工程数学本工程数学复习资料
工程数学复习资料
第一章 线性代数基本知识一、内积定义：设α=[1a ,…, n a ]，β=[1b ,…, n b ]都是n 维复向量，记<α,β>=∑=ni ii ba 1，其中i b 表示对i b 取共轭，称<α,β>为向量α与β的内积。
二、向量正交：对于向量α、β，若<α,β>=0，则称α与β正交，记作α⊥β。
三、Ax=b 的解的结构：(1) n 个未知数的齐次线性方程组Ax = 0有非零解的充分必要条件为其系数矩阵的秩 R(A)< n. (2) n 个未知数的非齐次线性方程组Ax = b 有解的充分必要条件为系数矩阵A 与增广矩阵B=(A | b)的秩相等, 且当R(A)=R(B)=n 时有唯一解; 当R(A)=R(B)<n 时有无穷多解;若线性方程组Ax=b 的系数矩阵A 与增广矩阵B=[A b]的秩相等为r ，且r<n ，而1α,…, r n -α是对应齐次线性方程组的基础解系，η是Ax=b 的任意一个特解，那么Ax=b 的一般解为： x=η+1k 1α+…+ r n k -r n -α，其中1k ,…, r n k -是任意实数。
四、特征值、特征向量、几何重数、代数重数设A =[ij a ]是n 阶方阵，若有数λ和非零向量x ，使Ax=λx 成立，则称λ为A 的特征值，非零向量x 为A 的属于特征值λ的特征向量。
齐次线性方程组(A-j λI )x=0的解空间的维数称为特征值j λ的几何重数。
代数重数指的是特征值作为特征多项式的根的重数。
几何重数指的是特征值对应的线性无关的特征向量的个数。
五、若λ(≠0)∈S p (A)，则)(11-∈A S p λ。
设λ是可逆方阵A 的特征值，证明0≠λ，且1-λ是1-A 的特征值。
证明：因A 可逆，故0≠A ，所以0≠λ。
设0≠x 是A 的属于特征值λ的特征向量，则有x Ax λ=。
于是，由0≠λ得Ax x λ1=.用1-A 左乘上式的两边，得x x A 11--=λ.由0≠x 知1-λ是1-A 的特征值。
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工程数学（一）一、、计算下列行列式： 1、29092280923521534215 =100028092100034215 =10002809206123 =61230002、D n =n 333333333233331 解：D n =n 333333333233331 (把第三列的-1倍加到其余各列) =3n 3030003100302=3n 0030000100002=6(n -3)! (n 3) 二、已知X=AX+B ，其中A= 101111010, B=350211，求X解：(E -A)X=B X=(E -A)-1BE -A= 100010001- 101111010= 201101011,(E -A)-1= 11012312031X= 11012312031 350211=1102133133063931 三、求向量组 1=(1,-2,3,-1,2), 2=(3,-1,5,-3,-1), 3=(5,0,7,-5,-4), 4=(2,1,2,-2,-3)的一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组线性表示出其它向量。
解：令A=( 1T , 2T , 3T , 4T )=~34122531275310122531~242000004840510502531000000000000121025311, 2,为一极大线性无关组，且 3= - 1+2 2, 4=- 1+ 2四、求方程组0x x 0x 0x x 41241的一个基础解系。
解：A= 100100101001~ 200000101001~100000100001 同解方程组是： 0x x x 0x 0x 43321 所以基础解系是：0100五、已知线性方程组 2x x 3x 3x 4x 5b x 6x 2x 2x 0x 3x x x 2x 3ax x x x x 5432154325432154321，问a,b 为何值时,方程组有解?并求其通解。
工程数学-总复习
i
l
x
lim f ( z ) e i ( 2 ) , 与 有关，因此极限不存在。
10
连续性
定义 若 lim f ( z ) f ( z0 ) , 则称 f ( z ) 在 z0 点连续。
P28 定义
z z0
若 f ( z ) 在区域 D 内处处连续，则称 f ( z ) 在 D 内连续。
P38 定义
则称 f ( z ) 在 z0 点解析；
则称 f ( z ) (2) 如果函数 f ( z ) 在区域 D 内的每一点解析，
在区域 D 内解析， 或者称 f ( z ) 是 D 内的解析函数。 关系 (1) 点可导 (2) 区域可导 点解析； 区域解析。
奇点 如果函数 f ( z ) 在 z0 点不解析，则称 z0 为 f ( z ) 的奇点。
解 由 ie
π i 2 ,
1 i 2e
π i 4
有
π π 3π i 4
i 1 i
e
π i 2 π i 4
2e
1 ( 2 4 )i 1 e e 2 2
1 i
1 1 i. 2 2
1 i
i
附 一些“简单”复数的指数形式
e2 π i 1 , e2k π i 1 , eπ i 1 ,
(3) 一旦知道函数连续，反过来可以用来求函数的极限。
11
例 证明 f ( z ) arg z 在复平面上除去原点 和负实轴的区域上连续。
证 (略) 例 讨论函数 w f ( z ) | z | 的连续性。 解 w | z |2 z z ,
2
P34 习题32
z0
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《工程数学》复习资料一、填空1、A 、B 均为3阶方阵，2=A ，2-=B ，则=A B ；2、设D=1234234134124123， 则12223242234A A A A +++=________； 3、设α=（1，3，-5），β=（0，-3，5），如果向量x 满足12,2x αβ+= 则x =__________________；4、1124A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值为 5、 321,,X X X 相互独立，且都服从2=λ的泊松分布，)(21321X X X Y ++=， 则=)(2Y E .6、设X 1, X 2, n X , 是取自标准正态总体N()1,0的样本,则∑=ni iX 12∽______.7、向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=221,021,001,1114321αααα的秩是8、X ～N (3 ,21.0),则)3.0|3(|<-X P ＝ (其中)3(Φ＝0.9987). 9、X ～x x f 21)(=，(20≤≤x )，则=≤<-)231(X P . 10、设X ～),(p n B ,若2.7,12==DX EX 则n =______, p =______. 11、总体X ～μ(N ,)2σ(2σ未知)，今有样本观察数据：16=n ，8.2=x ，1=*S ，则总体均值μ的信度为95％的置信区间为( )，(13.2)15(025.0=t ，保留两位小数).12、设X 服从参数为λ的指数分布，若方差4)(=X D ，则λ= 13、设X 服从参数为λ的泊松分布，且1(0)P X e -==，则λ= 二、选择题1、齐次线性方程组2000x y z x y z x y z λλ-+=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩有非零解.则λ必须满足 ( )(A) 14λλ≠-≠且 (B) 1λ=- (C) 4λ= (D) 14λλ=-=或 2、设s ααα,,,21 是秩为r 的n 维向量组，则（ ）（A ）该向量组中任意r+1个向量（若有的话）线性相关；（B ）该向量组中任意r 个向量线性无关；（C ）该向量组存在唯一的极大线性无关组；（D ）r<s .3、若矩阵111121231A λ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦的秩为2，则λ=（ ） (A) 0 (B) 2 (C)-1 (D) 14、6.0)(=B P ，3.0)(=AB P ，则=)|(B A P （ ）.)(A 0. 4； )(B 0.75； )(C 0.6；)(D 0.5.5、设随机变量X 和Y 满足)()(Y X D Y X D -=+，则（ ）.)(A 0)(=Y D ；)(B Y X ,独立； )(C Y X ,不相关；)(D 0)()(=-Y D X D .6. 设总体X ～)4,1(N ,1621,,,X X X 是取自总体X 的样本，X 为样本均值，则下列结论成立的是（ ）.)(A X ～)41,1(N ；)(B X ～0(N ，)1；)(C X ～1(N ，)161， )(D 以上都不对.7．设A ，B 为n 阶矩阵，O A ≠且AB=O ，则（ ）（A ） B=O （B ） 00==A B 或 （C ） BA=O （D ） ()222B A B A +=-8、设样本4321,,,X X X X 是取自正态总体X ，2σμ==DX EX 为已知，而未知，则下列随机变量中 不能作为统计量的是（ ）(A) ∑==4141i i X X , (B) μ241-+X X , (C) 2412)(1X XK i i-=∑=σ ,(D) 2412)(31X X S i i -=∑= .9、设总体X ～N (μ,2σ) ，1X ,2X ,…,n X 是来自X 的简单随机样本，则下列结论( )成立. A. X ～N (μ,2σ)； B.X ～N (μn ,2σn )； C. X ～N (μ,n /2σ)； D. 以上都不对 .10、设 X ～),(p n B ，若期望6.1)(=X E ，方差28.1)(=X D ，则参数p n ,的值为（ ）(A) 8.0,2==p n (B) 4.0,4==p n )(C 2.0,8==p n (D) 1.0,16==p n11、设离散型随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,则数学期望)(2X E ＝（ ）(A) λ (B) 2λ（Ｃ）2λλ- (D) 2λλ+ 三、计算题1、求n 阶行列式........................ba a aab a aaaba aa a b的值；2、求矩阵223110221A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的逆矩阵；3、设总体X ～)10(,)1()(<<+=x x a x f a .求参数a 的极大似然估计.4、某种机械零件直径(m m )的方差2205.0=σ，今对一批零件抽查6件，得直径数据为：10.50，10.48，10.51，10.50，10.52，10.46.问这批零件直径的均值能否认为是10.52(α＝0.05).5、计算行列式aa a a a a a a a a a a D 3333222211111=6、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==232110301),3,2,1(B A ，求矩阵T T BA A )(2+7、已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+233321321321321x ax x ax x x x x x（1） 讨论a 取何值时，方程组有唯一解？有无穷多解？无解？（2） 方程组有无穷多解时，求其通解（用向量形式表示）8、抽查10瓶罐头食品的净重，得如下数据(单位:g )：495，510，505，498，503，492，502，512，496，506 . 问能否认为该批罐头食品的平均净重为500g (α＝0.05). 9．设离散型随机变量X ～),2(p B ，若概率95)1(=≥X P ，求： （1）参数p 的值；（2）)2(=X P ；（3）)(X D 10、事件A 在一次试验中发生的概率为23，求在4次独立重复试验中，事件A 恰好发生2次的概率。
《工程数学》(概率统计)期末复习提要共12页word资料
《工程数学》（概率统计）期末复习提要工科普专的《工程数学》（概率统计）课程的内容包括《概率论与数理统计》（王明慈、沈恒范主编，高等教育出版社）教材的全部内容 . 在这里介绍一下教学要求，供同学们复习时参考 .第一部分：随机事件与概率⒈了解随机事件的概念学习随机事件的概念时，要注意它的两个特点：⑴在一次试验中可能发生，也可能不发生，即随机事件的发生具有偶然性；⑵在大量重复试验中，随机事件的发生具有统计规律性 .⒉掌握随机事件的关系和运算，掌握概率的基本性质要了解必然事件、不可能事件的概念，事件间的关系是指事件之间的包含、相等、和、积、互斥（互不相容）、对立、差等关系和运算 .在事件的运算中，要特别注意下述性质：概率的主要性质是指：①对任一事件，有③对于任意有限个或可数个事件，若它们两两互不相容，则⒊了解古典概型的条件，会求解简单的古典概型问题在古典概型中，任一事件的概率为其中是所包含的基本事件个数，是基本事件的总数 .⒋熟练掌握概率的加法公式和乘法公式，理解条件概率，掌握全概公式⑴加法公式：对于任意事件，有特别地，当时有⑵条件概率：对于任意事件，若，有称为发生的条件下发生条件概率 .⑶乘法公式：对于任意事件，有（此时），或（此时） .⑷全概公式：事件两两互不相容，且，则⒌理解事件独立性概念，会进行有关计算若事件满足（当时），或（当时），则称事件与相互独立 . 与相互独立的充分必要条件是.第二部分：随机变量极其数字特征⒈理解随机变量的概率分布、概率密度的概念，了解分布函数的概念，掌握有关随机变量的概率计算常见的随机变量有离散型和连续型两种类型 . 离散型随机变量用概率分布来刻画，满足：连续型随机变量用概率密度函数来刻画，满足：随机变量的分布函数定义为对于离散型随机变量有对于连续型随机变量有⒉了解期望、方差与标准差的概念，掌握求随机变量期望、方差的方法⑴期望：随机变量的期望记为，定义为（离散型随机变量，是的概率分布），（连续型随机变量，是的概率密度） .⑵方差：随机变量的方差记为，定义为（离散型随机变量），（连续型随机变量） .⑶随机变量函数的期望：随机变量是随机变量的函数，即，若存在，则在两种形式下分别表示为（离散型随机变量，是的概率分布），（连续型随机变量，是的概率密度），由此可得方差的简单计算公式⑷期望与方差的性质①若为常数，则；②若为常数，则；③若为常数，则.⒊掌握几种常用离散型和连续型随机变量的分布以及它们的期望与方差，熟练掌握正态分布的概率计算，会查正态分布表（见附表）常用分布：⑴二项分布的概率分布为特别地，当时，，叫做两点分布；⑵均匀分布的密度函数为⑶正态分布的密度函数为其图形曲线有以下特点：① ，即曲线在x 轴上方；② ，即曲线以直线为对称轴，并在处达到极大值；③在处，曲线有两个拐点；④当时，，即以轴为水平渐近线；特别地，当时，，表示是服从标准正态分布的随机变量 .将一般正态分布转化为标准正态分布的线性变换：若，令，则，且Y 的密度函数为服从标准正态分布的随机变量的概率为那么一般正态分布的随机变量的概率可以通过下列公式再查表求出常见分布的期望与方差：二项分布：；均匀分布：；正态分布：；⒋了解随机变量独立性的概念，了解两个随机变量的期望与方差及其性质对于随机变量，若对任意有则称与相互独立 .对随机变量，有若相互独立，则有第三部分：统计推断⒈理解总体、样本，统计量等概念，知道分布，分布，会查表所研究对象的一个或多个指标的全体称为总体，组成整体的基本单位称为个体，从总体中抽取出来的个体称为样品，若干个样品组成的集合称为样本 . 样本中所含的样品个数称为样本容量 .统计量就是不含未知参数的样本函数 .⒉掌握参数的最大似然估计法最大似然估计法：设是来自总体（其中未知）的样本，而为样本值，使似然函数达到最大值的称为参数的最大似然估计值 . 一般地，的最大似然估计值满足以下方程⒊了解估计量的无偏性，有效性概念参数的估计量若满足则称为参数的无偏估计量 .若都是的无偏估计，而且，则称比更有效 .⒋了解区间估计的概念，熟练掌握方差已知条件下单正态总体期望的置信区间的求法，掌握方差未知条件下单正态总体期望的置信区间的求法当置信度确定后，方差已知条件下单正态总体期望的置信区间是其中是总体标准差，是样本均值，是样本容量，由确定 .方差未知条件下单正态总体期望的置信区间是其中称为样本标准差，满足.⒌知道假设检验的基本思想，掌握单正态总体均值的检验方法，会作单正态总体方差的检验方法单正态总体均值的检验方法包括检验法和检验法：⑴ 检验法：设是正态总体的一个样本，其中未知，已知 . 用检验假设（是已知数），。
《工程数学》总复习题之
傅里叶变换及其应用
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的积分 变换。
傅里叶变换的性质
包括线性性质、时移性质、频移性质、微分性质等。
傅里叶变换的应用
在信号处理、图像处理、通信系统等领域有广泛应用， 如滤波、频谱分析等。
拉普拉斯变换及其应用
拉普拉斯变换的性质
包括线性性质、时移性质、微分性质、积分 性质等。
总复习题重要性
总复习题是巩固和检验学生学习成果 的重要手段，有助于学生全面回顾和 梳理课程知识点。
通过总复习题的练习，学生可以查漏 补缺，加深对重点难点的理解和掌握， 提高解题能力和应试技巧。
解题方法与技巧
仔细审题
理解题意，明确题目要求，避 免盲目答题。
灵活运用知识点
根据题目类型，选择合适的知 识点进行解答，注意知识点之 间的关联和综合运用。
02
随着科技的发展，工程数学的理论体系将不断完善，为解决实际问题 提供更强大的数学工具。
03
工程数学的教学方法和手段也将不断创新，如在线课程、智能教学系 统等，提高教学效果和学习体验。
04
工程数学将与其他学科进一步交叉融合，形成更多新的研究方向和应 用领域。
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02
理解假设检验的基本思想和步骤，掌握常见的假设检验方法 （如Z检验、t检验、F检验等）。
03
了解方差分析、回归分析等统计分析方法的基本思想和应用 场景。
04 微积分部分
函数极限与连续性
函数极限的定义与性质
掌握函数极限的ε-δ定义，了解函数极限的性质，如唯一性、局部 有界性、保号性等。
无穷小量与无穷大量
制定合理的复习计划，按 照课程进度和自身掌握情 况分配复习时间。
工程数学知识点(简版).docx
工程数学知识点第一篇线性代数第1章行列式1.二阶、三阶行列式的计算F 22.行列式的性质（转置，换行,数乘,求利数乘求和）P3, P4, P52—-3（2）3.行列式展开（代数余子式）P74.利用性质及行列式展开法则计算行列式（造零降阶法）5.字母型行列式计算（爪型）P53——5 （2）6.矩阵的定义、矩阵的行列式的定义及矩阵与行列式的区别7.矩阵的运算I加减P20、数乘P21、乘法P22、转置P26、方阵的幕、乘法不滅足交疾卿消去律）（枫次口）8.特殊的矩阵（对角、数量、单位矩阵（E）、三角形矩阵）9.矩阵的初等变换（三种）、行阶梯形、行最简形10.逆矩阵的定义、运算性质11.伴随矩阵P3812.利用初等变换求逆矩阵—P44例31 （两阶更简单）13.矩阵的秩的概念及利用初等变换求矩阵的秩第2章线性方程组1.线性方程组的求解〈分非齐次的和齐忧扪P65例3、例4第3章特征值的求解（特征向量不作要求）P89例1笫二篇概率论第4章概率的基木概念及计算1.基本概念：必然现象、随机现象、随机试验、样本空间、样本点、随机事件（事件）、基本事件（样本点）、不可能事件、必然事件、事件的包含与相等、和（并）事件、积（交）事件、互不相容（互斥）的事件、逆事件、频率、概率、概率的可加性（互不和容）、概率的加法公式（相容）、古典（等可能）概型P130、放回抽样方式、不放回抽样方式P132——例13、事件相互独立、条件概率P135引例2、基本公式：n概率的可加性（互不相容）P（£U舛…U A”）=£P（4）概率的加法公式（相容）P （AU B） = P （A） + P（B）- P（AB）击落飞机问题概率的乘法公式P （AB ）= P （B ）P （A/B ）事件A 和B 独立,妙歹P （AB ） = P （A ）P （B ）3、基本结论：当事件A 和B 相互独立时，我们可以证明，事件亦相互独立。
第5章随机变量1、基本概念：随机变量、离散型和连续型随机变量、离散型随机变量的概率分布律、概率分布函数（F （x ） = P{X5x},-ooVxv+oo ）、连续型随机变量的 概率密度函数（密度函数或密度）、分布函数6P{X<x} = F(x) = J v /(zM-oo<x<+oo , P{X>x} = l-P{X<x} ； P158、P161——例20、随机变量的独立、随机变量的函数及其分布（P192 定理）2、 基本公式：六种分布的分布律或概率密度函数3、基本结论：连续型随机变量在某一点的概率为0,即P{X=x}=0 第6章 随机变量的数字特征、几个极限定理1、基本概念：痔散劉口连续型随机变量的数学期望PL90、方差P 恢 及其性 质、随机变量函数的数学期望P195——例12、k 阶（原点）矩、k 阶中心 矩 2、基木公式：（1）数学期望（平均值、期望值、均值人1) E(X) = £xf{X =兀} = £壬口，E(X) = ^2 xf {x)dx /=l i=l f2 ) Y = g(X\E (y )= E(g(X)) = Yg(Xi )Pi ,E(Y) = E(g(X))=匚g (兀)代x)必Z=1 YE(C) = C, E(CX) = CE(X),E(X + 丫)二 E(X) + E(Y),E(XY) = E(X)E(Y)(X, 丫独立)(2)方差：1) D (X) = E[X-E(X)]2=£x-E(X)]2p=匚[兀—E(X)]2/(Q 心i=l f服从正态分布的随机变量的概率计算P165 例23、例25D （C ）=o,o （cx ）= C 2D （X ）,o （x + y ）= D （X ）+o （y ）（x, 丫独立） （3）标准差（均方差）：EX ） = JD （X ）（与随机变量有相同的量纲） 3、基本结论：（1） 0-1 （p ）分布:（P151 表格形式）P{X=k} = p k （\-p ）［-\k = ^\ E(X) = p , D(X) = pq = p(l_p)(2) n 重贝努里试验、二项分布(b(n,p))：p[X=k} = C^p k (\-p)n 'k,k = 0,1,2,…，M P153 ——例 10 E(X) = np , D(X) = npq - np(\ - p)(3) 泊松公布(Poisson 龙(2))： P{X = £} = ・一K = 0丄2,… k\ E(X) = a, D(X) = A***在实际计算中，当n >10,p<0」时，我们有如下的泊松近似公式E(X) = “，D(X) = CT 2,(T (X) =(T 1 上（7）标准正态分布（N0角）:（p{x ）^-=e \-00<%<+00,①（兀）+①（_尢）=1yjl/l （5）均匀分布 5,b ))： /(x)= 1 b-a 0 a<x<b ，F(x)= 其它 x-a b-a x<a a <x<b x>b（6）正态分布 (N(“Q 2))： /(x) 1y/27T (T (4)指数分布(E(/t),A>0)： f(x) =p, F(x) = x<0 1-e~Ax 0 x>0 x<0（8） n 个相互独立的正态随机变量的线性函数述是服从正态分布（P202）第三篇数理统计第7章数理统计的基本概念1、 基本概念：总体（母体）、个体、样本（子样）、样本观测值（实现）、简单 随机样本（随机性、独立同分布性）、统计量的判断P218、统计量的观测值、 抽样分布2、 基本公式：（1） 样本平均值:x=-Yx i（2） 样本方差：s 2 =-Y （X i -X ）2 =-^—（YX i 2 -nX 2）n — 1 匸］ n — l /=i （3） 样本标准差：s =1 ”（4）样本k 阶原点矩：人=一£X ：,k 八2 （5）样本k 阶中心矩：B 严一工（X 厂戈Y,k = \,2,…53、基本结论:设X 〜N （O ,I ）,X 「X2，・・・X ”,为X 的一个样本，它们的平方各也是 一个随机变量，记才=X ： + X ；,+・・・+ X ：,则才〜X \ri ）设X 〜）, “和，已知，X|, X?,…X”，为X 的一个样本,2 于是于〜叽）,曰,2,..“则有辛宁）〜以）• （3）若力2〜力2⑺），则E （才）二仏D （力2 ）二2n才分布的可加性：若｝；〜/（"）,岭〜才（“2）,且片与冬独立, 则W+E 〜力2（厲+$）y（5） 定理3：若X 〜N （O,1）,Y 〜才（心且X 与Y 独立，则-r （/?）y/Y/n（6） 定理4：若X 〜才（加,Y 〜力2何,且x 与Y 独立，贝怀=兰少.〜F （"〃）Yin（7） 定理5：若Xi ，X2，・・・Xn 为总体N （“Q 2）的一个样本，则样本均值X-N(1) 定理2： P221 例 1（jU,（y2/n）若X] ,X 2,••-X”为正态总体N(//Q 2 )的一个样本，则对于样本 均值尢和样本方差严有(8) 定理6： (1 mO51 2相互独立(2) ("-1严 ~力2(”_1)(3) £(S 2) = a 2,D(S 2) = —n-\若X\,X“…X”为正态总体N(“Q 2 )的一个样本，则 定理 7： X-/A ( n吋心)若乂皿“…乂珂和也，…匕2分别为总体N (耳,于)和川(〃2&)的(10) 定理&相互独立的样本,样本均值分别为壬和习样本方差分别为S ：和S ；$2 二（厲-1）S ； +（〃2 -1）S ；" q + § _ 2 设x…x 2,••-X 叭和齐必，…人分别为总体N (角,于)和"(“2 Q )的(11) 定理9：相互独立的样木，样木方差分别为S ：和S ；,o2 2贝IJ 诂灼~弘厂1”一1)S 2^11 工(12) Z 分布：69(x) = /— e 2 — oovxv+ooZ 的上侧 a 分位点 Z/ P{Y>b} =「f(y)dy = a,b[]z f/Z 的下侧a 分位点Z\y :P{Y<a} = J ； f{y)dy =久或 P{ Y >4 =厂 fWy = i~^aD £z 的双侧G 分位点佥/2，Z,-a/2:P{a<Y <b} = ^ f （y ）dy = l-a,aU 乙如=S ，加（9） 2 则（1 ）X-y~AT （^-//2A+处）或[/ = (2)当材未知,（乂 仏）其屮（13）才⑺）分布:才⑺的上侧G分位点力;⑺）:P{Y >/?} =「/（刃心=%加龙：（72）X2 S）的卜侧。
工程数学复习及答案
工程数学 复习题 填空题1．设A 是2阶矩阵，且9=A ，='-)(31A ．2．已知齐次线性方程组0=AX 中A 为53⨯矩阵，且该方程组有非零解，则≤)(A r ．3．2.0)(,5.0)(==A B P A P ，则=+)(B A P ．4．若连续型随机变量X 的密度函数的是⎩⎨⎧≤≤=其它,010,2)(x x x f ，则=)(X E ．5．若参数θ的两个无偏估计量1ˆθ和2ˆθ满足)ˆ()ˆ(21θθD D >，则称2ˆθ比1ˆθ更 ．单项选择题1．设B A ,都是n 阶矩阵)1(>n ，则下列命题正确的是（ ）．A . 若AC AB =，且0≠A ，则C B = B . 2222)(B AB A B A ++=+C . A B B A '-'='-)(D . 0=AB ，且0≠A ，则0=B 2．在下列所指明的各向量组中，（ ）中的向量组是线性无关的． A . 向量组中含有零向量B . 任何一个向量都不能被其余的向量线性表出C . 存在一个向量可以被其余的向量线性表出D . 向量组的向量个数大于向量的维数3．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=211102113A ，则A 的对应于特征值2=λ的一个特征向量α=( ) ．A ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101B ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101C ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011D ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1004. 甲、乙二人射击，A B ,分别表示甲、乙射中目标，则AB 表示（ ）的事件． A . 至少有一人没射中 B . 二人都没射中C . 至少有一人射中D . 两人都射中5．设)1,0(~N X ，)(x Φ是X 的分布函数，则下列式子不成立的是（ ）．A . 5.0)0(=ΦB . 1)()(=Φ+-Φx xC . )()(a a Φ=-ΦD . 1)(2)(-Φ=<a a x P6．设321,,x x x 是来自正态总体N (,)μσ2的样本，则（ ）是μ无偏估计． A . 321x x x ++ B . 321525252x x x ++ C .321515151x x x ++ D . 321535151x x x ++ 7．对正态总体),(2σμN 的假设检验问题中，U 检验解决的问题是（ ）． A . 已知方差，检验均值 B . 未知方差，检验均值C . 已知均值，检验方差D . 未知均值，检验方差 计算题1．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=500050002,322121011B A ，问：A 是否可逆？若A 可逆，求B A 1-．2．线性方程组的增广矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1123132111511求此线性方程组的全部解．3．用配方法将二次型32212322213214242),,(x x x x x x x x x x f ++++=化为标准型，并求出所作的满秩变换．4．两台车床加工同样的零件，第一台废品率是1％，第二台废品率是2％，加工出来的零件放在一起。
电大《工程数学》期末复习题
《工程数学》期末复习题库工程数学（本）模拟试题一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设B A ,为n 阶矩阵，则下列等式成立的是（ ）． A ．BA AB = B ．B A B A +=+ C ．111)(---+=+B A B A D ．111)(---=B A AB2．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-331232121a x xa x x a x x 相容的充分必要条件是( )，其中0≠i a ，)3,2,1(=i ．A ．0321=++a a aB ．0321=-+a a aC ．0321=+-a a aD ．0321=++-a a a3．下列命题中不正确的是（ ）． A ．A 与A '有相同的特征多项式B ．若λ是A 的特征值，则O X A I =-）（λ的非零解向量必是A 对应于λ的特征向量 C ．若λ=0是A 的一个特征值，则O AX =必有非零解 D ．A 的特征向量的线性组合仍为A 的特征向量4．若事件与互斥，则下列等式中正确的是（ ）． A ． B ． C ． D ．5．设n x x x ,,,21 是来自正态总体)1,5(N 的样本，则检验假设5:0=μH 采用统计量U =（ ）．A ．55-xB ．5/15-xC ．nx /15- D ．15-x二、填空题（每小题3分，共15分）1．设22112112214A x x =-+，则0A =的根是 ． 2．设4元线性方程组AX =B 有解且r （A ）=1，那么AX =B 的相应齐次方程组的基础解系含有 个解向量． 3．设互不相容，且，则 ． 4．设随机变量X ~ B （n ，p ），则E （X ）= ．5．若样本n x x x ,,,21 来自总体)1,0(~N X ，且∑==ni i x n x 11，则~x ．三、计算题（每小题16分，共64分）1．设矩阵100111101A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，求1()AA -'． 2．求下列线性方程组的通解．123412341234245353652548151115x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++=⎨⎪-++=⎩ 3．设随机变量X ~ N （3，4）．求：（1）P （1< X < 7）；（2）使P （X < a ）=0.9成立的常数a ． (已知8413.0)0.1(=Φ，9.0)28.1(=Φ，9773.0)0.2(=Φ)．4．从正态总体N （μ，4）中抽取容量为625的样本，计算样本均值得x = 2.5，求μ的置信度为99%的置信区间.(已知 576.2995.0=u )四、证明题（本题6分）4．设n 阶矩阵A 满足0))((=+-I A I A ，则A 为可逆矩阵．工程数学（本）11春模拟试卷参考解答一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．A 2．B 3．D 4．A 5．C 二、填空题（每小题3分，共15分）1．1，-1，2，-2 2．3 3．0 4．np 5．)1,0(nN三、（每小题16分，共64分） 1．解：由矩阵乘法和转置运算得10011111111010132101011122AA --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥'=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ………6分 利用初等行变换得10020001112011101⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1002001110101112⎡⎤⎢⎥→---⎢⎥⎢⎥⎣⎦即 1201()011112AA -⎡⎤⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥⎣⎦………16分 7-2．解 利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵，即 245353652548151115-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭→245351201000555-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭→120100055500555--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭→120100011100000--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 方程组的一般解为：1243421x x x x x =+⎧⎨=-+⎩，其中2x ，4x 是自由未知量． ……8分令042==x x ，得方程组的一个特解0(0010)X '=，，，．方程组的导出组的一般解为： 124342x x x x x =+⎧⎨=-⎩，其中2x ，4x 是自由未知量． 令12=x ，04=x ，得导出组的解向量1(2100)X '=，，，；令02=x ，14=x ，得导出组的解向量2(1011)X '=-，，，． ……13分所以方程组的通解为：22110X k X k X X ++=12(0010)(2100)(1011)k k '''=++-，，，，，，，，，，其中1k ，2k 是任意实数． ……16分3．解：（1）P （1< X < 7）=)23723231(-<-<-X P =)2231(<-<-X P =)1()2(-Φ-Φ= 0.9773 + 0.8413 – 1 = 0.8186 ……8分（2）因为 P （X < a ）=)2323(-<-a X P =)23(-Φa = 0.9 所以 28.123=-a ，a = 3 + 28.12⨯ = 5.56 ……16分 4．解：已知2=σ，n = 625，且nx u σμ-= ~ )1,0(N ……5分因为 x = 2.5，01.0=α，995.021=-α，576.221=-αu206.06252576.221=⨯=-nuσα……10分所以置信度为99%的μ的置信区间为：]706.2,294.2[],[2121=+---nux nux σσαα. ……16分四、（本题6分）证明： 因为 0))((2=-=+-I A I A I A ，即I A =2．所以，A 为可逆矩阵． ……6分《工程数学》综合练习一、单项选择题1．设B A ,都是n 阶方阵，则下列命题正确的是( )． A ．AB A B = B ．222()2A B A AB B -=-+ C ．AB BA = D ．若AB O =，则A O =或B O = 正确答案：A2．向量组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡732,320,011,001的秩是（ ）． A . 1 B . 3 C . 2 D . 4正确答案： B3．n 元线性方程组有解的充分必要条件是（ ）．A . )()(b A r A r =B . 不是行满秩矩阵C .D . 正确答案：A4. 袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是（ ）．A . 256B . 103 C . 203 D . 259正确答案：D 5．设是来自正态总体的样本，则（ ）是μ无偏估计．A . 321515151x x x ++ B . 321x x x ++C . 321535151x x x ++D . 321525252x x x ++正确答案： C6．若是对称矩阵，则等式（ ）成立． A . I AA =-1 B . A A =' C . 1-='A A D . A A =-1正确答案：B7．=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-15473（ ）． A . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3547 B . 7453-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ C . 7543-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ D . 7543-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ 正确答案：D8．若（ ）成立，则元线性方程组AX O =有唯一解．A .B . A O ≠C .D . A 的行向量线性相关 正确答案：A9. 若条件（ ）成立，则随机事件，互为对立事件．A . ∅=AB 或A B U += B . 0)(=AB P 或()1P A B +=C . ∅=AB 且A B U +=D . 0)(=AB P 且1)(=+B A P正确答案：C10．对来自正态总体（未知）的一个样本，记∑==3131i i X X ，则下列各式中（ ）不是统计量．A . XB .∑=31i iXC . ∑=-312)(31i i X μ D . ∑=-312)(31i i X X正确答案： C二、填空题1．设B A ,均为3阶方阵，2,3A B ==，则13A B -'-= ．应该填写：-182．设A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量X ，使得 ，则称λ为A 的特征值．应该填写：AX X λ=3．设随机变量012~0.20.5X a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a = ．应该填写：0.34．设为随机变量，已知3)(=X D ，此时．应该填写：275．设θˆ是未知参数θ的一个无偏估计量，则有 ．应该填写：ˆ()E θθ=6．设B A ,均为3阶方阵，6,3A B =-=，则13()A B -'-= ． 应该填写：87．设A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量X ，使得 ，则称X 为A 相应于特征值λ的特征向量． 应该填写：AX X λ=8．若5.0)(,8.0)(==B A P A P ，则=)(AB P ． 应该填写：0.39．如果随机变量的期望2)(=X E ，9)(2=X E ，那么=)2(X D ．应该填写：2010．不含未知参数的样本函数称为 ． 应该填写：统计量三、计算题1．设矩阵，且有，求X ．解：利用初等行变换得即由矩阵乘法和转置运算得2．求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=++--=+-+-=-+-2284212342272134321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x的全部解．解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------0462003210010101113122842123412127211131 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→0000002200010101113106600022000101011131 方程组的一般解为： （其中为自由未知量）令=0，得到方程的一个特解)0001(0'=X .方程组相应的齐方程的一般解为： ⎪⎩⎪⎨⎧-===4342415xx x x x x （其中为自由未知量）令=1，得到方程的一个基础解系)1115(1'-=X .于是，方程组的全部解为：10kX X X +=（其中k 为任意常数）3．设)4,3(~N X ，试求: (1))95(<<X P ；(2))7(>X P ． （已知,8413.0)1(=Φ9987.0)3(,9772.0)2(=Φ=Φ）解：(1))3231()23923235()95(<-<=-<-<-=<<X P X P X P 1574.08413.09987.0)1()3(=-=Φ-Φ=(2))23723()7(->-=>X P X P )223(1)223(≤--=>-=X P X P 0228.09772.01)2(1=-=Φ-=4．据资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度)21.1,5.32(~N X ，今从这批砖中随机地抽取了9块，测得抗断强度（单位：kg ／cm 2）的平均值为31.12，问这批砖的抗断强度是否合格（）．解： 零假设．由于已知，故选取样本函数已知，经计算得，由已知条件，故拒绝零假设，即这批砖的抗断强度不合格。
1080【工程数学(本)】工程数学复习资料
〔06春-12春〕复习资料总结一、单项选择题〔每一小题3分，此题共15分〕1. 假如0351021011=---x ，如此=x 〔A 〕． A.3 B. 2 C.3- D.2-2. 2维向量组4321,,,αααα，如此),,,(4321ααααr 至多是〔B 〕． A 1 B 2C 3 D 43.设B A ,为n 阶矩阵，如此如下等式成立的是〔C 〕A.BA AB = B.B A AB ''=')( C.B A B A '+'='+)( D.AB AB =')(4. 假如满足〔B 〕，如此与是相互独立．A.)()()(A B P A P B P = B.)()()(B P A P AB P = C.)()()(B P A P B A P -=- D.)()()(B A P B P A P =5. 假如随机变量X 的期望和方差分别为)(X E 和)(X D ，如此等式〔D 〕成立．A.)]([)(X E X E X D -=B.22)]([)()(X E X E X D +=C.)()(2X E X D =D.22)]([)()(X E X E X D -= 6．假如是对称矩阵，如此等式〔 B 〕成立． A.IAA =-1 B.A A =' C. 1-='A A D.A A =-17．=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-15473〔D 〕． A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3547 B.7453-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ C.7543-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ D.7543-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦8．假如〔A 〕成立，如此元线性方程组AX O =有唯一解．A. B.A O ≠ C.D.A 的行向量线性相关4. 假如条件〔 C 〕成立，如此随机事件，互为对立事件．A.∅=AB 或A B U += B.0)(=AB P 或()1P A B +=C.∅=AB 且A B U += D.0)(=AB P 且1)(=+B A P9．对来自正态总体〔未知〕的一个样本，记∑==3131i i X X ，如此如下各式中〔C 〕不是统计量． A.XB.∑=31i iX C.∑=-312)(31i i X μ D.∑=-312)(31i i X X 10．设B A ,都是n 阶方阵，如此如下命题正确的答案是( A )．A ．AB A B =B ．222()2A B A AB B -=-+C ．AB BA =D ．假如AB O =，如此A O =或B O =11．向量组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡732,320,011,001的秩是〔 B 〕． A. 1 B. 3 C. 2 D. 4 12．n 元线性方程组有解的充分必要条件是〔 A 〕． A.)()(b A r A r = B.不是行满秩矩阵 C.D.13. 袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，如此两球都是红球的概率是〔D 〕． A.256B.103 C.203 D.25914．设是来自正态总体N (,)μσ2的样本，如此〔C 〕是μ无偏估计．A.321515151x x x ++ B.321x x x ++ C. 321535151x x x ++ D.321525252x x x ++15．设B A ,为n 阶矩阵，如此如下等式成立的是〔 A〕．A ．BA AB = B ．B A B A +=+C ．111)(---+=+B A B AD ．111)(---=B A AB16．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-331232121a x xa x x a x x 相容的充分必要条件是(B)，其中0≠ia ，)3,2,1(=i ．A ．0321=++a a aB ．0321=-+a a a C ．0321=+-a a a D ．0321=++-a a a17．如下命题中不正确的答案是〔 D 〕． A ．A 与A '有一样的特征多项式B ．假如λ是A 的特征值，如此O X A I =-）（λ的非零解向量必是A 对应于λ的特征向量C ．假如λ=0是A 的一个特征值，如此O AX =必有非零解 D ．A 的特征向量的线性组合仍为A 的特征向量18．假如事件与互斥，如此如下等式中正确的答案是〔 A 〕．A ．B ．C ．D ．19．设n x x x ,,,21 是来自正态总体)1,5(N 的样本，如此检验假设5:0=μH 采用统计量U =〔C 〕．A ．55-x B ．5/15-x C ．nx /15- D ．15-x二、填空题〔每一小题3分，共15分〕1.设B A ,均为n 阶可逆矩阵，逆矩阵分别为11,--B A ，如此='--11)(A B B A )(1'-．2.向量组),0,1(),1,1,0(),0,1,1(321k ===ααα线性相关，如此_____=k -1.3. 2.0)(,8.0)(==AB P A P ，如此=-)(B A P4.随机变量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-5.01.01.03.05201~X ，那么=)(X E ．5.设1021,,,x x x 是来自正态总体)4,(μN 的一个样本，如此~101101∑=i ix )104,(μN ．word 6．设B A ,均为3阶方阵，6,3A B =-=，如此13()A B -'-=8．7．设A 为n 阶方阵，假如存在数λ和非零n 维向量X ，使得AX X λ=，如此称X 为A 相应于特征值λ的特征向量．8．假如5.0)(,8.0)(==B A P A P ，如此=)(AB P ．9．如果随机变量的期望2)(=X E ，9)(2=X E ，那么=)2(X D20．10．不含未知参数的样本函数称为统计量 11．设B A ,均为3阶方阵，2,3A B ==，如此13A B -'-=-18．12．设随机变量012~0.20.5X a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，如此a =．13．设为随机变量，3)(=X D ，此时 27．14．设θˆ是未知参数θ的一个无偏估计量，如此有ˆ()E θθ=． 15．设22112112214A x x =-+，如此0A =的根是1，-1，2，-2．16．设4元线性方程组AX =B 有解且r 〔A 〕=1，那么AX =B 的相应齐次方程组的根底解系含有 3 个解向量． 17．设互不相容，且，如此0．18．设随机变量X ~ B 〔n ，p 〕，如此E 〔X 〕= np ． 19．假如样本n x x x ,,,21 来自总体)1,0(~N X ，且∑==n i i x n x 11，如此~x )1,0(n N ．三、计算题〔每一小题16分，共64分〕 1设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=423532211A ，求〔1〕A ，〔2〕1-A ．解：〔1〕1111021121110211423532211=---=---=---=A 〔2〕利用初等行变换得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---103210012110001211100423010532001211→-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥112100011210001511112100011210001511→------⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥110922010721001511100201010721001511即 A -=-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥12017215112.当取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=++-=++-=+-2532342243214321421λx x x x x x x x x x x 有解，在有解的情况下求方程组的全部解．解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形110121214323152110120113101132---+⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥λλ→---⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→------⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥110120113100003101210113100003λλ 由此可知当时，方程组无解。
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（06春-12春）复习资料总结一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1.若0351021011=---x ，则=x （A ）．.2 C.3- D.2-2.已知2维向量组4321,,,αααα，则),,,(4321ααααr 至多是（B ）． A 1B 2 C 3D 43.设B A ,为n 阶矩阵，则下列等式成立的是（C ）BA AB =B A AB ''=')(B A B A '+'='+)(AB AB =')(若A B ,满足（B ），则A 与B 是相互独立．)()()(A B P A P B P =)()()(B P A P AB P =)()()(B P A P B A P -=-)()()(B A P B P A P =若随机变量X 的期望和方差分别为)(X E 和)(X D ，则等式（D ）成立．)]([)(X E X E X D -=22)]([)()(X E X E X D +=)()(2X E X D =22)]([)()(X E X E X D -=若A 是对称矩阵，则等式（ B ）成立．I AA =-1A A ='1-='A A A A =-1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-15473（D ）．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--35477453-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦7543-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦7543-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦若（A ）成立，则n 元线性方程组AX O =有唯一解．r A n ()=A O ≠r A n ()<A 的行向量线性相关4.若条件（ C ）成立，则随机事件A ，B 互为对立事件．A.∅=AB 或A B U +=B.0)(=AB P 或()1P A B +=C.∅=AB 且A B U +=D.0)(=AB P 且1)(=+B A P9．对来自正态总体X N ~(,)μσ2（μ未知）的一个样本X X X 123,,，记∑==3131i iX X ，则下列各式中（C ）不是统计量．X ∑=31i i X ∑=-312)(31i i X μ∑=-312)(31i i X X 设B A ,都是n 阶方阵，则下列命题正确的是(A)． A ．AB A B =B ．222()2A B A AB B -=-+C ．AB BA =D ．若AB O =，则A O =或B O =11．向量组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡732,320,011,001的秩是（B ）．.3 C.12．n 元线性方程组AX b =有解的充分必要条件是（ A ）． )()(b A r A r M =.A 不是行满秩矩阵r A n ()<.r A n ()=13.袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是（D ）．256103203259设x x x n 12,,,Λ是来自正态总体N (,)μσ2的样本，则（C ）是μ无偏估计．321515151x x x ++321x x x ++321535151x x x ++321525252x x x ++设B A ,为n 阶矩阵，则下列等式成立的是（A ）． A ．BA AB =B ．B A B A +=+C ．111)(---+=+B A B AD ．111)(---=B A AB16．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-331232121a x xa x x a x x 相容的充分必要条件是(B)，其中0≠ia ，)3,2,1(=i ．A ．0321=++a a aB ．0321=-+a a aC ．0321=+-a a aD ．0321=++-a a a17．下列命题中不正确的是（D ）．A ．A 与A '有相同的特征多项式B ．若λ是A 的特征值，则O X A I =-）（λ的非零解向量必是A 对应于λ的特征向量C ．若λ=0是A 的一个特征值，则O AX =必有非零解D ．A 的特征向量的线性组合仍为A 的特征向量 18．若事件A 与B 互斥，则下列等式中正确的是（ A ）．A ．P AB P A P B ()()()+=+ B ．P B P A ()()=-1C ．P A P A B ()()=D ．P AB P A P B ()()()=19．设n x x x ,,,21Λ是来自正态总体)1,5(N 的样本，则检验假设5:0=μH 采用统计量U =（ C ）．A ．55-xB ．5/15-x C ．n x /15-D ．15-x二、填空题（每小题3分，共15分） 1.设B A ,均为n 阶可逆矩阵，逆矩阵分别为11,--B A ，则='--11)(A B B A )(1'-．2.向量组),0,1(),1,1,0(),0,1,1(321k ===ααα线性相关，则_____=k -1.3.已知2.0)(,8.0)(==AB P A P ，则=-)(B A P ．4.已知随机变量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-5.01.01.03.0521~X ，那么=)(X E ． 5.设1021,,,x x x Λ是来自正态总体)4,(μN 的一个样本，则~101101∑=i ix )104,(μN ．6．设B A ,均为3阶方阵，6,3A B =-=，则13()A B -'-=8．7．设A 为n 阶方阵，若存在数?和非零n 维向量X ，使得AX X λ=，则称X 为A 相应于特征值?的特征向量．8．若5.0)(,8.0)(==B A P A P ，则=)(AB P．9．如果随机变量X 的期望2)(=X E ，9)(2=X E ，那么=)2(X D20．10．不含未知参数的样本函数称为 统计量11．设B A ,均为3阶方阵，2,3A B ==，则13A B -'-=-18．12．设随机变量012~0.20.5X a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a = ．13．设X 为随机变量，已知3)(=X D ，此时D X ()32-=27 ． 14．设θˆ是未知参数θ的一个无偏估计量，则有 ˆ()E θθ= ．15．设22112112214A x x =-+，则0A =的根是1，-1，2，-2．16．设4元线性方程组AX =B 有解且r （A ）=1，那么AX =B 的相应齐次方程组的基础解系含有3个解向量．17．设A B ,互不相容，且P A ()>0，则P B A ()=0．18．设随机变量X ~B （n ，p ），则E （X ）= np ． 19．若样本n x x x ,,,21Λ来自总体)1,0(~N X ，且∑==n i i x n x 11，则~x )1,0(n N ．三、计算题（每小题16分，共64分） 1设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=423532211A ，求（1）A ，（2）1-A ．解：（1）1111021121110211423532211=---=---=---=A （2）利用初等行变换得→------⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥110922010721001511100201010721001511即 A -=-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥12017215112.当λ取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=++-=++-=+-2532342243214321421λx x x x x x x x x x x 有解，在有解的情况下求方程组的全部解． 解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形由此可知当λ≠3时，方程组无解。
当λ=3时，方程组有解 此时相应齐次方程组的一般解为x x x x x x 13423423=+=+⎧⎨⎩（43,x x 是自由未知量） 分别令x x 3410==,及x x 3401==,，得齐次方程组的一个基础解系[][]X X 1211102301='=',令x x 3400==,，得非齐次方程组的一个特解[]X 01100=-'由此得原方程组的全部解为X X k X k X =++01122（其中k k 12,为任意常数）3.设)4,3(~N X ，试求⑴)95(<<X P ；⑵)7(>X P ．（已知,8413.0)1(=Φ9987.0)3(,9772.0)2(=Φ=Φ）解：(1))3231()23923235()95(<-<=-<-<-=<<X P X P X P 1574.08413.09987.0)1()3(=-=Φ-Φ=(2))23723()7(->-=>X P XP )223(1)223(≤--=>-=X P X P 0228.09772.01)2(1=-=Φ-=4.已知某种零件重量)09.0,15(~N X ，采用新技术后，取了9个样品，测得重量（单位：kg ）的平均值为，已知方差不变，问平均重量是否仍为15（α==0051960975.,..u ）？解：零假设15:0=μH ．由于已知09.02=σ，故选取样本函数U x nN =-μσ~(,)01已知9.14=x，经计算得1.033.09==σ，11.0159.14=-=-nx σμ 由已知条件u 0975196..=，975.096.11u nx =<=-σμ故接受零假设，即零件平均重量仍为15．5．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=500050002,322121011B A ，求B A 1-．解：利用初等行变换得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→146100135010134001即 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-1461351341A 由矩阵乘法得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-520125151051585000500021461351341B A6．当λ取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+++=+++-=--+1479637222432143214321λx x x x x x x x x x x x 有解，在有解的情况下求方程组的全部解．解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---19102220105111021211114796371221211λλ 由此可知当1≠λ时，方程组无解。
当1=λ时，方程组有解。
此时齐次方程组化为⎩⎨⎧+=--=43243151149x x x x x x 分别令x x 3410==,及x x 3401==,，得齐次方程组的一个基础解系令x x 3400==,，得非齐次方程组的一个特解[]'-=001080X 由此得原方程组的全部解为X X k X k X =++01122 （其中k k 12,为任意常数）7．设X N ~(,)34，试求：(1)P X ()<1；(2))75(<<X P ．（已知9987.0)3(,9772.0)2(,8413.0)1(=Φ=Φ=Φ）解：(1)P X P X ()()<=-<-132132=-<-=-P X ()()3211Φ=-=-=1110841301587Φ()..(2)P X P X P X ()()()57532327321322<<=-<-<-=<-<=-=-=ΦΦ()()...21097720841301359 8．某车间生产滚珠，已知滚珠直径服从正态分布．今从一批产品里随机取出9个，测得直径平均值为15.1mm ，若已知这批滚珠直径的方差为206.0，试找出滚珠直径均值的置信度为的置信区间(.).u 0975196=．解：由于已知σ2，故选取样本函数)1,0(~N nx U σμ-= 已知1.15=x，经计算得02.0306.09==σ滚珠直径均值的置信度为的置信区间为]9,9[975.0975.0σσu x u x +-，又由已知条件96.1975.0=u ，故此置信区间为]1392.15,0608.15[ 9．设矩阵A B =---⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥112235324215011,，且有AX B ='，求X ．解：利用初等行变换得 112100235010324001112100011210012301---⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥112100011210001511112100011210001511 →------⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥110922010721001511100201010721001511即 A -=-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥1201721511 由矩阵乘法和转置运算得 10．求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=++--=+-+-=-+-2284212342272134321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的全部解．解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形方程组的一般解为x x x x x x14243415=+==-⎧⎨⎪⎩⎪ （其中x 4为自由未知量）令x 4=0，得到方程的一个特解)0001(0'=X .方程组相应的齐方程的一般解为⎪⎩⎪⎨⎧-===4342415xx x x x x （其中x 4为自由未知量）令x 4=1，得到方程的一个基础解系)1115(1'-=X .于是，方程组的全部解为10kX X X +=（其中k 为任意常数）11．据资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度)21.1,5.32(~N X ，今从这批砖中随机地抽取了9块，测得抗断强度（单位：kg ／cm 2）的平均值为，问这批砖的抗断强度是否合格（α==0051960975.,..u ）．解：零假设H 0325:.μ=．由于已知σ2121=.，故选取样本函数U x nN =-μσ~(,)01 已知x =3112.，经计算得σ9113037==..，x n-=-=μσ3112325037373.... 由已知条件u 0975196..=，x nu -=>=μσ3731960975...故拒绝零假设，即这批砖的抗断强度不合格12．设矩阵100111101A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，求1()AA -'．解：由矩阵乘法和转置运算得100111111111010132101011122AA --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥'=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦利用初等行变换得111100132010122001111100021110011101----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥100201001112011101⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥-⎣⎦100201011101001112⎡⎤⎢⎥→---⎢⎥⎢⎥⎣⎦→⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥100201010011001112即1201()011112AA -⎡⎤⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥⎣⎦14．求下列线性方程组的通解．123412341234245353652548151115x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++=⎨⎪-++=⎩解 利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵，即245353652548151115-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭?245351201000555-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭?120100055500555--⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭?120100011100000--⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 方程组的一般解为：1243421x x x x x =+⎧⎨=-+⎩，其中2x ，4x 是自由未知量．令042==x x ，得方程组的一个特解0(0010)X '=，，，． 方程组的导出组的一般解为：124342x x x x x =+⎧⎨=-⎩，其中2x ，4x 是自由未知量． 令12=x ，04=x ，得导出组的解向量1(2100)X '=，，，； 令02=x ，14=x ，得导出组的解向量2(1011)X '=-，，，．所以方程组的通解为：22110X k X k X X ++=12(0010)(2100)(1011)k k '''=++-，，，，，，，，，其中1k 2k 是任意实数．15．设随机变量X ~N （3，4）．求：（1）P （1<X <7）；（2）使P （X <a ）=成立的常数a ．(已知8413.0)0.1(=Φ，9.0)28.1(=Φ，9773.0)0.2(=Φ)．解：（1）P （1<X <7）=)23723231(-<-<-X P =)2231(<-<-X P =)1()2(-Φ-Φ=+–1= （2）因为P （X <a ）=)2323(-<-a X P =)23(-Φa =所以28.123=-a ，a =3+28.12⨯=16．从正态总体N （μ，4）中抽取容量为625的样本，计算样本均值得x =，求μ的置信度为99%的置信区间.(已知576.2995.0=u )解：已知2=σ，n =625，且nx u σμ-=~)1,0(N因为x =，01.0=α，995.021=-α，576.221=-αu206.06252576.221=⨯=-nuσα所以置信度为99%的μ的置信区间为：]706.2,294.2[],[2121=+---nux nux σσαα17．某车间生产滚珠，已知滚珠直径服从正态分布．今从一批产品里随机取出9个，测得直径平均值为15.1mm ，若已知这批滚珠直径的方差为206.0，试找出滚珠直径均值的置信度为的置信区间(.).u 0975196=．解：由于已知σ2，故选取样本函数 )1,0(~N nx U σμ-= 已知1.15=x，经计算得02.0306.09==σ滚珠直径均值的置信度为的置信区间为]9,9[975.0975.0σσu x u x +-，又由已知条件96.1975.0=u，故此置信区间为]1392.15,0608.15[ 四、证明题（本题6分） 1设A ,B 是两个随机事件，试证：P B P A P B A P A P B A ()()()()()=+．证明：由事件的关系可知B A AB A A B BU B+=+==)(而∅=))((B A AB ，故由加法公式和乘法公式可知P B P AB P AB P A P B A P A P B A ()()()()()()()=+=+证毕．2．设随机事件A ,B 相互独立，试证：B A ,也相互独立．证明：))(1)(()()()()()()(A P B P B P A P B P AB P B P B A P -=-=-=)()(B P A P =所以B A ,也相互独立．证毕． 3．设B A ,是n 阶对称矩阵，试证：B A +也是对称矩阵．证明：B A ,是同阶矩阵，由矩阵的运算性质可知B A B A '+'='+)(已知B A ,是对称矩阵，故有B B A A ='=',，即B A B A +='+)(由此可知B A +也是对称矩阵，证毕． 4．设n 阶矩阵A 满足0))((=+-I A I A ，则A 为可逆矩阵．证明：因为0))((2=-=+-I A I A I A ，即I A =2．所以，A 为可逆矩阵5．设向量组321,,ααα线性无关，令2112ααβ+=，32223ααβ+=，1334ααβ-=，证明向量组321,,βββ线性无关。