高中数学 选修2-3 第八章统计和概率
概率与统计知识点：
1、随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用大写字母X 、Y 等或希腊字母ξ、η等表示。
2、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X 可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．
3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X 可能取的值为x 1,x 2,..... ,x i ,......,x n X 取每一个值 x i (i=1,2,......）的概率P(ξ=x i ）＝P i ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列
4、分布列性质① p i ≥0, i =1，2，… ；② p 1 + p 2 +…+p n = 1．
5、二项分布：如果随机变量X 的分布列为：
其中0<p<1，q=1-p ，则称离散型随机变量X 服从参数p 的二点分布
6、超几何分布：一般地, 设总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n(n ≤N)件,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量， 则它取值为k 时的概率为，
其中,且
7、条件概率：对任意事件A 和事件B ，在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A 发生的条件下B 的概率
8、公式：
9、相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响
,这样的两个事件叫做相互独立事件。
10、n 次独立重复事件：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验
11、二项分布：设在n 次独立重复试验中某个事件A 发生的次数，A 发生次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，事件A 不发生的概率为q=1-p ，那么在n 次独立重复试验中（其中 k=0,1, ……,n ，q=1-p ） 于是可得随机变量ξ的概率分布如下：
()(0,1,2,,)k
n k
M N M
n N
C C P X k k m C --==
= {}min ,m M n =*
,,,,n N M N n M N N ∈≤≤(k P =ξk
n k
k
n q
p C -=
这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n ，p) ，其中n ，p 为参数 12、数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
则称 E ξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn ＋…为ξ的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望．是离散型随机变量。
13、两点分布数学期望：E(X)=np 14、超几何分布数学期望：E （X ）=.
15、方差:D(ξ)=(x 1-E ξ)2
·P 1+（x 2-E ξ)2
·P 2 +......+（x n -E ξ)2
·P n 叫随机变量ξ的均方差，简称方差。
16、集中分布的期望与方差一览：
若概率密度曲线就是或近似地是函数
的图像，其中解析式中的实数是参数，分别表示总体的平均数与标准差． 则其分布叫正态分布，f( x )的图象称为正态曲线。
18.基本性质：
M n N
⋅
)
,(,21)(2
2
2)(+∞-∞∈=
--
x e x f x σ
μσ
π0)μσ
σ>、（(,)N μσ记作：
①曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交．
②曲线关于直线x=对称，且在x=时位于最高点.
③当时，曲线上升；当时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近．
④当一定时，曲线的形状由确定．越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；
越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．
⑤当σ相同时,正态分布曲线的位置由期望值μ来决定. ⑥正态曲线下的总面积等于1. 19. 3原则：
从上表看到,正态总体在以外取值的概率只有4.6%,在以外取值的概率只有0.3% 由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的. 考点：1、概率的求解 2、期望的求解 3、正态分布概念 ★★★1．(本小题满分12分)某项考试按科目、科目依次进行，只有当科目成绩合格时，才可以继续参加科目的考试。
每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得该项合格证书，现在某同学将要参加这项考试，已知他每次考科目成绩合格的概率均为，
每次考科目成绩合格的概率均为。
假设他在这项考试中不放弃所有的考试机会，且每次的
考试成绩互不影响，记他参加考试的次数为。
(1)求的分布列和均值；
(2)求该同学在这项考试中获得合格证书的概率。
★★★2（本小题满分12分）
济南市有大明湖、趵突泉、千佛山、园博园4个旅游景点，一位客人浏览这四个景点的概率分
别是0.3，0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值。
（1）求=0对应的事件的概率；（2）求的分布列及数学期望。
★★★3. 袋子中装有8个黑球，2个红球，这些球只有颜色上的区别。
μμ
μ<x μ>x μσσσσ)2,2(σμσμ+-)3,3(σμσμ+-A B A B A 23
B 12
X X ξξξ
（1）随机从中取出2个球，表示其中红球的个数，求的分布列及均值。
（2）现在规定一种有奖摸球游戏如下：每次取球一个，取后不放回，取到黑球有奖，第一个奖100元，第二个奖200元，…，第个奖元，取到红球则要罚去前期所有奖金并结束取球，按照这种规则，取球多少次比较适宜？说明理由。
第三章统计案例 知识点：
1、独立性检验
假设有两个分类变量X 和Y ，它们的值域分另为{x 1, x 2}和{y 1, y 2}，其样本频数列联表为： y 1 y 2 总计 x 1 a b a+b x 2 c
d
c+d
总计
a+c b+d a+b+c+d
若要推断的论述为H 1：“X 与Y 有关系”，可以利用独立性检验来考察两个变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度。
具体的做法是，由表中的数据算出随机变量K^2的值（即K 的平方） K 2 = n (ad - bc) 2 / [(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]，其中n=a+b+c+d 为样本容量，K 2的值越大，说明“X 与Y 有关系”成立的可能性越大。
K 2≤3.841时，X 与Y 无关； K 2>3.841时，X 与Y 有95%可能性有关；K 2>6.635时X 与Y 有99%可能性有关
ξξk 100⨯k。
2019年高中数学湘教版选修2-3讲义+精练：第8章8.2.1概率的加法公式含解析
8．1_&_8.2随机对照试验__概率8．2.1概率的加法公式[读教材·填要点]1．随机对照试验随机选取试验组和对照组是安排试验的基本原则，随机对照试验是指随机选取试验组和对照组的试验．我们把对照组中的处理方法称为使用安慰剂．2．概率的加法公式如果Ω的事件A1，A2，…，A m两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪A m)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A m)．我们把概率的加法公式称为概率的可加性，可加的前提是事件两两互斥．[小问题·大思维]1．概率的可加性的前提是事件两两互斥，互斥与对立有什么异同？提示：对立事件是互斥事件的一种特殊情况，互斥不一定对立，对立一定互斥．当计算事件A的概率P(A)比较复杂，困难时，常用公式P(A)＝1－P(A)求解．2．必修五古典概型中我们就接触过概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，与本节的概率加法公式有什么区别和联系？提示：本节的概率加法公式是必修五概率加法公式的一个推广，它们有共同的前提是事件两两互斥；但必修五中概率加法公式每个基本事件发生的可能相同，本节所述的事件发生的概率可以不相同，但事件间必须互斥．[例1](1)则至多2A．0.3B．0.43C ．0.57D ．0.27(2)围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A.17B.1235 C.1735D ．1[解析] (1)记“没有人排队”为事件A ，“1人排队”为事件B ，“2人排队”为事件C ，A ，B ，C 彼此互斥．记“至多2人排队”为事件E .则P (E )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.11＋0.16＋0.3＝0.57.(2)设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥．所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735.[答案] (1)C (2)C运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆成几个互斥事件，但应考虑周全，不重不漏．1．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C ，求：(1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1张奖券的中奖概率．解：(1)P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100，P (C )＝501 000＝120.故事件A ，B ，C 的概率分别为11 000，1100，120.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ∪B ∪C . ∵A ，B ，C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝1＋10＋501 000＝611 000，故1张奖券的中奖概率约为611 000.[例2] 0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在这次射击中：(1)射中10环或7环的概率； (2)射中的环数低于7环的概率．[解] (1)设“射中10环”为事件A ，“射中7环”为事件B ，由于在这次射击中，事件A 与事件B 不可能同时发生，故事件A 与事件B 是互斥事件，“射中10环或7环”的事件为A ∪B .∴P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.21＋0.28＝0.49. ∴射中10环或7环的概率为0.49.(2)“低于7环”从正面考虑有以下几种情况：射中6环，5环，4环，3环，2环，1环，0环．但由于这些概率都未知，故不能直接求解．可考虑从反面入手．“低于7环”的反面是“大于或等于7环”，即7环，8环，9环，10环，由于这两个事件必有一个发生，故是对立事件，故可用对立事件的方法处理．设“低于7环”为事件E ，则事件E 为“射中7环或8环或9环或10环”．由(1)知“射中7环”“射中8环”“射中9环”“射中10环”彼此互斥．故P (E )＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97， 从而P (E )＝1－P (E )＝1－0.97＝0.03. ∴射中的环数低于7环的概率为0.03.解决此类问题的规律是：(1)①必须分清事件A 、B 是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式；②所求事件必须是几个互斥事件的和．满足以上两点才能用P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．(2)当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求时，可先转化为求其对立事件的概率．2．某单位36人的血型类别是：A 型12人，B 型10人，AB 型8人，O 型6人．现从这36人中任选2人，求此2人血型不同的概率．解：这2人血型不同的情况有：1人A 型1人B 型；1人A 型1人AB 型；1人A 型1人O 型；1人B 型1人AB 型；1人B 型1人O 型；1人AB 型1人O 型．共6种情况，而其反面是血型相同，只有4种情况．法一：从36人中任选2人，共有C 236种选法，2人血型不同的概率为：P ＝C 112C 110C 236＋C 112C 18C 236＋C 112C 16C 236＋C 110C 18C 236＋C 110C 16C 236＋C 18C 16C 236＝3445.法二：由于“2人血型不同”与“2人血型相同”为对立事件，因而2人血型不同的概率为：P ＝1－C 212＋C 210＋C 28＋C 26C 236＝1－1145＝3445.随机抽取的9个同学中，至少有2个同学在同一月份出生的概率是________(默认每个月的天数相同，结果精确到0.001)．[尝试][巧思] 每个同学的生日月份都有12种可能，故9人的生日月份共有129个．至少有2个人的生日在同一月份，若正面求解则分类情况复杂，故可化为求其对立事件的概率．其对立事件为“所有人的出生月份都不同”有A 912种可能．[妙解] 总事件数为129个，至少两人在同一月份出生的对立事件是“所有人出生月份均不相同”，则其概率为1－A 912129≈1－0.0155＝0.9845≈0.985.答案：0.9851．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是( )A ．互斥但非对立事件B ．对立事件C ．相互独立事件D ．以上都不对解析：选A 由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件．2．在所有的两位数(10～99)中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是( ) A.56 B.45 C.23D.12解析：选C 共90个数字，被2或3整除的数有45＋30－15＝60，故概率为6090＝23.3．从5张500元，3张800元，2张1 200元演唱会的门票中任取3张．则所取3张中至少有2张价格相同的概率为( )A.14B.79120C.34D.2324解析：选C 3张中没有价格相同的取法有C 15C 13C 12＝30，则3张中至少有2张相同的概率为1－30C 310＝34. 4．从一批乒乓球产品中任选一个，如果其重量小于2.45 g 的概率是0.22，重量不小于2.50 g 的概率是0.20，那么重量在2.45 g ～2.50 g 范围内的概率是________．解析：重量在2.45 g ～2.50 g 范围内的概率是1－0.22－0.20＝0.58. 答案：0.585．同时抛掷两个均匀的正方体玩具(各个面上分别标以数1,2,3,4,5,6)，则向上的一面数之积为偶数的概率为________．解析：向上的一面数之积为奇数，当且仅当两个正方体向上的一面的数都为奇数，其可能出现的结果数为C 13·C 13，因此向上的一面数之积为奇数的概率P ＝C 13·C 136×6＝14，从而向上的一面数之积为偶数的概率为：1－P ＝1－14＝34.答案：346．银行部门收费项目多，手续繁琐，营业网点少等是人们比较关心的问题，银行部门虽增加了部分自助存取款功能的ATM机，也简化了部分手续，但仍没有彻底扭转这种局面．经统计，在某银行营业大厅排队办理业务的人数及其概率如下：计算：(1)(2)至少11人但不超过40人排队的概率．解：记“有0～10人排队”、“有11～20人排队”、“有21～30人排队”、“有31～40人排队”、“至多20人排队”、“至少11人但不超过40人排队”的事件分别为A，B，C，D，E，F，则A与B是互斥事件，事件B，C，D两两互斥，从而(1)P(E)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.12＋0.27＝0.39；(2)P(F)＝P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.27＋0.30＋0.23＝0.80.一、选择题1．一箱产品中有正品4件、次品3件，从中任取2件，其中事件：①恰有1件次品和恰有2件次品；②至少有1件次品和全是次品；③至少有1件正品和至少有1件次品；④至少有1件次品和全是正品．4组事件中是互斥事件的有()A．1组B．2组C．3组D．4组解析：选B对于①，恰有1件次品就是1件正品1件次品，与恰有2件都是次品显然互斥；对于②，至少有1件次品包括有1件次品和2件全是次品，两事件不互斥；对于③，至少有1件正品包括恰有1件正品和1件次品以及2件都是正品，与至少有1件次品显然不互斥；对于④，至少有1件次品包括恰有1件次品和2件全是次品，与全是正品显然互斥．故是互斥事件的是①、④.2．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对产品抽查一件抽得正品的概率为()A．0.09 B．0.98C．0.97 D．0.96解析：选D 1－0.03－0.01＝0.96.3．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为( ) A ．60% B ．30% C ．10%D ．50%解析：选D “甲不输”事件是事件“甲获胜”和“甲、乙两人下成和棋”的和事件，又事件“甲获胜”和“甲、乙两人下成和棋”互斥．所以甲、乙两人下成和棋的概率为90%－40%＝50%.4．从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为( )A.929B.1029C.1929D.2029解析：选D 既有男同学又有女同学的对立事件为全为男同学或女同学，全为男同学的概率为C 320C 330，全为女同学的概率C 310C 330，故所求事件概率为1－C 320C 330－C 310C 330＝2029.二、填空题5．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A ，B ，C ，D 的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的命题序号是________．①A ∪B 与C 是互斥事件，也是对立事件 ②B ∪C 与D 是互斥事件，也是对立事件 ③A ∪C 与B ∪D 是互斥事件，但不是对立事件 ④A 与B ∪C ∪D 是互斥事件，也是对立事件解析：由于A ，B ，C ，D 彼此互斥，且A ∪B ∪C ∪D 是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的韦恩图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．答案：④6．已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8,0.12,0.05，则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为________，________.解析：断头不超过两次的概率P 1＝0.8＋0.12＋0.05＝0.97.于是，断头超过两次的概率P 2＝1－P 1＝1－0.97＝0.03.答案：0.97 0.037．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．解析：由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P＝715＋115＝815.由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P(A)＝1－P(B)＝1－115＝1415.答案：81514158．若A，B互为对立事件，其概率分别为P(A)＝4x，P(B)＝1y，则x＋y的最小值为________．解析：由题意，x>0，y>0，4x＋1y＝1.则x＋y＝(x＋y)·⎝⎛⎭⎫4x＋1y＝5＋⎝⎛⎭⎫4yx＋xy≥9，当且仅当x＝2y时等号成立，故x＋y的最小值为9.答案：9三、解答题9．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：(1)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率．解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100＝23.(2)设生活垃圾投放错误为事件A，则事件A表示生活垃圾投放正确．事件A的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P(A)约为400＋240＋601 000＝0.7，所以P(A)约为1－0.7＝0.3.10．袋中有12只小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？解：从袋中任取一球，记事件A＝{摸得红球}，事件B＝{摸得黑球}，事件C＝{摸得黄球}，事件D＝{摸得绿球}，则有⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧P (A )＝13，P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝512，P (C ∪D )＝P (C )＋P (D )＝512，P (B ∪C ∪D )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＝1－P (A )＝23.解得P (B )＝14，P (C )＝16，P (D )＝14.所以得到黑球的概率为14，得到黄球的概率为16，得到绿球的概率为14.。
高二选修2-3概率与统计知识点
高二选修2-3概率与统计知识点在高二数学的选修课中，学生将学习到概率与统计这一重要的数学领域。
概率与统计是数学中一门与实际生活息息相关的学科，它帮助我们了解和分析事件的可能性和数据的分布规律。
本文将介绍高二选修2-3概率与统计的知识点。
1. 随机事件与概率随机事件是指在相同的条件下，可能发生也可能不发生的事件。
概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，通常用一个介于0到1之间的数来表示。
概率的计算可以通过频率法、古典概型和几何概型等方法进行。
2. 条件概率与独立事件条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
条件概率的计算可以利用乘法法则得出。
如果两个事件的发生与对方无关，则称它们为独立事件。
独立事件的概率计算可以利用乘法法则简化。
3. 排列与组合排列是指从一组不同的元素中按一定的顺序选取若干个元素的方式。
组合是指从一组不同的元素中无序选取若干个元素的方式。
排列和组合的计算可以通过阶乘等方法进行。
4. 随机变量与概率分布随机变量是指随机试验结果的数值表示。
它可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。
概率分布是描述随机变量可能取值及其对应概率的函数。
常见的概率分布有离散型概率分布如二项分布和泊松分布，以及连续型概率分布如正态分布和指数分布。
5. 期望与方差期望是随机变量取值的加权平均值，反映了随机变量的平均水平。
方差是随机变量取值与其期望值之间的差异程度的度量，用来描述随机变量的波动情况。
期望和方差的计算可以利用概率分布函数进行。
6. 统计推断与假设检验统计推断是根据样本数据对总体进行估计和推断的过程。
假设检验是通过对样本数据进行统计推断来判断对总体的某个假设是否成立。
常用的统计推断方法有点估计、区间估计和假设检验等。
以上是高二选修2-3概率与统计的主要知识点。
通过学习这些知识，学生可以更好地理解和应用概率与统计在实际问题中的作用，例如预测天气变化、分析市场需求等。
概率与统计不仅是数学领域的重要内容，也是培养学生分析问题和决策能力的重要途径。
人教A版高中数学选修2-3课件相互独立事件的概率ppt
乖 乖
这种情况下至少有 几个臭皮匠才能顶
个诸葛亮呢？
小结反思
一般地,两个事件不可能既互斥又相互独立,因为互斥事件是不可 能同时发生的,而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的.
概念
互斥事件
不可能同时发生的 两个事件叫做互斥 事件.
互斥事件A、B中 有一个发生，记 作:A∪B(或A+B)
解：设事件A：中国女队夺冠; 事件B：中国男队夺冠． 由于男队（或女队）是否夺冠，对女队（或男队） 夺冠的概率是没有影响的，因此A与B是相互独立 事件.又“男女两队双双夺冠”就是事件AB发生， 根据独立性可得，男女两队双双夺冠的概率为
P(AB) P(A)P(B) 0.9 0.7 0.63
变式二恰有一队夺冠的概率有多大？
变式三至少有一队夺冠的概率有多大？
引例的解决
明确问题：
已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠老大解出 问题的概率为0.5,老二为0.45,老三为0.4,且 每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人 解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？
略解:三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为
（1）“都抽到某一指定号码”；
（2）“恰有一次抽到某一指定号码”；
（3）“至少有一次抽到某一指定号码”。
例题解析
（1）“都抽到某一指定号码”； 解: (1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码” 为事件A， “第二次抽奖抽到某一指定号码” 为事件B，则“两次抽奖都抽到某一指定号码” 就是事件AB。 由于两次的抽奖结果是互不影响的,因此A和B 相互独立.于是由独立性可得,两次抽奖都抽到 某一指定号码的概率为
答：男女两队双双夺冠的概率为0.63.
高中数学选修2-3-条件概率
0.56 0.7
BA
P( A) P( A)
5
2.抛掷一颗骰子,观察出现的点数
B={出现的点数是奇数}＝｛１，３，５｝
A={出现的点数不超过3}＝｛１，２，３｝
若已知出现的点数不超发生，求事件 B 的概率
也就是求：Ｐ（B｜A）
A B 都发生，但样本空
一般地，在已知另一事件A发生的前提下，事件 B发生的可能性大小不一定再是P(B).
条件的附加意味着对样本空间进行压缩.
引例:
掷红、蓝两颗骰子。
设事件A=“蓝色骰子的点数为3或6” 事件B=“两颗骰子点数之和大于8” 求(1)P(A)，P(B)，P(AB)
(2)在“事件A已发生”的附加条件下事件Ｂ发 生 的概率？
例 7一个箱子中装有2n 个白球和（2n-1）个黑球，
一次摸出个n球.
(1)求摸到的都是白球的概率；
(2)在已知它们的颜色相同的情况下，求该颜色是白色 的概率。
例 8 如图所示的正方形被平均分成9个部分，向大
正方形区域随机的投掷一个点（每次都能投中）， 设投中最左侧3个小正方形的事件记为A，投中最上 面3个小正方形或中间的1个小正方形的事件记为B， 求 P(A|B)。
间缩小到只包含A的样本点 P(B | A) n( AB) 2 n( A) 3
B5
1 3
A
2
4,6
3. 设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品，
规定一、二等品为合格品．从中任取1 件，求 (1) 取得 一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等 品的概率．
解 设B表示取得一等品，A表示取得合格品，则
⑵几何解释:
⑶可加性： 如果 B和C 互斥，
湘教版高中数学选修2-3：第8章 统计与概率 复习课件
P(X＝3)＝C22·352·250·45＝13265. 所以 X 的分布列为X0 Βιβλιοθήκη 2 3P4 125
28 125
57 125
36 125
所以 E(X)＝0×1425＋1×12285＋2×15275＋3×13265＝2.
专题三：正态分布。 1．主要考查利用正态曲线的对称性及 3σ 原则求正态分布下的概率，多以选择题、 填空题的形式考查。 2．解决此类问题要熟记正态曲线中 μ，σ 的含义及正态曲线的性质，理解 3σ 原则。 3．解此类问题的关键是利用正态曲线的对称性，把待求区间内的概率向已知区间内 的概率转化。解题时要充分结合图形进行分析、求解，要注意数形结合思想及化归思 想的运用。
解析：（1）由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14，14. 记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件 A，则 P(A)＝14×12＋12×14＋14×14＝156. （2）ξ 可能取的值有 0,2,4,6,8. P(ξ＝0)＝14×12＝18； P(ξ＝2)＝14×14＋12×12＝156； P(ξ＝4)＝12×14＋14×12＋14×14＝156； P(ξ＝6)＝12×14＋14×14＝136； P(ξ＝8)＝14×14＝116.
自我挑战
3．两个人射击，甲，乙各射击一次中靶的概率分别是 p1，p2，且p11，p12是关于 x 的方 程 x2－5x＋m＝0(m∈R)的两个根，若两人各射击 5 次，甲射击 5 次中靶的期望是 2.5. 则 p1＝________.p2＝________.
解析：由题意知甲服从 X～B(5，p1)，∴E(X)＝5p1＝2.5，∴p1＝12，
第8章 统计与概率 复习课件
专题一：离散型随机变量的分布列、均值与方差。 1．离散型随机变量的分布列、均值及方差的求法及应用多以解答题考查，难度中等．常 与排列组合、古典概型及相互独立事件同时发生的概率相结合来考查。 2．解决此类问题的关键是明确随机变量取值的含义及准确利用排列组合及概率知识 求解每一个变量相应的概率．同时要注意分析变量是否服从二项分布这一特殊分布模 型，可减少运算量。
新课标高中数学选修23(统计与概率)测试题
新课标高中数学选修2—3（统计与概率）测试题命题：广东省汕头市潮阳林百欣中学 许吟裕（2006-4-8）一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的4个选项中，只有1项是符合题目要求的。
） 1．从总体中抽得的样本数据为3.8，6.8，7.4则样本平均数x 为：（ ）A. 6.5B. 6C. 5D. 5.52．高三年级有12个班，每班50人按1—50排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为 18的同学留下进行交流，这里运用的是（ ）抽样法：A.抽签法B.系统抽样C.分层抽样D.随机数表法3．如果数据x 1,x 2,x 3,…,x n 的平均数为 ,方差为62，则数据3x 1+5,3x 2+5,…,3x n +5的平均数和方差分别是 （ ） A ． B ． C ． D ． 4．甲、乙两个水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7，那么，在一次预报中两站都准确预报的概率为 （ ） A ．0.7 B ．0.56 C ．0.7 D ．0.85．从分别写有A 、B 、C 、D 、E 的5张卡片中，任取两张，这两张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为 （ ）A ．B ．C ．D ．6．已知盒子中有散落的围棋棋子15粒，其中6粒黑子，9粒白子，从中任意取出2粒恰好是同一色的概率 （ ）A ．B ．C ．D ．7）A ．B ．C ．D ．8．甲、乙两人独立解答某道题，解不出来的概率分别为a 和b ，那么甲、乙两人都解出这道题的概率是 （ ） A ．1-ab B ．(1-a )(1-b ) C ．1-(1-a )(1-b ) D ．a (1-b )+b (1-a ) 9．有3个相识的人某天各自乘火车外出，假设火车有10节车厢，那么至少有两人在车厢内相遇的概率为 （ ）A ．B ．C ．D ．26和x 2653和+x 29653和+x 2363和x 51521031073517711051635342014121107200292571442918710．一患者服用某种药品后被治愈的概率是95%，则患有相同症状的四位病人中至少有3人被治愈的概率为 （ ） A ．0.86 B ．0.90 C ．0.95 D ．0.99二，填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）11．甲投篮的命中率为0.7，乙投篮的命中率为0.8，每人各投3次，每人恰好都投中2次的概率为___________。
高中数学 第8章 统计与概率 章末小结讲义(含解析)湘教版选修2-3-湘教版高二选修2-3数学教案
第8章 统计与概率1．离散型随机变量的概率分布 (1)X 的概率分布离散型随机变量X 的所有不同取值为x 1，x 2，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则称以下表格为随机变量X 的概率分布列，简称为分布列.①p i ≥0，i ＝1,2，…，n ；② i ＝1np i ＝1.(2)两点分布：两点分布也叫0～1分布，它只有两个试验结果0和1，其分布列为(3)二项分布：在n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k·(1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n .这时称X 服从二项分布，记为X ～B (n ，p )．(4)超几何分布N 件产品中M 件次品，从中随机抽取n 件，因X 表示这n 件中的次品数，则X 服从超几何分布H (N ，M ，n )，即P (X ＝M )＝C m M C n －mN －MC n N ，m ＝0,1，…，n2．离散型随机变量的均值和方差 (1)均值和方差随机变量X 的分布列是P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n ，则称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n为X 的均值或数学期望；D (X )＝[x 1－E (X )]2×p 1＋[x 2－E (X )]2×p 2＋…＋[x n －E (X )]2×p n 为随机变量X 的方差．(2)均值与方差的性质： ①E (ax ＋b )＝aE (X )＋b ；②D (ax ＋b )＝a 2D (X )．(3)两点分布与二项分布的均值与方差：①若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )． ②若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )． 3．条件概率及事件的相互独立性 (1)事件A 发生的条件下事件B 发生的概率P (B |A )＝P A ∩B P A ＝n A ∩Bn A(P (A )>0)．(2)若事件A 与事件B 相互独立， 则P (A ∩B )＝P (A )P (B )． 4．正态分布若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝68.3%，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝95.4%， P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝99.7%.5．线性回归方程对于一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其线性回归直线方程为y ^＝bx ＋a .其中b ＝s xy s 2x，a ＝y －－b x －. 6．相关系数r xy 与随机变量χ2(1)相关系数r xy相关系数r xy 是用来刻画回归模型的回归效果的，其值越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好．(2)随机变量χ2随机变量χ2是用来判断两个分类变量在多大程度上相关的变量．独立性检验即计算χ2的观测值，并与教材中所给表格中的数值进行比较，从而得到两个分类变量在多大程度上相关．条 件 概 率[例1] 坛子里放着3个是绿皮的，2个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：(1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率；(2)第1次和第2次都拿到绿皮鸭蛋的概率；(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．[解] 设第1次拿出绿皮鸭蛋为事件A ，第2次拿出绿皮鸭蛋为事件B ，则第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋为事件A ∩B .(1)从5个鸭蛋中不放回地依次拿出2个的事件数为n (Ω)＝A 25＝20.根据分步乘法计数原理，n (A )＝A 13×A 14＝12. 于是P (A )＝n A n Ω＝1220＝35.(2)因为n (A ∩B )＝A 23＝6，所以P (A ∩B )＝n A ∩B n Ω＝620＝310.(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为P (B |A )＝P A ∩BP A ＝31035＝12.法二：因为n (A ∩B )＝6，n (A )＝12，所以P (B |A )＝n A ∩B n A ＝612＝12.求条件概率时，P (B |A )＝n A ∩B n A ＝P A ∩BP A是常用的方法，解题时一定要分清谁是前提条件．1．设某种动物活到20岁以上的概率为0.7，活到25岁以上的概率为0.4，求现龄为20的这种动物能活到25岁以上的概率．解：设这种动物活到20岁以上的事件为A ，活到25岁以上的事件为B ，则P (A )＝0.7，而A ∩B ＝B ，即P (A ∩B )＝P (B )＝0.4.故事件A 发生条件下B 发生的条件概率为P (B |A )＝P A ∩B P A ＝0.40.7＝47.2．掷两枚均匀的骰子，已知点数不同，求至少有一个是6点的概率．解：法一：设两枚骰子出现的点数分别为x ，y ，事件A ：“两枚骰子出现的点数不同，即x ≠y ”，事件B ：“x 、y 中有且只有一个是6点”；事件C ：“x ＝y ＝6”，则P (B |A )＝P A ∩BP A ＝10363036＝13，P (C |A )＝P A ∩CP A ＝0363036＝0.∴至少有一个是6点的概率为P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )＝13＋0＝13.法二：也可用古典概型来求解，“至少有一个是6点”包含的结果数是10个，故所求的概率为P (D )＝1030＝13.(由于两枚骰子点数不同，故基本事件空间中包含30个结果)相互独立事件同时发生的概率[例2] 格”，两部分考核都“合格”，则该课程考核“合格”．甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9、0.8、0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9.所有考核是否合格相互之间没有影响．(1)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率； (2)求这三人该课程考核都合格的概率．(结果保留三位小数) [解] 记“甲理论考核合格”为事件A 1，记A 1为A 1的对立事件； 记“乙理论考核合格”为事件A 2，记A 2为A 2的对立事件； 记“丙理论考核合格”为事件A 3，记A 3为A 3的对立事件；记“甲实验考核合格”为事件B 1，“乙实验考核合格”为事件B 2，“丙实验考核合格”为事件B 3.(1)记“理论考核中至少有两人合格”为事件C ，记C 为C 的对立事件． 法一：P (C )＝P [(A 1∩A 2∩A 3)∪(A 1∩A 2∩A 3)∪(A 1∩A 2∩A 3)∪(A 1∩A 2∩A 3)]＝P (A 1∩A 2∩A 3)＋P (A 1∩A 2∩A 3)＋P (A 1∩A 2∩A 3)＋P (A 1∩A 2∩A 3)＝0.9×0.8×0.3＋0.9×0.2×0.7＋0.1×0.8×0.7＋0.9×0.8×0.7＝0.902. 法二：P (C )＝1－P (C )＝1－P [(A 1 ∩A 2 ∩A 3 )∪(A 1∩A 2∩ A 3)∪(A 1∩A 2∩A 3)∪(A 1 ∩A 2∩A 3)]＝1－[P (A 1∩ A 2∩ A 3)＋P (A 1 ∩A 2∩ A 3)＋P (A 1∩A 2 ∩A 3)＋P (A 1∩ A 2∩A 3)]＝1－(0.1×0.2×0.3＋0.9×0.2×0.3＋0.1×0.8×0.3＋0.1×0.2×0.7)＝1－0.098＝0.902.所以，理论考核中至少有两人合格的概率为0.902. (2)记“三人该课程考核都合格”为事件D .P (D )＝P [(A 1∩B 1)∩(A 2∩B 2)∩(A 3∩B 3)]＝P (A 1∩B 1)P (A 2∩B 2)P (A 3∩B 3) ＝P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)P (A 3)P (B 3) ＝0.9×0.8×0.8×0.7×0.7×0.9 ＝0.254 016≈0.254.所以这三人该课程考核都合格的概率约为0.254.此类题目主要是融互斥事件与相互独立事件于一体，重在分析各事件间的关系，解答此类题目时，应先分析待求事件由几部分基本事件组成，如果彼此互斥，则利用公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，然后就每部分事件A 、B 借助于相互独立事件的定义求解．3．有三种灯泡，合格率分别为0.90,0.95,0.95，现各抽取一件进行检验． 求：(1)恰有一件不合格的概率； (2)至少有两件不合格的概率．解：设P (A )＝0.90，P (B )＝0.95，P (C )＝0.95， (1)恰有一件不合格的概率为P (A BC ＋A B C ＋AB C )＝0.10×0.952＋0.90×0.05×0.95＋0.90×0.95×0.05＝0.175 75.(2)至少有两件不合格的概率为P (A －B －C ＋A －BC －＋AB －C －＋A －B －C －)＝0.10×0.05×0.95＋0.10×0.95×0.05＋0.90×0.052＋0.10×0.052＝0.012.4．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为35，且各次射击的结果互不影响．(1)求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率(用数字作答)； (2)求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率(用数字作答)．解：(1)记“射手射击1次，击中目标”为事件A ，则在3次射击中至少有两次连续击中目标的概率P 1＝P (A ∩A ∩A )＋P (A ∩A ∩A )＋P (A ∩A ∩A )＝35×35×25＋25×35×35＋35×35×35＝63125. (2)射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率P 2＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫352×25×35＝162625.随机变量的概率分布、均值与方差[例3] )，进入总决赛的甲乙两队中，若每一场比赛甲队获胜的概率为23，乙队获胜的概率为13，假设每场比赛的结果互相独立，现已赛完两场，乙队以2∶0暂时领先．(1)求甲队获得这次比赛胜利的概率；(2)设比赛结束时两队比赛的场数为随机变量X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． [解] (1)设甲队获胜为事件A ，则甲队获胜包括甲队以4∶2获胜和甲队以4∶3获胜两种情况．设甲队以4∶2获胜为事件A 1，则P (A 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1681，设甲队以4∶3获胜为事件A 2， 则P (A 2)＝C 14×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫233×23＝64243，P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＝1681＋64243＝112243.(2)随机变量X 可能的取值为4,5,6,7，P (X ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝19；P (X ＝5)＝C 12×13×23×13＝427； P (X ＝6)＝C 13×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝2881； P (X ＝7)＝C 14×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3281. 所以X 的分布列为E (X )＝4×19＋5×427＋6×81＋7×81＝81.求离散型随机变量的分布列，关键是找出随机变量的取值，求出相应的概率，计算时可能会用到等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式等．5．一个袋子中装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，试求所含红球个数的数学期望．解：若记红球个数为X ，X 的所有可能取值为0,1,2. P (X ＝0)＝C 03C 22C 25＝110，P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝35，P (X ＝2)＝C 23C 02C 25＝310.故X 的分布列为：E (X )＝0×110＋1×35＋2×10＝1.2.6．某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是13，每次测试时间间隔恰当．每次测试通过与否互相独立．(1)求该学生考上大学的概率；(2)如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为X ，求X 的分布列及X 的数学期望．解：(1)记“该生考上大学”为事件A ，其对立事件为A ，则P (A )＝C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫234＋⎝ ⎛⎭⎪⎫235.∴P (A )＝1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫234＋⎝ ⎛⎭⎪⎫235＝131243.(2)参加测试次数X 的可能取值为2,3,4,5，P (X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝19，P (X ＝3)＝C 12·13·23·13＝427， P (X ＝4)＝C 13·13·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·13＝427， P (X ＝5)＝C 14·13·⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1627. 故X 的分布列为：X 2 3 4 5 P194274271627E (X )＝2×19＋3×427＋4×427＋5×1627＝389.答：该生考上大学的概率为131243；所求数学期望是389. 线性回归分析[例4] 次数(x ) 30 33 35 37 39 44 46 50 成绩(y )3034373942464851(1)(2)求出线性回归方程； (3)作出残差图；(4)计算r xy ；(5)试预测该运动员训练47次及55次的成绩．[解] (1)作出该运动员训练次数x 与成绩y 之间的散点图，如图所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系．(2)可求得x ＝39.25，y ＝40.875，∑i ＝18x 2i ＝12 656，∑i ＝18y 2i ＝13 731，∑i ＝18x i y i ＝13 180，∴b ＝∑i ＝18x i －xy i －y∑i ＝18x i －x2＝∑i ＝18x i y i －8x －y－∑i ＝18x 2i －8x 2≈1.0 415，a ＝y －b x ＝－0.003 875.∴线性回归方程为y ^＝1.041 5x －0.003 875. (3)残差分析作残差图如图所示，由图可知，残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适．(4)计算相关系数r xy . 计算相关系数r xy ≈0.985 5.说明了该运动员的成绩的差异有98.55%是由训练次数引起的． (5)作出预报由上述分析可知，我们可用回归方程y ＝1.0 415x －0.003 875作为该运动员成绩的预报值．将x ＝47和x ＝55分别代入该方程可得y ≈49和y ≈57. 故预测运动员训练47次和55次的成绩分别为49和57.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤是先画出散点图，并对样本点进行相关性检验，在此基础上选择适合的函数模型去拟合样本数据，从而建立较好的回归方程，并且用该方程对变量值进行分析；有时回归模型可能会有多种选择(如非线性回归模型)，此时可通过残差分析或利用相关系数r xy 来检查模型的拟合效果，从而得到最佳模型．7．对一质点的运动过程观测了4次，得到如表所示的数据，则刻画y 与x 的关系的线性回归方程为____________.x 1 2 3 4 y1356解析：由表可知x ＝1＋2＋3＋44＝2.5，y ＝1＋3＋5＋64＝154， b ＝∑i ＝14x i y i －4x －y－∑i ＝14x 2i －4x 2＝1×1＋2×3＋3×5＋4×6－4×2.5×15412＋22＋32＋42－4× 2.52＝1.7， a ＝y －b x ＝154－1.7×2.5＝－0.5.故所求线性回归方程为y ＝1.7x －0.5. 答案：y ＝1.7x －0.58．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：年份 2014 2015 2016 2017 2018 时间代号t 1 2 3 4 5 储蓄存款y (千亿元)567810(1)求y 关于t 的回归方程y ＝b t ＋a ；(2)用所求回归方程预测该地区2019年(t ＝6)的人民币储蓄存款．附：回归方程y ^＝b ^t ＋a ^中，b ^＝∑i ＝1nt i y i －n t y∑i ＝1nt 2i －n t 2，a ^＝y －b ^t .解：(1)列表计算如下：it iy it 2it i y i1 1 5 1 52 2 6 4 123 3 7 9 214 4 8 16 325 5 10 25 50 ∑153655120这里n ＝5，t ＝1n ∑i ＝1nt i ＝155＝3，y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝365＝7.2.又∑i ＝1nt 2i －n t 2＝55－5×32＝10，∑i ＝1nt i y i －n t y ＝120－5×3×7.2＝12，从而b ^＝1210＝1.2，a ^＝y －b ^t ＝7.2－1.2×3＝3.6，故所求回归方程为y ^＝1.2t ＋3.6.(2)将t ＝6代入回归方程可预测该地区2019年的人民币储蓄存款为y ^＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元).独立性检验[例5] 现统计数据如下：质量监督员甲在现场时，990件产品中合格品有982件，次品有8件，甲不在现场时，510件产品中， 合格品有493件，次品有17件．试分别用列联表、独立性检验的方法对数据进行分析．[解] (1)2×2列联表如下：产品合格品数/件次品数/件 总数/件 甲在现场 982 8 990 甲不在现场 493 17 510 总数/件1 475251 500由列联表看出|ac bd 为“甲在不在场与产品质量有关”．(2)由2×2列联表中数据，计算χ2的值χ2＝1 500×982×17－493×821 475×25×510×990≈13.097＞10.828.所以，在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“质量监督员甲在不在现场与产品质量有关系”．独立性检验是对两个分类变量间是否存在相关关系的一种案例分析方法．利用假设检验求随机变量χ2的值能更精确地判断两个分类变量间的相关关系．9．在一次天气恶劣的飞机航程中，有关人员调查了男女乘客在飞机上晕机的情况：男乘客晕机的有24人，不晕机的有31人；女乘客晕机的有8人，不晕机的有26人．请你根据所给数据判定：能否以90%的把握认为在天气恶劣的飞机航程中，男乘客比女乘客更容易晕机？解：根据题意，列出2×2列联表如下：晕机 不晕机 总计 男乘客 24 31 55 女乘客 8 26 34 总计325789由列联表中的数据，得χ2的值为 χ2＝89×24×26－31×8255×34×32×57≈3.689>2.706，因此，能以90%的把握认为在天气恶劣的飞机航程中，男乘客比女乘客更容易晕机．(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，P (X ≤4)＝0.84，则P (X ≤0)＝( ) A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68D ．0.84解析：选A 由正态分布的特征得P (X ≤0)＝1－P (X ≤4)＝1－0.84＝0.16.2．甲袋中装有2个白球，2个黑球，乙袋中装有2个白球，4个黑球，从甲、乙两袋中各取一球均为白球的概率为( )A.16B.25C.215 D.56解析：选A 记“从甲袋中任取一球为白球”为事件A ，“从乙袋中任取一球为白球”为事件B ，则由题意知，事件A 、B 是相互独立事件，故P (A ∩B )＝P (A )P (B )＝24×26＝16.3．设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫13i(i ＝1,2,3)，则a 的值为( )A ．1 B.913 C.1113D.2713解析：选D 因为P (X ＝1)＝a 3，P (X ＝2)＝a9，P (X ＝3)＝a27，所以a 3＋a 9＋a 27＝1，所以a ＝2713.4．对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程y ^＝a ＋bx 中，回归系数b ( ) A ．可以小于0 B ．大于0 C ．能等于0D ．只能小于0解析：选A ∵b ＝0时，则r ＝0，这时不具有线性相关关系，但b 可以大于0也可以小于0.5．某种型号的印刷机在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，现有四台这种型号的印刷机，且同时各自独立工作，则在一小时内至多有2台需要照看的概率为( )A ．0.153 6B ．0.180 8C ．0.563 2D ．0.972 8解析：选D “一小时内至多有2台印刷机需要照看”的事件包括有0,1,2台需要照看三种可能．因此，所求概率为C 04·0.20·0.84＋C 14·0.21·0.83＋C 24·0.22·0.82＝0.972 8.6．为考察数学成绩与物理成绩的关系，在高二随机抽取了300名学生．得到下面列联表：85分以下 35 143 178 合计72228300现判断数学成绩与物理成绩有关系，则判断的出错率为( ) A ．0.5% B ．1% C ．2%D ．5%解析：选D 代入公式得 χ2＝300×37×143－35×85272×228×122×178≈4.514＞3.841查表可得犯错误的概率不超过5%.7．已知X ～B (n ，p )，且E (X )＝7，D (X )＝6，则p 等于( ) A.17 B.16 C.15D.14解析：选A 由题易知，E (X )＝np ＝7，D (X )＝np (1－p )＝6，所以p ＝17.8．张家的3个鸡仔钻进了李家装有3个鸡仔的鸡笼里，现打开笼门，让鸡仔一个一个地走出来，若第一个走出来的是张家的鸡仔，那么第二个走出的也是张家的鸡仔的概率是( )A.25B.23C.15D.35解析：选A 设“第一个走出的是张家的鸡仔”为事件A ，“第二个走出的是张家的鸡仔”为事件B ，则P (B |A )＝P A ∩BP A ＝A 23A 26A 13A 16＝25.9．若同时抛掷两枚骰子，当至少有5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在3次试验中至少有1次成功的概率是( )A.125729B.80243C.665729D.100243解析：选C 一次试验中，至少有5点或6点出现的概率为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝1－49＝59，设X 为3次试验中成功的次数，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，59，故所求概率P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫590×⎝ ⎛⎭⎪⎫493＝665729.10．一袋中装有5个白球和3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X 次球，则P (X ＝12)等于( )A ．C 1012×⎝ ⎛⎭⎪⎫3810×⎝ ⎛⎭⎪⎫582B ．C 911×⎝ ⎛⎭⎪⎫389×⎝ ⎛⎭⎪⎫582×38C ．C 911×⎝ ⎛⎭⎪⎫589×⎝ ⎛⎭⎪⎫382D ．C 911×⎝ ⎛⎭⎪⎫389×⎝ ⎛⎭⎪⎫582解析：选B X ＝12表示第12次取到红球，前11次中有9次取到红球，从而P (X ＝12)＝C 911×⎝ ⎛⎭⎪⎫389×⎝ ⎛⎭⎪⎫582×38.11．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c [a 、b 、c ∈(0,1)]，已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分情况)，则ab 的最大值为( )A.148B.124C.112D.16解析：选B 由已知3a ＋2b ＋0×c ＝1，即3a ＋2b ＝1.∴ab ＝16×3a ×2b ≤16×⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋2b 22＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝124.当且仅当3a ＝2b ＝12，即a ＝16，b ＝14时取“等号”．12．设由“0”、“1”组成的三位数组中，若用A 表示“第二位数字为‘0’的事件”，用B 表示“第一位数字为‘0’的事件”，则P (A |B )＝( )A.25B.34C.12D.18解析：选C ∵P (B )＝1×2×22×2×2＝12，P (A ∩B )＝1×1×22×2×2＝14，∴P (A |B )＝P A ∩B P B ＝12.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上) 13．甲、乙两名同学通过英语听力测试的概率分别为12和13，两人同时参加测试，恰有一人通过的概率是__________．解析：解析：恰有一人通过有两种可能：恰好甲通过或恰好乙通过，故其概率为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝12. 答案：1214．对于P (χ2≥ x 0)，当x 0＞2.706时，就有________的把握认为“x 与y 有关系”． 解析：由k ＞2.706，可知P (χ2≥2.706)≈0.10，即若k ＞2.706，此时则有90%的把握认为“x 与y 有关系”．答案：90%15．若100件零件中包含10件废品，现从中任取两件，已知取出的两件中有废品，则两件都是废品的概率为________．解析：设事件A 为“取出的两件中有废品”，事件B 为“取出的两件都是废品”，由题意，显然，A ∩B ＝B ，而P (A )＝C 110·C 190＋C 210C 2100，P (B )＝C 210C 2100， 故P (B |A )＝P B P A ＝C 210C 210＋C 110·C 190＝121. 答案：12116．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为________．解析：记“不发芽的种子数为X ”，则ε～B (1 000,0.1)，所以E (ε)＝1 000×0.1＝100，而X ＝2ε，故E (X )＝E (2ε)＝2E (ε)＝200.答案：200三、解答题(本大题共有6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X (单位：分钟)服从正态分布N (50,102)，求他在时间段(30,70]内赶到火车站的概率．解：由X ～N (50,102)知μ＝50，σ＝10，所以P (30＜X ≤70)＝P (50－2×10＜X ≤50＋2×10)＝95.4%，所以所求概率为95.4%. 18．(本小题满分12分)某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任选3人参加学校的义务劳动．(1)设所选3人中女生人数为X ，求X 的分布列； (2)求男生甲或女生乙被选中的概率；(3)设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，求P (B )和P (B |A )． 解：(1)X 的所有可能取值为0,1,2，依题意得 P (X ＝0)＝C 34C 36＝15，P (X ＝1)＝C 24C 12C 36＝35.P (X ＝2)＝C 14C 22C 36＝15.∴X 的分布列为X 0 1 2 P153515(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C ， 则P (C )＝C 34C 36＝15；∴所求概率为P (C )＝1－P (C )＝1－15＝45.(3)P (B )＝C 25C 36＝1020＝12.P (B |A )＝P A ∩BP A ＝C 14C 36C 25C 36＝410＝25.19．(本小题满分12分)有两个分类变量x 与y ，其一组观测值如下面的2×2列联表所示：y 1 y 2x 1 a20－a x 215－a30＋a其中a,15－a 均为大于5的整数，则a 取何值时，在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x 与y 之间有关系？解：查表可知，要使在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x 与y 之间有关系，则χ2≥2.706，而χ2＝65×[a 30＋a －20－a 15－a ]220×45×15×50＝65×65a －300220×45×15×50＝13×13a －60260×90.由χ2≥2.706得a ≥7.19或a ≤2.04.又a ＞5且15－a ＞5，a ∈Z ，即a ＝8,9.故a 为8或9时，在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x 与y 之间有关系． 20．(本小题满分12分)某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽数之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天100颗种子中的发芽数，得到如下资料：日期 12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日温差x /℃ 10 11 13 12 8 发芽数y /颗23253026162组数据用于回归方程检验．(1)若选取12月1日和12月5日这两日的数据进行检验，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的．试问(1)中所得到的线性回归方程是否可靠？若可靠，请预测温差为14 ℃时的发芽数．解：(1)由数据，求得x ＝12，y ＝27， 由公式，求得b ^＝52，a ^＝y －b ^x ＝－3，所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝52x －3.(2)当x ＝10时，y ^＝52×10－3＝22，|22－23|＜2；当x ＝8时，y ^＝52×8－3＝17，|17－16|＜2.因此得到的线性回归方程是可靠的． 当x ＝14时，y ^＝52×14－3＝35－3＝32，所以预测温差为14 ℃时的发芽数为32颗．21．(2017·天津高考)(本小题满分12分)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 解：(1)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＝14，P (X ＝1)＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×14＝1124，P (X ＝2)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12×13×14＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＋12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14，P (X ＝3)＝12×13×14＝124.所以随机变量X 的分布列为：随机变量X 的数学期望E (X )＝0×4＋1×24＋2×4＋3×24＝1312.(2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0)＝P (Y ＝0)P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)P (Z ＝0) ＝14×1124＋1124×14＝1148.所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.22．(本小题满分12分)已知一个口袋中装有n 个红球(n ≥1且n ∈N *)和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则为中奖，否则不中奖．(1)当n ＝3时，设三次摸球中(每次摸球后放回)中奖的次数为X ，求X 的分布列； (2)记三次摸球中(每次摸球后放回)恰有两次中奖的概率为P ，当n 取多少时，P 最大？ 解：(1)当n ＝3时，每次摸出两个球，中奖的概率P ＝3×2C 25＝35.P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫253＝8125； P (X ＝1)＝C 13·35·⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝36125； P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352·25＝54125； P (X ＝3)＝C 33·⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝27125. 所以X 的分布列为(2)P ＝C 23·p 2·(1－p )＝－3p 3＋3p 2,0＜p ＜1，P ′＝－9p 2＋6p ＝－3p (3p －2)，知在⎝⎛⎭⎪⎫0，23上P 为增函数，在⎝⎛⎭⎪⎫23，1上P 为减函数，当p ＝23时，P 取得最大值．所以p ＝C 1n C 12C 2n ＋2＝23，即n 2－3n ＋2＝0，解得n ＝1或n ＝2.故当n ＝1或n ＝2时，P 最大．。
高二数学(选修2-3人教B版)-概率全章总结
P( A)
C410 C610 C2
100
16 33
.
方法应用
（二）应用概念和模型，识别分布类型，选择计算方法
（3）依题意可知，微信群个数超过15个的概率为 2 ，则
X 0, 1, 2, 3 . X B(3, 2)
5
P( X
0)
C30
(
2)0 5
(1
2)3 5
5
27
125
,
P( X
1)
课后作业
一条公共汽车线路沿线共有6个车站（包括起点站和终点 站），在起点站开出的一辆公共汽车上有4位乘客，假设每位 乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的．求： （1）这4位乘客在不相同的车站下车的概率； （2）这4位乘客中恰有2人在终点站下车的概率；
（3）设在终点站下车人数为 ，求 的分布列和数学期望.
N
（二）方法体系
复习回顾
3.求方差： （1）通法：
D( X ) (x1 E( X ))2 p1 (x2 E( X ))2 p2 (xn E( X ))2 pn.
（2）特殊化方法：若 X B(n, p)，则 D( X ) np(1 p). 特别地，X 服从参数为p 的二点分布时，D( X ) p(1 p).
解：（3）由题意可得，
a P( X 1) P( A1 A2 A3 ) P( A1A2 A3 ) P( A1 A2 A3 )
4 (1 3)(1 2) (1 4) 3 (1 2) (1 4)(1 3) 2 37 ,
55 5
55 5
5 5 5 125
b P(x 2) P( A1A2 A3 ) P( A1A2 A3 ) P( A1 A2 A3 )
中每人拥有微信群的数量，现从北京市大学生中随机抽取100
人教版高中数学【选修2-3】[知识点整理及重点题型梳理]_《概率》全章节复习与巩固
人教版高中数学选修2-3知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习《概率》全章节复习与巩固【学习目标】1.理解随机变量及其概率分布的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.3.理解事件的独立性和条件概率，并能进行简单的应用.4.理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.5.理解随机变量的均值、方差的概念，能计算简单随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.6.了解正态分布的有关概念. 【要点梳理】要点一、离散型随机变量及其分布列1．离散型随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用希腊字母ηξ,等表示。
对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量； 若ξ是随机变量，,b a +=ξη其中a,b 是常数，则η也是随机变量，并且不改变其属性（离散型、连续型）。
2．离散性随机变量的分布列：设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1,x 2,…,x 3,…,若ξ取每一个值x i (i=1,2,…)的概率为i i P x P ==)(ξ，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. 离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： （1）p i ≥0,i=1,2…； （2）P 1+P 2+…=13．如果随机变量X 的分布列为称离散型随机变量X 服从参数为p 的两点分布。
要点二、超几何分布在含M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品数，则事件{}X k =发生的概率为：()k n k M N MnNC C P X k C --⋅==，0,1,2,,k m =，其中min{}m M =，n ，n N M N n M N N *≤≤∈，，，，，称分布列离散型随机变量X 服从超几何分布。
要点三、独立性1.条件概率的概念设A 、B 为两个事件，且()0P A >，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号(|)P B A 表示。
高中数学 2.2 3概率论与数理统计教案 选修选修2-3
2013年高中数学 2.2 3概率论与数理统计教案新人教A版选修选修2-31、大纲用于数学教育专业（专科）《概率论与数理统计》课程之教学。
2、课程教学目的与要求：概率论与数理统计是研究随机现象客观规律并付诸应用的数学学科，是工科本科各专业的一门重要基础理论课程。
专科开设概率论与数理统计，教学内容偏重于概率论部分，使学生较好的掌握概率论特有的分析概念。
数理统计部分只讲授数理统计基本知识、参数估计、假设检验三章节。
每章配备习题课，帮助学生加深对基本概念的理解和掌握，熟悉各种公式的应用，从而达到消化、掌握所学知识的目的。
学习本课程，应使学生掌握概率论与数理统计的基本概念和基本理论，初步学会处理随机现象的基本思想和方法，培养解决实际问题的能力。
3、大纲内容包括各章节教学内容、教学要求、教学重点及难点。
4、课程涉及到的基础知识有：排列组合、高等数学、线性代数等基础课程。
5、学时安排：本课程总学时为72学时，各部分学时安排如下：教学内容第一章随机事件及其概率[本章教学目的及要求]学习本章，要求掌握随机事件、事件概率、独立性及条件概率等基本概念；掌握概率的性质，概率乘法公式，掌握古典概型及其解题方法，掌握伯努利概型。
要求在掌握有关基本概念和方法的基础上能解答一些常见的、一般性的概率问题。
第一节样本空间、随机事件一、必然现象和随机现象：用例子说明。
二、随机试验与事件：随机试验应满足的三个条件，频率、统计规律性。
三、样本空间：例题说明怎样选择和确定样本空间。
四、事件的关系和运算：利用集合论中集合的关系和运算并结合图形，讲叙随机事件的关系和运算。
第二节概率的定义及性质一、频率及概率：由频率的几条性质，引出概率的定义。
二、概率定义：给出定义，强调其中可列可加性。
三、概率的性质：规范性、非负性、加法公式等。
第三节古典概型一、古典概型：给出古典概型应满足的条件及计算公式。
二、古典概型：关于古典概型的几个例题，其中有超几何分布。