1.1变化率与导数-教学设计-教案
教学准备
1. 教学目标
（1）理解平均变化率的概念.
（2）了解瞬时速度、瞬时变化率、的概念.
（3）理解导数的概念
（4）会求函数在某点的导数或瞬时变化率.
2. 教学重点/难点
教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念及导数概念的形成和理解
教学难点：会求简单函数y＝f（x）在x＝x0处的导数
3. 教学用具
多媒体、板书
4. 标签
教学过程
一、创设情景、引入课题
【师】十七世纪，在欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果―――微积分的产生。
【板演/PPT】
【师】人们发现在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?
【板演/PPT】
让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。
【设计意图】自然进入课题内容。
二、新知探究
[1]变化率问题
【合作探究】
探究1 气球膨胀率
【师】很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是
如果将半径r表示为体积V的函数,那么
【板演/PPT】
【活动】
【分析】
当V从0增加到1时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
（1）当V从1增加到2时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
0.62>0.16
可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．
【思考】当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
解析：
探究2 高台跳水
【师】在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?
（请计算）
【板演/PPT】
【生】学生举手回答
【活动】学生觉得问题有价值，具有挑战性，迫切想知道解决问题的方法。
【师】解析：h(t)=-4.9t2+6.5t+10
【设计意图】两个问题由易到难，让学生一步一个台阶。
为引入变化率的概念以及加深对变化率概念的理解服务。
探究3计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:
（1）运动员在这段时间里是静止的吗?
（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
【板演/PPT】
【生】学生举手回答
【师】在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.
【活动】师生共同归纳出结论
平均变化率:
上述两个问题中的函数关系用y＝f（x）表示，那么问题中的变化率可用式子
我们把这个式子称为函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率.
习惯上用Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1)
这里Δx看作是对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2
同样Δy=f(x2)-f(x1)，于是，平均变化率可以表示为：
【几何意义】观察函数f（x）的图象，平均变化率的几何意义是什么？
【提示】：直线AB的斜率
【生】学生结合图象思考问题
【设计意图】问题的目的是：
①让学生加深对平均变化率的理解；
②为下节课学习导数的几何意义作辅垫；
③③培养学生数形结合的能力。
[2]导数的概念
探究1何为瞬时速度
【板演/PPT】
在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.
【师】如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
求：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度
解：
探究2当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?
从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度
当△ t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值–13.1.
从物理的角度看, 时间间隔 |△t |无限变小时, 平均速度就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的瞬时速度是–13.1 m/s.
为了表述方便，我们用
表示“当t =2, △t趋近于0时, 平均速度趋近于确定值–13.1”.
【瞬时速度】
我们用
表示“当t=2, Δt趋近于0时,平均速度趋于确定值-13.1”.
局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
那么,运动员在某一时刻的瞬时速度?
【设计意图】让学生体会由平均速度到瞬时速度的逼近思想：△t越小，V越接近于t ＝2秒时的瞬时速度。
探究3:
（1）.运动员在某一时刻 t0的瞬时速度怎样表示?
（2）.函数f(x)在 x = x0处的瞬时变化率怎样表示?
导数的概念:
一般地，函数 y = f (x)在 x = x0处的瞬时变化率是
称为函数 y = f(x) 在 x = x0 处的导数, 记作或,
【总结提升】
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:
[3]例题讲解
例题1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单位: )为 y=f (x) = x2–7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h与第6h时, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.
解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是
在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5. 它说明在第2h附近, 原油温度大约以3 /h的速率下降; 在第6h附近,原油温度大约以5 /h的速率上升.
[4]本节课知识总结
1.函数的平均变化率
2.求函数的平均变化率的步骤:
（1）求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1)
（2）计算平均变化率
3、求物体运动的瞬时速度：
（1）求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t)
（2）求平均速度
（3）求极限
4、由导数的定义可得求导数的一般步骤：
（1）求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)
（2）)平均变化率
（3）求极限
三、复习总结和作业布置
[1] 课堂练习
1.函数y＝f(x)的自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数值的改变量Δy为 ( )
A．f(x0＋Δx)B．f(x0)＋Δx
C．f(x0)·Δx
D．f(x0＋Δx)－f(x0)
2．若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在时间段2～2.1中，平均速度是 ( )
A．4 B．4.1
C．0.41 D．－1.1
3.求y=x2在x=x0附近的平均速度。
4.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.
课堂练习【参考答案】
1. D
解析：分别写出x＝x0和x＝x0＋Δx对应的函数值f(x0)和f(x0＋Δx)，两式相减，就得到了函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故应选D.
2. B
解析：
3.解析：
4.解析：
课后习题
1、复习本节课所讲内容
2、预习下一节课内容
3、课本 P.10 习题1.1 A组1,2,3,4.。
高中数学 第一章 导数及其应用教案 苏教版选修22
第一章导数及其应用1．1导数的概念1．1.1 平均变化率(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能通过丰富的实例，让学生经历平均变化率概念的形成过程，体会平均变化率是刻画变量变化快慢程度的一种数学模型．2．过程与方法理解平均变化率的概念，了解平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率．3．情感、态度与价值观感受数学模型刻画客观世界的作用，进一步领会变量数学的思想，提高分析问题、解决问题的能力．●重点难点重点：平均变化率的概念．难点：平均变化率概念的形成过程．为了使得平均变化率概念的引入自然流畅，可创设实际问题情境，如气球吹气时的平均膨胀率、跳板跳水某段起跳后的平均速度，通过具体的实例提出问题；借助天气预报中某天气温的变化曲线，以形助数，让学生有一个直观的认识，然后从数学的角度，描述这种现象就一目了然了．(教师用书独具)●教学建议本节课是起始课，对导数概念的形成起着奠基作用．平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有极其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础．在这个过程中，要注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透．●教学流程创设问题情境，提出问题，根据气球的平均膨胀率得出平均变化率的概念.⇒应用平均变化率的概念，完成例1及其变式训练.⇒实际问题中的平均变化率，完成例2及其变式训练.⇒通过例3及其变式训练，进一步理解平均变化率的意义及其应用.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.在吹气球时，气球的半径r(单位：dm )与气球空气容量(体积)V(单位：L )之间的函数关系是r(V)＝33V4π.1．当空气容量V 从0增加到1 L 时，气球的平均膨胀率是多少？ 【提示】 平均膨胀率为r （1）－r （0）1－0≈0.621＝0.62(dm /L )．2．当空气容量从V 1增加到V 2时，气球的平均膨胀率是多少？ 【提示】 平均膨胀率为r （V 2）－r （V 1）V 2－V 1.一般地，函数y ＝f(x)在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1，其中Δy＝f(x 2)－f(x 1)是函数值的改变量．如图所示，函数y ＝f(x)图象上四点A ，B ，D ，E.1．由Δy ＝f(x 2)－f(x 1)能否判断曲线在A→B 段的陡峭程度？ 【提示】 不能．2．平均变化率f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1能否近似刻画曲线在A→B 段的陡峭程度？为什么？曲线段AB 与曲线段DE 哪段更陡峭？【提示】 能．因为k AB ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1表示A ，B 两点所在直线的斜率，所以可近似地刻画曲线段AB 的陡峭程度．由于k DE ＞k AB ，知曲线段DE 更加陡峭．从平均变化率的定义知，其几何意义是经过曲线y ＝f(x)上两点P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)的直线PQ 的斜率．因此平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．已知函数f(x)＝x 2＋x ，分别计算f(x)在区间[1，3]，[1，2]，[1，1.5]上的平均变化率．【思路探究】 对于给定的三个区间，分别求函数值的增量Δy 与自变量的增量Δx 的比值ΔyΔx. 【自主解答】 (1)函数f(x)在区间[1，3]上的平均变化率为f （3）－f （1）3－1＝32＋3－（12＋1）2＝5.(2)函数f(x)在区间[1，2]上的平均变化率为 f （2）－f （1）2－1＝22＋2－（12＋1）1＝4.(3)函数f(x)在区间[1，1.5]上的平均变化率为f （1.5）－f （1）1.5－1＝1.52＋1.5－（12＋1）0.5＝3.5.1．本题主要依据平均变化率的意义代入公式直接计算，解题的关键是弄清自变量与函数值的增量．2．求函数y ＝f(x)在区间[x 1，x 2]上的平均变化率的步骤： (1)作差：求Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f(x 2)－f(x 1)； (2)作商：求Δy Δx ，即f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1的值．求函数y ＝5x 2＋6在区间[2，3]上的平均变化率．【解】 函数在区间[2，3]上的平均变化率为f （3）－f （2）3－2＝5×32＋6－5×22－61＝45－20＝25.在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m )与起跳后的时间t(单位：s )存在函数关系h(t)＝－4.9t 2＋6.5t ＋10.(1)求运动员在第一个0.5 s 内高度h 的平均变化率；(2)求高度h 在1≤t≤2这段时间内的平均变化率．【思路探究】 (1)求函数h(t)＝－4.9t 2＋6.5t ＋10在区间[0，0.5]上的平均变化率；(2)求函数h(t)＝－4.9t 2＋6.5t ＋10在区间[1，2]上的平均变化率．【自主解答】 (1)运动员在第一个0.5 s 内高度h 的平均变化率为h （0.5）－h （0）0.5－0＝4.05(m /s )．(2)在1≤t≤2这段时间内，高度h 的平均变化率为h （2）－h （1）2－1＝－8.2(m /s )．1．结合物理知识可知，在第一个0.5 s 内高度h 的平均变化率为正值，表示此时运动员在起跳后处于上升过程；在1≤t≤2这段时间内，高度h 的平均变化率为负值，表示此时运动员已开始向水面下降．事实上平均变化率的值可正、可负也可以是0.2．平均变化率的应用主要有：求某一时间段内的平均速度，物体受热膨胀率，高度(重量)的平均变化率等等．解决这些问题的关键在于找准自变量和因变量．已知某物体运动位移与时间的关系为s(t)＝12gt 2，试分别计算t 从3 s 到3.1 s ，3.001s 各段的平均速度，通过计算你能发现平均速度有什么特点吗？【解】 设物体在区间[3，3.1]，[3，3.001]上的平均速度分别为V 1，V 2， 则ΔS 1＝S(3.1)－S(3)＝12g ×3.12－12g ×32＝0.305g(m )． ∴物体从3 s 到3.1 s 时平均速度V 1＝ΔS 13.1－3＝0.305g 0.1＝3.05g(m /s )，同理V 2＝ΔS 23.001－3＝0.003 000 5g 0.001＝3.000 5g(m /s )．通过计算可以发现，随着时间间隔Δt 的变小，平均速度在向3g m /s 靠近，而3g m /s 为物体做自由落体运动时，t ＝3 s 时的瞬时速度．2012年冬至2013年春，我国北部某省冬麦区遭受严重干旱，根据某市农业部门统计，该市小麦受旱面积如图1－1－1所示，据图回答：图1－1－1(1)2012年11月至2012年12月间，小麦受旱面积变化大吗？(2)哪个时间段内，小麦受旱面积增幅最大？(3)从2012年11月到2013年2月，与从2013年1月到2013年2月间，试比较哪个时间段内，小麦受旱面积增幅较大？【思路探究】利用平均变化率的计算公式及其实际意义进行分析．【自主解答】(1)在2012年11月至2012年12月间，Δs变化不大，即小麦受旱面积变化不大．(2)由图形知，在2013年1月至2013年2月间，平均变化率ΔsΔt较大，故小麦受旱面积增幅最大．(3)在2012年11月至2013年2月间，平均变化率＝s B －s A3， 在2013年1月至2013年2月间，平均变化率＝s B －s C1＝s B －s C ，显然k BC ＞k AB ，即s B －s C ＞s B －s A3，∴在2013年1月至2013年2月间，小麦受旱面积增幅较大．1．本例中的(2)(3)可数形结合，利用平均变化率进行分析，抓住平均变化率的几何意义．2．在实际问题中，平均变化率具有现实意义，应根据问题情境，理解其具体意义．为了检测甲、乙两辆车的刹车性能，分别对两辆车进行了测试，甲车从25 m /s 到0 m /s 花了5 s ，乙车从18 m /s 到0 m /s 花了4 s ，试比较两辆车的刹车性能．【解】 甲车速度的平均变化率为0－255＝－5(m /s 2)，乙车速度的平均变化率为0－184＝－4.5(m /s 2)，平均变化率为负值说明速度在减少，因为刹车后，甲车的速度变化相对较快，所以甲车的刹车性能较好．实际问题中平均变化率意义不明致误甲、乙二人跑步，路程与时间关系以及百米赛跑路程与时间关系分别如图1－1－2中①②所示，试问：图1－1－2(1)甲、乙二人哪一个跑得快？(2)甲、乙二人百米赛跑，问快到终点时，谁跑得较快？【错解】(1)对于图①，设甲、乙两曲线的右端点分别为A，B，显然有k OB＞k OA，故乙的平均变化率大于甲的平均变化率，所以乙比甲跑得快．(2)对于图②，在[0，t0]上，甲、乙的时间、路程相同，平均变化率相等，速度相等，所以两人跑得一样快．【错因分析】在(2)中，题意不明，误求甲、乙在[0，t0]上的平均变化率认为是终点附近的平均速度．【防范措施】(1)在实际问题中，理解平均变化率具有的现实意义；(2)弄清题目的要求，区别平均速度与瞬时速度．【正解】(1)同上面解法．(2)对于图②，在[0，t0]上，甲、乙的平均变化率是相等的，但甲的平均变化率是常数，而乙的变化率逐渐增大，快到终点时，乙的变化率大于甲的变化率，所以，快到终点时，乙跑得较快．1．准确理解平均变化率的意义是求解平均变化率的关键，其实质是函数值增量Δy与自变量取值增量Δx的比值．涉及具体问题，计算Δy很容易出现运算错误，因此，计算时要注意括号的应用，先列式再化简，这是减少错误的有效方法．2．函数的平均变化率在生产生活中有广泛的应用，如平均速度、平均劳动生产率、面积体积变化率等．解决这类问题的关键是能从实际问题中引出数学模型并列出函数关系式，需注意是相对什么量变化的．1．函数y＝2x＋2在[1，2]上的平均变化率是________．【解析】（2×2＋2）－（2×1＋2）2－1＝2.【答案】 22．圆的半径r 从0.1变化到0.3时，圆的面积S 的平均变化率为________． 【解析】 ∵S＝πr 2， ∴ΔS Δr ＝S （0.3）－S （0.1）0.3－0.1＝0.09π－0.01π0.2＝0.4π. 【答案】 0.4π3．如图1－1－3，函数y ＝f(x)在A ，B 两点间的平均变化率是________．图1－1－3【解析】 ∵k AB ＝y A －y B x A －x B ＝3－11－3＝－1，由平均变化率的意义知y ＝f(x)在A ，B 两点间的平均变化率为－1. 【答案】 －14．甲企业用2年时间获利100万元，乙企业投产6个月时间就获利30万元，如何比较和评价甲、乙两企业的生产效益？(设两企业投产前的投资成本都是10万元)【解】 甲企业生产效益的平均变化率为100－1012×2－0＝154.乙企业生产效益的平均变化率为30－106－0＝103.∵154＞103， ∴甲企业的生产效益较好．一、填空题1．函数f(x)＝1x 在[2，6]上的平均变化率为________．【解析】 f （6）－f （2）6－2＝16－126－2＝－112.【答案】 －1122．函数f(x)＝log 2x 在区间[2，4]上的平均变化率是________． 【解析】 函数的平均变化率是f （4）－f （2）4－2＝2－12＝12.【答案】 123．已知某质点的运动规律为s(t)＝5t 2(单位：米)，则在1 s 到3 s 这段时间内，该质点的平均速度为________．【解析】 s （3）－s （1）3－1＝5×32－5×122＝20(m /s )．【答案】 20 m /s4．若函数f(x)＝x 2－c 在区间[1，m]上的平均变化率为3，则m 等于________． 【解析】 由题意得（m 2－c ）－（12－c ）m －1＝3，∴m ＝2(m ＝1舍去)． 【答案】 25．在雨季潮汛期间，某水文观测员观察千岛湖水位的变化，在24 h 内发现水位从102.7m 上涨到105.1 m ，则水位涨幅的平均变化率是________m /h .【解析】105.1－102.724＝0.1(m /h )．【答案】 0.16．服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c(单位：mg /mL )来表示，它是时间t(单位：min )的函数，表示为c ＝c(t)，下表给出了c(t)的一些函数值．)． 【解析】c （70）－c （30）70－30＝0.90－0.9840＝－0.002 mg /(mL ·min )． 【答案】 －0.0027．已知某物体运动的速度与时间之间的关系式是v(t)＝t ＋13t 3，则该物体在时间间隔[1，32]内的平均加速度为________．【解析】 平均加速度Δv Δt ＝32＋13·（32）3－（1＋13）32－1＝3112.【答案】3112图1－1－48．如图1－1－4所示，显示甲、乙在时间0到t 1范围内路程的变化情况，下列说法正确的是________．①在0到t 0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度； ②在0到t 0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度； ③在t 0到t 1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度； ④在t 0到t 1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度．【解析】 在[0，t 0]内甲、乙的平均速度为s 0t 0，①②错．在[t 0，t 1]上，v 甲＝s 2－s 0t 1－t 0，v乙＝s 1－s 0t 1－t 0. ∵s 2－s 0＞s 1－s 0，且t 1－t 0＞0， ∴v 甲＞v 乙，故③正确，④错误． 【答案】 ③ 二、解答题9．求函数f(x)＝x 2＋1x＋4在区间[1，2]上的平均变化率．【解】 f(x)＝x 2＋1x ＋4在区间[1，2]上的平均变化率为22＋12＋4－（12＋11＋4）2－1＝52.10．假设在生产8到30台机器的情况下，生产x 台机器的成本是c(x)＝x 3－6x 2＋15x(元)，而售出x 台的收入是r(x)＝x 3－3x 2＋12x(元)，则生产并售出10台至20台的过程中平均利润是多少元？【解】 依题意，生产并售出x 台所获得的利润是 L(x)＝r(x)－c(x)＝3x 2－3x(元)， ∴x 取值从10台至20台的平均利润为L （20）－L （10）20－10＝3×202－3×20－（3×102－3×10）10＝87(元)，故所求平均利润为87元．11．(2013·泰安高二检测)巍巍泰山为我国五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A 处到B 处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC 段曲线的陡峭程度吗？图1－1－5【解】 山路从A 到B 高度的平均变化率为 h AB ＝Δy Δx ＝10－050－0＝15， 山路从B 到C 高度的平均变化率为h BC ＝Δy Δx ＝15－1070－50＝14， ∴h BC >h AB ，∴山路从B 到C 比从A 到B 要陡峭得多．(教师用书独具)已知气球的体积为V(单位：L )与半径r(单位：dm )之间的函数关系是V(r)＝43πr 3.(1)求半径r 关于体积V 的函数r(V)；(2)比较体积V 从0 L 增加到1 L 和从1 L 增加到2 L 半径r 的平均变化率；哪段半径变化较快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？【自主解答】 ∵V＝43πr 3，∴r 3＝3V 4π，r ＝ 33V 4π，即r(V)＝ 33V4π.(2)函数r(V)在区间[0，1]上的平均变化率约为 r （1）－r （0）1－0＝33×14π－01≈0.62(dm /L )，函数r(V)在区间[1，2]上的平均变化率约为r （2）－r （1）2－1＝ 33×24π－ 33×14π≈0.16(dm /L )．显然体积V 从0 L 增加到1 L 时，半径变化快，这说明随着气球体积的增加，气球的半径增加得越来越慢．一块正方形的铁板在0 ℃时，边长为10 cm ，加热铁板会膨胀，当温度为t ℃时，边长变为10(1＋at)cm ，a 为常数，试求0～10 ℃内铁板面积S 的平均变化率．【解】 铁板面积S ＝102(1＋at)2， 在区间[0，10]上，S 的平均变化率为S （10）－S （0）10－0＝102（1＋10a ）2－10210＝200a ＋1 000a 2，即0～10 ℃内铁板面积S 的平均变化率为(200a ＋1 000a 2)cm 2/℃.1．1.2 瞬时变化率——导数(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能了解导数概念的实际背景；理解函数在某点处导数以及在某个区间的导函数的概念；会用定义求瞬时速度和函数在某点处的导数．2．过程与方法用函数的眼光来分析研究物理问题；经历由平均速度与瞬时速度关系类比由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，体会数形结合、特殊到一般、局部到整体的研究问题的方法．3．情感、态度与价值观通过导数概念的形成过程，体会导数的思想及其内涵；激发学生兴趣，在从物理到数学，再用数学解决物理问题的过程中感悟数学的价值．●重点难点重点：函数在某一点处的导数的概念及用导数概念求函数在一点处的导数．难点：从实例中归纳、概括函数瞬时变化率的定量分析过程，及函数在开区间内的导函数的理解．为了突出重点、突破难点，在导数概念的教学中，积极创设问题情境，从学生已有的认知入手，例如物理学中的瞬时速度、曲线割线的斜率等，采用相互讨论、探究规律和引导发现的教学方法，通过不断出现的一个个问题，一步步创设出使学生有兴趣探索知识的“情境”，通过反映导数思想和本质的实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，从而更好地理解导数概念．(教师用书独具)●教学建议新课标对“导数及其应用”内容的处理有较大的变化，它不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是按照“平均变化率——曲线在某一点处的切线——瞬时速度(加速度)——瞬时变化率——导数的概念”这样的顺序来安排，用“逼近”的方法来定义导数，这种概念建立的方式直观、形象、生动，又易于理解，突出导数概念的形成过程．因此，在教学中采用教师启发诱导与学生动手操作、自主探究、合作交流相结合的教学方式，引导学生动手操作、观察、分析、类比、抽象、概括，并借助excel及几何画板演示，调动学生参与课堂教学的主动性和积极性．●教学流程利用割线逼近切线的方法探究曲线上一点处的切线.⇒通过缩小时间间隔，由平均速度得出瞬时速度.⇒会求瞬时速度和瞬时加速度，完成例1与变式训练.⇒利用瞬时变化率得出导数的概念，会求函数在某点处的导数，完成例2及互动探究.⇒根据导数的几何意义，完成例3及其变式训练.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.1．曲线的切线与曲线只有一个公共点吗？曲线上在某一点处的切线的含义是什么？【提示】 切线与曲线不一定只有一个公共点，如图，曲线C 在点P 处的切线l 与曲线C 还有一个公共点Q.曲线上某一点处的切线，其含义是以该点为切点的切线．2．运动物体在某一时刻的瞬时加速度为0，那么该时刻物体是否一定停止了运动？ 【提示】 不是．瞬时加速度刻画的是速度在某一时刻的变化快慢，瞬时加速度为0，并不是速度为0.1．曲线上一点处的切线设Q 为曲线C 上不同于P 的一点，这时，直线PQ 称为曲线的割线，随着点Q 沿曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C.当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线l 称为曲线在点P 处的切线．2．瞬时速度、瞬时加速度(1)如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率S （t 0＋Δt ）－S （t 0）Δt 无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时速度，即位移对于时间的瞬时变化率．(2)如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率v （t 0＋Δt ）－v （t 0）Δt 无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时加速度，即速度对于时间的瞬时变化率．1.导数设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上有定义，x 0∈(a ，b)，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx无限趋近于一个常数A ，则称f(x)在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f(x)在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．2．导数的几何意义导数f′(x 0)的几何意义就是曲线y ＝f(x)在点P(x 0，f(x 0))处的切线的斜率，切线PT 的方程是y －f(x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．求瞬时速度、瞬时加速度已知质点M的运动速度与运动时间的关系为v＝3t2＋2(速度单位：cm/s，时间单位：s)，(1)当t＝2，Δt＝0.01时，求ΔvΔt；(2)求质点M在t＝2时的瞬时加速度．【思路探究】【自主解答】ΔvΔt＝v（t＋Δt）－v（t）Δt＝3（t＋Δt）2＋2－（3t2＋2）Δt＝6t＋3Δt.(1)当t＝2，Δt＝0.01时，ΔvΔt＝6×2＋3×0.01＝12.03(cm/s2)．(2)当Δt无限趋近于0时，6t＋3Δt无限趋近于6t，则质点M在t＝2时的瞬时加速度为12 cm/s2.1．求瞬时速度的关键在于正确表示“位移的增量与时间增量的比值”，求瞬时加速度的关键在于正确表示“速度的增量与时间增量的比值”，注意二者的区别．2．求瞬时加速度：(1)求平均加速度ΔvΔt；(2)令Δt →0，求出瞬时加速度．质点M 按规律s(t)＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s )．若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m /s ，求常数a 的值．【解】 ∵Δs ＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4a Δt ＋a(Δt)2， ∴ΔsΔt＝4a ＋a Δt. 当Δt →0时，ΔsΔt→4a. ∵在t ＝2时，瞬时速度为8 m /s ，∴4a ＝8，∴a ＝2.求函数y ＝f(x)＝x －1x在x ＝1处的导数．【思路探究】求Δy ＝f （1＋Δx ）－f （1）―→求Δy Δx→令Δx →0，求ΔyΔx→A 的值 【自主解答】 ∵Δy ＝(1＋Δx)－11＋Δx －(1－11)＝Δx ＋1－11＋Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx.∴ΔyΔx＝Δx ＋Δx 1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx ，当Δx →0时，ΔyΔx→1＋1＝2. ∴f ′(1)＝2.1．本题是利用定义求f′(1)，解题的关键是求出ΔyΔx并化简，利用定义求解的步骤为：①求函数的增量Δy ＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)；②求平均变化率ΔyΔx；③当Δx 无限趋近于0时，确定ΔyΔx的无限趋近值． 2．求f′(x 0)也可先求出导函数f′(x)，再将x ＝x 0代入，即求出f′(x)在点x ＝x 0处的函数值．在例题中，若条件改为f′(x 0)＝54，试求x 0的值．【解】 ∵Δy ＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)＝(x 0＋Δx)－1x 0＋Δx －(x 0－1x 0)＝Δx ＋Δxx 0（x 0＋Δx ）∴Δy Δx ＝1＋1x 0（x 0＋Δx ）当Δx →0时，Δy Δx →1＋1x 20. 又f′(x 0)＝54，则1＋1x 20＝54.∴x 0＝±2.已知抛物线y ＝2x 2，求抛物线在点(1，2)处的切线方程．【思路探究】 根据导数的几何意义求出切线的斜率，然后利用点斜式即可写出切线方程．【自主解答】 因为点(1，2)在抛物线上，所以抛物线在点(1，2)处的切线斜率为函数y ＝2x 2在x ＝1处的导数f′(1)．因为Δy Δx ＝f （1＋Δx ）－f （1）Δx ＝2（1＋Δx ）2－2×12Δx＝4＋2Δx ，当Δx 无限趋近于0时，4＋2Δx 无限趋近于4，所以f ′(1)＝4. 所以切线方程为y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0.1．本题是“给出曲线和切点(x 0，f(x 0))求切线方程”，此时切线的斜率就是f′(x 0)，则该点处的切线方程为y －f(x 0)＝f′(x 0)(x －x 0)．2．若求“过点(x 0，y 0)的切线方程”，此时所给的点有可能不是切点，切线的斜率还用f′(x 0)则可能会出错．此时应先设出切点坐标P(x′0，y ′0)，由已知条件列出切点横坐标的方程，求x′0，然后再求解．曲线y ＝x 3＋11在点P(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________．【解析】 ∵Δy Δx ＝（x 0＋Δx ）3＋11－x 30－11Δx＝3x 0Δx ＋3x 20＋(Δx)2，∴当x 0＝1，Δx →0时，k ＝f′(1)＝3.∴曲线y ＝x 3＋11在点P(1，12)处的切线为y ＝3x ＋9. ∴当x ＝0时，y ＝9.因此所求切线与y 轴交点的纵坐标为9. 【答案】 9对导数定义理解不透彻致误已知f′(1)＝－2，则当Δx →0时，f （1＋2Δx ）－f （1）Δx→________．【错解】 当Δx →0时，f （1＋2Δx ）－f （1）Δx →－2.【答案】 －2【错因分析】 产生错解的原因是对导数定义的理解不透彻，一味地套用公式．本题分子中自变量的增量是2Δx ，即(1＋2Δx)－1＝2Δx ，而错解中分母中的增量为Δx ，二者不是等量的．【防范措施】 在导数定义中，增量Δx 的形式是多种多样的，但无论如何变化，其实质是分子中的自变量的增量与分母中的增量必须保持一致．【正解】f （1＋2Δx ）－f （1）Δx ＝2·f （1＋2Δx ）－f （1）2Δx当Δx →0时，f （1＋2Δx ）－f （1）2Δx →f ′(1)，∴2·f （1＋2Δx ）－f （1）2Δx →2f ′(1)＝2×(－2)＝－4. 【答案】 －41．不管是求切线的斜率、瞬时速度和瞬时加速度，还是求实际问题中的瞬时变化率，它们的解题步骤都是一样的——(1)计算Δy ，(2)求Δy Δx ，(3)看Δx 无限趋近于0时，Δy Δx无限趋近于哪个常数．2．准确理解导数的概念，正确求y ＝f(x)在点x ＝x 0处的导数注意两点：(1)Δy ＝f(x ＋Δx)－f(x)不能误认为Δy ＝f(Δx)；(2)求解时不给出Δx 的具体值，否则求出的是平均变化率，而不是瞬时变化率(导数)．3．求过某点曲线的切线方程的类型及求法．(1)若已知点(x 0，y 0)为切点，则先求出函数y ＝f(x)在点x 0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y －y 0＝f′(x 0)(x －x 0)．(2)若题中所给的点(x 0，y 0)不是切点，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．因此求曲线的切线方程一定要明确切点的位置，分清楚是“曲线在某点处的切线”还是“过某点的曲线切线”．1．如果质点A 按规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为________．【解析】 Δs Δt ＝3（3＋Δt ）2－3×32Δt＝18＋3Δt ，当Δt →0时，ΔsΔt→18＋3×0＝18. ∴质点A 在t ＝3时的瞬时速度为18. 【答案】 182．已知f(x)＝2x ＋5，则f(x)在x ＝2处的导数为________．【解析】 Δy ＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)＋5－(2×2＋5)＝2Δx ， ∴ΔyΔx＝2，∴f ′(2)＝2. 【答案】 23．抛物线y ＝14x 2在点Q(2，1)处的切线方程为______．【解析】 Δy Δx ＝14（2＋Δx ）2－14×22Δx ＝1＋14Δx.当Δx →0时，ΔyΔx→1，即f′(2)＝1， 由导数的几何意义，点Q 处切线斜率k ＝f′(2)＝1. ∴切线方程为y －1＝1(x －2)即y ＝x －1. 【答案】 y ＝x －14．求函数y ＝x 在x ＝1处的导数． 【解】 法一 ∵Δy ＝1＋Δx －1，∴Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， 当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx ＝11＋Δx ＋1无限趋近于12， ∴函数y ＝x 在x ＝1处的导数为12.法二Δy Δx ＝x ＋Δx －x Δx ＝1x ＋Δx ＋x， 当Δx →0时，Δy Δx →12x ，所以y′＝12x. 当x ＝1时，y ′＝12.∴函数y ＝x 在x ＝1处的导数为12.一、填空题1．设函数f(x)在x ＝x 0处可导，当h 无限趋近于0时，对于f （x 0＋h ）－f （x 0）h 的值，以下说法中正确的是________．①与x 0，h 都有关；②仅与x 0有关而与h 无关； ③仅与h 有关而与x 0无关；④与x 0，h 均无关．【解析】 导数是一个局部概念，它只与函数y ＝f(x)在x ＝x 0处及其附近的函数值有关，与h 无关．【答案】 ②2．(2013·徐州高二检测)函数f(x)＝x 2在x ＝3处的导数等于________．【解析】 Δy Δx ＝（3＋Δx ）2－32Δx＝6＋Δx ，令Δx →0，得f′(3)＝6. 【答案】 63．(2013·合肥高二检测)函数y ＝f(x)的图象在点P 处的切线方程是y ＝－2x ＋9，若P 点的横坐标为4，则f(4)＋f′(4)＝________．【解析】 由导数的几何意义，f ′(4)＝－2. 又f(4)＝－2×4＋9＝1. 故f(4)＋f′(4)＝1－2＝－1. 【答案】 －14．已知物体的运动方程为s ＝－12t 2＋8t(t 是时间，s 是位移)，则物体在t ＝2时的速度为________．【解析】 Δs ＝－12(2＋Δt)2＋8(2＋Δt)－(8×2－12×22)＝6Δt －12(Δt)2，则Δs Δt ＝6－12Δt ， 当Δt →0时，ΔsΔt→6. 【答案】 65．曲线f(x)＝x 3在x ＝0处的切线方程为________．【解析】 Δy Δx ＝f （0＋Δx ）－f （0）Δx ＝（Δx ）3－0Δx＝(Δx)2.当Δx →0时，ΔyΔx→0. ∴由导数的几何意义，切线的斜率k ＝f′(0)＝0. 因此所求切线方程为y ＝0. 【答案】 y ＝06．若点(0，1)在曲线f(x)＝x 2＋ax ＋b 上，且f′(0)＝1，则a ＋b ＝________． 【解析】 ∵f(0)＝1，∴b ＝1.又Δy Δx ＝f （0＋Δx ）2－f （0）Δx＝Δx ＋a. ∴当Δx →0时，ΔyΔx→a ，则f′(0)＝a ＝1. 所以a ＋b ＝1＋1＝2. 【答案】 27．高台跳水运动员在t 秒时距水面高度h(t)＝－4.9t 2＋6.5t ＋10(单位：米)，则该运动员的初速度为________米/秒．【解析】 Δh Δt ＝－4.9（Δt ）2＋6.5·（Δt ）＋10－10Δt＝6.5－4.9Δt∵当Δt 无限趋近于0时，－4.9Δt ＋6.5无限趋近于6.5， ∴该运动员的初速度为6.5米/秒． 【答案】 6.58．(2013·泰州高二检测)已知函数f(x)在区间[0，3]上的图象如图1－1－6所示，记k 1＝f′(1)，k 2＝f′(2)，k 3＝f(2)－f(1)，则k 1，k 2，k 3之间的大小关系为________．图1－1－6【解析】 k 1表示曲线在x ＝1处的切线的斜率，k 2表示曲线在x ＝2处的切线的斜率， k 3表示两点(1，f(1))，(2，f(2))连线的斜率， 由图可知：k 1＞k 3＞k 2. 【答案】 k 1＞k 3＞k 2 二、解答题9．已知函数f(x)＝2x 2＋4x ，试求f′(3)． 【解】 Δy ＝f(3＋Δx)－f(3)＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－30＝2(Δx)2＋16Δx ， ∴ΔyΔx＝2Δx ＋16， 当Δx →0时，ΔyΔx→16. 因此f′(3)＝16.10．子弹在枪筒中的运动可以看作匀加速直线运动，运动方程为s ＝12at 2，如果它的加速度是a ＝5×105m /s 2，子弹在枪筒中的运动时间为1.6×10－3s ，求子弹射出枪口时的瞬时速度． 【解】 运动方程为s ＝12at 2.因为Δs ＝12a(t 0＋Δt)2－12at 20＝at 0(Δt)＋12a(Δt)2，所以Δs Δt ＝at 0＋12a(Δt)．所以当Δt →0时，ΔsΔt→at 0. 由题意知，a ＝5×105m /s 2，t 0＝1.6×10－3s ，所以at 0＝8×102＝800(m /s )， 即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m /s . 11．已知曲线y ＝1t －x 上两点P(2，－1)，Q(－1，12)． 求：(1)曲线在点P ，Q 处的切线的斜率； (2)曲线在点P ，Q 处的切线方程． 【解】 将P(2，－1)代入y ＝1t －x ，得t ＝1，∴y ＝11－x ，设f(x)＝11－x， ∵f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx ＝11－（x ＋Δx ）－11－x Δx＝Δx[1－（x ＋Δx ）]（1－x ）Δx＝1（1－x －Δx ）（1－x ），∴当Δx →0时，1（1－x －Δx ）（1－x ）→1（1－x ）2.∴f ′(x)＝1（1－x ）2.(1)由导数的几何意义，知曲线在点P 处的切线斜率f′(2)＝1. 曲线在点Q 处的切线斜率f′(－1)＝14.(2)曲线在点P 处的切线方程为y －(－1)＝x －2，即x －y －3＝0，曲线在点Q 处的切线方程为y －12＝14[x －(－1)]，即x －4y ＋3＝0.(教师用书独具)已知曲线y ＝2x ＋1，问曲线上哪一点处的切线与直线y ＝－2x ＋3垂直，并求切线方程．【自主解答】 设切点坐标为(x 0，y 0)，Δy Δx ＝2x 0＋Δx ＋1－（2x 0＋1）Δx＝2x 0＋Δx －2x 0Δx ＝2[（x 0＋Δx ）2－（x 0）2]Δx （x 0＋Δx ＋x 0）＝2x 0＋Δx ＋x 0.当Δx →0时，2x 0＋Δx ＋x 0→2x 0＋x 0＝1x 0， 又直线y ＝－2x ＋3的斜率为－2， 所以所求切线的斜率为12，故1x 0＝12.所以x 0＝4，y 0＝5，所以切点坐标为(4，5)， 切线方程为y －5＝12(x －4)，即x －2y ＋6＝0.已知曲线y ＝x 2＋1，问是否存在实数a ，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解】 设切点为P(t ，t 2＋1)．∵Δy Δx ＝（t ＋Δx ）2＋1－（t 2＋1）Δx＝2t ＋Δx ， 当Δx →0时，ΔyΔx→2t. 由导数的几何意义，在点P(t ，t 2＋1)处切线的斜率k ＝f′(t)＝2t ， ∴切线方程为y －(t 2＋1)＝2t(x －t)， 将(1，a)代入，得a －(t 2＋1)＝2t(1－t)， 即t 2－2t ＋(a －1)＝0， 因为切线有两条，所以Δ＝(－2)2－4(a －1)＞0， 解得a ＜2.故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是(－∞，2)．1．2导数的运算1．2.1 常见函数的导数(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能能够用导数的定义求几个常用函数的导数，会利用它们解决简单的问题．2．过程与方法使学生掌握由定义求导数的三个步骤，推导四种常见函数的导数公式．3．情感、态度与价值观通过本节的学习进一步体会导数与物理知识之间的联系，提高数学的应用意识，注意培养学生归纳类比的能力．●重点难点重点：利用导数公式，求简单函数的导数．难点：对导数公式的理解与记忆．在初等函数的求导公式中，对数函数与指数函数的求导公式比较难记忆，要区分公式的结构特征，找出他们之间的差异去记忆．(教师用书独具)●教学建议导数的定义不仅阐明了导数概念的实质，也给出了利用定义求导数的方法，但是，如果对每一个函数都直接按定义去求它的导数，往往是极为复杂和困难的，甚至是不可能的，因此，我们希望找到一些简单函数的导数(作为我们的基本公式)，借助它们来简化导数的计算过程．因此教材直接给出了基本初等函数的导数公式，使得用定义求导数比较麻烦、计算量很大的问题得以解决，为以后导数的研究带来了方便，同时也将所学的导数和实际应用问题结合起来，使得导数的优越性发挥得淋漓尽致．●教学流程创设情境，回忆导数的概念与导数的求法.⇒利用导数的定义求y＝x n(n＝1，2，3，。
1.1.1变化率问题与导数概念
法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议的速度 统治了赛场。这名21岁的中国人跑的几乎比炮弹还 快，赛道上显示的12.94秒的成绩已经打破了12.95 奥运会记录,但经过验证他是以12.91秒平了世界纪 录，他的平均速度达到8.52m/s。
1.1.1 变化率问题
问题1
吹气球
的值为-13.1 .
探1.运动员在某一时刻t0的瞬时速度 究 怎样表示？ ？
瞬时速度，即是时间增量趋近于0时某一时刻的速度， 由极限的观点可知：当t 0, 时，
h t0Байду номын сангаас t h t0 瞬时速度为： lim t 0 t
2.函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率怎样表示？
观 察 ？
当△t趋近于0时，平均 速度有什么样的变化趋 势？
我们发现：当△t趋近于0时，即无论t从 小于2的一边，还是从大于2的一边趋近 v 于2时，平均速度 都趋近于一个确定 的值-13.1。
从物理的角度看： 时间间隔| △t |无限变小时，平均速度 v 就无限趋近于t=2时的瞬时速度。 所以：运动员在t=2时的瞬时速度是-13.1m/s 为了表述方便，我们用：
令△x = x2 – x1 , △ y = f (x2) – f (x1) ,则
y f (x 2 ) f (x1 ) f (x 1 x) f (x 1 ) x x x 2 x1
问题: 平均变化率的几何意义是什么?
y f (x 2 ) f (x 1 ) x x 2 x1
y 及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy), 则 =( x
)
A、3
B、3Δx-(Δx)2 D、3-Δx
C 、 3-(Δx)2
1.1.1和1.1.2变化率问题、导数的概念课件人教新课标1
【解析】(1)自变量x从1变到2时，函数f(x)=2x+1的函数值的
增量为Δy=5-3=2，故增量之比是2.
答案：2
(2)函数f(x)=x2在x=1处的瞬时变化率是 lim f (1 x) f (1)
x0
x
lim (1 x)2 12 lim (2 x) 2.
x0
x
x0
答案：2
(3)函数y=f(x)= 1 在x=-1处的导数可表示为f′(-1)或
【微思考】
(1)函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率的大小与曲线 y=f(x)在区间[x1，x2]上的“峻峭”程度有什么关系？ 提示：平均变化率的绝对值越大，曲线y=f(x)在区间[x1，x2]
上越“峻峭”，反之亦然. (2)平均变化率可以是零吗？ 举例说明. 提示：可以是零，如函数f(x)=a(a为常数).
Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx-0|可以小于给定的任
意小的正数，且始终Δx≠0.
3.对导数概念的两点说明
(若1)当xy 的Δ极x≠限0不时存，在比，值则xyf的 (x极)在限点存x在0处，不则可f导(x或)在无点导x数0处.可导；
(2)在点x=x0处的导数的定义可变形为f′(x0)=
lim f (x0 x) f (x0 )
取定值，x1取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的.
特别地，当函数f(x)为常数函数时，Δy=0，则 y =0.
x
2.对平均变化率的三点说明 (1)y=f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率是曲线y=f(x)在 区间[x1，x2]上峻峭程度的“数量化”，曲线峻峭程度是平 均变化率的“视觉化”． (2)平均变化率的几何意义就是函数y=f(x)图象上两点P1(x1，
数学高中变化率教案
数学高中变化率教案
教学目标：
1. 理解变化率的概念。
2. 掌握求导数的方法。
3. 能够运用导数分析函数的变化率。
教学重点：
1. 变化率的定义和意义。
2. 求导数的方法和思路。
3. 利用导数分析函数的变化。
教学难点：
1. 求导数过程中的细节和技巧。
2. 应用导数解决实际问题。
教学准备：
1. 彩色板书笔和黑板。
2. 教学PPT。
3. 示例题目和练习题。
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师简要介绍变化率的概念，并举几个生活中的实例引导学生思考。
二、理论学习（15分钟）
1. 利用PPT介绍导数的概念和性质。
2. 分析导数的计算方法和求导的基本规则。
3. 通过示例解析导数的实际应用。
三、练习与讨论（20分钟）
1. 教师布置几道导数计算的练习题，让学生尝试解答。
2. 学生互相讨论和分享解题思路，澄清疑惑。
四、小结与展示（5分钟）
教师总结本节课学习的重点内容，强调变化率的重要性，并展示几个导数应用的例题。
五、课堂作业（5分钟）
布置相关的作业题目，巩固学生对导数的理解和运用能力。
教学反思：
本节课注重引导学生理解变化率的概念，并通过实例和练习加深对导数的认识。
在教学过程中，要注重培养学生的分析和解决问题的能力，引导他们应用导数解决实际问题，提升数学思维能力。
人教版数学高二变化率问题 精品教学设计
本章内容的兴趣。
2.形成概念问题1：甲用5年时间挣到10万元, 乙用5个月时间挣到2万元, 如何比较和评价甲、乙两人的经营成果?设计意图：使学生了解生活中的变化率问题，为归纳函数平均变化率提供更多的实际背景。
师生活动：稍加点拨，继续引导学生举出生活中的变化率问题。
问题2：大家可能都有过吹气球的回忆。
在吹气球的过程中,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?设计意图：通过熟悉的生活体验，提炼出数学模型，从而为归纳函数平均变化率概念提供具体背景。
师生活动：由球的体积公式推导半径关于体积的函数解析式，然后通过计算，用数据来回答问题，解释上述现象。
思考：当空气容量从增加到时,气球的平均膨胀率是多少?设计意图：把问题2中的具体数据运算提升到一般的字母表示，体现从特殊到一般的数学思想。
为归纳函数平均变化率概念作铺垫。
师生活动：教师播放多媒体，学生可以直接回答问题，教师板书其正确答案。
问题3：在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度(单位:m)与起跳后的时间(单位:s) 存在函数关系，如果用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态, 那么:（1）:（1）在这段时间里,运动员的平均速度为多少？（2）在在这段时间里, 运动员的平均速度为多少？设计意图：高台跳水展示了生活中最常见的一种变化率——运动速度，而运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这样可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰。
通过计算为归纳函数平均变化率概念提供又一重要背景。
师生活动：教师播放多媒体，学生通过计算回答问题。
对第（2）小题的答案说明其物理意义。
探究：计算运动员在在6549t≤≤这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:(1) 运动员在这段时间里是静止的吗?(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?设计意图：通过计算得出平均速度只能粗略地描述运动状态，从而为瞬时速度的提出埋下伏笔即为导数的概念作了铺垫，利用图像解释的过程体现了数形结合的数学思想方法。
1-1 3.1变化率与导数学案
§3.1 变化率与导数学案§3.1.1 变化率问题学习目标：1.理解平均变化率的概念;2.了解平均变化率的几何意义;3.会求函数在某点处附近的平均变化率.教学过程：一、学习背景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:1、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;2、求曲线的切线;3、求已知函数的最大值与最小值;4、求长度、面积、体积和重心等.导数是微积分的核心概念之一，它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具.导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.二、新课学习(一)问题提出问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?分析： (1)当V从0增加到1时,气球半径增加了Array气球的平均膨胀率为(2)当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为可以看出：思考: 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位:m )与起跳后的时间t (单位:s )存在函数关系105.69.4)(2++-=t t t h .如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态? 思考计算: 5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v探究: 计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度,并思考以下问题:(1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？(二)平均变化率概念 1.上述问题中的变化率可用式子1212)()(x x x f x f --表示,称为函数)(x f 从1x 到2x 的平均变化率.2.若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆(这里x ∆看作是对于1x 的一个“增量”可用x x ∆+1代替2x ,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆) 则平均变化率为=∆∆=∆∆x fx y xx f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 思考: 观察函数)(x f 的图象平均变化率=∆∆x f 1212)()(x x x f x f --表示什么?三、典例分析例 1 已知函数x x x f +-=2)(的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-，则=∆∆xy. 解:例2 求2x y =在0x x =附近的平均变化率. 解:四、课堂练习1.质点运动规律为32+=t s ,则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 .2.物体按照43)(2++=t t t s 的规律作直线运动,求在s 4附近的平均变化率.3.过曲线3)(x x f y ==上两点)1,1(P 和)1,1(y x Q ∆+∆+作曲线的割线, 求出当1.0=∆x 时割线的斜率.五、课堂反馈1． 设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，函数的改变量y ∆为（ ） A ()x x f ∆+0 B ()x x f ∆+0 C ()x x f ∆⋅0 D ()()00x f x x f -∆+ 2． 一质点运动的方程为221t s -=，则在一段时间[]2,1内的平均速度为（ ）A －4B －8C 6D －63． 将半径为R 的球加热，若球的半径增加R ∆，则球的表面积增加S ∆等于（ ） A R R ∆π8 B ()248R R R ∆+∆ππ C ()244R R R ∆+∆ππ D ()24R ∆π4． 在曲线12+=x y 的图象上取一点（1,2）及附近一点()y x ∆+∆+2,1，则xy∆∆为（ ） A 21+∆+∆x x B 21-∆-∆x x C 2+∆x D xx ∆-∆+12 5．函数()x f y =的平均变化率的物理意义是指把()x f y =看成物体运动方程时，在区间[]21,t t 内的6．函数()x f y =的平均变化率的几何意义是指函数()x f y =图象上两点()()111,x f x P 、()()222,x f x P 连线的7．函数8232--=x x y 在31=x 处有增量5.0=∆x ，则()x f 在1x 到x x ∆+1上的平均变化率是 8．正弦函数x y sin =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,0π和⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ的平均变化率哪一个较大？ 9．在受到制动后的t 秒内一个飞轮上一点P 旋转过的角度（单位：孤度）由函数()23.04t t t -=ϕ（单位：秒）给出（1）求t ＝2秒时，P 点转过的角度（2）求在t t ∆+≤≤22时间段内P 点转过的平均角速度，其中①1=∆t ，②1.0=∆t ③01.0=∆t§3.1.2 导数的概念学习目标：1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;3.会求函数在某点的导数. 学习过程： 一、创设情景 (一)平均变化率： (二)探究探究: 计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度,(1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程:二、学习新知 1.瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢？比如,2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况:思考: 当t ∆趋近于0时,平均速度v 有什么样的变化趋势？ 结论: 小结:2.导数的概念从函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是:0000()()limlim x x f x x f x fxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数,记作'0()f x 或0'|x x y =即0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆说明: (1)导数即为函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率; (2)0x x x ∆=-,当0x ∆→时,0x x →,所以000()()()lim x f x f x f x x x ∆→-'=-.三、典例分析例1 (1)求函数23x y =在1=x 处的导数.(2)求函数x x x f +-=2)(在1x =-附近的平均变化率,并求出该点处的导数. 分析: 先求)()(00x f x x f y f -∆+=∆=∆,再求xy ∆∆,最后求x y x ∆∆→∆0lim .解: (1)(2)例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第xh 时,原油的温度(单位:C)为2()715(08)f x x x x =-+≤≤,计算第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义. 解:注: 一般地,'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况.四、课堂练习1.质点运动规律为32+=t s ,求质点在3t =的瞬时速度为.2.求曲线3)(x x f y ==在1x =时的导数.3.例2中,计算第3h 时和第5h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.五、课堂反馈1．自变量由0x 变到1x 时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（ ）A 在区间],[10x x 上的平均变化率B 在0x 处的变化率C 在1x 处的变化率D 在区间],[10x x 上的导数2．下列各式中正确的是（ ）A xx f x x f y x x x ∆-∆-=→∆=)()(|000'limB xx f x x f x f x ∆∆-∆-=→∆)()()(000'lim C xx f x x f y x x x ∆+∆+=→∆=)()(|000'limD xx x f x f x f x ∆∆--=→∆)()()(0000'lim 3．设4)(+=ax x f ，若2)1('=f ，则a 的值（ ）A 2B . －2C 3D －34．任一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是23t t s -=，则物体的初速度是（ ） A 0B 3C －2D t 23-5．函数xx y 1+=， 在1=x 处的导数是6．13-=x y ，当2=x 时 ，=∆∆→∆xyx lim7．设圆的面积为A ，半径为r ，求面积A 关于半径r 的变化率。
高中数学 第二章 变化率与导数及导数的应用 计算导数教案 北师大版选修1-1
计算导数教学过程：一、复习1、导数的定义；2、导数的几何意义；3、导函数的定义；4、求函数的导数的流程图。
（1）求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆（2）求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()( （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ∆∆→∆0lim 本节课我们将学习常见函数的导数。
首先我们来求下面几个函数的导数。
（1）、y=x （2）、y=x 2 （3）、y=x 3问题1：1-=x y ，2-=x y ，3-=x y 呢？ 问题2：从对上面几个幂函数求导，我们能发现有什么规律吗？二、新授1、基本初等函数的求导公式：⑴ ()kx b k '+= (k,b 为常数) ⑵ 0)(='C (C 为常数)⑶ ()1x '= ⑷ 2()2x x '=⑸ 32()3x x '= ⑹ 211()x x '=-⑺'=由⑶~⑹你能发现什么规律? ⑻ 1()x xααα-'= （α为常数） ⑼ ()ln (01)x x a a a a a '=>≠， ⑽ a a 11(log x)log e (01)x xlnaa a '==>≠，且 ⑾ x x e )(e =' ⑿ x 1)(lnx =' ⒀ cosx )(sinx =' ⒁ sinx )(cosx －=' 从上面这一组公式来看，我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。
例1、求下列函数导数。
（1）5-=x y （2）x y 4= （3）x x x y =（4）x y 3log = （5）y=sin(2π+x) (6) y=sin 3π （7）y=cos(2π－x) （8）y=(1)f '例2：已知点P 在函数y=cosx 上，（0≤x≤2π），在P 处的切线斜率大于0，求点P 的横坐标的取值范围。
1.1 变化率与导数
栏目 导引
第一章
导数及其应用
2．已知函数y＝3x－x2在x＝2处的增量为Δx＝0.1， 则Δy为( A ) A．－0.11 C．3.80
B．1.1
D．0.29
3 ．如果某物体的运动方程是 s ＝ 2(1 － t)2 ，则在 t ＝ 1.2 秒时的
瞬时速度是( D ) A．4
C．4.8
B．－4 D．0.8
平均变化率 ___________________ 趋近的值．
(3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢．
栏目 导引
第一章
导数及其应用
3．导数的概念 函数 y＝ f(x)在 x＝ x0 处的导数 (1)定义式： f′(x0 )＝ y′ |x＝ x0
Δy f x0＋ Δx－f x0 lim ＝ lim . Δ x → 0 Δx Δ x → 0 ＝ _______________ Δx
栏目 导引
第一章
导数及其应用
对倒数定义理解不透致误 f x0＋ 2Δx－f x0 已知 f(x)在 x＝ x0 处的导数为 4，则Δ lim x→ 0 Δx 8 ＝ ________.
f x0＋ 2Δx－f x0 [解析] Δ lim x→ 0 Δx f x0＋ 2Δx－f x0 ＝Δ lim × 2 x→ 0 2Δx f x0＋ 2Δx－f x0 ＝ 2lim Δx → 0 2Δx ＝ 2f′(x0 )＝ 2× 4＝ 8.
栏目 导引
第一章
导数及其应用
2．瞬时变化率 函数 y＝ f(x)在 x＝ x0 处的瞬时变化率
f x0＋ Δx－f x0 Δy lim Δ x→ 0 (1)定义式： lim ＝ ______________________. Δx Δ x → 0 Δx
1.1 变化率与导数 2-2
f (x0 Δx) f ( x0 ) f ( x0 ) lim . x 0 x
Δx Δy 4·Δx＋2· ∴ ＝ ＝4＋2·Δx， Δx Δx
2
即g(x)在1到1＋Δx之间的平均变化率为 4＋2Δx
[题后感悟]
(1)求函数 f(x)在 x1 到 x2 的平均变化率的步骤：
1．函数 f(x)＝2x －1 在区间(1,1＋Δx)上的 Δy 平均变化率Δx等于( A．4 C．4＋2(Δx)
t 0
9.8t 0 6.5
f (x0 Δx) f ( x0 ) y lim lim 2、 x 0 x x0 x
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
f (x0 Δx) f ( x0 ) y lim lim x 0 x x 0 x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ( x0 )
2、运动员在1s到2s时段内的平均速度
为多少？ h2 h1 v 8.2 m / s . 21 65 3、如何计算运动员在0s到 49 s时段内的平均速 度？运动员在该时段内是静止的吗？你认为用平 均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
v= 0
，运动员在该时段内是运动的。
表示曲线上两点连线(割线)的斜率
• 在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在 这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描 述运动状态。我们把物体在某一时刻的速 度称为瞬时速度.
又如何求 瞬时速度呢?
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
h(t ) 4.9t 6.5t 10
1.1变化率与导数(4课时)
作业：
P10习题1.1A组：2，3，4.
1.1
1.1.3
变化率与导数
导数的几何意义
问题提出
1.函数f(x)在x＝x0处的导数的含义是 什么？
Vy f (x 0 + Vx ) - f (x 0 ) f¢ (x 0 ) = lim = lim Vx 0 Vx Vx 0 Vx
2.求函数f(x)在x＝x0处的导数有哪 几个基本步骤？
若给定函数f(x)和x0的值，那么f′(x0) 是变量还是定值？
f¢ (x 0 ) = lim
思考3：如何求函数f(x)＝x2在x＝1处的 导数？一般地，求函数f(x)在x＝x0处的 导数有哪几个基本步骤？ 第一步，求函数值增量：
Vy Vx ® 0 Vx
△y＝f(x＋△x)－f(x0)； 第二步，求平均变化率：
思考2：如果将半径r表示为体积V的函数， 则该函数的解析式是什么？
r (V ) =
3
3V 4p
思考3：当空气容量V从0增加到1时，气 球的半径增加了多少？可以用哪个数据 来刻画气球的平均膨胀率？
r(1)－r(0)≈0.62(dm)，
r (1) - r (0) » 0.62(dm / L ) 1- 0
探究（一）：气球的膨胀率 【背景材料】在吹气球的过程中，随着 气球内空气容量的增加，气球的半径增 加的速度越来越慢.设气球的体积为V （单位：L），某一时刻的半径为r（单 位：dm）. 思考1：气球的体积V与半径r的函数关系 是什么？ 4 3 V (r ) = p r 3
4 3 pr 3
V (r ) =
3.函数的平均变化率与自变量的初始 值及其增量有关，它能刻画函数在某个 区间内函数值的平均取值情况，但不能 反映函数在区间内各点的函数值.