ch06-5极值与凸性

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3 3 y( a ) 18a 0, y( a ) 18a 0 8 4 2
3 故 当x a时, y有极小值 4 9 3 极小值为 y a 16 3 当x a时, y有极大值 2 9 3 极大值为 y a 4 同理可求得,当a 0时 3 9 3 y的极大值为 y( a ) a 4 16 3 9 3 y的极小值为 y( a ) a 2 4
)3 (
凸上
) x ( f ) 2x ( f ) x ( f ) x ( f 1 x 2x 1x x
0 ) 2x ( f ) 1x x ( )x ( f ) 1x x ( )x ( f )x 2x ( ) 1x ( f )x 2x (
为写改可式上
x1
x
o
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x2
x
18
y
凹(上凸)
y f ( x)
B
A
o
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x1
x
x2
x
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（一） 凸性定义：
设函数 f ( x ) : [a , b] R. 如果 x1 , x 2 [a , b], 不等式 f (1 x1 2 x 2 ) 1 f ( x1 ) 2 f ( x 2 ) 对于满足 1 2 1 的任意非负实数1和 2 都成立, 则称 f 在 [a , b] 上为凸( 下凸 )函数. 如果 f (1 x1 2 x 2 ) 1 f ( x1 ) 2 f ( x 2 ) 则称 f 在 [a , b] 上为凹(上凸)函数.
由极限性质, 0, 使在( x0 , x0 ) 中有
f ( x ) 0 x x0
f ( x) 0 f ( x) 0
在( x0 , x0 )内 有 , 在( x0 , x0 )内 有 ,
根据定理 知, f 在 x0 取得极小值. 1
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极大值;
2
[证] (1)
若 0, 使在( x0 , x0 )内 f ( x) 0
在( x0 , x0 )内 f ( x) ,
x ( x0 , x0 ) , f ( x) f ( x0 )
又 0, 使在( x0 , x0 )内 f ( x) 0
在( x0 , x0 )内 f ( x) ,
x ( x0 , x0 ) , f ( x ) f ( x0 )
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即,
f 在 x0 取得极小值.
3
（二）极值的第二充分条件 定理2：设函数 f 在点 x0 的某邻域内有一阶
导数, 且 f ( x0 ) 0, 又 f ( x0 ) 存在.
[例1] 求 f ( x ) ( x 1) x 的极值.
3 2
(驻点和不可导点 ) [解]求可疑极值点
f ( x )
3
2 13 5 x 2 x ( x 1) x 3 3 3 x
2
令 f ( x ) 0,
得驻点 x 2
5
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又, x 0为导数不存在的点故有两个 . 极值可疑点：x 0, x 2 . 5
x2 x x x1 f ( x) f ( x1 ) f ( x2 ) x2 x1 x2 x1 2013-7-11
1 , 2 1 , 则有
(2)
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) x ( f ) 2x ( f ) x ( f ) x ( f 1 x 2x 1x x
x1 , x2 [a, b], 且x1 x2 , x : x1 x x2
有 f ( x ) f ( x1 ) f ( x ) f ( x2 ) x x1 x x2
因为f ( x )在x1与x2都可导, 根据极限的保号 性, 有
f ( x ) f ( x1 ) f ( x ) f ( x2 ) lim lim x x1 x x1 x x1 x x2
设函数 f ( x ) 在闭区间[a , b] 连续, 在 开区间( a , b )可导, 则 f 在 [a , b]为凸(凹) 函数的充分必要条件是: f ( x ) 在 ( a , b ) 内单调) 在区间[a, b]上为凸函数
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[例3] 求 f ( x ) ( x 1) x
3
2
1 在 [1, ]的 2
最大、最小值.
1 [解] 由前面的例题知, f ( x )在( 1, )内 2 2 有驻点 x1 , 不可导点 x2 0. 5 2 3 3 f( ) 20 f 经计算得： (0) 0, 5 25
2
得唯一驻点 r1 3
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V0

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从问题的实际意义知道 S ( r )的最小值 , 必存在.
又
r 0
lim S ( r ) ,
r
lim S ( r )
因此, S ( r )的最小值一定在(0, ) 的内部 达到. 从而, 唯一驻点 r1 3 V0
6
x
f ( x )
( ,0) 0
2 (0, ) 5
2 5
2 ( , ) 5
5x 2 ( 3 ) 3 x

不存在

0
极小值

f ( x)
极大值
0
f (0) 0, 极大值;
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33 20 25 2 33 f( ) 20, 极小值 5 25 7
[例2] 求y x 9(a x) 的极值
(1) 若f ( x0 ) 0, 则 f 在 x0 取得极小值;
(2) 若f ( x0 ) 0, 则 f 在x0 取得极大值.
[证] (1) f ( x0 ) 0,
f ( x0 ) 0
根据二阶导数定义 有 , f ( x ) f ( x ) f ( x0 ) lim lim f ( x0 ) 0 x x0 x x x x0 x x0 2013-7-11 4 0

是最小值点.
V0 h 2 r
r r1
V0 2 3 3 V0 ( ) r V0
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即 当底半径r与高h相等时,用料最省 . 2013-7-11
[例5] 在直径为d的圆形木中 截取一个具有 , 最大抗弯强度的矩形梁试问应该怎样 . 截取？
[解]设矩形底为b,高为h,
强度为y .由材料力学 知, 具有矩形截面梁 的强度与bh 成正比,
i 1 i 1 n n
的非负
上凸的充分必要条件是: f ( i xi ) i f ( xi )
i 1 i 1 n n
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函数 f ( x ) 在 [a , b] 上为下凸的充分 性质2： 必要条件是 : x1 , x 2 [a , b], x1 x 2 , 及 x1 x x 2 , 都有
而在 ( x0 , x0 )内 f ( x ) 0, 则 f 在 x0 取得 极小值; ( 2)若 0, 使在( x0 , x0 )内 f ( x ) 0,
而在 ( x0 , x0 )内 f ( x ) 0, 则 f 在 x0 取得
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3 3
( ) [解] (1)求可疑极值点 驻点和不可导点 ( x) 3 x 2 27(a x)2 求导函数 f 3 3 令 f ( x) 0, 得驻点：x1 a , x2 a 4 2 没有不可导点 . (2)判断驻点是否为极值点
y 6 x 54(a x ) 6(9a 8 x ) 当a 0时,
) 1x x ( ) x 2x ( 1x 2x 于由
设 x1 x2 , 将(2)式两端乘以 x2 x1 ), 有 (
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( x2 x) f ( x1 ) ( x1 x2 ) f ( x) ( x x1 ) f ( x2 ) 0
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即
（三） 凸性的判定 定理1：( 用一阶导数判定函数的凸性 )
2
1 d 3
h
b
o
.
设比例系数为k则有
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y kbh
2
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因为 h d b , 所以问题化为
2 2 2
求函数
y b(d b ) (0 b d )
2 2
的最大值. 2 2 求导数得 y d 3b
d 令 y 0, 得唯一驻点 b 3 因为 y 6b 0 d 所以, b 是唯一极大值点 3 也就是最大值点
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此时, h
2 d , 所以有 3
d : h : b 3 : 2 :1
这就是说, 把直径三等分, 在 等分点作垂线交圆于一 , 作 点 这点与直径两端点的连 , 即为 线 所求.
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2
二、函数的凸性
y
凸(下凸)
B
A
y f ( x)
f ( x ) 0
y
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o
x1
) x ( f ) 2x ( f ) x ( f ) x ( f 1 x 2x 1x x
y f (x )
x
x2
x
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[证] 必要性
记
假设 f 为下凸 (1)
f (1 x1 2 x2 ) 1 f ( x1 ) 2 f ( x2 ) f [x1 x2 ] f ( x1 ) f ( x2 ) x2 x 设 x x1 x2 x2 x1 x x1 x2 x1 则 (1) 式等价于