第四节极值与凹凸性
曲线的凹凸 极值
曲线的凹凸极值曲线是数学中一个重要的概念，它在自然科学、社会科学和工程技术等领域都有广泛的应用。
曲线的凹凸性和极值是曲线分析的重要内容，它们有助于我们更好地理解和把握曲线的性质和规律。
在之前的文章中，我们讨论了曲线的凹凸性和极值的基本概念，以及如何判断和求解极值问题。
接下来，我们将进一步探讨曲线凹凸性与极值之间的关系，以及如何利用这些概念解决实际问题。
一、曲线凹凸性与极值的关系1.凹凸性的判断曲线的凹凸性可以通过二阶导数来判断。
设曲线方程为y=f(x)，则曲线在点x处的凹凸性如下：-当f''(x)>0时，曲线在点x处凸向上；-当f''(x)<0时，曲线在点x处凸向下；-当f''(x)=0时，曲线在点x处可能为极值点或拐点。
2.极值点的判断设f(x)在区间[a, b]上连续，在区间(a, b)内可导，那么极值点满足以下条件：-当f'(x)=0时，x为极值点的必要条件；-当f''(x)<0时，x为极大值点；-当f''(x)>0时，x为极小值点。
二、曲线凹凸性与极值的实际应用1.优化问题在实际问题中，我们常常需要寻找函数的极值点，以求解最优化问题。
例如，在经济学中，我们可能需要求解最大利润或最小成本的问题；在工程学中，我们可能需要求解最小能耗或最大效益的问题。
通过研究曲线的凹凸性和极值，我们可以找到最优解对应的参数值。
2.物理力学在物理力学领域，曲线的凹凸性和极值有着重要的应用。
例如，在弹性力学中，曲线凹凸性对应着物体的应变情况，极值点则对应着应力集中现象。
通过分析曲线的凹凸性和极值，我们可以更好地了解和预测物体的力学性能。
3.经济学与金融学在经济学和金融学领域，曲线凹凸性和极值有助于我们分析和预测市场走势。
例如，在股票市场中，股价走势图可以看作是一条曲线，通过研究曲线的凹凸性和极值，我们可以判断股价的波动趋势，从而为投资决策提供依据。
4-极值和凹凸性
x5 b
x
4
二、函数极值的求法
定理1(必要条件) 设 f ( x ) 在点 x0 处具有导数, 且 在 x0 处取得极值,那末必定 f ' ( x0 ) 0 . 定义 使导数为零的点 (即方程 f ( x ) 0 的实根)叫
做函数 f ( x ) 的驻点.
点, 注意: 可导函数 f ( x ) 的极值点必定是它的驻 但函数的驻点却不一定 是极值点.
A
B
o
x
26
微分中值定理
作业
习题3.1 (111页)
1.(2)(3) 4.(2) 6.(2) 8.(1)
27
证 令 f (t ) t lnt , (t 0).
f (t ) lnt 1,
f ( t ) 1 0 t
所以曲线在 (0, ) 上是严格向下凸的.
x, y (0,), x y, 有
f ( x) f ( y) x y f 2 2
可以断定 y f ( x ) 不存在斜渐近线.
23
函数作图的具体步骤可归纳如下:
(1) 确定函数的定义域、间断点、奇偶性和周期性.
(2) 确定曲线的渐近线, 把握函数的变化趋势.
(3) 求出函数的单调性和极值, 确定曲线的凹凸性
和拐点.
(4) 适当计算曲线上一些点的坐标,如极值, 拐点
的坐标, 注意曲线是否与坐标轴是否有交点.
1 ,0 5
0
不 存 在
(0, )
0
拐点
1 凹的
凹的
18
凸的
1 , 6 3 5 5 25
函数的凹凸性与极值点
函数的凹凸性与极值点函数的凹凸性和极值点是微积分中重要的概念。
通过研究函数的凹凸性和极值点，我们可以更加深入地理解函数的性质，进而应用于许多实际问题的求解中。
本文将详细介绍函数的凹凸性和极值点。
一、凹凸性的定义首先我们来定义函数的凹凸性。
假设函数f(x)在区间I上可导，若对于任意的x1、x2∈I且x1＜x2，有f'(x1)＜f'(x2)，则称函数f(x)在区间I上是凹函数；若对于任意的x1、x2∈I且x1＜x2，有f'(x1)＞f'(x2)，则称函数f(x)在区间I上是凸函数。
凹凸函数很类似于水果篮中的凹凸形状，凹函数可以想象成篮子底部向上凹陷，而凸函数则相反，底部向下凸起。
函数凹凸性的变化有助于我们分析函数的增减性、拐点等特性。
二、凹凸性与导数的关系函数的凹凸性与函数的导数密切相关。
如果函数f(x)在区间I上连续，那么f'(x)的正负性与函数的凹凸性有以下关系：1. 如果f'(x)在区间I上单调递增，那么f(x)在区间I上是凹函数；2. 如果f'(x)在区间I上单调递减，那么f(x)在区间I上是凸函数；3. 若f''(x)存在且在区间I上恒大于零，那么f(x)在区间I上是凸函数；4. 若f''(x)存在且在区间I上恒小于零，那么f(x)在区间I上是凹函数。
通过对函数的导数进行研究，我们可以得到函数的凹凸性质。
这为我们进一步分析函数的特点提供了重要的线索。
三、极值点的定义与判定接着我们来回顾一下极值点的定义。
对于函数f(x)，如果存在某一点x0，使得在x0的某个邻域内，f(x0)是函数的最大值或最小值，则称x0是函数f(x)的极值点。
对于可导的函数f(x)，我们可以通过导数来判断函数的极值点：1. 若f'(x0) = 0，且f''(x0)存在，则x0是函数f(x)的驻点。
2. 若f'(x0) = 0，且f''(x0) > 0，则x0是函数f(x)的极小值点。
高等数学I(软件)D4_4单调性凹凸性极值与最值
例3 确定函数 f (x) (x 5) 3 x2 的单调区间. 2
解 (1) 定义域 ,
(2) f (x) 3 x2 (x 5) 2 1 5 x 1 2 3 3x 3 3x
令 f ( x) 0 , 得 x1 1, 当 x2 0 时, f ( x)不存在,
(3) 列表:
1
因此
从而
证明 目录 上页 下页 返回 结束
* 证明 x tan x 0
令
则
(x) 1 sec2 x
tan2 x 0,
x
(0,
2
)
从而
即
x tan x 0,
x
(0 ,
2
)
例5 证明不等式 2 x 3 1 (x 1)
x
证明 令 f (x) 2 x (3 1)
x
f (x)
1 x
1 x2
1 x2
(x
x 1)
当 x 1 时, f (x) 0 , 即 f (x)在 [1, )上单增,
当 x 1 时, f (x) f (1) 0,
即 x 1时，2 x 3 1 x
例5 证明:方程 xex =2在(0,1)内有且仅有一个实根
证明 设f (x) xex -2,因f (x)在[0,1]上连续， 且f (0) 2 0, f (1) e 2 0.由零值定理，
o
x
y
y x3
o
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
确定函数单调区间的方法和步骤:
(1) 确定函数 y f ( x) 的定义域;
(2) 求 f (x), 找使 f (x) 0 的点(驻点)和 f (x) 不存在的点;
(3) 以(2)中所找点为分界点,将定义域分割成部分区间, 判断在每一区间上导数的符号，由定理得出结论。
第4~5节 函数的单调性、极值、最值与曲线的凹凸性
x 0
x
故f ( x0 x ) f ( x0 )与x异号，
当x 0时， 有f ( x0 x ) f ( x0 ) 0, 当x 0时， 有f ( x0 x ) f ( x0 ) 0,
注意: 1 函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性． 2 定理中的区间换成其它有限或无限区间， 结论仍然成立.
第三章 第四节 3
证
x1 , x2 (a , b), 且 x1 x2 , 应用拉氏定理,得 ( x1 x2 )
求极值的步骤:
(1) D f 求 f 的零点及不存在的点 ;
( 2) 讨 论 f 在上步求出点左右的的 取值情况，从而确 定 f 的极值点（可用极值定 义、第一充分条件、第 二 充分条件）；
(3) 求极值。
(2)、 (3) 两步可用列表方式完成 。
第三章 第五节
20
例3 求 f ( x ) ( x 1) 3 x 2 的极值 .
即 x ln(1 x ). 证 毕.
第三章 第四节 9
利用函数的单调性证明不等式的方法步骤：
1 构造辅助函数： 使不等式的一端为0，另一端即位要作的辅助函数； 2 判断单调性： 3 求出区间端点的函数值或极限值，比较后即证， 或直接用不等式判断。
第三章 第四节
10
3 讨论方程的根
x 若k 0，f x ln x k , 求f x 在 0， 内零点的个数。 e
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) x2 x1 0,
GCT 数学- 函数单调性、凹凸性与极值ppt课件
• 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的可疑点 是否为最大 值点或最小值点 .
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例5.
求函数
f(x)2x39x21x2在闭区间[14,
5 2
]
上的最大值和最小值 .
y
解: 显然 f(x) C [1 4,5 2],且
注意: 1) 函数的极值是函数的局部性质.
2) 对常见函数, 函数极值的可能点集合为：
3)
｛驻点，不可导点｝
y
x1 , x4 为极大值点
x2 , x5 为极小值点
x3 不是极值点
O ax1 x2 x 3 x4 x 5 b x
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定理 2 (极值第一判别法)
设函f数 (x)在x0的某邻域,内 且在连 空心续 邻域 内有导数, 当x由小到大x通 0时,过
x
Байду номын сангаас
2 5
3x
2) 求极值可疑点
令 f(x)0,得 x1 52; 令 f(x),得 x2 0
3) 列表判别
x (,0) f (x) f (x)
0 (0 , 52)
2 5
(52, )
0
0
0.33
x0是极大值点，其极大值为 f(0)0
x
2 5
是极小值点，其极小值为
f(5 2)0.33
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第四节
第三章
函数的单调性、凹凸性与极值 利用导数研究函数
一、函数单调性的判定法 二、函数的极值及其求法 三、最大值与最小值问题 四、曲线的凹凸性与拐点
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函数的凹凸性与极值探讨
函数的凹凸性与极值探讨函数的凹凸性对其极值的存在性、数量以及判断方式都有重要影响。
以下是从几个方面详细分析函数的凹凸性如何影响其极值：1. 极值的存在性●凸函数：对于严格凸函数（即在整个定义域内都保持凸性的函数），如果在某点取得极值，则该极值必然是全局最小值（因为凸函数在任意两点之间的线段上都在函数图像上方或重合，所以在其内部不可能有比该点更低的点）。
同样地，如果函数是凹的，则在该点取得的极值可能是全局最大值。
●非严格凸/凹函数：对于非严格凸函数（即存在直线段与函数图像相切但不相交的凸函数）或非严格凹函数，可能存在多个极值点，但这些极值点可能不是全局最优解，而只是局部最优解。
2. 极值的数量●凸函数：在严格凸函数中，如果函数在某区间内连续可导，且在该区间的端点处函数值趋于无穷大（或满足其他适当的边界条件），则该函数在该区间内至多有一个全局最小值点（没有最大值点，除非定义域有界）。
这是因为凸函数的图像总是在任意两点之间的线段上方或与其重合，所以不可能在同一区间内有两个或更多的全局最小值。
●非凸函数：非凸函数可能具有多个局部极值点（包括局部最小值和局部最大值），这些极值点的数量取决于函数的复杂性和定义域的性质。
3. 极值的判断方式●一阶导数测试：对于可导函数，可以通过检查一阶导数的符号变化来判断极值点。
然而，这种方法在非凸函数上可能不够有效，因为可能存在多个驻点（一阶导数为零的点），其中只有部分是极值点。
●二阶导数测试：在二阶导数存在的情况下，可以利用二阶导数的符号来判断极值点的类型。
对于凸函数，其二阶导数（或海森矩阵对于多元函数）在非极值点处非负；在极小值点处等于零（对于严格凸函数，极小值点处二阶导数严格大于零）。
然而，需要注意的是，并非所有凸函数都是二阶可导的，且二阶导数测试在非凸函数上可能不够可靠。
●凹凸性直接判断：对于凸函数，可以直接利用凸函数的定义来判断极值点。
即，如果函数在某点取得极值，并且该点位于定义域的边界上或其一阶导数在该点附近发生变化（从正变为负或从负变为正），则该点很可能是全局最小值点（对于凹函数，则可能是全局最大值点）。
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性与极值
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性与极值教学目的：理解函数的单调性和曲线的凹凸性的判定定理，会求函数的单调区间和曲线的凹凸区间，理解函数极值的概念，会求函数极值。
教学重点：掌握用一阶导数判断函数的单调性和利用二阶导数判断曲线的凹凸性的方法和极值。
教学难点：导数不存在的连续点、也可能是单调区间和曲线的凹凸区间的分界点。
教学内容：一、函数单调性的判定法 如果函数)(x f y=在],[b a 上单调增加（单调减少）, 那么它的图形是一条沿x 轴正向上升（下降）的曲线. 这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是非正的）, 即0)(≥'='x f y (或0)(≤'='x f y ) 由此可见, 函数的单调性与导数的符号有着密切的关系.反过来, 能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？ 定理1 (函数单调性的判定法) 设函数)(x f y =在],[b a 上连续, 在),(b a 内可导.(1)如果在),(b a 内0)(>'x f , 那么函数)(x f y =在],[b a 上单调增加;(2)如果在),(b a 内0)(<'x f , 那么函数)(x f y =在],[b a 上单调减少.证明 只证(1)（（2）可类似证得）在],[b a 上任取两点)(,2121x x x x <, 应用拉格朗日中值定理, 得到)()()()()(211212x x x x f x f x f <<-'=-ξξ.由于在上式中012>-x x , 因此, 如果在),(b a 内导数)(x f '保持正号,即0)(>'x f , 那么也有0)(>'ξf , 于是0)()()()(1212>-'=-x x f x f x f ξ从而)()(21x f x f <，因此函数)(x f y=在],[b a 上单调增加. 证毕注: 判定法中的闭区间可换成其他各种区间. 例1 判定函数x x ysin -=在]2,0[π上的单调性.解 因为在)2,0(π内0cos 1>-='xy ,所以由判定法可知函数x x y sin -=在]2,0[π上单调增加.例2 讨论函数1--=x e y x的单调性.解 由于1-='xe y 且函数1--=x e y x的定义域为),(+∞-∞令0='y , 得0=x , 因为在)0,(-∞内0<'y , 所以函数1--=x e y x在]0,(-∞上单调减少; 又在),0(+∞内0>'y , 所以函数1--=x e y x在),0[+∞上单调增加.例3. 讨论函数32x y =的单调性.解: 显然函数的定义域为),(+∞-∞, 而函数的导数为332x y =')0(≠x所以函数在0=x处不可导.又因为0<x 时,0<'y , 所以函数在]0,(-∞上单调减少; 因为0>x时, 0>'y , 所以函数在),0[+∞上单调增加.说明: 如果函数在定义区间上连续, 除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续, 那么只要用方程0)(='x f 的根及导数不存在的点来划分函数)(x f 的定义区间, 就能保证)(x f '在各个部分区间内保持固定的符号, 因而函数)(x f 在每个部分区间上单调.例4. 确定函数31292)(23-+-=x x x x f 的单调区间.解 该函数的定义域为),(+∞-∞.而)2)(1(612186)(2--=+-='x x x x x f ,令0)(='x f , 得2,121==x x .列表函数f (x )在区间]1,(-∞和),2[+∞内单调增加, 在区间]2,1[上单调减少.例5. 讨论函数3xy=的单调性.解 函数的定义域为),(+∞-∞函数的导数为:23x y =', 除0=x时, 0='y 外, 在其余各点处均有0>'y 因此函数3xy =在区间]0,(-∞上单调减少;因为当0≠x时, 0>'y , 所以函数在),0[+∞及),0[+∞上都是单调增加的.从而在整个定义域),(+∞-∞内3xy =是单调增加的. 其在0=x 处曲线有一水平切线.说明:一般地, 如果)(x f '在某区间内的有限个点处为零, 在其余各点处均为正（或负）时,那么)(x f 在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.例6. 证明: 当1>x 时, xx 132->.证明: 令)13(2)(xx x f --=, 则)1(111)(22-=-='x x xx x x f 因为当1>x 时,0)(>'x f , 因此)(x f 在),1[+∞上单调增加, 从而当1>x 时,)1()(f x f > ,又由于0)1(=f , 故0)1()(=>f x f ,即0)13(2>--xx , 也就是xx 132->,(1>x ).二、曲线的凹凸与拐点 1. 凹凸性的概念x 1x 2y x O221x x +()221x x f+2)()(21x f x f + f (x 2) f (x 1) x 1 x 2yxO221x x +()221x x f+2)()(21x f x f + f (x 2)f (x 1)定义 设)(x f 在区间I 上连续, 如果对I 上任意两点21,x x , 恒有2)()()2(2121x f x f x x f +<+, 那么称)(x f 在I 上的图形是(向上)凹的(或凹弧); 如果恒有2)()()2(2121x f x f x x f +>+, 那么称)(x f 在I 上的图形是(向上)凸的(或凸弧). 定义' 设函数)(x f y =在区间I 上连续, 如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的上方，则称该曲线在区间I 上是凹的；如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的下方，则称该曲线在区间I 上是凸的. 2.曲线凹凸性的判定定理 设)(x f 在],[b a 上连续, 在(a , b )内具有一阶和二阶导数, 那么 (1)若在),(b a 内0)(>''x f , 则)(x f 在],[b a 上的图形是凹的;(2)若在),(b a 内0)(<'x f , 则)(x f 在],[b a 上的图形是凸的. 证明 只证(1)((2)的证明类似) 设)(,],[,2121x x b a x x <∈ 记2210x x x +=由拉格朗日中值公式得2)())(()()(21101101x x f x x f x f x f -'=-'=-ξξ 011x x <<ξ2)())(()()(12202202x x f x x f x f x f -'=-'=-ξξ 220x x <<ξ两式相加并应用拉格朗日中值公式得2)]()([)(2)()(1212021x x f f x f x f x f -'-'=-+ξξ 02))((1212>--''=x x f ξξξ 21ξξξ<<即)2(2)()(2121xx f x f x f +>+ 所以)(x f 在],[b a 上的图形是凹的拐点: 连续曲线)(x f y =上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点.确定曲线)(x f y =的凹凸区间和拐点的步骤: (1)确定函数)(x f y =的定义域;(2)求出在二阶导数)(x f ' ;(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点; (4)判断或列表判断, 确定出曲线凹凸区间和拐点; 注: 根据具体情况（1）、（3）步有时省略. 例1. 判断曲线x yln =的凹凸性.解:xy 1=',21xy -=''.因为在函数x y ln =的定义域),0(+∞内, 0<''y , 所以曲线x y ln =是凸的.例2. 判断曲线3xy=的凹凸性.解: 因为23x y =' ,x y 6=''. 令0=''y 得0=x .当0<x 时, 0<''y , 所以曲线在]0,(-∞内为凸的;当0>x 时,0>''y , 所以曲线在),0[+∞内为凹的. 例3. 求曲线14123223+-+=x x x y的拐点.解: 12662-+='x x y , )12(6612+=+=''x x y ，令0=''y , 得21-=x . 因为当21-<x 时,0<''y ; 当21->x 时, 0>''y , 所以点(21-, 2120)是曲线的拐点.例4. 求曲线14334+-=x x y的拐点及凹、凸的区间.解: (1)函数14334+-=x x y 的定义域为),(+∞-∞; (2) 231212x x y -=',)32(3624362-=-=''x x x x y ;(3)解方程0=''y , 得01=x , 322=x ; (4)列表判断:(-, 0) 0 (0, 2/3) 2/3 (2/3, +) f ''(x ) + 0 - 0 +)(x f1 11/27在区间]0,(-∞和),32[+∞上曲线是凹的, 在区间]32,0[上曲线是凸的. 点)1,0( 和)2711,32(是曲线的拐点.例5 问曲线4xy =是否有拐点？解34xy =',212xy ='' .当0≠x 时, 0>''y , 在区间),(+∞-∞内曲线是凹的, 因此曲线无拐点.例6. 求曲线3x y =的拐点.解 (1)函数的定义域为),(+∞-∞; (2) 3231x y =', 32 92x x y -=''; (3)函数无二阶导数为零的点，二阶导数不存在的点为0=x ;(4)判断: 当0<x 时,0>''y ; 当0>x时, 0<''y .因此, 点)0,0(是曲线的拐点.三、函数的极值及其求法定义 设函数)(x f 在0x 的某一邻域)(0x U 内有定义如果对于去心邻域)(0x U ︒内的任一x ，有)()(0x f x f <（或)()(0x f x f >）, 则称)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值（或极小值）.函数的极大值与极小值统称为函数的极值, 使函数取得极值的点称为极值点.说明：函数的极大值和极小值概念是局部性的. 如果)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值, 那只是就0x 附近的一个局部范围来说, )(0x f 是)(x f 的一个最大值; 如果就)(x f 的整个定义域来说, )(0x f 不一定是最大值. 对于极小值情况类似.极值与水平切线的关系: 在函数取得极值处, 曲线上的切线是水平的. 但曲线上有水平切线的地方, 函数不一定取得极值.定理3 (必要条件)设函数)(x f 在点0x 处可导, 且在0x 处取得极值, 那么函数在0x 处的导数为零, 即0)(0='x f .定理1可叙述为：可导函数)(x f 的极值点必定是函数的驻点. 但是反过来, 函数)(x f 的驻点却不一定是极值点.考察函数3)(x x f =在0=x 处的情况. 显然0=x 是函数3)(x x f =的驻点，但0=x 却不是函数3)(x x f =的极值点.定理4 (第一种充分条件)设函数)(x f 在点0x 处连续, 在0x 的某去心邻域),(0δx U ︒内可导.(1) 若),(00x x x δ-∈时，0)(>'x f , 而),(00δ+∈x x x 时，0)(<'x f , 则函数)(x f 在0x 处取得极大值;(2) 若),(00x x x δ-∈时，0)(<'x f , 而),(00δ+∈x x x 时，0)(>'x f , 则函数)(x f 在0x 处取得极小值;(3)如果),(0δx U x ︒∈时，)(x f '不改变符号, 则函数)(x f 在0x 处没有极值. 定理2也可简单地叙述为: 当x 在0x 的邻近渐增地经过0x 时, 如果)('x f 的符号由负变正, 那么)(x f 在0x 处取得极大值; 如果)('x f 的符号由正变负, 那么)(x f 在0x 处取得极小值; 如果)('x f 的符号并不改变, 那么)(x f 在0x 处没有极值.确定极值点和极值的步骤: (1)求出导数)('x f ;(2)求出)(x f 的全部驻点和不可导点;(3)列表判断(考察)('x f 的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况, 以便确定该点是否是极值点, 如果是极值点, 还要按定理2确定对应的函数值是极大值还是极小值); (4)确定出函数的所有极值点和极值. 例1 求出函数593)(23+--=x x x x f 的极值解 963)(2--='x x x f )3)(1(3-+=x x令，0)(='x f 得驻点.3,121=-=x x 列表讨论x)1,(--∞1-)3,1(-3),3(+∞)(x f '++)(x f↑极大值↓极小值↑所以极大值)1(-f ,10=极小值22)3(-=f .22-= 函数593)(23+--=x x x x f 的图形如下例2 求函数32)1()4()(+-=x x x f 的极值解 显然函数)(x f 在),(+∞-∞内连续 除1-=x 外处处可导 且 313)1(5)(+-='x x x f 令)('x f 得驻点1=x ，1-=x 为)(x f 的不可导点(3)列表判断x )1,(--∞-1 )1,1(-1 ),1(+∞)('x f+ 不可导 - 0 + )(x f↗↘343-↗所以极大值为0)1(=-f 极小值为343)1(-=f如果)(x f 存在二阶导数且在驻点处的二阶导数不为零则有定理5 (第二种充分条件) 设函数)(x f 在点0x 处具有二阶导数且0)(0'=x f ,0)(0≠''x f , 那么(1)当0)(0<''x f 时, 函数)(x f 在0x 处取得极大值;(1)当0)(0>''x f 时, 函数)(x f 在0x 处取得极小值; 证明 对情形(1), 由于0)(0<''x f , 由二阶导数的定义有0)()(lim)(0000<-'-'=''→x x x f x f x f x x .根据函数极限的局部保号性, 当x 在0x 的足够小的去心邻域内时,0)()(00<-'-'x x x f x f . 但0)(0'=x f , 所以上式即为0)(0<-'x x x f . 于是对于去心邻域内的x 来说, )('x f 与0x x -符号相反. 因此, 当00<-x x 即0x x <时,0)('>x f ; 当00>-x x 即0x x >时,0)('<x f . 根据定理2,)(x f 在0x 处取得极大值.类似地可以证明情形(2).说明：如果函数)(x f 在驻点0x 处的二导数0)(0≠''x f , 那么该点0x 一定是极值点, 并可以按)(0x f ''的符来判定)(0x f 是极大值还是极小值. 但如果0)(0=''x f , 定理3就不能应用.例如讨论函数4)(x x f =, 3)(x x g =在点0=x 是否有极值？因为34)(x x f =', 212)(x x f =''，所以0)0(='f ，0)0(=''f但当0<x 时0)(<'x f , 当0>x 时0)(>'x f , 所以)0(f 为极小值. 而23)(x x g =',x x g 6)(=''，所以0)0(='g ，0)0(=''g 但)0(g 不是极值．例3 求出函数 20243)(23--+=x x x x f 的极值解 2463)(2-+='x x x f )2)(4(3-+=x x令，0)(='x f 得驻点 2,421=-=x x ，由于66)(+=''x x f由于=-'')4(f ,018<- 所以极大值)4(-f 60= 而='')2(f ,018>所以极小值)2(f .48-=函数 20243)(23--+=x x x x f 的图形如下注意 当0)(0=''x f 时，)(x f 在点0x 处不一定取得极值，此时仍用定理2判断。
凸凹性与极大值与极小值
凸凹性与极大值与极小值凸凹性是我们在高中数学学习中就接触到的概念之一，它与函数图像的形状、极值有着密切的关系。
首先，我们来了解一下凸性和凹性的概念。
在数学中，凸性是指函数的图像向上弯曲的程度，也就是说，函数图像的曲率向上。
如果一个函数在其定义域上的图像向上弯曲，我们就称这个函数在这个区间上是凸函数。
反之，如果函数图像向下弯曲，我们则称这个函数在该区间上是凹函数。
研究函数的凸凹性还有另一种方式，即研究其导数。
设函数f(x) 在区间 I 上有定义，且在 I 上有二阶导数，若对于 I 上任意两点 x1、x2（x1<x2），有：f′′(x)>0(x1<x<x2)（或者f′′(x)<0(x1<x<x2)）,则称 f(x) 在区间 [x1,x2] 上为凸函数（或凹函数）。
既然我们现在了解了凸凹的定义，那么判断一个函数图像的凸凹性，就需要对其导数进行计算了。
具体而言，我们需要计算一阶导数和二阶导数，然后判断二阶导数的正负性。
如果二阶导数大于零，则说明函数图像向上弯曲，是凸函数；如果二阶导数小于零，则说明函数图像向下弯曲，是凹函数。
说到这里，我们不难想到极值的概念。
在一个函数的定义域内，如果有一个点 x0，满足f(x0)≥f(x)（或者f(x0)≤f(x)），那么我们就称 x0 是函数的极大值（或极小值）点。
如果一个点既不是极大值，也不是极小值，则称这个点是函数的极值。
那么，在一个函数图像的图像中，如果出现一个极值点，这个点的凸凹性就可以被确定了。
具体而言，如果这个极值点是一个极大值点，那么它的左边是一个凸函数，右边是一个凹函数；如果这个极值点是一个极小值点，那么它的左边是一个凹函数，右边是一个凸函数。
接下来，我们可以通过一个实例来深入掌握凸凹性和极值的概念。
举例：考虑函数 f(x)=x^3 − 3x^2 + 2x。
我们首先可以求出其一阶导数和二阶导数分别为：f′（x）=3x^2 − 6x + 2,f′′（x）=6x − 6.我们发现，二阶导数在整个定义域内都大于零（因为6x-6=6（x-1）-6>0当x>1时），所以函数图像在整个定义域内均为凸函数。
第四节函数的单调性与曲线的凹凸性描述
2 36 x( x ) 3
y y
2018/12/9
凹
0 拐点 凸 (0,1)
2 3 0
(2 , ) 3
拐点
( 2 , 11 ) 3 27
凹
22
3-4 单调性和凹凸性
2 2 故该曲线在( , 0) 及( , ) 上向上凹, 在 (0 , ) 上 3 2 11 3 向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及 ( , ) 均为拐点. 3 27
3-4 单调性和凹凸性
12
例4 当x 0时, 试证x ln(1 x )成立.
证 : 设f ( x ) x ln(1 x ), 则 1 x f ( x ) 1 . 1 x 1 x f ( x )在[0,)上连续, 且(0,)可导, f ( x ) 0,
第四节 函数的单调性与 曲线的凹凸性
一、函数单调性的判定法
二、曲线的凹凸与拐点
2018/12/9
3-4 单调性和凹凸性
1
y
y f ( x)
A
B
பைடு நூலகம்
y
A y f ( x)
B
o a
b
x
o a
b x
f ( x ) 0
f ( x ) 0
2018/12/9
3-4 单调性和凹凸性
2
一、函数单调性的判定法
3 7 在[0,2]内曲线有拐点为 ( ,0), ( ,0). 4 4
2018/12/9
3-4 单调性和凹凸性
25
• 用一阶导数符号判别单调性；用二阶导数符 号判别凹凸性。 • 一阶导数为0或不存在的点为单调性发生变 化的可疑点；二阶导数为0或不存在的点为 凹凸性发生变化的可疑点。
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例4 求曲线 y(x1)3 x2 的拐点及凹凸区间.
解 函数在其定义域 (,)内连续.
y
5
2
x3
2x13,
33
y2(5x4 1),(x0) 9x3
在x0处,y,y均 不;存令在 y0,得x1.
5
x
, 1
5
1 5
f(x)
0
1 ,0 5
0 (0, )
不
存
在
f (x)
在空心邻域 U ( x 0 ) 内f (x) 存在, (1) 若x0 在 两f侧 (x)异,则 号点 (x0, f(x0))即为拐 ; 点 (2) 若x0 在 两f侧 (x)同,号 则点 (x0, f(x0))不是拐 . 点
定理3.9 (拐点的第二充分条件)
若 f(x 0 ) 0 ,f(x 0 ) 0 ,则(点 x0,f(x0)是 )
2
2
则称 f(x)在区 I上 间是向,或 上称 凸.凸 的的
定理3.7 设 f(x)在 [a,b]上连 ,在 (a续 ,b)内可 ,则导
(1 )若 (a ,b 在 )内 f(x ) 0 ,则 f(x )在 [a ,b ]上是 ;
(2 )若 (a ,b 在 )内 f(x ) 0 ,则 f(x )在 [a ,b ]上是 .
y
yf(x)
•
•
O x1 x1 x2 x 2 x
2
图形上任意弧段 位于所张弦的上方
定义 3.2 设 f (x)在区间I 上连续, 如果 x1,x2I,
恒有
fx1x2f(x1)f(x2)
2
2
则称 f(x)在区 I上 间是向,或 下称 凸;凹 的的
如果 x1,x2I, 恒有
fx1x2f(x1)f(x2)
邻域内可导, 则
(1) 如果 x (x0,x0)有, f(x)0，而x(x0,x0),
有 f(x)0, 则 f (x)在 x 0 处取得极大值;
(2) 如果 x (x0,x0)有, f(x)0，而x(x0,x0),
有 f(x)0, 则 f (x)在 x 0 处取得极小值;
(3) 如果当 x (x 0,x 0)及 x (x0,x0)时,
f(x)f(y)fxy
2
2
即 xln xyln yxyln xy.
22
性质 如果 f(x)在[a,b]上连,且 续其图形.是凸
则 x i [ a ,b ]p i , 0 (i 1 ,2 , ,n ),
f(x)3x26x 令f(x)0，得 驻 x 10,点 x22.
f(x)6x6 f(0) 60, 故 极 大 f(0值 )1,
f(2)60, 故 极 小 f(2)值 3.
3.4.2 曲线的凹凸性及拐点
问题: 如何研究曲线的弯曲方向?
y
yf(x) • •
O x1 x1 x2 x2 x
2
图形上任意弧段 位于所张弦的下方
f (x)符号相同,则 f (x)在 x 0 处无极值.
y
y
o x0
xo
x0
x
是极值点情形
y
y
o
x0
xo
x0
x
不是极值点情形
求函数极值的基本步骤:
(1) 求出 f ( x) 的所有可能的极值点, 即的不可导 的点和 f(x)0的点; (2) 对(1)中求得的每个点, 根据 f(x)0在其左、
右是否变号, 确定该点是否为极值点.
3
x
( ,0)
0
0 , 1 3
不
f(x) 存
在
1 3
1 ,1 3
1
(1, )
不
0 存在
f (x)
无
极
极 值
大 值
极
小 值
极大值 f 1 3 4 , 极小值 f(1)0.
3 3
定理3.6 (极值的第二充分条件) 设 f (x)在x 0 处具有二阶导数, 且 f(x0)0,
f(x0)0, 则 (1) 当 f(x0)0时, 函数 f (x) 在 x 0处取得极大值; (2) 当 f(x0)0时, 函数 f (x) 在 x 0处取得极小值.
注意: f(x0)0时,f(x)在点 x0处不一定取 , 得 此时仍需用定理3.5.
例2 求函数 f(x)x33x21的极值.
解 定义域为 ( , ).
函数的极大值与极小值统称为极值, 使函数 取得极值的点x0称为极值点. 注意: 极值的概念是一个局部性的概念, 它仅)
设 f (x)在点 x 0处可导, 且在 x 0处取得极值,
则必有 f(x0)0. 使得 f(x 导 )为数 零 ,称 的 为 f点 (x函 )的驻点数 .
例3 判断曲线 y x3 的凹凸性.
解
y 3x2, y 6x
当x 0时，y0, 所,以 曲线 (在 ,0]上是;凸的
当x 0时，y 0, 所,以 曲线 [0,在 )上是.凹的 定义3.3 连续曲线上凹凸性发生变化的点称为曲线 的拐点.
定理3.8 (拐点的第一充分条件) 设函数 yf(x)在 x0的某邻域 U( x0)内连续，
拐点
凸的
1 5
,
6 5
3
1 25
凹的
不是 拐点
凹的
例5 证明 x lx n y ln y x y ln x y ,(x 0 ,y 0 ,x y ) 22
证 令 f(t)tln t,(t0).
f(t)ln t1, f (t) 1 0
t
所以曲线在 (0, )上是严格向下凸的.
x ,y (0 ,) x ,y, 有
注意: 可导函数的极值点必定是驻点, 但驻点不一定是极值点.
例如, y x3, yx00, 但x0不是极值.点 另外: 连续函数的不可导点, 也可能是极值点.
例如, y x , 在x0处不可 ,但导 是极小 . 值点
定理3.5 (极值的第一充分条件) 设函数 f (x) 在 x0 处连续, 在 x0的某个空心
3.4 极值与凹凸性
3.4.1 函数的极值
y
yf(x)
a o x1
x2 x3
x4
b x 5 x 6
x
y
y
o
x0
x
o
x0
x
定义3.1 设 f (x)在 x0 附近有定义, 如果在 x0的 某个空心邻域内, 恒有
f(x)f(x0) (或 f(x)f(x0))
则称 f(x0)为函f(数 x)的一个极大值(或极小值),
如果是极值点, 进一步确定是极大值点还是 极小值点; (3) 求出各极值点处的函数值, 得到相应的极值.
例1 求函数 f(x)3 x(1x)2 的极值.
解 函数在其定义域 (,)内连续.
f(x) 13x ,(x0,1) 33 x2(1x)
当 x0与 x1时 ,导数不存在; 令f(x)0，得驻点x 1.