14.1.3 积的乘方
14.1.3 积的乘方
2.下面的计算是否正确？如果有错误，请 改正. x3 (1) (xy2)3= x y6 (× ) 4 2)2=-4 b4 (2) (-2b (× )
积的乘方的运算性质： (ab)n=_____.(n为正整数) anbn (ab)n=_____. (n为正整数)
请你推广:
n = anbncn (n为正整数) 1 (abc)
(3) (2xnym)2
(4) (Байду номын сангаас2xy2z3)4
3.计算：
⑴ (-a2)3.(-a3)2
⑵ -(n2).(-n5)3 ⑶ a5.a3+(2a2)4
⑷ (-2a)3－(-a).(a)2
积的乘方的运算性质： (ab)n=_____.(n为正整数) anbn (ab)n=_____. (n为正整数)
你会计算吗？
逆用积 的乘方 的运算 性质
1 4 4 ( ) 2 2
1 4 原式 2） （ 2 1
1 100 100 ( ) 2 2 1 100 原式 2） （ 2 1
试一试
计算:
1.
14 4 ( ) 4 4
4 5
0.25 4 1 2005 2006 3. ( ) 3 3 14 10 4. ( ) 2 4
5. (m4)2+m5·m3=____,(a3)5·(a2)2=____. a19 2m8
填空： 16 ⑴ (1×2)4＝____;
16 14×24 =_____;
比一比
－216 ⑵ [3×(-2)]3＝_____; 33×(-2)3=_____; －216 1 1 1 1 2 12 12 ⑶( ×) = ( ) × ) = ( 36 2 3 36 2 3 你发现了什么?
人教版数学八年级上册14.1.3积的乘方优秀教学案例
1.结合生活实例，引导学生理解积的乘方的定义。如：两个相同的正方形相乘，可以理解为正方形的边长乘以边长，即2×2×2=8，这就是积的乘方。
2.讲解积的乘方的运算法则，通过举例、讲解、演示等方法，使学生理解和掌握运算法则。
3.运用平方差公式和完全平方公式，引导学生发现积的乘方与平方差、完全平方之间的关系，为解决实际问题打下基础。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解积的乘方的概念，掌握积的乘方的运算法则。
2.能够运用积的乘方解决实际问题，提高运用数学知识解决实际问题的能力。
3.熟练运用平方差公式和完全平方公式，为学习更高阶的数学知识打下基础。
（二）过程与方法
1.通过小组合作、讨论交流的方式，培养学生自主探究、发现规律的能力。
三、教学策略
（一）情景创设
1.利用多媒体展示正方形的巧克力图片，引导学生关注实际问题，激发学生学习兴趣。
2.创设问题情境：小明的妈妈买了一块正方形的巧克力，每块巧克力的边长是4厘米，小明想知道这块巧克力一共有多少立方厘米。让学生感受到数学与生活的紧密联系，引发学生的思考。
3.设计富有挑战性的数学题目，让学生在解决问题的过程中自然引出积的乘方的概念。
3.教师对学生的学习情况进行评价，关注学生的成长和进步，及时调整教学策略。
（五）作业小结
1.布置具有层次性的作业，让学生在课后巩固所学知识。
2.要求学生在作业中运用积的乘方解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
3.鼓励学生自主探索，尝试解决更复杂的数学问题，培养学生的创新能力。
作为一名特级教师，我将以以上教学内容与过程为指导，关注学生的个体差异，充分调动学生的学习积极性，使他们在本节课中获得全面的发展。同时，我也将注重教学评价，及时了解学生掌握情况，为下一节课的教学提供有力保障。通过本节课的教学，使学生在知识、能力和情感态度与价值观等方面都得到提升，为他们的全面发展奠定基础。
14.1.3 积的乘方(13)
复习
回顾与思考 同底数幂的乘法运算法则：
am ·an = am+n （m,n都是正整数）
幂的乘方运算法则: (am)n=
amn (m、n都是正整数)
做一做
根据乘方的意义和同底数幂的乘法，完成下列各题：
(1) (2×3)2=(2×3) × (2×3) =(2×2) × (3×3) 2) 2) ( ( =2 × 3 (2) (ab)3=(ab) · (ab) · (ab) a· a) b· b) · = (a · · (b · = a( 3 ) b( 3 ) (ab · ab· ab· ab· ab)
【例3】地球可以近似地看做是球体，如果用V, r 分别
代表球的体积和半径，那么 V 4 r 3． 地球的半径 约为6.37×106 m，它的体积大约是多少立方米?
例题解析
3
解：
4 V r3 3 = 4 ×(6.37×103)3 3 4 × 6.373×109 = 3
≈ 1.08×1021 ( m3)
=a · b ．
n
(a b) = a ·b (n是正整数). 积的乘方，等于各因式乘方的积.
n n
n
【例2】计算： (1)(2x)2 ; (3)(-2b2)4 ;
(2)(-3ab)3 ; (4)(-xy3)2 .
解： (1) (2x)2 =22x2 = 4x2 ; (2) (-3ab)3= (-3)3a3b3 = -27a3b3 ; (3) (-2b2)4= (-2)4 (b2)4 =16b8； (4)(-xy3)2= (-1)2x2(y3)2= x2 y6 ．
2 n
2 5
(ab) = a · b 反向使用:
《14.1.3积的乘方》教案
3.培养学生数学抽象素养，通过积的乘方法则的理解，让学生感悟数学抽象概念，形成对数学规律的深刻认识。
4.增强学生数学建模素养，学会将实际问题转化为数学模型，利用积的乘方法则进行简便运算，提高解决实际问题的效率。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调积的乘方法则以及如何应用于不同类型的数（正数、负数和零）。对于难点部分，如负数乘方的运算规则，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与积的乘方相关的实际问题，如计算具体物体的体积。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示积的乘方在几何图形面积或体积计算中的应用。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“积的乘方在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
五、教学反思
今天我们在课堂上学习了《14.1.3积的乘方》，回顾整个教学过程，我觉得有几个地方值得思考和改进。
首先，关于教学内容的导入，我通过提问方式引导学生思考积的乘方在日常生活中的应用，希望能激发他们的兴趣。从学生的反应来看，这种方法还是有效的，他们能够积极参与进来。但在实际操作中，我发现有些学生对这个问题还是感到困惑，可能是我举例不够贴近他们的生活实际，以后在这方面需要多下功夫。
-对于零的乘方，如0^2，学生需要理解结果是0，但0^0是不确定的，不属于本节课的讨论范围。
14.1.3积的乘方
【想一想】 一般在什么情况下逆用积的乘方法则? 提示：先算乘方时计算量太大或无法算出具体
结果，两底数的积为1或-1时，且两个幂的指
数相差不大时，可以考虑逆用积的乘方法则进 行计算.
【备选例题】 计算：(1)xa=2，ya=3，求(xy)2a的值. (2)当a3b2=72时，求a6b4的值.
数的积容易计算
说说你有什么收获?
再 见
积的乘方
1.类比计算：
(1)根据幂的意义及乘法的交换律和结合律进行计算：
a )· (ab)2=( ab )· ( ab )=( a· (b· b)=a 2b 2. a· a )· b· b )= a3b3. (2)(ab)3=(ab)· (ab)· (ab)=( a· ( b·
n (3)(ab)n=(ab) (ab) (ab) n n a a a bbb
【想一想】 (-ab)m与(ab)m的结果相等吗?为什么? 提示：不一定，它们可能相等，也可能互为
相反数.当m为偶数时，两式相等，当m为奇
数时，两式互为相反数.
【微点拨】
1.底数带有负号时，可以看成因数 -1与另一个 因数的乘积，指数为偶数，则为正，指数为奇
数，则为负. 2.多种运算混合在一起，需考虑运算的顺序.
【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.(ab2)3=ab6. ( 2.(3xy)3=9x3y3.
×) (× )
×) 4.-(ab2)2=-a2b4. ( √ ) 5.(2×103)2=4×105. ( × )
3.(-2a2)2=-4a4. (
知识点一 积的乘方运算
【示范题1】计算:(1)-(-3a2b3)4.(2)(xn+1y2-n)2. (3)(-2x2)3· x5. 【思路点拨】积的乘方→幂的乘方或同底数幂的
14.1.3 积的乘方 初中数学人教版八年级上册教学课件(共24张PPT)
(1) (ab)2;
(2) (ab)3.
底数为两个因式相乘，积的形式.
这种形式为 积的乘方
探究新知
【探究】尝试应用之前所学的知识进行计算，运算过程用到了 哪些运算律，你能发现结果又什么规律？
(ab)2 (ab)·(ab) (a·a)·(b·b) a(2 )b(2 )
（乘方的意义） （乘法交换律、结合律） （同底数幂相乘的法则）
x3
2
2x3
3
;
(1) x x2
x3
2
2x3
3
x3 x6 23 x3 3
x9 8x9 7x9 .
(2)
a3b2
6
a6b4
3
.
(2)
a3b2
6
a6b4
3
a18b12 a18b12
a18b12 a18b12
2a18b12
混合运算顺序： 积的乘方→幂的乘方→同底数幂的乘法→加减法
(ab)3 (ab)·(ab)·(ab) (a·a·a)·(b·b·b) a( 3 )b( 3 )
(ab)n = ?
【发现】结果把积的 每一个因式分别乘方， 再把所得的幂相乘.
探究新知
猜一猜 (ab)n = anbn .
n个ab 验证 (ab) n= (ab)·(ab)·····(ab)
n个a n个b =(a·a·····a)·(b·b·····b)
(4) ( -2x3 )4.
解：(1) (2a)3 23·a3 8a3 ; (2) (5b)3 (5)3·b3 125b3 ; (3) (xy2)2 x2·(y2)2 x2y4 ; (4) (2x3)4 (2)4·(x3)4 16x12 .
【注意】积的乘方， 要把积的每一个因 式分别乘方，不要 漏掉任何一项
14.1.3 积的乘方
2．一个正方体的棱长为4×105mm，则这个正方体的体积为 ________ mm3 .
6.4 ×1016
2. 已知n是正整数，且m2n=3，求(3mn)2+m6n的值.
=32·m2n+(m2n)3 = 9×3+(3)3 = 54.
解:原式
课堂小结
归纳总结
构建脉络
积的乘方
am ·an = am+n (m、n都是正整数)
【例1】 1.计算：
(4) ) ( a4b3)3 .
= m3 ·n3 = m3n3 .
= (-3)2 ·a2 ·b2 = 9a2b2 .
= 52 ×(104)2 = 25 ×108 = 2.5 ×109 .
= ( )3 ·(a4)3 ·(b3)3 = a12 b9 .
解:原式
解:原式
棱长为2a
V正方体 = 2a·2a·2a = (2a)3 = 8a3
8a3是如何计算得出的呢？
同学们根据上面的知识，尝试进行计算
知识回顾：
计算：(1) (2×3)2 .
(2) (a×b)3 .
计算：(1) (2×3)2 .
= (2×3)×(2×3) = 2×2×3×3 = 22×32= 36
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 .
指数相同时，可
THANKS！
解:原式
解:原式
练一练
(1) (xy)3 ;
(2) (-2mn)3 ;
(3) (a3nb2)2 ;
1.计算：
(4) ) [a4b2(c3)2]3 .
= x3 ·y3 = x3y3 .
= (-2)3 ·m3 ·n3 = -8m3n3 .
14.1.3积的乘方
14．1.3 积的乘方1．掌握积的乘方的运算法则．(重点)2．掌握积的乘方的推导过程，并能灵活运用．(难点)一、情境导入 1．教师提问：同底数幂的乘法公式和幂的乘方公式是什么？ 学生积极举手回答：同底数幂的乘法公式：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．幂的乘方公式：幂的乘方，底数不变，指数相乘．2．肯定学生的发言，引入新课：今天学习幂的运算的第三种形式——积的乘方． 二、合作探究 探究点一：积的乘方 【类型一】 直接利用积的乘方法则进行计算 计算：(1)(－5)3；(2)－(3x 2y )2；(3)(－2c 3)3；(4)(－3m )2. 解析：直接应用积的乘方法则计算即可．解：(1)(－5)3＝(－5)3a 3b 3＝－125a 3b 3；(2)－(3x 2y )2＝－32x 4y 2＝－9x 4y 2； (3)(－2c 3)3＝(－)3a 3b 6c 9＝－a 3b 6c 9；(4)(－3m )2＝(－1)2x 26m ＝x 26m . 方法总结：运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏乘方．【类型二】积的乘方在实际中的应用太阳可以近似地看作是球体，如果用V 、R 分别代表球的体积和半径，那么V＝πR 3，太阳的半径约为6×105千米，它的体积大约是多少立方千米？(π取3) 解析：将R ＝6×105千米代入V ＝πR 3，即可求得答案． 解：∵R ＝6×105千米，∴V ＝πR 3＝×π×(6×105)3＝8.64×1017(立方千米)． 答：它的体积大约是8.64×1017立方千米．方法总结：读懂题目信息，理解球的体积公式并熟记积的乘方的性质是解题的关键． 【类型三】含积的乘方的混合运算计算：(1)－4·()·(－2x )；(2)(－a 3b 6)2＋(－a 2b 4)3.解析：(1)先进行积的乘方，然后根据同底数幂的乘法法则求解；(2)先进行积的乘方和幂的乘方，然后合并．解：(1)原式＝42·x 2y 4·8x 6＝8x 9y 6；(2)原式＝a 6b 12－a 6b 12＝0. 方法总结：先算积的乘方，再算乘法，最后算加减，然后合并同类项． 探究点二：积的乘方的逆运算【类型一】 利用积的乘方的逆运算进行简便运算计算：()2015×()2016. 解析：将()2016转化为()2015×，再逆用积的乘方公式进行计算． 解：原式＝()2015×()2015×＝(×)2015×＝.方法总结：对公式·＝()n，要灵活运用，对于不符合公式的形式，要通过恒等变形，转化为公式的形式．运用此公式可进行简便运算．【类型二】利用积的乘方比较数的大小试比较大小：213×310与210×312.解：∵213×310＝23×(2×3)10，210×312＝32×(2×3)10，23＜32，∴213×310＜210×312.方法总结：利用积的乘方，转化成同底数的同指数的幂是解答此类问题的关键．三、板书设计积的乘方积的乘方公式：()n＝(n为正整数)．即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．在本节的教学过程中教师可以采用与前面相同的方式展开教学．教师在讲解积的乘方公式的应用时，再补充讲解积的乘方公式的逆运算：·＝()n，同时教师为了提高学生的运算速度和应用能力，也可以补充讲解：当n为奇数时，(－a)n＝－(n为正整数)；当n为偶数时，(－a)n＝(n为正整数)．。
14.1.3积的乘方教案
14.1.3积的乘方
课标对本节课的教学要求
掌握积的乘方法则，并且会应用法则进行计算。
教学目标
经历探索积的乘方的运发展推理能力和有条理的表达能力。学习积的乘方的运算法则，提高解决问题的能力．进一步体会幂的意义,理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题。
教学重点
难点
重点：积的乘方运算法则及其应用；幂的运算法则的灵活运用。
（2）（ab）3=__=__=a( )b( )（3）（ab）n=__=__=a( )b( )（n是正整数）
2．分析过程：（1）（ab）2=（ab）·（ab）= （a·a）·（b·b）= a2b2，
（2）（ab）3=（ab）·（ab）·（ab）=（a·a·a）·（b·b·b）=a3b3；
（3）（ab）n= = · =anbn
2.提问：体积应是V=（2×103）3cm3，结果是幂的乘方形式吗？底数是2和103的乘积，虽然103是幂，但总体来看，它是积的乘方。积的乘方如何运算呢？能不能找到一个运算法则？ 有前两节课的探究经验，请同学们自己探索，发现其中的奥秒．
三、自主探究，引出结论：
1.填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？（1）（ab）2=（ab）·（ab）=（a·a）·（b·b）=a( )b( )
3．得到结论：积的乘方：（ab）n=an·bn（n是正整数）
把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，也就是说积的乘方等于幂的乘积．
4．积的乘方法则可以进行逆运算．即：
an·bn=（ab）n（n为正整数）【2】
an·bn= · ──幂的意义
= ──乘法交换律、结合律
＝（a·b）n──乘方的意义
5.结论：同指数幂相乘，底数相乘，指数不变．
《14.1.3积的乘方》作业设计方案-初中数学人教版12八年级上册
《积的乘方》作业设计方案（第一课时）一、作业目标1. 巩固学生对积的乘方概念的理解，能够熟练运用积的乘方公式进行计算。
2. 提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 培养学生的自主学习能力和合作探究能力。
二、作业内容本节课的作业内容主要围绕《积的乘方》这一主题展开，具体包括以下几个方面：1. 基础知识巩固：要求学生复习积的乘方公式，并能够熟练运用该公式进行简单的计算。
2. 课堂知识点应用：设计一系列实际问题，让学生运用积的乘方知识解决实际问题，如计算复利、求组合数等。
3. 拓展延伸：引导学生探究积的乘方在实际生活中的应用，如利用积的乘方计算银行利息等。
4. 小组合作探究：学生分组进行探究活动，通过合作交流，深化对积的乘方概念的理解。
三、作业要求1. 基础知识巩固部分：学生需独立完成，并确保计算的准确性和公式的熟练程度。
2. 课堂知识点应用部分：学生需根据问题情境，灵活运用积的乘方知识进行计算，并尝试多种解题方法。
3. 拓展延伸部分：学生需结合生活实际，寻找积的乘方在实际生活中的应用，并记录下来。
4. 小组合作探究部分：小组内成员需分工合作，共同完成探究任务，并记录讨论过程和结果。
5. 作业提交时，需注明完成时间和个人或小组名称，以便教师了解学生的完成情况和合作情况。
四、作业评价1. 教师将对学生的作业进行认真批改，评估学生对积的乘方知识的掌握情况。
2. 对学生的计算准确性、解题方法和思路进行分析，给出详细的批改意见和建议。
3. 对小组合作探究的部分进行评价，肯定学生的合作精神和探究能力，同时指出需要改进的地方。
4. 将学生的作业成绩纳入平时成绩考核，鼓励学生认真完成作业。
五、作业反馈1. 教师将通过课堂讲解、个别辅导等方式，对学生的作业进行反馈和指导。
2. 对于共性问题，教师将在课堂上进行讲解和示范，帮助学生纠正错误。
3. 对于个别学生的问题，教师将进行个别辅导，帮助学生解决问题。
4. 教师将鼓励学生相互交流和学习，共同进步。