大学生数学竞赛模拟试卷答案

黄山学院首届大学生（非数学专业）数学竞赛试卷答案

一、填空题（毎小题4分，共20分）

1．设函数()

1

1

arccos1

x

f x b

x

a x x

?<-

??

==-

?

?+>-

??

在1

x=-处连续，则

a=π

-；b=

０；

2．设(0)

f

'存在，且(0)0

f=，则2

(1cos)

lim

tan5

x

f x

x

→

-=()

1

10

f'；

3设2,

==

a b2

?=

a b，则?=

a b2；

4．设)

,2,1

(

=

>n

a

n

，且数列}

{

n

a单调，若级数∑

∞

=

+

1

1

n

n

n

a

a，收敛，级数∑

∞

=1

n

n

a

是收敛还是发散？收敛；

5．由曲面z=z=及z=,其上任一点

的密度与此点到Oz轴的距离之平方成正比(比例系数为k)，则该立体质量M等于

31

12

k

π．

二、选择题（每小题4分，共20分）

6．函数

1

()sin

f x x

x

=，在0

x=处（A）

（A）极限存在；（B）连续；（C）可导；（D）可微．

7．若()x

f、()

g x均可导，且()()

f x

g x

<，则有(B)成立

（A）()()

f x

g x

''

<；（B）

()()

00

00

00

lim lim

x x

x x

x x x x

f t dt

g t dt

x x x x

→→

<

--

??

；

（C）()()

f x

g x

->-；()()

00

x x

x x

f t dt

g t dt

<

??．

8．设()01

f=，()23

f=，()22

f'=，则()

2

xf x dx

''=

?（C）

（A）0；（B）1；（C）2；（D）1

-．

9．设(,)

f x y连续，且(,)(,),

D

f x y xy f u v dudv

=+??其中D是由0

y=

2,1

y x x

==所围区域，则(,)

f x y等于（D）。

（A）xy；（B）2xy；（C）1

xy+；（D）

1

8

xy+．

10．设函数(),(),()

p x q x f x都连续，且

11223

()()()

y c y x c y x y x

=++是非齐次线性微

分方程()()()

y p x y q x y f x

'''

++=的通解，则（B ）．

（A）

123

y y y

+-是方程的解；（B）

123

,,

y y y线性无关；

（C）

123

,,

y y y可能线性无关，也可能线性相关；（D）

123

,,

y y y线性相关．

三、解答题（60分）

11．求极限

23

13521

lim()

2222n

n

n

→∞

-

++++

；

解：考察级数∑∞

=

-

1

2

1

2

k

k

k

，由正项级数的比值法，有

1

2

1

2

4

1

2

lim

1

2

2

2

1

2

lim

1

<

=

-

+

=

-

?

+

∞

→

+

∞

→n

n

n

n

n

n

n

n

则级数 ∑

∞

=-1

2

12k k

k 收敛，它的和等于所求的极限，……（2分）

记

∑

∞

=-=

12

12k k

k A ，则 ∑

∑

∞

=∞

=-+=

-=

1

1

2

122

122k k

k k k k A ，两式相减得……（5分）

3212

1

12

1

12

122

121

1

1

1

1

=+=+

=+

=--

+=

∑∑∑

∑

∞

=∞

=-∞

=∞

=-k k

k k k k k k

k k A ……（9分）

故3)2

122

52

32

1(

lim 3

2

=-+

++

+

∞

→n

n n ……（10分）

12．设()f x 在[]0,1上有二阶导数，且()()()()10100f f f f ''====，证明：存在(),a b ξ∈使得()()f f ξξ''=．．

证明：令()()()()x

F x f x f x e '=-……（3分）

则()F x 在[]0,1上可导，且()()100F F ==，根据罗尔定理，存在()0,1ξ∈，使()0F ξ'=，即

()()()0f f e ξ

ξξ''-= ……（8分）

由于0e ξ

≠，故有

()()f f ξξ''= ……（10分）

13．设),(y x z z =由方程0),(=+

+

x

z y y

z x F 给出，且z F ,都可微，证明：

xy z y

z y

x

z x

-=??+??．

证明：由隐函数存在定理，得

,y x z

z

F F z z x

F y

F ??=-=-

?? ……（2分）

令,z z u x v y y x

=+

=+

，则 ……（4分）

z z x

y x

y

??+=??y x y

x z

z

z

F xF yF F x y

F F F +--=-

2

2

()()

11u v v u u v

z z x F F y F F x

y

F F y x -

+-=-

+

()()

u v u v u v

xy xF yF z xF yF z xy xF yF +-+=-

=-+ ……（10分）

14．求点()0000,,M x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的距离．

解：由题意，应该求函数(

)

(

)()2

2

2

2

000d x x y y

z z =

-+-+

-在条件

0A x B y C z D +++=下的极值。……（2分）

设

()()()()()2

2

2

000,,F x y z x x y y z z Ax By Cz D λ=-+-+-++++ ……（4分）

求偏导数得

()()()0002020

20

0F

x x A x F y y B y

F z z C z

F A x B y C z D λλλλ??=-+=???

??=-+=????

??=-+=?????=+++=???

……（6分） 解方程组得

012

x x A λ=-

；012

y y B λ=-

；012

z z C λ=-

；()

0002

2

2

2Ax By Cz D A B C

λ+++=

++

所以代入()()()2

2

2

2

000d x x y y z z =-+-+-中可得

d =

……（8分）

当,,x y z 中有任意一个趋于无穷时，d →∞。因此，在区域内d 必取最小值。于是，

点()0000,,M x y z

到平面的最短距离为d =

。 ……（10分） 15．设 AB 为连接)1,1(),0,0(B A 的某一曲线弧，且 AB 与直线段AB 所包围的图形面积为

,

2

3AB 与

AB 除B A ,外无其它交点， AB 自身也不相交，计算曲线积分

()() sin cos x

x

AB

e

y m y dx e y m dy -+-?．

解：若弧 AB 在AB 的上方，可设弧 AB 与直线段AB 所包围的图形为D ，因为

()sin x

P x e y my =-，()cos x

Q x e y m =-

在D 上具有一阶连续的偏导数 由于……（2分）

()() s i n c o s x

x

BA

AB

ABA

e

y m y dx e

y m dy -+-=

-

??

?

……（3分）

一方面，由格林公式

()() sin cos x

x

ABA

e

y m y dx e y m dy -+-?

()cos cos x

x

D

e y e y m dxdy =--+??

32

D

m dxdy m =-=

?? ……（5分）

另一方面，令,x t y t ==，则

()()sin cos x

x

BA

e

y m y dx e y m dy -+-?

()1

sin cos t

t

e t mt e t m dt =--+-?

3sin 12

m e =

-。 ……（7分）

于是

()() sin cos 3sin 1x

x

AB

e

y m y dx e y m dy m e -+-=-+? ……（8分）

若 AB 在AB 的下方，同理易求得

()() sin cos x

x

AB

e

y m y dx e y m dy -+-?3sin 1m e =-……（10分）

16．设安徽某湖的正常水量为V （体积），国家环保指标规定湖中所含的污染物含量不得超过0m ，2008年底经测定，湖中所含污染物的含量已经超标5倍。（为治理湖水污

染，2009年市政府对此湖进行了大面积的清淤，假设每年流入湖内的清净水为

6

V ,流入

湖内的污水为

6

V ，每年流出的湖水水量为

3V ，如果不进行清淤，从2009年初起，限定排入的污水所含污染物的浓度不得超过

m V

，问至少要经过多少年，湖中污染物的含

量才能达到国家规定的标准？（设湖水中的浓度是均匀的；ln3=1.0986122886681；ln5= 1.6094379124341）．

解：设2009年后第t 年污染物含量为()m t ，在时间[],t t dt +段内，排入湖中污

染物的含量为

0066m m

V dt dt V ?=，……（2分） 流出湖泊的水中污染物的含量为

()()

33

m t V m t dt dt V ?=，……（4分） 则在时间[],t t dt +段内湖中污染物的改变量为 0()(

)63

m m t dm dt =-，又00()|5t m t m ==，……（6分）

解得 1

03

()(19)2

t m m t e

-=

+，……（8分）

令0()m t m =，得6ln 3t =。即若不进行清淤，2015年8月湖中污染物的含量才能达到国家规定的标准。……（10分）