线性系统的状态空间表达式
9.1 线性系统的状态空间表达式
该机械系统的状态如图9-4所示。
F1
m
.
x2
x2
f m
k m
图9-4 机械系统状态图
x1 y
9.1 线性系统的状态空间表达式
2、从系统方块图出发建立状态空间表达式
例9-2 在图9-5所示系统中，若选取 x1, x2 , x3作为状态变量，试列写其
状态空间表达式，并写成矩阵形式。
在图9-1中，uc 为输出，用 y表示，则有
用矩阵表示为 y uc x1
(9 7)
y 1
0
x1 x2
或y
CT
x
其中
CT 1 0
(9 8)
9.1 线性系统的状态空间表达式
6 状态空间表达式 状态方程与输出方程组合起来，称为状态空间
表达式。它构成对一个系统的完整描述。
一般情况下，设单输入—单输出线性定常连续系统的状态变量
.
x
n
C
c1
c2
cn
9.1 线性系统的状态空间表达式
对于一个r 维输入、m 维输出的多输入、多输出系统其状态空间表达式为
式中
.
x
Ax
Bu
y Cx Du
(9 10)
b11 b12 B b21 b22
bn1 bn2
b1r
u1
y1
b2r
,
u
u2
,
y
y2
x1 y / b0 ,
..
x1 y/ b0 x2 ,
.
..
x2 y/ b0 x3,
.
xn1 y(n1) / b0 xn ,
(9 15)
.
xn y(n) / b0 a0 x1 a1x2 an1xn u
(9 14)
9.1 线性系统的状态空间表达式
系统的状态空间表达式
R
L
di dt
Ri
uc
C duc i
u
dt
(9 1)
i
u
C
uc
在知道i和uc的初始值及t>=0时的输入量u的情况下
i求解微分方程（9-1）就可以求出i和uc的变化规律
和 量，
uc
表征了电路的运动状态，称为该电路的状态变
L
图9-1 RLC电路
9.1 线性系统的状态空间表达式
1. 状态变量
定义：足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量
.
x1
.
x2
.
x n 1
.
xn
0
0
0
a0
1 0 0 a1
0 1 0 a2
y b0 0 0 0x
0 x1 0
0
x2
0
u (9 16)
1
xn
1
0
an1 xn 1
如上述这样选择的一组状态变量称为相变量，得出的表达式(9 16)称为能
控标准型。系统矩阵A 称为友矩阵
图9-3 机械位移系统
9.1 线性系统的状态空间表达式
用向量—矩阵表示的状态空间表达式为
.
x1
.
x2
0
k m
1 f
m
x1 x2
0 1
m
F
,
y
1
0
x1 x2
状态图：
为了更直观地反映各状态变量之间的信息传递关系，状态空间表达式常用 状态图表示。绘制方法如下： （1）有多少了状态变量，画多少个积分器； （2）根据所给的状态方程和输出方程，画出相应的加法器和比例器，最后用 箭头连接起来。
9.1 线性系统的状态空间表达式
4 状态方程 由系统的状态变量构成的一阶微分方程组
式 (9 1)可以改写为 duc 1 i,
dt C di 1 R 1 dt L uc L i L u
dx1 dt
1 C
x2 ,
dx2 dt
1 L
x1
R L
x2
1u L
若将状态变量用一般符号xi 表示，即令 x1 uc , x2 i，
Y (s) U (s)
s3
b0 a2s2
a1s
a0
(9 12)
9.1 线性系统的状态空间表达式
.
..
.
..
如果选取y / b0 , y/ b0 , y/ b0 为一组状态向量，即x1 y / b0, x2 y/ b0, x3 y/ b0
则有
.
x1 x2 ,
.
x2 x3
.
x3 a0 x1 a1x2 a2 x3 u, .
u
2
x2
s3
2
x1
s(s 1)
x3
s
图9-5
由结构图得 2(u x1) (s 3)x2 , 2(x2 x3) s(s 1)x1
x3 sx1,
y x1
.
整理可得系统状态空间表达式为 x1 x3,
.
x2 2x1 3x2 2u
.
x3 2x2 3x3,
写成向量矩阵形式
y x1
0 0 1 0
y 0 x1 1x2 2 x3
若 b3 0，则
y 0 x1 1x2 2 x3 b3u
或可表示为
.
x1
.
x2
.
0 0
1 0
0 x1 0
x1
1
x2
0u,
y
0
1
2
x2
b3u
(9 23)
x3 a0 a1 a0 x3 1
x3
.
x
2
3
0 x 2u, y 1 0 0x
0 2 3 0
9.1 线性系统的状态空间表达式
3、由微分方程（或传递函数）求状态空间表达式
（1）微分方程中不含有输入的导数项（或传递函数中没有零点）：若系统
微分方程为
...
..
.
y a2 y a1 y a0 y b0u
(9 11)
对应的传递函数为
G(s)
..
x1 u c x2
.
x2
..
uc
1 LC
x1
R L
x2
1 LC
u
(9 5)
写成矩阵形式
.
x
.
x1
.
x2
0 1
LC
1 R
L
x1 x2
0 1
LC
u
(9 6)
在同一系统中，状态变量选取的不同，状态方程也不同。
9.1 线性系统的状态空间表达式
5 输出方程 输出变量与状态变量、输入变量间的函数关系式，
(9 21)
(9 22)
则由 N(s) / D(s)可导出能控和对角线标准型的状态空间表达式。
第九章 线性定常系统的状态空 间分析与综合
① N(s) / D(s)串联分解：将 N(s) / D(s) 分解为两部分相串联
如图9-7所示。
z 为中间变量，z ，y 则应满足
...
..
.
..
.
z a2 z a1 z a0 u, y 2 z 1 z 0 z
9.1 线性系统的状态空间表达式
（2）输入方程中含有输入信号的导数项（或传递函数中有零点）
从三阶推广到 n 阶系统，系统微分方程为
...
..
.
...
..
.
y a2 y a1 y a0 y b3 u b2 u b1 u b0u (9 18)
对应的传递函数为
G(s)
b3s3 b2s2 b1s b0 s3 a2s2 a1s a0
一个用n阶微分方程描述的系统，有n个独立变量，当这n个独立变量的时 间响应都求出时，系统的运到状态也就都知道了。因此， n阶微分方程有n 个独立变量。
同一个系统，状态变量的选取不是惟一的。
对于一般的物理系统，状态变量的个数应等于储能元件的个数。
9.1 线性系统的状态空间表达式
2状态向量 把描述系统的 n 个状态变量 x1(t), x2 (t), , xn (t) 看作向
中间变量i ，得二阶微分方程为
相应的传递函数为
..
uc
R L
.
uc
1 LC
uc
1 (s)
s2
1/ LC R / Ls 1/
LC
(9 3) (9 4)
9.1 线性系统的状态空间表达式
.
.
若改选 uc 和u c为状态变量，即令 x1 uc , x2 ， uc 则得一阶微分方程组为
(9 19)
只有当传递函数分子多项式的次数小于或等于分母多项的次数时，系统的
状态空间表达式才存在。
9.1 线性系统的状态空间表达式
当 G(s) 的分子次数等于分母次数时，首先应用综合除法把 G(s) 变
成严格有理分式，即 G(s) b3
(b2
a2b3 )s2 (b1 a1b3 )s s3 a2s2 a1s
图9-6 状态图
9.1 线性系统的状态空间表达式
一般情况下，由n 阶微分方程描述的系统为
.
y(n) an1 y(n1) a1 y a0 y b0u
相应的传递函数为
.
G(s) Y (s) U (s)
sn
b0 an1s n1
a1s a0
若选 y / b0 , y/ b0 , , y(n1) / b0 为状态变量，那么
量x(t) 的分量，则 x(t)称为 n维状态向量，记作
x1(t)
x1
x(t
)
x2
(t
),
简记为
x
【武汉大学】线性系统状态空间表达式的解【现代控制理论】
• 这里定义的状态转移矩阵与前面定义的是一致的。
– 引入上述状态转移矩阵新定义,主要是为了使状态转移 矩阵的概念易于推广到时变系统、离散系统等,
– 使得有可能对各种类型系统的状态方程的解作统一描 述,更好地刻划系统状态运动变化的规律。
现代控制理论
武汉大学 自动化系 丁李
3.1.2.1状态转移矩阵基本定义
现代控制理论
武汉大学 自动化系 丁李
3.1.1.2拉氏变换法
– 对上式取拉氏反变换,即得齐次状态方程的解为
x(t)=L-1[(sI-A)-1]x0 – 下面讨论如何求解拉氏反变换L-1[(sI-A)-1]。
• 主要思想为将标量函数的拉氏变换与反变换平行推 广至矩阵函数中。
• 对标量函数,我们有
(s a)1 1 a a2 ... ak1 ...
• 由常微分方程理论知,该方程的解连续可微。 – 因此,该解经泰勒展开可表征为无穷级数,即有
x(t) q0 q1t q2t 2 qkt k
式中,qk(k=1,2,...)为待定级数展开系数。
现代控制理论
武汉大学 自动化系 丁李
3.1.1.1级数展开法
– 将所设解代入该微分方程,可得
(2) 计算矩阵指数函数eAt。
e At L1[(sI A)1]
L1
s
2
1 2
s
1
2 2
s 1 s 2
1 1 s 1 s 2 1 2
s 1 s 2
2et 2et
e2t 2e2t
et e2t
3.1.1 线性定常齐次状态方程的解
线性系统理论课件02-第二章状态空间描述-2.1系统的状态空间描述2.2系统的状态空间表达式的分类
上式即为图2-1所示电路的状态方程，并将其写成 向量-矩阵形式，即
du c (t ) dt 0 di(t ) 1 dt L 1 0 u ( t ) c C 1 u (t ) R i(t ) L L
(3)状态向量 设x1(t),x2(t),…,xn(t)是系统的一组状态变量，把这 些状态变量看作向量x(t)的分量，则x(t)就称为状态 向量，记为
x1 (t ) x (t ) x n (t )
(4)状态空间 以x1(t),x2(t),…,xn(t)为坐标轴构成的一个n维欧氏空 间，称为状态空间。
(5)状态方程 描述系统状态变量间或状态变量与系统输入变量 间关系的一个一阶微分方程组(连续系统)或一阶 差分方程组（离散系统），称为状态方程。
Ax Bu x
x(k 1) Gx(k ) Hu (k )
【例2-2】建立图2－1所示RLC电路的状态方程。 取电容上的电压uC (t)和电感中的电流i(t)作为状态 变量，根据电路原理有
不表征系统的内部结构和内部变量，只反映外部 变量间的因果关系，即输出和输入间的因果关系。
例：线性定常、单输入—单输出系统，外部描述为线 性常系数微分方程
y (n) an1 y (n1) a1 y (1) a0 y bn1u (n1) b1u (1) b0u
并非所有电路中的电容器电压和电感器电流都是独立 变量
假定电容器初始电压值均为0，有
c3 x2 x1 c 2 c3
因此，只有一个变量是独立的，状态变量只能选其 中一个，即用其中的任意一个变量作为状态变量便可以 确定该电路的行为。实际上，三个串并联的电容可以等 效为一个电容。
状态空间求传递函数
22
2
11
1
DCx C x D Du
2 11
22
21
状态空间表达式
x 1 x 2
A 1
B 2
C 1
0 A
2
x1 x 2ຫໍສະໝຸດ B 1BD 21u
y D C 21
C 2
x1 x 2
D 2
Du 1
传递函数阵
Y (s) Y (s) G (s)Y (s) G (s)G (s)U (s)
2
2
1
2
1
G(s) G (s)G (s)
2
1
3）反馈连接（u1=u-y2,u2=y,y=y1,D1=D2=0)
U
X1
U1
1(A1,B1,C1,D1) Y1
Y
Y2
2(A2,B2,C2,D2)
U2
x 1 A1x1 B1u1 A1x1 B1u B1C2x2 x 2 A2x2 B2u2 A2x2 B2C1x1
述系统的两组不同的状态变量，则状态变量之间有
非奇异线性变换，即
x P~x ~x P1x
p11 p12 p1n
P
p21
p22
p2n
pn1
pn2
pnn
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！
2.串联（前一系统的输出是后一系统的输入）
u=u1,u2=y1,y=y2
X1
X2
U1
1(A1,B1,C1,D1)
Y1 U2
2(A2,B2,C2,D2)
Y2
x A x B u
1
11
1
x A x B C x B D u
2
现代控制理论实验一、线性系统状态空间表达式的建立以及线性变换河南工业大学
河南工业大学《现代控制理论》实验报告专业: 自动化 班级: F1203 姓名: 蔡申申 学号:201223910625完成日期：2015年1月9日 成绩评定:一、实验题目：线性系统状态空间表达式的建立以及线性变换二、实验目的1. 掌握线性定常系统的状态空间表达式。
学会在MATLAB 中建立状态空间模型的方法。
2. 掌握传递函数与状态空间表达式之间相互转换的方法。
学会用MATLAB 实现不同模型之间的相互转换。
3. 熟悉系统的连接。
学会用MATLAB 确定整个系统的状态空间表达式和传递函数。
4. 掌握状态空间表达式的相似变换。
掌握将状态空间表达式转换为对角标准型、约当标准型、能控标准型和能观测标准型的方法。
学会用MATLAB 进行线性变换。
三、实验过程及结果1. 已知系统的传递函数 (a) )3()1(4)(2++=s s s s G 1.建立系统的TF 模型。
num=4;den=[1 5 7 3 0];G=tf(num,den)G =4-------------------------s^4 + 5 s^3 + 7 s^2 + 3 sContinuous-time transfer function.2.将给定传递函数用函数ss( )转换为状态空间表达式。
再将得到的状态空间表达式用函数tf( )转换为传递函数，并与原传递函数进行比较。
2.1转换成状态空间表达式。
Gss=ss(G)Gss =a =x1 x2 x3 x4x1 -5 -1.75 -0.75 0x2 4 0 0 0x3 0 1 0 0x4 0 0 1 0b =u1x1 1x2 0x3 0x4 0c =x1 x2 x3 x4y1 0 0 0 1d =u1y1 0Continuous-time state-space model.2.2将状态空间表达式转换成传递函数并计较。
G1=tf(Gss)G1 =4-------------------------s^4 + 5 s^3 + 7 s^2 + 3 sContinuous-time transfer function.由之前的实验结果可得实验中的传递函数相同，因为线性变换不改变系统的传递函数。
2.3线性连续时间状态空间表达式的离散化
§2.3 线性连续时间状态空间表达式的离散化如果用数字计算机对连续时间状态方程求解，或者对连续受控对象采用数字计算机进行在线控制，都要碰到一个将连续时间系统化为离散时间系统的问题。
本节将讨论线性连续时间状态空间表达式的离散化方法。
一、线性时变系统的离散化 设原线性系统的状态空间表达式为：).()t (u )t (D )t (X )t (C Y )t (u )t (B )t (X )t (A X612⎩⎨⎧+=+=离散化后状态空间表达式为：[]).()kT (u )kT (D )kT (X )kT (C )kT (Y )kT (u )kT (H )kT (X )kT (G T )k (X 6221⎩⎨⎧⋅+⋅=+=+式（2.61）、（2.62）之间的系数关系如下[][]).()t (D )kT (D )t (C )kT (C d )(B ,T )k ()kT (H kT ,T )k ()kT (G kTt kT t T)k (kT632111==+==+=+=⎰τττφφ式中[]kT ,T )k (1+φ表示)t ,t (0φ在kT t T )k (≤≤+1区段内的状态转移矩阵，而)t ,t (0φ则表示原连续系统（2.61）式的状态转移矩阵。
证明：由上节（2.60）式可知（2.61）式的解为：).(d )(u )(B ),t (X )t ,t ()t (X t t 642000ττττφφ⎰+=对上式离散化，令hT t ,T )k (t =+=01，T 为采样周期，则得[][][]).(d )(u )(B ,T )k (X hT ,T )k (T )k (X T )k (hT65211110ττττφφ+++=+⎰+再以hT t ,kT t ==0代入（2.64）式，则得 ).(d )(u )(B ),kT (X )hT ,kT ()kT (X kT hT 6620ττττφφ⎰+=将（2.66）式两边同左乘[]kT ,T )k (1+φ，得[][][][][]).(d )(u )(B ,T )k (X hT ,T )k (d )(u )(B ),kT (kT ,T )k (X )hT ,kT (kT ,T )k ()kT (X kT ,T )k (kT hT kT hT 6721111100ττττφφττττφφφφφ+++=++⋅+=+⎰⎰将（2.65）式减去（2.67）式得：[][][]).(d )(u )(B ,T )k ()kT (X kT ,T )k (T )k (X T )k (kT 6821111ττττφφ+++=+⎰+上式中，令[][]τττφφd )(B ,T )k ()kT (H kT ,T )k ()kT (G T)k (kT⎰+=+=+111设在区间[]T )k (,kT 1+内，)kT (u )(u =τ，则（2.68）式可简写成： [])kT (u )kT (H )kT (X )kT (G T )k (X ⋅+⋅=+1 同时，对（2.61）式输出方程离散化，则证明了)kT (u )kT (D )kT (X )kT (C )kT (Y ⋅+=二、线性时不变系统的离散化 对于线性时不变系统).(uD X C Y u B X A X692⎩⎨⎧+=+=离散化状态空间表达式为).()kT (u D )kT (X C )kT (Y )kT (u )T (H )kT (X )T (G T )k (X 7021⎩⎨⎧+=+=+其中D ,C ),T (H ),T (G 均为常数阵，且).(B)d e ()T (H e)T (G A T AT 7120⎪⎩⎪⎨⎧==⎰ττ证明：由于时不变系统是时变系统的一种特殊情况，所以只需要证明式（2.71）成立即可。
状态空间表达式解
2.1.1 齐次状态方程的解 u=0
X·=AX
1、直接求解 设 n=1
X(t0) =X0
x·=ax 解为x(t)=eatx0
t0=0 且eat=1+at+a2t2/2！+…
对于 n阶， 解为X(t)=eAtX0 eAt=I+At+A2t2/2！+…
证明：设X(t)解的形式为
=(I+At1+A2t12/2！+…) (I+At2+A2t22/2！+…) = (t1) (t2)
1、状态转移矩阵的性质：设t0=0 （4）[(t)]–1= (–t)
证明：由 （1）(0)=I （3） (t1+t2)= (t1) (t2) 得 (t–t)= (t) (–t)=I
(–t +t)= (–t) (t) =I 所以 [(t)]–1= (–t) （5） (t2– t1) (t1– t0) = (t2– t0)
0 0 0… 0 0 0…
e1t tm–1/(m–1)！ e1t tm–2/(m–2)！
Q–1 te1t e1t
以A有三重特征值为例进行证明
1 1 0 J= Q–1AQ= 0 1 1
0 0 1
证明 eAt=I+At+A2t2/2！+… 则 Q–1eAtQ=Q–1IQ+ Q–1 AtQ+ Q–1 A2t2/2！Q+… =I+ Jt+ J2t2/2！+… eAt=Q(I+ Jt+ J2t2/2！+…) Q–1
1 k!
Akb0
2.1.1 齐次状态方程的解
胡寿松《自动控制原理》笔记和课后习题(含考研真题)详解(线性系统的状态空间分析与综合)【圣才】
具有非正（负或零）实部，且具有零实部的特征值为 A 的最小多项式单根。
（2）系统的唯一平衡状态 xe＝0 是渐近稳定的充分必要条件：A 的所有特征根均具有
3．线性定常连续系统状态方程的解 （1）齐次方程求解方法：幂级数法；拉普拉斯变换法。 （2）非齐次方程求解方法：积分法；拉普拉斯变换法。
4．传递函数矩阵 表达式：G（s）＝C（sI－A）－1B＋D
二、线性系统的可控性与可观测性 1．可控性 如果系统的每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制，而由任意的始点达到原点， 则该系统是完全可控系统，简称为系统可控。 （1）可控标准形
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的任意初始态 x0 出发的运动轨迹 x（t；x0，t0），在 t→∞都满足：||x（t；x0，t0）－xe||≤ε，
t≥t0，则称 xe 是李雅普诺夫意义下稳定的。
（3）渐近稳定
系统不仅满足李氏意义下的稳定，且
（2）可观测性判据
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状态空间表达式及其与传递函数间的关系
x Ax Bu y Cx Du
u(t)
y(t)
系统
A : 系统（状态）矩阵 （n n）
B : 控制（输入）矩阵 （n p）
C : 输出矩阵 （q n）
D : 前馈矩阵 （q p）
A、B、C、D 为常数阵 定常系统
A、B、C、D 含时变参数 时变系统
9
x Ax Bu y Cx Du
不同状态变量之间存在线性变换关系
13
2.6 两种模型的相互转化
2.6.1由状态空间模型转化为传递函数（阵） 2.6.2由传递函数转化为状态空间描述 应用MATLAB进行模型之间的相互转化（自
学）
14
2.6.1 由状态空间模型转化为传递函数（阵）
设 线 性 定 常 系 统 的 状 态空 间 模 型 为
0 1u
1 G( s ) LCs2 RCs 1
y 1
0
x1 x2
由同一系统的不同状态空间表
达式导出的传递函数（阵）必
然相同
18
2.6.2 由系统传递函数建立状态空间模型
之前已知：由微分方程转
A,B,C,D
化为状态空间模型
u(t)
y(t)
系统
U(s)
x Ax Bu 注意！ u(t)
G(s)
y(t)
y Cx Du
系统
对其进行拉氏变换 sX(s) x(0 ) AX(s) BU(s) Y(s) CX(s) DU(s)
对应的传递函数（阵）为
令初始条件为零， x( 0 ) 0 得：sX(s) AX(s) BU(s)
x n
xn
状态空间表达式
an 1 (h0u
( n 1)
h1u
( n2)
hn 1u )
an 2 (h0u
( n2)
h1u
( n 3)
hn 2u )
( n)
a1 (h0 u h1u) a0 h0u bnu
bn 1u
( n 1)
b1u b0u
可写成向量-矩阵的形式：
x Ax bu y cx du
即：
1 0 x1 0 x 0 2 0 1 x 0 n1 0 0 x n a0 a1 a 2
c 1 0 0
例1 设
...
y 5y8y 6 y 3u
求（A，B，C，D）
.
..
.
解：选
x1 y
x2 y
x3 y
..
则：
x1 x 2
.
x 2 x3
.
x3 y 3u 6 x1 8x2 5x3
.
...
y x1
状态空间表达式为
1 0 x1 0 x1 0 x 0 x 0 u 2 0 1 2 x3 6 8 5 x3 3
h2 b1 a2 h1 a1h0 3 h3 b0 a 2 h2 a1h1 a0 h0 13
状态空间表达式为
1 0 x1 1 x1 0 x 0 x 3u 2 0 1 2 x3 1 2 4 x3 13 x1 x y 1 0 0 2 x3
《自动控制原理》系统数学描述的两种基本类型
线性定常系统 在线性系统的状态空间表达式中，若系数矩阵 A(t), B(t),C(t), D(t)或 G(k), H (k),C(k), D(k) 的各元素都是常数，则称该系 统为线性定常系统，否则为线性时变系统。线性定常系统状态空间 表达式的一般形式为
.
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)
应注意到在向量、矩阵的乘法运算中，相乘顺序不允许任意颠倒。
状态空间分析法 在状态空间中以状态向量或状态变量描述系 统的方法称为状态空间分析法或状态变量法。
状态空间分析法的优点是便于采用向量、矩阵记号简化数学描 述，便于在数字机上求解，容易考虑初始条件，能了解系统内部状 态的变化特性，适用于描述时变、非线性、连续、离散、随机、多 变量等各类系统，便于应用现代设计方法实现最优控制、自适应控 制等。
这里所谓的系统是指由一些相互制约的部分构成的整体，它可 能是一个由反馈闭合的整体，也可能是某一控制装置或受控对象。 本章中所研究的系统均假定具有若干输入端和输出端，如图9-1所 示。图中方块以外的部分为系统环境，环境对系统的作用为系统输
T
入，系统对环境的作用为系统输出；二者分别用向量u = [u1,u2 ,...,u p ] 和y = [ y1, y2 ,..., yq ] T表示 ，它们均为系统的外部变量。描述系统内部 每个时刻所处状况的变量为系统的内部变量，以向量 x = [x1, x2 ,..., xn ] T 表示。系统的数学描述是反映系统变量间因果关系和变换关系的一 种数学模型。