工程数学复习

n 0 n

n
1 2 3 1 x x x 1 x
| x | 1
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在复变函数中结果也一样:
z z e 1 z 2 3!
z
2
3
z n 0 n ! | z | z
n 0 n

n
1 2 3 1 z z z 1 z
| z | 1
x 0; 0; x 0, y 0; x 0, y x 0, y 0
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复变函数的一个重要方面, 就是说明实 变函数的微积分的许多结论, 复变函数 也照样用. 例如, 在实变函数中函数的导数有
( x ) 2 x ,(sin x) cos x,(e ) 2e
n
设C为此领域包含z0的正向简单闭曲线, 对 f(z)沿C积分, 得
C

f ( z ) d z 2 ic1
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称c1为f(z)在z0处的留数, Res[f(z),z0]=c1
因此, 根据复合闭路定理, 设函数f(z)在 区域D内除有限个孤立奇点z1,z2,...,zn外 处处解析. C是D内包围诸奇点的一条 正向简单闭曲线, 则
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复变函数还可以展开为洛朗级数, 如 z 2 3 n 3 e 1 z z z 3 1 z , 3 z z 2 3! n 0 n !
0 | z | 1 1 1 1 1 1 1 2 1 z z 1 1 z z z z 1 1 1 2 3 , | z | 1 z z z
3 对复变函数也同样

x cos x d x 0
3

2i
2i
z cos z d z 0
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但是在复变函数中, 2i 3
2i 通常写成

z cos z d z 0
3
C
z cos z d z 0
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C为通过点2+i的任意一条闭合曲线
因此, 我们就有

2
2 3i
1 4 z dz z 0 4 2
2, 随机变量及其分布 内容 随机变量, 随机变量的分布函数的概念及 其性质, 离散型随机变量的概率分布, 连 续型随机变量的概率密度, 常见的随机变 量的分布, 随机变量函数的分布
要求 (1) 理解随机变量及其分布的概念; 理解 分布函数F(x)=P{X<x} (-<x<+)的概念 及性质; 会计算与随机变量相联系的事件 的概率. (2) 理解离散型随机变量及其概率分布的 概念, 掌握0-1分布, 二项分布, 泊松分布 及其应用.
3 2 2x
ห้องสมุดไป่ตู้2x
则上面的变元x统统改成复数z也成立
( z ) 2 z ,(sin z ) cos z,(e ) 2e
3 2 2z
2z
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在实变函数中, 一些函数可以按泰勒级 数展开, 例如
x x e 1 x 2 3!
x
2
3
x n 0 n ! | z | x
要求 (1) 理解二维随机变量的概念, 理解二维 随机变量的分布的概念和性质, 理解二维 离形型随机变量的概率分布,边缘分布, 理解二维连续型随机变量的概率密度, 边 缘密度. 会求与二维随机变量相关事件的 概率. (2) 理解随机变量的独立性及不相关概念, 掌握离散型和连续型随机变量独立的条 件.
(3) 理解连续型随机变量及其概率密度的 概念, 掌握均匀分布, 正态分布N(m,s2) (4) 会求随机变量函数的分布.
3, 二维随机变量及其分布 内容 二维随机变量及其概率分布, 二维离散型 随机变量的概率分布, 边缘分布和条件分 布, 二维连续型随机变量的概率密度, 边 缘密度, 随机变量的独立性和不相关性, 常用二维随机变量的分布, 两个随机变量 简单函数的分布
y
O
x
4
例
1 3 2i 3 2i 2 2 3 2i (3 2i )(3 2i ) 3 2 3 2 i 13 13 13 3 2 r 13 13 13 2 arctg 3
2 2
5
y argtg x , , 2 arg z arctg y , x ,
C

f ( z ) d z 2 i Res[ f ( z ), zk ]
k 1
n
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如果z0是f(z)的m级极点, 则
1 d m Res[ f ( z ), z0 ] lim m1 {( z z0 ) f ( z )} (m 1)! z z0 d z
如果z0是f(z)的一级极点, 则
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二、概率论部分
1,随机事件和概率 内容 随机事件与基本空间, 事件的关系与运算, 概率的概念, 概率的基本性质, 古典型概 率, 几何型概率, 条件概率, 概率的基本公 式, 事件的独立性, 独立重复试验
要求 (1)了解样本空间(基本事件空间)的概念, 理解随机事件的概念, 掌握事件的关系及 运算. (2) 理解概率, 条件概率的概念, 掌握概率 的基本性质, 会计算古典型概率和几何型 概率, 掌握概率的加法公式, 减法公式, 乘 法公式, 全概率公式和贝叶斯公式. (3) 理解事件独立性的概念, 掌握用事件 独立性进行概率计算; 理解独立重复试验 的概念, 掌握计算有关事件概率的方法
z=1是它的一个三级极点, z=i都是它的 一级极点.
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2 2z
如z0是f(z)的孤立奇点, 则f(z)在z0的去 心邻域处可展开成洛朗级数 n 1 f ( z ) c n ( z z0 ) c1 ( z z0 )
c0 c1 ( z z0 ) cn ( z z0 )
m 1
Res[ f ( z ), z0 ] lim( z z0 ) f ( z)
z z0
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P( z ) f ( z) Q( z ) P(z)和Q(z)都在z0解析, 如P(z0)0, Q(z0)=0, Q'(z0)0, 则z0为f(z)的一级极点, 而
设
P ( z0 ) Res[ f ( z ), z0 ] Q( z0 )
(3) 掌握二维均匀分布, 了解二维正态分 布的概率密度, 理解其中参数的概率意义. (4) 会求两个随机变量简单函数的分布.
4, 随机变量的数字特征 内容 随机变量的数学期望(均值), 方差, 标准 差及其性质, 随机变量函数的数学期望, 协方差, 相关系数及其性质
要求 (1) 理解随机变量数字特征(数学期望, 方 差, 标准差, 协方差, 相关系数)的概念, 会 运用数字特征的基本性质, 并掌握常用分 布的数字特征. (2) 会求随机变量函数的数学期望.
3
2
3i
1 1 d z 0 2 z z 3i
3i
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一般地, 只要n1, 则函数zn的原函数 就是 1
n 1
z
n 1
它是单值函数, 因此就有, 只要n1, 函数 zn沿任何闭合曲线的积分为0.
C
z d z 0, n 1
n
15
而当对于函数z1, 麻烦在于, 它的原函数是 Ln z , 它是一个多值函数, 假设z = rei, 则 Ln z = Ln rei = ln r + i, 幅角是不唯一的. 这个时候
2 i, n 1, ( z z ) d z 0 0, n 1. C
n
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函数不解析的点为奇点, 如果函数f(z)在 z0点不解析, 但是在z0的某个去心领域处 处解析, z0就是f(z)的孤立奇点, 例如
ze f ( z) 2 3 ( z 1)( z 1)
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复变函数
复数的运算
i 1 z x iy r e x r cos , y r sin y 2 2 r x y , tg ,sin x
i
y x y
2 2
3
计算幅角要注意z在复平面所在的象限
这要看积分路线有没有绕过原点, 是正 绕还是反绕, 绕了几圈, 一般而言是2 i 的整数倍.
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C

a1 1 a d z d z Ln z a ? a z z
因此就有,假设C为正向绕原点的一条 闭合曲线, 则 2 i, n 1, n z dz 0, n 1. C 或更一般, 假设C为正向绕z0点的 一条闭合正向曲线, 则
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实变函数中的定积分经常用牛-莱公式 计算的, 例如
1 3 1 x d x x 0 3 0 3
1 2
1
在复变函数中同样也有
但积分的含义不同, 上式代表从复平面的0点
以任意路径积分到点i.
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1 3 i 1 0 z d z 3 z 0 3 i 3
i 2
i
3
对实变函数的定积分, 如果上限和下限 相等, 则积分值为零, 例如 3 3