高中数学 函数的单调性课件
函数的单调性_韦余玲
函数的单调性
教学背景：
1．面向学生：高中
2．学科：数学
教材分析:
《函数的单调性》系人教版高中数学必修一的内容，该内容包括函数的单调性的定义与判断及其证明。在初中学习函数时，借助图像的直观性研究了一些函数的增减性．这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高．这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的．教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系．函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延续，它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。
学情、教法分析：
按现行新教材结构体系，学生只学过一次函数、二次函数、反比例函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数。依据现有认知结构，学生只能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大，函数值增大”的变化趋势，而不能用符号语言进行严密的代数证明，只能依据形的直观性进行感性判断而不能进行“思辩”的理性认识。所以在教学中要找准学生学习思维的“最近发展区”进行有意义的建构教学。在教学过程中，要注意学生第一次接触代数形式的证明，为使学生能迅速掌握代数证明的格式，要注意让学生在内容上紧扣定义贯穿整个学习过程，在形式上要从有意识的模仿逐渐过渡到独立的证明。
教学目标：
1．在初中学习一次函数、二次函数的性质的基础上，进一步感知函数的单调性，并能结合图形，认识函数的单调性； 2．通过函数的单调性的教学，渗透数形结合的数学思想，并对学生进行初步的辩证唯物论的教育；
2019_2020学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.2.1.1函数的单调性讲义新人教A版必修第一册
3.2.1 单调性与最大(小)值
最新课程标准：借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．
第1课时 函数的单调性
知识点一 定义域为I的函数f(x)的单调性
状元随笔 定义中的x1，x2有以下3个特征
(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；
(2)有大小，通常规定x1
(3)属于同一个单调区间．
知识点二 单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
状元随笔 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接. 如函数y＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．
[教材解难]
1．教材P77思考 f(x)＝|x|在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增；
f(x)＝－x2在(－∞，0]上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减．
2．教材P77思考
(1)不能 例如反比例函数f(x)＝－1x，在(－∞，0)，(0，＋∞)上是单调递增的，在整个定义域上不是单调递增的．
(2)函数f(x)＝x在(－∞，＋∞)上是单调递增的．f(x)＝x2在(－∞，0]上是单调递减，在[0，＋∞)上是单调递增的．
[基础自测]
1．下列说法中正确的有( )
①若x1，x2∈I，当x1
②函数y＝x2在R上是增函数；
③函数y＝－1x在定义域上是增函数；
④y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：由于①中的x1，x2不是任意的，因此①不正确；②③④显然不正确．
答案：A
2．函数y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则( )
A．m>12 B．m<12
高二数学函数的单调性
高二数学函数的单调性
课 题
函数的单调性课 型新授时 间09/ 10 /
学习目标
1.了解函数的单调性与导数的关系；
2.能利用导数研究函数的单调性；
3.会求不超过三次的多项式函数的单调区间
学习重点
利用导数研究函数的单调性
一、自主学习
1.（1）作出函数的图像，并指出其单调区间：
（2）作出函数的图像，并指出其单调区间：
2.作出函数f(x)=的图像，并用函数的单调性定义证明其在(0，+∞)上递减.
3. 函数的单调性是对函数变化的一种刻画，而导数也反映了函数变化的趋势，这两者之间有什么联系？
如果函数在区间上是增函数，那么对任意，当
时，则，即与同号。
而从函数的变化率来看，有，即导数.
你能解释函数在区间上是增函数与的关系吗？
结论：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数， 如果在这个区间内0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；
如果在这个区间内0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数
请利用导数这一工具解决上面3个习题。
请总结利用导数求函数单调区间的基本步骤：
请总结利用导数证明函数单调性的基本步骤：
自学检测：见课本（文P76，理P29）练习
第1题：（1）；
（2）；
第2题：（1）；
（2）；
（3）；第3题（1）证明：
（2）证明：
二、问题探究
问题1：如何从导数的几何意义（切线的斜率）角度理解函数的单调性？
见《赢在课堂》自我检测部分第5题：；
问题2：若函数在某个区间上单调，那么在该区间上一定有或吗？1.求下列函数的单调区间：
（1）；（2）
2.已知函数在实数集R上单调递减，求实数的取值范围。（若在实数集R上单调呢？）小结：三、合作交流
例1.求下列函数的单调区间：
（1）函数的单调增区间是；
（2）函数的单调减区间是；
（3）函数的单调减区间是；
变式：若函数是区间上的减函数，则实数的取值范围是。
例2.（1）证明函数在上是增函数；
高中数学函数的单调性
2-2 函数的基本性质 page 1 of 6
（一）知识内容
1.函数单调性的定义：
①如果函数fx对区间D内的任意12,xx，当12xx时都有12fxfx，则称fx在D内是增函数；当12xx时都有12fxfx，则fx在D内时减函数．
②设函数()yfx在某区间D内可导，若0fx，则()yfx为xD的增函数；若0fx，则()yfx为xD的减函数．
2.单调性的定义①的等价形式：
设12,,xxab，那么12120fxfxfxxx在,ab是增函数；
12120fxfxfxxx在,ab是减函数；
12120xxfxfx()fx在,ab是减函数．
3.复合函数单调性的判断：“同增异减”
4.函数单调性的应用．利用定义都是充要性命题．
即若()fx在区间D上递增（递减）且1212()()fxfxxx（1x2,xD）；
若()fx在区间D上递递减且1212()()fxfxxx．（1x2,xD）．
①比较函数值的大小②可用来解不等式．③求函数的值域或最值等
（二）主要方法
1．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；
2．判断函数的单调性的方法有：
⑴用定义；
用定义法证明函数单调性的一般步骤：
①取值：即设1x，2x是该区间内的任意两个值，且12xx
②作差变形：通过因式分解、配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．
③定号：确定差12()()fxfx（或21()()fxfx）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论．
高中数学 2.2函数的单调性与最值
高中数学导学案 | 《 第二章：函数 》 第二课时：函数的单调性与最值
姓名： 学校： 年级： 备课人：
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义 设函数f(x)的定义域为I：
(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1
(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I.如果存在实数M满足：(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最大值．
如果存在实数M满足：(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最小值．
概念方法微思考
1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？
2．写出对勾函数y＝x＋ax(a>0)的增区间．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)
(2)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，x1≠x2且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，则函数f(x)在区间D上是增函数．( )
(3)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( )
高中数学 选修1-1 27.函数的单调性与导数
27.函数的单调性与导数
教学目标 班级____姓名________
1.掌握函数单调性与导数的关系.
2.能够利用导数研究函数的单调性.
3.会求函数的单调区间.
教学过程
一、函数单调性与导数（正负）的关系.（函数单调性是局部性质）
1.（1）函数递增的充分条件：0)('xf；
（2）函数递减的充分条件：0)('xf.
2.（1）函数递增的充要条件：①0)('xf，②0)('xf不连续；
（2）函数递减的充要条件：①0)('xf，②0)('xf不连续.
3.求函数的单调区间.
（1）求定义域；（①分式：分母0；②偶次根式：被开方数0；③对数式：真数0）
（2）求导函数；
（3）解不等式；（利用函数递增（递减）的充要条件列不等式）
（4）下结论.（若单调区间不止一个，不能用“”连接，只能用“逗号”或“和”字连接.）
二、函数变化快慢与导数（增减）的关系.
1.若)('xf递增，则函数)(xfy为凹函数；（“越增越快”或“越减越慢”）
2.若)('xf递减，则函数)(xfy为凸函数.（“越增越慢”或“越减越快”）
三、例题分析.
1.求函数单调区间.
例1：求下列函数的单调区间：
（1）xxxf3)(3； （2）)0(ln)(2axaxxf.
练1：（1）求函数axxy42的单调区间；（2）求函数)0(lnaaxxy的单调区间.
2.函数的变化快慢与导数的关系.
例2：如图，水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象．
练2：已知)('xf是)(xf的导函数，)('xf的图象如图所示，则)(xf的图象只可能是( )
作业：求函数xxyln的单调区间.
第二篇 导函数第3讲 函数单调性
第3讲
函数单调性基础梳理
判断函数的单调性
方法 1 定义法
2 导数法
3 利用已知函数的单调性
（1）一次、二次函数，指数、对数函数，三角函数
（2）部分分段函数，对勾函数，反比例型函数等
如 f(x)=x f(x)=xax f(x)=bxax
4 复合函数的单调性 同增异减
考向一 利用单调性比较大小
例 1．三个数5.06 ， 65.0 ， 6log5.0的大小顺序为 （ ）
A．5.065.065.06log B．65.05.05.066log
C．6log65.05.05.06 D．5.05.0666log5.0
训练1．(1)比较三个数4332，3243，3232的大小。
(2)．若定义在R上的偶函数对任意，有，则( )
A． B．
C． D．
考向二 求单调区间
例2.求函数f(x)=log0.7(x2-3x-4)的单调区间并判断其单调性。
()fx12,[0,)xx12()xx2121()()0fxfxxx(3)(2)(1)fff(1)(2)(3)fff(1)(3)(2)fff(2)(3)(1)fff 训练2.（1）求y=2562xx的单调增区间
（2）求22lgxxxf的单调减区间
考向三 求函数中字母的取值范围
例3、函数)(xf=)(log23.0aaxx在)31,(上递增，求实数a的取值范围.
函数的单调性
1 函数的单调性
学习目标
（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性．
学习过程
一、课前准备
（预习教材P2~ P3，找出疑惑之处）
讨论：军训前学校通知：8月15日上午8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员. 试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？
二、新课导学
※ 探索新知
一、概念形成
1． 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：
○1 随x的增大，y的值有什么变化？
○2 能否看出函数的最大、最小值？
○3 函数图象是否具有某种对称性？
2． 画出下列函数的图象，观察其变化规律：
1．f(x) = x
○1 从左至右图象上升还是下降 ______?
○2 在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着
________ ．
2．f(x) = -2x+1
○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ．
3．f(x) = x2
○1在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ．
○2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ．
二、概念深化
（一）函数单调性定义
1．增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，如果对于定义域A内的某个区间M内的任意两个自变量x1，x2，当改变量△x=x2-x1＞0时，有 ，那么就说函数y=f(x)在区间M上是增函数（increasing function）．
思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．
注意：
○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
高中数学第二课时-导数与函数的单调性(二)
第二课时 导数与函数的单调性(二)
课标要求 素养要求
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性. 进一步理解函数的导数和其单调性的关系，提升数学运算素养与直观想象素养.
题型一 含参数函数的单调性
【例1】 讨论函数f(x)＝12ax2＋x－(a＋1)ln x(a≥0)的单调性.
解 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ax＋1－a＋1x＝ax2＋x－（a＋1）x.
①当a＝0时，f′(x)＝x－1x，
由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0
∴f(x)在(0，1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数.
②当a>0时，f′(x)＝ax＋a＋1a（x－1）x，
∵a>0，∴a＋1a>0.
由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0
∴f(x)在(0，1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数.
综上所述，当a≥0时，f(x)在(0，1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数.
规律方法 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
(2)划分函数的单调区间时，要在函数的定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.
【训练1】 求函数f(x)＝1x2＋aln x(a∈R)的单调递减区间.
解 易得函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝－2x3＋ax＝ax2－2x3.
①当a≤0时，f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，
故f(x)在(0，＋∞)上单调递减.
②当a>0时，若0
若x>2a，则f′(x)>0，
所以f(x)在0，2a上单调递减，在2a，＋∞上单调递增.
综上可知，当a≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，当a>0时，f(x)的单调递减区间为0，2a.
题型二 根据函数的单调性求参数
【例2】 (1)若函数f(x)＝(x2－cx＋5)ex在区间12，4上单调递增，则实数c的取值范围是( )
高中数学函数的单调性讲义
1 高中数学函数的单调性研究讲义
一、定义：设函数y=f(x)的定义域为A，区间AI,如果对于区间I内的任意两个值21,xx,若12xx，有12()()fxfx，则称()fx在M上是增函数；
若12xx，有)()(21xfxf，则称()fx在M上是减函数；
二、研究函数的单调性
1. 简单初等函数的单调性
（1）一次函数 )0(abaxy 一个单调区间：R ----- 减增RaRa.0,0
（2）二次函数 )0(2acbxaxy
两个单调区间：),2[],2,(abab先增后减先减后增,0,0aa
（1） 三次函数 )0(23adcxbxaxy
时，当03b2ac一个单调区间：R ----- 减增RaRa.0,0
时，当03b2ac三个单调区间：),(),,(),,(2211xxxx-- 减增减增减增,0,0aa
（4）反比例函数 )0(kxky
两个单调区间：),0(),0,( ---- 都增都减,0,0kk
)0(abaxdcxy
两个单调区间：),b(),b,(aa
(5)对号函数
)0(kxkxy 四个单调区间：
（]k，增，[)0,k减，(k,0]减，[,k)增 2 )0(kxkxy 两个单调区间： 减增),0(,)0,(
（6）指数函数 )10(aaayx且 一个单调区间：R ---减增RaRa,10,1
对数函数)10(logaaxya且 一个单调区间：R ---减增RaRa,10,1
⑺、幂函数 )(为常数xy
增),0[,0x
),(为互质整数当nmnm 增）减，，（为偶数，增为偶数，),0[0),0[xmxn