高中数学人教B版必修一2.1.3.函数的单调性课件
艾宾浩斯记忆遗忘曲线
记忆保持量 （百分数）
100
80
60
40
20
天数
O
2
3
4
5
6
函数的变化规律
• 总结函数的变化规律：有的函数在定义域 上是随着自变量的增大而增大；有的函数 在定义域上是随着自变量的增大而减小； 有的函数在定义域内的部分区间上是随着 自变量的增大而增大或减小。
• 问题：怎样准确描述这种变化规律？
当x增大时f(x)随着增大 (0,+∞)上当x增大时f(x)随着增大
函数在R上是增函数 函数在(-∞,0]上是减函数
函数在(0,+∞)上是增函数
函数 f(x)=x2 :
y
f (x2)
在(0,+∞)上任取 x1、x2 ,
则f(x1)= x12 , f(x2)= x22
任意x 1
x 2 ,都有
x
2 1
作出下列函数的图像
(1) y=x+1 (2) y=x2
(1)f (x)x1
y
(2) f (x)x2
y4
o
1x
1
-2 -1 0 1 2
x
德国著名心理学家艾宾浩斯的研究数据
时间间隔 刚刚记忆完毕
20分钟之后 1小时之后 8-9小时之后
1天后 2天后 6天后 一个月后
…
记忆保持量 100% 58.2% 44.2% 35.8% 33.7% 27.8% 25.4% 21.1% …
证明：设 x1 , x2 是R上任意两个值，且 x1 ，x2
则 xx2x10
yf(x 2)f(x 1 ) 2 x 2 3 2 x 1 3
设值
2 x 2 x 1 x
作差变形
∵ x0 ∴ x0
∴ f(x2)f(x1)0
判断差符号
即 yf(x2)f(x1)0
∴函数 f(x)2x3在R上是减函数．
f (x1)
0
x22
x
x1 x2
任意x 1 x 2 ,都有 f (x1)f (x2)
∴函数 f(x)=x2 在(0,+∞)上是增函数.
定义
y 蒸蒸日上
y=f(x)
f(x2) f(x1)
o x1
x2 x
y
每况愈下
y=f(x)
f(x1) o x1
f(x2) x2 x
一般地，设函数 f(x)的定义域为A:
-2
解:函数y=f(x)的单调区间有[－5,－2）,[－2,1) ，[1，3), [3，5].
其中y=f(x)在区间[－2，1)，[3，5]上是增函数； 在区间[－5，－2），[1，3)上是减函数.
说明:孤立的点没有单调性,故区间端点处若有定义写开写闭均可.
例2.利用定义：
证明函数 f(x)2x3在R上是减函数.
如果对于定义域A内某个区间M上的 任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x 1＜xx 2 x2x10 时，都有 f (xy 1 )＜f( f(x x2) 2) ，f(x 1 ) 0 那么就说 函数f(x)在区间M上是增函数.
如果对于定义域A内某个区间M上的 任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1x ＜ x2 x2x10 时，都有，
如果函数y=f(x)在区间M上是增函数或减函数，
那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有单调性， 区间M叫做函数f(x)的单调区间.
说明
(1)函数的单调性是相对于某一区间而言的性 质，不能笼统的说某一函数是单调函数。
(2)判断函数的单调性，应对所给区间内的任
意 与两f (x个2) 的值大x 1小、，x 而2 来不考能察取对特应殊的值函。数值f (x1)
• 当 y 0 时，函数在M上是减函数
x
练习.证明函数f(x)=2 x2 +1在(0,+∞)上是增函数。
2.1.3.函数的单调性
学习新课时,函数值 f ( x ) 是如何变化的？
(1)f (x)x1
y
(2) f (x)x2
y4
o
1x
1
-2 -1 0 1 2
x
(1)f (x)x1
y
(2) f (x)x2 y
4
o
x
1
x
-2 -1 O 1 2
(-∞,0]上当x增大时f(x)随着减小
x 1x＜ x2x2x10
时，都有
f(y x 1)＜f(x f(2x)2 )，f(x1)0 那么就说
函数f(x)在区间M上是增函数.
y=f(x)
f(x1) o x1
f(x2) x2 x
如果对于定义域I内某个区间M上的
任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 ＜ xx 2 x2x 10 时，都有 f (y x1 )＜f(fx (2 x)2 )，f(x 1 ) 0 那么就说 函数f(x)在区间M上是减函数.
下结论 骤
证明函数单调性的步骤：
1.设值:设任意x1、x2属于给定区间,且x1< x2
则△x= x2 -x1>0时
2.作差变形:作差△y=f(x2)-f(x1)
并适当变形；
3.判断差符号:确定△y的正负； 4.下结论:由定义得出函数的单调性.
结
能否根据
y x
的符号判断函数单调性
•
当
y x
0 时，函数在M上是增函数
yf(x2)f(x1)0那么就说函数f(x) 在区间M上是减函数.
x1、x2的三大特征：①属于同一区间 ②任意性 ③有大小: 通常规定 x1＜x2
反比例函数 y 1 ： x
在(-∞,0)上是__减__函数
在(0,+∞)上是__减__函数
y
1 -2 -1
f
(
x
)
1 x
O 1 2x
-1
问:能否说 y
(3)单调区间必须写成区间的形式，当端点在 其定义域上时，可以包括端点，也可以不 包括端点.
例1. 如图是定义在闭区间[－5,5]上的函数 y = f(x)
的图象, 根据图象说出函数的单调区间, 以及在每一
单调区间上, 函数是增函数还是减函数？
y
3
y f (x)
2
-3 -2 -1 1
-5 -4
-1 O 1 2 3 4 5 x
y
-1 1
f
(x)
1 x
O1
x
-1
∴不能说 y 1x在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数 因为 x1、x2 不具有任意性.
定义 一般地，设函数 f(x)的定义域为A:
y y=f(x)
f(x1) o x1 y
f(x2) x2 x
如果对于定义域I内某个区间M上的
任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当
1 x
在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数?
函数 y 1 ： x
在(-∞,0)上是__减__函数
在(0,+∞)上是__减__函数
y
f (x1)
f
(
x)
1 x
f (x2)
xO 1
x2
x
在 (0,+∞) 上任取 x1、 x2 当x1< x2时，都有f(x1) > f(x2)
取自变量－1< 1，
而 f(－1) < f(1)
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人教版高中数学B版高中数学必修一《函数的单调性》函数的概念与性质(第1课时函数的单调性及函数的平均变
A．[－2，0]
B．[0，1]
C．[－2，1]
D．[－1，1]
解析：选 C.观察图像可知此函数的增区间是[－2，1]．
下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是( )
A．y＝－1x
B．y＝x
C．y＝x2
D．y＝1－x
答案：D
若 y＝(k－1)x＋b 是 R 上的减函数，则有( )
A．k>12
D．(－∞，3]
解析：选 D.y＝x2－6x＝(x－3)2－9，故减区间为(－∞，3]．
2．设(a，b)，(c，d)都是 f(x)的单调增区间，且 x1∈(a，b)，x2 ∈(c，d)，x1<x2，则 f(x1)与 f(x2)的大小关系为( ) A．f(x1)<f(x2) B．f(x1)>f(x2) C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定
■名师点拨 (1)定义中的 x1，x2 有以下 3 个特征 ①任意性，即“任意取 x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉， 证明时不能以特殊代替一般； ②有大小，通常规定 x1<x2； ③属于同一个单调区间．
(2)一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时 ，不能用 “∪”连接，而应该用“和”连接．如函数 y＝1x在(－∞，0) 和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数 y＝1x在(－∞， 0)∪(0，＋∞)上单调递减．
《函数的单调性》函数的概 念与性质(第1课时函数的单 调性及函数的平均变化率)
人教版高中数学B版高中数学必修 一
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第三章 函 数
考点
学习目标
核心素养
函数单调性 了解函数单调性的概念，会用 逻辑推理
新教材人教b版必修第一册312第一课时单调性的定义与证明课件
[解] (1)函数 f(x)＝－1x的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)， (0，＋∞)上都是增函数．
(2)当 x≥1 时，f(x)是增函数，当 x<1 时，f(x)是减函数，所以 f(x)的单调区 间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数 f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞) 上是增函数．
(3)因为 f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝－ －xx22＋ －22xx＋ ＋33， ，xx≥ <00. ， 根据解析式可作出函数的图像如图所示，由图像可知，函数 f(x)的单调区间 为(－∞，－1]，(－1，0]，(0，1]，(1，＋∞)．
f(x)在(－∞，－1]，(0，1]上是增函数，在(－1，0]，(1，＋∞)上是减函数．
②如果函数 f(x)在区间 I1 上单调递减，在区间 I2 上也单调递减，那么 f(x)在 区间 I1 和 I2 上就一定是减函数； ③∀x1，x2∈(a，b)，且 x1≠x2，当f（x1）x1－－fx（2 x2）<0 时，f(x)在(a，b)上单 调递减；
④∀x1，x2∈(a，b)，且 x1≠x2，当(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0 时，f(x)在(a，b) 上单调递增；
[问题] (1)当时间间隔 t 逐渐增大你能看出对应的函数值 y 有什么变化趋势？ (2)“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进 行解释？
知识点 增函数、减函数的概念
1．增函数、减函数的定义 一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 D，且 I⊆D： (1)如果对任意 x1，x2∈I，当 x1<x2 时，都有_f_(x_1_)_<_f_(x_2_)_，则称 y＝f(x)在 I 上 是增函数(也称在 I 上__单__调__递__增__)，如图①所示； (2)如果对任意 x1，x2∈I，当 x1<x2 时，都有__f_(x_1_)_>_f(_x_2_)_，则称 y＝f(x)在 I 上是减函数(也称在 I 上_单__调__递__减___)，如图②所示．
第三章-3.1.2-函数的单调性高中数学必修第一册人教B版
（2） =
2 2 −3
.
【解析】因为 =
2 2 −3
3
= 2 − ，且函数的定义域为 −∞, 0 ∪ 0, +∞ ，
（切勿认为定义域为）
3
3
又函数 = 2和 = − 在区间 −∞, 0 上均单调递增，所以 = 2 − 在区间
−∞, 0 上单调递增.
同理可得 = 2
3
[ , 4),
2
4, +∞ .1源自又 = 在 ∈ −∞, 0 和(0,
=
25
]上单调递减，所以由复合函数的单调性可知函数
4
1
3
的单调递增区间为[ , 4)和
4+3− 2
2
4, +∞ ．
例13 设 是定义在上的函数，对, ∈ ，恒有
( + ) = ⋅ ≠ 0, ≠ 0 ，且当 > 0时，0 < < 1.
−
2 +
2 +
→2.作差.
∵ > > 0,2 > 1 > −,
∴ − > 0,2 − 1 > 0,2 + > 0,1 + > 0,
∴
− 2 −1
1 + 2 +
> 0,→4.定号.
即 1 > 2 ,∴ 函数 在 −, +∞ 上单调递减.→5.下结论.
递增
【解析】A是假命题，“无穷多个”不能代表“所有”“任意”；
以 =
1
为例，
在 −∞, 0 和 0, +∞ 上均单调递减，但在整个区间上并不是减
人教B版必修时函数的单调性课件
实数 a 的取值范围是( )
A．{ a|a>5}
C． a|a＜4
B． a|a＜5
D．{ a|a>4}
【解析】选 A.由于函数 y＝f(x)是 R 上的减函数，且 f(a＋2)>f(2a－3)，
所以 a＋2＜2a－3，解得 a>5，所以实数 a 的取值范围是{ a|a>5} .
－x＋3a，x≥0
2．已知函数 f(x)＝
提示：常用的变形的方法有因式分解、配方、有理化等．
x－b 已知函数 f(x)＝x＋a
，且 f(2)
＝41
，f(3)
＝25
.
(1)求函数 f(x)的解析式；
(2)求证：函数 f(x)在3，5 上为增函数．
x－b 【解析】(1)函数 f(x)＝x＋a ，
由 f(2) ＝14 得 a＋4b＝6，① 由 f(3) ＝25 得 2a＋5b＝9，②
所以函数f（x）＝x＋4x
结论
在（2，＋∞）上单调递增．
定义法证明函数单调性的步骤
取值 作差 变形
设 x1，x2 是区间内的任意两个值，且 x1＜x2 作差 f(x1)－f(x2)或 f(x2)－f(x1) 向有利于判断符号的方向变形
定号
确定差的符号
结论
根据函数单调性的定义下结论
[闪问]常用的变形的方法有哪些？
1 a≤3
，所以
1 0≤a≤3
.
迁移拓展 发展学科素养
【“源”来如此】 教材 P110 练习 B 第 7 题： 研究函数 f(x)＝x＋9x 的性质，并作出函数图像．
【“链”接有道】 函数 y＝x＋ax (a≠0)的单调性． (1)若 a＞0，函数 y＝x＋ax 的图像如图 1 所示， 则函数 y＝x＋ax 的单调增区间是 (, a ] 和 [ a ,) ，单调减区间是 ( a,0) 和
高考数学总复习 2.2函数的单调性课件 理 新人教B版
(2)证明：f(x)为单调递减函数； f 93＝f(9)－f(3)，而 f(3)＝－1，
(3)若 f(3)＝－1，求 f(x)在[2,9] ∴f(9)＝－2.
－3 在区间(－∞，4)上是单调递增 (2)由已知条件得 f(x)为增函数，
的，则实数 a 的取值范围是 ( D )
A．a>－14
B．a≥－14
C．－14≤a<0 D．－14≤a≤0
(2)已知 f(x)＝a2x，－xa≥x＋1，1，x<1，
满足对任意 x1≠x2，都有fxx11－－fx2x2
题型分类·深度剖析
题型一
函数单调性的判断
思维启迪
解析 思维升华
【例 1】 讨论函数 f(x)＝ x2a－x 1(a>0)在 x∈(－1,1)上
∴x2－x1>0，x1x2＋1>0， (x21－1)(x22－1)>0. 又∵a>0，
的单调性．
∴f(x1)－f(x2)>0，
∴函数 f(x)在(－1,1)上为减函数．
(0，＋∞)上的函数 f(x)满足 f xx12＝f(x1)－f(x2)，且当 x>1 时，f(x)<0. (1)求 f(1)的值；
思维启迪 解析 思维升华
(2)证明 任取 x1，x2∈(0，＋∞)， 且 x1>x2，则xx12>1，
∵当 x>1 时，f(x)<0， ∴fxx12<0，
时，f(x)<0.
(1)解 令 x1＝x2>0，
代入得 f(1)＝f(x1)－f(x1) ＝0，
(1)求 f(1)的值；
故 f(1)＝0.
(2)证明：f(x)为单调递减函数；
《函数的单调性》课件(新人教B版必修1)
函数的图像如图所示：
y
f ( x)
-1 1
O
1 x
-1
1
y
能否说， f ( x ) 1 x 在它的定义域上是减函 数？
-1
1
O
1 f ( x) x
-1 1
x
∴不能说 y 1 在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数
x
正确的表示方法为： f ( x) 1 x 的单调减区间为（ - ，）和（ 0， ） 0
结
1 例2 证明函数 f ( x ) ，在区间（-∞，0) x 和（0,+∞）上分别是减函数.
结
证 明 ： 设 x1 , x 2 是 （ - ， 0） 内 的 任 意 两 个 不 相 等 的 负 实 数 ， 且 x1 x 2 , 则 x x 2 x1 0, y f ( x 2） f ( x1 ) 1 x2 1 x1 x1 x 2 x1 x 2
因 为 x1 x 2 x 0, x1 x 2 0, 所 以 y 0 1 因 此 f ( x ) （ - ，） 上 是 减 函 数 0 x 同 理 （ 0， + ） 内 的 任 意 两 个 不 相 等 的 正 实 数 ，
且 x1 x 2 , 同 样 有 y f ( x 2） f ( x1 ) ) 1 所 以 f ( x ) （ 0， + ） 上 也 是 减 函 数 x
1. 函数y=2x
2. 函数y=-2x
y
o
y
1
x
o
1
x
在 ( , ) 上为增函数
在 ( , ) 上为减函数
3.函数： y x 1
2
y
f ( x)
-1 1
O
1 x
-1
1
y
能否说， f ( x ) 1 x 在它的定义域上是减函 数？
-1
1
O
1 f ( x) x
-1 1
x
∴不能说 y 1 在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数
x
正确的表示方法为： f ( x) 1 x 的单调减区间为（ - ，）和（ 0， ） 0
结
1 例2 证明函数 f ( x ) ，在区间（-∞，0) x 和（0,+∞）上分别是减函数.
结
证 明 ： 设 x1 , x 2 是 （ - ， 0） 内 的 任 意 两 个 不 相 等 的 负 实 数 ， 且 x1 x 2 , 则 x x 2 x1 0, y f ( x 2） f ( x1 ) 1 x2 1 x1 x1 x 2 x1 x 2
因 为 x1 x 2 x 0, x1 x 2 0, 所 以 y 0 1 因 此 f ( x ) （ - ，） 上 是 减 函 数 0 x 同 理 （ 0， + ） 内 的 任 意 两 个 不 相 等 的 正 实 数 ，
且 x1 x 2 , 同 样 有 y f ( x 2） f ( x1 ) ) 1 所 以 f ( x ) （ 0， + ） 上 也 是 减 函 数 x
1. 函数y=2x
2. 函数y=-2x
y
o
y
1
x
o
1
x
在 ( , ) 上为增函数
在 ( , ) 上为减函数
3.函数： y x 1
2
最新人教版高一数学必修1(B版)全册完整课件
阅读与欣赏
聪明在于学习，天才由于积累
2.1 函数
2.1.1 函数
2.1.3 函数的单调性
2.1.5 用计算机作函数的图象（选学）
2.2.3 待定系数法
2.4 函数与方程
2.4.1 函数的零点
本章小结
第三章 基本初等函数（Ⅰ）
3.1.2 指数函数
3.2.2 对数函数
3.3 幂函数
本章小结
附录1 科学计算自由软件——SCILAB简介
后记
第一章 集合
最新人教版高一数学必修1(B版)全 册完整课件
1.1 集合与集合的表示方法 1.1.1 集合的概念
最新人教版高一数学必修1(B版)全 册完整课件
最新人教版高一数学必修1(B版) 全册完整课件目录
0002页 0019页 0052页 0105页 0130页 0161页 0206页 0251页 0332页 0378页 0404页 0430页 0447页 0449页 0467页 0485页 0487页
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第一章 集合
1.1.2 集合的表示方法
1.2.2 集合的运算
新教材人教b版必修第一册312第2课时函数的最大值最小值课件
［-2, -1］上的最大值为 ,5最小值为-5.
2
3. 函数f(x)=x2+4ax+2在区间 (-∞，6]内递减，
则a的取值范围是( D )
A.a≥3
B.a≤3
C.a≥-3
D.a≤-3
【解析】选D.二次函数的对称轴为x=-2a
故只需-2a≥6,即a≤-3
4．已知关于 x 的不等式 x2－x＋a－1≥0 在 R 上恒 成立，则实数 a 的取值范围是( D )
【变式练习】
已知函数f（x）=-x2+6x+9在区间[a，b]，（a＜b＜3） 上有最大值9，最小值-7，求实数a，b的值．
【解析】因为y=-（x-3）2+18
因为a＜b＜3，所以当x=a时，函数取得最小值ymin= -7；
当x=b时，函数取得最大值ymax=9；
即 a 2 6a 9＝ 7,
第2课时 函数的最大值、最小值
喷泉喷出的抛物线型水柱到达“最高点”后便下落，
经历了先“增”后“减”的过程，从中我们发现单
调性与函数的最值之间似乎有着某种“联系”，让
我们来研究——
函数的最大值与最小值.
1.理解函数的最大（小）值及其几何意义；(重点） 2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（难点）
【即时训练】
下列函数是否存在最大值、最小值？函数在何处取得 最大值和最小值,并求出其值.
(1) y 2 x, ( x R )
没有
(2 ) y 2 x, (1 x 3 )
当x=1时取得最小值2； 当x=3时取得最大值6.
(3 ) y 2 x, (1 x 3 )
当x=1时取得最小值2；没有最大值
b
a2 4
2.1.3函数的单调性课件人教新课标B版(1)
O x1 x2 x 区间上为增函数.
如何用x与f(x)来描述降落的图象？
y y＝f(x) f(x1) f(x2)
O x1 x2 x
在给定区间上任取x1, x2 x1＜x2 f(x1)＞f(x2)
函数f (x)在给定 区间上为减函数.
增函数、减函数的概念：
增函数、减函数的概念：
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
O x1 x2 x 区间上为增函数.
如何用x与f(x)来描述降落的图象？ y y＝f(x)
f(x1) f(x2)
O x1 x2 x
如何用x与f(x)来描述上升的图象？
y
y＝f(x)
在给定区间上任取x1, x2
f(x1)
f(x2)
x1＜x2 f(x1)＜f(x2) 函数f (x)在给定
O x1 x2 x 区间上为增函数.
增函数、减函数的概念：
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 增函数. 2.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 减函数.
法 有图象法、定义法． （2）证明函数的单调性的 步骤
y
y x2
f ( x1 )
x
O x1
y
y x2
f ( x1 )
x
O
x1
如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y
O
x
如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y
Oபைடு நூலகம்
人教高中数学必修一B版《函数的单调性》函数的概念与性质说课教学课件复习(单调性的定义与证明)
A．－1,0
B．0,2
C．－1,2
D.12，2
C [由题图可知，f(x)的最大值为f(1)＝2，f(x)的最小值为f(－2) ＝－1.]
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4．函数 f(x)＝x2－2x＋3 的单调减区间是________． (－∞，1] [因为f(x)＝x2－2x＋3是图像开口向上的二次函数， 其对称轴为x＝1，所以函数f(x)的单调减区间是(－∞，1]．]
∴f(x)＝x＋1x在(0,1)上是减函数．
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利用定义证明函数单调性的步骤 1取值：设 x1，x2 是该区间内的任意两个值，且 x1＞x2. 2作差变形：作差 fx1－fx2，并通过因式分解、通分、配方、 有理化等手段，转化为易判断正负的式子. 3定号：确定 fx1－fx2的符号. 4结论：根据 fx1－fx2的符号及定义判断单调性.
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(2)由(1)知 f(x)在[2,4]上单调递增， 所以 f(x)的最小值为 f(2)＝2×2＋2＋1 1＝53， 最大值为 f(4)＝2×4＋4＋1 1＝95.
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1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性． (2)利用单调性求出最大(小)值． 2．函数的最大(小)值与单调性的关系 (1)若函数 f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则 f(x)在区间[a，b] 上的最小(大)值是 f(a)，最大(小)值是 f(b)．
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求函数的单调区间 【例 2】 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间 上是增函数还是减函数． (1)f(x)＝－1x；(2)f(x)＝25x－＋x1，，x<x≥1；1， (3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.
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[解]
(1)函数f(x)＝－