定则可以判断，导体棒受到的安培力水平向左，导体棒沿导轨缓慢向下滑动，时刻处于平衡状态,根据平衡可知，支持力等于重力与安培力的合力，是矢量三角形的斜边，现缓慢将滑片P从一端移动到另外一端，电流一直减小，安培力一直减小，支持力减小，当滑到水平位置时,支持力与重力相等，故AB正确；
【解析】
【详解】A． 卢瑟福的α粒子散射实验揭示了原子具有核式结构，天然放射现象揭示了原子核具有复杂的结构，故A错误;
B． 半衰期 大小与温度无关，改变温度,不会改变半衰期，故B错误；
C． 放射性同位素发出的γ射线能进行金属探伤，故C正确；
D． 比结合能越大的原子核中核子结合得越牢固，原子核越稳定,与结合能的大小无关。结合能还与核子数有关，故D错误。
C． 若F=mg,则合力大小为 ，方向与水平夹角为 ，小球经过C点时，合力与速度方向，即切线方向垂直,故此时合力功率为零，故C错误;
D． 若F=2mg,对小球从A到B过程根据动能定理有
解得：
小球之后竖直方向匀减速到零,运动时间
水平方向
故全程外力做功
所以机械能增加6mgR,故D正确。
故选BD。
8.如图所示，竖直面内两条平行的、间距为L的四分之一光滑圆弧导轨处于方向竖直向下的匀强磁场中,两导轨与内阻不计的电源、开关、总阻值为R的滑动变阻器相连,导轨与导线电阻均不计.现将一长度也为L、电阻为R/2的导体棒ab放置在导轨上，导体棒恰能静止在图示位置.现缓慢将滑片P从一端移动到另外一端，使导体棒沿导轨缓慢向下滑动,则下列说法正确的是（ ）
2020届东北三省三校(哈师大附中东北师大附中辽宁省实验中学)高三上期第一次联合模拟考数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前东北三省三校(哈师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学) 2020届高三毕业班上学期第一次联合高考模拟考试数学(理)试题(解析版)全卷满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合{}|22A x x =-<<，{|B x y ==，则A B =（ ） A. ()1,2-B. [1,2)-C. ()2,1--D. ()2,3 【答案】B【解析】【分析】化简集合B ,即可求出A B .【详解】由题意得，()2,2A =-，∵B 中，()()130x x +-≥，∴[]1,3B =-，∴[1,2)A B =-，故选B.【点睛】本题考查集合间的运算,属于基础题.2.设p ：30x x-<，q ：()()20x a x a --+≤，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()1,0-B. []2,3C. ()2,3D. []1,0- 【答案】C【解析】【分析】解不等式，求出命题p ,q 成立的解集,把p 是q 的必要不充分条件转化为解集间的集合关系，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】由不等式30x x-<，解得03x <<， 由()()20x a x a --+≤得2a x a -≤≤，p 是q 的必要不充分条件，可知203a a ->⎧⎨<⎩, 所以23a <<，故实数m 的取值范围是()2,3.故选C.【点睛】本题考查命题的必要不充分条件,转化为集合间真子集关系,属于基础题3.已知向量()()()3,2,2,1,4,3a b c ==-= ，若()()a b c a λ+⊥-，则实数λ=（ ） A. 15 B. 5 C. 4 D. 14【答案】A【解析】【分析】先由题意，得到()32,21a b λλλ+=-+，(1,1)-=c a ，再根据向量垂直，即可列出方程求解，得出结果.【详解】因为()()()3,2,2,1,4,3a b c ==-=，所以()32,21a b λλλ+=-+，(1,1)-=c a ，又()()a b c a λ+⊥-，所以()()0λ+⋅-=a b c a ，即32210λλ-++=， 解得：15λ=. 故选：A【点睛】本题主要考查由向量垂直求参数，熟记向量数量积的坐标运算即可，属于常考题型.4.若θ是三角形的一个内角，且4tan 3θ=-，则3sin cos 22ππθθ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A. 15 B. 15- C. 75 D. 75-。
东北三省三校2020年高三第一次联合模拟考试语文试卷及答案
东北三省三校2020 年高三第一次联合模拟考试语文试卷（哈尔滨师大附中东北师大附中辽宁省实验中学）注意事项：1.答题前，务必先将自己的姓名、准考据号填写在答题卡上，仔细查对条形码上的姓名、准考据号，并将条形码粘贴在答题卡的指定地点上。
2.答题时使用 0.5 毫米黑色署名笔或碳素笔书写，字体工整，字迹清楚。
3.请依据题号在各题的答题地区 ( 黑色线框 ) 内作答，高出答题地区书写的答案无效。
4.保持卡面洁净，不折叠，不损坏。
( 一) 论述类文本阅读 ( 此题共 3 小题， 9 分)阅读下边的文字，达成1~3 题。
《韩非子》怎样取法老子周苇风法家代表人物韩非是荀子的学生，因为口吃，不喜言谈。
曾数次上书进谏韩王，却不被采用。
但他的文章传入秦国后大受欢迎，秦王甚至叹息“嗟乎，寡人得见这人与之游，死不恨矣”。
《史记》中，韩非与老子合传，同传中还有庄子和申不害。
庄子和老子是道家人物，韩非和申不害为法家人物。
司马迁说，韩非“喜刑名法术之学，而其归本于黄老”。
黄老学派形成于战国期间，最先流行于齐国稷放学宫。
它既讲道德又主刑名，既还没有为又崇法治，既认为“法律滋彰，响马多有”又重申“道生法”，要求统治者“虚静谨听，以法为符”。
作为儒家学派的一员，荀子曾在稷放学宫三为祭酒，思想不免遇到黄老思想的影响。
他清醒地认识到，礼的实行没法完好依赖“克己”来实现。
于是，便提出了礼制并举的思想。
理解了这个学术背景，司马迁说韩非“其归本于黄老”也就不奇异了。
《韩非子》有《解老》《喻老》两篇，顾名思义是解读《老子》的专著。
从这个角度来看，韩非能够说是初期研究《老子》的专家。
老子思想的核心是道，道是客观自然规律。
韩非接受了老子对道的论述，认可道决定宇宙万物的演变。
同时，老子认为道拥有“独立而不改，周行而不殆”的永久意义。
对此，韩非则进一步发挥，重申道是变化的，天地也是变化的，人也在不停变化中，整个社会都在变化。
由此，治理社会的方式和方法自然也应当变化。
2020届东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)高三第二次联合模拟数学(理)试题
2020届东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高三第二次联合模拟数学（理）试题一、单选题1．设集合{}{}2680,30A x x x B x x =++<=+>,则A B =I （ ）A ．(),2-∞-B ．()3,2--C ．()3,-+∞D ．()4,2--【答案】B【解析】先化简集合,A B ，再进行交集运算 【详解】{}{}42,3A x x B x x =-<<-=>-,{}32A B x x ⋂=-<<-故选：B 【点睛】本题考查集合的运算，熟练解二次不等式是关键，是基础题 2．设12iz i -=-则z 的实部为（ ） A ．15B ．15-C ．35D ．35-【答案】D【解析】利用复数的除法运算化简z a bi =+的形式，进而确定实部 【详解】()()1213255i i i iz i -----+===-,实部为35- 故选:D 【点睛】本题考查复数的运算，意在考查计算能力，是基础题 3．若0a b >>则（ ）A ．0.20.2a b <B ．()lg lg a b b -<C ．a b <D ．11a b b<- 【答案】A【解析】利用函数单调性判断A,特值法排除,,B C D 【详解】函数0.2xy =是减函数,由a b >得0.20.2a b <,取2,1a b ==,可知,,B C D 不成立故选：A 【点睛】本题考查不等式性质，考查函数单调性，特值排除是常见方法 4．函数()()1sin 1xxe xf x e -=+的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】利用奇偶性排除,A B ，利用函数值排除C 【详解】()f x 为偶函数,从而排除,A B ,而当时()0,x π∈时,()0f x >,排除C ,故选：D 【点睛】本题考查函数图像的识别，结合奇偶性及特值排除是常见方法，是基础题5．“仁义礼智信”为儒家“五常”由孔子提出“仁、义、礼”,孟子延伸为“仁、义、礼、智”,董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.将“仁义礼智信”排成一排,“仁”排在第一-位,且“智信”相邻的概率为（ ） A ．110B ．15C ．310D ．25【答案】A【解析】利用特殊元素及捆绑法得“仁”排在第一位,且“智信”相邻的排法有2323A A 种排法,利用古典概型求解即可 【详解】“仁义礼智信”排成一排,任意排有55A 种排法,其中“仁”排在第一位,且“智信”相邻的排法有2323A A 种排法,故概率232355110A A P A ==故选：A 【点睛】本题考查排列问题及古典概型，特殊元素优先考虑，捆绑插空是常见方法，是基础题6．两个单位向量12,e e u r u u r 满足:()()1212122e e e e -+=-u r u u r u r u u r g ,则12,e e ur u u r 的夹角的余弦值为（ ）A ．12 B ．12- C ．14 D ．14-【答案】B【解析】利用数量积运算求得121,2e e =-u r u u r g再利用夹角公式运算 【详解】()()2212121122121221,2e e e e e e e e e e -+=--=--=-u r u u r u r u u r u r u r u u r u u r u r u u r g g g 121211,cos ,22e e e e ∴=-=-u r u u r u r u u r g故选：B 【点睛】本题考查向量的数量积运算，意在考查计算能力，是基础题7．已知ABC V 的面积为1,cos 2A AB ==则BC =（ ）A BCD 【答案】C【解析】利用二倍角公式及平方关系求得cos ,sin A A ，由面积公式求出6AC =，再由余弦定理求解即可 【详解】因为21coscos 2cos 12323A A A =∴=-=-,sin 3A ABC ==Q V 的面积为1sin 2AB AC A =g g,又1AB =,所以6AC =,由余弦定理,得,2222cos 41BC AB AC AB AC A =+-=g g ,BC ∴=故选：C 【点睛】本题考查正余弦定理，考查面积公式，意在考查计算能力，是基础题8．在三棱柱111ABC A B C -中,1AA ⊥平面11,,2ABC AB B C AA BC AB ⊥==,则异面直线1A B 与1B C 所成角的余弦值为（ ）A B C D 【答案】D【解析】先证明AB ⊥平面11,BB C C 再将棱柱可以补成长方体，连接111,CD B D ,则1111//,A B CD B CD ∠是1A B 与1B C 所成角或其补角，利用余弦定理求解即可【详解】1AA ⊥Q 平面1111,,//,ABC AA AB BB AA BB AB ∴⊥∴⊥Q ,1111,,AB B C BB B C B AB ⊥⋂=∴⊥Q 平面11,BB C C ∴三棱柱可以补成长方体1111ABCD A B C D -,连接111,CD B D ,则1111//,A B CD B CD ∴∠是1A B 与1B C 所成角或其补角,令1AB =,则12AA BC ==,在11B CD V 中,1111B D CD BC ===由余弦定理得11cos 5B CD ∠=故选：D 【点睛】本题考查线面垂直的判定及性质，考查异面直线所成角，三棱柱补成四棱柱是常见方法9．已知双曲线22:18x C y -=的右焦点为F ,渐近线为12,l l ,过点F 的直线l 与12,l l 的交点分别为,A B .若2AB l ⊥,则AB =（ ） A ．167B ．187C ．115D ．135【答案】A【解析】将直线方程联立求得24,77A ⎛- ⎝⎭，8,,33B ⎛ ⎝⎭利用两点间距离公式计算【详解】由题()123,0,,F l l 的方程为,42y x y x =-=,过F 与2l 垂直的直线AB 的方程为)3y x =--,由),34y x y x =-=--联立得24,7A ⎛ ⎝⎭,由),3y x y x ==--联立得816,,337B AB ⎛∴== ⎝⎭故选：A 【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程，考查直线交点及两点间距离，考查计算能力，是基础题10．若()cos f x x x =在[],a a -上是减函数,则实数a 的取值范围是（ ） A ．0,6π⎛⎤⎥⎝⎦B ．0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．0,2π⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C【解析】化简()2cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求得单调减区间，利用集合的包含关系求解【详解】()2cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令223k x k ππππ≤+≤+，解得函数的单调减区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦,由题意知2,0333a a a πππ-≤-<≤∴<≤ 故选：C 【点睛】本题考查余弦函数的单调性，考查计算能力，是基础题11．已知函数()f x 的定义域为R ,且满足()()12f x f x +=-,当[]0,1x ∈时,()()1.f x x x =-则函数在()4 3y f x =-区间[]0,5上的零点个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】分别求出函数在[]0,1x ∈，(1,2]x ∈，(2,3]x ∈ (3,4]x ∈，(4,5]x ∈的最值，进而由交点个数确定a 的范围 【详解】当[]0,1x ∈时,()f x 最大值为1124f ⎛⎫=⎪⎝⎭, 当(1,2]x ∈时,()()()()()()1(0,1],212111212x f x f x x x x x -∈=--=---+=--其最大值为0, 当(2,3]x ∈时,()()()()()()1(1,2],214212423x f x f x x x x x -∈=--=----=---，在52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数,在5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数,()()52530,12f f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, 当(3,4]x ∈时,()()()(),1(,2183]34x f x f x x x -∈=--=--2,最大值为0,当(4,5]x ∈时, ()()()()1(,2,4]11645x f x f x x x -∈=--=---3,在上94,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦是增函数,在9,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数,()()9450,4,2f f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭又当[]0,5x ∈时,()y f x =的图像与直线34y =有4个交点,∴函数()43y f x =-在区间[]0,5上有4个零点故选：C 【点睛】本题考查函数的单调性与最值，考查函数与方程的零点，考查数形结合思想，是中档题，逐段分析函数最值是关键12．已知过点()2,0的直线与抛物线24y x =交于点,A B ,线段AB 的垂直平分线过点()0,6,F 是抛物线的焦点,则ABF V 的面积为（ ）A ．B ．4C ．D ．【答案】A【解析】设AB 方程为2,x ty =+与抛物线联立利用韦达定理得AB 中点为()222,2t t +,利用垂直斜率乘积为-1，求得 1,t =再利用面积公式求解 【详解】设AB 方程为()()11222,,,,x ty A x y B x y =+,显然0t ≠,联立2x ty =+与224,480y x y ty =∴--=()1212124,y y t x x t y y ∴+=+=+2444,t AB +=+∴中点为()222,2t t +,由条件知322611,23022t t t t t-=-∴+-=+g ,322230t t t t ∴-++-=,()()2130t t t -++=,()12121,8,t y y y y ∴==-∴-=Q ()2121212448,y y y y y y +-=∴-=又()1,0,F ABF ∴V 的面积为：()1212⨯-⨯=故选：A 【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系，考查垂直的应用，利用韦达定理得直线方程是关键，是中档题二、填空题13．某班有男生36人,女生24人,现用分层抽样方法,从该班抽出15人,则从女生中抽出的人数为_______. 【答案】6【解析】利用分层抽样成比例求解 【详解】由分层抽样的性质得241563624⨯=+故答案为：6 【点睛】本题考查分层抽样的定义与性质，意在考查对定义的理解，是基础题14．若曲线()()21xf x x ax e =++,在点()()0,0f 处的切线过点()2,2,则实数a 的值为__________. 【答案】12-【解析】求导得直线的斜率，利用点斜式求方程得a 值 【详解】()()()2'12,0x f x x ax x a e f =++++()1,'01f a ==+切线方程为()11y a x -=+,切线过点()()12,2,2121,2a a ∴-=+∴=- 故答案为：12- 【点睛】本题考查导数的运算及几何意义，考查计算能力，是基础题 15．已知3sin tan 80,0,,22ππαααπ⎛⎫⎛⎫⋅+=∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.【答案】97+ 【解析】切化弦结合平方关系得1cos ,3α=-tan α=-解 【详解】由3sin tan 80αα+=g得223sin 8cos 0,33cos 8cos 0αααα+=∴-+= ()1cos ,0,,sin tan 33ααπαα∴=-∈∴==-Qtan tan94tan 471tan tan 4παπαπα-+⎛⎫∴-=== ⎪⎝⎭+故答案为：97+【点睛】本题考查切化弦及同角三角函数基本关系，考查两角差的正切公式，意在考查计算能力，是中档题16．已知正方体1111ABCD A B C D -的各棱长为1m ,圆锥SO 的底面圆是正方形1111D C B A 的内切圆,顶点S 是正方形ABCD 的中心,则圆锥SO 的体积为 ____________3m ,侧面积为___________2m . 【答案】112π 5π 【解析】由题意得底面半径及母线长，，再利用体积与表面积公式求解 【详解】圆锥的高为1,底面半径为12 ,母线长为1514+=, 所以体积为2113212ππ⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭,侧面积为1552ππ⨯⨯= 故答案为：112π； 54π 【点睛】本题考查圆锥的性质，考查体积与表面积公式，考查计算能力，是基础题三、解答题17．如图,三棱锥P ABC -中,,5,4,PB PC AB AC BC D ====是BC 中点,22PD PA ==()1求证：PA ⊥平面ABC()2求二面角A PB C --的正弦值【答案】（1）见解析（2）5【解析】（1）推导BC ⊥平面PAD 得PA BC ⊥，由222,PA AD PD +=得PA AD ⊥，即可证明；（2）)以D 为原点,,DA DC 方向为,x y 轴的正方向,过D 平行于AP 的直线为z 轴,建立如图所示空间直角坐标系,求得两个平面的法向量得二面角 【详解】()1证明：, ,PB PC AB AC D ==Q 是BC 中点,, ,AD BC PD BC ∴⊥⊥,,AD PD D AD PD ⋂=⊂Q 平面,PAD BC ∴⊥平面PADPA ⊂Q 平面,PAD PA BC ∴⊥4,AB AC BC AD ∴===是BC 边上中线,1AD ∴=222 2,PD PA PA AD PD PA AD ==∴+=∴⊥Q ，,,BC AD D BC ADC ⋂=平面,,ABC PA ∴⊥平面ABC ;(2)以D 为原点,,DA DC 方向为,x y 轴的正方向,过D 平行于AP 的直线为z 轴,建立如图所示空间直角坐标系,则()()()()1,0,0,0,2,0,0,2,0,1,0,1A B C P -()()()1,2, 1,0,0,1,1,2, 1,PB PA PC =---=-=--u u u r u u u r u u u r设平面PBC 的一个法向量为(),,m x y z =u r,则,0, 220m PB m PC x y z x y z ==∴---=-+-=u r u u u r u r u u u rg g ，取1x =,得()1,0,1m =-u r同样可求得平面PAB 的- -个法向量()2,1,0,n =-r10cos,25m n m n m n⋅∴===⋅u r ru r r u r r ∴面角A PB C --的正弦值为15【点睛】本题考查线面垂直的判定，考查二面角的向量求法，考查推理能力及空间想象能力，是中档题18．“移动支付、高铁、网购、共享单车”被称为中国的“新四大发明”.为了帮助50岁以上的中老年人更快地适应“移动支付”,某机构通过网络组织50岁以上的中老年人学习移动支付相关知识.学习结束后,每人都进行限时答卷,得分都在[]50,100内.在这些答卷(有大量答卷)中,随机抽出200份,统计得分绘出频率分布直方图如图.(1)求出图中a 的值,并求样本中,答卷成绩在[)80,90上的人数;(2)以样本的频率为概率,从参加这次答卷的人群中,随机抽取4名,记成绩在80分以上(含80分)的人数为X ,求X 的分布列和期望. 【答案】（1）0.005a =；60（2）X 的分布列为X 的数学期望为()28455E X =⨯=【解析】（1）利用面积和为1求得0.005a =进而求得频率则人数可求 （2）建立二项分布求得分布列及期望 【详解】解:()1依题意,()2 376 2101,a a a a a ⨯++++=故0.005a = 故成绩在[)80,90上的频率为600.3,a = 答卷成绩在[)80,90上的人数为2000.360; ⨯=()2由样本的频率分布直方图知成绩在80分以上(含80分)的频率为2805a =依题意,24,5X B ⎛⎫- ⎪⎝⎭故()04042381055625P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()31423216155625P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()22423442321623962,35562555625P X C P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()4442316455625P X C α⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以X 的分布列为X 的数学期望为()28455E X =⨯= 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查二项分布，熟练掌握二项分布是关键，是中档题 19．已知数列{}n a 和{}n b 满足111112,341,341n n n n a b a b n b a n ++=+==+-=-+()1求证：{}n n a b +是等比数列,{}n n a b -是等差数列 ()2求数列{}n a 和{}n b 的通项公式【答案】（1）见解析（2）321321,22n n n n n n a b +--+==【解析】（1）解方程组得()()11113,382n n n n n n n n a b a b a b b a n +++++=+-=-+-，并构造()()11211321n n n n a b n a b n ++--++=---+，即可证明（2）利用（1）得3,21nn n n n a b a b n +=-=-，解方程组求得通项公式【详解】()1证明:111111 12,3,1a b a b a b =+=∴+=-=Q ， 11341,341n n n n a b n b a n ++=+-=-+Q()()11113,382n n n n n n n n a b a b a b b a n ++++∴+=+-=-+- {}n n a b ∴+是首项为3,公比为3的等比数列,()112138221n n n n a b n b a n n ++--=-+---Q ()363n n a b n =--+- ()()11211321n n n n a b n a b n ++∴--++=---+112111210a b --⨯+=-+=Q·()11213211n n n n a b n a b n --∴--+=----+⎡⎤⎣⎦300=-⨯=()()11211321300n n n n a b n a b n +-∴--++=---+=-⨯=()()1120n n n n a b a b ++∴----= ()()112n n n n a b a b ++∴---={}n n a b ∴-是首项为1,公差为2的等差数列.()2由()1知, 3,21n n n n n a b a b n +=-=-2321,2321n n n n a n b n ∴=+-=-+321321,22n n n n n n a b +--+∴==【点睛】本题考查利用递推关系证明等差与等比数列，考查变形求解能力，熟记等差与等比的定义与性质是关键，是中档题20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ,离心率为12,直线:l y x =被椭圆截得的弦长为7()1求椭圆C 的标准方程()2若P 是椭圆C 上一点,O 是坐标原点,过点F 与直线l 平行的直线与椭圆C 的两个交点为,A B ,且OP OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r,求λμ的最大值【答案】（1）22143x y +=（2）74【解析】（1）利用2221,2c a b c a ==+，得2,a c b ==，设椭圆方程，与直线联立由弦长公式得c=1，方程可求（2）过F 与直线平行的直线方程1y x =-，与椭圆联立韦达定理得121288,77x x x x +==-，向量坐标化得()1212,P x x y y λμλμ++，代入椭圆方程，利用点在椭圆上整体代入得221017λμλμ+-=，结合基本不等式求最值即可【详解】()1设椭圆C 的焦距为2c ,则2221,2c a b c a==+2,a c b ∴==椭圆C 的方程化为2223412x y c +=，由2223412y x x y c =⎧⎨+=⎩得222127c x y ==2244427749c ⨯=∴=1,2,c a b ∴===∴椭圆C 的方程为22143x y +=.()2由()1知()1,0F ,过F 与直线平行的直线方程1y x =-由2213412y x x y =-⎧⎨+=⎩得27880x x --= 设()()1122,,,A x y B x y ,则121288,77x x x x +==- ()()12121212,,,OP OA OB x x y y P x x y y λμλμλμλμλμ=+=++∴++u u u r u u u r u u u rQ由点P 是椭圆C 上一点,得()()2212123412x x y y λμλμ+++=()()2222222112121234346812x y x y x x y y λμλμλμ∴+++++= ()()()1212121291117y y x x x x x x =--=-++=-Q 22221122,343412x y x y +=+= 221017λμλμ∴+-= 221017λμλμ+-=Q222λμλμ+≥Q ,当且仅当λμ==,取等号,471,74λμλμ∴≤∴≤ λμ∴的最大值为74【点睛】本题考查椭圆方程，考查弦长公式，考查向量坐标化及点在曲线上的综合运用，考查计算能力及整体代入思想，是难题21．已知函数()2ln 2,f x x ax a a R =+-∈()1若()f x 在13x =处取得极值,求函数的单调区间()2若,m n 是函数()f x 的两个极值点,且m n <,求证：1mn >【答案】（1）单调增区间为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭,单调减区间为1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭（2）见解析【解析】（1）求导，由12320,33a f '=+-⎫ ⎪⎭=⎛⎝得32a =-，进而确定单调区间 （2）由()()2221'0ax x f x x x-+=>,()f x 有两个极值点,m n ,得102a <<，利用根与系数的关系即可证明 【详解】(1)()f x 的定义域为()0,∞+,()122f x ax x'=+- , ()f x Q 在13x =处取得极值,123320,332a f a '∴=+-=⎛⎫⎪⎝⎭∴=- ()()()2131132132x x x x f x x x xx +-+-'∴=--=-=-. 103x ∴<<时,()'0f x >；13x >时,()'0,f x <()f x ∴的单调增区间为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭,单调减区间为1,3⎛+∞⎫⎪⎝⎭()2()()2221'0ax x f x x x -+=>,()f x 有两个极值点,m n ,480,0a a ∴∆=->>,102a ∴<<故112mn a=>得证 【点睛】本题考查函数的极值与单调性，考查利用极值证明不等式，考查转化与化归能力，是中档题 22．在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为12cos 12sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数）,过点()3,1M -且倾斜角为α的直线l 与圆交于,A B 两点()1当AB >时,求α的取值范围()2若AB 的中点为点P ,求点P 的轨迹的参数方程.【答案】（1）30,,44ππαπ⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭（2）21x cos y sin θθ=+⎧⎨=-+⎩（()0,2θπ∈）【解析】（1）讨论直线倾斜角2πα=,当2πα≠时，利用圆心到直线的距离小于半径列不等式求解（2）利用CP AB ⊥,得P 的轨迹是以CM 为直径的圆,去掉点M ，进而得参数方程 【详解】()1圆C 的圆心为()1,1C -,半径为2r =,当2πα=时,直线l 的方程为3,x C =到l 距离为2,圆C 与l 相切，不合题意；当2πα≠时,设直线l 方程为()13y k x +=-即310kx y k ---=,设C 到l 距离为d ,则AB d =>∴<又d ==<11,k ∴-<<即11tan α<<-,0),[απ∈Q ,30,,44ππαπ⎡⎫⎛⎫∴∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭()2由()1及l 与圆C 相交知2πα≠l Q 过点()3,1M -与圆C 交于,A B 两点AB ∴中点P 满足CP AB ⊥,P ∴的轨迹是以CM 为直径的圆,去掉点M ,CM Q 中点为()2,1,2CM -=,点P 的轨迹方程为2,1,x cos y sin θθ=+⎧⎨=-+⎩(参数()0,2θπ∈). 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的中点弦的几何性质，熟记几何性质是关键，是基础题23．已知函数()211,f x x ax a R =--+∈()1当2a =时,求不等式()1f x >的解集()2当()1,2x ∈时,不等式()1f x x >-成立,求实数a 的取值范围【答案】（1）14x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭；（2）[]2,0-【解析】（1）分类讨论去绝对值解不等式 （2）去绝对值分离参数求最值即可 【详解】()12a =时,()21211f x x x =--+>,当12x ≥时,()()()212121f x x x =--+=->不成立， 当1122x -<<时，()()()122141f x x x x =--+=->，1124x ∴-<<-当12x ≤-时,不等式()()122121f x x x =-++=>成立，()1f x ∴>的解集为14x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭(2)当()1,2x ∈时，()1f x x >-化为2111x ax x --+>-,321x ax ∴->+，23132,x ax x ∴-<+<-1333x ax x -<<-，1333a x x ∴-<<-， 13y x =-Q 在上()1,2是减函数，故5,22y ⎛∈--⎫⎪⎝⎭；33y x =-在()1,2上是增函数，故30,2y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭20a ∴-≤≤,a ∴的取值范围是[]2,0-.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题求参数，注意分离参数是常见方法，是中档题。